Antiderivatif fonksiyon ve belirsiz integral
Gerçek 1. İntegral, farklılaşmanın ters etkisidir, yani bir fonksiyonun bilinen türevinden geri getirilmesidir. Böylece işlev geri yüklendi F(X) denir antiderivatif fonksiyon için F(X).
Tanım 1. İşlev F(X F(X) belirli aralıklarla X, eğer tüm değerler için X bu aralıktan itibaren eşitlik geçerlidir F "(X)=F(X), yani bu fonksiyon F(X) antiderivatif fonksiyonun türevidir F(X). .
Örneğin, fonksiyon F(X) = günah X fonksiyonun ters türevidir F(X) = çünkü X tüm sayı doğrusunda, çünkü herhangi bir x değeri için (günah X)" = (çünkü X) .
Tanım 2. Bir fonksiyonun belirsiz integrali F(X) tüm anti türevlerinin kümesidir. Bu durumda notasyon kullanılır.
∫
F(X)dx
,işaret nerede ∫ integral işareti olarak adlandırılan fonksiyon F(X) – integral işlevi ve F(X)dx – integrand ifadesi.
Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatifler F(X) , O
∫
F(X)dx = F(X) +C
Nerede C - keyfi sabit (sabit).
Belirsiz bir integral olarak bir fonksiyonun antitürevleri kümesinin anlamını anlamak için aşağıdaki benzetme uygundur. Bir kapı olsun (geleneksel ahşap kapı). İşlevi “kapı olmaktır”. Kapı neyden yapılmış? Ahşaptan yapılmıştır. Bu, "kapı olma" integral fonksiyonunun, yani belirsiz integralinin ters türevleri kümesinin, "ağaç olma + C" fonksiyonu olduğu anlamına gelir; burada C, aşağıdaki gibi bir sabittir: bu bağlamdaörneğin bir ağaç türünü gösterebilir. Tıpkı bir kapının bazı aletler kullanılarak ahşaptan yapılması gibi, bir fonksiyonun türevi de bir antiderivatif fonksiyondan "yapılır". türevi incelerken öğrendiğimiz formüller .
Daha sonra ortak nesnelerin ve bunlara karşılık gelen ters türevlerinin fonksiyon tablosu (“kapı olmak” - “ağaç olmak”, “kaşık olmak” - “metal olmak” vb.) temel tabloya benzer. Aşağıda verilecek olan belirsiz integraller. Belirsiz integraller tablosu, bu fonksiyonların "oluşturulduğu" ters türevleri gösteren ortak fonksiyonları listeler. Belirsiz integrali bulma problemlerinin bir kısmında, çok fazla çaba harcamadan, yani belirsiz integraller tablosunu kullanarak doğrudan entegre edilebilecek integraller verilmiştir. Daha karmaşık problemlerde, tablo integrallerinin kullanılabilmesi için öncelikle integralin dönüştürülmesi gerekir.
Gerçek 2. Bir fonksiyonu ters türev olarak geri yüklerken, keyfi bir sabiti (sabit) hesaba katmalıyız. C ve 1'den sonsuza kadar çeşitli sabitlere sahip bir antiderivatif listesi yazmamak için, keyfi bir sabite sahip bir antiderivatifler seti yazmanız gerekir. Cörneğin şu şekilde: 5 X³+C. Bu nedenle, antiderivatifin ifadesine keyfi bir sabit (sabit) dahil edilir, çünkü antiderivatif bir fonksiyon olabilir, örneğin 5 X³+4 veya 5 X³+3 ve türevi alındığında 4 veya 3 veya herhangi bir sabit sıfıra gider.
Entegrasyon problemini ortaya koyalım: Bu fonksiyon için F(X) böyle bir fonksiyon bul F(X), kimin türevi eşit F(X).
Örnek 1. Bir fonksiyonun antiderivatifleri kümesini bulma
Çözüm. Bu fonksiyon için antiderivatif fonksiyondur
İşlev F(X) fonksiyonun antiderivatifi olarak adlandırılır F(X), eğer türev F(X) eşittir F(X) veya aynı şey olan diferansiyel F(X) eşittir F(X) dx, yani
(2)
Bu nedenle fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir. Ancak, için tek antiderivatif değildir. Aynı zamanda işlev olarak da hizmet ederler
Nerede İLE– keyfi sabit. Bu, farklılaşmayla doğrulanabilir.
Dolayısıyla, bir fonksiyonun bir antiderivatifi varsa, o zaman onun için de vardır. sonsuz küme Sabit bir terimle farklılık gösteren antiderivatifler. Bir fonksiyonun tüm antiderivatifleri yukarıdaki biçimde yazılmıştır. Bu, aşağıdaki teoremden kaynaklanmaktadır.
