Modelado de sistemas continuos lineales.
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El modelado se basa en la teoría de la similitud, que establece que la similitud absoluta sólo puede ocurrir cuando un objeto es reemplazado por otro exactamente igual. Al modelar, no existe una similitud absoluta y uno se esfuerza en que refleje bastante bien el aspecto del funcionamiento del objeto que se está estudiando. La clasificación de los tipos de modelos se muestra en la Fig. 1. Arroz. 1. Tipos de modelado de sistemas Por grado de completitud Los modelos se dividen en completos, incompletos y aproximados. Modelos completos idéntico al objeto en el tiempo y el espacio.
Por incompleto El modelado de esta identidad no se conserva. El modelado aproximado se basa en la similitud, en la que algunos aspectos del funcionamiento de un objeto real no se modelan en absoluto. Dependiente sobre la naturaleza de los procesos en estudio En el sistema, los tipos de modelado se dividen en determinista y estocástico, estático y dinámico, discreto, continuo y discreto-continuo. determinista El modelado describe procesos en los que se supone la ausencia de influencias aleatorias.
Por incompleto estocástico El modelado tiene en cuenta procesos y eventos probabilísticos. El modelado estático se utiliza para describir el comportamiento de un objeto en un momento fijo en el tiempo y el modelado dinámico se utiliza para estudiar un objeto a lo largo del tiempo. Se utilizan simulaciones discretas, continuas y discretas-continuas para describir procesos que varían con el tiempo. Al mismo tiempo, operan con modelos analógicos, digitales y analógico-digitales. de la forma de representación del objeto El modelado se clasifica en mental y real.
de la forma de representación del objeto implementado en forma visual, simbólica y matemática. Con el modelado visual, basado en ideas humanas sobre objetos reales, se crean modelos visuales que muestran los fenómenos y procesos que ocurren en el objeto. La base del modelado hipotético es una hipótesis sobre los patrones del proceso en un objeto real, que refleja el nivel de conocimiento del investigador sobre el objeto y se basa en relaciones de causa y efecto entre la entrada y la salida del objeto en estudio. Este tipo de modelado se utiliza cuando el conocimiento sobre un objeto no es suficiente para construir modelos formales. Modelado analógico Se basa en el uso de analogías en varios niveles. Para objetos bastante simples, el nivel más alto es la analogía completa. A medida que el sistema se vuelve más complejo, se utilizan analogías de niveles posteriores, cuando el modelo analógico muestra varios o solo un aspecto del funcionamiento del objeto. La creación de prototipos se utiliza cuando los procesos que ocurren en un objeto real no son susceptibles de modelado físico o pueden preceder a otros tipos de modelado. La construcción de modelos mentales también se basa en analogías, generalmente basadas en relaciones de causa y efecto entre fenómenos y procesos en un objeto.
Modelado simbólico es un proceso artificial de creación de un objeto lógico que reemplaza al real y expresa las propiedades básicas de sus relaciones utilizando un determinado sistema de signos y símbolos. El modelado del lenguaje se basa en un determinado tesauro, que se forma a partir de un conjunto de conceptos entrantes, y este conjunto debe fijarse. Existen diferencias fundamentales entre un diccionario de sinónimos y un diccionario normal. Un tesauro es un diccionario libre de ambigüedades, es decir, en él cada palabra puede corresponder a un solo concepto, mientras que en un diccionario normal una palabra puede corresponder a varios conceptos. Si introduce un símbolo para conceptos individuales, es decir, signos, así como ciertas operaciones entre estos signos, puede implementar el modelado de signos y utilizar signos para representar un conjunto de conceptos, para componer cadenas separadas de palabras y oraciones. Utilizando las operaciones de unión, intersección y suma de la teoría de conjuntos, es posible dar una descripción de algunos objeto real.
Modelado matemático es el proceso de establecer una correspondencia entre un objeto real dado y un determinado objeto matemático llamado modelo matemático. En principio, para estudiar las características del proceso de funcionamiento de cualquier sistema utilizando métodos matemáticos, incluidos los métodos de máquina, es necesario formalizar este proceso, es decir construir modelo matemático. El estudio de un modelo matemático permite obtener las características del objeto real considerado. El tipo de modelo matemático depende tanto de la naturaleza del objeto real como de las tareas de estudiar el objeto, la confiabilidad requerida y la precisión para resolver el problema. Cualquier modelo matemático, como cualquier otro, describe un objeto real con cierto grado de aproximación. El modelado analítico se caracteriza por el hecho de que los procesos de funcionamiento de los elementos del sistema se escriben en forma de determinadas relaciones funcionales (algebraicas, integrodiferenciales, en diferencias finitas, etc.) o condiciones lógicas. El modelo analítico se estudia utilizando los siguientes métodos: analítico, cuando se esfuerza por obtener vista general dependencias explícitas que conectan las características requeridas con las condiciones iniciales, parámetros y variables del sistema; numérico, cuando, al no poder resolver ecuaciones en forma general, se esfuerza por obtener resultados numéricos con datos iniciales específicos; cualitativo, cuando, sin tener una solución explícita, se pueden encontrar algunas propiedades de la solución (por ejemplo, evaluar la estabilidad de la solución).
Actualmente, los métodos para la implementación informática del estudio de las características del proceso de funcionamiento de las BS están muy extendidos. Para implementar un modelo matemático en una computadora, es necesario construir un algoritmo de modelado apropiado.
