Cevap: Hiperbolik fonksiyonlar - aile temel işlevler, üstel olarak ifade edilir ve trigonometrik fonksiyonlarla yakından ilişkilidir. Hiperbolik fonksiyonlar 1757'de Vincenzo Riccati tarafından tanıtıldı (Opusculorum, Cilt I). Bunları birim hiperbolün dikkate alınmasından elde etti.
Hiperbolik fonksiyonların özelliklerine ilişkin daha ileri bir çalışma Lambert tarafından gerçekleştirildi. Çeşitli integrallerin hesaplanmasında hiperbolik fonksiyonlarla sıklıkla karşılaşılır. Bazı integraller rasyonel fonksiyonlar ve radikal içeren fonksiyonlardan hiperbolik fonksiyonlar kullanılarak değişken değişiklikleri kullanılarak oldukça basit bir şekilde gerçekleştirilir. Hiperbolik fonksiyonların türevlerini bulmak kolaydır çünkü hiperbolik fonksiyonlar kombinasyonlardır. Örneğin hiperbolik sinüs ve kosinüs şu şekilde tanımlanır. 
Bu fonksiyonların türevleri şu şekildedir: 
Hiperbolik fonksiyonlar verilmiştir aşağıdaki formüller: 1)hiperbolik sinüs: 
(V yabancı edebiyat sinx ile gösterilir); 2) hiperbolik kosinüs: 
(yabancı literatürde cosx olarak adlandırılır); 3) hiperbolik tanjant: 
(yabancı literatürde tanx olarak adlandırılır); 4) hiperbolik kotanjant: 
; 5) hiperbolik sekant ve kosekant: 
Geometrik tanım: İlişki göz önüne alındığında, hiperbolik fonksiyonlar hiperbolün parametrik bir temsilini verir. Bu durumda argüman t = 2S, burada S, sektör ise “+” işaretiyle alınan OQR eğrisel üçgeninin alanıdır. OX ekseninin üzerinde yer alır ve tam tersi durumda “-” bulunur. Bu tanım buna benzer trigonometrik fonksiyonlar başından sonuna kadar birim çember, aynı şekilde de inşa edilebilir. Trigonometrik fonksiyonlarla bağlantı: Hiperbolik fonksiyonlar, hayali bir argümanın trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Analitik özellikler: Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüs baştan sona analitiktir karmaşık düzlem Sonsuzdaki esasen özel bir nokta hariç.
Türev tablosu.
Cevap:
Türev tablosu (esasen ihtiyacımız olan): 
46) Bir fonksiyonun türevi – parametrik olarak belirtilir.
Cevap:
İki x ve y değişkeninin t parametresine olan bağımlılığı şu aralıkta değişse de verilsin: Fonksiyonun tersi olsun: 
O zaman fonksiyonların bileşkesini alarak yapabiliriz 
y'nin x'e bağımlılığını elde edin: 
Y değerinin parametrik olarak belirtilen x değerine bağımlılığı, fonksiyonların türevleri aracılığıyla ifade edilebilir ve ters fonksiyonun türevi formülüne göre, 
türevi hesaplarken ilgilendiğimiz x değerinin elde edildiği parametrenin değeri nerede? Formülün uygulanmasının bizi yine parametrik ilişki olarak ifade edilen aşağıdaki ilişkiye götürdüğünü unutmayın: 
bu ilişkilerden ikincisi, katıldığımız ilişkidir. parametrik görev y(x) fonksiyonları. Türev açıkça ifade edilmese de bu durum, türevi bulma ile ilgili problemleri t parametresinin karşılık gelen değerini bularak çözmemize engel değildir. Hadi gösterelim aşağıdaki örnek. Örnek 4.22: X ve y arasındaki bağımlılık aşağıdaki formüllerle parametrik olarak verilsin: y(x) noktasındaki bağımlılığın grafiğine teğet denklemini bulun. Değerler t=1 alırsak elde edilir. x ve y'nin t parametresine göre türevlerini bulalım: Dolayısıyla 
t=1'de türevin değerini elde ederiz; bu değer belirtir; eğimİstenilen tanjantın k'si. Koordinatlar 
temas noktaları sorun bildiriminde belirtilmiştir. Bu, teğet denklemin şu şekilde olduğu anlamına gelir: Elde edilen parametrik bağımlılığa dayanarak, y fonksiyonunun x değişkenine göre ikinci türevini bulabileceğimize dikkat edin: 
Hiperbolik fonksiyonlara ilişkin referans verileri. Hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımları, grafikleri ve özellikleri. Toplamlar, farklar ve ürünler için formüller. Türevler, integraller, seri açılımları. Trigonometrik fonksiyonlarla ifadeler.
