Bu konuda sunulan materyal, "Rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin temel (basit) kesirlere ayrıştırılması" konusunda sunulan bilgilere dayanmaktadır. Bu materyali okumaya geçmeden önce en azından bu konuya göz atmanızı şiddetle tavsiye ederim. Ayrıca belirsiz integral tablosuna da ihtiyacımız olacak.
Size birkaç terimi hatırlatayım. İlgili başlıkta tartışıldılar, bu yüzden burada kendimi kısa bir formülasyonla sınırlayacağım.
İki polinomun $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ oranına rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir denir. Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.
Temel (en basit) rasyonel kesirler rasyonel kesirlerdir dört tip:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide
$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ikinci dereceden denklem$x^2+px+q=0$. Bu denklemin diskriminantı $D=p^2-4q$'dır. Temel olarak, $p^2-4q koşulu< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Bu arada, bu kontrol için $x^2$ öncesindeki katsayının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.
Rasyonel kesirlerin (doğru ve uygunsuz) örneklerinin yanı sıra rasyonel bir kesirin temel kesirlere ayrıştırılmasının örnekleri de bulunabilir. Burada sadece bunların entegrasyonuyla ilgili sorularla ilgileneceğiz. Temel kesirlerin entegrasyonuyla başlayalım. Dolayısıyla yukarıdaki dört temel kesir tipinin her birinin aşağıdaki formüller kullanılarak integrali alınması kolaydır. (2) ve (4) tipi kesirlerin integrali alınırken $n=2,3,4,\ldots$ varsayıldığını hatırlatmak isterim. Formül (3) ve (4), $p^2-4q koşulunun yerine getirilmesini gerektirir< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ikamesi yapılır, bundan sonra ortaya çıkan aralık şu şekilde olur: ikiye bölünmüş. Birincisi diferansiyel işaretinin altına girilerek hesaplanacak ve ikincisi $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde olacaktır. Bu integral yineleme ilişkisi kullanılarak alınır
\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)
Böyle bir integralin hesaplanması örnek 7'de tartışılmaktadır (üçüncü bölüme bakınız).
Rasyonel fonksiyonların (rasyonel kesirler) integrallerini hesaplama şeması:
- İntegral temel ise, (1)-(4) formüllerini uygulayın.
- İntegral temel değilse, onu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edin ve ardından (1)-(4) formüllerini kullanarak integral alın.
Rasyonel kesirleri entegre etmek için yukarıdaki algoritmanın yadsınamaz bir avantajı vardır - evrenseldir. Onlar. bu algoritmayı kullanarak entegre edebilirsiniz herhangi rasyonel kesir. Belirsiz integraldeki değişkenlerin neredeyse tüm değişikliklerinin (Euler, Chebyshev ikameleri, evrensel trigonometrik ikame) bu değiştirmeden sonra aralığın altında rasyonel bir kesir elde edecek şekilde yapılır. Daha sonra algoritmayı buna uygulayın. Küçük bir not aldıktan sonra bu algoritmanın doğrudan uygulamasını örneklerle analiz edeceğiz.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Prensip olarak bu integralin, formülün mekanik uygulaması olmadan elde edilmesi kolaydır. Eğer integral işaretinden $7$ sabitini çıkarırsak ve $dx=d(x+9)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Detaylı bilgi için konuya bakmanızı tavsiye ederim. Bu tür integrallerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak açıklıyor. Bu arada formül, bu paragrafta "manuel" çözülürken uygulanan dönüşümlerin aynısıyla kanıtlanmıştır.
2) Yine iki yol var: Hazır formülü kullanın veya onsuz yapın. Formülü uygularsanız $x$'ın (4 numara) önündeki katsayının kaldırılması gerekeceğini dikkate almalısınız. Bunu yapmak için bu dördünü parantezlerden çıkaralım:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$
Şimdi formülü uygulama zamanı:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Formülü kullanmadan yapabilirsiniz. Üstelik sabit 4$'ı parantezlerden çıkarmadan bile. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Bu tür integrallerin bulunmasına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında ikame)” konusunda verilmiştir.
3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ancak bunun gerçekten üçüncü türün temel kesri olduğundan emin olmak için $p^2-4q koşulunun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmeniz gerekir.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Aynı örneği hazır bir formül kullanmadan çözelim. Paydanın türevini payda izole etmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. Payda yalnız bırakmamız gereken $2x+10$ ifadesidir. Şu ana kadar pay sadece $4x+7$ içeriyor, ancak bu çok uzun sürmeyecek. Pay'a aşağıdaki dönüşümü uygulayalım:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Artık payda gerekli ifade $2x+10$ görünür. Ve integralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
İntegrali ikiye bölelim. Buna göre integralin kendisi de "çatallıdır":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
İlk önce ilk integralden bahsedelim, yani. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, integralin payı paydanın diferansiyelini içerir. Kısacası, bunun yerine $( 2x+10)dx$ ifadesinin yerine $d(x^2+10x+34)$ yazıyoruz.