En modelado de simulación el algoritmo que implementa el modelo reproduce el proceso de funcionamiento del sistema en el tiempo, y se simulan los fenómenos elementales que componen el proceso, preservándolos estructura lógica y la secuencia de eventos en el tiempo, que permite utilizar los datos iniciales para obtener información sobre los estados del proceso en determinados momentos en el tiempo, permitiendo evaluar las características del sistema. La principal ventaja del modelado de simulación en comparación con el modelado analítico es la capacidad de resolver más tareas complejas. Los modelos de simulación permiten tener en cuenta de forma muy sencilla factores como la presencia de elementos discretos y continuos, las características no lineales de los elementos del sistema, numerosas influencias aleatorias, etc., que a menudo crean dificultades en los estudios analíticos. Actualmente, la simulación es el método más eficaz para estudiar BS y, a menudo, el único método prácticamente accesible para obtener información sobre el comportamiento del sistema, especialmente en la etapa de su diseño.
En el modelado de simulación se distingue entre el método de modelado estadístico y el método de prueba estadística (Monte Carlo). Si los resultados obtenidos durante la reproducción en un modelo de simulación son realizaciones de variables y funciones aleatorias, entonces, para encontrar las características del proceso, es necesario reproducirlo varias veces con el posterior procesamiento de la información. Por lo tanto, es aconsejable utilizar el método de modelado estadístico como método para la implementación mecánica de un modelo de simulación. Inicialmente se desarrolló un método de prueba estadística, el cual es un método numérico que se utilizó para modelar variables y funciones aleatorias cuyas características probabilísticas coincidieran con las soluciones. tareas analíticas(Este procedimiento se llama método de Monte Carlo). Luego, esta técnica comenzó a utilizarse para la simulación de máquinas con el fin de estudiar las características de los procesos de funcionamiento de sistemas sujetos a influencias aleatorias, es decir, apareció el método de modelado estadístico.
El método de simulación se utiliza para evaluar opciones para la estructura del sistema, la efectividad de varios algoritmos de control del sistema y el impacto de cambiar varios parámetros del sistema. El modelado de simulación se puede utilizar como base para la síntesis estructural, algorítmica y paramétrica de una BS, cuando es necesario crear un sistema con características específicas bajo ciertas restricciones. El sistema debe ser óptimo según algunos criterios de eficiencia.
Modelado combinado (simulación analítica) le permite combinar las ventajas del modelado analítico y de simulación. Al construir modelos combinados, se lleva a cabo una descomposición preliminar del proceso de funcionamiento del objeto en sus subprocesos constituyentes, y para aquellos de ellos, cuando es posible, se utilizan modelos analíticos y para los subprocesos restantes se construyen modelos de simulación. Este enfoque nos permite cubrir clases de sistemas cualitativamente nuevas que no pueden estudiarse utilizando únicamente modelos analíticos o de simulación por separado.
Modelado de información(a menudo llamado cibernético) está asociado con el estudio de modelos en los que no existe una similitud directa procesos fisicos, que ocurre en modelos, a procesos reales. En este caso, se esfuerzan por mostrar solo una determinada función y consideran el objeto real como una "caja negra" que tiene varias entradas y salidas, y se modelan algunas conexiones entre salidas y entradas. Así, los modelos de información (cibernéticos) se basan en el reflejo de algunos procesos de gestión de la información, lo que permite evaluar el comportamiento de un objeto real. Para construir un modelo en este caso, es necesario aislar la función de un objeto real en estudio, intentar formalizar esta función en forma de algunos operadores de comunicación entre entrada y salida, y reproducir esta función en un modelo de simulación, en un lenguaje matemático completamente diferente y, naturalmente, una implementación física diferente del proceso.
Modelado de sistemas estructurales se basa en algunas características específicas de estructuras de un cierto tipo, utilizándolas como un medio para estudiar sistemas o desarrollando sobre su base, utilizando otros métodos de representación formalizada de sistemas (teórica de conjuntos, lingüística, etc.) enfoques específicos de modelado.
El modelado de sistemas estructurales incluye:
métodos de modelado de redes;
combinación de métodos estructurantes con métodos lingüísticos;
Enfoque estructural hacia la formalización de la construcción y estudio de estructuras. diferentes tipos(jerárquicos, matriciales, gráficos arbitrarios) basados en representaciones de la teoría de conjuntos y el concepto de escala nominal en la teoría de la medición.
Modelado situacional basado en una teoría modelo del pensamiento, en cuyo marco se pueden describir los principales mecanismos para regular los procesos de toma de decisiones. La teoría modelo del pensamiento se basa en la idea de la formación en las estructuras del cerebro de un modelo de información de un objeto y del mundo exterior. Esta información es percibida por una persona sobre la base de su conocimiento y experiencia existentes. El comportamiento humano conveniente se construye formando una situación objetivo y transformando mentalmente la situación inicial en una situación objetivo. La base para construir un modelo es la descripción de un objeto como un conjunto de elementos interconectados por ciertas relaciones que reflejan la semántica del área temática. El modelo de objetos tiene una estructura de múltiples niveles y representa el contexto de información en el que tienen lugar los procesos de gestión. Cuanto más rico sea el modelo de información de un objeto y mayores sean las posibilidades de su manipulación, mejor y más diversa será la calidad de las decisiones de gestión.
