“Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri” - Üçgen çeşitleri. Bir üçgenin yüksekliği Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri. Bir açının üç sektörleri. Herhangi bir üçgenin üç medyanı vardır. Üçgenin ve özelliklerinin ilk sözünü Mısır papirüslerinde buluyoruz. Kenarortayların, açıortayların ve üçgenlerin yüksekliklerinin özellikleri. Eşkenar ve ikizkenar üçgen.
“Kağıt sayfası” - Geometride kağıt şu amaçlarla kullanılır: yazmak, çizmek; kesmek; bükülmek. Herkes bilinen gerçek Geometride kağıt yakmak kullanılmaz. Geometri ve kağıt sayfası. Pascal. Kağıttan bir üçgen kesilir. Bir defterden yaprak. Pek çok kişi arasında olası eylemler Kağıdın önemli bir özelliği kesilebilmesidir.
"Geometri Tarihi" - Eski Mısır. Ortaçağ. "İlkeler" 13 kitaptan oluşmaktadır. Geometrinin ortaya çıkışı ve gelişimi. Lyubachevsky geometrisinde çiftli üçgenler var paralel kenarlar. Antik Yunanistan. Geometri birçok formül, şekil, teorem, problem ve aksiyom içerir. Thales hareket kavramını, özellikle de dönme kavramını ortaya attı.
“Pisagor Teoreminin Kanıtı” - Teoremin önemi, geometri teoremlerinin çoğunun ondan veya onun yardımıyla çıkarılabileceğidir. Cebirsel kanıt. Pisagor teoreminin anlamı. Ve şimdi Pisagor teoremi, uzak çağında olduğu gibi doğrudur. Pisagor teoremi geometrideki en önemli teoremlerden biridir. Pisagor teoremi. Öklid'in kanıtı.
"Milet Thales'i" - THALES - Antik Yunan düşünürü, ata antik felsefe ve bilim. Bazen erişilemeyen bir nesneye olan mesafeyi ölçmek gerekir. Kibrit kullanarak mesafeyi belirleme. Thales yılın uzunluğunu buldu ve onu 365 güne böldü. Milet Thales'i. Thales tahmin etti güneş tutulması MÖ 28 Mayıs 585
“Düzenli çokyüzlü” - İkosahedron en akıcı olanıdır. Modeli güneş sistemi I.Kepler. Düzenli çokyüzlüler canlı doğada bulunur. Kepler'in "Kozmik Kupası". Düzenli dodekahedron on iki normal beşgenden geriye kalanlar. İkosahedron'un her bir tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 300°'dir. Düzenli ikosahedron.
Toplamda 41 sunum var
Daire, parçaları, boyutları ve ilişkileri kuyumcunun sürekli karşılaştığı şeylerdir. Yüzükler, bilezikler, kastlar, tüpler, toplar, spiraller - pek çok yuvarlak şeyin yapılması gerekiyor. Tüm bunları nasıl hesaplayabilirsiniz, özellikle de okuldaki geometri derslerini atlayacak kadar şanslıysanız?..
Önce bir dairenin hangi parçaları olduğuna ve bunlara ne ad verildiğine bakalım.
- Bir daire, bir daireyi çevreleyen bir çizgidir.
- Yay bir dairenin parçasıdır.
- Yarıçap, bir dairenin merkezini daire üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan bir segmenttir.
- Akor, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir segmenttir.
- Segment, bir kiriş ve bir yay tarafından sınırlanan bir dairenin parçasıdır.
- Sektör, iki yarıçap ve bir yay ile sınırlanan bir dairenin parçasıdır.
İlgilendiğimiz miktarlar ve bunların tanımları:
Şimdi bir dairenin parçalarıyla ilgili hangi problemlerin çözülmesi gerektiğine bakalım.
- Yüzüğün (bilezik) herhangi bir kısmının gelişim uzunluğunu bulun. Çap ve kiriş belirtilir (seçenek: çap ve merkez açı), yayın uzunluğunu bulun.