Teorem (gerçeğin resmi ifadesi 2). Eğer F(X) – fonksiyonun antiderivatifi F(X) belirli aralıklarla X, o zaman başka herhangi bir antiderivatif F(X) aynı aralıkta şu şekilde gösterilebilir: F(X) + C, Nerede İLE– keyfi sabit.
İÇİNDE aşağıdaki örnek Belirsiz integralin özelliklerinden sonra 3. paragrafta verilecek olan integral tablosuna zaten dönüyoruz. Yukarıdakilerin özünü netleştirmek için bunu tablonun tamamını okumadan önce yapıyoruz. Tablo ve özelliklerden sonra entegrasyon sırasında bunları bütünüyle kullanacağız.
Örnek 2. Antiderivatif fonksiyon kümelerini bulun:
Çözüm. Bu fonksiyonların "yaratıldığı" ters türev fonksiyon kümelerini buluyoruz. İntegral tablosundaki formüllerden bahsederken şimdilik bu tür formüllerin olduğunu kabul edelim ve belirsiz integral tablosunu biraz daha inceleyelim.
1) İntegral tablosundan formül (7)'yi uygulamak N= 3, şunu elde ederiz
2) İntegral tablosundaki formül (10)'u kullanarak N= 1/3, elimizde
3) O zamandan beri
daha sonra formül (7)'ye göre N= -1/4 buluruz
İntegral işaretinin altında yazılan fonksiyonun kendisi değildir. F ve diferansiyele göre çarpımı dx. Bu öncelikle antiderivatifin hangi değişken tarafından arandığını belirtmek için yapılır. Örneğin,
,
;
burada her iki durumda da integral eşittir , ancak dikkate alınan durumlarda belirsiz integrallerinin farklı olduğu ortaya çıkar. İlk durumda, bu fonksiyon değişkenin bir fonksiyonu olarak kabul edilir. X ve ikincisinde - bir fonksiyonu olarak z .
Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine o fonksiyonun integrali denir.
Belirsiz integralin geometrik anlamı
Diyelim ki bir eğri bulmamız gerekiyor y=F(x) ve teğet açının her bir noktasındaki tanjantının belirli bir fonksiyon olduğunu zaten biliyoruz. f(x) bu noktanın apsisi.
Buna göre geometrik anlamda türev, eğrinin belirli bir noktasındaki teğet açısının tanjantı y=F(x) değere eşit türev F"(x). Yani böyle bir fonksiyon bulmamız gerekiyor F(x), bunun için F"(x)=f(x). Görevde gerekli işlev F(x) bir antitürevidir f(x). Problemin koşulları tek bir eğri tarafından değil, bir eğri ailesi tarafından karşılanmaktadır. y=F(x)- bu eğrilerden biri ve ondan başka herhangi bir eğri elde edilebilir paralel aktarım eksen boyunca oy.
Antiderivatif fonksiyonunun grafiğine diyelim f(x) integral eğrisi. Eğer F"(x)=f(x), ardından fonksiyonun grafiği y=F(x) integral eğrisi vardır.
Gerçek 3. Belirsiz integral geometrik olarak tüm integral eğrileri ailesi tarafından temsil edilir aşağıdaki resimde olduğu gibi. Her eğrinin koordinatların orijininden uzaklığı, keyfi bir entegrasyon sabiti tarafından belirlenir. C.
Belirsiz integralin özellikleri
Gerçek 4. Teorem 1. Belirsiz bir integralin türevi integrale eşittir ve diferansiyeli de integrale eşittir.
Gerçek 5. Teorem 2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali F(X) fonksiyona eşit F(X) sabit bir terime kadar , yani
(3)
Teorem 1 ve 2, farklılaşma ve entegrasyonun karşılıklı olarak ters işlemler olduğunu göstermektedir.
Gerçek 6. Teorem 3. Sabit çarpan V integrand belirsiz integralin işareti çıkarılabilir , yani
İntegrallerini listeleyelim temel işlevler, bazen tablo olarak da adlandırılır:
Yukarıdaki formüllerden herhangi biri sağ tarafın türevi alınarak kanıtlanabilir (sonuç integral olacaktır).
Entegrasyon yöntemleri
Bazı temel entegrasyon yöntemlerine bakalım. Bunlar şunları içerir:
1. Ayrıştırma yöntemi(doğrudan entegrasyon).
Bu yöntem, tablo halindeki integrallerin doğrudan kullanımının yanı sıra belirsiz integralin 4 ve 5 özelliklerinin kullanımına (yani, sabit faktörün çıkarılması ve/veya integralin fonksiyonların toplamı olarak temsil edilmesi - integralin ayrıştırılması) dayanmaktadır. terimlerle integral alın).
