Şekilde türevin grafiği gösterilmektedir 4 8. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı (profil)

Problem B9, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemeniz gereken bir fonksiyonun veya türevin grafiğini verir:

1. Türevin bir x 0 noktasındaki değeri,
2. Maksimum veya minimum noktalar (ekstrem noktalar),
3. Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir ve bu da çözümü çok daha kolaylaştırır. Görev bölüme ait olmasına rağmen matematiksel analiz derin bir bilgi olmadığından en zayıf öğrencilerin bile yetenekleri dahilindedir. teorik bilgi burada gerekli değil.

Türevin, ekstrem noktaların ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmaktan kaçınmak için B9 sorununun koşullarını dikkatlice okuyun: bazen oldukça uzun metinlerle karşılaşırsınız, ancak önemli koşullar Kararın gidişatını etkileyen çok az şey var.

Türev değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme bir f(x) fonksiyonunun bu grafiğe x 0 noktasında teğet olan bir grafiği verilirse ve bu noktada türevinin değerinin bulunması gerekiyorsa aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafikte iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu önemli ançözümler ve buradaki herhangi bir hata, yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyonun artışını argümanın artışına bölmeniz gerekir - cevap bu olacaktır.

Bir kez daha belirtelim: A ve B noktaları sıklıkla olduğu gibi f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet çizgisi mutlaka bu türden en az iki nokta içerecektir - aksi takdirde sorun doğru şekilde formüle edilmeyecektir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Görev. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Görev. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

İtibaren son örnek bir kural formüle edebiliriz: eğer teğet OX eksenine paralelse, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfırdır. Bu durumda hiçbir şeyi saymanıza bile gerek yok; sadece grafiğe bakın.

Maksimum ve minimum puanların hesaplanması

Bazen Problem B9, bir fonksiyonun grafiği yerine türevin bir grafiğini verir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunmasını gerektirir. Bu durumda iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha da basit başka bir algoritma daha vardır. Öncelikle terminolojiyi tanımlayalım:

1. Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
2. Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türev grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için şu adımları uygulamanız yeterlidir:

1. Gereksiz tüm bilgileri kaldırarak türev grafiğini yeniden çizin. Uygulamada görüldüğü gibi, gereksiz veriler yalnızca karara müdahale eder. Bu nedenle şunu not ediyoruz: koordinat ekseni Türevin sıfırları - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Eğer bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, bu durumda yalnızca iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti şöyledir: orijinal çizimden bunu belirlemek kolaydır: eğer türev grafiği OX ekseninin üzerinde yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≥ 0. Ve bunun tersi, eğer türev grafiği OX ekseninin altında yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≤ 0.
3. Yine türevin sıfırlarını ve işaretlerini kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği nokta minimum noktadır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa doğru yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli fonksiyonlar için çalışır - B9 probleminde başka şema yoktur.

Görev. Şekil, [−5; 5]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım ve sadece sınırları bırakalım [−5; 5] ve türevinin sıfırları x = −3 ve x = 2,5. Ayrıca işaretleri de not ediyoruz:

Açıkçası, x = −3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Görev. Şekilde [−3; 7]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, yalnızca [−3; 7] ve türevinin sıfırları x = −1,7 ve x = 5. Ortaya çıkan grafikte türevin işaretlerini not edelim. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Görev. Şekilde [−6; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; parçasına ait maksimum nokta sayısını bulun; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [−4; 3]. Bu yüzden inşa ediyoruz yeni program, üzerinde yalnızca sınırları işaretliyoruz [−4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları. Şunu elde ederiz:

Bu grafikte yalnızca bir x = 2 maksimum noktası vardır. Bu noktada türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Koordinatları tam sayı olmayan noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, Son görev x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3,4'ü de alabiliriz. Sorun doğru bir şekilde derlenirse, "sabit bir ikamet yeri olmayan" puanlar kabul edilmediğinden bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. doğrudan katılım sorunu çözmede. Elbette bu numara tam sayı noktalarda işe yaramayacaktır.

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktalar gibi, fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanları bulmak için türev grafiğinin kullanılması önerilmektedir. Öncelikle artan ve azalan şeyin ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde artan olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Başka bir deyişle, argüman değeri ne kadar büyük olursa, fonksiyon değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde azalan fonksiyon olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Onlar. daha yüksek değer argüman eşleşmeleri düşük değer işlevler.