En simulación real Se aprovecha la oportunidad de estudiar las características de un objeto real en su totalidad o en parte. Dichos estudios se llevan a cabo tanto en objetos que operan en modos normales como cuando se organizan modos especiales para evaluar las características de interés del investigador (con otros valores de variables y parámetros, en otra escala de tiempo, etc.). El modelado real es el más adecuado, pero sus capacidades son limitadas. Por ejemplo, realizar una simulación real de un sistema de control automatizado requiere, en primer lugar, la presencia de dicho sistema de control automatizado y, en segundo lugar, realizar experimentos con un objeto controlado, es decir, una empresa, lo cual es imposible en la mayoría de los casos.
Modelado a escala real Se llama realizar una investigación sobre un objeto real con posterior procesamiento de resultados experimentales basado en la teoría de la similitud. Un experimento a gran escala se divide en un experimento científico, pruebas complejas y un experimento de producción. Un experimento científico se caracteriza por el uso generalizado de herramientas de automatización, el uso de muy diversas herramientas de procesamiento de información y la posibilidad de intervención humana en el proceso de realización de un experimento. De acuerdo con esto, surgió una nueva dirección científica: la automatización de experimentos científicos y una nueva especialización en el marco de la especialidad ACS - ASNI (sistemas automatizados investigación científica y pruebas complejas). Uno de los tipos de experimentos son las pruebas complejas, cuando, como resultado de pruebas repetidas de objetos en su conjunto (o grandes partes del sistema), se revelan patrones generales sobre las características de calidad y confiabilidad de estos objetos. En este caso, el modelado se lleva a cabo procesando y resumiendo información sobre un grupo de fenómenos homogéneos. Junto con las pruebas especialmente organizadas, es posible implementar modelos a gran escala resumiendo la experiencia acumulada durante el proceso de producción, es decir, podemos hablar de un experimento de producción. Aquí, sobre la base de la teoría de la similitud, se procesa material estadístico sobre el proceso de producción y se obtienen sus características generalizadas. Es necesario recordar la diferencia entre un experimento y un proceso real. Consiste en que en el experimento pueden aparecer situaciones críticas individuales y se pueden determinar los límites de la estabilidad del proceso. Durante el experimento se introducen nuevos factores e influencias perturbadoras en el proceso de funcionamiento del objeto.
Otro tipo de modelado real es el físico, que se diferencia del modelado natural en que la investigación se realiza sobre instalaciones que preservan la naturaleza de los fenómenos y tienen una similitud física. Durante el proceso de modelado físico se establecen algunas características ambiente externo y el comportamiento de un objeto real o de su modelo se estudia bajo influencias ambientales dadas o creadas artificialmente. El modelado físico puede tener lugar en escalas de tiempo reales e irreales (pseudo-reales) o considerarse sin tener en cuenta el tiempo. EN el último caso Son objeto de estudio los procesos denominados “congelados” registrados en un momento determinado. La mayor complejidad e interés desde el punto de vista de la exactitud de los resultados obtenidos es el modelado físico en tiempo real.
El modelado continuo es el modelado de un sistema a lo largo del tiempo utilizando una representación en la que las variables de estado cambian continuamente con respecto al tiempo. Normalmente, los modelos de simulación continua utilizan ecuaciones diferenciales que establecen relaciones para las tasas de cambio de las variables de estado a lo largo del tiempo. Si las ecuaciones diferenciales son muy simples, se pueden resolver analíticamente para representar los valores de las variables de estado para todos los valores del tiempo en función de los valores de las variables de estado en el tiempo 0. Para modelos continuos grandes solución analítica imposible, pero para integración numérica ecuaciones diferenciales en el caso de valores especiales dados para variables de estado en el momento 0, se utilizan tecnologías de análisis numérico, por ejemplo, la integración de Runge-Kutta.
Ejemplo 1.3. consideremos modelo continuo competencia entre dos poblaciones. Modelos biológicos de este tipo, llamados modelos presa-depredador(o parásito-hospedador), han sido considerados por muchos autores, incluidos Brown y Gordon. El medio ambiente está representado por dos poblaciones: depredadores y presas, que interactúan entre sí. La presa es pasiva, pero los depredadores dependen de su población como fuente de alimento. (Por ejemplo, los tiburones pueden ser depredadores y los peces de los que se alimentan, presas). x(t) y y(t) denota el número de individuos en poblaciones de presas y depredadores, respectivamente, en un momento dado t. Digamos que la población presa tiene un suministro abundante de alimentos; en ausencia de depredadores, su tasa de crecimiento será r x(t) para algunos valor positivo r(r- tasa de natalidad natural menos tasa de mortalidad natural). La existencia de interacciones entre depredadores y presas sugiere que la tasa de mortalidad de las presas debido a esta interacción es proporcional al producto de los tamaños de ambas poblaciones. x(t)y(t). Por lo tanto, la tasa general de cambio en la población de presas dx /dt: se puede representar como
Dónde A - coeficiente de proporcionalidad positivo. Dado que la existencia de los depredadores depende de la población de presas, la tasa de cambio de la población de depredadores en ausencia de presas es -sу(t) para algunos positivos s. Además, la interacción entre las dos poblaciones conduce a un aumento de la población de depredadores, cuya tasa también es proporcional. x(t)y(t). Por lo tanto, la tasa general de cambio en la población de depredadores dy/dt equivale a
(2)
Dónde b- coeficiente de proporcionalidad positivo. En condiciones iniciales x(0)> 0 y y(0) >0 la solución al modelo definido por las ecuaciones (1) y (2) tiene una propiedad interesante: x(t)> 0 y y(t)> 0 para cualquier t³0. En consecuencia, la población de presas nunca será completamente destruida por los depredadores. Solución (x(t), y(t)) también es función periódica tiempo. En otras palabras, existe tal significado. T> 0, en el cual x(t + nT)=x(t) Y y(t + nT)= y(t) para cualquier entero positivo pag. Este resultado no es inesperado. A medida que aumenta la población de depredadores, la población de presas disminuye. Esto conduce a una disminución en la tasa de crecimiento de la población de depredadores y, en consecuencia, provoca una disminución en su número, lo que, a su vez, conduce a un aumento en la población de presas, etc.
