Méthodes Carl Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Méthode gaussienne pour les nuls : résoudre facilement le slough

L'essence de la méthode Gauss est de transformer (1) en un système avec une matrice triangulaire, à partir de laquelle les valeurs de toutes les inconnues sont ensuite obtenues séquentiellement (en sens inverse). Considérons l'un des schémas informatiques. Ce circuit est appelé circuit à division unique. Alors regardons ce diagramme. Laissez a 11 ≠0 (élément principal) diviser la première équation par a 11. On a
(2)
A l'aide de l'équation (2), il est facile d'éliminer les inconnues x 1 des équations restantes du système (pour ce faire, il suffit de soustraire l'équation (2) de chaque équation, préalablement multipliée par le coefficient correspondant pour x 1) , c'est-à-dire que dans la première étape nous obtenons
.
Autrement dit, à l'étape 1, chaque élément des lignes suivantes, à partir de la seconde, égal à la différence entre l'élément d'origine et le produit de sa « projection » sur la première colonne et la première ligne (transformée).
Ensuite, en laissant la première équation seule, nous effectuons une transformation similaire sur les équations restantes du système obtenu dans la première étape : nous sélectionnons parmi elles l'équation avec l'élément principal et, avec son aide, excluons x 2 du reste équations (étape 2).
Après n étapes, au lieu de (1), on obtient un système équivalent
(3)
Ainsi, dans un premier temps on obtient un système triangulaire (3). Cette étape est appelée course vers l’avant.
A la deuxième étape (inverse), on retrouve séquentiellement à partir de (3) les valeurs x n, x n -1, ..., x 1.
Notons la solution résultante par x 0 . Alors la différence ε=b-A x 0 appelé résiduel.
Si ε=0, alors la solution trouvée x 0 est correcte.

Les calculs utilisant la méthode gaussienne sont effectués en deux étapes :

1. La première étape est appelée la méthode forward. Dans un premier temps, le système original est converti en une forme triangulaire.
2. La deuxième étape est appelée course inverse. Dans un deuxième temps, un système triangulaire équivalent au système original est résolu.

Objectif de la méthode Gauss

Types de méthode gaussienne

1. Méthode gaussienne classique ;
2. Modifications de la méthode Gauss. L'une des modifications de la méthode gaussienne est un schéma avec choix de l'élément principal. Une caractéristique de la méthode de Gauss avec le choix de l'élément principal est un tel réarrangement des équations de sorte qu'à la kème étape, l'élément principal s'avère être le plus grand élément de la kème colonne.
3. Méthode Jordano-Gauss ;

Exemple de solution utilisant la méthode de Gauss
Résolvons le système :

Pour faciliter le calcul, intervertissons les lignes :

Multiplions la 2ème ligne par (2). Ajoutez la 3ème ligne à la 2ème

Multipliez la 2ème ligne par (-1). Ajoutez la 2ème ligne à la 1ère

A partir de la 1ère ligne on exprime x 3 :
A partir de la 2ème ligne on exprime x 2 :
A partir de la 3ème ligne on exprime x 1 :

Un exemple de solution utilisant la méthode Jordano-Gauss
Résolvons le même SLAE en utilisant la méthode Jordano-Gauss.

Nous sélectionnerons séquentiellement l’élément résolvant RE, qui se situe sur la diagonale principale de la matrice.
L'élément de résolution est égal à (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - élément résolvant (1), A et B - éléments matriciels formant un rectangle avec les éléments STE et RE.
Présentons le calcul de chaque élément sous forme de tableau :

x1	x2	x3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x1	x2	x3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x1	x2	x3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Implémentation de la méthode Gaussienne

Utiliser la méthode gaussienne

Application de la méthode de Gauss à la théorie des jeux

Application de la méthode de Gauss à la résolution d'équations différentielles

Application de la méthode Jordano-Gauss en programmation linéaire

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département mathématiques supérieures

Des lignes directrices

pour étudier le sujet « Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes de systèmes linéaires

équations" par les étudiants de la faculté de comptabilité formulaire de correspondanceéducation (NISPO)

Gorki, 2013

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

Systèmes d'équations équivalents

Deux systèmes d’équations linéaires sont dits équivalents si chaque solution de l’un d’eux est une solution de l’autre. Le processus de résolution d'un système d'équations linéaires consiste à le transformer séquentiellement en un système équivalent en utilisant ce qu'on appelle transformations élémentaires , qui sont:

1) réarrangement de deux équations quelconques du système ;

2) multiplier les deux côtés de n'importe quelle équation du système par un nombre non nul ;

3) ajouter à n'importe quelle équation une autre équation multipliée par n'importe quel nombre ;

4) barrer une équation composée de zéros, c'est-à-dire équations de la forme

Élimination gaussienne

Considérez le système méquations linéaires avec n inconnu:

L'essence de la méthode gaussienne ou de la méthode d'élimination séquentielle des inconnues est la suivante.

