Ölçüm cihazı dönüştürme fonksiyonlarının doğrusallaştırılması (modellenmesi)

giriiş

Bilim ve teknolojinin gelişmesi, ürün kalitesi ve üretim verimliliğine yönelik gereksinimlerin artması, ölçüm gereksinimlerinde köklü bir değişime yol açmıştır. Bu gerekliliklerin ana yönlerinden biri, ölçüm hatasının yeterince güvenilir bir şekilde değerlendirilmesi olasılığını sağlamaktır. Ölçüm doğruluğuna ilişkin veri eksikliği veya yeterince güvenilir olmayan tahminler, nesnelerin ve süreçlerin özellikleri, ürün kalitesi ve verimlilik hakkındaki bilgilerin tamamen veya önemli ölçüde değer kaybetmesine neden olur teknolojik süreçlerÖlçümler sonucunda elde edilen hammadde, ürün vb. miktarı hakkında. Ölçüm hatasının yanlış değerlendirilmesi büyük ekonomik kayıplarla doludur ve bazen teknik sonuçlar. Ölçüm hatasının eksik tahmin edilmesi, ürün kusurlarının artmasına, malzeme kaynaklarının tüketiminin ekonomik olmayan veya yanlış muhasebeleştirilmesine ve yanlış sonuçlara yol açar. bilimsel araştırma Numunelerin geliştirilmesi ve test edilmesi sırasında hatalı kararlar yeni teknoloji. Kural olarak, daha doğru ölçüm cihazlarının (MI) kullanılması ihtiyacı konusunda hatalı bir sonuca yol açan ölçüm hatasının fazla tahmin edilmesi, MI'nın geliştirilmesi, endüstriyel üretimi ve işletilmesi için verimsiz maliyetlere neden olur. Ölçüm hatası tahminini mümkün olduğu kadar yakına getirme arzusu gerçek değer böylece olasılıksal anlamda "yukarıdan tahmin" olarak kalır - modern pratik metrolojinin gelişimindeki karakteristik eğilimlerden biri. Bu eğilim özellikle önem kazanıyor pratik önemi gerekli ölçüm doğruluğunun standart ölçüm cihazlarının sağlayabileceği doğruluğa yaklaştığı ve ölçüm doğruluğu tahminlerinin doğruluğunun arttırılmasının, esasen ölçüm doğruluğunun arttırılmasına yönelik rezervlerden biri olduğu durumlarda. Ölçüm hatasının nedeni genel durum, bir dizi faktör. Kullanılan ölçü aletlerinin özelliklerine, ölçü aletlerinin kullanım yöntemlerine (ölçüm yöntemleri), ölçü aletlerinin kalibrasyon ve doğrulamasının doğruluğuna, ölçümlerin yapıldığı şartlara, ölçümlerin hızına (frekansına) bağlıdır. ölçülen büyüklüklerdeki değişiklik, hesaplama algoritmaları ve operatör tarafından ortaya çıkan hata. Sonuç olarak, ölçüm hatasını tahmin etme görevi modern koşullarözellikle teknik ölçümler karmaşık, karmaşık bir iştir.

Umanskaya A.K. Doğrusallaştırma (simülasyon)

ölçüm cihazı dönüştürme fonksiyonları. -

Çelyabinsk: SUSU, PS; 2012.18p.4il.,

bibliogr. liste - 1 ad

Başlangıç ​​verilerine dayanarak ölçüm cihazının dönüşüm fonksiyonu doğrusallaştırıldı (modellendi) ve hatalar hesaplandı.

Görevler

GÖREV 1.

SI duyarlılığı ve duyarlılığın aşırı kararsızlığı. SI duyarlılığı:

Maksimum hassasiyet kararsızlığı:

GÖREV 2.

SI'nın çıkışına ve girişine azaltılan göreceli hataları sınırlayın

Çıkış sinyalinin hatasını bulalım.

