Bu bölüm ana temel fonksiyonlar ve bunların özellikleri hakkında referans materyali içermektedir. Sınıflandırma verilmiştir temel işlevler. Aşağıda belirli fonksiyonların - grafikler, formüller, türevler, ters türevler (integraller), seri açılımları, karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler - özelliklerini tartışan alt bölümlere bağlantılar bulunmaktadır.
Temel işlevler için referans sayfaları
Temel fonksiyonların sınıflandırılması
Cebirsel fonksiyon denklemi karşılayan bir fonksiyondur:
,
bağımlı değişken y ve bağımsız değişken x'teki bir polinom nerede?
,
Şu şekilde yazılabilir:
polinomlar nerede?
Cebirsel fonksiyonlar polinomlara (tüm rasyonel fonksiyonlar), rasyonel fonksiyonlara ve irrasyonel fonksiyonlara ayrılır. Tam rasyonel fonksiyon buna aynı zamanda denir polinom veya polinom , x değişkeninden elde edilir ve sonlu sayı kullanarak sayılar aritmetik işlemler
.
toplama (çıkarma) ve çarpma. Parantez açıldıktan sonra polinom kanonik forma indirgenir:
Kesirli rasyonel fonksiyon veya sadece rasyonel fonksiyon
,
, x değişkeninden ve sonlu sayıda sayıdan toplama (çıkarma), çarpma ve bölme aritmetik işlemleri kullanılarak elde edilir. Rasyonel fonksiyon forma indirgenebilir
nerede ve polinomlardır.İrrasyonel fonksiyon rasyonel olmayan cebirsel bir fonksiyondur. Kural olarak, IR altında rasyonel fonksiyon
.
Kökleri ve bunların bileşimlerini rasyonel fonksiyonlarla anlar. N dereceli bir kök denklemin çözümü olarak tanımlanır
.
Aşağıdaki şekilde belirlenmiştir: Aşkın işlevler
cebirsel olmayan fonksiyonlar denir. Bunlar üstel, trigonometrik, hiperbolik ve bunların ters fonksiyonlarıdır.
Temel temel işlevlere genel bakış
Tüm temel işlevler, formun bir ifadesi üzerinde gerçekleştirilen sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri olarak temsil edilebilir:
z t.
Ters fonksiyonlar logaritma cinsinden de ifade edilebilir. Temel temel işlevler aşağıda listelenmiştir.
Güç fonksiyonu:
y(x) = x p ,
burada p üstür. Bu, x derecesinin tabanına bağlıdır. Geri dön güç fonksiyonu
.
p üssünün negatif olmayan bir tamsayı değeri için bu bir polinomdur. Bir tamsayı değeri için p - rasyonel bir fonksiyon. Şu tarihte: rasyonel anlam - irrasyonel fonksiyon.
Aşkın işlevler
Üstel fonksiyon:
y(x) = a x ,
burada a derecenin tabanıdır. x üssüne bağlıdır.
Ters fonksiyon a tabanının logaritmasıdır:
x = bir y'yi günlüğe kaydet.
Üs, e üzeri x kuvveti:
y(x) = e x ,
Bu, türevi fonksiyonun kendisine eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Üssün tabanı e sayısıdır:
≈ 2,718281828459045...
.
Ters fonksiyon - doğal logaritma - e tabanına göre logaritma:
x = ln y ≡ log e y.
Trigonometrik fonksiyonlar:
Sinüs: ;
Kosinüs: ;
Teğet: ;
Kotanjant: ;
işte ben... hayali birim, ben 2 = -1 .
Ters trigonometrik fonksiyonlar:
Arksinüs: x = arksin y,
;
Ark kosinüs: x = Arccos y,
;
Arktanjant: x = arktan y,
;
Ark tanjantı: x = arkctg y,
.
1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.
Bir fonksiyonun tanım kümesi tüm geçerli olanların kümesidir. gerçek değerler argüman X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli. Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.
İÇİNDE ilköğretim matematik fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.
2) Fonksiyon sıfırları.
Sıfır işlevi bağımsız değişken değeri fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu nokta.
3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.
Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları, fonksiyon değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu argüman değerleri kümesidir.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bunun için bir fonksiyondur. daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.
Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük değerinin karşılık geldiği bir fonksiyondur daha düşük değer işlevler.
5) Çift (tek) işlevi.
Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için bir fonksiyondur. X tanım alanından eşitlik f(-x) = f(x).
Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir. X Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x
)..
Eğer böyle bir fonksiyon varsa, fonksiyona sınırlı denir. pozitif sayı M öyle ki |f(x)| X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.
