Les étudiants demandent souvent avec indignation : « En quoi cela me sera-t-il utile dans la vie ? Sur n'importe quel sujet de chaque sujet. Le sujet du volume d’un parallélépipède ne fait pas exception. Et c’est là que vous pouvez simplement dire : « Cela vous sera utile. »
Comment, par exemple, savoir si un colis rentre dans une boîte postale ? Bien sûr, vous pouvez choisir le bon par essais et erreurs. Et si ce n'est pas possible ? Alors les calculs viendront à la rescousse. Connaissant la capacité du carton, vous pouvez calculer le volume du colis (au moins approximativement) et répondre à la question posée.
Parallélépipède et ses types
Si l'on traduit littéralement son nom du grec ancien, il s'avère qu'il s'agit d'une figure composée de plans parallèles. Il existe les définitions équivalentes suivantes d'un parallélépipède :
- un prisme avec une base en forme de parallélogramme ;
- un polyèdre dont chaque face est un parallélogramme.
Ses types se distinguent en fonction de la figure qui se trouve à sa base et de l'orientation des côtes latérales. DANS cas général parler de parallélépipède incliné, dont la base et toutes les faces sont des parallélogrammes. Si le type précédent faces latérales devenir des rectangles, alors il faudra l'appeler direct. Et rectangulaire et la base a également des angles de 90º.
De plus, en géométrie, ils essaient de représenter ces dernières de telle manière qu'il soit visible que toutes les arêtes sont parallèles. C'est d'ailleurs là la principale différence entre les mathématiciens et les artistes. Il est important que cette dernière véhicule le corps dans le respect de la loi de la perspective. Et dans ce cas, le parallélisme des nervures est totalement invisible.
À propos des notations introduites
Dans les formules ci-dessous, les notations indiquées dans le tableau sont valables.
Formules pour un parallélépipède incliné
Premier et deuxième pour les domaines :
La troisième consiste à calculer le volume d’un parallélépipède :
Puisque la base est un parallélogramme, pour calculer son aire, vous devrez utiliser les expressions appropriées.
Formules pour un parallélépipède rectangle
Semblable au premier point - deux formules pour les surfaces :
Et un de plus pour le volume :
Première tâche
Condition. Étant donné un parallélépipède rectangle dont il faut trouver le volume. La diagonale est connue - 18 cm - et le fait qu'elle forme respectivement des angles de 30 et 45 degrés avec le plan de la face latérale et le bord latéral.
Solution. Pour répondre à la question problématique, vous devrez connaître tous les côtés de trois triangles rectangles. Ils donneront valeurs requises bords le long desquels vous devez calculer le volume.
Vous devez d’abord déterminer où se trouve l’angle de 30º. Pour ce faire, vous devez tracer une diagonale de la face latérale à partir du même sommet à partir duquel la diagonale principale du parallélogramme a été dessinée. L'angle entre eux sera ce qui est nécessaire.
Le premier triangle qui donnera une des valeurs des côtés de la base sera le suivant. Il contient le côté requis et deux diagonales dessinées. C'est rectangulaire. Il faut maintenant utiliser la relation côté opposé(côtés de la base) et hypoténuse (diagonales). C'est égal au sinus de 30º. Autrement dit, le côté inconnu de la base sera déterminé comme la diagonale multipliée par le sinus de 30º ou ½. Qu'il soit désigné par la lettre « a ».
Le second sera un triangle contenant une diagonale connue et une arête avec laquelle il forme 45º. Il est également rectangulaire et vous pouvez à nouveau utiliser le rapport entre la jambe et l'hypoténuse. En d’autres termes, du bord latéral à la diagonale. Il est égal au cosinus de 45º. Autrement dit, « c » est calculé comme le produit de la diagonale et du cosinus de 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Dans le même triangle, vous devez trouver une autre jambe. Ceci est nécessaire pour ensuite calculer la troisième inconnue - "in". Qu'il soit désigné par la lettre « x ». Il peut être facilement calculé à l’aide du théorème de Pythagore :
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Nous devons maintenant considérer un autre triangle rectangle. Il contient déjà fêtes connues« c », « x » et celui qu'il faut compter, « b » :
po = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Les trois quantités sont connues. Vous pouvez utiliser la formule du volume et le calculer :
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Répondre: le volume du parallélépipède est de 729√2 cm 3.
Deuxième tâche
Condition. Vous devez trouver le volume d’un parallélépipède. Dans celui-ci, les côtés du parallélogramme situé à la base mesurent 3 et 6 cm, ainsi que son angle aigu - 45º. La nervure latérale a une inclinaison par rapport à la base de 30º et est égale à 4 cm.
Solution. Pour répondre à la question du problème, vous devez prendre la formule qui a été écrite pour le volume parallélépipède incliné. Mais les deux quantités y sont inconnues.
L'aire de la base, c'est-à-dire d'un parallélogramme, sera déterminée par une formule dans laquelle vous devrez multiplier les côtés connus et le sinus de l'angle aigu entre eux.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
La deuxième inconnue est la hauteur. Il peut être dessiné à partir de n’importe lequel des quatre sommets au-dessus de la base. On peut le trouver à partir d'un triangle rectangle dans lequel la hauteur est la jambe et le bord latéral est l'hypoténuse. Dans ce cas, un angle de 30º est opposé hauteur inconnue. Cela signifie que nous pouvons utiliser le rapport entre la jambe et l’hypoténuse.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Désormais toutes les valeurs sont connues et le volume peut être calculé :
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Répondre: le volume est de 18 √2 cm 3.
