Kesri daha fazla azaltmak için kesirleri azaltmak gerekir. basit görünümörneğin bir ifadenin çözülmesi sonucunda elde edilen cevapta.
Kesirlerin azaltılması, tanımı ve formülü.
Kesirleri azaltmak nedir? Bir kesri azaltmak ne demektir?
Tanım:
Kesirlerin Azaltılması- bu, bir kesrin pay ve paydasının aynı şeye bölünmesidir pozitif sayı sıfır ve bire eşit değildir. Azaltma sonucunda, önceki kesire eşit, pay ve paydası daha küçük olan bir kesir elde edilir.
Kesirleri azaltma formülü ana mülk rasyonel sayılar.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Bir örneğe bakalım:
\(\frac(9)(15)\) kesirini azaltın
Çözüm:
Kesri genişletebiliriz asal faktörler ve ortak faktörleri azaltın.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(kırmızı) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Cevap: İndirgeme sonrasında \(\frac(3)(5)\) kesirini elde ettik. Rasyonel sayıların temel özelliğine göre orijinal kesirler ile elde edilen kesirler eşittir.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kesirler nasıl azaltılır? Bir kesrin indirgenemez formuna indirgenmesi.
Sonuç olarak indirgenemez bir kesir elde etmek için ihtiyacımız var en büyüğünü bul ortak bölen(NOD) kesrin payı ve paydası için.
Sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasını kullanacağımız örnekte GCD'yi bulmanın birkaç yolu vardır;
İndirgenemez kesri \(\frac(48)(136)\) alın.
Çözüm:
OBEB(48, 136)'yı bulalım. 48 ve 136 sayılarını asal çarpanlara yazalım.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
OBEB(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 2 \times 3)(\renk(kırmızı) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Bir kesri indirgenemez bir forma indirgeme kuralı.
- Pay ve paydanın en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir.
- İndirgenemez bir kesir elde etmek için pay ve paydayı en büyük ortak bölene bölmeniz gerekir.
Örnek:
\(\frac(152)(168)\) kesrini azaltın.
Çözüm:
OBEB(152, 168)'i bulalım. 152 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
OBEB(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 19)(\color(kırmızı) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Cevap: \(\frac(19)(21)\) indirgenemez kesir.
Uygunsuz kesirlerin azaltılması.
Uygunsuz bir kesir nasıl azaltılır?
Kesirleri azaltma kuralları, doğru ve yanlış kesirler için aynıdır.
Bir örneğe bakalım:
Uygunsuz kesri \(\frac(44)(32)\) azaltın.
Çözüm:
Pay ve paydayı basit çarpanlara yazalım. Daha sonra ortak faktörleri azaltacağız.
\(\frac(44)(32)=\frac(\renk(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Karışık fraksiyonların azaltılması.
Karışık kesirler sıradan kesirlerle aynı kurallara tabidir. Tek farkımız bunu yapabilmemiz tamamına dokunmayın ancak kesirli kısmı azaltın veya Karışık bir kesri bileşik kesire dönüştürün, azaltın ve tekrar uygun kesire dönüştürün.
Bir örneğe bakalım:
Karışık kesri \(2\frac(30)(45)\) iptal edin.
Çözüm:
Bunu iki şekilde çözelim:
İlk yol:
Kesirli kısmı basit çarpanlara yazalım ama tamamına dokunmayacağız.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3))(3 \times \color(kırmızı) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
İkinci yol:
Önce bileşik kesire dönüştürelim, sonra asal çarpanlara yazıp azaltalım. Ortaya çıkan bileşik kesri düzgün kesre çevirelim.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \renk(kırmızı) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Konuyla ilgili sorular:
Toplama veya çıkarma yaparken kesirleri azaltabilir misiniz?
Cevap: hayır, önce kesirleri kurallara göre eklemeli veya çıkarmalısınız, ancak daha sonra azaltmalısınız. Bir örneğe bakalım:
\(\frac(50+20-10)(20)\) ifadesini değerlendirin.
Çözüm:
Sık sık kısaltma hatasına düşüyorlar aynı sayılar Bizim durumumuzda pay ve payda 20 rakamına sahiptir, ancak toplama ve çıkarma işlemi tamamlanmadan bunlar azaltılamaz.
\(\frac(50+\color(kırmızı) (20)-10)(\color(kırmızı) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Bir kesri hangi sayılarla azaltabilirsiniz?
Cevap: Bir kesri en büyük ortak faktöre veya pay ve paydanın ortak bölenine göre azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(100)(150)\) kesri.