- Bir düzlemde bir çizim var, onu bir yay şeklinde büktükten sonra projeksiyonda boyutunu bulmanız gerekiyor. Yay uzunluğu ve çapı verildiğinde kiriş uzunluğunu bulun.
- Düz bir iş parçasını yay şeklinde bükerek elde edilen parçanın yüksekliğini bulun. Kaynak veri seçenekleri: yay uzunluğu ve çapı, yay uzunluğu ve kirişi; doğru parçasının yüksekliğini bulun.
Hayat size başka örnekler de verecektir, ancak bunları yalnızca diğerlerini bulmak için iki parametreyi ayarlamanın gerekliliğini göstermek için verdim. Yapacağımız şey bu. Yani, segmentin beş parametresini alıyoruz: D, L, X, φ ve H. Daha sonra onlardan olası tüm çiftleri seçerek bunları başlangıç verileri olarak ele alacağız ve beyin fırtınası diğerlerini bul.
Okuyucuyu boşuna yormamak için, detaylı çözümler Vermeyeceğim, yalnızca formül biçiminde sonuçlar vereceğim (olmayan durumlar) resmi karar, ilerledikçe bunun hakkında konuşacağım).
Ve bir not daha: ölçü birimleri hakkında. Merkezi açı dışındaki tüm büyüklükler aynı soyut birimlerle ölçülür. Bu, örneğin bir değeri milimetre cinsinden belirtirseniz, diğerinin santimetre cinsinden belirtilmesine gerek olmadığı ve ortaya çıkan değerlerin aynı milimetre (ve milimetre kare cinsinden alanlar) cinsinden ölçüleceği anlamına gelir. Aynı şey inç, fit ve deniz mili için de söylenebilir.
Ve her durumda yalnızca merkezi açı derece olarak ölçülür, başka hiçbir şey yapılmaz. Çünkü genel bir kural olarak, yuvarlak bir şey tasarlayan insanlar açıları radyan cinsinden ölçme eğiliminde değildir. "Pi açısı dört" ifadesi birçok kişinin kafasını karıştırırken, "kırk beş derecelik açı" normalden yalnızca beş derece yüksek olduğu için herkes tarafından anlaşılabilir. Ancak tüm formüllerde ara değer olarak bir açı daha (α) bulunacaktır. Anlam olarak, bu, radyan cinsinden ölçülen merkezi açının yarısıdır, ancak bu anlamı güvenle araştıramazsınız.
1. Çap D ve yay uzunluğu L verildiğinde
; akor uzunluğu 
;
bölüm yüksekliği 
; merkez açı 
.
2. Verilen çap D ve kiriş uzunluğu X
; yay uzunluğu;
bölüm yüksekliği ; merkez açı 
.
Kiriş daireyi iki parçaya böldüğü için bu problemin bir değil iki çözümü vardır. İkinciyi elde etmek için yukarıdaki formüllerdeki α açısını açıyla değiştirmeniz gerekir.
3. D çapı ve φ merkez açısı göz önüne alındığında
; yay uzunluğu;
akor uzunluğu ; bölüm yüksekliği .
4. H segmentinin D çapı ve yüksekliği göz önüne alındığında
; yay uzunluğu;
akor uzunluğu ; merkez açı .
6. Verilen yay uzunluğu L ve merkez açısı φ
; çap ;
akor uzunluğu ; bölüm yüksekliği .
8. X kiriş uzunluğu ve φ merkez açısı göz önüne alındığında
; yay uzunluğu 
;
çap ; bölüm yüksekliği .
9. X kirişinin uzunluğu ve H segmentinin yüksekliği göz önüne alındığında
; yay uzunluğu ;
çap ; merkez açı .
10. Merkezi açı φ ve H doğru parçasının yüksekliği göz önüne alındığında
; çap 
;
yay uzunluğu; akor uzunluğu .