7) Fonksiyonun periyodikliği.
Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayıya fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
19.Temel elemanter fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri. Fonksiyonların ekonomide uygulanması.
Temel temel işlevler. Özellikleri ve grafikleri
1. Doğrusal fonksiyon.
Doğrusal fonksiyon x bir değişken, a ve b ise gerçel sayılar olmak üzere formun bir fonksiyonu olarak adlandırılır.
Sayı A isminde eğim düz, o teğete eşit bu düz çizginin x ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısı. Takvim doğrusal fonksiyon düz bir çizgidir. İki nokta ile tanımlanır.
Doğrusal Fonksiyonun Özellikleri
1. Tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi: D(y)=R
2. Değerler kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir: E(y)=R
3. Fonksiyon veya olduğunda sıfır değerini alır.
4. Fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar (azalır).
5. Doğrusal bir fonksiyon tüm tanım kümesinde süreklidir, diferansiyellenebilir ve .
2. İkinci dereceden fonksiyon.
X'in bir değişken olduğu ve a, b, c katsayılarının gerçel sayılar olduğu formdaki bir fonksiyona denir ikinci dereceden
Segmentin uzunluğu koordinat ekseni aşağıdaki formülle bulunur:
Segmentin uzunluğu koordinat düzlemi formülle aranır:
Üç boyutlu koordinat sisteminde bir parçanın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:
Segmentin ortasının koordinatları (koordinat ekseni için yalnızca ilk formül kullanılır, koordinat düzlemi için ilk iki formül kullanılır) üç boyutlu sistem koordinatlar - üç formülün tümü) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
İşlev– bu formun bir yazışmasıdır sen= F(X) değişken miktarlar arasında, her biri bazı değerlerin dikkate alınmasından dolayı değişken boyut X(argüman veya bağımsız değişken) başka bir değişkenin belirli bir değerine karşılık gelir, sen(bağımlı değişken, bazen bu değere basitçe fonksiyonun değeri denir). Fonksiyonun bir argüman değerinin varsayıldığını unutmayın. X bağımlı değişkenin yalnızca bir değeri karşılık gelebilir en. Ancak aynı değer en farklı şekilde elde edilebilir X.
İşlev Etki Alanı– bunların hepsi bağımsız değişkenin değerleridir (işlev argümanı, genellikle bu X), işlevin tanımlandığı yer, yani. anlamı mevcuttur. Tanım alanı belirtilir D(sen). İle genel olarak Bu kavrama zaten aşinasınız. Bir fonksiyonun tanım kümesine aynı zamanda etki alanı da denir. kabul edilebilir değerler veya uzun zamandır bulabileceğiniz ODZ.
Fonksiyon Aralığı- hepsi bu olası değerler Bu fonksiyonun bağımlı değişkeni. Belirlenmiş e(en).
Fonksiyon artar argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği aralıkta. Fonksiyon azalıyor argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği aralıkta.
Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları- bunlar, bağımlı değişkenin pozitif veya negatif işaretini koruduğu bağımsız değişken aralıklarıdır.
Fonksiyon sıfırları– bunlar, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değerleridir. Bu noktalarda fonksiyon grafiği apsis eksenini (OX ekseni) keser. Çoğu zaman, bir fonksiyonun sıfırlarını bulma ihtiyacı, denklemi basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir. Ayrıca, çoğu zaman işaretin sabitlik aralıklarını bulma ihtiyacı, eşitsizliği basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir.
İşlev sen = F(X) denir eşit X
Bu şu anlama gelir: herhangi biri için zıt anlamlar argümanı, çift fonksiyonun değerleri eşittir. Takvim eşit işlev op-amp'in ordinat eksenine göre her zaman simetriktir.
İşlev sen = F(X) denir garip, eğer simetrik bir kümede tanımlanmışsa ve herhangi biri için X tanım alanından eşitlik geçerlidir:
Bu, argümanın herhangi bir zıt değeri için tek fonksiyonun değerlerinin de zıt olduğu anlamına gelir. Tek bir fonksiyonun grafiği her zaman orijine göre simetriktir.
Çift ve köklerinin toplamı tek işlevler(apsis ekseni OX'un kesişme noktaları) her zaman sıfıra eşittir, çünkü her biri için pozitif kök X zorunda negatif kök –X.
Şunu belirtmek önemlidir: Bazı fonksiyonların çift veya tek olması gerekmez. Ne çift ne de tek olan birçok fonksiyon vardır. Bu tür işlevler denir işlevler genel görünüm ve onlar için yukarıda verilen eşitliklerin veya özelliklerin hiçbiri sağlanmıyor.
