bunda pratik ders birkaçı dikkate alınacak tipik örneklerçözüm yöntemlerini gösteren trigonometrik denklemler ve onların sistemleri.

Bu ders görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır B5 ve C1.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık

Deney

Ders 10. Trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik denklemler ve sistemleri.

Pratik

Ders özeti

Dersin ana bölümünü trigonometrik denklemleri ve sistemleri çözmeye ayıracağız ancak denklem çözmeyle ilgili olmayan trigonometrik fonksiyonların özelliklerine ilişkin görevlerle başlayacağız. Karmaşık argümanlarla trigonometrik fonksiyonların periyodunu hesaplamayı düşünelim.

Görev No.1. Fonksiyonların periyodunu hesaplayın a) ; B) .

Derste verilen formülleri kullanalım.

a) Bir fonksiyon için dönem . Bizim durumumuzda, yani. .

b) Fonksiyon için dönem . Bizimle çünkü argüman yalnızca üçe bölünerek değil aynı zamanda ile çarpılarak da temsil edilebilir. Fonksiyonla yapılan diğer işlemler (ile çarpmak, 1 eklemek) argümanı etkilemez, dolayısıyla ilgilenmiyoruz.

Bunu anlıyoruz

Cevap. A) ; B) .

Uygulamamızın ana kısmına geçelim ve trigonometrik denklemleri çözmeye başlayalım. Kolaylık olması açısından derste ana denklem türlerini listelerken bahsettiğimiz örneklerin çözümlerini analiz edeceğiz.

Görev No.2. Denklemi çözün: a) ; B) ; V) ; G) .

Bu tür denklemlerin köklerini bulmak için genel çözümlere yönelik formüller kullanırız.

Yay fonksiyonunun değerlerini hesaplamak için, bir önceki derste detaylı olarak tartıştığımız yay tanjantının tuhaflığını ve trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanıyoruz. Bu eylemler üzerinde ayrıca durmayacağız.

d) Bir denklemi çözerken aşağıdaki genel formülü kullanarak yazmak isterim: ancak bu yapılamaz. Burada denklemin çözümünün başlangıcında kontrol edilen kosinüs değerlerinin aralığını kontrol etmek temel olarak önemlidir.

Çünkü Fonksiyonun değer aralığında yer almayan bu nedenle denklemin çözümü yoktur.

Anlamı karıştırmamak önemlidir. tablo değeri kosinüs, dikkatli ol!

Yorum. Çoğu zaman, trigonometrik denklem ve sistem problemlerini çözerken, sonsuz bir kök ailesini gösteren genel bir çözümü belirtmek yerine, bunlardan yalnızca belirli bir değer aralığında yer alan birkaçını seçmek gerekir. Bu adımları “c” noktasına verilen cevap örneğini kullanarak yapalım.

“c” noktasına ek görev. Denklemin aralığa ait kök sayısını belirtiniz ve listeleyiniz.

Genel çözümü zaten biliyoruz:

Belirtilen aralığa ait kökleri belirtmek için yerine tek tek yazılmalıdır. belirli değerler parametre. 'dan başlayarak tamsayıları değiştireceğiz çünkü Sıfıra yakın bir aralıktaki köklerle ilgileniyoruz.

Değiştirildiğinde daha fazlasını elde ederiz daha yüksek değer root olduğundan bunu yapmanın bir anlamı yok. Şimdi negatif değerleri değiştirelim:

Aynı sebeplerden dolayı ikame etmenin bir anlamı yok. Dolayısıyla denklemin belirtilen aralığa ait tek kökünü bulduk.

Cevap. ; belirtilen aralık denklemin kökünün bir değerini içerir.

Denklem köklerinin belirli değerlerini arama sorununun benzer bir formülasyonu diğer türdeki görevlerde de bulunabilir; ayrıca bununla zaman kaybetmeyeceğiz. Gerekli köklerin aranması her zaman aynı şekilde yapılacaktır. Bazen bu amaçla trigonometrik bir daire tasvir edilir. Aralığa giren “a” ve “b” noktalarından denklemlerin köklerini dairenin üzerine çizmeye çalışın.

Görev No.3. Denklemi çözün.

Kökleri bulma yöntemini kullanalım. trigonometrik daire derste gösterildiği gibi.

Dairenin üzerine hangi açılara karşılık gelen noktalar çiziyoruz. Böyle tek bir açı var.