Premièrement, à l'aide de transformations élémentaires, l'inconnue est éliminée de toutes les équations du système sauf la première. De telles transformations de système sont appelées Étape d'élimination gaussienne . L'inconnu s'appelle variable d'activation à la première étape de la transformation. Le coefficient s'appelle facteur de résolution , la première équation s'appelle résolution d'équation , et la colonne de coefficients à colonne d'autorisation .

Lorsque vous effectuez une étape d'élimination gaussienne, vous devez utiliser les règles suivantes:

1) les coefficients et le terme libre de l'équation de résolution restent inchangés ;

2) les coefficients de la colonne de résolution située en dessous du coefficient de résolution deviennent nuls ;

3) tous les autres coefficients et termes libres lors de l'exécution de la première étape sont calculés selon la règle du rectangle :

, Où je=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Nous effectuerons des transformations similaires sur la deuxième équation du système. Cela conduira à un système dans lequel l’inconnue sera éliminée dans toutes les équations sauf les deux premières. À la suite de telles transformations sur chacune des équations du système (progression directe de la méthode gaussienne), le système original est réduit à un système d'étapes équivalent de l'un des types suivants.

Méthode gaussienne inverse

Système de marche

a une apparence triangulaire et c'est tout (je=1,2,…,n). Un tel système a seule décision. Les inconnues sont déterminées à partir de la dernière équation (inverse de la méthode gaussienne).

Le système d'étapes a la forme

où, c'est-à-dire le nombre d'équations du système est inférieur ou égal au nombre d'inconnues. Ce système n'a pas de solutions, puisque la dernière équation ne sera satisfaite pour aucune valeur de la variable.

Système de type étape

a d'innombrables solutions. De la dernière équation, l'inconnue s'exprime à travers les inconnues . Ensuite, dans l'avant-dernière équation, à la place de l'inconnue, son expression est substituée par les inconnues . En poursuivant l'inverse de la méthode gaussienne, les inconnues peut être exprimé en termes d'inconnues . Dans ce cas, les inconnues sont appelés gratuit et peut prendre n'importe quelle valeur, et inconnue basique.

À solution pratique systèmes, il est pratique d'effectuer toutes les transformations non pas avec un système d'équations, mais avec une matrice étendue du système, constituée de coefficients pour les inconnues et d'une colonne membres gratuits.

Exemple 1. Résoudre un système d'équations

Solution. Créons une matrice étendue du système et effectuons des transformations élémentaires :

.

Dans la matrice étendue du système, le chiffre 3 (il est mis en évidence) est le coefficient de résolution, la première ligne est la ligne de résolution et la première colonne est la colonne de résolution. Lors du passage à la matrice suivante, la ligne de résolution ne change pas ; tous les éléments de la colonne de résolution en dessous de l'élément de résolution sont remplacés par des zéros. Et tous les autres éléments de la matrice sont recalculés selon la règle du quadrilatère. Au lieu de l'élément 4 dans la deuxième ligne, nous écrivons , au lieu de l'élément -3 dans la deuxième ligne, il sera écrit etc. Ainsi, la deuxième matrice sera obtenue. L'élément de résolution de cette matrice sera le nombre 18 dans la deuxième ligne. Pour former la suivante (troisième matrice), laissez la deuxième ligne inchangée, écrivez zéro dans la colonne sous l'élément de résolution et recalculez les deux éléments restants : au lieu du chiffre 1, écrivez , et à la place du nombre 16 nous écrivons .

En conséquence, le système original a été réduit à système équivalent

De la troisième équation on trouve . Remplaçons cette valeur dans la deuxième équation : oui=3. Remplaçons les valeurs trouvées dans la première équation oui Et z: , X=2.

Ainsi, la solution de ce système d’équations est X=2, oui=3, .

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Solution. Effectuons des transformations élémentaires sur la matrice étendue du système :

Dans la deuxième matrice, chaque élément de la troisième ligne est divisé par 2.

Dans la quatrième matrice, chaque élément des troisième et quatrième lignes était divisé par 11.

. La matrice résultante correspond au système d'équations

Décider ce système, allons trouver , , .