Troisième tâche
Condition. Trouvez le volume d'un parallélépipède si l'on sait qu'il est droit. Les côtés de sa base forment un parallélogramme et sont égaux à 2 et 3 cm. Angle aigu il y a 60º entre eux. La petite diagonale d'un parallélépipède est diagonale plus grande terrains.
Solution. Afin de connaître le volume d'un parallélépipède, nous utilisons la formule avec l'aire de base et la hauteur. Les deux quantités sont inconnues, mais elles sont faciles à calculer. Le premier est la hauteur.
Puisque la plus petite diagonale du parallélépipède a la même taille que base plus grande, alors ils peuvent être désignés par une lettre d. Angle plus grand un parallélogramme fait 120º, puisqu'il forme 180º avec un parallélogramme aigu. Soit la deuxième diagonale de la base désignée par la lettre « x ». Maintenant pour les deux diagonales de la base on peut écrire les théorèmes du cosinus :
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Cela n'a aucun sens de trouver des valeurs sans carrés, car plus tard elles seront à nouveau élevées à la deuxième puissance. Après avoir remplacé les données, nous obtenons :
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Maintenant, la hauteur, qui est également le bord latéral du parallélépipède, se révélera être une jambe du triangle. L'hypoténuse sera diagonale connue corps et la deuxième jambe - "x". On peut écrire le théorème de Pythagore :
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
D'où : n = √12 = 2√3 (cm).
Maintenant, la deuxième quantité inconnue est la surface de la base. Il peut être calculé à l’aide de la formule mentionnée dans le deuxième problème.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
En combinant le tout dans la formule de volume, nous obtenons :
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Réponse : V = 18 cm 3.
Quatrième tâche
Condition. Il faut connaître le volume d'un parallélépipède qui remplit les conditions suivantes : la base est un carré de 5 cm de côté ; les faces latérales sont des losanges ; l'un des sommets situés au-dessus de la base est équidistant de tous les sommets situés à la base.
Solution. Vous devez d’abord comprendre la condition. Il n'y a pas de questions sur le premier point concernant la place. La seconde, concernant les losanges, précise que le parallélépipède est incliné. De plus, tous ses bords sont égaux à 5 cm, puisque les côtés du losange sont les mêmes. Et à partir du troisième, il devient clair que les trois diagonales qui en sont tirées sont égales. Ce sont deux qui se trouvent sur les faces latérales, et le dernier se trouve à l'intérieur du parallélépipède. Et ces diagonales sont égales au bord, c'est-à-dire qu'elles ont également une longueur de 5 cm.
Pour déterminer le volume, vous aurez besoin d’une formule écrite pour un parallélépipède incliné. Là encore, il n’y a aucune quantité connue. Cependant, l’aire de la base est facile à calculer car il s’agit d’un carré.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
La situation avec la hauteur est un peu plus compliquée. Ce sera ainsi en trois figures : un parallélépipède, pyramide quadrangulaire Et triangle isocèle. Cette dernière circonstance doit être mise à profit.
Puisque c'est la hauteur, c'est une jambe dedans triangle rectangle. L'hypoténuse sera célèbre côte, et le match retour égal à la moitié diagonales du carré (la hauteur est aussi la médiane). Et la diagonale de la base est facile à trouver :
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
La hauteur devra être calculée comme la différence entre la puissance seconde de l’arête et le carré de la moitié de la diagonale et n’oubliez pas de prendre la racine carrée :
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Répondre: 62,5 √2 (cm3).
Un parallélépipède est une figure prismatique dont toutes les faces sont des parallélogrammes. Si les rectangles ordinaires font office de faces, alors le parallélépipède est rectangulaire et c'est la forme de cette figure qui est telle objets réels comme les maisons à panneaux, les aquariums, les livres, les imprimantes ou les briques.
Géométrie parallélépipédique
Un parallélépipède rectangle est limité par six faces, tandis que visages opposés les chiffres sont égaux et parallèles les uns aux autres. Ce figure géométrique représente cas particulier direct prisme quadrangulaire. Le parallélépipède a 12 arêtes et 8 sommets. A chacun des sommets convergent trois arêtes de la figure, qui sont la longueur, la largeur et la hauteur du parallélépipède ou ses dimensions. Si la longueur, la largeur et la hauteur de la figure sont égales, alors le parallélépipède se transforme en cube.
Les parallélépipèdes dans la vraie vie
Un grand nombre d'objets qui existent en réalité ont la forme d'un parallélépipède. Cette forme s'est répandue en raison de sa facilité de production, de sa facilité de stockage et de transport, de sa compatibilité idéale entre parallélépipèdes identiques, de sa stabilité et de sa cohérence de taille. Les objets tels que les briques, les boîtes, les smartphones, les alimentations électriques, les maisons, les pièces et bien plus encore ont une forme parallélépipédique.
Volume d'un parallélépipède
Une propriété importante de tout corps géométrique est sa capacité, c'est-à-dire le volume de la figure. Le volume est une caractéristique d'un objet qui montre combien de cubes unitaires il peut contenir. En général, le volume de toute figure prismatique est calculé par la formule :
où So est l'aire de la base de la figure et h est sa hauteur.