Belirtilen noktaya karşılık gelen açının ilk değeri, başlangıç ​​noktası olan ışın üzerinde bulunan noktadır. Daha sonra aynı noktaya tekrar ancak farklı bir açı değeriyle ulaşmak için, bulunan ilk kökü ekleyip bir sonraki kökü almanız gerekir. . Bir sonraki kökü elde etmek için aynı işlemi vb. gerçekleştirmelisiniz.

Böylece, denklemin tüm köklerini elde etmek için, herhangi bir tam sayının ilk değere defalarca eklenmesi gerektiğini gösterecek genel bir çözüm gösterebiliriz:

Formdaki denklemlerin de benzer şekilde çözülebileceğini hatırlayalım:

Görev No.4. Denklemi çöz .

Karmaşık bir argümanın varlığı, denklemin aslında en basit olduğu ve çözüme yaklaşımın aynı kaldığı gerçeğini değiştirmez. Artık sadece bir argüman görevi görüyor. Bunu formüle yazıyoruz genel çözüm:

Sorun #5. Denklemi çöz .

En önemli şey önlemek tipik hata ve denklemin her iki tarafını da azaltmayın çünkü bu durumda denklemin köklerini kaybedeceğiz. Çözüme yetkin bir yaklaşım, tüm ifadeleri bir tarafa taşımayı ve ortak bir faktörü eklemeyi içerir.

Bu aşamada, eğer çarpım sıfıra eşitse, faktörlerden herhangi birinin olması durumunda bunun mümkün olduğunu hatırlamak gerekir. sıfıra eşit, veya başka biri. Böylece denklemimiz bir dizi denkleme dönüşür:

İlk denklemi şu şekilde çözüyoruz: özel durum en basit denklem. Kendiniz yapın, bitmiş sonucu yazacağız. İkinci denklemde ise karmaşık bir argümanla onu en basit haline getirip genel kök formülünü kullanarak çözecek işlemler yapacağız.

Lütfen kayıt yaparken bu nüansa dikkat edin genel formül ikinci denklemin kökleri için başka bir parametre "" kullanıyoruz. Bunun nedeni, bir dizi bağımsız denklemi çözüyor olmamız ve herhangi bir denklemin olmaması gerektiğidir. genel parametreler. Sonuç olarak iki bağımsız çözüm ailesi elde ederiz.

Cevap. ; .

Sorun #6. Denklemi çözün.

Basitleştirmek için trigonometrik fonksiyonların çarpımını toplama dönüştürmek için formülü kullanacağız.

Kosinüsün paritesinden yararlanalım ve denklemin iki tarafındaki aynı terimi iptal edelim.

Her şeyi bir tarafa taşıyalım ve sıfıra eşit olacak fonksiyonların çarpımını elde etmek için kosinüs farkı formülünü kullanalım. Bunun formülünü uygulayalım .

Denklemin her iki tarafını da şu şekilde azaltalım:

Denklemi önceki örnekte elde ettiğimiz çarpım formuna indirgedik. Bunu kendiniz çözmenizi öneririz. Son cevabı belirtelim.

Prensip olarak bu son cevaptır. Bununla birlikte, iki yerine tek bir çözüm ailesi olarak daha kısa bir şekilde yazılabilir. İlk çözüm, parçaların tüm çeyreklerini gösterir ve ikincisi, parçaların tüm yarımlarını içerir, ancak yarım, iki çeyrek olduğundan yarımlar çeyreklere dahil edilir. Böylece, ikinci kök ailesi birinciye dahil edilir ve nihai cevap, birinci çözüm ailesi tarafından tanımlanabilir.

Bu argümanları daha iyi anlamak için, elde edilen kökleri trigonometrik bir daire üzerinde çizmeyi deneyin.

Cevap. veya .

Trigonometrik fonksiyonların dönüşümlerini kullanarak bir denkleme baktık, ancak bunların çok çeşitli ve dönüşüm türleri var. Evrensel kullanma denklemi trigonometrik ikame Geçen derste bir örneğini vermediğimiz bu yöntemi değiştirme yöntemini inceledikten sonra ele alacağız.

Sorun No. 7. Denklemi çözün.

İÇİNDE bu durumdaönce denklemi bir taneye indirgemeye çalışmalısınız trigonometrik fonksiyon. Çünkü trigonometrik birim kullanılarak kolayca ifade edilirse denklemi kolaylıkla sinüslere indirgeyebiliriz.

İfadeyi yerine koyalım denklemimize:

Her şey tek bir işleve indirgendiğinden, değiştirme işlemini gerçekleştirebiliriz: .