Hiperbolik fonksiyonların tanımları, tanım alanları ve değerleri
sh x - hiperbolik sinüs
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hiperbolik kosinüs
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - hiperbolik tanjant
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hiperbolik kotanjant
X ≠ 0; sen< -1 или y > +1 .
Hiperbolik fonksiyonların grafikleri
Hiperbolik sinüs grafiği y = sh x
Takvim hiperbolik kosinüs y = kanal x
Hiperbolik tanjant grafiği y = Teşekkür
Takvim hiperbolik kotanjant y = cthx
Hiperbolik fonksiyonlara sahip formüller
Trigonometrik fonksiyonlarla ilişki
sin iz = i sh z ; çünkü iz = çz
sh iz = i sin z; ç iz = çünkü z
tg iz = i inci z; bebek karyolası iz = - i cth z
bu iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
işte ben... hayali birim, ben 2 = - 1
.
Bu formülleri trigonometrik fonksiyonlara uygulayarak hiperbolik fonksiyonlarla ilgili formüller elde ederiz.
Parite
sh(-x) = - sh x;
kanal(-x) = kanalx.
inci(-x) = - inci x;
cth(-x) = - cth x.
İşlev kanal(x)- eşit. Fonksiyonlar ş(x), Teşekkür), cth(x)- garip.
Karelerin farkı
kanal 2 x - sh 2 x = 1.
Argümanların toplamı ve farkı için formüller
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
kanal 2 x = kanal 2 x + sh 2 x = 2 zn 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Hiperbolik sinüs ve kosinüs ürünleri için formüller
,
,
,
,
,
.
Hiperbolik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller
,
,
,
,
.
Hiperbolik sinüs ve kosinüs ile teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
,
,
,
.
Türevler
,
sh x, ch x, th x, cth x'in integralleri
,
,
.
Seri genişletmeler
sh x
kanal x
Teşekkür
cthx
Ters fonksiyonlar
Alansinüs
- ∞'da< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Alankosinüs
Şu tarihte: 1 ≤x< ∞
Ve 0 ≤ y< ∞
aşağıdaki formüller geçerlidir:
,
.
Alankosinüsün ikinci dalı şurada bulunur: 1 ≤x< ∞
ve - ∞< y ≤ 0
:
.
Alantanjant
- 1
< x < 1
ve - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Alankotanjant
- ∞'da< x < - 1
veya 1
< x < ∞
ve y ≠ 0
aşağıdaki formüller geçerlidir:
,
.
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Hiperbolik fonksiyonlar mekanik, elektrik mühendisliği ve diğer teknik disiplinlerde bulunur. Hiperbolik fonksiyonlara ilişkin birçok formül, sınırlılık özelliği dışında trigonometrik fonksiyonlara yönelik formüllere benzer.
| № | İşlev | İsim | Türev  |
| 1. |  | hiperbolik sinüs |  |
| 2. |  | hiperbolik kosinüs |  |
| 3. |  | hiperbolik tanjant |  |
| 4. |  | hiperbolik kotanjant |  |
Hiperbolik fonksiyonlar için formüller
1. 
.
Kanıt. Gerekli farkı ele alalım
. .
Kanıt. Hadi işe bakalım
.
Hadi işe bakalım 
.
İki ürün ekleyip benzerlerini verelim:
Başlangıcı ve sonu bağlayarak kanıtlanacak eşitliği elde ederiz: .
Hiperbolik fonksiyonların, trigonometrik fonksiyonların özelliklerine benzer, benzer şekilde kanıtlanmış başka birçok özelliği vardır.
Hiperbolik fonksiyonların türevlerinin formüllerini kanıtlayalım.
1. Hiperbolik sinüsü düşünün 
.
Türevi bulurken türev işaretinden sabiti çıkarırız. Daha sonra, ve ile iki fonksiyon arasındaki farkın türevi özelliğini uyguluyoruz. Türev tablosunu kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun: 
. Fonksiyonun türevini türev olarak arıyoruz karmaşık fonksiyon 
.
Bu nedenle türev 
.
Başlangıcı ve sonu bağlayarak kanıtlanacak eşitliği elde ederiz: 
.