Artma ve azalma için yeterli koşulları formüle edelim:

1. İçin sürekli fonksiyon f(x) doğru parçası üzerinde artıyorsa, parça içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun doğru parçası üzerinde azalması için parça içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≤ 0.

Bu açıklamaları delilsiz kabul edelim. Böylece, birçok yönden ekstrem noktaları hesaplama algoritmasına benzeyen, artan ve azalan aralıkları bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Gereksiz tüm bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde öncelikle fonksiyonun sıfırlarıyla ilgilendiğimiz için yalnızca onları bırakacağız.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar, f'(x) ≤ 0 olduğunda ise azalır. Eğer problem x değişkenine kısıtlamalar getiriyorsa, bunları ek olarak yeni bir grafikte işaretliyoruz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamaları bildiğimize göre, problemde gerekli olan miktarı hesaplamak kalıyor.

Görev. Şekilde [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda yer alan tam sayıların toplamını belirtiniz.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizelim ve sınırları işaretleyelim [−3; 7,5] ve ayrıca x = −1,5 ve x = 5,3 türevinin sıfırları. Daha sonra türevin işaretlerini not ediyoruz. Sahibiz:

Türev (− 1,5) aralığında negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamaya devam ediyor:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Yalnızca [−10; 4] ve türevin sıfırları, ki bu sefer dört tane vardı: x = −8, x = −6, x = −3 ve x = 2. Türevin işaretlerini işaretleyip aşağıdaki resmi elde edelim:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. f'(x) ≥ 0 olacak şekilde. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). Uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ben 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu bulmamız gerektiğinden cevap olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

y=3x+2 düz çizgisi y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Teğet noktasının apsisi verildiğinde b'yi bulun Sıfırdan daha az.

Çözüm

x_0, y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiği üzerinde bu grafiğe teğetinin geçtiği noktanın apsisi olsun.

Türevin x_0 noktasındaki değeri teğetin eğimine eşittir yani y"(x_0)=-24x_0+b=3. Öte yandan teğet noktası eş zamanlı olarak grafiğin her ikisine de aittir. fonksiyon ve tanjant, yani -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 bir denklem sistemi elde ederiz. \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(durumlar)

Bu sistemi çözerek x_0^2=1 elde ederiz, bu da ya x_0=-1 ya da x_0=1 anlamına gelir. Apsis koşuluna göre teğet noktaları sıfırdan küçük olduğundan x_0=-1, sonra b=3+24x_0=-21 olur.

Cevap

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun (üç düz parçadan oluşan kesikli bir çizgi) grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak F(9)-F(5)'i hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Çözüm

Newton-Leibniz formülüne göre F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olmak üzere F(9)-F(5) farkı, eğrisel yamuğun alanına eşittir, programla sınırlı fonksiyonlar y=f(x), düz çizgiler y=0, x=9 ve x=5. Programa göre belirtilenlerin olduğunu belirliyoruz kavisli yamuk tabanları 4 ve 3'e eşit, yüksekliği 3 olan bir yamuktur.

Alanı eşittir \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil düzeyi" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

Şekilde (-4; 10) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevi olan y=f"(x) grafiği gösterilmektedir. Azalan f(x) fonksiyonunun aralıklarını bulun. Cevabınızda, en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözüm

Bilindiği gibi, f(x) türevinin sıfırdan küçük olduğu her noktada f(x) fonksiyonu azalır. Bunlardan en büyüğünün uzunluğunun bulunması gerektiği düşünülürse, bu tür üç aralık vardır: doğal olarak şekilden ayırt edilir: (-4; -2) ; (0; 3);

Bunlardan en büyüğünün uzunluğu - (5; 9) 4'tür.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

Şekilde (-8; 7) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevi olan y=f"(x) grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun maksimum nokta sayısını bulun, aralığa ait [-6; -2].

Çözüm

Grafik, f(x) fonksiyonunun f"(x) türevinin, [ aralığından tam olarak bir noktada (-5 ile -4 arasında) artıdan eksiye (bu tür noktalarda bir maksimum olacaktır) işaret değiştirdiğini göstermektedir. -6; -2 ] Dolayısıyla [-6; -2] aralığında tam olarak bir maksimum nokta vardır.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

Şekilde (-2; 8) aralığında tanımlanan y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun türevinin 0'a eşit olduğu noktaların sayısını belirleyin.

