Olasılık teorisindeki denklemlerin çözümleri. Olasılık teorisi

Çoğu kişi "olasılık teorisi" kavramıyla karşı karşıya kaldığında bunun çok zorlayıcı, çok karmaşık bir şey olduğunu düşünerek korkar. Ama aslında her şey o kadar da trajik değil. Bugün olasılık teorisinin temel kavramına bakacağız ve belirli örnekleri kullanarak problemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.

Bilim

“Olasılık teorisi” gibi bir matematik dalı neyi inceliyor? Desenleri ve miktarları not ediyor. Bilim insanları bu konuyla ilk kez 18. yüzyılda ilgilenmeye başladı. kumar. Olasılık teorisinin temel kavramı bir olaydır. Deneyim veya gözlem yoluyla belirlenen herhangi bir gerçektir. Peki deneyim nedir? Olasılık teorisinin bir başka temel kavramı. Bu, bu koşulların tesadüfen değil, belirli bir amaç için yaratıldığı anlamına gelir. Gözleme gelince, burada araştırmacının kendisi deneye katılmaz, yalnızca bu olayların tanığıdır; olup bitenleri hiçbir şekilde etkilemez.

Olaylar

Olasılık teorisinin temel kavramının olay olduğunu öğrendik ama sınıflandırmayı dikkate almadık. Hepsi aşağıdaki kategorilere ayrılmıştır:

• Güvenilir.
• İmkansız.
• Rastgele.

Deneyim sırasında gözlemlenen veya yaratılan olayların türü ne olursa olsun hepsi bu sınıflandırmaya tabidir. Sizi her türü ayrı ayrı tanımaya davet ediyoruz.

Güvenilir olay

Bu gerekli tedbirlerin alındığı bir durumdur. İşin özünü daha iyi anlayabilmek için birkaç örnek vermekte fayda var. Fizik, kimya, ekonomi ve yüksek Matematik. Olasılık teorisi bunu içerir önemli kavram, Nasıl güvenilir olay. İşte bazı örnekler:

• Çalışıyoruz ve maaş olarak tazminat alıyoruz.
• Sınavları iyi geçtik, yarışmayı geçtik, bunun için giriş şeklinde bir ödül alıyoruz. Eğitim kurumu.
• Bankaya para yatırdık, gerekirse geri alırız.

Bu tür olaylar güvenilirdir. Eğer her şeyi tamamladıysak gerekli koşullar o zaman kesinlikle beklenen sonucu alacağız.

İmkansız olaylar

Şimdi olasılık teorisinin unsurlarını ele alıyoruz. Bir sonraki olay türünün, yani imkansızın açıklamasına geçmeyi öneriyoruz. Başlangıç ​​olarak en çok şart koşalım önemli kural- İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Sorunları çözerken bu formülasyonun dışına çıkılamaz. Açıklığa kavuşturmak için, bu tür olayların örnekleri burada verilmiştir:

• Su artı on sıcaklıkta dondu (bu imkansızdır).
• Elektriğin olmaması üretimi hiçbir şekilde etkilemez (önceki örnekte olduğu gibi imkansızdır).

Yukarıda anlatılanlar bu kategorinin özünü çok açık bir şekilde yansıttığı için daha fazla örnek vermeye değmez. Bir deney sırasında hiçbir koşulda imkansız bir olay meydana gelmez.

Rastgele olaylar

Olasılık teorisinin unsurlarını incelemek, Özel dikkat dikkat etmeye değer bu tür olaylar. Bunlar onun üzerinde çalıştığı şeyler bu bilim. Deneyim sonucunda bir şey olabilir veya olmayabilir. Ayrıca test sınırsız sayıda yapılabilir. Canlı örnekler hizmet edebilir:

• Yazı tura atmak bir deneyim ya da sınavdır, yazı tura atmak ise bir olaydır.
• Bir torbadan körü körüne bir top çıkarmak bir testtir; kırmızı bir top almak bir olaydır vb.

Bu tür örnekler sınırsız sayıda olabilir, ancak genel olarak özün açık olması gerekir. Olaylar hakkında edinilen bilgileri özetlemek ve sistematik hale getirmek için bir tablo verilmiştir. Olasılık teorisi sunulanların yalnızca son türünü inceler.

Kanunlar

Olasılık teorisi, bir olayın meydana gelme olasılığını inceleyen bir bilimdir. Diğerleri gibi onun da bazı kuralları var. Var olmak aşağıdaki yasalar olasılık teorisi:

• Rastgele değişken dizilerinin yakınsaklığı.
• Büyük sayılar kanunu.

Karmaşık bir şeyin olasılığını hesaplarken kompleksi kullanabilirsiniz. basit olaylar sonuçlara daha kolay ulaşmak ve hızlı yol. Yasaların belirli teoremler kullanılarak kolayca kanıtlanabileceğini unutmayın. İlk önce birinci yasayı tanımanızı öneririz.

Rastgele değişken dizilerinin yakınsaklığı

Birkaç tür yakınsama olduğunu unutmayın:

• Rastgele değişkenlerin dizisi olasılık açısından yakınsar.
• Neredeyse imkansız.
• Ortalama kare yakınsaklığı.
• Dağıtım yakınsaması.

Yani, daha ilk andan itibaren işin özünü anlamak çok zor. İşte bu konuyu anlamanıza yardımcı olacak tanımlar. İlk görünümle başlayalım. Sıra denir olasılık açısından yakınsak, karşılanırsa sonraki koşul: n, dizinin yöneldiği sayı olan sonsuza eğilimlidir, Sıfırın üstünde ve birliğe yakındır.

Bir sonraki görünüme geçelim, neredeyse kesin. Dizinin yakınlaştığı söyleniyor neredeyse kesin n'nin sonsuza yöneldiği ve P'nin birliğe yakın bir değere yöneldiği bir rastgele değişkene.

Bir sonraki tür ortalama kare yakınsama. SC yakınsamasını kullanırken, vektörü inceleyerek rastgele süreçler onların koordinat rastgele süreçlerini incelemeye gelir.

Son bir tür kaldı, ona da kısaca bakalım ki doğrudan problemlerin çözümüne geçebilelim. Dağıtımdaki yakınsamanın başka bir adı daha vardır: "zayıf" ve nedenini daha sonra açıklayacağız. Zayıf yakınsama sınırlayıcı dağıtım fonksiyonunun sürekliliğinin tüm noktalarında dağıtım fonksiyonlarının yakınsamasıdır.

Sözümüzü kesinlikle tutacağız: zayıf yakınsama yukarıdakilerin hepsinden farklıdır rastgele değer için tanımlanmadı olasılık alanı. Bu mümkündür çünkü koşul yalnızca dağıtım işlevleri kullanılarak oluşturulmuştur.

Büyük Sayılar Kanunu

Olasılık teorisinin teoremleri, örneğin:

• Chebyshev eşitsizliği.
• Chebyshev'in teoremi.
• Genelleştirilmiş Chebyshev teoremi.
• Markov'un teoremi.

Tüm bu teoremleri göz önünde bulundurursak, o zaman bu soru birkaç düzine sayfa dayanabilir. Asıl görevimiz olasılık teorisini pratikte uygulamaktır. Bunu hemen yapmanızı öneririz. Ama ondan önce olasılık teorisinin aksiyomlarına bakalım; problem çözmede asıl yardımcılar olacaklar.

Aksiyomlar

İmkansız bir olaydan bahsederken ilkiyle zaten tanışmıştık. Hatırlayalım: İmkansız bir olayın gerçekleşme olasılığı sıfırdır. Çok canlı ve akılda kalıcı bir örnek verdik: Otuz santigrat derece sıcaklıkta kar yağdı.

İkincisi ise şu şekildedir: Güvenilir bir olayın meydana gelme olasılığı vardır. bire eşit. Şimdi bunu matematik dili kullanarak nasıl yazacağımızı göstereceğiz: P(B)=1.

Üçüncü: Rastgele olay olabilir veya olmayabilir, ancak olasılık her zaman sıfırdan bire kadar değişir. Nasıl daha yakın değer bire göre şans artar; değer sıfıra yaklaşırsa olasılık çok düşüktür. Bunu bir kenara yazalım matematik dili: 0<Р(С)<1.

Şuna benzeyen son dördüncü aksiyomu ele alalım: İki olayın toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir. Bunu matematik diliyle yazıyoruz: P(A+B)=P(A)+P(B).

Olasılık teorisinin aksiyomları, hatırlanması zor olmayan en basit kurallardır. Halihazırda edindiğimiz bilgilere dayanarak bazı sorunları çözmeye çalışalım.

Piyango bileti

Öncelikle en basit örneğe bakalım: Piyango. İyi şanslar getirmesi için bir piyango bileti aldığınızı hayal edin. En az yirmi ruble kazanma olasılığınız nedir? Toplamda, biri beş yüz ruble, on tanesi yüz ruble, elli tanesi yirmi ruble ve yüz tanesi beş olmak üzere toplamda bin bilet tirajda yer alıyor. Olasılık problemleri şansın olasılığını bulmaya dayanmaktadır. Şimdi birlikte yukarıdaki görevin çözümünü analiz edeceğiz.

Beş yüz rublelik bir kazancı belirtmek için A harfini kullanırsak, A alma olasılığı 0,001'e eşit olacaktır. Bunu nasıl elde ettik? Sadece “şanslı” biletlerin sayısını toplam sayılarına bölmeniz yeterli (bu durumda: 1/1000).

B yüz rublelik bir kazançtır, olasılık 0,01 olacaktır. Şimdi önceki eylemdekiyle aynı prensipte hareket ettik (10/1000)

C - kazançlar yirmi ruble. Olasılığı buluyoruz, 0,05'e eşit.

Geriye kalan biletlerle ilgilenmiyoruz çünkü ödül fonu koşulda belirtilenden az. Dördüncü aksiyomu uygulayalım: En az yirmi ruble kazanma olasılığı P(A)+P(B)+P(C)'dir. P harfi, belirli bir olayın meydana gelme olasılığını belirtir; bunları daha önceki eylemlerde zaten bulmuştuk. Geriye kalan tek şey gerekli verileri toplamaktır ve aldığımız cevap 0,061'dir. Bu sayı görev sorusunun cevabı olacaktır.

Kağıt destesi

Olasılık teorisindeki problemler daha karmaşık olabilir; örneğin aşağıdaki görevi ele alalım. Önünüzde otuz altı karttan oluşan bir deste var. Göreviniz desteyi karıştırmadan arka arkaya iki kart çekmek, birinci ve ikinci kartlar as olmalı, renk önemli değil.

Öncelikle ilk kartın as olma olasılığını bulalım, bunun için dördü otuz altıya bölüyoruz. Bir kenara koydular. İkinci kartı çıkarıyoruz, otuz beşte üç olasılıkla as olacak. İkinci olayın olasılığı ilk olarak hangi kartı çektiğimize bağlıdır; bunun as olup olmadığını merak ederiz. Buradan B olayının A olayına bağlı olduğu sonucu çıkar.

Bir sonraki adım, eşzamanlı meydana gelme olasılığını bulmaktır, yani A ve B'yi çarpıyoruz. Bunların çarpımı şu şekilde bulunur: bir olayın olasılığını, ilkinin olduğunu varsayarak hesapladığımız diğerinin koşullu olasılığı ile çarpıyoruz. olay meydana geldi, yani ilk kartla bir as çektik.

Her şeyi açıklığa kavuşturmak için böyle bir unsura olaylar adını verelim. A olayının gerçekleştiği varsayılarak hesaplanır. Şu şekilde hesaplanır: P(B/A).

Problemimizi çözmeye devam edelim: P(A * B) = P(A) * P(B/A) veya P(A * B) = P(B) * P(A/B). Olasılık (4/36) * ((3/35)/(4/36)'dır. En yakın yüzlüğe yuvarlayarak hesaplıyoruz. 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Arka arkaya iki as çekme olasılığımız yüzde dokuzdur. Değer çok küçüktür, bu da olayın gerçekleşme olasılığının son derece küçük olduğu anlamına gelir.

Unutulan numara

Olasılık teorisi tarafından incelenen birkaç görev çeşidini daha analiz etmeyi öneriyoruz. Bunlardan bazılarının çözüm örneklerini bu yazıda zaten görmüşsünüzdür. Şimdi şu sorunu çözmeye çalışalım: Çocuk arkadaşının telefon numarasının son rakamını unuttu ancak arama çok önemli olduğu için her şeyi tek tek aramaya başladı. . Üç defadan fazla aramayacağı ihtimalini hesaplamamız gerekiyor. Olasılık teorisinin kuralları, yasaları ve aksiyomları biliniyorsa sorunun çözümü en basittir.

Çözüme bakmadan önce kendiniz çözmeyi deneyin. Son rakamın sıfırdan dokuza kadar yani toplamda on değer olabileceğini biliyoruz. Doğru olanı bulma olasılığı 1/10'dur.

Daha sonra olayın kökenine ilişkin seçenekleri göz önünde bulundurmamız gerekiyor, diyelim ki çocuk doğru tahmin etti ve hemen doğruyu yazdı, böyle bir olayın olasılığı 1/10'dur. İkinci seçenek: ilk çağrı cevapsız kalır ve ikincisi hedeftedir. Böyle bir olayın olasılığını hesaplayalım: 9/10'u 1/9 ile çarpın, sonuç olarak da 1/10 elde ederiz. Üçüncü seçenek: Birinci ve ikinci çağrıların yanlış adrese olduğu ortaya çıktı, ancak üçüncüsünde çocuk istediği yere ulaştı. Böyle bir olayın olasılığını hesaplıyoruz: 9/10'u 8/9 ve 1/8 ile çarparak 1/10 elde ediyoruz. Sorunun koşullarına göre diğer seçeneklerle ilgilenmiyoruz, bu yüzden sadece elde edilen sonuçları toplamamız gerekiyor, sonuçta 3/10 elde ediyoruz. Cevap: Çocuğun en fazla üç kez arama olasılığı 0,3'tür.

Numaralı kartlar

Önünüzde dokuz kart var, her birinin üzerinde birden dokuza kadar bir sayı yazılı, sayılar tekrarlanmıyor. Bir kutuya konularak iyice karıştırıldılar. olasılığını hesaplamanız gerekir

• çift ​​sayı görünecektir;
• iki haneli.

Çözüme geçmeden önce m'nin başarılı durum sayısı, n'nin de toplam seçenek sayısı olduğunu kabul edelim. Sayının çift olma olasılığını bulalım. Dört çift sayı olduğunu hesaplamak zor olmayacak, bu bizim m'miz olacak, toplamda dokuz olası seçenek var yani m=9. O zaman olasılık 0,44 veya 4/9'dur.

İkinci durumu ele alalım: Seçenek sayısı dokuzdur ve hiçbir başarılı sonuç olamaz, yani m sıfıra eşittir. Çekilen kartın iki basamaklı bir sayı içerme olasılığı da sıfırdır.

GİRİİŞ

Pek çok şeyin bizim için anlaşılmaz olmasının nedeni kavramlarımızın zayıf olması değildir;
ama bunlar bizim kavram kapsamımıza dahil olmadığı için.
Kozma Prutkov

Ortaöğretim uzmanlaşmış eğitim kurumlarında matematik eğitiminin temel amacı, öğrencilere matematiği bir dereceye kadar kullanan diğer program disiplinlerini incelemek, pratik hesaplamalar yapma becerisi, oluşum ve gelişim için gerekli bir dizi matematiksel bilgi ve beceri kazandırmaktır. mantıksal düşünmenin.

Bu çalışmada, program ve Orta Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Standartları (Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı. M., 2002) tarafından sağlanan “Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistiklerin Temelleri” matematik bölümünün tüm temel kavramları yer almaktadır. ), tutarlı bir şekilde tanıtılıyor, çoğu kanıtlanmamış ana teoremler formüle ediliyor. Temel sorunlar ve bunları çözme yöntemleri ve bu yöntemleri pratik sorunların çözümüne uygulamak için kullanılan teknolojiler dikkate alınır. Sunuma ayrıntılı yorumlar ve çok sayıda örnek eşlik ediyor.

Metodolojik talimatlar, üzerinde çalışılan materyale ilk aşinalık sağlamak, dersler hakkında not alırken, pratik derslere hazırlanmak, edinilen bilgi, beceri ve yetenekleri pekiştirmek için kullanılabilir. Ayrıca kılavuz, lisans öğrencileri için bir referans aracı olarak da faydalı olacak ve daha önce çalışılan konuları hızlı bir şekilde hatırlamalarına olanak tanıyacaktır.

Çalışmanın sonunda öğrencilerin öz kontrol modunda gerçekleştirebilecekleri örnekler ve görevler bulunmaktadır.

Yönergeler yarı zamanlı ve tam zamanlı öğrencilere yöneliktir.

TEMEL KONSEPTLER

Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların nesnel kalıplarını inceler. Gözlemsel sonuçların toplanması, tanımlanması ve işlenmesine yönelik yöntemlerin geliştirilmesiyle ilgilenen matematiksel istatistiğin teorik temelidir. Gözlemler yoluyla (testler, deneyler), yani. kelimenin geniş anlamıyla deneyim, gerçek dünyanın fenomenlerinin bilgisi oluşur.

Pratik faaliyetlerimizde, sonucu tahmin edilemeyen, sonucu şansa bağlı olaylarla sıklıkla karşılaşıyoruz.

Rastgele bir olay, meydana gelme sayısının deneme sayısına oranıyla karakterize edilebilir; her birinde, tüm denemelerde aynı koşullar altında meydana gelebilir veya meydana gelmeyebilir.

Olasılık teorisi, rastgele olayların (olayların) incelendiği ve toplu olarak tekrarlandığında örüntülerin belirlendiği bir matematik dalıdır.

Matematiksel istatistik, bilimsel temelli sonuçlar elde etmek ve kararlar vermek için istatistiksel verileri toplama, sistemleştirme, işleme ve kullanma yöntemlerinin incelenmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır.

Bu durumda istatistiksel veriler, incelenen nesnelerin bizi ilgilendiren özelliklerinin niceliksel özelliklerini temsil eden bir dizi sayı olarak anlaşılmaktadır. İstatistiksel veriler özel olarak tasarlanmış deney ve gözlemler sonucunda elde edilir.

İstatistiksel veriler özü itibariyle birçok rastgele faktöre bağlıdır, bu nedenle matematiksel istatistik, teorik temeli olan olasılık teorisi ile yakından ilgilidir.

I. OLASILIK. OLASILIKLARIN TOPLANMASI VE ÇARPLANMASI TEOREMLERİ

1.1. Kombinatoriğin temel kavramları

Kombinatorik adı verilen matematik dalında kümelerin dikkate alınması ve bu kümelerin elemanlarının çeşitli kombinasyonlarının bileşimi ile ilgili bazı problemler çözülmektedir. Örneğin 0, 1, 2, 3,:, 9 gibi 10 farklı sayı alıp bunların kombinasyonlarını yaparsak farklı sayılar elde ederiz, örneğin 143, 431, 5671, 1207, 43 vb.

Bu kombinasyonlardan bazılarının yalnızca rakamların sırasına göre (örneğin, 143 ve 431), diğerlerinin - içerdikleri rakamlarda (örneğin, 5671 ve 1207) ve diğerlerinin de rakam sayısında farklılık gösterdiğini görüyoruz. (örneğin, 143 ve 43).

Böylece ortaya çıkan kombinasyonlar çeşitli koşulları karşılar.

Kompozisyon kurallarına bağlı olarak üç tür kombinasyon ayırt edilebilir: permütasyonlar, yerleşimler, kombinasyonlar.

Öncelikle konsepti tanıyalım faktöriyel.

1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına ne ad verilir? n-faktöriyel ve yaz.

Hesaplayın: a) ; B) ; V) .

Çözüm. A) .

b) O zamandan beri o zaman parantezlerin dışına çıkarabiliriz

Sonra alırız

V) .

Yeniden düzenlemeler.

Birbirinden yalnızca elemanların sırasına göre farklılık gösteren n adet elemanın kombinasyonuna permütasyon denir.

Permütasyonlar sembolüyle gösterilir P n burada n, her permütasyona dahil edilen öğelerin sayısıdır. ( R- Fransızca bir kelimenin ilk harfi permütasyon- yeniden düzenleme).

Permütasyon sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir

veya faktöriyel kullanarak:

Bunu hatırlayalım 0!=1 ve 1!=1.

Örnek 2. Altı farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Çözüm. Gerekli yol sayısı 6 elementin permütasyon sayısına eşittir, yani.

Yerleşimler.

Gönderen gönderiler M içindeki elementler N her birinde, elementlerin kendileri (en az bir tane) veya düzenlenme sırasına göre birbirlerinden farklı olan bu tür bileşiklere denir.

Yerleşimler sembolle gösterilir; M- mevcut tüm elemanların sayısı, N- her kombinasyondaki eleman sayısı. ( A- Fransızca bir kelimenin ilk harfi ayarlama"yerleştirme, sıraya koyma" anlamına gelir).

Aynı zamanda inanılıyor ki nm.

Yerleşim sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir

,

onlar. olası tüm yerleşimlerin sayısı M tarafından elemanlar Nürüne eşittir N en büyüğü olan ardışık tam sayılar M.

Bu formülü faktöriyel formda yazalım:

Örnek 3. Beş başvuru sahibi için üç kuponun çeşitli profillerdeki sanatoryumlara dağıtılması için kaç seçenek derlenebilir?

Çözüm. Gerekli seçenek sayısı, 3 öğenin 5 öğesinin yerleşim sayısına eşittir, yani.

.

Kombinasyonlar.

Kombinasyonlar aşağıdakilerin tüm olası kombinasyonlarıdır: M tarafından elemanlar N birbirinden en az bir öğe ile farklılık gösteren (burada M Ve N- doğal sayılar ve n m).

Kombinasyon sayısı M tarafından elemanlar N( ile gösterilir) İLE-Fransızca bir kelimenin ilk harfi kombinasyon- kombinasyon).

Genel olarak sayısı M tarafından elemanlar N yerleşimlerin sayısına eşit M tarafından elemanlar N, permütasyon sayısına bölünür N elementler:

Yerleştirme ve permütasyon sayıları için faktöriyel formülleri kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 4. 25 kişilik bir ekipten dördünü belli bir alanda çalışmak üzere ayırmanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm. Seçilen dört kişinin sırası önemli olmadığından bunu yapmanın yolları vardır.

İlk formülü kullanarak buluyoruz

.

Ayrıca problemleri çözerken kombinasyonların temel özelliklerini ifade eden aşağıdaki formüller kullanılır:

(tanım gereği ve varsayarlar);

.

1.2. Kombinatoryal problemleri çözme

Görev 1. Fakültede okutulan 16 konu bulunmaktadır. Pazartesi günü programınıza 3 konu koymanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm. 16 öğenin yerleşimini 3'e göre düzenleyebildiğiniz gibi, 16 öğeden üçünü planlamanın da birçok yolu vardır.

Görev 2. 15 nesneden 10 nesneyi seçmeniz gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Görev 3. Yarışmaya dört takım katıldı. Koltukları aralarında dağıtmak için kaç seçenek mümkündür?

.

Problem 4. 80 asker ve 3 subay varsa, üç asker ve bir subaydan oluşan bir devriye kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm. Devriyedeki bir askeri seçebilirsiniz

yollar ve memurlar yollar. Herhangi bir subay, her bir asker ekibiyle gidebileceğinden, yalnızca belirli sayıda yol vardır.

Görev 5. Eğer biliniyorsa bulun.

O zamandan beri, alıyoruz

,

,

Bir kombinasyonun tanımı gereği şu şekildedir , . O. .

1.3. Rastgele bir olay kavramı. Olay türleri. Olayın olasılığı

Belirli koşullar altında gerçekleştirilen, birkaç farklı sonucu olan herhangi bir eylem, olgu, gözlem olarak adlandırılacaktır. Ölçek.

Bu eylemin veya gözlemin sonucuna denir. etkinlik .

Bir olay belirli koşullar altında gerçekleşebilir veya gerçekleşemez ise buna denir. rastgele . Bir olayın olacağı kesinse buna denir güvenilir ve bunun açıkça gerçekleşemeyeceği durumlarda, - imkansız.

Olaylar denir uyumsuz , eğer her seferinde yalnızca bir tanesinin görünmesi mümkünse.

Olaylar denir eklem yeri Verilen koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı test sırasında bir diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa.

Olaylar denir zıt , eğer test koşulları altında tek sonuç olan bunlar uyumsuzsa.

Olaylar genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C, D, : .

Tam bir olaylar sistemi A 1 , A 2 , A 3 , : , An , belirli bir test sırasında en az birinin meydana gelmesi zorunlu olan bir dizi uyumsuz olaydır.

Tam bir sistem iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bu tür olaylara zıt olaylar denir ve A ve .

Örnek. Kutuda 30 adet numaralandırılmış top bulunmaktadır. Aşağıdaki olaylardan hangilerinin imkansız, güvenilir veya aykırı olduğunu belirleyin:

numaralı bir top çıkardı (A);

çift ​​sayılı bir top aldım (İÇİNDE);

tek sayılı bir top aldım (İLE);

numarasız bir top aldım (D).

Bunlardan hangisi tam bir grup oluşturur?

Çözüm . A- güvenilir olay; D- imkansız olay;

İçinde ve İLE- zıt olaylar.

Etkinlik grubunun tamamı aşağıdakilerden oluşur: A Ve D, V Ve İLE.

Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının objektif bir ölçüsü olarak kabul edilir.

1.4. Olasılığın klasik tanımı

Bir olayın meydana gelme objektif olasılığının ölçüsünü ifade eden sayıya ne denir? olasılık bu olay ve sembolüyle gösterilir R(A).

Tanım. Olayın olasılığı A belirli bir olayın gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının oranıdır A, numaraya N tüm sonuçlar (tutarsız, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün), yani .

Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını dikkate alarak tüm olası tutarsız sonuçları hesaplamak gerekir. N, ilgilendiğimiz sonuçların sayısını seçin ve oranı hesaplayın Mİle N.

Bu tanımdan aşağıdaki özellikler çıkar:

Herhangi bir testin olasılığı, negatif olmayan ve birini geçmeyen bir sayıdır.

Gerçekte, gerekli olayların sayısı m dahilindedir. Her iki parçayı da bölmek N, alıyoruz

2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir çünkü .

3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır çünkü .

Sorun 1. 1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?

Çözüm. Farklı sonuçların toplam sayısı N=1000. Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı m=200'dür. Formüle göre şunu elde ederiz:

.

Sorun 2. 18 parçadan oluşan bir partide 4 hatalı parça var. 5 parça rastgele seçilir. Bu 5 parçadan ikisinin bozuk olma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Eşit derecede mümkün olan tüm bağımsız sonuçların sayısı N 18'e 5'lik kombinasyon sayısına eşittir;

A olayını destekleyen m sayısını sayalım. Rastgele alınan 5 parçadan 3'ü iyi, 2'si kusurlu olmalıdır. Mevcut 4 kusurlu parçadan iki kusurlu parçayı seçme yollarının sayısı, 4'e 2'lik kombinasyon sayısına eşittir:

Mevcut 14 kaliteli parçadan üç kaliteli parçayı seçme yollarının sayısı eşittir

.

Herhangi bir iyi parça grubu, herhangi bir kusurlu parça grubuyla birleştirilebilir; dolayısıyla toplam kombinasyon sayısı Mşuna eşittir:

A olayının gerekli olasılığı, bu olay için uygun m sonuçlarının sayısının eşit derecede olası tüm bağımsız sonuçların n sayısına oranına eşittir:

.

Sonlu sayıda olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

İki olayın toplamı A+B sembolüyle gösterilir ve toplamı N A 1 +A 2 + : +A n sembolüyle olaylar.

Olasılık toplama teoremi.

Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Sonuç 1. A 1 , A 2 , : , A n olayları tam bir sistem oluşturuyorsa, bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

Sonuç 2. Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

.

Problem 1. 100 adet piyango bileti var. 5 biletin 20.000 ruble, 10 biletin 15.000 ruble, 15 biletin 10.000 ruble, 25 biletin 2.000 ruble kazandığı biliniyor. ve geri kalanı için hiçbir şey yok. Satın alınan biletin en az 10.000 ruble kazanma olasılığını bulun.

Çözüm. A, B ve C, satın alınan biletin sırasıyla 20.000, 15.000 ve 10.000 rubleye eşit bir kazanç elde etmesinden oluşan etkinlikler olsun. A, B ve C olayları uyumsuz olduğundan, o zaman

Görev 2. Bir teknik okulun yazışma departmanı şehirlerden matematik sınavları alıyor A, B Ve İLE. Şehirden sınav alma olasılığı Aşehirden 0,6'ya eşit İÇİNDE- 0.1. Bir sonraki testin şehirden gelme olasılığını bulun İLE.

Matematik dersi okul çocukları için pek çok sürpriz hazırlıyor, bunlardan biri de olasılık teorisiyle ilgili bir problem. Öğrenciler neredeyse yüzde yüz bu tür görevleri çözmede sorun yaşıyor. Bu konuyu anlamak ve anlamak için temel kuralları, aksiyomları ve tanımları bilmeniz gerekir. Kitaptaki metni anlamak için tüm kısaltmaları bilmeniz gerekir. Bütün bunları öğrenmeyi teklif ediyoruz.

Bilim ve uygulaması

"Kuklalar için olasılık teorisi" konusunda hızlandırılmış bir ders sunduğumuz için öncelikle temel kavramları ve harf kısaltmalarını tanıtmamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak “olasılık teorisi” kavramını tanımlayalım. Bu nasıl bir bilimdir ve neden gereklidir? Olasılık teorisi, matematiğin rastgele olay ve nicelikleri inceleyen dallarından biridir. Ayrıca bu rastgele değişkenlerle gerçekleştirilen desenleri, özellikleri ve işlemleri de dikkate alıyor. Bu ne için? Bilim, doğa olaylarının incelenmesinde yaygınlaştı. Hiçbir doğal ve fiziksel süreç şansın varlığı olmadan gerçekleşemez. Deney sırasında sonuçlar mümkün olduğu kadar doğru kaydedilse bile aynı test tekrarlanırsa sonuç büyük olasılıkla aynı olmayacaktır.

Kesinlikle görev örneklerine bakacağız, kendiniz görebilirsiniz. Sonuç, dikkate alınması veya kaydedilmesi neredeyse imkansız olan birçok farklı faktöre bağlıdır, ancak yine de deneyin sonucu üzerinde büyük bir etkiye sahiptirler. Canlı örnekler arasında gezegenlerin yörüngesini belirleme veya hava tahminini belirleme görevi, işe giderken tanıdık bir kişiyle karşılaşma olasılığı ve bir sporcunun atlama yüksekliğini belirleme yer alıyor. Olasılık teorisi aynı zamanda borsalardaki komisyonculara da büyük yardım sağlamaktadır. Olasılık teorisindeki bir problem, daha önce çözümü pek çok problemle karşı karşıya olan bir problem, aşağıda verilen üç veya dört örnekten sonra sizin için önemsiz bir şey haline gelecektir.

Olaylar

Daha önce de belirtildiği gibi bilim olayları inceler. Olasılık teorisi, problem çözme örneklerine biraz sonra bakacağız, yalnızca tek bir türü inceliyor - rastgele. Ancak yine de olayların üç türden olabileceğini bilmeniz gerekir:

• İmkansız.
• Güvenilir.
• Rastgele.

Her birini biraz tartışmayı öneriyoruz. İmkansız bir olay hiçbir koşulda gerçekleşmeyecektir. Örnekler şunları içerir: sıfırın üzerindeki sıcaklıklarda suyun dondurulması, bir torba toptan bir küpün çıkarılması.

Tüm koşullar yerine getirilirse her zaman %100 garantiyle güvenilir bir olay meydana gelir. Örneğin: yapılan iş için maaş aldınız, vicdanlı bir şekilde çalıştıysanız, sınavları geçtiyseniz ve diplomanızı savunduysanız yüksek mesleki eğitim diploması aldınız vb.

Her şey biraz daha karmaşık: Deney sırasında gerçekleşebilir veya gerçekleşmeyebilir, örneğin en fazla üç deneme yaptıktan sonra kart destesinden bir as çekmek. Sonucu ya ilk denemede alabilirsiniz ya da hiç alamayabilirsiniz. Bilimin incelediği bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Olasılık

Bu, genel anlamda, bir olayın meydana geldiği deneyimin başarılı bir şekilde sonuçlanma ihtimalinin değerlendirilmesidir. Olasılık, özellikle niceliksel değerlendirmenin imkansız veya zor olduğu durumlarda niteliksel düzeyde değerlendirilir. Olasılık teorisindeki bir problemin çözümü veya daha doğrusu bir tahmini, başarılı bir sonucun mümkün olan en yüksek payını bulmayı içerir. Matematikte olasılık bir olayın sayısal özellikleridir. P harfi ile gösterilen sıfırdan bire kadar değerler alır. P sıfıra eşitse olay gerçekleşemez; bir ise olay yüzde yüz olasılıkla gerçekleşecektir. P bire ne kadar yaklaşırsa, başarılı bir sonucun olasılığı o kadar güçlü olur ve bunun tersi de sıfıra yakınsa, o zaman olay düşük olasılıkla gerçekleşecektir.

Kısaltmalar

Yakında karşılaşacağınız olasılık problemi aşağıdaki kısaltmaları içerebilir:

• P ve P(X);
• A, B, C, vb;

Bazıları da mümkündür: gerektiğinde ek açıklamalar yapılacaktır. Öncelikle yukarıda sunulan kısaltmaları açıklığa kavuşturmanızı öneririz. Listemizdeki ilk faktör faktöriyeldir. Daha açık hale getirmek için örnekler veriyoruz: 5!=1*2*3*4*5 veya 3!=1*2*3. Daha sonra verilen kümeler süslü parantez içinde yazılır, örneğin: (1;2;3;4;...;n) veya (10;140;400;562). Aşağıdaki gösterim, olasılık teorisiyle ilgili görevlerde sıklıkla bulunan doğal sayılar kümesidir. Daha önce de belirtildiği gibi, P bir olasılıktır ve P(X), bir X olayının meydana gelme olasılığıdır. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir, örneğin: A - beyaz bir top yakalandı, B - mavi , C - kırmızı veya sırasıyla . Küçük harf n, tüm olası sonuçların sayısıdır ve m, başarılı olanların sayısıdır. Buradan temel problemlerde klasik olasılığı bulma kuralını elde ederiz: P = m/n. "Aptallar için" olasılık teorisi muhtemelen bu bilgiyle sınırlıdır. Şimdi pekiştirmek için çözüme geçelim.

Problem 1. Kombinatorik

Öğrenci grubu, aralarından bir muhtar, onun yardımcısı ve bir sendika liderinin seçilmesi gereken otuz kişiden oluşuyor. Bu eylemi yapmanın yollarının sayısını bulmak gerekir. Benzer bir görev Birleşik Devlet Sınavında da görünebilir. Şu anda ele aldığımız problemlerin çözümü olan olasılık teorisi, kombinatorik sürecindeki problemleri, klasik olasılığı bulmayı, geometrik olasılığı ve temel formüllerle ilgili problemleri içerebilir. Bu örnekte kombinatorik kursundan bir görevi çözüyoruz. Çözüme geçelim. Bu görev en basit olanıdır:

1. n1=30 - öğrenci grubunun olası başkanları;
2. n2=29 - Milletvekili görevini üstlenebilecek olanlar;
3. n3=28 kişi sendikacı pozisyonuna başvuruyor.

Tek yapmamız gereken olası seçenek sayısını bulmak, yani tüm göstergeleri çarpmak. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 30*29*28=24360.

Bu, sorulan sorunun cevabı olacaktır.

Sorun 2. Yeniden Düzenleme

Konferansta 6 katılımcı konuşmaktadır, sıralama kura ile belirlenmektedir. Olası beraberlik seçeneklerinin sayısını bulmamız gerekiyor. Bu örnekte altı elementin permütasyonunu düşünüyoruz, yani 6'yı bulmamız gerekiyor!

Kısaltmalar paragrafında ne olduğundan ve nasıl hesaplandığından bahsetmiştik. Toplamda 720 çizim seçeneğinin olduğu ortaya çıkıyor. İlk bakışta zor bir işin çok kısa ve basit bir çözümü vardır. Bunlar olasılık teorisinin dikkate aldığı görevlerdir. Aşağıdaki örneklerde daha üst düzey problemlerin nasıl çözüleceğine bakacağız.

Sorun 3

Yirmi beş kişilik bir öğrenci grubu altı, dokuz ve on kişilik üç alt gruba ayrılmalıdır. Elimizde: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Değerleri istenen formülde değiştirmeye devam ediyoruz, şunu elde ediyoruz: N25(6,9,10). Basit hesaplamalardan sonra cevabı alıyoruz - 16.360.143.800. Görev sayısal bir çözüm elde etmenin gerekli olduğunu söylemiyorsa faktöriyel şeklinde verilebilir.

Sorun 4

Üç kişi birden ona kadar sayıları tahmin etti. Birinin numaralarının eşleşme olasılığını bulun. Öncelikle tüm sonuçların sayısını bulmalıyız - bizim durumumuzda bu bindir, yani on üzeri üçüncü kuvvettir. Şimdi herkes farklı sayılar tahmin ettiğinde seçeneklerin sayısını bulalım, bunun için on, dokuz ve sekizi çarpıyoruz. Bu rakamlar nereden geldi? İlki bir sayı tahmin ediyor, on seçeneği var, ikincinin zaten dokuzu var ve üçüncünün kalan sekizden seçim yapması gerekiyor, böylece 720 olası seçeneğe sahip oluyoruz. Daha önce hesapladığımız gibi toplamda 1000 seçenek var ve tekrarlar olmadan 720 seçenek var, bu nedenle geri kalan 280 ile ilgileniyoruz. Şimdi klasik olasılığı bulmak için bir formüle ihtiyacımız var: P = . Cevabını aldık: 0,28.

Olasılık teorisi, rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik dalıdır: rastgele olaylar, rastgele değişkenler, bunların özellikleri ve bunlar üzerindeki işlemler.

Uzun bir süre olasılık teorisinin net bir tanımı yoktu. Sadece 1929'da formüle edildi. Olasılık teorisinin bir bilim olarak ortaya çıkışı Orta Çağ'a ve kumarın (pul, zar, rulet) matematiksel analizine yönelik ilk girişimlere kadar uzanır. 17. yüzyılın Fransız matematikçileri Blaise Pascal ve Pierre Fermat, kumarda kazanç tahminlerini incelerken, zar atıldığında ortaya çıkan ilk olasılıksal kalıpları keşfettiler.

Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların belirli kalıplara dayandığı inancından bir bilim olarak doğmuştur. Olasılık teorisi bu kalıpları inceler.

Olasılık teorisi, oluşumu kesin olarak bilinmeyen olayların incelenmesiyle ilgilidir. Bazı olayların diğerleriyle karşılaştırıldığında ortaya çıkma olasılık derecesini yargılamanıza olanak tanır.

Örneğin: bir madeni paranın atılması sonucunda "tura" veya "yazı" sonucunu kesin olarak belirlemek imkansızdır, ancak tekrarlanan atışlarda yaklaşık olarak aynı sayıda "tura" ve "yazı" ortaya çıkar, bu da şu anlama gelir: “tura” veya “yazı”nın düşme olasılığı %50'ye eşittir.

Ölçek bu durumda belirli bir dizi koşulun uygulanmasına, yani bu durumda yazı tura atılması denir. Mücadele sınırsız sayıda oynanabilir. Bu durumda koşullar kümesi rastgele faktörleri içerir.

Test sonucu: etkinlik. Olay şöyle olur:

1. Güvenilir (her zaman test sonucunda ortaya çıkar).
2. İmkansız (asla olmaz).
3. Rastgele (test sonucunda oluşabilir veya oluşmayabilir).

Örneğin, bir parayı atarken imkansız bir olay - paranın kenarına düşmesi, rastgele bir olay - "tura" veya "yazı" görünümü. Spesifik test sonucu denir temel olay. Test sonucunda yalnızca temel olaylar meydana gelir. Tüm olası, farklı, spesifik test sonuçlarının kümesine ne ad verilir? temel olayların alanı.

Teorinin temel kavramları

Olasılık- Bir olayın meydana gelme olasılığının derecesi. Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır bastığında, bu olaya olası, aksi takdirde olası olmayan veya olasılık dışı denir.

Rastgele değer- bu, test sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Örneğin: itfaiye istasyonu başına günlük sayı, 10 atışla isabet sayısı vb.

Rastgele değişkenler iki kategoriye ayrılabilir.

1. Ayrık rassal değişken test sonucunda belirli bir olasılıkla belirli değerleri alabilen, sayılabilir bir küme (elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan bir niceliktir. Bu küme sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı ayrık bir rastgele değişkendir çünkü bu nicelik sayılabilir de olsa sonsuz sayıda değer alabilir.
2. Sürekli rastgele değişken sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen bir niceliktir. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Olasılık alanı- A.N. tarafından tanıtılan konsept. Kolmogorov'un 20. yüzyılın 30'lu yıllarında olasılık kavramını resmileştirmesi, olasılık teorisinin katı bir matematik disiplini olarak hızlı bir şekilde gelişmesine yol açtı.

Bir olasılık uzayı üçlüdür (bazen açılı parantez içine alınır: , burada

Bu, öğeleri temel olaylar, sonuçlar veya noktalar olarak adlandırılan keyfi bir kümedir;
- (rastgele) olaylar olarak adlandırılan alt kümelerin sigma cebiri;
- olasılık ölçüsü veya olasılık, yani. sigma-toplamlı sonlu ölçü öyle ki .

Moivre-Laplace teoremi- Laplace tarafından 1812'de kurulan olasılık teorisinin limit teoremlerinden biri. Aynı rastgele deneyi iki olası sonuçla tekrar tekrar tekrarladığınızda elde edilen başarı sayısının yaklaşık olarak normal dağıldığını belirtir. Yaklaşık bir olasılık değeri bulmanızı sağlar.

Bağımsız denemelerin her biri için, bazı rastgele olayların meydana gelme olasılığı ()'ye eşitse ve bu olayın gerçekten meydana geldiği denemelerin sayısı ise, o zaman eşitsizliğin doğru olma olasılığı (büyük değerler için) şuna yakındır: Laplace integralinin değeri.

Olasılık teorisinde dağılım fonksiyonu- rastgele bir değişkenin veya rastgele vektörün dağılımını karakterize eden bir fonksiyon; bir rastgele değişken X'in x'ten küçük veya ona eşit bir değer alma olasılığı; burada x, isteğe bağlı bir gerçek sayıdır. Bilinen koşullar yerine getirilirse rastgele değişkeni tamamen belirler.

Beklenen değer- rastgele bir değişkenin ortalama değeri (bu, olasılık teorisinde dikkate alınan rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır). İngiliz dili literatüründe, Rusça'da - ile gösterilir. İstatistiklerde gösterim sıklıkla kullanılır.

Bir olasılık uzayı ve onun üzerinde tanımlı bir rastgele değişken verilsin. Bu, tanımı gereği ölçülebilir bir fonksiyondur. Daha sonra, eğer uzay üzerinde bir Lebesgue integrali varsa, buna matematiksel beklenti veya ortalama değer denir ve ile gösterilir.

Rastgele bir değişkenin varyansı- belirli bir rastgele değişkenin yayılmasının ölçüsü, yani matematiksel beklentiden sapması. Rus ve yabancı literatürde belirtilmiştir. İstatistiklerde veya gösterimi sıklıkla kullanılır. Varyansın kareköküne standart sapma, standart sapma veya standart yayılma denir.

Bir olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken olsun. Daha sonra

burada sembol matematiksel beklentiyi belirtir.

Olasılık teorisinde iki rastgele olaya denir. bağımsız Bunlardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa. Benzer şekilde, iki rastgele değişken denir bağımlı Bunlardan birinin değeri diğerinin değerlerinin olasılığını etkiliyorsa.

Büyük sayılar yasasının en basit biçimi Bernoulli teoremidir; bu teoreme göre, eğer bir olayın olasılığı tüm denemelerde aynıysa, o zaman deneme sayısı arttıkça olayın sıklığı olayın olasılığına doğru yönelir ve rastgele olmaktan çıkar.

Olasılık teorisindeki büyük sayılar kanunu, sabit bir dağılımdan alınan sonlu bir örneğin aritmetik ortalamasının, o dağılımın teorik ortalamasına yakın olduğunu belirtir. Yakınsama türüne bağlı olarak, yakınsamanın olasılıkla gerçekleştiği durumlarda büyük sayılar zayıf yasası ile yakınsamanın neredeyse kesin olduğu büyük sayılar güçlü yasası arasında bir ayrım yapılır.

Büyük sayılar yasasının genel anlamı, çok sayıda özdeş ve bağımsız rastgele faktörün ortak hareketinin, limit dahilinde şansa bağlı olmayan bir sonuca yol açmasıdır.

Sonlu örnek analizine dayalı olasılık tahmin yöntemleri bu özelliğe dayanmaktadır. Bunun açık bir örneği, seçmenlerden oluşan bir örneklem üzerinde yapılan ankete dayalı olarak seçim sonuçlarının tahmin edilmesidir.

Merkezi limit teoremleri- yaklaşık olarak aynı ölçeğe sahip (terimlerden hiçbiri baskın değildir veya toplama belirleyici bir katkıda bulunmaz) yeterince büyük sayıda zayıf bağımlı rastgele değişkenin toplamının normale yakın bir dağılıma sahip olduğunu belirten olasılık teorisindeki bir teorem sınıfı.

Uygulamalardaki pek çok rastgele değişken, zayıf bağımlı birkaç rastgele faktörün etkisi altında oluştuğundan dağılımları normal kabul edilir. Bu durumda faktörlerden hiçbirinin baskın olmaması koşulunun sağlanması gerekir. Bu durumlarda merkezi limit teoremleri normal dağılımın kullanımını doğrular.

Olasılık teorisinin ortaya çıkışı, matematikçilerin kumarbazlar tarafından ortaya atılan ve şimdiye kadar matematikte incelenmeyen problemlerle ilgilenmeye başladığı 17. yüzyılın ortalarına kadar uzanır. Bu problemlerin çözümü sürecinde olasılık ve matematiksel beklenti gibi kavramlar kristalleşti. Aynı zamanda, o zamanın bilim adamları - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) ve Bernoulli (1654-1705) büyük rastgelelik temelinde net modellerin ortaya çıkabileceğine ikna olmuşlardı. olaylar. Ve yalnızca doğa biliminin durumu, kumarın uzun süre olasılık teorisi kavram ve yöntemlerinin oluşturulduğu temelde tek somut materyal olarak kalmaya devam etmesine yol açtı. Bu durum aynı zamanda olasılık teorisinde ortaya çıkan problemlerin çözüldüğü resmi matematik aygıtına da damgasını vurdu: yalnızca temel aritmetik ve kombinatoryal yöntemlere indirgendi.

Doğa bilimlerinden ve sosyal uygulamalardan gelen ciddi talepler (gözlem hataları teorisi, atış teorisi sorunları, istatistik sorunları, öncelikle nüfus istatistikleri), olasılık teorisinin daha da geliştirilmesi ve daha gelişmiş bir analitik aygıtın kullanılması ihtiyacını doğurdu. Olasılık teorisinin analitik yöntemlerinin geliştirilmesinde özellikle önemli bir rol Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840) tarafından oynandı. Biçimsel analitik açıdan bakıldığında, Öklid dışı geometrinin yaratıcısı Lobaçevski'nin (1792-1856) çalışması, bir küre üzerindeki ölçümlerdeki hatalar teorisine adanmış ve evrene hakim bir geometrik sistem kurma hedefiyle gerçekleştirilmiştir. , aynı yöne bitişiktir.

Olasılık teorisi, matematiğin diğer dalları gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından yola çıkılarak geliştirilmiştir: soyut biçimde, kitlesel nitelikteki rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları yansıtır. Bu modeller fizikte ve doğa bilimlerinin diğer alanlarında, çeşitli teknik disiplinlerde, ekonomide, sosyolojide ve biyolojide son derece önemli bir rol oynamaktadır. Seri ürünler üreten işletmelerin yaygın gelişimi ile bağlantılı olarak, olasılık teorisinin sonuçları yalnızca halihazırda üretilmiş ürünleri reddetmek için değil, aynı zamanda üretim sürecinin kendisini organize etmek için de (üretimde istatistiksel kontrol) kullanılmaya başlandı.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisi, rastgele olayları ve rastgele değişkenleri yöneten çeşitli kalıpları açıklar ve araştırır. Etkinlik gözlem veya deneyim sonucu ifade edilebilecek herhangi bir gerçektir. Gözlem veya deneyim, bir olayın meydana gelebileceği belirli koşulların farkına varılmasıdır.

Deneyim, söz konusu koşulların bilinçli olarak yaratıldığı anlamına gelir. Gözlem sırasında, bu koşulların gözlem kompleksi onu yaratmaz veya etkilemez. Ya doğanın güçleri ya da diğer insanlar tarafından yaratılmıştır.

Olayların olasılıklarını belirlemek için bilmeniz gerekenler

İnsanların kendilerini gözlemlediği veya yarattığı tüm olaylar şu şekilde ayrılır:

• güvenilir olaylar;
• imkansız olaylar;
• rastgele olaylar.

Güvenilir etkinlikler her zaman belirli koşullar yaratıldığında ortaya çıkar. Örneğin çalışırsak bunun için bir ödül alırız; eğer sınavları geçersek ve yarışmayı geçersek, o zaman öğrenci sayısına dahil olacağımıza güvenilir bir şekilde güvenebiliriz. Fizik ve kimyada güvenilir olaylar gözlemlenebilir. İktisatta güvenilir olaylar mevcut toplumsal yapı ve mevzuatla ilişkilendirilir. Örneğin, bir bankaya para yatırmışsak ve onu belirli bir süre içinde almak istediğimizi ifade etmişsek, parayı alırız. Bu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir.

İmkansız olaylar belli koşullar yaratılmışsa kesinlikle oluşmaz. Örneğin sıcaklık artı 15 santigrat derece olduğunda su donmaz, elektrik olmadan üretim yapılmaz.

Rastgele olaylar Belirli bir dizi koşul gerçekleştiğinde bunlar oluşabilir veya oluşmayabilir. Örneğin parayı bir kez havaya attığımızda arma düşebilir veya düşmeyebilir, piyango bileti kazanılabilir veya kazanılmayabilir, üretilen bir ürün kusurlu olabilir veya olmayabilir. Kusurlu bir ürünün ortaya çıkması, uygun ürünlerin üretilmesinden daha nadir görülen rastgele bir olaydır.

Rastgele olayların beklenen gerçekleşme sıklığı olasılık kavramıyla yakından ilgilidir. Rastgele olayların oluşma ve oluşmama kalıpları olasılık teorisi ile incelenir.