2. Hiperbolik kosinüsü düşünün .
Önceki algoritmayı tamamen uyguluyoruz, yalnızca iki fonksiyonun farkının türevi ile ilgili özellik yerine bu iki fonksiyonun toplamının türevi ile ilgili özelliği uyguluyoruz. 
.
Başlangıcı ve sonu bağlayarak kanıtlanacak eşitliği elde ederiz: 
.
3. Hiperbolik tanjantı düşünün .
Bir kesrin türevini bulma kuralını kullanarak türevi buluyoruz.
4. Hiperbolik kotanjantın türevi
karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak bulunabilir 
.
Başlangıcı ve sonu bağlayarak kanıtlanacak eşitliği elde ederiz: 
.
Fonksiyon diferansiyeli
Fonksiyona izin ver 
– noktada türevlenebilirse, argümanın artışına karşılık gelen bu fonksiyonun noktadaki artışı şu şekilde temsil edilebilir:
burada belirli bir sayı bağımsızdır ve argümanın bir fonksiyonudur, ki bu da sonsuz küçüktür. 
.
Böylece fonksiyonun artması iki sonsuz küçük terimin toplamıdır 
Ve 
. İkinci dönem olduğu ortaya çıktı 
sonsuzdur küçük fonksiyon yani'dan daha yüksek dereceli (bkz. 8.1). Bu nedenle ilk dönem 
fonksiyonun artışının ana doğrusal kısmıdır . Açıklama 8.1'de. fonksiyonun arttırılması için başka bir formül (8.1.1) elde edildi , yani: . (8.1.1)
Tanım 8.3.Diferansiyel işlevler bir noktadaki artışın ana doğrusal kısmı denir, ürüne eşit türev 
bu noktada argümanın keyfi bir artışıyla gösterilir ve gösterilir (veya 
):
(8.4)
Fonksiyon diferansiyeli ayrıca denir birinci dereceden diferansiyel.
Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli bağımsız herhangi bir sayıdır. Çoğu zaman bu sayı, değişkenin artışı olarak alınır; 
. Bu, fonksiyonun diferansiyelini bulmaya yönelik kural (8.4) ile tutarlıdır.
İşlevi düşünün 
ve diferansiyelini bulun.
Çünkü türev 
. Böylece şunu elde ettik: 
ve diferansiyel fonksiyonlar formül kullanılarak bulunabilir
. (8.4.1)
Açıklama 8.7. Formül (8.4.1)'den şunu takip eder. 
Dolayısıyla notasyon yalnızca türevin notasyonu olarak anlaşılamaz. 
, aynı zamanda bağımlı ve bağımsız değişkenlerin diferansiyellerinin oranı olarak.
8.7. Diferansiyel fonksiyonun geometrik anlamı
Fonksiyonun grafiği olsun 
bir teğet çizilir (bkz. Şekil 8.1). Nokta 
fonksiyonun grafiğinde ve apsisi vardır - . Noktayı sağlayacak şekilde keyfi bir artış veriyoruz 
fonksiyon tanımının alanını terk etmedi .
Şekil 8.1 Bir fonksiyonun grafiğinin çizimi
Noktanın koordinatları var 
. Segment 
. Nokta, fonksiyonun grafiğine teğet üzerindedir. ve bir apsisi var - . Dikdörtgenden 
açı, eksenin pozitif yönü ile fonksiyonun grafiğine çizilen teğet arasındaki açıdır. noktada. Fonksiyonun diferansiyelinin tanımı gereği ve türev fonksiyonunun geometrik anlamı bu noktada şu sonuca varıyoruz 
. Böylece, geometrik anlamı diferansiyel fonksiyon diferansiyelin, fonksiyonun grafiğine teğetin ordinatındaki artışı temsil etmesidir noktada.
Açıklama 8.8. Keyfi bir fonksiyon için diferansiyel ve artış genel anlamda birbirine eşit değildir.B genel durum fonksiyonun artışı ile diferansiyeli arasındaki fark sonsuz küçüktür daha yüksek sıra argümanın artışından daha küçüktür. Tanım 8.1'den şu sonuç çıkıyor: 
yani 
.
Şekil 8.1'de, nokta fonksiyonun grafiğinde yer almaktadır. ve koordinatları var 
. Segment.
Şekil 8.1'de eşitsizlik karşılanıyor 
yani 
. Ancak bunun doğru olduğu durumlar olabilir zıt eşitsizlik 
. Bu için yapılır doğrusal fonksiyon ve yukarı doğru dışbükey bir fonksiyon için.