Tanım gereği:

SI çıkışına indirgenmiş çıkış sinyalinin hatasını bulalım.

Tanım gereği:

Değerleri tanımlayalım bağıl hata giriş ölçülen değerinin değerlerinde:

GÖREV 3.

Başlangıç ​​noktasında teğet biçiminde SI dönüşüm fonksiyonuna yaklaşırken mutlak, göreli ve azaltılmış doğrusal olmama hatalarını belirleyin.

En büyük doğrusal olmama hatasını belirleyin. Teğet denklemi:

Teğetin geçtiği nokta

Teğet açı:

Doğrusallaştırma hatalarını belirleyelim:

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Azaltılmış hata değeri (noktada) x=x N):

Dönüşüm fonksiyonunun başlangıç ​​noktasında teğet biçiminde yaklaşım grafiği:

GÖREV 4

Başlangıçtan geçen bir akor biçiminde SI dönüşüm fonksiyonuna yaklaşırken göreceli ve mutlak doğrusal olmama hatalarını belirleyin ve bitiş noktasıölçüm aralığı. En büyük doğrusal olmama hatasını belirleyin.

Akor denklemi:

Akorun geçtiği noktalar:

Doğrusallaştırma fonksiyonu şu şekli alır:

Doğrusallaştırma hatalarını belirleyelim.

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Maksimum doğrusal olmama hatası X ah :

Hatayı bulalım:

Aralığımızın başlangıç ​​ve bitiş noktalarından geçen bir akor biçiminde dönüşüm fonksiyonunun yaklaşım grafiği.

GÖREV 5.

Aralıktaki SI dönüşüm fonksiyonunu yaklaşık olarak hesaplayın: doğrusal fonksiyon en büyük doğrusallaştırma hatası minimum olacak şekilde: formunun: . Maksimum bağıl ve azaltılmış doğrusallaştırma hatalarını belirleyin. yaklaşıklık fonksiyonu.

Mutlak doğrusallaştırma hatası.

ölçüm cihazı hatasının doğrusal olmaması

Sistem optimizasyon koşulunu yazalım:

ölçüm aralığının sonunda hata:

uç noktada hata:

Modülleri genişletip denklemi yazalım:

Hatayı tespit edelim

GÖREV 6.

En büyük doğrusallaştırma hatasının minimum olması için, SI dönüşüm fonksiyonunu aralık: biçimindeki doğrusal bir fonksiyonla yaklaşık olarak hesaplayın: .

Maksimum bağıl ve azaltılmış doğrusallaştırma hatalarını belirleyin.

yaklaşıklık fonksiyonu.

Mutlak doğrusallaştırma hatası.

Hata kabul edilir en küçük değerşu noktada:

Sistem optimizasyon koşulu:

Bir sistem oluşturalım:

Sistemin çözümünden şunu elde ederiz:

Yaklaşım fonksiyonu şu forma sahiptir:

Hataları belirleyelim.

Azaltılmış maksimum doğrusallaştırma hatası:

Minimum maksimum hata ile formun doğrusal bir fonksiyonu ile dönüşüm fonksiyonunun yaklaşımının grafiği.

Çözüm

Ölçme araçlarının dönüşüm fonksiyonlarının doğrusal modellerini oluşturarak farklı şekillerde En büyük doğrusallaştırma hatasının minimum olması için dönüşüm fonksiyonunun doğrusal bir fonksiyonla modellenmesi yönteminin en etkili yöntem olduğuna inanıyoruz, çünkü en küçük hataya ve sürekli duyarlılığa sahipti.

Kaynakça

1. Aksenova, E.N. Temel yöntemler sonuçlarındaki hataların tahminleri doğrudan ve dolaylı ölçümler / eğitim kılavuzuüniversiteler için. - M.: Logos Yayınevi; Üniversite Kitabı, 2007.