Doğrusal fonksiyon aşağıdaki formülle verilebilecek bir fonksiyondur:
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve genel durumşuna benziyor (durum için bir örnek verilmiştir: k> 0, bu durumda fonksiyon artıyor; bu durum için k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (Parabola)
Bir parabolün grafiği ikinci dereceden bir fonksiyonla verilir:
İkinci dereceden bir fonksiyon, diğer herhangi bir fonksiyon gibi, OX eksenini kökleri olan noktalarda keser: ( X 1; 0) ve ( X 2; 0). Kök yoksa, ikinci dereceden fonksiyon OX eksenini kesmez; yalnızca bir kök varsa, o zaman bu noktada ( X 0; 0) ikinci dereceden fonksiyon yalnızca OX eksenine dokunur, ancak onunla kesişmez. İkinci dereceden fonksiyon her zaman OY eksenini koordinatların bulunduğu noktada keser: (0; C). Takvim ikinci dereceden fonksiyon(parabol) şu şekilde görünebilir (şekilde tüm olası parabol türlerini kapsamayan örnekler gösterilmektedir):
Bu durumda:
- eğer katsayı A> 0, fonksiyonda sen = balta 2 + bx + C, daha sonra parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir;
- eğer A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Bir parabolün tepe noktasının koordinatları şu şekilde hesaplanabilir: aşağıdaki formüller. X üstleri (P- yukarıdaki resimlerde) paraboller (veya ikinci dereceden üç terimlinin en büyük veya en küçük değerine ulaştığı nokta):
Igrek üstleri (Q- yukarıdaki şekillerde) paraboller veya parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilmişse maksimum ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), değer ikinci dereceden üç terimli:
Diğer fonksiyonların grafikleri
Güç fonksiyonu
Güç fonksiyonlarının grafiklerine bazı örnekler:
Ters orantılı işlevi çağır formül tarafından verilen:
Sayının işaretine bağlı olarak k geri program orantılı bağımlılık iki temel seçeneğe sahip olabilir:
Asimptot bir fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak kesişmediği bir doğrudur. Grafikler için asimptotlar ters orantı Yukarıdaki şekilde gösterilen, fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak kesişmediği koordinat eksenleridir.
Üstel fonksiyon baz ile A aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:
A takvim üstel fonksiyon iki temel seçeneğe sahip olabilir (ayrıca örnekler veriyoruz, aşağıya bakın):
Logaritmik fonksiyon aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:
Sayının birden büyük veya küçük olmasına bağlı olarak A takvim logaritmik fonksiyon iki temel seçeneğe sahip olabilir:
Bir fonksiyonun grafiği sen = |X| şuna benziyor:
Periyodik (trigonometrik) fonksiyonların grafikleri
İşlev en = F(X) denir periyodik eğer böyle bir şey varsa hayır sıfıra eşit, sayı T, Ne F(X + T) = F(X), herhangi biri için X fonksiyonun etki alanından F(X). Eğer fonksiyon F(X) periyotlu periyodiktir T, ardından işlev:
Nerede: A, k, B – sabit sayılar, Ve k sıfıra eşit değil, ayrıca periyotlu periyodik T 1, aşağıdaki formülle belirlenir:
Çoğu örnek periyodik fonksiyonlar Bunlar trigonometrik fonksiyonlardır. İşte ana grafikler trigonometrik fonksiyonlar. Aşağıdaki şekil fonksiyonun grafiğinin bir kısmını göstermektedir sen= günah X(grafiğin tamamı süresiz olarak sola ve sağa devam eder), fonksiyonun grafiği sen= günah X isminde sinüzoid:
Bir fonksiyonun grafiği sen=çünkü X isminde kosinüs. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Sinüs grafiği OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak devam ettiğinden:
Bir fonksiyonun grafiği sen= tg X isminde teğetsel. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik fonksiyonların grafikleri gibi, bu program OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.
Ve son olarak fonksiyonun grafiği sen=ctg X isminde kotanjantoid. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik ve trigonometrik fonksiyonların grafikleri gibi, bu grafik de OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.
Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması CT'ye çıkmanıza olanak sağlayacaktır. mükemmel sonuç, yapabileceklerinizin maksimumu.
Bir hata mı buldunuz?
Bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız eğitim materyalleri, ardından lütfen e-postayla bu konu hakkında yazın. Ayrıca bir hatayı şu adrese bildirebilirsiniz: sosyal ağ(). Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.