Sizin için uygun olan herhangi bir şekilde kolayca çözülebilecek ikinci dereceden bir denklem elde ettik, örneğin Vieta teoremini kullanarak şunu elde etmek kolaydır:

İlk denklemin çözümü yok çünkü sinüs değeri ötesinde geçerli alan.

İkinci denklemi kendi başınıza çözmenizi öneririz, çünkü... Bu, daha önce ele aldığımız en basit denklemlerin özel durumları türüdür. Köklerini yazalım:

Cevap. .

Sorun No. 8. Denklemi çözün.

Bu denklemde daha önce ele aldığımız çözüm yöntemleri hemen görülmez. Bu gibi durumlarda, denklemi tek bir fonksiyona indirgemeye yardımcı olacak evrensel trigonometrik ikame formüllerini uygulamaya çalışmalısınız.

Denklemin tamamını noktasına getirecek olan ve formüllerini kullanalım.

Artık bir değiştirme yapmanın mümkün olduğu açıktır.

Kesirleri toplayalım ve denklemin her iki tarafını da paydayla çarpalım, çünkü sıfıra eşit değildir.

Denklemi daha önce tartışılan forma indirgedik; sıfıra eşit olan faktörlerin çarpımına.

Ters yerine koyma işlemini yapalım:

Ortaya çıkan her iki çözüm ailesi de kolayca tek bir çözümde birleştirilebilir:

Cevap. .

Sorun No. 9. Denklemi çözün. Cevabınızda yalnızca 'nin katları olan kökleri belirtin.

Belirtilen denklem, trigonometrik birim formülü kullanılarak yapmak istendiği gibi sinüs veya kosinüslere indirildikten sonra daha karmaşık hale gelir. Bu nedenle başka bir yöntem kullanılır.

Belirtilen denkleme homojen adını verdik, bilinmeyen fonksiyon veya değişkenler yeniden düzenlendikten sonra hiçbir şeyin değişmeyeceği denklemlere verilen addır. Sinüs ve kosinüsün yerini değiştirin, bizim durumumuzun bu olduğunu göreceksiniz.

Homojen denklemler, her iki tarafın fonksiyonun en büyük kuvvetine bölünmesiyle çözülür. Bizim durumumuzda ya ya da. En çok hoşumuza gideni seçip denklemin her iki tarafını da ona bölüyoruz. Mesela şunu ele alalım. Bu durumda, böyle bir bölme sırasında karşılık gelen kökleri kaybedip kaybetmeyeceğimizi kontrol etmek zorunludur. . Bunu yapmak için önce orijinal denklemde yerine koyun.

Bir özdeşlik elde edemediğimiz için denklemimizin kökleri uyuşmayacaktır.

Artık güvenle şu şekilde bölebiliriz:

Denklemi ikameye indirgedik ve bu çözüm yöntemi zaten dikkate alındı. Dedikleri gibi “çaydanlıktaki suyu boşaltalım” ve sorunu bilinen boyuta indirgeyelim. Daha ileriye kendiniz karar verin. Nihai cevabı belirteceğiz:

Problem ifadesinde yalnızca birden çok kökü belirtmemiz gerektiğinden, yanıt olarak yalnızca ilk çözüm ailesini yazacağız.

Sorun No. 10. Denklemi çöz .

Bu denklem iki bilinmeyen içermesi nedeniyle şaşırtıcıdır ancak bildiğimiz gibi şu şekilde çözülebilir: genel durum böyle bir denklem imkansızdır. Diğer bir sorun da bu denklemin daha önce tartışılanlardan temel olarak farklı olmasıdır, çünkü içindeki bilinmeyen yalnızca trigonometrik fonksiyonun argümanında değildir.

Bunu çözmek için sol ve sağda eşit olan fonksiyonların özelliklerine dikkat edelim. Özellikle bu fonksiyonların hangi değerlerle sınırlı olduğuyla ilgileniyoruz.

Kosinüs için değer aralığını biliyoruz:

İkinci dereceden bir fonksiyon için:

Bundan, bu ifadelerin yalnızca bir tane olabileceği sonucuna varabiliriz. genel anlam, her biri 1'e eşit olduğunda. Bir denklem sistemi elde ederiz:

Her iki denklemin de bağımsız olduğu ve her birinin bir değişken içerdiği ortaya çıktı, dolayısıyla zaten bildiğimiz yöntemler kullanılarak kolayca çözülebilirler.