Otomatik sistemler genellikle doğrusal olmayan sistemler olarak tanımlanır. diferansiyel denklemler. Ancak çoğu durumda bunları doğrusallaştırmak, yani orijinal doğrusal olmayan denklemleri sistemdeki süreçleri yaklaşık olarak tanımlayan doğrusal denklemlerle değiştirmek mümkündür. Dönüşüm süreci doğrusal olmayan denklem doğrusal hale getirilmesine doğrusallaştırma denir.

Otomatik sistemlerde belirli bir modun korunması gerekir. Bu modda sistem bağlantılarının giriş ve çıkış miktarları belirli bir yasaya göre değişir. Özellikle stabilizasyon sistemlerinde belirli sabit değerler. Ancak çeşitli rahatsız edici faktörler nedeniyle gerçek mod, gerekli (belirtilen) moddan farklıdır, bu nedenle mevcut değerler giriş ve çıkış değerleri belirtilen moda karşılık gelen değerlere eşit değildir. Normal işleyen bir durumda otomatik sistem gerçek mod, gerekli moddan biraz farklıdır ve içerdiği bağlantıların giriş ve çıkış değerlerinin gerekli değerlerden sapmaları küçüktür. Bu, genişleterek doğrusallaştırmaya olanak tanır doğrusal olmayan fonksiyonlar, Taylor serisindeki denklemlere dahil edilmiştir. Doğrusallaştırma bağlantılar yoluyla yapılabilir.

Örnek 2.1. Yukarıdakileri denklem (2.1) ile açıklanan bir bağlantı örneğini kullanarak açıklayalım. Verilen modun karşılık gelmesine izin verin

u ve y'nin gerçek değerlerinin gerekli değerlerden sapmalarını ile gösterelim. Bu ifadeleri (2.1)'de yerine koyalım ve bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu olarak ele alarak bunu (2.3) noktasında bir Taylor serisine genişletelim ve küçük terimleri daha fazla atalım. yüksek sipariş sapmalardan daha fazladır. O zaman (2.1) formunu alacak

Burada yukarıdaki yıldız işareti şu anlama gelir: ilgili işlevler ve türevler, ilişkiler (2.3) tarafından belirlenen argümanın değerleri için hesaplanır. Sistemde belirli bir mod oluşturulduğunda denklem (2.1) formunu alır. Bu denklemi (2.4)'ten çıkararak, bağlantının istenen denklemini sapmalarda elde ederiz:

Eğer t süresi açıkça dahil edilmemişse orijinal denklem(2.1) ve ayrıca verilen mod statiktir - miktarlar zamana bağlı değildir, bu durumda doğrusallaştırılmış denklemin (2.5) katsayıları sabittir.

Açıklanan bağlantılar ve sistemler doğrusal denklemler, doğrusal bağlantılar olarak adlandırılır ve doğrusal sistemler.

Denklem (2.5) aşağıdaki varsayımlar altında elde edilmiştir: 1) çıktı ve girdi miktarlarındaki sapmalar oldukça küçüktür; 2) fonksiyonun, belirli bir moda karşılık gelen noktaların yakınındaki tüm argümanlarına göre sürekli kısmi türevleri vardır. Bu koşullardan en az biri karşılanmazsa doğrusallaştırma gerçekleştirilemez. İlk koşulla ilgili olarak şunu belirtmek gerekir: Hangi sapmaların küçük kabul edildiğini kesin olarak belirlemek imkansızdır. Doğrusal olmamanın türüne bağlıdır.

Çoğu zaman bağlantı denkleminde yer alan bireysel değişkenler arasındaki doğrusal olmayan ilişki bir eğri biçiminde belirtilir. Bu durumlarda doğrusallaştırma grafiksel olarak yapılabilir.

Geometrik olarak, iki değişken arasındaki doğrusal olmayan ilişkinin doğrusallaştırılması (Şekil 2.2), orijinal A B eğrisinin, belirli bir moda karşılık gelen O noktasındaki teğetinin bir bölümü ile değiştirilmesi anlamına gelir ve paralel aktarım kökeni bu noktaya kadar.