Çözüm

Türevin bir noktada sıfıra eşitliği, fonksiyonun bu noktada çizilen grafiğine teğetinin Ox eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle fonksiyonun grafiğine teğetinin Ox eksenine paralel olduğu noktaları buluruz. Bu grafikte bu tür noktalar ekstrem noktalardır (maksimum veya minimum noktalar). Gördüğünüz gibi 5 ekstrem nokta var.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

y=-3x+4 düz çizgisi, y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Teğet noktasının apsisini bulun.

Çözüm

y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğine doğru doğrunun eğimi keyfi nokta x_0, y"(x_0)'a eşittir. Ancak y"=-2x+5, yani y"(x_0)=-2x_0+5. Koşulda belirtilen y=-3x+4 doğrusunun eğimi şuna eşittir: -3. Paralel doğrular aynı açısal katsayılara sahiptir. Bu nedenle =-2x_0 +5=-3 olacak şekilde bir x_0 değeri buluyoruz.

Şunu elde ederiz: x_0 = 4.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir ve apsis üzerinde -6, -1, 1, 4 noktaları işaretlenmiştir. Bu noktalardan hangisinde türev en küçüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.

Merhaba! Yaklaşan Birleşik Devlet Sınavına yüksek kaliteli sistematik hazırlık ve bilimin granitini öğütme azmi ile girelim!!! İÇİNDEGönderinin sonunda yarışma görevi var, ilk siz olun! Sen ve ben, fonksiyonun grafiğinin verildiği bu bölümdeki makalelerden birinde, çeşitli sorular aşırılıklar, artış (azalış) aralıkları ve diğerleri ile ilgili.

Bu yazımızda bir fonksiyonun türevinin grafiğinin verildiği matematikte Birleşik Durum Sınavında yer alan problemleri ele alacağız ve sonraki sorular:

1. Belirli bir segmentin hangi noktasında fonksiyon en büyük (veya en küçük) değeri alır.

2. Belirli bir parçaya ait fonksiyonun maksimum (veya minimum) noktalarının sayısını bulun.

3. Verilen bir doğru parçasına ait fonksiyonun uç noktalarının sayısını bulun.

4. Verilen doğru parçasına ait fonksiyonun ekstrem noktasını bulun.

5. Artan (veya azalan) fonksiyonun aralıklarını bulun ve cevapta bu aralıkların içerdiği tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

6. Fonksiyonun artış (veya azalma) aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu belirtiniz.

7. Fonksiyonun grafiğine teğetinin y = kx + b formundaki bir doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

8. Fonksiyonun grafiğine teğetin apsis eksenine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktanın apsisini bulun.

Başka sorular da olabilir ama anlarsanız ve (çözüm için gerekli bilgileri veren yazılara linkler verilmiştir, tekrarlamanızı tavsiye ederim) size zorluk çıkarmaz.

Temel bilgiler (kısaca):

1. Artan aralıklarla türev pozitif işaretlidir.

Belirli bir aralıktan belirli bir noktadaki türev ise pozitif değer ise fonksiyonun grafiği bu aralıkta artar.

2. Azalan aralıklarla türevin işareti negatiftir.

Belirli bir aralıktan belirli bir noktadaki türev ise olumsuz anlam ise fonksiyonun grafiği bu aralıkta azalır.

3. x noktasındaki türev, fonksiyonun grafiğine aynı noktada çizilen teğetin eğimine eşittir.

4. Fonksiyonun ekstremum (maksimum-minimum) noktalarında türevi sıfıra eşittir. Fonksiyonun grafiğine bu noktada teğet x eksenine paraleldir.

Bunun açıkça anlaşılması ve hatırlanması gerekir!!!

Türev grafiği birçok kişinin kafasını karıştırır. Bazı insanlar yanlışlıkla bunu fonksiyonun grafiğiyle karıştırırlar. Dolayısıyla bir grafiğin verildiğini gördüğünüz bu tür binalarda, hemen dikkatinizi verilen duruma odaklayın: fonksiyonun grafiği mi yoksa fonksiyonun türevinin grafiği mi?

Eğer bu bir fonksiyonun türevinin grafiğiyse, o zaman onu fonksiyonun kendisinin bir "yansıması" olarak ele alın, bu size sadece o fonksiyon hakkında bilgi verir.

Görevi düşünün:

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–2;21) aralığında tanımlanır.