Dikkatli okuyucu iki seçeneği kaçırdığımı fark etmeden edemedi:
5. Yay uzunluğu L ve kiriş uzunluğu X verildiğinde
7. L yayının uzunluğu ve H doğru parçasının yüksekliği verildiğinde
Bunlar sadece ikisi hoş olmayan olay Sorunun formül şeklinde yazılabilecek bir çözümü olmadığında. Ve görev o kadar da nadir değil. Örneğin, L uzunluğunda düz bir parçanız var ve onu uzunluğu X (veya yüksekliği H) olacak şekilde bükmek istiyorsunuz. Mandreli (çapraz çubuk) hangi çapta almalıyım?
Bu problem denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir: 
; - seçenek 5'te
; - seçenek 7'de
analitik olarak çözülemeseler de programlı olarak kolaylıkla çözülebilirler. Hatta böyle bir programı nereden alacağımı bile biliyorum: tam da bu sitede, adı altında . Size burada uzun uzadıya anlattığım her şeyi mikrosaniyeler içinde yapıyor.
Resmi tamamlamak için hesaplamalarımızın sonuçlarına çevreyi ve üç alan değerini (daire, sektör ve segment) ekleyelim. (Alanlar, tüm yuvarlak ve yarım daire şeklindeki parçaların kütlesini hesaplarken bize çok yardımcı olacaktır, ancak bu konuda daha fazla bilgi ayrı bir makalede yer alacaktır.) Tüm bu miktarlar aynı formüller kullanılarak hesaplanır:
çevre;
bir dairenin alanı 
;
sektör alanı;
bölüm alanı 
;
Ve sonuç olarak, mutlak varlığın varlığını bir kez daha hatırlatmama izin verin. ücretsiz program Yukarıdaki hesaplamaların tümünü gerçekleştirerek sizi arktanjantın ne olduğunu ve onu nerede arayacağınızı hatırlama zorunluluğundan kurtarır.
Daire, özellikleri 8. sınıfta okulda incelenen geometrinin ana figürüdür. Bir tanesi tipik görevler bir daire ile ilişkili olanın adı verilen bir kısmının alanını bulmaktır. dairesel sektör. Makale, bir sektörün alanı ve yayının uzunluğu için formüllerin yanı sıra bunların çözüm için kullanımına bir örnek sunmaktadır. özel görev.
Çevre ve daire kavramı
Bir daire diliminin alanının formülünü vermeden önce, belirtilen rakamın ne olduğuna bakalım. Buna göre matematiksel tanım Bir daire, tüm noktaları tek bir noktadan (merkezden) eşit uzaklıkta olan bir düzlem üzerindeki şekil olarak anlaşılmaktadır.
Bir daire düşünülürken aşağıdaki terminoloji kullanılır:
- Yarıçap, merkez noktasından dairenin eğrisine çizilen bir parçadır. Genellikle R harfiyle gösterilir.
- Çap, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren ancak aynı zamanda şeklin merkezinden geçen bir çizgi parçasıdır. Genellikle D harfiyle gösterilir.
- Yay, eğri bir dairenin bir parçasıdır. Uzunluk birimi cinsinden veya açılar kullanılarak ölçülür.
Daire, geometrideki bir diğer önemli şekildir; bir dairenin eğrisiyle sınırlanan noktaların toplamıdır.
Bir dairenin alanı ve çevresi
Maddenin başlığında belirtilen değerler iki kullanılarak hesaplanır. basit formüller. Aşağıda verilmiştir:
- Çevre: L = 2*pi*R.
- Bir dairenin alanı: S = pi*R 2 .
Bu formüllerde pi, Pi sayısı adı verilen belirli bir sabittir. İrrasyoneldir, yani basit bir kesir olarak doğru bir şekilde ifade edilemez. Pi'nin yaklaşık değeri 3,1416'dır.