Şimdi ikinci integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Paydada tam bir kare seçelim: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ayrıca $dx=d(x+5)$ hesabını da hesaba katıyoruz. Şimdi daha önce elde ettiğimiz integrallerin toplamı biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
İlk integralde $u=x^2+10x+34$ değişimini yaparsak, $\int\frac(du)(u)$ biçimini alır ve şunu alır: kullanımı kolay gelen ikinci formül. İkinci integrale gelince, $u=x+5$ değişikliği onun için de uygundur, bundan sonra $\int\frac(du)(u^2+9)$ biçimini alacaktır. Bu saf su belirsiz integraller tablosundan onbirinci formül. İntegrallerin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Formülü uygularken aldığımız cevabın aynısını aldık ki bu kesinlikle şaşırtıcı değil. Genel olarak formül, bu integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı yöntemlerle kanıtlanır. Dikkatli okuyucunun burada bir sorusu olabileceğine inanıyorum, bu yüzden onu formüle edeceğim:
Soru 1
Belirsiz integraller tablosundaki ikinci formülü $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integraline uygularsak, aşağıdakileri elde ederiz:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Çözümde neden modül yoktu?
1. sorunun cevabı
Soru tamamen doğal. Modül yalnızca herhangi bir $x\in R$ için $x^2+10x+34$ ifadesinin eksik olması nedeniyle eksikti. Sıfırın üstünde. Bunu çeşitli şekillerde göstermek oldukça kolaydır. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan $(x+5)^2+9 > 0$ . Vurgu yapmadan farklı düşünebilirsiniz tam kare. $10^2-4\cdot 34=-16'dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (eğer bu mantıksal zincir şaşırtıcıysa, bakmanızı tavsiye ederim) grafik yöntemiçözümler ikinci dereceden eşitsizlikler). Her durumda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yani. Bir modül yerine normal parantezleri kullanabilirsiniz.
1 numaralı örneğin tüm noktaları çözüldü, geriye kalan tek şey cevabı yazmak.
Cevap:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Örnek No.2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.
İlk bakışta, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrand kesri üçüncü türün temel kesrine çok benzer; $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Görünüşe göre tek fark, $x^2$'ın önündeki $3$ katsayısıdır, ancak katsayıyı kaldırmak uzun sürmez (parantez dışında koyun). Ancak bu benzerlik ortadadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kesri için $p^2-4q koşulu zorunludur< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
$x^2$ öncesindeki katsayımız değil bire eşit, dolayısıyla $p^2-4q koşulunu kontrol edin< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант Sıfırdan daha az ise $x^2+px+q$ ifadesi çarpanlara ayrılamaz. Kesirimizin paydasında bulunan $3x^2-5x-2$ polinomunun diskriminantını hesaplayalım: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Yani, $D > 0$, dolayısıyla $3x^2-5x-2$ ifadesi çarpanlarına ayrılabilir. Bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı anlamına gelir ve $\int\frac(7x+12)(3x^2-) uygulanır ) 5x-2)dx$ formülünün integraline ulaşmak mümkün değildir.
Eğer verilen rasyonel kesir temel kesir değilse, o zaman temel kesirlerin toplamı olarak temsil edilmesi ve sonra entegre edilmesi gerekir. Kısacası patikadan yararlanın. Rasyonel bir kesirin temel kesirlere nasıl ayrıştırılacağı ayrıntılı olarak yazılmıştır. Paydayı çarpanlara ayırarak başlayalım:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Alt interkal fraksiyonu bu formda sunuyoruz:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$
$A$ ve $B$ katsayılarını bulmak için iki standart yol vardır: belirlenmemiş katsayılar yöntemi ve kısmi değerlerin yerine konulması yöntemi. $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ yerine kısmi değer ikame yöntemini uygulayalım:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Katsayılar bulunduğundan geriye kalan tek şey bitmiş genişlemeyi yazmaktır:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Prensip olarak bu girişi bırakabilirsiniz, ancak daha doğru seçeneği seviyorum:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Orijinal integrale dönersek, ortaya çıkan genişlemeyi onun yerine koyarız. Daha sonra integrali ikiye bölüp her birine formülü uyguluyoruz. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Cevap: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Örnek No.3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.