Cette formule est facilement illustrée exemple suivant. Imaginez que vous ayez une feuille de papier A4. Il s'agit d'un rectangle ordinaire, caractérisé strictement certaine zone. En gros, une feuille est un avion. Imaginez maintenant un paquet de papier standard de 500 feuilles A4. C'est déjà chiffre volumétrique, ayant la forme d'un parallélépipède. Il est facile de connaître son volume ; il suffit de multiplier la surface de la feuille située à la base par leur nombre, c'est-à-dire par la hauteur du prisme.
Un parallélépipède est un cas particulier de prisme dont la base est un rectangle. L'aire d'un rectangle est le simple produit de ses côtés, donc pour un parallélépipède :
Pour déterminer le volume, multipliez simplement So par la hauteur du chiffre. Ainsi, le volume parallélépipède rectangle est calculé à l'aide d'une formule simple représentant la multiplication de trois côtés d'un corps :
V = une × b × h,
où a est la longueur, b est la largeur, h est la hauteur de la figure géométrique.
Pour déterminer le volume d'un parallélépipède rectangle, il suffit de mesurer ces trois paramètres et de les multiplier simplement. Si vous ne souhaitez pas garder constamment en tête des formules pour déterminer les volumes et les aires de formes géométriques, alors utilisez notre catalogue de calculateurs en ligne : chaque outil vous indiquera quels paramètres vous devez mesurer et calculera instantanément le résultat. Examinons quelques exemples où vous devrez peut-être déterminer le volume d'un parallélépipède.
Exemples de la vie
Aquarium
Par exemple, vous avez acheté un vieil aquarium en forme de parallélépipède, mais personne ne vous a dit quel volume avait cette structure. Volume de l'aquarium - paramètre important, qui détermine la puissance du système de chauffage pour créatures marines. Calculer cette caractéristique Ce n'est pas difficile : il suffit de mesurer la longueur, la largeur et la hauteur de l'aquarium et de saisir ces données dans le formulaire de calcul. Disons que la longueur de l'aquarium est de 1 m, la largeur est de 50 cm et la hauteur est de 70 cm. Pour un calcul correct, il est important d'exprimer tous les côtés dans les mêmes unités de mesure, par exemple en mètres.
V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35
Ainsi, le volume de l'aquarium sera de 0,35 mètre cube ou 350 litres. Connaissant le volume, vous pouvez facilement sélectionner la puissance du système de chauffage.
Construction
Disons que vous coulez une fondation en dalle pour votre datcha et que vous devez savoir quelle quantité de béton sera nécessaire pour couler les fondations. Une fondation en dalle est une dalle monolithique solide située sous toute la surface du bâtiment. Afin de connaître le volume de béton requis, il est nécessaire de calculer le volume de la dalle. Heureusement, la dalle a la forme d'un parallélépipède rectangle, vous pouvez donc facilement calculer la quantité de béton requise. Disons que votre datcha est une maison standard de 6 mètres sur 6. Vous connaissez déjà deux des trois paramètres requis. Selon les exigences, l'épaisseur de la dalle de fondation doit être d'au moins 10 cm et vous pouvez choisir vous-même la taille appropriée. Par exemple, vous décidez de couler une dalle de 20 cm d'épaisseur. Pour un calcul correct, définissez tous les paramètres dans les mêmes unités de mesure, c'est-à-dire les mètres, et obtenez le résultat :
V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2
Par conséquent, pour couler les fondations, vous aurez besoin de 7,2 mètres cubes de béton.
Conclusion
Déterminer le volume de figures parallélépipédiques peut vous être utile dans de nombreux cas : des problèmes quotidiens aux problèmes de production, de devoirs scolaires pour concevoir des tâches. Notre calculateur en ligne vous aidera à résoudre des problèmes de toute complexité.
>> Leçon 31. Formule du volume d'un parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle est une figure spatiale limitée rectangles.
De nombreux objets de l'environnement ont une forme parallélépipédique : une boîte, des cubes, TV, armoire, etc.
Cours de mathématiques en 5ème. (Vilenkin)
Sujet: Tomes. Volume d'un parallélépipède rectangle.
Cible: 1. Consolider les connaissances sur ce sujet lors de la résolution de problèmes. Préparez-vous à travail d'essai. Donnez le rapport des unités de volume.
2. Répétez les propriétés de multiplication, de simplification d'expressions, de parties d'un parallélépipède.
3. Éduquer aspect environnemental, attention.
Équipement: au tableau : sujet, tâche pour comptage oral; polycopié: modèles de parallélépipède, cube, boîte d'allumettes ; pour les enfants : aide-mémoire, règles, cercles de signalisation bicolores,
Déroulement de la leçon.
Moment organisationnel.
Bonjour, happy hour, nous avons des mathématiques. Sur le bureau : règles, aide-mémoire, cahiers, manuels.
Comptage oral (échauffement) N° 806 – en rangées « en chaîne »,
- appliquer propriété distributive multiplication:
(x + 8) 20 sur le plateau
247 123 – 147 123
- simplifier :
20a – 19a 4x + x – 2x
13v-27 + 13v-10v
Communiquez le sujet et le but.
— Quelles figures géométriques avez-vous connues ? Aujourd'hui, nous allons répéter comment trouver le volume d'un parallélépipède rectangle et les unités de volume. Se préparer pour le test.