Zamanın denklemde açıkça yer alıp almamasına bağlı olarak sistemler durağan ve durağan olmayan olarak ikiye ayrılır.

Otomatik kontrol sistemleri (bağlantılar) sabit durumdaysa sabit olarak adlandırılır dış etkiler açıkça zamana bağlı olmayan denklemlerle tanımlanır. Bu, sistemin özelliklerinin zamanla değişmediği anlamına gelir. Aksi takdirde sistem durağan olmayan sistem olarak adlandırılır. Doğrusal sistemler için şunu da verebiliriz: aşağıdaki tanım: sabit doğrusal sistemler (bağlantılar), aşağıdakilerle doğrusal denklemlerle tanımlanan sistemlerdir (bağlantılar). sabit katsayılar; sabit olmayan doğrusal sistemler (bağlantılar) veya değişken parametreli sistemler - değişken katsayılı doğrusal denklemlerle tanımlanan sistemler (bağlantılar).

chx=(e x +e - x)/2

shx=(e x -e -x)/2

chx 2 +shx 2 =ch2x

C
teşekkürler=chx/shx

Ders No. 12

Konu: “Doğrusallaştırma”

Bir fonksiyonun diferansiyeli ve teğet denkleminin geometrik anlamı.

bir doğrunun denklemi: Y=kx+b

y 0 =f(x 0)=kx 0 +b

Düz bir çizginin k eğimi

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x 0)+f(x 0)-f’(x 0)x 0

Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)

Bazılarında ∆х0  için ∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x

∆х0'da O(x 0) f(x 0)=f'(x 0)+f'(x 0)∆x+(∆x)∆x

Y 1 =f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0) a =f'(x 0)+f'(x 0)∆x

df(x 0)=f’(x 0)∆x

Diferansiyelin geometrik anlamı:

df(x 0), grafiğe çizilen fonksiyonun tanjantı boyunca (x 0;f(x 0) noktalarına doğru hareket ederken ordinat artışıdır.

Yorum: Genellikle x 0 noktasına çizilen teğetten bahsederler.

Bir fonksiyonun doğrusallaştırılması.

Tanım: Bir doğrusal fonksiyonun belirli bir noktasının komşuluğunda bir fonksiyonun değiştirilmesine fonksiyonun doğrusallaştırılması denir, daha doğrusu O(x 0)'da x 0 noktasındaki bir teğet parça ile değiştirilir.

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Eğer eşitlikte (*) sağ tarafı atarsak, o zaman

yaklaşık bir eşitlik elde ederiz:

f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – x 0 noktasındaki teğet denklem

Formül, fonksiyonun x 0 noktasındaki diferansiyelin tanımından elde edilir.

∆х0'da f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x – x 0 noktasındaki diferansiyel fonksiyonun kriteri olarak adlandırılır.

Yaklaşık hesaplamalar ve hesaplama hatasının tahmini.

Belirli bir noktaya yakın noktalarda fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.

Seçilen kökü doğrusallaştıralım.

f’(x) x=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12(x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y cas =2+1/12(x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) x8'de

Hesaplama hataları.

xx 0'da f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0)

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

x 0 =4 noktasında f(x)=10 x, eğer ∆х=0,001 x=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102.2

∆23000 Wire0.001=23

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonun davranışının incelenmesi.

M 0 tg >0'ın solunda; M 0 tg 'nin sağında<0

tg f’(x)>0 M 0’ın solunda

tg f’(x)<0 справа от М 0

Teorem: y=f(x) türevlenebilir olsun  x(a,b) ve f'(x)>0 (f'(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A(|x1|x2)b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Kanıtlamamız gerekiyor: f(x 1)

Langrange teoremini segment (x 1 ,x 2) T teoremine uygulayalım.

f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1) burada c(x 1 ,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Bir fonksiyonun ekstremumu.