consideremos valores individuales g = 0,001, a = 2 * 10 –6; s = 0,01; b=10 -6 , los tamaños de población iniciales son INCÓGNITA( 0) = 12.000 y y(0) = 600. En la Fig. presenta una solución numérica a las ecuaciones (1) y (2), obtenida utilizando un paquete informático desarrollado para solución numérica sistemas de ecuaciones diferenciales (no un lenguaje de modelado continuo).
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior es completamente determinista, lo que significa que no hay componentes aleatorios. Sin embargo, el modelo de simulación también puede contener cantidades desconocidas; por ejemplo, se pueden sumar las ecuaciones (1) y (2) variables aleatorias, que dependen de alguna manera del tiempo, o factores constantes se puede modelar como cantidades que cambian aleatoriamente sus valores en ciertos momentos en el tiempo.
5.3 Modelado combinado continuo-discreto
Dado que algunos de los sistemas no son completamente discretos ni completamente continuos, puede ser necesario crear un modelo que combine aspectos de eventos discretos y modelado continuo, lo que resultará en combinado continuo-discreto modelado. Pueden ocurrir tres tipos principales de interacción entre cambios discretos y continuos en variables de estado:
Un evento discreto puede provocar un cambio discreto en el valor de una variable de estado continua;
En un momento dado, un evento discreto puede causar un cambio en la relación que gobierna una variable de estado continua;
Una variable de estado continuo que ha alcanzado valor umbral, puede causar que ocurra o se programe un evento discreto.
EN siguiente ejemplo Se proporciona un modelado combinado continuo-discreto. breve descripción modelo, discutido en detalle por Pritzker, quien proporciona otros ejemplos de este tipo de modelado en su trabajo.
Ejemplo 1.4. Los camiones cisterna que transportan petróleo llegan a un muelle de descarga y llenan un tanque de almacenamiento desde donde el petróleo se transporta a la refinería. Desde un camión cisterna de descarga, el petróleo se suministra al tanque de almacenamiento a un ritmo constante (los camiones cisterna que llegan a un muelle concurrido forman una cola). En la refinería, el petróleo se suministra desde el tanque a varios ritmos establecidos. El muelle está abierto de 6.00 a 24.00 horas. Por motivos de seguridad, la descarga de los camiones cisterna se detiene cuando el muelle está cerrado.
Los eventos discretos en este modelo (simplificado) son la llegada del camión cisterna para descargar, el cierre del muelle a medianoche y la apertura a las 6.00 horas. Los niveles de aceite en el camión cisterna de descarga y en el tanque de almacenamiento se establecen mediante variables. estado continuo, cuyas tasas de cambio se describen mediante ecuaciones diferenciales. La descarga del camión cisterna se considera completa cuando el nivel de petróleo en el camión cisterna es inferior al 5% de su capacidad, pero la descarga debe detenerse temporalmente si el nivel de petróleo en el tanque de almacenamiento alcanza su capacidad. La descarga se podrá reanudar cuando el nivel de aceite en el tanque baje del 80% de su capacidad. Si el nivel de petróleo en el depósito cae por debajo de los 5.000 barriles, la refinería deberá cerrarse temporalmente. Para evitar paradas y reinicios frecuentes de la planta, el petróleo del yacimiento no se devolverá a la planta hasta que tenga 50.000 barriles de petróleo. Cada uno de los cinco eventos de nivel de petróleo (por ejemplo, el nivel de petróleo que cae por debajo del 5% de la capacidad de un camión cisterna), según la definición de Pritzker, es evento estatal. A diferencia de los eventos discretos, los eventos de estado no están programados y ocurren cuando las variables de estado continuas cruzan un umbral;
5.4 Simulación Montecarlo. Modelado estadístico sistemas
Entre los métodos para modelar sistemas de control de accionamiento eléctrico continuo, se pueden distinguir dos, basados en el uso de modelos matemáticos de sistemas en forma de modelos de estado y modelos estructurales, cada uno de los cuales tiene sus propias ventajas específicas a la hora de resolver. tareas específicas Modelado de sistemas de control automatizados para sistemas de control electrónico. Es más conveniente utilizar el modelo de estados al modelar y sintetizar sistemas de control lineal multidimensionales para vehículos eléctricos utilizando métodos de espacio de estados. Al modelar sistemas no lineales EP, así como algunos elementos específicos sistemas modernos Para dispositivos electrónicos, como convertidores de tiristores y microprocesadores, el uso de modelos estructurales es más eficaz. Es especialmente conveniente utilizarlos en el análisis en relación con la estructura expresada. sistemas reales accionamiento eléctrico. Sin embargo, la eficacia del uso de métodos estructurales (topológicos) disminuye significativamente a medida que los sistemas de control de los equipos eléctricos se vuelven más complejos. Por tanto, la elección del método de modelado está determinada por la viabilidad de su aplicación en un caso particular.