Yukarıdaki ifadelerden de görüleceği üzere alan ve uzunluk hesabı yapabilmek için dairenin sadece yarıçapını bilmek yeterlidir.
Bir daire sektörünün alanı ve yayının uzunluğu
İlgili formülleri dikkate almadan önce, geometride açıların genellikle iki ana yolla ifade edildiğini hatırlayalım:
- altmışlık derecelerde ve tam dönüş kendi ekseni etrafında 360 o'ya eşittir;
- Pi sayısının kesirleri olarak ifade edilen ve aşağıdaki eşitlikle derecelerle ilişkilendirilen radyan cinsinden: 2*pi = 360 o.
Bir dairenin sektörü, üç çizgiyle sınırlanmış bir şekildir: bir daire yayı ve bu yayın uçlarında bulunan iki yarıçap. Aşağıdaki fotoğrafta dairesel bir sektörün bir örneği gösterilmektedir.
Bir dairenin sektörünün ne olduğu hakkında fikir edindikten sonra, alanının ve karşılık gelen yayın uzunluğunun nasıl hesaplanacağını anlamak kolaydır. Yukarıdaki şekilde sektörün yayının θ açısına karşılık geldiği görülebilir. Bunu biliyoruz tam daire 2*pi radyana karşılık gelir; bu, dairesel bir sektörün alanı için formülün şu şekilde olacağı anlamına gelir: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 *θ/(2*pi) ) = θ*R2/2. Burada θ açısı radyan cinsinden ifade edilir. θ açısı derece cinsinden ölçülürse sektör alanı için benzer bir formül şu şekilde görünecektir: S 1 = pi*θ*R 2/360.
Sektörü oluşturan yayın uzunluğu şu formülle hesaplanır: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Ve eğer θ derece cinsinden biliniyorsa, o zaman: L 1 = pi*θ*R/180.
Sorun çözümü örneği
Örnek olarak basit bir problem kullanarak, bir daire sektörünün alanı ve yayının uzunluğu için formüllerin nasıl kullanılacağını göstereceğiz.
Tekerleğin 12 kollu olduğu bilinmektedir. Tekerlek bir tam dönüş yaptığında 1,5 metre yol kat eder. Tekerleğin iki bitişik ispitinin arasındaki alan nedir ve aralarındaki yayın uzunluğu ne kadardır?
Buradan görülebileceği gibi karşılık gelen formüller Bunları kullanmak için iki miktarı bilmeniz gerekir: dairenin yarıçapı ve yayın açısı. Yarıçap, tekerleğin çevresi bilgisine dayanarak hesaplanabilir, çünkü bir devirde kat ettiği mesafe tam olarak ona karşılık gelir. Elimizde: 2*R*pi = 1,5, buradan: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metre. En yakın parmaklıklar arasındaki açı, sayıları bilinerek belirlenebilir. 12 telin tamamının daireyi eşit sektörlere böldüğünü varsayarsak, 12 özdeş sektör elde ederiz. Buna göre iki ispit arasındaki yayın açısal ölçüsü şuna eşittir: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radyan.
Gerekli tüm miktarları bulduk, artık bunları formüllerde yerine koyabilir ve problemin koşulunun gerektirdiği değerleri hesaplayabiliriz. Şunu elde ederiz: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2/2 = 0,0149 m2 veya 149 cm2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m veya 12,5 cm.
Bir dairenin sektörünün alanını ve bir doğru parçasının alanını öğrenmeye gerek yok! Sevgili dostlar!Muhtemelen dizine birden fazla kez baktınız. matematiksel formüller ve elbette şu düşünce ortaya çıktı: "Hepsini öğrenmek gerçekten mümkün mü?" Sana neyin mümkün olduğunu anlatacağım ama neden? Neden kafanızı bir sürü formülle doldurup sürekli tekrarlayıp, bazılarını unuttuğunuz için dehşete düşüp tekrar tekrarlayasınız ki? Gerek yok!