M Fonksiyonun tüm değerlerinin yer aldığı O(x 1) değerini belirleyebilirsiniz.

f(x)

f(x)>f(x 1) b ve О  2 (x 1). M 1, M 3 ve M 5 noktalarındaki önemli fonksiyonlar –

maksimum; M 2 ve M 4 – min – bu tür noktalara denir noktalar

ekstremum veya yerel maksimum ve minimum noktalar.

Tanım: (ekstrem noktalar)

f(x) fonksiyonu bazı O(x 0) ve f(x)>f(x 0)'da tanımlansın.

O(x 0) veya f(x)

Z Not:

f(x)f(x 1) in O  1 (x 1)

O  2 (x 2)’de f(x)f(x 2)

x 1 ve x 2 noktalarının kesinlikle yerel olmayan noktalar olduğunu söylüyorlar

ekstremum.

Teorem: (Fermat) (diferansiyellenebilir bir fonksiyon için ekstremum koşulunun gerekliliği üzerine)

y=f(x) x 0 noktasında türevlenebilir olsun ve x 0 noktası bir ekstrem nokta olsun, o zaman f(x 0)=0

Kanıt: x 0'ın bir uç nokta olduğuna dikkat edin, bu durumda onun civarında f(x) – f(x 0) işareti korunur. ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0) koşulunu yazalım

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) bu durumda x – x 0'a yeterince yakınsa köşeli parantez içindeki ifadenin işareti f'(x 0)0 (x-x 0)'ın işaretiyle çakışır – x 0  f'(x 0)=0 noktasından geçiş sırasında işaret değiştirir

13 Nolu Ders

Sunucu: Golubeva Zoya Nikolaevna

Konu: "Ekstrem"

Yorum:

HAKKINDA Kardeşin ifadesi yanlıştır. Ürünün belirli bir noktada sıfır olması, bunun bir ekstremum olduğu anlamına gelmez.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 bir ekstrem nokta değildir.

Teorem (Rolle):

y=f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ve (a,b) üzerinde türevlenebilir olsun. Ayrıca aralığın sonlarında eşit değerler alır f(a)=f(b), sonra  с(a,b): f(c)=0

Kanıt: Fonksiyon segment üzerinde sürekli olduğundan, ikinci Weistrass teoremine göre en büyük ve en küçük değer (m,M) vardır, eğer m=M ise f(x)const (x) (const)' =0.

Let m

Yorum: türevlenebilirlik koşulu göz ardı edilemez.

segmentte sürekli

Geometrik anlam.

f’(x)=0 ise x ekseninin tanjantı . Teorem bunun tek bir nokta olduğunu belirtmez.

Langrange teoremi:

y=f(x) fonksiyonunun aralıkta sürekli ve (a,b) aralığında türevlenebilir olduğunu varsayalım, o zamanс(a,b): f(b)-f(a)=f(c)( b-a)

Kanıt :

F(x)=f(x)+xburada  hala bilinmeyen bir sayıdır.

F(x) – sürekli bir fonksiyonun toplamı olarak bir aralıkta sürekli

f(x), türevlenebilir bir fonksiyonun toplamı olarak bir aralıkta türevlenebilirdir.

F(x) doğru parçasında eşit değer alacak şekilde  sayısını seçelim.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – c(a,b):F’(c)=0 segmentinde Roller teoreminin koşullarını karşılar, yani F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

Yani eğimli bir eğri üzerinde

x eksenine sekantla aynı açıda

/=tg=f(x)  c(a,b)

Yorum:

Genellikle c noktası şu şekilde temsil edilebilir:

gerekli form:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Teorem: (birinci türevdeki bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar hakkında)

Y=f(x) aralıkta sürekli ve O(x 0) cinsinden türevlenebilir olsun. Eğer f'(x), x 0 noktasından geçerken işaret değiştirirse, o zaman x 0 noktası bir ekstrem noktadır. İşaret değişirse:

+'dan -'ye kadar bu maksimum noktadır

– ile + arası o zaman bu minimum noktadır

Kanıt :х 1 О - (x 0) açık ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 x 2 О + (x 0) on ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)nokta x maksimum nokta.