Örnek 1.Örneğin, (dx/x 4)'ü bulmak için doğrudan x n dx'in tablo integralini kullanabilirsiniz. Aslında,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Birkaç örneğe daha bakalım.
Örnek 2. Bunu bulmak için aynı integrali kullanırız:
Örnek 3. Onu bulmak için almanız gerekir
Örnek 4. Bulmak için integral fonksiyonunu formda temsil ediyoruz. 
ve üstel fonksiyon için tablo integralini kullanın:
Parantezlemenin kullanımını sabit bir faktör olarak düşünelim.
Örnek 5.
Mesela bulalım 
. Bunu göz önünde bulundurarak şunu elde ederiz:
Örnek 6. Onu bulacağız. O zamandan beri 
, tablo integralini kullanalım 
Aldık
Aşağıdaki iki örnekte basamaklama ve tablo integrallerini de kullanabilirsiniz:
Örnek 7.
(kullanıyoruz ve 
);
Örnek 8.
(kullanıyoruz 
Ve 
).
Toplam integralini kullanan daha karmaşık örneklere bakalım.
Örnek 9.Örneğin, bulalım 
. Payda genişletme yöntemini uygulamak için toplam küp formülünü () kullanırız ve ardından elde edilen polinomu paydaya, terim terime böleriz.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Çözümün sonunda ortak bir C sabitinin yazıldığına (ve her terimin integrali alınırken ayrı sabitlerin yazılmadığına) dikkat edilmelidir. Gelecekte, ifade en az bir tane içerdiği sürece, çözüm sürecindeki bireysel terimlerin entegrasyonundan sabitlerin çıkarılması da önerilmektedir. belirsiz integral(Çözümün sonunda bir sabit yazacağız).
Örnek 10. bulacağız 
. Bu sorunu çözmek için payı çarpanlarına ayıralım (bundan sonra paydayı azaltabiliriz).
Örnek 11. Onu bulacağız. Trigonometrik kimlikler burada kullanılabilir.
Bazen bir ifadeyi terimlere ayırmak için daha karmaşık teknikler kullanmanız gerekir.
Örnek 12. bulacağız 
. İntegralde kesrin tamamını seçiyoruz 
. Daha sonra
Örnek 13. bulacağız
2. Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)
Yöntem şu formüle dayanmaktadır: f(x)dx=f((t))`(t)dt, burada x =(t), söz konusu aralıkta türevlenebilir bir fonksiyondur.
Kanıt. Soldan t değişkenine göre türevleri bulalım ve doğru parçalar formüller.
Sol tarafta ara argümanı x = (t) olan karmaşık bir fonksiyonun olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, bunun t'ye göre türevini almak için, önce integralin x'e göre türevini alırız, sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Sağ taraftan türev:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin doğal sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ tarafları belirli bir sabit kadar farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son gösterimden çıkarılabilir. Kanıtlanmış.
Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmenize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmenize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri arasında bir ayrım yapılır.
a) Doğrusal ikame yöntemi Bir örneğe bakalım.
Örnek 1.
. t= 1 – 2x olsun, o zaman
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Yeni değişkenin açıkça yazılmasına gerek olmadığı unutulmamalıdır. Bu gibi durumlarda, bir fonksiyonun diferansiyel işareti altında dönüştürülmesinden veya sabitlerin ve değişkenlerin diferansiyel işareti altına alınmasından söz edilir. O örtülü değişken değişimi.
Örnek 2.Örneğin cos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), o zamancos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Ele alınan her iki örnekte de integralleri bulmak için t=kx+b(k0) doğrusal ikamesi kullanıldı.
Genel durumda aşağıdaki teorem geçerlidir.
Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi olsun. O zamanf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, burada k ve b bazı sabitlerdir,k0.
Kanıt.
İntegralin tanımı gereği f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. İntegral işaretinden k sabit faktörünü çıkaralım: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Artık eşitliğin sağ ve sol taraflarını ikiye bölerek sabit terime kadar ispatlanacak ifadeyi elde edebiliriz.
Bu teorem, f(x)dx= F(x) + C integralinin tanımında x argümanı yerine (kx+b) ifadesini koyarsak, bunun ek bir ifadenin ortaya çıkmasına yol açacağını belirtir. antiderivatifin önündeki faktör 1/k.
Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.
Örnek 3.
bulacağız 
. Burada kx+b= 3 –x, yani k= -1,b= 3. O zaman
Örnek 4.
Onu bulacağız. Herekx+b= 4x+ 3 yani k= 4,b= 3. O halde
Örnek 5.
bulacağız 
. Burada kx+b= -2x+ 7, yani k= -2,b= 7. O zaman
.