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Solution. Écrivons la matrice étendue du système et effectuons des transformations élémentaires :

.

Dans la deuxième matrice, chaque élément des deuxième, troisième et quatrième lignes était divisé par 7.

En conséquence, un système d'équations a été obtenu

équivalent à celui d'origine.

Puisqu'il y a deux équations de moins que d'inconnues, alors à partir de la deuxième équation . Remplaçons l'expression pour dans la première équation : , .

Ainsi, les formules donner décision commune de ce système d'équations. Les inconnues sont gratuites et peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Laissez, par exemple, Alors Et . Solution est l'une des solutions particulières du système, qui sont innombrables.

Questions pour la maîtrise de soi des connaissances

1) Quelles transformations systèmes linéaires sont appelés élémentaires ?

2) Quelles transformations du système sont appelées étape d'élimination gaussienne ?

3) Qu'est-ce qu'une variable de résolution, un coefficient de résolution, une colonne de résolution ?

4) Quelles règles doivent être utilisées lors de l'exécution d'une étape d'élimination gaussienne ?

Dans cet article, la méthode est considérée comme une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle permet d'écrire un algorithme de solution dans vue générale, puis remplacez-y les valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont un nombre infini de solutions. Ou alors ils ne l'ont pas du tout.

Que signifie résoudre en utilisant la méthode gaussienne ?

Tout d’abord, nous devons écrire notre système d’équations. Il ressemble à ceci. Prenons le système :

Les coefficients sont écrits sous forme de tableau et les termes libres sont écrits dans une colonne séparée à droite. La colonne avec les membres libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.

Ensuite, la matrice principale avec les coefficients doit être amenée en haut forme triangulaire. C’est le point principal de la résolution du système par la méthode gaussienne. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice devrait ressembler à ce que sa partie inférieure gauche ne contienne que des zéros :

Alors, si on écrit nouvelle matrice encore une fois en tant que système d'équations, on peut remarquer que dans dernière ligne contient déjà la valeur de l'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.

Ceci est une description de la solution par la méthode gaussienne dans la forme la plus Plan général. Que se passe-t-il si soudainement le système n’a plus de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d’autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.

Matrices, leurs propriétés

Aucun sens caché pas dans la matrice. C'est simple moyen pratique enregistrer des données pour des opérations ultérieures avec eux. Même les écoliers n’ont pas besoin d’en avoir peur.

La matrice est toujours rectangulaire, car elle est plus pratique. Même dans la méthode Gauss, où tout se résume à construire une matrice de forme triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros aux endroits où il n'y a pas de nombres. Les zéros ne sont peut-être pas écrits, mais ils sont implicites.

La matrice a une taille. Sa « largeur » est le nombre de lignes (m), sa « longueur » est le nombre de colonnes (n). Puis la taille de la matrice A (les lettres majuscules sont généralement utilisées pour les désigner) des lettres) sera noté A m×n. Si m=n, alors cette matrice est carrée, et m=n est son ordre. En conséquence, tout élément de la matrice A peut être désigné par ses numéros de ligne et de colonne : a xy ; x - numéro de ligne, modifications, y - numéro de colonne, modifications.

B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais la notation sera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.

Déterminant

La matrice a également un déterminant. C'est très caractéristique importante. Il n'est pas nécessaire de découvrir sa signification maintenant ; vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis indiquer quelles propriétés de la matrice il détermine. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant consiste à utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont additionnés : diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.

Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour matrice rectangulaire vous pouvez faire ce qui suit : à partir du nombre de lignes et du nombre de colonnes, sélectionnez le plus petit (que ce soit k), puis marquez au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments situés à l'intersection des colonnes et lignes sélectionnées formeront un nouveau Matrice Carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appelle la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.

Avant de commencer à résoudre un système d’équations à l’aide de la méthode gaussienne, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère nul, alors on peut immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit aucune. Dans un cas aussi triste, il faut aller plus loin et se renseigner sur le rang de la matrice.

Classement du système

Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on se souvient de la base mineure, on peut dire que le rang d'une matrice est l'ordre de la base mineure).

En fonction de la situation du rang, le SLAE peut être divisé en :

• Articulation. U Dans les systèmes joints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, donc en plus systèmes communs divisée en:
• - certain- avoir une seule solution. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même) sont égaux ;
• - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices dans de tels systèmes est inférieur au nombre d’inconnues.
• Incompatible. U Dans de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n’ont pas de solution.