IV. Répétition de ce qui a été appris. modèles de cubes,
— Afficher les bords supérieur, arrière, inférieur et avant. parallélépipède
— Afficher deux faces ayant une arête commune,
— Afficher les bords verticaux.
(2 ou 3 étudiants exposent en même temps)
Jeu "Oui - non"
— Tout cube est un signal parallélépipède rectangle (+)
— Un parallélépipède rectangle a 10 sommets (-, 8) cercles
– 6 bords (+) – 12 bords (+)
— Chaque face du cube est un carré (+)
— Si la longueur d'un parallélépipède rectangle n'est pas égale à sa hauteur, alors ce ne peut pas être un cube (+)
— Volume d'un parallélépipède rectangle égal au produit ses trois dimensions (+)
Trouvez la formule.
- calculer le volume boîte d'allumettes, cube, parallélépipède. visibilité
— matériel supplémentaire« Quelle quantité d’air une personne a-t-elle besoin de respirer ? »
À chaque inhalation, une personne introduit 9 litres d'air dans ses poumons en 1 minute. Cela revient à 9*60 par heure, soit 540 litres. Arrondissons à 500 litres ou un demi-mètre cube et découvrons qu'une personne inhale 12 m³ d'air par jour. Ce volume est de 14 kg.
En une journée, une personne fait passer dans son corps plus d'air que de nourriture : personne ne mange même 3 kg par jour, mais nous inhalons 14 kg. Si l'on considère que l'air inhalé est constitué à 4/5 d'azote, inutile à la respiration, alors il semble que notre corps n'en consomme que 3 kg, soit à peu près la même quantité que de la nourriture (solide et liquide).
Ai-je besoin d’une autre preuve de la nécessité de renouveler l’air du salon ?
- n° 804, 801 - au tableau,
— Comment calculer le volume d'un parallélépipède ou d'un cube ?
— Dans quelles unités le volume est-il mesuré ?
VI. Rapport des unités de volume.« aide-mémoire » Écrivez « aide-mémoire ». page de garde
— Jeu « Le maillon faible » — n° 802,
— Tâche sur cartes.
— Exprimer en cm cube :
6 dm³, 287 dm³
5 dm³ 23 cm³ 16000 mm³
5 dm³ 635 cm³ 2 dm³ 80 cm³
— Exprimer en dm cube :
6m³ 580cm³ 7m³ 15dm³
VII. Répétition de ce qui a été appris. № 808
VIII. Résultat:— Que retiens-tu de la leçon ?
— Qui a travaillé pendant 5 ans ? à 4 heures ?
IX. Devoirs: § 21, n° 822 (a, b), n° 823.
Mathématiques
5ème année
21. Tomes.
Si vous remplissez le moule de sable humide, puis le retournez et le retirez, vous obtiendrez des figures de même volume (Fig. 83). Si le moule est rempli d'eau, le volume d'eau sera égal au volume chaque figurine de sable.
Riz. 83
Pour comparer les volumes de deux récipients, vous pouvez remplir l’un d’eux d’eau et le verser dans le deuxième récipient. Si le deuxième récipient est rempli et qu’il ne reste plus d’eau dans le premier récipient, alors les volumes des récipients sont égaux. S'il reste de l'eau dans le premier récipient, son volume est supérieur à celui du deuxième récipient. Et s'il n'est pas possible de remplir le deuxième récipient avec de l'eau, alors le volume du premier récipient est inférieur au volume du second.
Les unités suivantes sont utilisées pour mesurer les volumes : millimètre cube (mm3), centimètre cube (cm3), décimètre cube (dm3), mètre cube (m3), kilomètre cube (km3).
Par exemple : un centimètre cube est le volume d'un cube dont l'arête est de 1 cm (Fig. 84).
Riz. 84
Un décimètre cube est aussi appelé litre.
La figure de la figure 85 est constituée de 4 cubes avec une arête de 1 cm. Cela signifie que son volume est de 4 cm3.
Riz. 85
Dérivons une règle pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle.
Formules pour les volumes de parallélépipèdes et de cubes
Soit un parallélépipède rectangle ayant une longueur de 4 cm, une largeur de 3 cm et une hauteur de 2 cm (Fig. 86, a). Divisons-le en deux couches de 1 cm d'épaisseur (Fig. 86, b). Chacune de ces couches est constituée de 3 colonnes de 4 cm de long (Fig. 86, c), et chaque colonne est constituée de 4 cubes d'un bord de 1 cm (Fig. 86, d). Cela signifie que le volume de chaque colonne est de 4 cm3, chaque couche est de 4 3 (cm3) et l'ensemble du parallélépipède rectangle est de (4 3) 2, soit 24 cm3.
Riz. 86
Pour trouver le volume d’un parallélépipède rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur et sa hauteur.
La formule du volume d'un parallélépipède rectangle est
où V est le volume ; a, b, c - mesures.
Si le bord d'un cube mesure 4 cm, alors le volume du cube est 4 4 4 = 43 (cm3), soit 64 cm3.
Si l'arête d'un cube est égale à a, alors le volume V du cube est égal à a a a = a3.
Cela signifie que la formule du volume d'un cube a la forme
C'est pourquoi l'entrée a3 est appelée le cube de a.
Le volume d'un cube d'une arête de 1 m est égal à 1 m3. Et puisque 1 m = 10 dm, alors 1 m3 = 103 dm3, soit 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l.