100 ve 150 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
En büyük ortak bölen OBEB(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 sayısı olacaktır
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
İndirgenemez kesri \(\frac(2)(3)\) elde ettik.
Ancak her zaman gcd'ye bölmek gerekli değildir; indirgenemez bir kesir her zaman gerekli değildir; kesri pay ve paydanın basit bir böleni ile azaltabilirsiniz. Örneğin 100 ve 150 sayılarının ortak böleni 2'dir. \(\frac(100)(150)\) kesrini 2'ye indirelim.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
İndirgenebilir kesri \(\frac(50)(75)\) elde ettik.
Hangi kesirler azaltılabilir?
Cevap: Pay ve paydası ortak bölen olan kesirleri azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(4)(8)\) kesri. 4 ve 8 sayılarının her ikisinin de bölünebildiği bir sayı vardır - 2 sayısı. Bu nedenle böyle bir kesir 2 sayısına indirgenebilir.
Örnek:
İki kesri \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(8)(12)\) karşılaştırın.
Bu iki kesir eşittir. \(\frac(8)(12)\) kesrine daha yakından bakalım:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Buradan şunu elde ederiz: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
İki kesir ancak ve ancak bunlardan biri diğer kesirin indirgenmesiyle elde edilirse eşittir ortak çarpan pay ve payda.
Örnek:
Mümkünse aşağıdaki kesirleri azaltın: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Çözüm:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5) \times 3 \times 3)(\color(kırmızı) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\renk(kırmızı) (3 \times 3) \times 3)(\color(kırmızı) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) indirgenemez kesir
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ çarpı 5)=\frac(2)(5)\)
Kesirlerin nasıl azaltılacağını anlamak için önce bir örneğe bakalım.
Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı şeye bölmek anlamına gelir. Hem 360 hem de 420 rakamıyla bitiyor, dolayısıyla bu kesri 2'ye indirebiliriz. Yeni kesirde hem 180 hem de 210 da 2'ye bölünebilir, dolayısıyla bu kesri 2'ye düşürüyoruz. 90 ve 105 sayılarında toplam rakamların rakamları 3'e bölünebildiği için bu sayıların ikisi de 3'e bölünüyor, kesri 3'e düşürüyoruz. Yeni kesirde 30 ve 35'in sonu 0 ve 5 ile bitiyor, yani her iki sayı da 5'e bölünüyor, yani azaltıyoruz kesir 5'tir. Ortaya çıkan yedide altılık kesir indirgenemez. Bu son cevaptır.
Aynı cevaba farklı şekillerde de ulaşabiliriz.
360 da 420 de sıfırla bitiyor yani 10'a bölünebiliyorlar. Kesri 10 azaltıyoruz. Yeni kesirde hem pay 36 hem de payda 42 2'ye bölünüyor. Kesri 2'ye düşürüyoruz. bir sonraki kesirde hem pay 18'i hem de payda 21'i 3'e bölüyoruz, bu da kesri 3'e düşürdüğümüz anlamına geliyor. Sonuca geldik - yedide altı.
Ve bir çözüm daha.
Bir dahaki sefere kesirleri azaltma örneklerine bakacağız.
Ana özelliklerine dayanmaktadır: Bir kesrin payı ve paydası sıfır olmayan aynı polinomla bölünürse, eşit bir kesir elde edilecektir.
Yalnızca çarpanları azaltabilirsiniz!
Polinomların üyeleri kısaltılamaz!
Cebirsel bir kesri azaltmak için öncelikle pay ve paydadaki polinomların çarpanlara ayrılması gerekir.
Kesirleri azaltma örneklerine bakalım.
Kesrin payı ve paydası tek terimler içerir. Temsil ediyorlar iş(sayılar, değişkenler ve bunların kuvvetleri), çarpanlar azaltabiliriz.
Sayıları en büyük ortak bölenlerine göre azaltırız, yani en büyük sayı, bu sayıların her biri ona bölünür. 24 ve 36 için bu 12'dir. İndirgemeden sonra 24'ten 2, 36'dan 3 kalır.