Eğer bir dizi gerekli koşul yalnızca bir kez gerçekleşirse, o zaman rastgele bir olay hakkında yetersiz bilgi alırız, çünkü bu olay meydana gelebilir veya gelmeyebilir. Bir dizi koşul birçok kez uygulanırsa bilinen modeller ortaya çıkar. Örneğin bir mağazada bir sonraki müşterinin hangi kahve makinesine ihtiyaç duyacağını asla bilmek mümkün değildir, ancak uzun süredir en çok talep gören kahve makinelerinin markaları biliniyorsa bu verilere dayanarak Talebi karşılamak için üretim veya tedariki organize etmek.

Kitlesel rastgele olayları yöneten kalıpların bilgisi, bu olayların ne zaman gerçekleşeceğini tahmin etmemizi sağlar. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi, yazı tura atmanın sonucunu önceden tahmin etmek imkansızdır, ancak yazı tura birçok kez atılırsa armanın düşeceğini tahmin etmek mümkündür. Hata küçük olabilir.

Olasılık teorisi yöntemleri, doğa bilimlerinin çeşitli dallarında, teorik fizikte, jeodezide, astronomide, otomatik kontrol teorisinde, hata gözlem teorisinde ve diğer birçok teorik ve pratik bilimde yaygın olarak kullanılmaktadır. Olasılık teorisi, üretim planlama ve organizasyon, ürün kalite analizi, teknolojik süreç analizi, sigorta, nüfus istatistikleri, biyoloji, balistik ve diğer endüstrilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Rastgele olaylar genellikle Latin alfabesinin A, B, C vb. büyük harfleriyle gösterilir.

Rastgele olaylar şunlar olabilir:

• uyumsuz;
• eklem yeri.

A, B, C... olaylarına denir uyumsuz , eğer bir test sonucunda bu olaylardan biri meydana gelebiliyorsa ancak iki veya daha fazla olay meydana gelemiyorsa.

Rastgele bir olayın meydana gelmesi başka bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu tür olaylara denir. eklem yeri . Örneğin, bir taşıma bandından başka bir parça çıkarılırsa ve A olayı "parçanın standardı karşıladığı" ve B olayı "parçanın standardı karşılamadığı" anlamına gelirse, bu durumda A ve B uyumsuz olaylardır. C olayı “II. derecenin bir kısmının alındığı” anlamına geliyorsa bu olay A olayıyla ortaktır ancak B olayıyla bağdaşmaz.

Her gözlemde (testte) uyumsuz rastgele olaylardan yalnızca birinin meydana gelmesi gerekiyorsa, bu olaylar olayların tam seti (sistemi) .

Güvenilir bir olay tam bir olaylar dizisinden en az bir olayın meydana gelmesidir.

Olayların tamamını oluşturan olaylar ise ikili tutarsız O zaman gözlem sonucunda bu olaylardan yalnızca biri meydana gelebilir. Örneğin, bir öğrencinin iki test problemini çözmesi gerekir. Aşağıdaki olaylardan biri ve yalnızca biri mutlaka gerçekleşecektir:

• birinci sorun çözülecek, ikinci sorun çözülmeyecek;
• ikinci sorun çözülecek, birinci sorun çözülmeyecek;
• her iki sorun da çözülecek;
• sorunların hiçbiri çözülmeyecek.

Bu olaylar şekil tam bir uyumsuz olaylar dizisi .

Olayların tamamı yalnızca iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bunlara denir. karşılıklı zıt veya alternatif olaylar.

Olayın karşısındaki olay ile gösterilir. Örneğin, bir yazı tura atılması durumunda, değer () veya arması () görünebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün , eğer hiçbirinin nesnel avantajları yoksa. Bu tür olaylar aynı zamanda olayların tamamını oluşturur. Bu, bir gözlem veya test sonucunda eşit derecede olası olaylardan en az birinin mutlaka gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir.

Örneğin, bir yazı tura atıldığında mezhep ve amblemin kaybolması, basılı bir metin sayfasında 0, 1, 2, 3 ve 3'ten fazla hatanın bulunmasıyla tam bir olaylar grubu oluşur.

Olasılığın tanımları ve özellikleri

Olasılığın klasik tanımı. Bir fırsat veya olumlu bir durum, belirli bir dizi koşulun uygulanması sırasında bir olayın meydana geldiği durumdur. A olmak. Olasılığın klasik tanımı, uygun durum veya fırsatların sayısının doğrudan hesaplanmasını içerir.

Klasik ve istatistiksel olasılık. Olasılık formülleri: klasik ve istatistiksel

Olayın olasılığı A Bu olay için elverişli fırsatların sayısının eşit derecede mümkün olan tüm uyumsuz olayların sayısına oranını çağırın N tek bir deneme veya gözlem sonucunda ortaya çıkabilir. Olasılık formülü olaylar A:

Bir olayın hangi olasılığından bahsettiğimiz tamamen açıksa, olasılık küçük bir harfle gösterilir. P, olay tanımını belirtmeden.

Klasik tanıma göre olasılığı hesaplamak için, eşit derecede olası tüm uyumsuz olayların sayısını bulmak ve bunlardan kaçının olayın tanımına uygun olduğunu belirlemek gerekir. A.

Örnek 1. Bir zar atıldığında 5 sayısının gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Altı yüzün de zirveye çıkma şansının aynı olduğu biliniyor. 5 rakamı yalnızca bir tarafta işaretlenmiştir. Eşit derecede olası uyumsuz olayların sayısı 6'dır ve bunlardan yalnızca bir tanesi 5 sayısıdır ( M= 1). Bu, 5 sayısını yuvarlamanın istenen olasılığı anlamına gelir.

Örnek 2. Bir kutuda aynı büyüklükte 3 kırmızı ve 12 beyaz top vardır. Bir top bakmadan alındı. Kırmızı topun alınma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılık

Olasılıkları kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 3. Zarlar atılır. Etkinlik B- çift sayıyı yuvarlamak. Bu olayın olasılığını hesaplayınız.

Örnek 5. Bir torbada 5 beyaz ve 7 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor. Etkinlik A- beyaz bir top çekilir. Etkinlik B- siyah bir top çekiliyor. Bu olayların olasılıklarını hesaplayınız.

Klasik olasılık, bir teste veya gözleme başlamadan önce hesaplandığı için önceki olasılık olarak da adlandırılır. Klasik olasılığın a priori doğasından dolayı, ana dezavantajı şu şekildedir: yalnızca nadir durumlarda, gözlemin başlamasından önce, olumlu olaylar da dahil olmak üzere eşit derecede olası tüm uyumsuz olaylar hesaplanabilir. Bu tür fırsatlar genellikle oyunlara benzer durumlarda ortaya çıkar.

Kombinasyonlar. Olayların sırası önemli değilse olası olayların sayısı kombinasyon sayısı olarak hesaplanır:

Örnek 6. Grupta 30 öğrenci bulunmaktadır. Üç öğrenci bilgisayar ve projektör alıp getirmek için bilgisayar bilimleri bölümüne gitmelidir. Belirli üç öğrencinin bunu yapma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Olası olayların sayısını formül (2) kullanarak hesaplıyoruz:

Belirli üç öğrencinin bölüme gitme olasılığı:

Örnek 7. 10 adet cep telefonu satılıktır. 3 tanesinde arıza var. Alıcı 2 telefon seçti. Seçilen her iki telefonun da kusurlu olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Eşit derecede olası tüm olayların sayısı formül (2) kullanılarak bulunur:

Aynı formülü kullanarak bir etkinlik için uygun fırsatların sayısını buluruz:

Seçilen her iki telefonun da kusurlu olması istenen olasılık.