De la même manière, nous constatons que
1 l = 1 dm3 = 1000 cm3 ; 1 cm3 = 1000 mm3 ;
1 km3 = 1 000 000 000 m3 (voir figure).
Questions d'auto-test
- La figurine se compose de 19 cubes d'un côté de 1 cm chacun ; quel est le volume de cette figurine ?
- Qu'est-ce qu'un centimètre cube ? mètre cube ?
- Quel est l'autre nom du décimètre cube ?
- Combien de centimètres cubes fait 1 litre ?
- À combien de litres équivaut un mètre cube ?
- Combien y a-t-il de mètres cubes dans un kilomètre cube ?
- Écrivez la formule du volume d’un parallélépipède rectangle.
- Que signifie la lettre V dans cette formule ? les lettres a, b, c ?
- Écrivez la formule du volume d'un cube.
Faire les exercices
819. Les figurines sont constituées de cubes d'un bord de 1 cm (Fig. 87). Trouvez les volumes et les surfaces de ces figures.
Riz. 87
820. Trouver le volume d'un parallélépipède rectangle si :
- a) a = 6 cm, b = 10 cm, c = 5 cm ;
- b) a = 30 dm, b = 20 dm, c = 30 dm ;
- c) a = 8 dm, b = 6 m, c = 12 m ;
- d) a = 2 dm 1 cm, b = 1 dm 7 cm, c = 8 cm ;
- e) a = 3 m, b = 2 dm, c = 15 cm.
821. Carré bord inférieur d'un parallélépipède rectangle est de 24 cm2. Déterminez la hauteur de ce parallélépipède si son volume est de 96 cm3.
822. Le volume de la pièce est de 60 m3. La hauteur de la pièce est de 3 m, la largeur est de 4 m. Trouvez la longueur de la pièce et la superficie du sol, du plafond et des murs.
823. Trouver le volume d'un cube dont l'arête est de 8 dm ; 3 dm 6 cm.
824. Trouvez le volume d'un cube si sa surface est de 96 cm2.
825. Exprimer:
- a) dans centimètres cubes: 5 dm3 635 cm3 ; 2 dm3 80 cm3 ;
- b) en décimètres cubes : 6 m3 580 dm3 ; 7 m3 15 dm3 ;
- c) en mètres cubes et décimètres : 3270 dm3 ; 12 540 000 cm3.
826. La hauteur de la pièce est de 3 m, la largeur de 5 m et la longueur de 6 m. Combien de mètres cubes d'air y a-t-il dans la pièce ?
827. La longueur de l'aquarium est de 80 cm, la largeur est de 45 cm et la hauteur est de 55 cm. Combien de litres d'eau faut-il verser dans cet aquarium pour que le niveau d'eau soit à 10 cm en dessous du bord supérieur de l'aquarium ?
828. Le parallélépipède rectangle (Fig. 88) est divisé en deux parties. Trouvez le volume et la surface de l'ensemble du parallélépipède et de ses deux parties. Le volume d'un parallélépipède est-il égal à la somme des volumes de ses parties ? Peut-on en dire autant de leurs superficies ? Expliquez pourquoi.
Riz. 88
829. Calculer oralement :
830. Restaurer la chaîne de calculs :
831. Trouvez le sens de l’expression :
- a) 23 + Z2 ;
- b) 33 + 52 ;
- c) 43 + 6 ;
- d) 103-10.
832. Combien y a-t-il de dizaines dans le quotient :
- a) 1652 : 7 ;
- b) 774 : 6 ;
- c) 1632 : 12 ;
- d) 2105 : 5 ?
833. Êtes-vous d'accord avec l'affirmation :
- a) tout cube est aussi un parallélépipède rectangle ;
- b) si la longueur d'un parallélépipède rectangle n'est pas égale à sa hauteur, alors il ne peut pas être un cube ;
- c) chaque face d'un cube est un carré ?
834. Quatre barils identiques contiennent 26 seaux d'eau. Combien de seaux d’eau 10 de ces barils peuvent-ils contenir ?
835. De combien de façons à partir de 7 perles différentes couleurs peux-tu faire un collier (avec un fermoir) ?
836. Nom dans un parallélépipède rectangle (Fig. 89) :
- a) deux faces ayant une arête commune ;
- b) les bords supérieur, arrière, avant et inférieur ;
- c) nervures verticales.
Riz. 89
837. Résolvez le problème :
- Trouvez l'aire de chaque parcelle si l'aire de la première parcelle est 5 fois plus de superficie le second, et la superficie du second est de 252 hectares moins de superficie d'abord.
- Trouvez la superficie de chaque parcelle si la superficie de la deuxième parcelle est de 324 hectares supérieure à la superficie de la première parcelle et que la superficie de la première parcelle est 7 fois inférieure à la superficie de la seconde.
838. Suivez ces étapes :
- 668 (3076 + 5081);
- 783 (66 161 — 65 752);
- 2 111 022: (5960 — 5646);
- 2 045 639: (6700 — 6279).
839. En Russie, autrefois, un seau (environ 12 l), un shtof (un dixième de seau) étaient utilisés comme unités de mesure de volume aux États-Unis, en Angleterre et dans d'autres pays, un baril (environ 159 l), un gallon (environ 4 l), un boisseau (environ 36) ont été utilisés, une pinte (de 470 à 568 centimètres cubes). Comparez ces unités. Lesquels font plus de 1 m3 ?
840. Trouvez les volumes des figures illustrées à la figure 90. Le volume de chaque cube est de 1 cm3.
Riz. 90
841. Trouvez le volume d'un parallélépipède rectangle (Fig. 91).
Riz. 91
842. Trouvez le volume d'un parallélépipède rectangle si ses dimensions sont 48 dm, 16 dm et 12 dm.
843. La grange, en forme de parallélépipède rectangle, est remplie de foin. La longueur de la grange est de 10 m, la largeur de 6 m, la hauteur de 4 m. Trouvez la masse de foin dans la grange si la masse de 10 m3 de foin est de 6 quintaux.
844. Exprimer en décimètres cubes :
- 2 m3 350 dm3 ;
- 3 m3 7 dm3 ;
- 4 m3 30 dm3 ;
- 18 000 cm3 ;
- 210 000 cm3.
845. Le volume d'un parallélépipède rectangle est de 1248 cm3. Sa longueur est de 13 cm et sa largeur est de 8 cm. Trouvez la hauteur de ce parallélépipède.
846. En utilisant la formule V = abc, calculez :
- a) V, si a - 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm ;
- b) a, si V = 2184 cm3, b = 12 cm, c = 13 cm ;
- c) b, si V = 9200 cm3, a = 23 cm, c = 25 cm ;
- d) ab, si V = 1088 dm3, c = 17 cm.
Quelle est la signification de ab?
847. Père plus vieux que mon fils depuis 21 ans. Écrivez une formule exprimant - l'âge du père - en passant par b - l'âge du fils. Trouvez en utilisant cette formule :
- a) a, si b = 10 ;
- b) une, si b = 18 ;
- c) b, si a = 48.
848. Trouvez le sens de l’expression :
- a) 700 700 - 6 054 (47 923 - 47 884) - 65 548 ;
- b) 66 509 + 141 400 : (39 839 - 39 739) + 1985 ;
- c) (851 + 2331) : 74 - 34;
- d) (14 084 : 28 - 23) 27 - 12 060 ;
- e) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
- f) 2555 : (132 + 142) + 35.
849. Calculez à partir du tableau (Fig. 92) :
- a) combien de fois le chiffre 9 apparaît-il ;
- b) combien de fois les nombres 6 et 7 apparaissent-ils dans le tableau (sans les compter séparément) ;
- c) combien de fois les nombres 5, 6 et 8 apparaissent (sans les compter individuellement).
Riz. 92
Histoires sur l'histoire de l'émergence et du développement des mathématiques
il y a 200 ans dans différents pays, y compris en Russie, ont été utilisés divers systèmes unités pour mesurer la longueur, la masse et d’autres quantités. Les relations entre les mesures étaient complexes, il y avait différentes définitions pour les unités de mesure.
Par exemple, il existe encore aujourd'hui en Grande-Bretagne deux « tonnes » différentes (2 000 et 2 940 livres), plus de 50 « boisseaux » différents, etc. Cela a entravé le développement de la science et du commerce entre les pays, il est donc nécessaire de introduire un système de mesures unifié, pratique pour tous les pays, avec des relations simples entre les unités.
Un tel système - on l'appelait le système métrique de mesures - a été développé en France. Unité de base de longueur, 1 mètre (de mot grec« métron » - mesure), défini comme une quarante millionième fraction de la circonférence terrestre, l'unité de masse de base, 1 kilogramme - comme la masse de 1 dm3 eau propre. Les unités restantes étaient déterminées à travers ces deux-là, les rapports entre unités de même valeur étaient égaux à 10, 100, 1000, etc.
Le système de mesures métriques a été adopté par la plupart des pays du monde ; en Russie, son introduction a commencé en 1899. Grande contribution à l’introduction et à la diffusion système métrique Les mesures prises dans notre pays appartiennent à Dmitri Ivanovitch Mendeleïev, le grand chimiste russe.
Cependant, selon la tradition, même aujourd'hui, les anciennes unités sont parfois utilisées. les marins mesurent les distances en miles (1852 m) et en câbles (un dixième de mile, soit environ 185 m), la vitesse - en nœuds (1 mile par heure). La masse des diamants se mesure en carats (200 mg, soit un cinquième de gramme correspond à la masse d'un grain de blé). Le volume de pétrole est mesuré en barils (159 l), etc.
Cela peut être fait de différentes manières, tout dépend des quantités et des objets dont nous disposons.
Donc, la première méthode, qui convient exclusivement à un parallélépipède rectangle.
Pour déterminer le volume d’un parallélépipède, vous aurez besoin de sa hauteur, de sa largeur et de sa longueur.
Puisque les rectangles forment un parallélépipède, marquons respectivement leur longueur et leur largeur avec les lettres a et b. Ensuite, l’aire du rectangle sera calculée comme a*b.
La hauteur d'un parallélépipède est la hauteur du bord latéral, et comme la hauteur est une valeur constante, pour trouver le volume, vous devez multiplier la surface de base du parallélépipède par la hauteur. Ceci s'exprime par la formule suivante : V = a*b*c = S*c, où c est la hauteur.
Regardons un exemple. Disons que nous avons un parallélépipède avec une longueur et une largeur de base de 5 et 8 cm, et que sa hauteur est de 11 cm. Il faut calculer le volume.