Dereceler derece c azaltılır en düşük oran. Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı bölene bölüp üsleri çıkarmak anlamına gelir.
a² ve a⁷ a²'ye indirgenir. Bu durumda a²'nin payında bir kalır (sadece indirgeme sonrasında başka çarpan kalmadığında 1 yazarız. 24'ten 2 kalır, dolayısıyla a²'den kalan 1'i yazmayız). a⁷'dan indirgeme sonrasında a⁵ kalır.
b ve b, b ile azaltılır; elde edilen birimler yazılmaz.
c³° ve c⁵, c⁵ olarak kısaltılmıştır. C³º'den geriye kalan c²⁵, c⁵'den ise birdir (bunu yazmıyoruz). Böylece,
Bu cebirsel kesrin payı ve paydası polinomlardır. Polinomların terimlerini iptal edemezsiniz! (örneğin 8x² ve 2x'i azaltamazsınız!). Bu oranı azaltmak için ihtiyacınız var. Payın ortak çarpanı 4x'tir. Parantez içinden çıkaralım:
Hem pay hem de payda aynı faktöre sahiptir (2x-3). Kesri bu faktörle azaltıyoruz. Payda 4x, paydada - 1 elde ettik. 1 özellik için cebirsel kesirler, kesir 4x'tir.
Yalnızca çarpanları azaltabilirsiniz (azaltabilirsiniz) verilen kesir 25x²'de bu imkansızdır!). Bu nedenle kesrin pay ve paydasındaki polinomların çarpanlara ayrılması gerekir.
Payda - mükemmel kare Toplamlarda payda kareler farkıdır. Kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak ayrıştırıldıktan sonra şunu elde ederiz:
Kesri (5x+1) kadar azaltıyoruz (bunu yapmak için paydaki iki rakamın üzerini üs olarak çizin ve (5x+1)² (5x+1) bırakın):
Payın ortak çarpanı 2'dir, bunu parantezlerden çıkaralım. Payda küplerin farkının formülüdür:
Açılım sonucunda pay ve payda aynı çarpanı aldı (9+3a+a²). Kesri bununla azaltıyoruz:
Paydaki polinom 4 terimden oluşur. birinci terimi ikinciyle, üçüncüyü dördüncüyle ve ilk parantezdeki x² ortak faktörünü çıkarın. Paydayı küplerin toplamı formülünü kullanarak ayrıştırıyoruz:
Payda ortak çarpanı (x+2) parantezlerden çıkaralım:
Kesri (x+2) kadar azaltın:
Yani bir kesrin pay ve paydasının aynı sayıyla çarpılıp bölünebileceğini zaten biliyoruz, kesir değişmeyecek. Üç yaklaşımı ele alalım:
Birine yaklaş.
Azaltmak için pay ve paydayı ortak bir bölene bölün. Örneklere bakalım:
Kısaltalım:
Verilen örneklerde indirgeme için hangi bölenlerin alınması gerektiğini hemen görüyoruz. Süreç basit; 2,3,4,5 vb. üzerinden geçiyoruz. Çoğu okul dersi örneğinde bu oldukça yeterlidir. Ama eğer kesirliyse:
Burada bölenleri seçme süreci uzun zaman alabilir;). Elbette bu tür örnekler okul müfredatının dışındadır ancak bunlarla baş edebilmeniz gerekir. Aşağıda bunun nasıl yapıldığına bakacağız. Şimdilik azaltma sürecine dönelim.
Yukarıda tartıştığımız gibi bir kesri azaltmak için belirlediğimiz ortak bölen(ler)e böldük. Her şey doğru! Yalnızca sayıların bölünebilirliğine ilişkin işaretler eklemek gerekir:
-Sayı çift ise 2'ye bölünür.
- Son iki basamaktan oluşan bir sayı 4'e bölünüyorsa sayının kendisi de 4'e bölünür.
— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3'e bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünebilir. Örneğin, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. On iki 3'e bölünebildiği için 123031 de 3'e bölünebilir.
- Sayı 5 veya 0 ile bitiyorsa sayı 5'e bölünür.
— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 9'a bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünür. Örneğin, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. On sekiz, 9'a bölünebilir, bu da 623032'nin 9'a bölünebileceği anlamına gelir.
İkinci yaklaşım.
Kısaca söylemek gerekirse, aslında tüm iş pay ve paydayı çarpanlara ayırmaya ve ardından pay ve paydadaki eşit çarpanları azaltmaya dayanıyor (bu yaklaşım ilk yaklaşımın bir sonucudur):
Görsel olarak, karışıklığı ve hataları önlemek için eşit faktörlerin üzeri çizilir. Soru – Bir sayı nasıl çarpanlara ayrılır? Arama yaparak tüm bölenleri belirlemek gerekir. Bu ayrı bir konudur, karmaşık değildir, bilgileri bir ders kitabından veya internetten arayın. Okul kesirlerinde bulunan sayıları çarpanlarına ayırma konusunda büyük sorunlarla karşılaşmazsınız.
İndirgeme ilkesi resmi olarak şu şekilde yazılabilir:
Üçe yaklaş.
İşte ileri düzeydekiler ve ileri düzeyde olmak isteyenler için en ilginç şey. 143/273 kesrini azaltalım. Kendiniz deneyin! Peki nasıl bu kadar çabuk oldu? Şimdi bak!
Ters çeviririz (pay ve paydanın yerlerini değiştiririz). Ortaya çıkan kesri bir köşeyle bölüp karışık sayıya dönüştürüyoruz, yani parçanın tamamını seçiyoruz:
Zaten daha kolay. Pay ve paydanın 13'e kadar azaltılabileceğini görüyoruz:
Şimdi kesri tekrar ters çevirmeyi unutmayın, tüm zinciri yazalım:
İşaretli - bölenleri aramak ve kontrol etmekten daha az zaman alır. İki örneğimize dönelim:
Birinci. Bir köşeyle böleriz (hesap makinesinde değil), şunu elde ederiz:
Bu kesir elbette daha basittir, ancak indirgeme yine bir sorundur. Şimdi 1273/1463 kesrini ayrı ayrı analiz edip çevireceğiz:
Burada daha kolay. 19 gibi bir bölen sayabiliriz. Gerisi uygun değil, bu açık: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Yaşasın! Hadi yazalım:
Sonraki örnek. 88179/2717'yi kısaltalım.
Bölünce şunu elde ederiz:
Ayrı olarak, 1235/2717 fraksiyonunu analiz edip çeviriyoruz:
13 gibi bir bölen düşünebiliriz (13'e kadar uygun değildir):
Pay 247:13=19 Payda 1235:13=95
*İşlem sırasında 19'a eşit bir bölen daha gördük. Çıktı:
Şimdi orijinal numarayı yazıyoruz:
Ve kesirde neyin daha büyük olduğu önemli değil - pay veya payda, eğer payda ise, o zaman onu ters çevirip anlatıldığı gibi hareket ederiz. Bu şekilde herhangi bir kesri azaltabiliriz; üçüncü yaklaşıma evrensel denilebilir.
Yukarıda bahsettiğimiz iki örnek elbette basit örnekler değil. Bu teknolojiyi daha önce ele aldığımız "basit" kesirler üzerinde deneyelim:
İki çeyrek.
Yetmiş iki altmışlı. Pay paydadan büyüktür; onu tersine çevirmeye gerek yoktur:
Elbette bu tür durumlarda üçüncü yaklaşım uygulandı. basit örnekler sadece bir alternatif olarak. Yöntem, daha önce de belirtildiği gibi, evrenseldir, ancak tüm kesirler için, özellikle basit olanlar için uygun ve doğru değildir.
Kesirlerin çeşitliliği harika. İlkeleri anlamanız önemlidir. Kesirlerle çalışmanın katı bir kuralı yoktur. Baktık, harekete geçmenin nasıl daha uygun olacağını düşündük ve ilerledik. Pratik yaptıkça beceri gelecek ve onları tohum gibi kıracaksınız.
Çözüm:
Pay ve payda için ortak bir bölen(ler) görürseniz, azaltmak için bunları kullanın.
Bir sayıyı hızlı bir şekilde nasıl çarpanlara ayıracağınızı biliyorsanız, payı ve paydayı çarpanlara ayırın, ardından azaltın.
Ortak böleni belirleyemiyorsanız üçüncü yaklaşımı kullanın.
*Kesirleri azaltmak için indirgeme ilkelerine hakim olmak, kesirin temel özelliğini anlamak, çözüm yaklaşımlarını bilmek ve hesaplama yaparken son derece dikkatli olmak önemlidir.
Ve unutma! Bir kesri durana kadar azaltmak, yani ortak bir bölen olduğu sürece azaltmak gelenekseldir.
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
497'yi 4'e bölmemiz gerekirse, bölerken 497'nin 4'e tam olarak bölünemediğini görürüz. bölümün geri kalanı kalır. Bu gibi durumlarda tamamlandı denir. kalanla bölme ve çözüm şu şekilde yazılır:
497: 4 = 124 (1 kalan).
Eşitliğin sol tarafındaki bölme bileşenlerine kalansız bölme işleminde olduğu gibi aynı ad verilir: 497 - temettü, 4 - bölücü. Bir kalana bölündüğünde elde edilen sonuca denir tamamlanmamış özel. Bizim durumumuzda bu 124 sayısıdır. Ve son olarak, burada yer almayan son bileşen. sıradan bölüm, - kalan. Kalanın olmadığı durumlarda bir sayının diğerine bölünmesi denir iz bırakmadan veya tamamen. Böyle bir bölünmeyle geri kalanın olduğuna inanılıyor. sıfıra eşit. Bizim durumumuzda kalan 1'dir.
Kalan her zaman bölenden küçüktür.
Bölme çarpma ile kontrol edilebilir. Örneğin, 64: 32 = 2 eşitliği varsa, kontrol şu şekilde yapılabilir: 64 = 32 * 2.
Çoğu zaman kalanla bölme işleminin yapıldığı durumlarda eşitliği kullanmak uygundur.
a = b * n + r,
burada a bölünen, b bölen, n kısmi bölüm, r ise kalandır.
Doğal sayıların bölümü kesir olarak yazılabilir.
Bir kesrin payı böleni, paydası ise böleni ifade eder.
Bir kesrin payı bölen, paydası da bölen olduğuna göre; kesir çizgisinin bölme eylemi anlamına geldiğine inanıyorum. Bazen bölme işlemini ":" işaretini kullanmadan kesir olarak yazmak daha uygun olur.
Doğal sayıların m ve n bölümünün bölümü bir kesir \(\frac(m)(n) \) olarak yazılabilir; burada m payı bölendir ve payda n de bölendir:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Aşağıdaki kurallar doğrudur:
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için, birimi n eşit parçaya (paylara) bölmeniz ve bu tür parçaları almanız gerekir.
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için m sayısını n sayısına bölmeniz gerekir.
Bir bütünün parçasını bulmak için bütüne karşılık gelen sayıyı paydaya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin payı ile çarpmanız gerekir.
Parçasından bir bütün bulmak için bu parçaya karşılık gelen sayıyı paya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin paydasıyla çarpmanız gerekir.
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla (sıfır hariç) çarpılırsa kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya (sıfır hariç) bölünürse kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Bu özelliğe denir bir kesrin temel özelliği.
Son iki dönüşüme denir bir fraksiyonu azaltmak.
Kesirlerin aynı paydaya sahip kesirler olarak temsil edilmesi gerekiyorsa bu işleme denir. kesirlerin azaltılması ortak payda .
Doğru ve yanlış kesirler. Karışık sayılar
Bir bütünü eşit parçalara bölerek ve bu parçalardan birkaçını alarak bir kesrin elde edilebileceğini zaten biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(3)(4)\) kesri birin dörtte üçü anlamına gelir. Önceki paragraftaki problemlerin çoğunda kesirler bir bütünün parçalarını temsil etmek için kullanıldı. Sağduyu parçanın her zaman bütünden daha az olması gerektiğini öne sürüyor, peki ya \(\frac(5)(5)\) veya \(\frac(8)(5)\) gibi kesirler ne olacak? Bunun artık birimin bir parçası olmadığı açıktır. Payı paydadan büyük veya paydaya eşit olan kesirlerin adlandırılmasının nedeni muhtemelen budur. uygunsuz kesirler. Diğer kesirler, yani payı paydadan daha az, isminde kesirleri düzelt.
Bildiğiniz gibi herhangi ortak kesir Hem doğru hem de yanlış, payın paydaya bölünmesi sonucu düşünülebilir. Bu nedenle matematikte farklı olarak sıradan dil, "uygunsuz kesir" terimi yanlış bir şey yaptığımız anlamına gelmez, yalnızca bu kesrin payının paydadan büyük veya ona eşit olduğu anlamına gelir.
Bir sayı bir tam sayı ve bir kesirden oluşuyorsa, o zaman böyle kesirlere karışık denir.
Örneğin:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - bütün kısım ve \(\frac(2)(3)\) kesirli kısımdır.
\(\frac(a)(b) \) kesirinin payı bir n doğal sayısıyla bölünebiliyorsa, bu kesri n'ye bölmek için payının bu sayıya bölünmesi gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
\(\frac(a)(b)\) kesirinin payı bir n doğal sayısıyla bölünemiyorsa, bu kesri n'ye bölmek için paydasını bu sayıyla çarpmanız gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Pay n'ye bölünebildiğinde ikinci kuralın da geçerli olduğunu unutmayın. Bu nedenle, bir kesrin payının n'ye bölünüp bölünemeyeceğini ilk bakışta belirlemenin zor olduğu durumlarda bunu kullanabiliriz.