Eğer x 0 noktasında bir türev varsa, o zaman Fermat teoremine göre zorunlu olarak 0'a eşit olacaktır. Ancak f(x)'in var olduğu ancak f'(x)'in bulunmadığı noktalar olabilir.

Bu tür sorunları çözme ilkesi:

Koşul: fonksiyonun segmentteki en büyük ve en küçük değerini bulun.

Çözüm ilerlemesi:

Türevin 0'a eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları buluruz f'(x)=0 veya f'(x)  x 1 ,x n

Fonksiyonun işaretini doğru parçasının uçlarında ve f(a),f(b),f(x 1)….f(x n) noktalarında hesaplıyoruz.

En büyük ve en küçük mf(x)'i seçin

Tanım: Fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik noktalar denir.

1. Tüm değişkenler x 1 ,x 2 ile ifade edilir
2. Tüm matematiksel işlemler genel kabul görmüş sembollerle (+,-,*,/,^) ifade edilir. Örneğin, x 1 2 +x 1 x 2'yi x1^2+x1*x2 olarak yazın.

Nerede – ikinci dereceden küçüklüğün atılmış terimi.
Böylece, f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında doğrusal bir fonksiyonla yaklaşılır:
,
burada x 0 doğrusallaştırma noktasıdır.
Yorum. Doğrusallaştırma büyük bir dikkatle kullanılmalıdır çünkü bazen çok kaba bir yaklaşım verir.

Genel doğrusal olmayan programlama problemi

Örnek No.1.

Kabul edilebilir bir S bölgesi oluşturalım (şekle bakın).


Uygun bölge S, h(x)=0 eğrisi üzerindeki, x 2 ≥0 kısıtıyla tanımlanan (2;0) noktası ile g( kısıtıyla tanımlanan (1;1) noktası arasında kalan noktalardan oluşur. x) ≥0.
Problemin x 0 =(2;1) noktasında doğrusallaştırılması sonucunda aşağıdaki ZLP elde edilir:

Burada (2,5; 0,25) ve (11/9; 8/9) noktalarıyla sınırlanan bir düz çizgi parçasıdır. Doğrusallaştırılmış amaç fonksiyonunun seviye çizgileri eğimi -2 olan düz çizgilerdir, orijinal amaç fonksiyonunun seviye çizgileri ise (0;0) noktasında ortalanan dairelerdir. Doğrusallaştırılmış problemin çözümünün x 1 = (11/9; 8/9) noktası olduğu açıktır. Bu noktada elimizde:

yani eşitlik kuralı ihlal ediliyor. x 1 noktasında yeni bir doğrusallaştırma gerçekleştirdikten sonra yeni bir problem elde ederiz:


Yeni çözüm çizgilerin kesişiminde yatıyor ve ve koordinatları x 2 = (1,0187; 0,9965)'tir. Kısıtlama – eşitlik ( ) hâlâ ihlal ediliyor, ancak daha az ölçüde. İki yineleme daha yaparsak x * =(1;1), f(x *)=2 çözümüne çok iyi bir yaklaşım elde ederiz.

Tablo - Bazı yinelemeler için amaç fonksiyonu değerleri:

Doğrusallaştırma

Bilinmeyen parametreleri tahmin etmek için β 0 , … , β n Doğrusal olmayan regresyon modelini doğrusal bir forma getirmek gerekir. Öz doğrusallaştırma Bağımsız değişkenlerde doğrusal olmayan regresyon modelleri, doğrusal olmayan faktör değişkenlerinin doğrusal olanlarla değiştirilmesinden oluşur. Genel polinom regresyon durumunda, bir fonksiyonun doğrusal olmayan değişkenlerini değiştirme işlemi n'inci Sipariş şuna benziyor: x = с 1, ; x2 = c2; xZ = s3; ... ; x p = c p.