Aşağıdaki soruları cevaplayacağız:

1. Fonksiyon parçanın hangi noktasındadır? F(X) kabul eder en yüksek değer.

Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun türevi negatiftir; bu, bu aralıktaki fonksiyonun azaldığı anlamına gelir (aralığın sol sınırından sağa doğru azalır). Böylece fonksiyonun en büyük değeri parçanın sol sınırında, yani 7 noktasında elde edilir.

Cevap: 7

2. Fonksiyon segmentin hangi noktasındadır? F(X)

İle bu program türev olarak şunu söyleyebiliriz. Belirli bir aralıkta fonksiyonun türevi pozitiftir, yani bu aralıktaki fonksiyon artar (aralığın sol sınırından sağa doğru artar). Böylece, en küçük değer fonksiyon doğru parçasının sol sınırında, yani x = 3 noktasında elde edilir.

Cevap: 3

3. Fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun F(X)

Maksimum noktalar, türev işaretinin pozitiften negatife değiştiği noktalara karşılık gelir. Bu şekilde burcun nerede değiştiğini düşünelim.

(3;6) segmentinde türev pozitif, (6;16) segmentinde ise negatiftir.

(16;18) segmentinde türev pozitif, (18;20) segmentinde ise negatiftir.

Böylece, belirli bir parça üzerinde fonksiyonun iki maksimum noktası x = 6 ve x = 18'dir.

Cevap: 2

4. Fonksiyonun minimum puan sayısını bulun F(X), segmentine aittir.

Minimum noktalar, türev işaretinin negatiften pozitife değiştiği noktalara karşılık gelir. Türevimiz (0;3) aralığında negatif, (3;4) aralığında pozitiftir.

Dolayısıyla, fonksiyonun segment üzerinde yalnızca bir minimum noktası x = 3 vardır.

*Cevabı yazarken dikkatli olun - x değeri değil, puan sayısı kaydedilir; dikkatsizlik nedeniyle böyle bir hata yapılabilir.

Cevap 1

5. Fonksiyonun ekstremum noktalarının sayısını bulun F(X), segmentine aittir.

Lütfen ne bulmanız gerektiğini not edin miktar uç noktalar (bunlar hem maksimum hem de minimum noktalardır).

Ekstrem noktalar, türevin işaretinin değiştiği noktalara karşılık gelir (pozitiften negatife veya tersi). Koşulda verilen grafikte bunlar fonksiyonun sıfırlarıdır. Türev 3, 6, 16, 18 noktalarında sıfırdır.

Dolayısıyla fonksiyonun segment üzerinde 4 ekstremum noktası vardır.

Cevap: 4

6. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X)

Bu fonksiyonun artış aralıkları F(X) türevinin pozitif olduğu aralıklara, yani (3;6) ve (16;18) aralıklarına karşılık gelir. Lütfen aralığın sınırlarının buna dahil olmadığını unutmayın ( yuvarlak parantez– kenarlıklar aralığa dahil edilmez, kare olanlar dahil edilir). Bu aralıklar 4, 5, 17 tamsayı noktalarını içerir. Toplamları: 4 + 5 + 17 = 26

Cevap: 26

7. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X) belirli bir aralıkta. Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Bir fonksiyonun aralıklarının azaltılması F(X) fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bu problemde bunlar (–2;3), (6;16), (18:21) aralıklarıdır.

Bu aralıklar şu tam sayı noktalarını içerir: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Toplamları:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Cevap: 140

*Sınırların aralığa dahil olup olmadığına dikkat edin. Eğer sınırlar dahil edilmişse, çözüm sürecinde dikkate alınan aralıklarda bu sınırların da dikkate alınması gerekir.

8. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X)

Artan fonksiyon aralıkları F(X) fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bunları daha önce belirtmiştik: (3;6) ve (16:18). Bunların en büyüğü (3;6) aralığıdır, uzunluğu 3'tür.

Cevap: 3

9. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X). Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Bir fonksiyonun aralıklarının azaltılması F(X) fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bunları daha önce belirtmiştik; bunlar (–2;3), (6;16), (18;21) aralıklarıdır, uzunlukları sırasıyla 5, 10, 3'tür.

En büyüğünün uzunluğu 10'dur.