La méthode de Gauss est bonne car lors de la solution elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution sous forme générale pour un système avec un nombre infini de solutions.

Transformations élémentaires

Avant de procéder directement à la résolution du système, vous pouvez le rendre moins encombrant et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé grâce à des transformations élémentaires - de telle sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires données ne sont valables que pour les matrices dont la source était le SLAE. Voici une liste de ces transformations :

1. Réorganisation des lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, les lignes de la matrice de ce système peuvent également être interverties, sans oublier bien sûr la colonne des termes libres.
2. Multiplier tous les éléments d'une chaîne par un certain coefficient. Très utile! Il peut être utilisé pour raccourcir gros chiffres dans la matrice ou supprimer les zéros. Comme d'habitude, de nombreuses décisions ne changeront pas, mais d'autres opérations deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
3. Suppression des lignes avec des facteurs proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus d'une matrice ont des coefficients proportionnels, alors lorsque l'une des lignes est multipliée/divisée par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et les lignes supplémentaires peuvent être supprimées, laissant seulement un.
4. Suppression d'une ligne nulle. Si, lors de la transformation, une ligne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le terme libre, sont nuls, alors une telle ligne peut être appelée zéro et expulsée de la matrice.
5. Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre (dans les colonnes correspondantes), multipliés par un certain coefficient. La transformation la plus discrète et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.

Ajouter une chaîne multipliée par un facteur

Pour faciliter la compréhension, il convient de décomposer ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :

une 11 une 12 ... une 1n | b1

une 21 une 22 ... une 2n | b2

Disons que vous devez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".

une" 21 = une 21 + -2×une 11

une" 22 = une 22 + -2×une 12

une" 2n = une 2n + -2×une 1n

Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.

une 11 une 12 ... une 1n | b1

une" 21 une" 22 ... une" 2n | b 2

Il convient de noter que le coefficient de multiplication peut être choisi de telle sorte que, suite à l'ajout de deux lignes, l'un des éléments de la nouvelle ligne soit égal à zéro. Par conséquent, il est possible d’obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue en moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra deux inconnues de moins. Et si à chaque fois vous mettez à zéro un coefficient de toutes les lignes qui sont inférieures à celui d'origine, alors vous pouvez, comme des escaliers, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C’est ce qu’on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.

En général

Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire ainsi :

La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de termes libres est ajoutée à la matrice étendue et, pour plus de commodité, séparée par une ligne.

• la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 /a 11) ;
• la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
• au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'ajout du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
• maintenant le premier coefficient dans nouvelle seconde la ligne est un 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par a 31. Puis tout se répète pour un 41,... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est zéro. Vous devez maintenant oublier la ligne numéro un et exécuter le même algorithme, en commençant par la ligne deux :

• coefficient k = (-a 32 /a 22) ;
• la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne « courante » ;
• le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, etc. lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
• dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.

L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m,m-1 /a mm) apparaisse. Cela signifie que dans dernière fois l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. Maintenant, la matrice ressemble à un triangle ou a une forme en escalier. En fin de compte, il y a l’égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m /a mn. La racine résultante est remplacée dans la ligne supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante il y a nouvelle racine, et, une fois arrivé au « sommet » du système, on peut trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.

Quand il n'y a pas de solutions

Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments sauf le terme libre sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n’y a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions de l'ensemble du système est vide, c'est-à-dire dégénéré.

Quand il existe un nombre infini de solutions

Il peut arriver que dans la matrice triangulaire donnée, il n'y ait pas de lignes avec un élément de coefficient de l'équation et un terme libre. Il n’y a que des lignes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système a nombre infini les décisions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d’une solution générale. Comment faire?

Toutes les variables de la matrice sont divisées en variables de base et gratuites. Les plus basiques sont ceux qui se trouvent « au bord » des lignes de la matrice d’étapes. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites via des variables libres.

Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d’entre eux, où il ne reste exactement qu’une seule variable de base, elle reste d’un côté et tout le reste est transféré de l’autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans les équations restantes, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée à la variable de base. Si le résultat est à nouveau une expression contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous forme d'expression à variables libres. C'est la solution générale de SLAE.

Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donner des valeurs aux variables libres, puis pour ce cas spécifique, calculer les valeurs des variables de base. Il existe un nombre infini de solutions particulières qui peuvent être proposées.

Solution avec des exemples spécifiques

Voici un système d'équations.