$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Pay ikinci dereceden bir polinom içerir ve payda üçüncü dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan, yani; 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Tek yapmamız gereken verilen integrali üçe bölüp formülü her birine uygulamak. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Cevap: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Bu konuya ilişkin örneklerin analizinin devamı ikinci bölümde yer almaktadır.
1. ve 2. sınıf öğrencilerine rasyonel kesirleri de içeren fonksiyonların integralini konu alan bir test verilmektedir. İntegral örnekleri esas olarak matematikçilerin, ekonomistlerin ve istatistikçilerin ilgisini çekecektir. Bu örnekler soruldu deneme çalışması LNU'da onun adıyla anılıyor. Ben Frank. Aşağıdaki örneklerin koşulları “İntegral bulun” veya “İntegral hesapla” şeklinde olduğundan yerden ve zamandan tasarruf etmek için yazılmamıştır.
Örnek 15. Kesirli-rasyonel fonksiyonların integraline geldik. Onlar işgal etti özel mekanİntegraller arasında, çünkü hesaplamak ve öğretmenlerin yalnızca integralle ilgili değil, bilginizi test etmelerine yardımcı olmak da çok zaman gerektirir. İntegralin altındaki fonksiyonu basitleştirmek için payda, integralin altındaki fonksiyonu iki basit ifadeye bölmemizi sağlayacak bir ifade ekleyip çıkarıyoruz.
Sonuç olarak, oldukça hızlı bir şekilde bir integral buluyoruz, ikincisinde kesri temel kesirlerin toplamına genişletmemiz gerekiyor 
Ortak bir paydaya indirgendiğinde aşağıdaki sayıları elde ederiz
Ardından parantezleri açın ve gruplayın
Değeri eşitliyoruz eşit derece Sağda ve solda "X". Sonuç olarak üçlü bir sisteme ulaşıyoruz. doğrusal denklemler(SLAU) üç bilinmeyenli. 
Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Sonunda alacaksın sonraki çözüm SLAU
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz
Bu, örneği sonlandırıyor.
Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlamak kübik denklem Kesirin paydasında bulunan, onu basit faktörlere ayıracağız 
Daha sonra kesri en basit formlarına ayırıyoruz. 
Hadi bir araya getirelim Sağ Taraf ortak paydaya gidin ve paydaki parantezleri açın. 
Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim 
Hadi değiştirelim A, B, C değerleri genişlemeye girin ve integrali hesaplayın 
İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.
Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu ikiye ayırıyoruz asal faktörler
Daha fazla alınan kesirli fonksiyon tutarı yaz basit kesirler ve onları ortak bir paydada buluşturalım 
Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.
Buradan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz 
bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz: 
Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
Benzer örneklerİnternette rasyonel kesirlerin integrali konusunda çok şey var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.
Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.
Örnek 1. Adım 2.
.
Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak diğer sonuçta ortaya çıkan kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:
Parantezleri açıyoruz ve orijinal integrandın payını elde edilen ifadeye eşitliyoruz:
Eşitliğin her iki tarafında da x'in aynı kuvvetlerine sahip terimler arıyoruz ve onlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:
.
Tüm X'leri iptal ediyoruz ve alıyoruz eşdeğer sistem denklemler:
.
Böylece, integralin basit kesirlerin toplamına son açılımı şöyle olur:
.
Örnek 2. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:
Şimdi bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını, fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki karşılık gelen dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitliyoruz:
Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:
Yani buradan
.
Örnek 3. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
Belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:
Önceki örneklerde olduğu gibi bir denklem sistemi oluşturuyoruz:
X'leri azaltırız ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:
Sistemi çözersek şunu elde ederiz aşağıdaki değerler belirsiz katsayılar:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 4. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Önceki örneklerden, orijinal kesrin payını, kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasından ve bu toplamın ortak bir paydaya getirilmesinden sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleneceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle, sadece kontrol amacıyla, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
Örnek 5. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya indirgeyerek bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç şu olmalı sonraki sistem denklemler:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
.
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 6. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
Bu miktarla önceki örneklerde olduğu gibi aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
.
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 7. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Ortaya çıkan miktarla yapılan belirli işlemlerden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 8. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatikliğe getirilmiş eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir teknik vardır. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ediyoruz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ediyoruz.
Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin integrali Genel kural rasyonel kesirlerin entegrasyonu
derece polinomu Kesirli-rasyonel fonksiyon Kesirli-rasyonel fonksiyon bir fonksiyondur orana eşit iki polinom: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m ise rasyonel kesir denir.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Kesirli – rasyonel fonksiyon Azaltma uygunsuz kesirİle doğru tür: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir, ayrıca basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)
Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu şu şekilde açıklayalım: aşağıdaki örnekler: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayı karşılaştırma yöntemi ve kısmi değişken değerleri yöntemi. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirleri eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln
Basit kesirlerin integrali İntegral bu türden ikame kullanarak: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(
Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygun değilse, bunu bir polinomun toplamı olarak gösterin ve uygun kesir. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlarına ayırdıktan sonra, bunu katsayıları belirlenmeyen basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. belirsiz olasılıklar katsayıları karşılaştırma yöntemi veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemi. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.
Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x
Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
İşte sunuyoruz detaylı çözümler aşağıdaki rasyonel kesirlerin entegrasyonuna ilişkin üç örnek:
,
,
.
örnek 1
İntegrali hesaplayın:
.
Çözüm
Burada integral işaretinin altında rasyonel bir fonksiyon vardır, çünkü integrand polinomların bir kesridir. Payda polinom derecesi ( 3 ) pay polinomunun derecesinden küçüktür ( 4 ). Bu nedenle öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir.
1.
Kesirin tamamını seçelim. x'i böl 4
x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Buradan
.
2.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için kübik denklemi çözmeniz gerekir:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
x = yerine koyalım 1
:
.
1
. x'e böl - 1
:
Buradan
.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü.
.
Denklemin kökleri: , .
Daha sonra
.
3.
Kesri en basit haline ayıralım.
.
Böylece şunu bulduk:
.
Haydi entegre olalım.
Cevap
Örnek 2
İntegrali hesaplayın:
.
Çözüm
Burada kesrin payı sıfır dereceli bir polinomdur ( 1 =x0). Payda üçüncü dereceden bir polinomdur. Çünkü 0 < 3 ise kesir doğrudur. Bunu basit kesirlere ayıralım.
1.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tane olduğunu varsayalım bütün kök. O halde bu sayının böleni 3
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 3, -1, -3
.
x = yerine koyalım 1
:
.
Böylece bir kök x = bulduk 1
. x'i böl 3 + 2 x - 3 x'te - 1
:
Bu yüzden,
.
İkinci dereceden denklemin çözümü:
X 2 + x + 3 = 0.
Diskriminantı bulun: D = 1 2 - 4 3 = -11. D'den beri< 0
ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Böylece paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ettik:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1)
.
x = yerine koyalım 1
. O zaman x- 1 = 0
,
.
yerine koyalım (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
hadi eşitleyelim (2.1)
x için katsayılar 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Haydi entegre olalım.
(2.2)
.
İkinci integrali hesaplamak için paydaki paydanın türevini yalnız bırakırız ve paydayı kareler toplamına indiririz.
;
;
.
I hesapla 2
.
.
Denklemden beri x 2 + x + 3 = 0 gerçek kökleri yoktur, bu durumda x 2 + x + 3 > 0. Bu nedenle modül işareti ihmal edilebilir.
teslim ediyoruz (2.2)
:
.
Cevap
Örnek 3
İntegrali hesaplayın:
.
Çözüm
Burada integral işaretinin altında polinomların bir kısmı var. Bu nedenle integral rasyonel bir fonksiyondur. Paydaki polinomun derecesi eşittir 3 . Kesirin paydasının polinomunun derecesi şuna eşittir: 4 . Çünkü 3 < 4 ise kesir doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrıştırılabilir. Ancak bunu yapmak için paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir.
1.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için dördüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2
.
x = yerine koyalım -1
:
.
Böylece bir kök x = bulduk -1
. x'e böl - (-1) = x + 1:
Bu yüzden,
.
Şimdi üçüncü derece denklemi çözmemiz gerekiyor:
.
Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2
.
x = yerine koyalım -1
:
.
Böylece başka bir kök x = bulduk -1
. Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız:
.
Denklemden beri x 2 + 2 = 0
gerçek kökleri olmadığında paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.
2.
Kesri en basit haline ayıralım. Şu formda bir genişletme arıyoruz:
.
Kesrin paydasından kurtuluruz, ile çarparız (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
x = yerine koyalım -1
. Sonra x + 1 = 0
,
.
Haydi farklılaşalım (3.1)
:
;
.
x = yerine koyalım -1
ve şunu hesaba katın: x + 1 = 0
:
;
;
.
yerine koyalım (3.1)
x = 0
:
0 = 2 Bir + 2 B + D;
.
hadi eşitleyelim (3.1)
x için katsayılar 3
:
;
1 =B+C;
.
Böylece basit kesirlere ayrıştırmayı bulduk:
.
3.
Haydi entegre olalım.
.