Cevap: 10

10. Fonksiyonun grafiğine teğet olan noktaların sayısını bulun F(X) y = 2x + 3 düz çizgisine paralel veya çakışıyor.

Teğet noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir. Teğet y = 2x + 3 düz çizgisine paralel olduğundan veya onunla çakıştığından açısal katsayıları 2'ye eşittir. Bu, y′(x 0) = 2 olduğu noktaların sayısını bulmak gerektiği anlamına gelir. Geometrik olarak bu, türev grafiğinin y = 2 düz çizgisiyle kesişme noktalarının sayısına karşılık gelir. Bu aralıkta böyle 4 nokta vardır.

Cevap: 4

11. Fonksiyonun ekstrem noktasını bulun F(X), segmentine aittir.

Bir fonksiyonun ekstrem noktası, türevinin sıfıra eşit olduğu noktadır ve bu noktanın yakınında türev işaret değiştirir (pozitiften negatife veya tersi). Segment üzerinde türev grafiği x eksenini keser, türevin işareti negatiften pozitife değişir. Bu nedenle x = 3 noktası bir ekstrem noktadır.

Cevap: 3

12. y = f(x) grafiğine teğetlerin apsis eksenine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktaların apsisini bulun. Cevabınızda bunlardan en büyüğünü belirtin.

Y = f(x) grafiğinin teğeti, yalnızca türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda (bunlar uç noktalar olabilir veya) x eksenine paralel olabilir veya onunla çakışabilir. sabit noktalar, türevinin işaretini değiştirmediği yakın çevrede). Bu grafik 3, 6, 16,18 noktalarında türevin sıfır olduğunu göstermektedir. En büyüğü 18'dir.

Mantığınızı şu şekilde oluşturabilirsiniz:

Teğet noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir. Teğet x eksenine paralel veya çakıştığı için, eğim 0'a eşittir (gerçekte açının tanjantı sıfır derecedir) sıfıra eşit). Bu nedenle eğimin sıfıra eşit olduğu ve dolayısıyla türevin sıfıra eşit olduğu noktayı arıyoruz. Grafiğinin x eksenini kestiği noktada türev sıfıra eşittir ve bunlar 3, 6, 16,18 noktalarıdır.

Cevap: 18

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–8;4) aralığında tanımlanır. Fonksiyon [–7;–3] segmentinin hangi noktasındadır? F(X) en küçük değeri alır.

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–7;14) aralığında tanımlanır. Fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun F(X), [–6;9] segmentine aittir.

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–18;6) aralığında tanımlanır. Fonksiyonun minimum noktalarının sayısını bulun F(X), [–13;1] segmentine ait.

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–11; –11) aralığında tanımlanır. Fonksiyonun ekstremum noktalarının sayısını bulun F(X), segmente ait [–10; -10].

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–7;4) aralığında tanımlanır. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X). Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–5;7) aralığında tanımlanır. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X). Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Şekilde bir grafik gösterilmektedir y =F'(X)- bir fonksiyonun türevi F(X), (–11;3) aralığında tanımlanır. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun F(X). Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

F Şekilde bir grafik gösterilmektedir

Sorunun koşulları aynıdır (ki bunu değerlendirdik). Üç sayının toplamını bulun:

1. f(x) fonksiyonunun ekstremum değerlerinin karelerinin toplamı.

2. f(x) fonksiyonunun maksimum noktalarının toplamı ile minimum noktalarının toplamının kareleri arasındaki fark.

3. y doğrusuna paralel f(x)'e teğetlerin sayısı = –3x + 5.

Doğru cevabı veren ilk kişiye 150 ruble teşvik ödülü verilecek. Cevaplarınızı yorumlara yazın. Bu, blogdaki ilk yorumunuzsa hemen görünmeyecektir, ancak biraz sonra görünecektir (merak etmeyin, yorumun yazıldığı zaman kaydedilmektedir).

Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitsikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

B8. Birleşik Devlet Sınavı

1. Şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği ve bu grafiğe apsis x0 noktasında çizilmiş bir teğet gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun. Cevap: 2

2.

Cevap: -5

3.

(–9;4) aralığında.

Cevap:2

4.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun Cevap: 0,5

5. y = 3x + 8 doğrusunun teğet noktasını ve y = x3+x2-5x-4 fonksiyonunun grafiğini bulun. Cevabınızda bu noktanın apsisini belirtin. Cevap: -2

6.

F(x) fonksiyonunun türevinin negatif olduğu argümanın tamsayı değerlerinin sayısını belirleyin. Cevap: 4

7.

Cevap: 2

8.

f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetinin y=5–x düz çizgisine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktaların sayısını bulun. Cevap: 3

9.