Aslında tüm formüllerin üçte birini, temel formülleri veya daha azını hatırlamak yeterlidir. Daha sonra neden bahsettiğimizi anlayacaksınız. Diğer tüm formüller, temel bilgilerin bilinmesi, mantığın uygulanması ve takip edilecek ilkelerin hatırlanmasıyla hızlı bir şekilde çıkarılabilir.
Size bir örnek vereyim: 32 indirgeme formülü var; bunları öğrenmek anlamsız bir çalışmadır. Bunlardan herhangi birinin hızlı bir şekilde nasıl hatırlanacağı “” makalesinde özetlenmiştir, bir göz atın.
Bu yazıda, bir daire sektörünün alanı, segmentinin alanı ve bir daire yayının uzunluğu için formüllerin hafızada hızlı bir şekilde nasıl geri yükleneceğine bakacağız. Bir sonraki makalede analiz edeceğimiz planimetrideki serileri çözmek için ihtiyaç duyulacak olan bu formüllerdir.Yani “temel” formülleri öğrenmeniz ve bilmeniz gerekiyor!
Bir dairenin alanı (formül):
Çevre formülü:
Belirli bir n merkezi açısına karşılık gelen bir sektörü tasvir edelim:
Mantıksal olarak akıl yürütüyoruz: eğer bir dairenin alanı S= ise Halkla İlişkiler 2 o zaman bir derecelik bir sektöre karşılık gelen alan, dairenin alanının 1/360'ına eşit olacaktır (dairenin tamamının 360 derecelik bir açı olduğunu biliyoruz), yani
Ayrıca, n derecelik merkez açıya karşılık gelen sektörün alanının, daire alanının üç yüz altmışta biri ile merkez açısı n'nin (sektöre karşılık gelen) ürününe eşit olduğu açıktır. yani
İşte sektör alanının formülü.
Veya muhakemenizi şu şekilde yapılandırabilirsiniz:
1 derecelik bir sektör sırasıyla bir dairenin 1/360'ıdır, n derecelik bir sektör ise bir dairenin n/360'ıdır. Yani sektörün alanı daire alanı ile bu kısmın çarpımına eşit olacaktır:
Çok basit. Üçgenin alanını sektörün alanından çıkarmak gerekir (belirlenmiştir) sarı). Bildiğimiz gibi bir üçgenin alanı, bitişik kenarların çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir (bu formülü bilmeniz gerekir, öyle değil).karmaşık). İÇİNDE bu durumda Bu:
Araç,
Segment alanı için bu kadar!
Merkez açının 180 dereceden büyük olduğu segmentin alanı basitçe:
Ortaya çıkan parçanın alanını dairenin alanından çıkarın:
360 – n derecelik açı, gösterilen sektöre (sarı) karşılık gelen açıdır:
Yani üçgenin alanını kendi alanına ekleyip belirtilen parçanın alanını elde ediyoruz.
Benzer şekilde bir daire yayının uzunluğunu da belirleriz. Daha önce de söylediğimiz gibi, çevre şuna eşittir:
Bu, bir dereceye karşılık gelen bir daire yayının uzunluğunun 2πR'nin üç yüz altmışta birine eşit olacağı anlamına gelir, yani
Bir daire yayının uzunluğunu elde ederiz. Kesinlikle, bu bilgiöğretmenler öğrencilere veriyor ve sen bu kadar gizli bir şey öğrenmedin. Ancak makalenin işinize yarayacağına eminim.
En önemli şeyin dairenin alanı ve çevresinin formüllerini bilmek olduğunu tekrar ediyorum ve o zaman sadece mantık işe yarar.
Bu konuyla ilgili Dmiry Tarasov'un ek dersini izlemenizi öneririm. Merkezi açının radyan ölçüsünde verildiği dairesel yayın uzunluğu ve sektörün alanı için formüller dikkate alınır.
Hepsi bu. Size iyi şanslar!!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
VE daire - geometrik şekiller, birbirine bağlı. bir sınır var kırık çizgi(eğri) daire,
Tanım. Çember, her noktası çemberin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıkta olan kapalı bir eğridir.
Bir daire oluşturmak için, dairenin merkezi olarak rastgele bir O noktası seçilir ve pusula kullanılarak kapalı bir çizgi çizilir.
Çemberin merkezinin O noktası birleştirilirse keyfi noktalar bir daire üzerinde, o zaman ortaya çıkan tüm bölümler birbirine eşit olacaktır ve bu tür bölümlere yarıçap adı verilir, Latince küçük veya kısaltılır. büyük harf"eee" ( R veya R). Bir dairenin uzunluğundaki noktaların sayısı kadar yarıçap çizebilirsiniz.
Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına çap denir. Çap ikiden oluşur yarıçap, aynı düz çizgide uzanıyor. Çap, Latince küçük veya büyük harf “de” ( D veya D).
Kural. Çap bir daire onun ikisine eşittir yarıçap.
d = 2r
D=2R
Bir dairenin çevresi formülle hesaplanır ve dairenin yarıçapına (çapına) bağlıdır. Formül, çevrenin çapından kaç kat daha büyük olduğunu gösteren ¶ sayısını içerir. ¶ sayısı sonsuz sayı ondalık basamaklar. Hesaplamalarda ¶ = 3,14 alınmıştır.
Bir dairenin çevresi Latince büyük harf “tse” ile gösterilir ( C). Bir dairenin çevresi çapıyla orantılıdır. Bir dairenin çevresini yarıçapına ve çapına göre hesaplamak için formüller:
C = ¶d
C = 2¶r
- Örnekler
- Verilen: d = 100 cm.
- Çevre: C=3.14*100cm=314cm
- Verilen: d = 25 mm.
- Çevre: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm
Dairesel kesen ve dairesel yay
Her kesen (düz çizgi) bir daireyi iki noktada keser ve onu iki yaya böler. Bir daire yayının boyutu, merkez ile kesen arasındaki mesafeye bağlıdır ve kesenin daire ile birinci kesişme noktasından ikinciye kadar kapalı bir eğri boyunca ölçülür.
Yaylar daireler bölünmüş sekant Sekant çapla örtüşmüyorsa majör ve minör olarak ve ikiye eşit yaylar sekant dairenin çapı boyunca geçiyorsa.
Bir sekant dairenin merkezinden geçerse, daire ile kesişme noktaları arasında bulunan bölümü dairenin çapı veya dairenin en büyük akorudur.
Sekant dairenin merkezinden ne kadar uzakta olursa, o kadar az olur. derece ölçüsü bir dairenin daha küçük bir yayı ve bir dairenin daha büyük bir yayı ve bir kesen parçası olarak adlandırılan akor sekant çemberin merkezinden uzaklaştıkça azalır.
Tanım. Bir daire, bir dairenin içinde bulunan bir düzlemin parçasıdır.
Bir dairenin merkezi, yarıçapı ve çapı aynı anda karşılık gelen dairenin merkezi, yarıçapı ve çapıdır.
Daire bir düzlemin parçası olduğundan parametrelerinden biri de alandır.
Kural. Bir dairenin alanı ( S) yarıçapın karesinin çarpımına eşittir ( r2) ¶ sayısına kadar.
- Örnekler
- Verilen: r = 100 cm
- Daire alanı:
- S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31.400 cm2 ≈ 3 m2
- Verilen: d = 50 mm
- Daire alanı:
- S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm2 ≈ 20 cm2
Bir daireye iki yarıçap çizerseniz farklı noktalar daire, daha sonra dairenin iki parçası oluşturulur, bunlara denir sektörler. Bir daireye bir akor çizerseniz, düzlemin yay ile akor arasındaki kısmına denir. daire parçası.