El modelado digital de sistemas de control continuo se basa en la descripción del sistema mediante ecuaciones diferenciales ordinarias en la forma de Cauchy, donde en caso general para un elemento multidimensional, cada variable de entrada está asociada con cada variable de salida. Si las relaciones a lo largo de todos los canales son lineales o linealizadas, entonces, en el caso general, un elemento multidimensional puede describirse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas. El sistema se puede escribir de forma más compacta como una ecuación diferencial de un solo vector. Una ecuación diferencial vectorial en forma de Cauchy, que refleja las propiedades dinámicas de un objeto lineal multidimensional, es una ecuación de estado y se utiliza como modelo matemático al modelar mediante métodos de espacio de estados. Un modelo matemático completo de un objeto lineal multidimensional, además de ecuaciones de estado, también contiene una ecuación de salida que conecta variables de estado y acciones de control con variables de salida.
Las ecuaciones descritas anteriormente se pueden resolver. varios metodos, que se pueden clasificar en dos grupos: métodos de integración numérica de ecuaciones diferenciales y métodos matriciales basados en el cálculo matriz de transición condición.
Los métodos de integración numérica incluyen métodos probados y conocidos desde hace mucho tiempo: Euler, Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, etc. resultados conocidos, podemos concluir que, junto con los métodos exactos reconocidos de integración numérica alto orden, por ejemplo, métodos de Runge-Kutta cuarto orden, Kutta-Merson de cuarto orden, es recomendable utilizarlo al desarrollar técnicas no estándar modelado digital Los sistemas de control electrónico automatizados son menos precisos métodos numéricos, por ejemplo, Euler y Adams-Bashforth de segundo orden, mediante los cuales es posible garantizar una precisión de modelado suficiente con el paso de integración adecuado. A la hora de resolver problemas en tiempo real, es recomendable utilizar el método de Euler de primer orden para la integración numérica, que resulta económico tanto en términos de capacidad de memoria como de tiempo de solución. Esto es de particular relevancia en los sistemas de control por microprocesador para dispositivos electrónicos.
Métodos matriciales para calcular el proceso transitorio en sistemas lineales se basan en el cálculo de la matriz de estado de transición (exponencial), que se asocia con la necesidad de realizar cálculos complejos y engorrosos, y son especialmente difíciles en ausencia de paquetes de software de aplicación especializados (MatLab debe ser reconocido como el matemático simbólico más famoso paquete enfocado en trabajar con vectores y matrices). Los métodos para calcular la matriz de estados de transición se pueden clasificar de la siguiente manera: directo, basado en el método de Plant, aproximación de Padé, teorema de Keley-Hamilton. Todo métodos enumerados Los cálculos de la matriz de estados de transición utilizan un algoritmo recurrente para su cálculo. La matriz de estado de transición está representada por una expansión en serie de matrices. Para garantizar la funcionalidad del algoritmo para calcular la matriz de transición, es necesario instalar número máximo miembros de la serie, más allá de los cuales se detienen los cálculos. Cabe señalar que con la cantidad de integrantes de la serie A=2, la precisión del cálculo de la matriz del estado de transición corresponde a la precisión del método de Euler, con A=3 - precisión del método de Euler mejorado, con A=5 - precisión del método de Runge-Kutta. Obviamente, los costes computacionales son significativamente mayores en comparación con los métodos de integración numérica. Además de realizar cálculos para la matriz de estado de transición, es necesario calcular la matriz de entrada, para lo cual se utilizan principalmente dos métodos: analítico, cuando se sabe de antemano que el proceso de transición ha terminado. carácter estable; aproximado, cuando la naturaleza del proceso de transición no esté determinada de antemano. El uso de ambos métodos está asociado con engorrosos operaciones matriciales. Pero cabe señalar que método matricial tiene sus ventajas sobre otros métodos al modelar sistemas de control multidimensionales con varias entradas y salidas.
El modelado digital de sistemas de control continuo basado en representaciones topológicas (modelado estructural) permite aprovechar al máximo la información sobre la estructura del sistema en estudio, aquí cada enlace típico corresponde a un modelo específico, que, a su vez, puede ser; implementado sobre la base de dos enlaces típicos.
Por lo tanto, la elección de un método para modelar sistemas de control continuo de centrales eléctricas, así como métodos para calcular procesos transitorios, está determinada por la efectividad de su uso para resolver un problema específico.
Al modelar sistemas de control eléctrico discretos, es necesario resolver el problema de construir algoritmos de modelado digital. colaboración elementos digitales y analógicos de un sistema que tiene algunos características específicas. Uno de ellos es el gran gasto de tiempo de computadora en la reproducción conjunta de las propiedades dinámicas de las partes digital y analógica del sistema en estudio, asociado a la necesidad de resolver repetidamente las ecuaciones diferenciales de la parte analógica en un ciclo de reloj del parte digitales. Otro característica importante es un aparato matemático específico para el cálculo de sistemas de control digital, utilizando z-transformación.
Resultados del estudio de procesos transitorios en sistemas fisicos Ah, basado en métodos en los que señales continuas son reemplazados por secuencias temporales de números durante los cálculos, muestran que este enfoque proporciona ahorros significativos en los costos computacionales. Relaciones entre secuencias de tiempo números reales(funciones de red) se describen mediante convenientes ecuaciones en diferencias recurrentes, cuyos coeficientes dependen de los parámetros de los sistemas físicos. Algunos métodos recurrentes, en particular el método de Tustin, le permiten obtener algoritmos eficientes Modelado digital de sistemas discretos. La esencia de los métodos de diferencias recurrentes actualmente conocidos es reemplazar los procesos que ocurren en sistemas continuos con procesos en equivalentes. sistemas discretos. El aparato matemático en este caso es el método. z-transformaciones. Los métodos considerados de Tustin y Boxer-Thaler para construir algoritmos de modelado digital para sistemas de control, especificados en el formulario diagramas de bloques, tienen muy pocas o ninguna restricción. Son universales en el sentido de que se utilizan con fines analíticos o forma libre. El orden de las ecuaciones recurrentes coincide con el orden de la parte lineal del sistema modelado, independientemente del método utilizado. No se requiere esfuerzo adicional al realizar trabajo preparatorio. Sin embargo, la precisión de estos métodos no es fundamentalmente tan alta como la de los métodos que utilizan información sobre todo el sistema continuo en su conjunto (métodos de invariante). funciones de impulso, Tsypkin-Goldenberg, Ragazzini-Bergen).
La formulación de cualquier problema consiste en traducir su expresión verbal, verbal descripción en formal.
En caso de relativamente tareas simples Tal transición tiene lugar en la conciencia de una persona que ni siquiera siempre puede explicar cómo lo hizo. Si el modelo formal resultante (relación matemática entre cantidades en forma de fórmula, ecuación, sistema de ecuaciones) se basa en una ley fundamental o se confirma experimentalmente, entonces esto lo demuestra. adecuación situación mostrada, y el modelo se recomienda para resolver problemas de la clase correspondiente.
Adecuación (modelos del problema a resolver)- la legitimidad de utilizar el modelo para estudiar el problema que se está resolviendo y mostrar la situación del problema. en más en el sentido estricto Se entiende por adecuación de un modelo su conformidad con el objeto o proceso modelado. Hay que tener en cuenta que no puede existir una correspondencia completa entre el modelo y el objeto. Esto significa demostrar la correspondencia del modelo y el objeto en términos de las propiedades más esenciales del objeto.
Adecuación del modelo durante el desarrollo y la investigación. sistemas tecnicos se demuestra mediante experimento.
A medida que los problemas se vuelven más complejos, resulta más difícil obtener un modelo y demostrar su idoneidad. Inicialmente, el experimento se vuelve costoso y peligroso (por ejemplo, al crear complejos técnicos complejos, al implementar programas espaciales etc.), y en relación con los objetos económicos el experimento se vuelve prácticamente irrealizable, la tarea pasa a clase problemas de toma de decisiones, y plantear el problema, formar un modelo, es decir La traducción de una descripción verbal a una formal se vuelve importante. parte integrante proceso de toma de decisiones. y esto componente no siempre es posible distinguir como una etapa separada, después de completar la cual, el modelo formal resultante se puede tratar de la misma manera que uno ordinario. descripción matemática, estricto y absolutamente justo. Mayoría situaciones reales el diseño de complejos técnicos complejos y la gestión económica deben visualizarse como una clase sistemas autoorganizados(ver unidad 1), cuyos modelos deben ser constantemente ajustados y desarrollados. En este caso, es posible cambiar no sólo el modelo, sino también el método de modelado, que a menudo es un medio para desarrollar la comprensión de la situación simulada por parte de quien toma las decisiones.
En otras palabras, la traducción de una descripción verbal a una formal, la comprensión, la interpretación del modelo y los resultados obtenidos se convierten en una parte integral de casi todas las etapas del modelado de un sistema complejo en desarrollo. A menudo, para caracterizar con mayor precisión este enfoque para modelar los procesos de toma de decisiones, se habla de crear una especie de "mecanismo" de modelado, un "mecanismo" de toma de decisiones (por ejemplo, "mecanismo económico", "mecanismo de diseño"). y desarrollo de una empresa”, etc.).
Las preguntas que surgen son ¿cómo formar tales modelos o “mecanismos” en evolución? ¿Cómo demostrar la adecuación de los modelos? - son el tema principal análisis del sistema.
Para resolver el problema de traducir una descripción verbal a una formal, varias áreas Las actividades comenzaron a desarrollar técnicas y métodos especiales. Así, métodos como “ reunión creativa", "guiones", evaluaciones de expertos, “árbol de objetivos”, etc.
A su vez, el desarrollo de las matemáticas siguió el camino de ampliar los medios para plantear y resolver problemas difíciles de formalizar.
Junto con el determinista métodos analíticos De las matemáticas clásicas surgió la teoría de la probabilidad y estadística matemática como medio para probar la adecuación del modelo basado en una muestra representativa y el concepto de probabilidad, la legitimidad del uso del modelo y los resultados del modelado.
Para tareas con en mayor medida incertidumbres que los ingenieros comenzaron a atraer teoría de conjuntos, lógica matemática, lingüística matemática, teoría de grafos, lo que estimuló en gran medida el desarrollo de estas áreas.
En otras palabras, las matemáticas comenzaron a acumular gradualmente medios para trabajar con la incertidumbre, con un significado que las matemáticas clásicas excluían de los objetos de su consideración.
Así, entre informal, pensamiento imaginativo modelos humanos y formales de las matemáticas clásicas, ha surgido un "espectro" de métodos que ayudan a obtener y aclarar (formalizar) una descripción verbal de una situación problemática, por un lado, e interpretar modelos formales y conectarlos con la realidad, por el otro. . Este espectro se presenta convencionalmente en la Fig. 2.1, A.
Arroz. 2.1. Métodos de modelado de sistemas.
El desarrollo de métodos de modelado, por supuesto, no fue tan consistente como se muestra en la figura. Los métodos surgieron y se desarrollaron en paralelo. Hay varias modificaciones de métodos similares. Fueron agrupados de diferentes maneras, es decir. los investigadores sugirieron diferentes clasificaciones(principalmente para métodos formales). Constantemente surgen nuevos métodos de modelado, como en la "intersección" de grupos ya establecidos. Sin embargo, la idea principal es que existe un “espectro” de métodos entre lo verbal y lo presentación formal situación problemática: se muestra en esta figura.
Inicialmente, los investigadores que desarrollaban la teoría de sistemas propusieron clasificaciones de sistemas y trataron de compararlas. ciertos métodos simulaciones que permiten de la mejor manera posible reflejan las características de una clase particular.
Este enfoque para la elección de métodos de modelado es similar al enfoque de las matemáticas aplicadas. Sin embargo, a diferencia de este último, que se basa en clases problemas aplicados, el análisis del sistema puede mostrar el mismo objeto o la misma situación problemática (dependiendo del grado de incertidumbre y de cómo se aprende) diferentes clases sistemas y en consecuencia varios modelos, organizando así el proceso de formalización paulatina de la tarea, es decir. “hacer crecer” su modelo formal. El enfoque ayuda a comprender que un método de modelado elegido incorrectamente puede conducir a resultados incorrectos, la imposibilidad de demostrar la idoneidad del modelo, un aumento en el número de iteraciones y un retraso en la resolución del problema.
Hay otro punto de vista. Si cambia sucesivamente los métodos mostrados en la Fig. 2.1, A"espectro" (no necesariamente usando todo), entonces puede hacerlo gradualmente, limitando la integridad de la descripción de la situación problemática (que es inevitable durante la formalización), pero preservando los componentes más significativos desde el punto de vista del objetivo (estructura de objetivos) y las conexiones entre ellos, pasemos a un modelo formal.
Esta idea se hizo realidad, por ejemplo, al crear software Computadoras y automatizadas. sistemas de información traduciendo consecutivamente la descripción de la tarea de lenguaje natural en la lengua alto nivel(lenguaje de gestión de tareas, lenguaje de recuperación de información, lenguaje de modelado, automatización del diseño), y desde allí, a uno de los lenguajes de programación adecuados para una tarea determinada (PL/1, LISP, PASCAL, SI, PROLOG, etc.), que, a su vez, se traduce en códigos de instrucciones de máquina que operan el hardware de la computadora.
Al mismo tiempo, análisis de los procesos de actividad inventiva, experiencia de formación. modelos complejos La toma de decisiones demostró que la práctica no obedece a esa lógica, es decir, una persona actúa de manera diferente: elige alternativamente métodos de izquierda y partes correctas"espectro" que se muestra en la Fig. 2.1, A.
Por tanto, conviene “romper” este “espectro” de métodos aproximadamente por la mitad, donde métodos gráficos fusionarse con métodos de estructuración, es decir dividir los métodos de modelado de sistemas en dos clase grande: métodos de representación formalizada de sistemas - MFPS Y métodos destinados a mejorar el uso de la intuición y la experiencia de los especialistas. o más brevemente - métodos para activar la intuición de especialistas - MAIS.
Las posibles clasificaciones de estos dos grupos de métodos se muestran en la Fig. 2.1, b.
Esta división de métodos está de acuerdo con la idea principal del análisis de sistemas, que consiste en combinar representaciones formales e informales en modelos y técnicas, lo que ayuda en el desarrollo de técnicas, la selección de métodos para la formalización gradual del mapeo y el análisis. de la situación problemática.
Tenga en cuenta que en la Fig. 2.1, b en el grupo MAIS, los métodos están ordenados de arriba a abajo aproximadamente en orden creciente de posibilidades de formalización, y en el grupo IPPS, de arriba a abajo, aumenta la atención al análisis sustantivo del problema y aparecen cada vez más herramientas para dicho análisis. Este orden ayuda a comparar métodos y seleccionarlos al formar modelos de toma de decisiones en desarrollo y al desarrollar métodos de análisis de sistemas.
Las clasificaciones de MAIS y especialmente MFPS pueden ser diferentes. En la figura. 2.1, b Se da la clasificación de MPPS propuesta por F.E. Témnikov .
Cabe señalar que en ocasiones se utilizan los términos MAIS e IPPS para nombrar grupos calidad Y cuantitativo métodos. Sin embargo, por un lado, los métodos clasificados como grupo MAIS también pueden utilizar representaciones formalizadas (al desarrollar escenarios se pueden utilizar datos estadísticos y se pueden realizar algunos cálculos; la formalización está asociada a la obtención y procesamiento de valoraciones de expertos, métodos de modelado morfológico); y, por otro lado, en virtud del teorema de la incompletitud de Gödel, en el marco de cualquier sistema formal, por completo y coherente que parezca, existen disposiciones (relaciones, enunciados), cuya verdad o falsedad no puede ser probado por medios formales este sistema y superar problema insoluble es necesario ampliar el sistema formal, apoyándose en el sustantivo, análisis cualitativo. Por lo tanto, se propusieron los nombres de los grupos de métodos MAIS y MFPS, lo que parece más preferible.
Los resultados de Gödel se obtuvieron para la aritmética, la rama más formal de las matemáticas, y sugirieron que el proceso de lógica, incluyendo prueba matemática, no se limita a utilizar únicamente método deductivo que siempre contiene elementos informales de pensamiento. Estudios posteriores de este problema realizados por matemáticos y lógicos demostraron que "las pruebas no tienen en absoluto un rigor absoluto e independiente del tiempo y son sólo medios de persuasión mediados culturalmente".
En otras palabras, no existe una división estricta entre métodos formales e informales. Sólo podemos hablar de un mayor o menor grado de formalización o, por el contrario, de una mayor o menor dependencia de la intuición, sentido común.
Un analista de sistemas debe comprender que cualquier clasificación es condicional. Es sólo un medio para ayudar a uno a navegar. un numero enorme varios metodos y modelos. Por lo tanto, es necesario desarrollar una clasificación teniendo en cuenta condiciones específicas, las características de los sistemas que se están modelando (procesos de toma de decisiones) y las preferencias de los tomadores de decisiones (DM), a quienes se les puede pedir que elijan una clasificación.
También cabe señalar que a menudo se crean nuevos métodos de modelado basados en una combinación de clases de métodos preexistentes.
Entonces, integradometodos(combinatoria, topología) comenzaron a desarrollarse en paralelo dentro del marco álgebra lineal, teoría de conjuntos, teoría de grafos, y luego tomó forma en direcciones independientes.
También existen nuevos métodos basados en una combinación de herramientas MAIS y MFPS. Este grupo de métodos se presenta en la Fig. 2.1 como grupo independiente métodos de modelado, generalmente llamados métodos especiales.
Más extendido recibió lo siguiente métodos especiales modelado de sistemas.
Modelado dinámico de simulación, propuesto por J. Forrester (EE.UU.) en los años 50. Siglo XX, utiliza amigables para los humanos. lenguaje estructural, que ayuda a expresar relaciones reales que muestran bucles de control cerrados en el sistema, y representaciones analíticas (ecuaciones lineales en diferencias finitas), que permiten implementar un estudio formal de los modelos resultantes en una computadora usando lenguaje especializado DINAMO.
Idea modelado situacional propuesto por D.A. Pospelov, desarrollado y puesto en práctica por Yu.I. Klykov y L.S. Zagadskaya (Bolotova). Esta dirección se basa en la visualización en la memoria y el análisis de la computadora. situaciones problemáticas utilizando un lenguaje especializado desarrollado utilizando medios expresivos teoría de conjuntos, lógica matemática y teorías de las lenguas.
Modelado estructural-lingüístico. El enfoque surgió en los años 70. Siglo XX V práctica de ingeniería y se basa en el uso de combinatoria de representaciones estructurales para implementar ideas varios tipos, por un lado, y los medios de la lingüística matemática, por el otro. En una comprensión ampliada del enfoque, también se utilizan como medios lingüísticos (lingüísticos) otros métodos de matemáticas discretas, lenguajes basados en representaciones de teoría de conjuntos y el uso de herramientas de lógica matemática, lingüística matemática y semiótica.
Teoría del campo de la información y enfoque de la información para el modelado y análisis de sistemas. El concepto de campo de información fue propuesto por A.A. Denisov y se basa en el uso de las leyes de la dialéctica para activar la intuición del tomador de decisiones y como medio de visualización formalizada: el aparato. teoría matemática Teoría de campos y circuitos. Para abreviar, este enfoque se denomina posteriormente informativo, ya que se basa en la visualización de situaciones reales utilizando modelos de información.
Un método de formalización gradual de tareas y situaciones problemáticas con incertidumbre mediante el uso alternativo de herramientas MAIS e IPPS. Este enfoque para modelar sistemas autoorganizados (en desarrollo) se propuso originalmente basándose en el concepto modelado estructural-lingüístico, pero posteriormente se convirtió en la base de casi todas las técnicas de análisis de sistemas.
Una clasificación de métodos de modelado, como la que se analiza, ayuda a elegir conscientemente los métodos de modelado y debería ser parte de apoyo metodológico trabaja en el diseño de complejos técnicos complejos, en la gestión de empresas y organizaciones. Puede desarrollarse y complementarse con métodos específicos, es decir. acumular la experiencia adquirida en el proceso de diseño y gestión.