Trouvez l'aire de la base : 5*8=40 m². cm. Maintenant, nous multiplions la valeur résultante par la hauteur 40*11=440 mètres cubes. cm est le volume de la figure.
Deuxième façon.
Puisque la base d’un parallélépipède est la figure géométrique d’un parallélogramme, il est nécessaire de déterminer son aire. Pour trouver l'aire d'un parallélogramme en fonction des données connues, vous pouvez utiliser les formules suivantes :
- S = a*h, où a est le côté du parallélogramme, h est la hauteur tirée vers a.
- S = a*b*sinα, où a et b sont les côtés de la figure, α est l'angle entre ces côtés.
Après cela. Comment l’avez-vous compris ? Comment trouver l'aire d'un parallélogramme, vous pouvez commencer par trouver le volume de notre parallélépipède. Pour ce faire, nous utilisons la formule :
V = S*h, où S est l'aire de base obtenue précédemment, h est la hauteur de notre parallélépipède.
Regardons un exemple.
On nous donne un parallélépipède d'une hauteur de 50 cm dont la base (parallélogramme) a un côté égal à 23 cm et la hauteur tirée de ce côté est de 8 cm. On substitue la formule ci-dessus :
S = 23*8 = 184 m². cm.
Maintenant, nous substituons la formule pour trouver le volume d'un parallélépipède :
V = 184*50 = 9 200 mètres cubes
Cours de mathématiques « Volume d'un parallélépipède rectangle » (5e année)
Réponse : le volume de ce parallélépipède est de 9 200 centimètres cubes.
Troisième voie.
Cette option ne convient que pour type rectangulaire parallélépipède, côtés dont les bases seront égales. Pour ce faire, il vous suffit de découper ces côtés en cube.
V = a3, c'est-à-dire en cubes
Étant donné un parallélépipède de côté de base égal à 12. Cela signifie que le volume de cette figure est calculé par la formule suivante V = 123 = 1728 cm3 cm.
Les deux méthodes sont très simples. L'essentiel est de s'armer d'une calculatrice et d'effectuer correctement tous les calculs. Bonne chance!
volume d'un parallélépipède rectangle
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
Base parallélépipédique
La calculatrice calculera et écrira la solution en détail et avec des commentaires. Tout ce que vous avez à faire est de copier la solution linéaire du parallélépipède dans votre cahier. Une solution textuelle détaillée avec des explications vous permettra de comprendre la méthodologie pour résoudre de tels problèmes et, si nécessaire, de répondre aux questions en donnant une réponse détaillée et compétente.
Le calcul du volume et de l'aire d'un parallélogramme est une base élémentaire pour de nombreux calculs techniques et quotidiens !
Tomes. Volume d'un parallélépipède rectangle
Par exemple, pour calculer les réparations dans une pièce, calculez les données de chauffage ou de climatisation.
parallélogramme rectangle
La formule utilisée dans notre calculateur trouvera volume d'un parallélépipède rectangle. Et si votre parallélépipède a des bords obliques, au lieu de la longueur du bord oblique correspondant, vous devez saisir la valeur de la hauteur de cette partie de la figure.
Formule pour le volume d'un parallélépipède rectangle
Pour le trouver, il faut connaître les dimensions des nervures : hauteur, largeur et longueur. Selon la formule, les dimensions des faces du parallélépipède doivent être multipliées dans n'importe quel ordre.
Le volume peut être exprimé en litres ou en cm cubes, millimètres cubes.
Formule pour la surface d'un parallélépipède
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
En utilisant la formule de l'aire d'un parallélépipède, vous devez trouver les aires de tous les côtés du parallélépipède, puis les additionner. Côtés opposés, les faces et les arêtes d'un parallélépipède sont égales les unes aux autres, donc lors du calcul des aires, vous pouvez utiliser la multiplication par deux.
Base parallélépipédique
Dans certains cas, la surface de base du parallélépipède est connue, alors pour trouver le volume il suffit de multiplier la surface de base par la hauteur. ! IMPORTANT! - ceci n'est vrai que pour un parallélépipède rectangle.
Comment trouver le volume d'un parallélépipède ?
Le moyen le plus simple de trouver le volume est de saisir trois valeurs connues en colonnes calculateur en ligne volume! Ensuite - appuyez sur le bouton - vous obtiendrez le résultat) !
La calculatrice calculera volume du parallélépipède abcda1b1c1d1 et décrira la décision en détail et avec des commentaires.
Volume d'un parallélépipède rectangle
Tout ce que vous avez à faire est de copier la solution linéaire du parallélépipède dans votre cahier. Une solution textuelle détaillée avec des explications vous permettra de comprendre la méthodologie pour résoudre de tels problèmes et, si nécessaire, de répondre aux questions en donnant une réponse détaillée et compétente.
Le calcul du volume et de l'aire d'un parallélogramme est une base élémentaire pour de nombreux calculs techniques et quotidiens ! Par exemple, pour calculer les réparations dans une pièce, calculez les données de chauffage ou de climatisation.
Un parallélogramme est une figure géométrique tridimensionnelle qui possède six côtés, chaque côté étant un parallélogramme. Les côtés d'un parallélogramme sont généralement appelés faces. Si toutes les faces d’un parallélépipède ont la forme d’un rectangle, alors c’est déjà parallélogramme rectangle! Ce chiffre est désigné par les lettres abcda1b1c1d1.