Pour plus de commodité, il vaut mieux créer immédiatement sa matrice

On sait que lorsqu'elle est résolue par la méthode gaussienne, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations deviendront zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée il sera avantageux de mettre la deuxième ligne à la place de la première.

deuxième ligne : k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

une" 21 = une 21 + k×une 11 = 3 + (-3)×1 = 0

une" 22 = une 22 + k×une 12 = -1 + (-3)×2 = -7

une" 23 = une 23 + k×une 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

troisième ligne : k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

une" 3 1 = une 3 1 + k×une 11 = 5 + (-5)×1 = 0

une" 3 2 = une 3 2 + k×une 12 = 1 + (-5)×2 = -9

une" 3 3 = une 33 + k×une 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Maintenant, pour ne pas vous tromper, vous devez écrire la matrice avec résultats intermédiaires transformations.

Évidemment, une telle matrice peut être rendue plus pratique pour la perception à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les « moins » de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par « -1 ».

Il convient également de noter que dans la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la chaîne de ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps, pour supprimer valeurs négatives).

Ça a l'air beaucoup plus joli. Nous devons maintenant laisser de côté la première ligne et travailler avec les deuxième et troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un coefficient tel que l'élément a 32 devienne égal à zéro.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si lors de certaines transformations la réponse ne s'avère pas être un nombre entier, il est recommandé de maintenir l'exactitude des calculs pour laisser il est « tel quel », sous la forme fraction commune, et seulement alors, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il faut arrondir et convertir vers une autre forme d'enregistrement)

une" 32 = une 32 + k×une 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

une" 33 = une 33 + k×une 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.

Comme vous pouvez le voir, la matrice résultante a déjà vue en escalier. Par conséquent, d’autres transformations du système utilisant la méthode gaussienne ne sont pas nécessaires. Ce que l'on peut faire ici, c'est supprimer de la troisième ligne coefficient global "-1/7".

Maintenant, tout est beau. Il ne reste plus qu'à réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et à calculer les racines

x + 2y + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

L'algorithme par lequel les racines vont maintenant être trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur z :

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Et la première équation nous permet de trouver x :

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Nous avons le droit de qualifier un tel système de commun, voire de définitif, c'est-à-dire d'avoir une solution unique. La réponse s'écrit sous la forme suivante :

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemple de système incertain

L'option de résolution d'un certain système à l'aide de la méthode de Gauss a été analysée ; il est maintenant nécessaire de considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour lui.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

L'apparence même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n = 5, et le rang de la matrice système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire ordre le plus élevé le déterminant carré est 4. Cela signifie qu’il existe un nombre infini de solutions, et qu’il faut chercher sa forme générale. La méthode Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.

Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.

Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 /a 11) = -5

En multipliant tour à tour les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les ajoutant aux lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :

Comme vous pouvez le constater, les deuxième, troisième et quatrième rangées sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement identiques, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient « -1 » et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, sur deux lignes identiques, laissez-en une.

Le résultat est une matrice comme celle-ci. Bien que le système n'ait pas encore été écrit, il est nécessaire de déterminer ici les variables de base - celles qui correspondent aux coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et les variables libres - tout le reste.

Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Cela signifie qu'il peut être exprimé à partir de là en l'écrivant via les variables x 3 , x 4 , x 5 , qui sont libres.

Nous substituons l'expression résultante dans la première équation.

Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1 . Faisons la même chose avec cela qu'avec x 2.

Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres ; nous pouvons maintenant écrire la réponse sous forme générale ;

Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, les zéros sont généralement choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera :

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemple de système non coopératif

Solution systèmes incompatibleséquations par la méthode gaussienne - la plus rapide. Elle se termine immédiatement dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation sans solution. C'est-à-dire que l'étape de calcul des racines, qui est assez longue et fastidieuse, est éliminée. On considère le système suivant :

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Comme d'habitude, la matrice est compilée :

Et cela se réduit à une forme pas à pas :

k1 = -2k2 = -4

Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme

sans solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse est l’ensemble vide.

Avantages et inconvénients de la méthode

Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, alors la méthode discutée dans cet article semble la plus attrayante. Il est beaucoup plus difficile de se perdre dans les transformations élémentaires que si vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec ce type de données, par exemple, feuilles de calcul, il s'avère alors que de tels programmes contiennent déjà des algorithmes pour calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous êtes sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne fera pas d'erreurs, il est plus conseillé d'utiliser méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses.

Application

Puisque la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais comme l'article se positionne comme un guide « pour les nuls », il faut dire que l'endroit le plus simple pour appliquer la méthode est les feuilles de calcul, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes : addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices mêmes tailles!), multiplication par un nombre, multiplication matricielle (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, surtout, calculer le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est possible de déterminer beaucoup plus rapidement le rang de la matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incompatibilité.

