Konsept dik üçgen
Öncelikle keyfi üçgen kavramına bakalım.
Tanım 1
Buna üçgen diyeceğiz geometrik şekil bölümlerle birbirine bağlanan üç noktadan oluşur (Şekil 1).
Tanım 2
Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.
Tanım 3
Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adı verilecektir.
Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.
Şimdi doğrudan dik üçgen kavramını tanıtalım.
Tanım 4
Açılarından biri $90^\circ$'a eşitse üçgene dikdörtgen diyeceğiz.
Bu durumda dik açıya bitişik olan taraflara bacaklar, üçüncü tarafa ise hipotenüs adı verilecektir (Şekil 2).
Herhangi bir üçgende olduğu gibi, aşağıdaki teorem dikdörtgen bir üçgen için de geçerlidir:
Teorem 1
Herhangi bir noktadaki açıların toplamı keyfi üçgen 180$^\circ$'a eşittir.
Dik üçgenin özellikleri
Dik üçgenlerin temel özelliklerini teoremler şeklinde formüle edelim.
Teorem 2
Keskin köşeler keyfi bir dik üçgende toplam $90^\circ$ olur.
Kanıt.
Üçgenin dar açılarını $α$ ve $β$ ile gösterelim. O zaman üçgenimiz dik açılı olduğundan Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$α+β+90^\circ=180^\circ$
$α+β=90^\circ$
Teorem kanıtlandı.
Teorem 3
Bir dik üçgenin bir kenarı 30$^\circ$'a eşit bir dar açının karşısındaysa, bu durumda böyle bir kenar hipotenüsün yarısına eşit olacaktır.
Kanıt.
Bize $∠A=90^\circ$ ve $∠B=30^\circ$ olan bir $DAB$ dik üçgeni verilsin. Buna bir $ABC$ üçgeni ekleyelim; bir üçgene eşit$DAB$ (Şekil 3).
$∠A=90^\circ$ ve $∠B=30^\circ$ olduğundan, Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$
Benzer şekilde, $∠C=60^\circ$.
Ayrıca $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$ olduğunu da görüyoruz.
$DBC$ üçgeninin eşkenar olduğunu, dolayısıyla $DC=AB$ olduğunu buluyoruz. Bu, $DA=AC$ olduğundan $DA=\frac(1)(2) AB$ olduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Ters teorem de doğrudur:
Teorem 4
Bir dik üçgenin bir kenarı hipotenüsün yarısına eşitse, o zaman karşısındaki açı 30$^\circ$'a eşittir.
Kanıt.
Bize $∠A=90^\circ$ ve $DA=\frac(1)(2) AB$ olan bir $DAB$ dik üçgeni verilsin. Buna Şekil 3'teki gibi $DAB$ üçgenine eşit olacak $ABC$ üçgenini ekleyelim.
$DA=\frac(1)(2) AB$ ve $DA=AC$ olduğundan, $DC=DB=CB$ sonucunu elde ederiz.
$DBC$ üçgeninin eşkenar olduğunu bulduk, dolayısıyla içindeki tüm açılar $60^\circ$'a eşit. Bu, orijinal üçgende $∠B=30^\circ$ olduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Dik üçgenlerin işaretleri
Şimdi dik üçgenin özellikleri adı verilen teoremleri tanıtalım. Bu makale çerçevesinde onların delillerini değerlendirmeyeceğiz.
Teorem 5
İki dik üçgenin bacakları ikili olarak eşitse, bu üçgenler de eşittir.
Teorem 6
Bir dik üçgenin bacaklarından biri ve ona bitişik dar açı, başka bir dik üçgenin bir bacağına ve ona bitişik dar açıya eşitse, bu üçgenler de eşit olacaktır.
Sizin için birkaç görev var - koşul bir dik üçgen içeriyor. Koşul açıların hesaplanmasından bahsediyor yükseklik ile ortaortay, ortanca ve ortaç arasında, yükseklik ve ortancanın çizildiği yer dik açı.
Bu görev grubu, Birleşik Devlet Sınavının bileşimi matematik. Problemler zor değil; sadece üçgenin açılarının toplamına ilişkin teorem bilgisine, ikizkenar üçgenin özelliklerine ve biraz mantığa ihtiyacınız var. Evet! Bir uyarı var - hipotenüse çizilen medyan hakkında konuşan problemlerin bir özelliğini bilmesi gerekiyor, teori mümkün. Başlayalım!
Bir dik üçgenin bir dar açısı diğerinden 4 kat daha büyüktür. Daha büyük dar açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bir dik üçgenin daha küçük dar açısını şu şekilde gösterelim:X. O halde daha büyük olan dar açı verilen üçgen 4'e eşit olacakX.
Dik üçgenin özelliğine göre dar açılarının toplamı 90 dereceye eşittir. Buradan x + 4x = 90o denklemini elde ederiz.
Hesaplıyoruz, 5x = 90 o, x = 18 o elde ediyoruz.
Buradan daha büyük açı 18 o ∙ 4 = 72 o'ya eşit olacak
Cevap: 72
Bir dik üçgenin dar açısı 32 derecedir. Bunun ortaortaylarının oluşturduğu dar açıyı ve üçgenin dik açılarını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
COD açısını bulmamız gerekiyor. Koşullu olarak CE ve AD'nin bisektör olduğu (açıları ikiye böldüğü) bilinmektedir. Bu, CAD açısının 32° ve ACO açısının 45° olduğu anlamına gelir. Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi kullanarak AOC açısını ve ardından COD açısını bulabiliriz. Yani üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğu biliniyor.
AOC ve COD açıları bitişiktir, yani toplamları 180'dirÖ . Böylece istenen açı (bu açıortaylar arasındaki dar açı) 61 derecedir.
Cevap: 61
*Eğer içerideyse benzer görevlerÇözümün ilerleyişini hemen göremiyorsanız, ilk etapta duruma göre bulunabilecek unsurları arayın. Ve sonra bulunan değerleri kullanın.
Bir dik üçgenin dar açılarının ortaortayları arasındaki dar açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bu durumda bize C açısının dik olması dışında herhangi bir nicelik verilmiyor. Bu, onların girilmesi gerektiğini, yani içine girilmeleri gerektiğini gösterir. bu durumda bir açıyı bir değişkenle gösterebiliriz ve sonra dik üçgenin özelliklerini ve açı toplamı teoremini kullanabiliriz.
CAD açısını şu şekilde gösterelim: X. O zaman CBA açısı 90°'ye eşit olacaktır - X.
AOB üçgenini düşünün:
AOB açısını şu şekilde bulabiliriz:
Bu, açıortaylar arasındaki dar açının 45° olacağı anlamına gelir, bu bitişik köşe 135°.
Gördüğünüz gibi durumdaki sayısal değerlere her zaman ihtiyaç duyulmamaktadır. Özellikleri bilmek, mantığı açmak yeterlidir ve sorun çözülecektir.
Cevap: 45
Bir dik üçgende yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açı 21 derecedir. Bu üçgenin en küçük açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
CDH üçgeninde iki açıyı bildiğimizi hemen belirtelim. Üçgen açı toplamı teoremini kullanarak CDH açısını bulabiliriz. Yani:
Şimdi CDB üçgeninde B açısını bulabiliriz. CD bir açıortay olduğundan BCD açısı 45'tirÖ , CDB açısını bulduk.
Yani B açısı 180 o –45 o –69 o =66 o. Dik üçgenin özelliğine göre dar açılarının toplamı 90 derecedir.
Bu nedenle diğer dar açı 24'e eşit olacaktır.Ö .
Cevap: 24
Dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin ortancası ile ortancası arasındaki açı 14 derecedir. Bu üçgenin en küçük açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bize 14'e eşit bir MCD açısı veriliyorÖ . Ayrıca DCB açısını da biliyoruz, 45'e eşittirÖ , çünkü CD bir açıortaydır. MCB açısını bulabiliriz: 14 o + 45 o = 59 o.
Daha önce de söylediğimiz gibi, dik açıdan hipotenüse çizilen bir dik üçgende kenarortay bunun yarısına eşittir. Yani, bir dik üçgeni iki ikizkenar üçgene, bu durumda AMC ve BMC'ye böler. Bilindiği gibi ikizkenar üçgen tabandaki açılar eşittir, yani MBC açısıdır açıya eşit BCM. Böylece,
Yani küçük açı 31 o'dur.
Cevap: 31
Bir dik üçgenin dar açılarından biri diğerinden 32° daha büyüktür. Daha büyük dar açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
İÇİNDE ABC üçgeni C açısı 90 o'ya eşit, CH - yükseklik, A açısı 34 o'ya eşit . BCH açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bir üçgende ABC CD- medyan, açı AC.B 90°'ye eşittir, açı İÇİNDE 58 o'ya eşit. Açıyı bulun AC.D. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Dik üçgenin dar açıları 29° ve 61°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
4. Açıların sayısal değerlerinin koşulda verilmediği problemlerde, bunları değişken(ler) ile gösteriniz ve daha sonra bildiğiniz özellikleri kullanın.
5. Nasıl bir çözüm oluşturacağınızı bilmiyorsanız ve mantıksal akıl yürütme zincirini hemen göremiyorsanız, koşuldaki verilere dayanarak ne bulabileceğinizi arayın. Yeni değerlere sahip olduğunuzda, bunları kullanırken neler bulabileceğinizi de görün.
Bu kadar. Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, İskender
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Dik üçgenin dar açıları 29° ve 61°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 29 o 61 o derece cinsinden veriniz. Koşula göre ASV = 90 o; CD - açıortay ACD = BCD = 45 o 45 o ASN - dikdörtgen. ASN = 90 o – 29 o = 61 o 61 o Gerekli DCH = 61 o – 45 o = 16 o 16 o 2. çözüm yöntemi: VSN – dikdörtgen. BCH = 90 o – 61 o = 29 o 29 o Gerekli DCH = 45 o – 29 o = 16 o Cevap: Görev B6'nın prototipi (27770)
ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о In pr" title=" Bir dik üçgenin dar açıları 86 o ve 4 o'dur. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabı 86 o CD derece cinsinden verin – ABC > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V sağ." class="link_thumb"> 5 !} Dik üçgenin dar açıları 86° ve 4°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 86 o derece olarak verin. CD dikdörtgensel ABC dik açısının açıortayıdır. > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о Dikdörtgensel bir ACH'de: ACH = 90 o – 4 o = 86 o 86 o Gerekli DCH = 86 o – 45 o = 41 o Cevap: Görevler B6 (47625) PROTOTİP PROTOTİP 27770 ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о pr "> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о Dikdörtgen bir ACH'de: AСН = 90 o – 4 o = 86 o 86 o Gerekli DCH = 86 o – 45 o = 41 o Cevap : 41 1.2 Görevler B6 (47625) PROTOTİP 27770 PROTOTİP 27770 "> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о pr" title = " Bir dik üçgenin dar açıları 86 o ve 4 o'dur. Yükseklik ile bir dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açı. Cevabınızı 86 o derece cinsinden verin. CD, ABC > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V dik dik açının açıortayıdır."> title="Dik üçgenin dar açıları 86° ve 4°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 86 o derece olarak verin. CD dikdörtgensel ABC dik açısının açıortayıdır. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V sağ"> !}
Dik üçgenin dar açıları 69° ve 21°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 21 o derece cinsinden verin. Dikdörtgensel bir BCH'de: BCH = 90 o – 69 o = 21 o 69 o 21 o CD, dikdörtgensel ABC'nin dik açısının açıortayıdır. 45 o Gerekli DC Н = 45 о – 21 о = 24 о Cevap: Görevler B6 (47659) PROTOTİP PROTOTİP 27770
Dik üçgenin dar açıları 53° ve 37°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 53 o 37 o derece cinsinden verin. Dikdörtgensel bir ASN'de: ASN = 90 o – 37 o = 53 o Unutmayın: Bir dik üçgenin dik açısının tepesinden alçalan yükseklik, üçgeni iki benzer dik üçgene böler. CD, ABC dikdörtgeninin dik açısının açıortayıdır. 45 o Gerekli DC Н = 53 о – 45 о = 8 о Cevap: 8 8о8о ASN VSN 1.4 Görevler B6 (47665) PROTOTİP 27770 PROTOTİP 27770
Dik üçgenin dar açıları 67° ve 23°'dir. Yükseklik ile dik açının tepe noktasından çizilen açıortay arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı 67 veya 23 derece cinsinden verin Teorik bilgilerİpucu Çözüm 45 o ADC = 112 o; CDH = 68 o Dikdörtgen DCH'de: DCH = 90 – 68 = 22 o Cevap: o 1.5 Görevler B6 (47635) PROTOTİP 27770 PROTOTİP 27770