L’école est un immense bol de connaissances, qui comprend de nombreuses disciplines qui peuvent intéresser n’importe quel enfant. Les mathématiques sont la reine sciences exactes. Stricte et disciplinée, elle ne tolère pas les inexactitudes. Même en tant qu'adulte, vie ordinaire nous pouvons rencontrer différents problèmes de mathématiques: calcul mètres carrés pour poser du carrelage dans la salle de bain, des mètres cubes pour déterminer le volume d'un réservoir, etc., sans parler des écoliers qui commencent tout juste leur parcours mathématique.
Très souvent, lorsqu'ils commencent à étudier les mathématiques, ou plus précisément la géométrie, les élèves confondent les figures plates avec les figures tridimensionnelles. Un cube s’appelle un carré, une boule un cercle et un parallélépipède un rectangle ordinaire. Et il y a quelques subtilités ici.
Il est difficile d'aider un enfant à terminer devoirs, ne sachant pas exactement s'il faut trouver le volume ou l'aire d'une figure - plate ou volumétrique. Le volume est introuvable chiffres plats, comme un carré, un cercle, un rectangle. Dans leur cas, vous ne pouvez trouver que la zone. Avant de procéder à la tâche, vous devez préparer les attributs nécessaires :
- Une règle pour mesurer les données dont nous avons besoin.
- Calculatrice pour d'autres calculs.
Examinons d’abord le concept même de rectangle volumétrique. C'est un parallélépipède. A sa base se trouve un parallélogramme. Puisqu’il en a six, tous les parallélogrammes sont donc des faces d’un parallélépipède.
Quant à ses faces, elles peuvent différer, c'est-à-dire que si les faces latérales droites sont des rectangles, alors il s'agit d'un parallélépipède rectangle, mais si les six faces sont des rectangles, alors nous avons un parallélépipède rectangle.
- Après avoir lu le problème, vous devez déterminer ce qui doit être trouvé exactement ; longueur d'une figure, d'un volume ou d'une surface.
- Quelle partie de la figure est prise en compte dans le problème : une arête, un sommet, une face, un côté, ou peut-être la figure entière ?
Après avoir défini toutes les tâches assignées, vous pouvez procéder directement aux calculs. Pour cela, nous avons besoin de formules spéciales. Ainsi, afin de trouver le volume d'un parallélépipède rectangle, la longueur, la largeur et la hauteur (c'est-à-dire l'épaisseur de la figure) sont multipliées ensemble. La formule de calcul du volume d'un parallélépipède rectangle est la suivante :
V=a*b*h,
V est le volume du parallélépipède, où un- sa longueur b- largeur et h- hauteur en conséquence.
Important! Avant de commencer, convertissez toutes les mesures en une seule unité de calcul. La réponse doit certainement être en unités cubes.
Premier exemple
Déterminons le volume du réservoir d'alcool avec les dimensions suivantes :
- longueur trois mètres;
- largeur deux mètres cinquante centimètres ;
- hauteur trois cents centimètres.
Tout d’abord, assurez-vous de vous mettre d’accord sur les unités de mesure et de les multiplier :
En multipliant les données, nous obtenons la réponse en mètres cubes, soit 3*2,5*3= 22,5 mètres par cube.
Exemple deux
Le meuble mesure quatre mètres de haut, soixante-dix centimètres de large et 80 centimètres de profondeur.
Connaissant la formule de calcul, vous pouvez effectuer une multiplication. Mais il n'est pas nécessaire de se précipiter, comme cela a été dit au début, les unités doivent être coordonnées les unes avec les autres, c'est-à-dire que si vous souhaitez calculer en centimètres, convertissez tous les calculs en centimètres, ou si en mètres, alors en mètres. Faisons les deux options.
Alors commençons par les centimètres. Convertir des mètres en centimètres :
V = 400 * 70 * 80 ;
V = 2 240 000 centimètres cubes.
Maintenant les compteurs :
V = 4* 0,7 * 0,8 ;
V = 2,24 mètres cubes.
Sur la base des manipulations ci-dessus, il est évident que travailler avec mètres cubes plus facile et plus compréhensible.
Troisième exemple
Étant donné une pièce dont le volume doit être calculé. La longueur de cette pièce est de cinq mètres, la largeur de trois mètres et la hauteur sous plafond de 2,5. Encore une fois, nous utilisons la formule que nous connaissons :
V = a * b * h ;
où a est la longueur de la pièce et est égale à 5, b est la largeur et est égale à 3 et h est la hauteur, qui est égale à 2,5
Puisque toutes les unités sont exprimées en mètres, vous pouvez immédiatement commencer les calculs. En multipliant a, b et h ensemble :
V = 5 * 3 * 2,5 ;
V = 37,5 mètres cubes.
Donc, en conclusion, nous pouvons dire que connaître les bases règles mathématiques pour calculer le volume ou l'aire des figures, ainsi qu'en identifiant correctement les figures (plates ou volumétriques), en étant capable de convertir des centimètres en mètres et vice versa - vous pouvez faciliter l'étude de la géométrie de votre enfant, ce qui ne peut que rendre ce processus plus intéressant et attrayant, car toutes les connaissances accumulées à l'école pourront à l'avenir être utilisées avec succès dans la vie quotidienne la plus ordinaire.
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