Aujourd'hui, nous allons comprendre la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes de équations algébriques. Vous pouvez découvrir ce que sont ces systèmes dans l'article précédent consacré à la résolution des mêmes SLAE à l'aide de la méthode Cramer. La méthode Gauss ne nécessite aucune connaissance particulière, il suffit d'être attentif et cohérent. Malgré le fait que du point de vue des mathématiques, il suffit de l'appliquer préparation scolaire, les étudiants ont souvent du mal à maîtriser cette méthode. Dans cet article nous allons essayer de les réduire à néant !

Méthode Gauss

M. Méthode gaussienne– la méthode la plus universelle de résolution des SLAE (à l’exception des très grands systèmes). Contrairement à ce qui a été discuté précédemment, il convient non seulement aux systèmes dotés d’une solution unique, mais également aux systèmes dotés d’un nombre infini de solutions. Il y a trois options possibles ici.

1. Le système a une solution unique (le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro) ;
2. Le système a un nombre infini de solutions ;
3. Il n'y a pas de solutions, le système est incompatible.

Nous avons donc un système (qu’il ait une solution) et nous allons le résoudre en utilisant la méthode gaussienne. Comment ça fonctionne?

La méthode Gauss se compose de deux étapes : directe et inverse.

Coup direct de la méthode gaussienne

Commençons par écrire la matrice étendue du système. A cet effet dans matrice principale ajout d'une colonne de membres gratuits.

Toute l'essence de la méthode de Gauss est d'amener, par des transformations élémentaires, cette matriceà une apparence en escalier (ou comme on dit aussi triangulaire). Sous cette forme, il ne devrait y avoir que des zéros sous (ou au-dessus) la diagonale principale de la matrice.

Ce que tu peux faire:

1. Vous pouvez réorganiser les lignes de la matrice ;
2. S'il y a des lignes égales (ou proportionnelles) dans une matrice, vous pouvez toutes les supprimer sauf une ;
3. Vous pouvez multiplier ou diviser une chaîne par n'importe quel nombre (sauf zéro) ;
4. Les lignes nulles sont supprimées ;
5. Vous pouvez ajouter une chaîne multipliée par un nombre autre que zéro à une chaîne.

Méthode gaussienne inverse

Après avoir transformé le système de cette manière, une inconnue Xn devient connu, et vous pouvez ordre inverse trouvez toutes les inconnues restantes en substituant les x déjà connus dans les équations du système, jusqu'à la première.

Lorsque Internet est toujours à portée de main, vous pouvez résoudre un système d'équations en utilisant la méthode gaussienne en ligne. Il vous suffit de saisir les coefficients dans le calculateur en ligne. Mais il faut l'avouer, il est bien plus agréable de se rendre compte que l'exemple n'a pas été résolu Programme d'ordinateur, mais avec votre propre cerveau.

Un exemple de résolution d'un système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss

Et maintenant - un exemple pour que tout devienne clair et compréhensible. Supposons qu'un système d'équations linéaires soit donné et vous devez le résoudre en utilisant la méthode de Gauss :

Nous écrivons d’abord la matrice étendue :

Passons maintenant aux transformations. Nous rappelons que nous devons obtenir une apparence triangulaire de la matrice. Multiplions la 1ère ligne par (3). Multipliez la 2ème ligne par (-1). Ajoutez la 2ème ligne à la 1ère et obtenez :

Multipliez ensuite la 3ème ligne par (-1). Ajoutons la 3ème ligne à la 2ème :

Multiplions la 1ère ligne par (6). Multiplions la 2ème ligne par (13). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :

Voila - le système est mis sous la forme appropriée. Reste à trouver les inconnues :

Système dans dans cet exemple a une solution unique. Nous envisagerons de résoudre des systèmes avec un nombre infini de solutions dans un article séparé. Peut-être qu'au début vous ne saurez pas par où commencer pour transformer la matrice, mais après une pratique appropriée, vous comprendrez et casserez les SLAE en utilisant la méthode gaussienne comme un fou. Et si vous tombez soudainement sur un SLAE qui s’avère trop difficile à résoudre, contactez nos auteurs ! vous pouvez en laissant une demande au bureau de correspondance. Ensemble, nous résoudrons n'importe quel problème !