Daha sonra çoklu doğrusal olmayan regresyon denklemi, doğrusal çoklu regresyon denklemi olarak yazılabilir.

y ben = β 0 + β 1 x ben + β 2 x 2 ben + … +β n x n ben + ε ben =>

=> y ben = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε ben

Hiperbolik bir fonksiyon, doğrusal olmayan bir faktör değişkenini doğrusal bir faktörle değiştirerek doğrusal bir forma da indirgenebilir. 1/ X= s. Daha sonra hiperbolik fonksiyonun orijinal denklemi dönüştürülmüş biçimde yazılabilir:

y ben = β 0 + β 1 / x ben + ε ben => y ben = β 0 + β 1 ile i + ε ben

Böylece, hem herhangi bir dereceden bir polinom fonksiyonu hem de bir hiperboloid, doğrusal bir regresyon modeline indirgenebilir; bu, regresyon denkleminin bilinmeyen parametrelerini (örneğin, klasik OLS) bulmak için geleneksel yöntemlerin ve çeşitli testleri test etmek için standart yöntemlerin uygulanmasını mümkün kılar. Dönüştürülen modele ilişkin hipotezler.

Şti. ikinci sınıf Doğrusal olmayan modeller, sonuç değişkeninin olduğu regresyon modellerini içerir. sen ben denklemin parametreleriyle doğrusal olmayan bir şekilde ilişkilidir β 0 ,…, β n. Bu tür regresyon modelleri şunları içerir:

1) güç fonksiyonu

y ben = β 0 · x ben β 1 · ε ben

2) üstel fonksiyon

y ben = β 0 · β 1 x ben · ε ben

3) logaritmik parabol

y ben = β 0 · β 1 x ben · β 2 x ben · ε ben 2

4) üstel fonksiyon

y ben = e β 0 + β 1 x ben · ε ben

5) ters fonksiyon

ve diğerleri.

Parametrelerde doğrusal olmayan regresyon modelleri sırasıyla modellere bölünür doğrusallaştırmaya tabidir (doğal olarak doğrusal fonksiyonlar) ve doğrusallaştırmaya tabi değildir (doğal olarak doğrusal olmayan fonksiyonlar). Doğrusal forma indirgenebilecek modellere bir örnek, formun üstel fonksiyonudur. y ben = β 0 · β 1 x ben · ε ben, rastgele hata nerede εi faktör karakteristiği ile çarpımsal olarak ilişkilidir x ben . D Bu model parametre açısından doğrusal değildir β 1. Bunu doğrusallaştırmak için önce logaritma işlemini gerçekleştiririz:

ln y ben = ln β 0 + x ben ln β 1 + ln ε ben

Daha sonra ikame yöntemini kullanacağız. İzin vermek ben de= ey ben; ln β 0= A; β 1'de =İÇİNDE; ln ε ben =E i.

Daha sonra dönüştürülmüş üstel fonksiyon aşağıdaki forma sahiptir:

ey ben = A+ x i'de+ E i.

Bu nedenle üstel fonksiyon y ben = β 0 · β 1 x ben · ε ben dahili olarak doğrusaldır ve parametrelerinin tahminleri geleneksel en küçük kareler yöntemi kullanılarak bulunabilir.

Rastgele hata içeren bir üstel fonksiyon alırsak εi ek olarak, yani y ben = β 0 · β 1 x ben + ε ben ise bu model artık logaritma kullanılarak doğrusal forma getirilemez. Dahili olarak doğrusal değildir.

Formun bir kuvvet fonksiyonu verilsin y ben = β 0 · x ben β 1 · ε ben. Denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım:

ln y ben = ln β 0 + β 1 ln x ben + ln ε ben

Şimdi değiştirme yöntemini kullanalım: ben de= ey ben; ln β 0= A; ln x ben =Xi; ln ε ben = E i.