Kesirli eylemler. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirli sayılarla, doğal sayılarda olduğu gibi şunları yapabilirsiniz: aritmetik işlemler. Önce kesirleri toplamaya bakalım. Kesirleri kolayca ekleyin aynı paydalar. Örneğin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3)(7)\) toplamını bulalım. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) olduğunu anlamak kolaydır
Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfleri kullanarak, paydaları benzer olan kesirleri toplama kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Kesirleri eklemeniz gerekiyorsa farklı paydalar o zaman öncelikle ortak bir paydaya getirilmeleri gerekir. Örneğin:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Kesirler için, doğal sayılarda olduğu gibi, değişmeli ve ilişkisel özellikler ek.
Karışık kesirlerin eklenmesi
\(2\frac(2)(3)\) gibi gösterimlere denir karışık kesirler. Bu durumda 2 sayısı çağrılır. bütün kısım karışık kesir ve \(\frac(2)(3)\) sayısı onun kesirli kısım . \(2\frac(2)(3)\) girdisi şu şekilde okunur: “iki ve iki üçte biri.”
8 sayısını 3 sayısına böldüğünüzde iki cevap alabilirsiniz: \(\frac(8)(3)\) ve \(2\frac(2)(3)\). Aynı kesirli sayıyı ifade ederler, yani \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Dolayısıyla, uygunsuz kesir \(\frac(8)(3)\) karışık bir kesir \(2\frac(2)(3)\) olarak temsil edilir. Bu gibi durumlarda uygunsuz bir kesirden şunu söylüyorlar tüm kısmı vurguladım.
Kesirlerde çıkarma (kesirli sayılar)
Çıkarma kesirli sayılar doğal olanlar gibi, toplama eylemine göre belirlenir: bir sayıdan bir başkasını çıkarmak, ikinciye eklendiğinde birinciyi veren bir sayı bulmak anlamına gelir. Örneğin:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) çünkü \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Paydaları benzer olan kesirleri çıkarma kuralı, bu tür kesirleri toplama kuralına benzer:
Paydaları aynı olan kesirler arasındaki farkı bulmak için, birinci kesrin payından ikincinin payını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfler kullanılarak bu kural şu şekilde yazılır:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Kesirlerin Çarpılması
Bir kesri bir kesirle çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda olarak yazmanız gerekir.
Harfleri kullanarak kesirleri çarpma kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Formüle edilmiş kuralı kullanarak, bir kesiri doğal bir sayıyla, karışık bir kesirle çarpabilir ve ayrıca karışık kesirleri çarpabilirsiniz. Bunu yapmak için doğal sayıyı paydası 1 olan kesir olarak, karışık kesri ise bileşik kesir olarak yazmanız gerekir.
Çarpmanın sonucu, kesir azaltılarak ve bileşik kesrin tamamı izole edilerek (mümkünse) basitleştirilmelidir.
Doğal sayılarda olduğu gibi kesirler için de çarpmanın değişme ve birleşimsel özellikleri ile çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği geçerlidir.
Kesirlerin bölünmesi
\(\frac(2)(3)\) kesrini alalım ve pay ve paydayı değiştirerek onu "çevirelim". \(\frac(3)(2)\) kesirini elde ederiz. Bu kesir denir tersi kesirler \(\frac(2)(3)\).
Şimdi \(\frac(3)(2)\) kesirini “tersine çevirirsek”, orijinal kesir \(\frac(2)(3)\) elde ederiz. Bu nedenle \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(3)(2)\) gibi kesirlere denir karşılıklı ters.
Örneğin, \(\frac(6)(5) \) ve \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ve \(\frac (18) kesirleri )(7)\).
Harflerin karşılıklı kullanılması karşılıklı kesirlerşu şekilde yazılabilir: \(\frac(a)(b) \) ve \(\frac(b)(a) \)
Açıktır ki karşılıklı kesirlerin çarpımı 1'e eşittir. Örneğin: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Karşılıklı kesirleri kullanarak kesirlerin bölünmesini çarpmaya azaltabilirsiniz.
Bir kesri bir kesre bölme kuralı şudur:
Bir kesri diğerine bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
Harfleri kullanarak kesirleri bölme kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Temettü veya bölen ise doğal sayı veya karışık fraksiyon, o zaman kesirleri bölme kuralını kullanabilmek için öncelikle bunun uygunsuz bir kesir olarak temsil edilmesi gerekir.