Définition et description de la méthode gaussienne

La méthode de transformation gaussienne (également connue sous le nom de méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues d'une équation ou d'une matrice) pour résoudre des systèmes d'équations linéaires est méthode classique om résoudre un système d’équations algébriques (SLAE). Cette méthode classique est également utilisée pour résoudre des problèmes tels que l'obtention matrices inverses et déterminer le rang de la matrice.

La transformation par la méthode gaussienne consiste à apporter de petites modifications séquentielles (élémentaires) à un système d'équations algébriques linéaires, conduisant à l'élimination de variables de haut en bas avec la formation d'un nouveau système triangulaireéquations, ce qui est équivalent à celui d’origine.

Définition 1

Cette partie de la solution est appelée solution gaussienne directe, puisque l’ensemble du processus s’effectue de haut en bas.

Après avoir réduit le système d’équations original à un système triangulaire, nous trouvons tous variables système de bas en haut (c'est-à-dire que les premières variables trouvées occupent exactement les dernières lignes du système ou de la matrice). Cette partie de la solution est également connue sous le nom d’inverse de la solution gaussienne. Son algorithme est le suivant : d'abord, les variables les plus proches du bas du système d'équations ou de la matrice sont calculées, puis les valeurs résultantes sont substituées plus haut et ainsi une autre variable est trouvée, et ainsi de suite.

Description de l'algorithme de la méthode gaussienne

La séquence d'actions pour la solution générale d'un système d'équations par la méthode gaussienne consiste à appliquer alternativement des traits avant et arrière à la matrice basée sur le SLAE. Soit le système d’équations initial de la forme suivante :

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cas)$

Pour résoudre les SLAE par la méthode gaussienne, il est nécessaire d'écrire le système d'équations d'origine sous la forme d'une matrice :

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

La matrice $A$ est appelée matrice principale et représente les coefficients des variables écrits dans l'ordre, et $b$ est appelée la colonne de ses termes libres. La matrice $A$, écrite à travers une barre avec une colonne de termes libres, est appelée matrice étendue :

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Or il faut, à l'aide de transformations élémentaires sur le système d'équations (ou sur la matrice, puisque c'est plus pratique), le ramener à la forme suivante :

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cas)$ (1)

La matrice obtenue à partir des coefficients du système d'équation transformé (1) est appelée une matrice à échelons ; voici à quoi ressemblent généralement les matrices à échelons :

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(tableau)$

Ces matrices sont caractérisées par l'ensemble de propriétés suivant :

1. Toutes ses lignes nulles viennent après des lignes non nulles
2. Si une ligne d'une matrice de numéro $k$ est différente de zéro, alors la ligne précédente de la même matrice a moins de zéros que celle de numéro $k$.

Après avoir obtenu la matrice d'étapes, il est nécessaire de substituer les variables résultantes dans les équations restantes (en commençant par la fin) et d'obtenir les valeurs restantes des variables.

Règles de base et transformations autorisées lors de l'utilisation de la méthode gaussienne

Lors de la simplification d'une matrice ou d'un système d'équations à l'aide de cette méthode, vous devez utiliser uniquement des transformations élémentaires.

De telles transformations sont considérées comme des opérations qui peuvent être appliquées à une matrice ou à un système d'équations sans en changer le sens :

• réarrangement de plusieurs lignes,
• ajouter ou soustraire d'une ligne d'une matrice une autre ligne,
• multiplier ou diviser une chaîne par une constante non égale à zéro,
• une ligne composée uniquement de zéros, obtenue lors du processus de calcul et de simplification du système, doit être supprimée,
• Vous devez également supprimer les lignes proportionnelles inutiles, en choisissant pour le système la seule avec des coefficients plus adaptés et plus pratiques pour des calculs ultérieurs.

Toutes les transformations élémentaires sont réversibles.

Analyse des trois cas principaux qui se présentent lors de la résolution d'équations linéaires par la méthode des transformations simples de Gauss

Trois cas se présentent lors de l'utilisation de la méthode gaussienne pour résoudre des systèmes :

1. Lorsqu’un système est incohérent, c’est-à-dire qu’il n’a aucune solution
2. Le système d'équations a une solution, unique, et le nombre de lignes et de colonnes non nulles dans la matrice est égal les uns aux autres.
3. Le système a une certaine quantité ou un ensemble solutions possibles, et le nombre de lignes qu'il contient est inférieur au nombre de colonnes.