Elbette bu yöntem açık değildir ve görev, görevlerle ilgilidir. artan karmaşıklık. Bu yöntem bazen "mini-maks" olarak da adlandırılır, çünkü minimumun eşitliği ve maksimum değer işlevler.

Şimdi trigonometrik denklem sistemlerini çözmek için ayrı ayrı yöntemleri ele alacağız. Bunları çözme yöntemleri standarttır, sadece trigonometrik fonksiyonların dönüşümleri için formüller kullanacağız. Bu tür sistemlerin en yaygın türlerine bakalım.

Sorun No. 11. Denklem sistemini çözme .

Değiştirme yöntemiyle çözeriz, örneğin daha basit bir doğrusal denklemle ifade ederiz ve bunu ikinci denklemde yerine koyarız:

İkinci denklemde sinüsün periyodunu kullanıyoruz, yani. kaldırılabilir ve sinüs tek işlev yani bundan bir eksi çıkarılır.

Ekleme formülüne göre harmonik titreşimler ikinci denklemi bir trigonometrik fonksiyona indirgedik. Bu dönüşümleri kendiniz deneyin.

Ortaya çıkan çözümü aşağıdaki ifadenin yerine koyalım:

Bu durumda her iki çözüm ailesi için de aynı parametreyi kullanırız çünkü birbirlerine bağımlıdırlar.

Basit trigonometrik denklem sistemleri.

Sorun No. 12. Denklem sistemini çözme .

Sistemdeki her iki denklem de en basit denklemlerin özel durumlarıdır, nasıl çözüleceğini biliyoruz ve sistem hızla doğrusala indirgenir.

Her iki denklemdeki parametreler farklıdır çünkü denklemleri birbirinden bağımsız çözdük ve değişkenler henüz birbiri üzerinden ifade edilmedi.

Şimdi karar verelim doğrusal sistem Tercihinize göre değiştirme veya ekleme yöntemini kullanarak bu adımları kendiniz yapın. Nihai sonucu belirtelim.

Değişkenler aynı anda iki parametreye bağlı olduğunda sistemin çözümünün kaydedilmesine dikkat edin. Yazmak için sayısal değerler Bu durumda parametrelerin birbirine bağlı olmayan tüm tamsayı değerleri sırasıyla değiştirilir.

Dersin bu pratik bölümünde trigonometrik denklemleri ve sistemlerini çözme yöntemlerini gösterdiğimiz birkaç tipik örneğe baktık.

Dersler 54-55. Trigonometrik denklem sistemleri ( seçmeli etkinlik)

Hedef: en fazlasını düşün tipik sistemler trigonometrik denklemler ve bunları çözme yöntemleri.

I. Dersin konusunun ve amacının aktarılması

II. İşlenen konunun tekrarı ve pekiştirilmesi

1. Şununla ilgili soruların yanıtları: Ev ödevi(çözülmemiş sorunların analizi).

2. Materyalin asimilasyonunun izlenmesi (bağımsız çalışma).

Seçenek 1

Eşitsizliği çözün:

Seçenek 2

Eşitsizliği çözün:

III. Yeni materyal öğrenme

Sınavlarda trigonometrik denklem sistemleri, trigonometrik denklemler ve eşitsizliklerden çok daha az yaygındır. Trigonometrik denklem sistemlerinin net bir sınıflandırması yoktur. Bu nedenle onları şartlı olarak gruplara ayıracağız ve bu sorunları çözmenin yollarını düşüneceğiz.

1. En basit denklem sistemleri

Bunlar, denklemlerden birinin doğrusal olduğu veya sistemin denklemlerinin birbirinden bağımsız olarak çözülebildiği sistemleri içerir.

Örnek 1

Denklem sistemini çözelim

İlk denklem doğrusal olduğundan değişkeni ondan ifade ediyoruzve ikinci denklemde yerine koyalım:İndirgeme formülünü ve temel prensibi kullanıyoruz. trigonometrik özdeşlik. Denklemi elde ederiz veya Yeni bir değişken tanıtalım t = günah sen. İkinci dereceden denklemimiz 3 var 2 - 7 ton + 2 = 0, kökleri t1 = 1/3 ve t2 = 2 (uygun değil çünkü günah y ≤ 1). Eski bilinmeyene dönelim ve denklemi elde edelim günahkar = 1/3, çözümüArtık bilinmeyeni bulmak çok kolay:Yani denklem sisteminin çözümleri var burada n ∈ Z.

Örnek 2

Denklem sistemini çözelim

Sistemin denklemleri bağımsızdır. Bu nedenle her denklemin çözümlerini yazabiliriz. Şunu elde ederiz:Bu sistemin denklemlerini terim terim toplayıp çıkaralım. doğrusal denklemler ve şunu bulun:Neresi

Denklemlerin bağımsızlığı nedeniyle x - y ve x + y'yi bulurken farklı tamsayıların belirtilmesi gerektiğini lütfen unutmayın. n ve k. k yerine ayrıca tedarik edildi N o zaman çözümler şöyle görünecektir:Bu durumda kaybolacaktır sonsuz küme Kararlar ve ayrıca değişkenler arasında bir bağlantı olacaktır. X ve y: x = 3y (gerçekte durum böyle değildir). Örneğin, bunu kontrol etmek kolaydır bu sistem x = 5π ve y = n (elde edilen formüllere göre) çözümüne sahiptir; k = n bulmak imkansız. Bu yüzden dikkatli olun.

2. Tip sistemleri

Bu tür sistemler denklemlerin toplanması ve çıkarılmasıyla en basit hale getirilir. Bu durumda sistemleri elde ederiz.veya Açık bir sınırlamaya dikkat edelim: Ve Bu tür sistemlerin çözümü kendi başına herhangi bir zorluk yaratmaz.

Örnek 3

Denklem sistemini çözelim

Öncelikle sistemin ikinci denklemini eşitliği kullanarak dönüştürelim.Şunu elde ederiz: İlk denklemi bu kesrin payına koyalım:ve ifade et Artık bir denklem sistemimiz varBu denklemleri toplayıp çıkaralım. Sahibiz: veyaBu basit sistemin çözümlerini yazalım:Bu doğrusal denklemleri toplayıp çıkararak şunları buluruz:

3. Tip sistemleri

Bu tür sistemler en basit olarak kabul edilebilir ve buna göre çözülebilir. Ancak bunu çözmenin başka bir yolu daha var: Trigonometrik fonksiyonların toplamını bir çarpıma dönüştürün ve kalan denklemi kullanın.

Örnek 4

Denklem sistemini çözelim

İlk olarak, açıların sinüslerinin toplamı formülünü kullanarak ilk denklemi dönüştürüyoruz. Şunu elde ederiz:İkinci denklemi kullanarak şunu elde ederiz:Neresi Bu denklemin çözümlerini yazalım:Bu sistemin ikinci denklemini dikkate alarak bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.Bulduğumuz bu sistemden Bu tür çözümleri daha fazla yazmak uygundur rasyonel biçim. Üst işaretler için elimizde:alt işaretler için -

4. Tip sistemleri

Öncelikle sadece bir bilinmeyen içeren bir denklem elde etmek gerekir. Bunu yapmak için örneğin bir denklemden ifade edelim sin y, başkasından - çünkü sen. Bu oranların karesini alıp toplayalım. Sonra bilinmeyen x'i içeren bir trigonometrik denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim. Daha sonra bu sistemin herhangi bir denklemini kullanarak bilinmeyen y'yi bulmak için bir denklem elde ederiz.

Örnek 5

Denklem sistemini çözelim

şeklinde sistemi yazalım.Sistemin her denkleminin karesini alalım ve şunu elde edelim:Bu sistemin denklemlerini toplayalım: veya Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak denklemi şu şekilde yazıyoruz: veya Bu denklemin çözümleriçünkü x = 1/2 (bu durumda ) ve cos x = 1/4 (buradan ), burada n, k ∈ Z . Bilinmeyenler arasındaki bağlantı göz önüne alındığında cos y = 1 – 3 cos x, şunu elde ederiz: cos x = 1/2 cos y = -1/2 için; cos x = 1/4 cos y için = 1/4. Bir denklem sistemini çözerken kare alma işleminin gerçekleştirildiği ve bu işlemin şu görünüme yol açabileceği unutulmamalıdır: yabancı kökler. Bu nedenle, bu sistemin ilk denklemini hesaba katmak gerekir; bundan çıkan miktarlar günah x ve günah aynı işarete sahip olmalısınız.

Bunu hesaba katarak bu denklem sisteminin çözümlerini elde ederiz.Ve burada n, m, k, l ∈ Z . Bu durumda bilinmeyen x ve y için üst veya alt işaretlerden biri aynı anda seçilir.

Özel bir durumdasistem, trigonometrik fonksiyonların toplamını (veya farkını) bir çarpıma dönüştürerek ve ardından denklemleri terime bölerek çözülebilir.

Örnek 6

Denklem sistemini çözelim

Her denklemde fonksiyonların toplamını ve farkını bir çarpıma dönüştürüyoruz ve her denklemi 2'ye bölüyoruz. Şunu elde ederiz:Denklemlerin sol taraflarında tek bir faktör sıfıra eşit olmadığından denklemleri terim terime bölüyoruz (örneğin ikinciyi birinciye). Şunu elde ederiz:Neresi Bulunan değeri yerine koyalımörneğin, ilk denklemde:Bunu dikkate alalım Daha sonra Neresi

Bir doğrusal denklem sistemi elde ettikBu sistemin denklemlerini toplayıp çıkararak şunu buluruz:Ve burada n, k ∈ Z.

5. Bilinmeyenlerin değiştirilmesiyle çözülen sistemler

Sistem yalnızca iki trigonometrik fonksiyon içeriyorsa veya bu forma indirgenebiliyorsa, bilinmeyenlerin değiştirilmesinin kullanılması uygundur.

Örnek 7

Denklem sistemini çözelim

Bu sistem yalnızca iki trigonometrik fonksiyon içerdiğinden, yeni değişkenleri tanıtıyoruz: a = tan x ve b = günah sen. Bir cebirsel denklem sistemi elde ediyoruzİlk denklemden a = olarak ifade ediyoruz B +3 ve ikincinin yerine:veya Bu ikinci dereceden denklemin kökleri b 1 = 1 ve b 2 = -4. Karşılık gelen değerler a1 = 4 ve a2 = -1'dir. Eski bilinmeyenlere dönelim. İki basit trigonometrik denklem sistemi elde ederiz:

a) onun kararı burada n, k ∈ Z.

B) çözümü yok çünkü sin y ≥ -1.

Örnek 8

Denklem sistemini çözelim

Sistemin ikinci denklemini sadece fonksiyonları içerecek şekilde dönüştürelim. günah x ve cos sen. Bunu yapmak için indirgeme formüllerini kullanıyoruz. Şunu elde ederiz:(Neresi ) Ve (Daha sonra ). Sistemin ikinci denklemi şu şekildedir: veya Bir trigonometrik denklem sistemi elde ettikYeni değişkenleri tanıtalım a = sin x ve b = cos sen. Simetrik bir denklem sistemimiz var tek çözüm Hangi a = b = 1/2. Hadi eski bilinmeyenlere geri dönelim ve en basit sistem trigonometrik denklemler kimin çözümü burada n, k ∈ Z.

6. Denklem özelliklerinin önemli olduğu sistemler

Neredeyse herhangi bir denklem sistemini çözerken, özelliklerinden biri veya diğeri kullanılır. Özellikle en çok biri genel teknikler Sistemin çözümleri, yalnızca bir bilinmeyen içeren bir denklem elde etmeyi mümkün kılan özdeş dönüşümlerdir. Dönüşümlerin seçimi elbette sistem denklemlerinin özelliklerine göre belirlenir.

Örnek 9

Sistemi çözelim

Denklemlerin sol taraflarına dikkat edelim, örneğinİndirgeme formüllerini kullanarak bunu π/4 + x argümanına sahip bir fonksiyon haline getiririz. Şunu elde ederiz:O zaman denklem sistemi şöyle görünür:X değişkenini ortadan kaldırmak için denklemleri terim terimle çarparız ve şunu elde ederiz:veya 1 = sin 3 2у, dolayısıyla sin 2у = 1. Buluyoruz Ve Çift ve tek değerlerin durumlarını ayrı ayrı ele almak uygundur N. Çift n için (n = 2 k, burada k ∈ Z) Daha sonra bu sistemin ilk denkleminden şunu elde ederiz:burada m ∈ Z. Tek için Sonra elimizdeki ilk denklemden:Yani bu sistemin çözümleri var

Denklemlerde olduğu gibi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının sınırlı yapısının önemli bir rol oynadığı denklem sistemleri sıklıkla bulunur.

Örnek 10

Denklem sistemini çözelim

Öncelikle sistemin ilk denklemini dönüştürüyoruz:veya veya veya veya Sinüs fonksiyonunun sınırlı doğası dikkate alındığında denklemin sol tarafının 2'den az olmadığını görüyoruz ve sağ taraf en fazla 2. Dolayısıyla böyle bir denklem koşullara eşdeğerdir günah 2 2x = 1 ve günah 2 y = 1.

Sistemin ikinci denklemini formda yazıyoruz sin 2 y = 1 - cos 2 z veya sin 2 y = sin 2 z ve sonra sin 2 z = 1. Basit bir trigonometrik denklem sistemi elde ettikDereceyi azaltmak için formülü kullanarak sistemi şu şekilde yazıyoruz:veya Daha sonra

Elbette diğer trigonometrik denklem sistemlerini çözerken bu denklemlerin özelliklerine de dikkat etmek gerekir.

Malzemeyi indir

Materyalin tam metni için indirilebilir dosyaya bakın.
Sayfa materyalin yalnızca bir kısmını içeriyor.

Biten işler

DERECE İŞLERİ

Çok şey geçti ve artık mezunsunuz, tabi ki tezinizi zamanında yazarsanız. Ama hayat öyle bir şey ki, öğrenci olmayı bıraktığınızda, çoğunu hiç denemediğiniz tüm öğrenci sevinçlerini kaybedeceğinizi, her şeyi erteleyeceğinizi ve daha sonraya erteleyeceğinizi ancak şimdi anlıyorsunuz. Şimdi de yetişmek yerine tezin üzerinde mi çalışıyorsun? Mükemmel bir çözüm var: İhtiyacınız olan tezi web sitemizden indirin - anında bol miktarda boş zamanınız olacak!
Tezler Kazakistan Cumhuriyeti'nin önde gelen üniversitelerinde başarıyla savunuldu.
İşin maliyeti 20.000 tenge'den başlıyor

DERS ÇALIŞMALARI

Kurs projesi ilk ciddi pratik çalışmadır. Gelişime hazırlık, dersin yazılmasıyla başlar. mezuniyet projeleri. Bir öğrenci bir konunun içeriğini doğru bir şekilde sunmayı öğrenirse kurs projesi ve doğru bir şekilde hazırlarsa, gelecekte ne rapor yazarken ne de hazırlarken sorun yaşamayacaktır. tezler veya başkalarının uygulanmasıyla pratik görevler. Bu tür öğrenci çalışmalarının yazılmasında öğrencilere yardımcı olmak ve hazırlık sırasında ortaya çıkan soruları açıklığa kavuşturmak için aslında bu bilgi bölümü oluşturulmuştur.
İşin maliyeti 2.500 tenge'den başlıyor

YÜKSEK LİSANS TEZLERİ

Şu anda daha yüksek eğitim kurumları Kazakistan ve BDT ülkelerinde yüksek öğrenim düzeyi çok yaygındır mesleki eğitim, bir lisans derecesinin ardından gelen bir yüksek lisans derecesidir. Yüksek lisans programında öğrenciler, dünyanın birçok ülkesinde lisans derecesinden daha fazla tanınan ve yabancı işverenler tarafından da tanınan bir yüksek lisans derecesi elde etme hedefiyle öğrenim görmektedir. Yüksek lisans çalışmalarının sonucu savunmadır yüksek lisans tezi.
Size güncel analitik ve metinsel materyal sağlayacağız; fiyata 2 adet dahildir bilimsel makaleler ve soyut.
İşin maliyeti 35.000 tenge'den başlıyor

UYGULAMA RAPORLARI

Her türlü öğrenci stajını (eğitim, endüstri, mezuniyet öncesi) tamamladıktan sonra bir rapor gereklidir. Bu belge onay olacaktır pratik çalışmaöğrenci ve uygulama için bir değerlendirme oluşturmanın temeli. Genellikle stajla ilgili bir rapor hazırlamak için işletme hakkında bilgi toplamak ve analiz etmek, stajın yapıldığı kuruluşun yapısını ve çalışma rutinini dikkate almak ve bunları derlemek gerekir. takvim planı ve tanımlayın pratik aktiviteler.
Belirli bir işletmenin faaliyetlerinin özelliklerini dikkate alarak stajınız hakkında bir rapor yazmanıza yardımcı olacağız.

Çoğunu çözerken matematik problemleri Özellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenlerde, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür problemler arasında örneğin doğrusal ve ikinci dereceden denklemler, doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden olanlara indirgenen denklemler. Bahsedilen sorunların her birini başarılı bir şekilde çözme ilkesi şu şekildedir: Ne tür bir sorunu çözdüğünüzü belirlemeniz, istenen sonuca yol açacak gerekli eylem sırasını hatırlamanız gerekir; cevaplayın ve şu adımları izleyin.

Belirli bir problemi çözmedeki başarının veya başarısızlığın esas olarak çözülen denklem türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru yeniden üretildiğine bağlı olduğu açıktır. Elbette bunu gerçekleştirecek becerilere sahip olmak gerekir. kimlik dönüşümleri ve bilgisayar.

ile durum farklı trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek hiç de zor değil. Doğru cevaba yol açacak eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

İle dış görünüş denklemin türünü belirlemek bazen zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formül arasından doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik bir denklemi çözmek için şunları denemeniz gerekir:

1. Denklemde yer alan tüm fonksiyonları “aynı açılara” getirin;
2. Denklemi “özdeş fonksiyonlara” getirebilecek;
3. açmak sol tarafçarpanlara ayırma denklemleri vb.

düşünelim Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm diyagramı

Adım 1. Bir trigonometrik fonksiyonu bilinen bileşenler cinsinden ifade edin.

Adım 2. Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arkctg a + πn, n Є Z.

Adım 3. Bilinmeyen değişkeni bulun.

Örnek.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Çözüm.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cevap: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken değiştirme

Çözüm diyagramı

Adım 1. Denklemi azaltın cebirsel form trigonometrik fonksiyonlardan birine göre.

Adım 2. Ortaya çıkan işlevi t değişkeniyle belirtin (gerekirse t'ye kısıtlamalar getirin).

Adım 3. Ortaya çıkan cebirsel denklemi yazın ve çözün.

Adım 4. Ters değiştirme yapın.

Adım 5. En basit trigonometrik denklemi çözün.

Örnek.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Çözüm.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t+3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2, |t| koşulunu sağlamaz ≤ 1.

4) günah(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırası azaltma yöntemi

Çözüm diyagramı

Adım 1. Yer değiştirmek verilen denklem dereceyi azaltmak için formülleri kullanarak doğrusal:

günah 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi yöntem I ve II'yi kullanarak çözün.

Örnek.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Çözüm.

1) çünkü 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 · çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cevap: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen denklemler

Çözüm diyagramı

Adım 1. Bu denklemi forma indirgeyin

a) a günah x + b çünkü x = 0 ( homojen denklem birinci derece)

veya görünüme

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).

Adım 2. Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

a) çünkü x ≠ 0;

b) çünkü 2 x ≠ 0;

ve tan x denklemini elde edin:

a) tan rengi x + b = 0;

b) a ten rengi 2 x + b arktan x + c = 0.

Adım 3. Bilinen yöntemleri kullanarak denklemi çözün.

Örnek.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x – 4 = 0.

Çözüm.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x · çünkü x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, bunun anlamı

tg x = 1 veya tg x = -4.

İlk denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm diyagramı

Adım 1. Her türlü kullanarak trigonometrik formüller, bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülen bir denkleme indirgeyin.

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.

Örnek.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Çözüm.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + sin 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

İlk denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinciden çünkü denklemler x = -1/2.

x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerisi çok Daha da önemlisi, onların gelişimi hem öğrenci hem de öğretmen açısından ciddi çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. pek çok problem, trigonometrik denklemlerin çözümüyle ilişkilidir. Bu tür problemleri çözme süreci, trigonometri unsurlarının incelenmesiyle elde edilen bilgi ve becerilerin çoğunu bünyesinde barındırır.

Trigonometrik denklemler önemli yer genel olarak matematik öğretimi ve kişilik gelişimi sürecinde.

Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu eski zamanlarda denklemleri kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Trigonometrik denklemler, trigonometrik fonksiyonun işareti altında bir değişken içeren denklemlerdir. Örneğin: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Trigonometrik denklemlerin çözümü aşağıdaki alt görevlerden oluşur:

* denklemin çözümü;

* köklerin seçimi.

Bu tür denklemlerdeki cevap şu şekilde yazılır:

derece;

Radyan.

karar vermek bu türden denklemler için denklemi bir/birkaç temel trigonometrik denklemlere dönüştürmek gerekir: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Ve bu tür temel denklemlerin çözümü, bir dönüşüm tablosu kullanmak veya \[x\]'in birim çember üzerindeki konumlarını aramaktır.

Örneğin, aşağıdaki formdaki bir dönüşüm tablosu kullanılarak çözülebilen trigonometrik denklemler verilmiştir:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Cevap: \

\[\cot2x = 1,732\]

Cevap: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Cevap: \[ x = \pi/3 \]

Bir trigonometrik denklem sistemini çevrimiçi olarak nerede ücretsiz çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Özgür çevrimiçi çözücü Herhangi bir karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.