Örnek 6. bulacağız 
. Burada kx+b= 2x+ 0, yani k= 2,b= 0.
.
Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülen örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı problemi farklı bir yöntem kullanarak çözerek cevaba ulaştık 
. Sonuçları karşılaştıralım: Dolayısıyla bu ifadeler birbirlerinden sabit bir terimle farklılık gösterir. 
, yani Alınan cevaplar birbiriyle çelişmemektedir.
Örnek 7. bulacağız 
. Paydada bir tam kare seçelim.
Bazı durumlarda, bir değişkeni değiştirmek, integrali doğrudan tablo haline getirmez, ancak çözümü basitleştirerek genişletme yönteminin bir sonraki adımda kullanılmasını mümkün kılar.
Örnek 8.Örneğin, bulalım 
. t=x+ 2'yi değiştirin, ardından dt=d(x+ 2) =dx'i değiştirin. Daha sonra
,
burada C = C 1 – 6 (ilk iki terim yerine (x+ 2) ifadesini değiştirirken ½x 2 -2x– 6 elde ederiz).
Örnek 9. bulacağız 
. t= 2x+ 1 olsun, o zaman dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
t'nin yerine (2x+1) ifadesini koyalım, parantezleri açıp benzerlerini verelim.
Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimizi unutmayın, çünkü dönüşüm süreci sırasında sabit terimler grubu çıkarılabilir.
b) Doğrusal olmayan ikame yöntemi Bir örneğe bakalım.
Örnek 1.
. Lett= -x 2. Daha sonra x, t cinsinden ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda işleri farklı yapmak daha kolaydır. Hadi bulalımt=d(-x 2) = -2xdx. xdx ifadesinin istenen integralin integralinin bir faktörü olduğuna dikkat edin. Bunu elde edilen xdx= - ½dt eşitliğinden ifade edelim. Daha sonra
Okulda birçok kişi integralleri çözmede başarısız oluyor veya onlarla ilgili zorluk yaşıyor. Bu makale, içinde her şeyi bulacağınız için bunu anlamanıza yardımcı olacaktır. integral tablolar.
İntegral temel hesaplamalardan ve kavramlardan biridir. matematiksel analiz. Görünüşü iki amaçtan kaynaklandı:
İlk gol- türevini kullanarak bir fonksiyonu geri yükleyin.
İkinci gol- a'nın x'ten büyük veya eşit olduğu, b'den ve x ekseninden büyük veya eşit olduğu düz çizgi üzerinde grafikten f(x) fonksiyonuna kadar uzaklıkta bulunan alanın hesaplanması.
Bu hedefler bizi belirli ve belirsiz integrallere götürür. Bu integraller arasındaki bağlantı, özellik arayışında ve hesaplamada yatmaktadır. Ancak zamanla her şey akar ve her şey değişir, yeni çözümler bulunur, eklemeler belirlenir, böylece belirli ve belirsiz integraller diğer entegrasyon biçimlerine yol açar.
Ne oldu belirsiz integral sen sor. Bu antiderivatif fonksiyon a büyük x büyük b aralığındaki bir x değişkeninin F(x)'i. herhangi bir F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır, herhangi bir x gösterimi için belirli bir aralıkta türev F(x)'e eşittir. a is büyük x büyük b aralığında F(x)'in f(x)'in ters türevi olduğu açıktır. Bu, F1(x) = F(x) + C anlamına gelir. C -, belirli bir aralıkta f(x)'in herhangi bir sabiti ve ters türevidir. Bu ifade tersinirdir; f(x) - 2 fonksiyonu için terstürevler yalnızca sabitte farklılık gösterir. Teoreme dayanarak integral hesabı her birinin a aralığında sürekli olduğu ortaya çıktı
Belirli integral integral toplamlarda bir limit olarak anlaşılır veya bir durumda verilen fonksiyonÜzerinde bir antiderivatif F bulunan bir (a,b) doğrusu üzerinde tanımlanan f(x), bu F(b) - F(a) doğrusunun uçlarındaki ifadelerinin farkı anlamına gelir.
Bu konunun çalışmasını göstermek için videoyu izlemenizi öneririm. Detaylı olarak anlatıyor ve integrallerin nasıl bulunacağını gösteriyor.
Her bir integral tablosu kendi içinde çok kullanışlıdır çünkü çözüme yardımcı olur. özel tip integraller.
Mümkün olan tüm kırtasiye türleri ve daha fazlası. Çevrimiçi mağaza v-kant.ru aracılığıyla satın alabilirsiniz. Veya Kırtasiye Samara (http://v-kant.ru) bağlantısını takip edin, kalite ve fiyatlar sizi hoş bir şekilde şaşırtacaktır.