Résultat d'une solution avec un système incohérent

Pour cette option, lors de la résolution équation matricielle La méthode de Gauss se caractérise par l'obtention d'une certaine ligne avec l'impossibilité de réaliser l'égalité. Par conséquent, si au moins une égalité incorrecte se produit, les systèmes résultants et originaux n’ont pas de solutions, quelles que soient les autres équations qu’ils contiennent. Un exemple de matrice incohérente :

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Dans la dernière ligne il y a une égalité impossible : $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Un système d'équations qui n'a qu'une seule solution

Ces systèmes, après réduction à une matrice par étapes et suppression des lignes contenant des zéros, ont le même nombre de lignes et de colonnes dans la matrice principale. Ici exemple le plus simple un tel système :

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Écrivons-le sous forme de matrice :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Pour ramener la première cellule de la deuxième ligne à zéro, nous multiplions la ligne du haut par $-2$ et la soustrayons de la ligne du bas de la matrice, et laissons la ligne du haut dans sa forme originale, nous avons donc ce qui suit :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Cet exemple peut être écrit sous forme de système :

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

De l’équation inférieure il résulte valeur suivante$x$ : $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Remplacez cette valeur dans l'équation supérieure : $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, nous obtenons $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Un système avec de nombreuses solutions possibles

Ce système se caractérise par un nombre de lignes significatives inférieur au nombre de colonnes qu'il contient (les lignes de la matrice principale sont prises en compte).

Les variables d'un tel système sont divisées en deux types : basiques et gratuites. Lors de la transformation d'un tel système, les principales variables qu'il contient doivent être laissées dans la zone de gauche jusqu'au signe « = », et les variables restantes doivent être transférées vers côté droitégalité.

Un tel système n’a qu’une certaine solution générale.

Faisons le tri le système suivantéquations :

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Écrivons-le sous forme de matrice :

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Notre tâche est de trouver une solution générale au système. Pour cette matrice, les variables de base seront $y_1$ et $y_3$ (pour $y_1$ - puisqu'il vient en premier, et dans le cas de $y_3$ - il se situe après les zéros).

Comme variables de base, nous choisissons exactement celles qui sont les premières de la ligne et qui ne sont pas égales à zéro.

Les variables restantes sont dites libres ; nous devons exprimer les variables de base à travers elles.

En utilisant ce qu'on appelle le trait inverse, nous analysons le système de bas en haut ; pour ce faire, nous exprimons d'abord $y_3$ à partir de la ligne inférieure du système :

$5a_3 – 4a_4 = 1$

$5a_3 = 4a_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Maintenant, dans l'équation supérieure du système $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$, nous substituons le $y_3$ exprimé : $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Nous exprimons $y_1$ en termes de variables libres $y_2$ et $y_4$ :

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

La solution est prête.

Exemple 1

Résolvez le slough en utilisant la méthode gaussienne. Exemples. Un exemple de résolution d'un système d'équations linéaires donné par une matrice 3 par 3 en utilisant la méthode gaussienne

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Écrivons notre système sous la forme d'une matrice étendue :

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Maintenant, pour des raisons de commodité et de praticité, vous devez transformer la matrice afin qu'en coin supérieur la dernière colonne était de 1 $.

Pour ce faire, à la 1ère ligne, vous devez ajouter la ligne du milieu, multipliée par $-1$, et écrire la ligne du milieu elle-même telle quelle, il s'avère :

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multipliez les lignes du haut et de la dernière par $-1$ et échangez également les lignes de la dernière et du milieu :

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Et divisez la dernière ligne par $3$ :

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

On obtient le système d’équations suivant, équivalent à celui d’origine :

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

À partir de l'équation supérieure, nous exprimons $x_1$ :

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Exemple 2

Un exemple de résolution d'un système défini à l'aide d'une matrice 4 par 4 en utilisant la méthode gaussienne

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(tableau)$.

Au début, nous échangeons les lignes du haut qui le suivent pour obtenir $1$ dans le coin supérieur gauche :

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(tableau)$.

Multipliez maintenant la ligne du haut par $-2$ et ajoutez au 2ème et au 3ème. Au 4ème on ajoute la 1ère ligne, multipliée par $-3$ :

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(tableau)$

Maintenant, à la ligne numéro 3, nous ajoutons la ligne 2 multipliée par 4$, et à la ligne 4 nous ajoutons la ligne 2 multipliée par -1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(tableau)$

Nous multiplions la ligne 2 par $-1$, divisons la ligne 4 par 3$ et remplaçons la ligne 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(tableau)$

Maintenant, nous ajoutons à la dernière ligne l'avant-dernière, multipliée par $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(tableau)$

Nous résolvons le système d'équations résultant :

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$