Aralık (-8; 3).

Düz çizgi y = -20. Cevap: 2

10.

Cevap: -0,5

11

Cevap 1

12. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun. Cevap: 0,5

13. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun. Cevap: -0,25

14.

f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetinin y = x+7 düz çizgisine paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun. Cevap: 4

15

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun. Cevap: -2

16.

aralığı (-14;9).

f(x) fonksiyonunun [-12;7] doğru parçası üzerindeki maksimum noktalarının sayısını bulun. Cevap: 3

17

(-10;8) aralığında.

f(x) fonksiyonunun [-9;7] doğru parçası üzerindeki uç noktalarının sayısını bulun. Cevap: 4

18. y = 5x-7 doğrusu, y = 6x2 + bx-1 fonksiyonunun grafiğine apsisi 0'dan küçük olan bir noktada değiyor. b'yi bulun. Cevap: 17

19

Cevap:-0,25

20

Cevap: 6

21. y=x2+6x-7 fonksiyonunun grafiğinin y=5x+11 doğrusuna paralel olan teğetini bulun. Cevabınızda teğetlik noktasının apsisini belirtin. Cevap: -0,5

22.

Cevap: 4

23. F "(x) (-16;4) aralığında.

[-11;0] segmentinde fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun. Cevap: 1

B8 Fonksiyonların grafikleri, fonksiyonların türevleri. Fonksiyon Araştırması . Birleşik Devlet Sınavı

1. Şekilde y=f(x) fonksiyonunun bir grafiği ve bu grafiğe apsis x0 olan noktada çizilen bir teğet gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

2. Şekilde (-6; 5) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

Segmentin hangi noktasında [-5; -1] f(x) en küçük değeri alır mı?

3. Şekilde tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

(–9;4) aralığında.

f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetinin düz çizgiye paralel olduğu noktaların sayısını bulun

y = 2x-17 veya onunla çakışıyor.

4. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun

5. y = 3x + 8 doğrusunun teğet noktasını ve y = x3+x2-5x-4 fonksiyonunun grafiğini bulun. Cevabınızda bu noktanın apsisini belirtin.

6. Şekilde (-7; 5) aralığında tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir.

F(x) fonksiyonunun türevinin negatif olduğu argümanın tamsayı değerlerinin sayısını belirleyin.

7. Şekilde (-8; 8) aralığında tanımlanan y=f "(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir.

f(x) fonksiyonunun [-4; parçasına ait ekstremum noktalarının sayısını bulun; 6].

8. Şekilde (-8; 4) aralığında tanımlanan y = f "(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir.

f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetinin y=5–x düz çizgisine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktaların sayısını bulun.

9. Şekilde tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

Aralık (-8; 3).

Fonksiyonun grafiğine teğetinin paralel olduğu noktaların sayısını bulun

Düz çizgi y = -20.

10. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

11 . Şekilde (-9;9) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

$f(x)$ fonksiyonunun [-6;8] aralığındaki minimum nokta sayısını bulun. 1

12. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

13. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

14. Şekilde (-6;8) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetinin y = x+7 düz çizgisine paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

15 . Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada ona teğetini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

16. Şekil f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini göstermektedir.

aralığı (-14;9).

f(x) fonksiyonunun [-12;7] doğru parçası üzerindeki maksimum noktalarının sayısını bulun.

17 . Şekilde tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir.

(-10;8) aralığında.

f(x) fonksiyonunun [-9;7] doğru parçası üzerindeki uç noktalarının sayısını bulun.

18. y = 5x-7 doğrusu, y = 6x2 + bx-1 fonksiyonunun grafiğine apsisi 0'dan küçük olan bir noktada değiyor. b'yi bulun.

19 . Şekil f(x) fonksiyonunun türevinin ve ona apsis x0 noktasındaki teğetinin grafiğini göstermektedir.

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

20 . Grafikte gösterilen y = f(x) fonksiyonunun türevinin 0'a eşit olduğu (-1;12) aralığındaki noktaların sayısını bulun.

21. y=x2+6x-7 fonksiyonunun grafiğinin y=5x+11 doğrusuna paralel olan teğetini bulun. Cevabınızda teğetlik noktasının apsisini belirtin.

22. Şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu (-2;11) aralığındaki tamsayı noktalarının sayısını bulun.

23. Şekil y= fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. F "(x) (-16;4) aralığında.

[-11;0] segmentinde fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun.