Expérience d'Otto von Guericke avec un piston 1654. Grands inventeurs allemands

Une équation différentielle est une équation qui implique une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. En majorité problèmes pratiques les fonctions représentent des grandeurs physiques, les dérivées correspondent aux taux de variation de ces grandeurs et l'équation détermine la relation entre elles.

Cet article traite des méthodes de résolution de certains types d'équations différentielles ordinaires, dont les solutions peuvent s'écrire sous la forme fonctions élémentaires, c'est-à-dire polynomiale, exponentielle, logarithmique et trigonométrique, ainsi que leurs fonctions inverses. Beaucoup de ces équations apparaissent dans la vraie vie, bien que la plupart des autres équations différentielles ne puissent pas être résolues par ces méthodes, et pour elles la réponse est écrite sous la forme de fonctions spéciales ou série de puissance, ou est trouvé par des méthodes numériques.

Pour comprendre cet article, vous devez maîtriser le calcul différentiel et intégral, ainsi qu’une certaine compréhension des dérivées partielles. Il est également recommandé de connaître les bases algèbre linéaire en application aux équations différentielles, en particulier aux équations différentielles du second ordre, bien que la connaissance du calcul différentiel et intégral soit suffisante pour les résoudre.

Informations préliminaires

• Les équations différentielles ont une classification étendue. DANS cet article parle de ordinaire équations différentielles X, c'est-à-dire sur les équations qui incluent une fonction d'une variable et ses dérivées. Les équations différentielles ordinaires sont beaucoup plus faciles à comprendre et à résoudre que équations aux dérivées partielles, qui incluent des fonctions de plusieurs variables. Cet article ne traite pas des équations aux dérivées partielles, puisque les méthodes de résolution de ces équations sont généralement déterminées par leur forme particulière.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles ordinaires.
    • ré y ré x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations aux dérivées partielles.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Commande d'une équation différentielle est déterminée par l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation. La première des équations différentielles ordinaires ci-dessus est du premier ordre, tandis que la seconde est une équation du second ordre. Degré l'équation différentielle s'appelle diplôme le plus élevé, auquel s'élève l'un des termes de cette équation.
  • Par exemple, l’équation ci-dessous est du troisième ordre et du deuxième degré.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ à droite)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• L'équation différentielle est équation différentielle linéaire dans le cas où la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré. Sinon l'équation est équation différentielle non linéaire. Les équations différentielles linéaires sont remarquables dans la mesure où leurs solutions peuvent être utilisées pour former des combinaisons linéaires qui seront également des solutions à l'équation donnée.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles linéaires.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles non linéaires. La première équation est non linéaire en raison du terme sinusoïdal.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Solution générale l'équation différentielle ordinaire n'est pas unique, elle comprend constantes d'intégration arbitraires. Dans la plupart des cas, le nombre de constantes arbitraires est égal à l’ordre de l’équation. En pratique, les valeurs de ces constantes sont déterminées en fonction des valeurs données conditions initiales, c'est-à-dire selon les valeurs de la fonction et de ses dérivées à x = 0. (\style d'affichage x=0.) Le nombre de conditions initiales nécessaires à trouver solution privéeéquation différentielle, dans la plupart des cas, est également égale à l'ordre de l'équation donnée.
  • Par exemple, cet article examinera la résolution de l’équation ci-dessous. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre. Sa solution générale contient deux constantes arbitraires. Pour trouver ces constantes il faut connaître les conditions initiales à x (0) (\style d'affichage x(0)) Et x′ (0) . (\style d'affichage x"(0).) Habituellement, les conditions initiales sont spécifiées au point x = 0 , (\style d'affichage x=0,), même si cela n'est pas nécessaire. Cet article expliquera également comment trouver des solutions particulières pour des conditions initiales données.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Mesures

Partie 1

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1. Équations linéaires du premier ordre. DANS cette rubrique des méthodes de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre en général et des cas particuliers où certains termes sont égaux à zéro sont considérées. Supposons que y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\style d'affichage p(x)) Et q (x) (\style d'affichage q(x)) sont des fonctions X. (\style d'affichage x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\ displaystyle p (x) = 0.) D'après l'un des principaux théorèmes analyse mathématique, l'intégrale de la dérivée d'une fonction est aussi une fonction. Ainsi, il suffit simplement d’intégrer l’équation pour trouver sa solution. Il convient de tenir compte du fait que lors du calcul intégrale indéfinie une constante arbitraire apparaît.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\ displaystyle q (x) = 0.) Nous utilisons la méthode séparation des variables. Dans ce cas, diverses variables sont transférées vers différents côtéséquations Par exemple, vous pouvez déplacer tous les membres de y (style d'affichage y) en un seul, et tous les membres avec x (style d'affichage x) de l’autre côté de l’équation. Les membres peuvent également être transférés d x (\displaystyle (\mathrm (d))x) Et ré y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), qui sont inclus dans les expressions des dérivées, cependant, il convient de rappeler qu'il ne s'agit que d'un symbole pratique pour différencier une fonction complexe. Discussion de ces membres, qui sont appelés différentiels, dépasse le cadre de cet article.

   • Tout d’abord, vous devez déplacer les variables vers les côtés opposés du signe égal.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Intégrons les deux côtés de l’équation. Après intégration, des constantes arbitraires apparaîtront des deux côtés, qui pourront être transférées vers le côté droit de l'équation.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemple 1.1. Dans la dernière étape, nous avons utilisé la règle e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) et remplacé e C (\displaystyle e^(C)) sur C (style d'affichage C), puisqu'il s'agit également d'une constante d'intégration arbitraire.
     • ré y ré x − 2 y péché ⁡ X = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Pour trouver une solution générale, nous avons introduit facteur d'intégration en fonction de x (style d'affichage x) pour réduire le côté gauche à une dérivée commune et ainsi résoudre l’équation.

   • Multipliez les deux côtés par μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Pour réduire le membre de gauche à la dérivée générale, il faut effectuer les transformations suivantes :
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • La dernière égalité signifie que d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Il s’agit d’un facteur intégrateur suffisant pour résoudre toute équation linéaire du premier ordre. Nous pouvons maintenant déduire la formule pour résoudre cette équation par rapport à μ , (\displaystyle \mu,) bien qu'il soit utile pour la formation de faire tous les calculs intermédiaires.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemple 1.2. Cet exemple montre comment trouver une solution particulière à une équation différentielle avec un conditions initiales.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Résolution d'équations linéaires du premier ordre (notation Intuit - national université ouverte).

2. Équations non linéaires du premier ordre. Cette section traite des méthodes de résolution de certaines équations différentielles non linéaires du premier ordre. Bien qu’il n’existe pas de méthode générale pour résoudre de telles équations, certaines d’entre elles peuvent être résolues à l’aide des méthodes ci-dessous.

   ré y ré x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Si la fonction f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) peut être divisé en fonctions d'une variable, une telle équation est appelée équation différentielle à variables séparables. Dans ce cas, vous pouvez utiliser la méthode ci-dessus :

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Exemple 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ commencer(aligné)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aligné)))

   ré y ré x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Supposons que g (x, y) (\ displaystyle g (x, y)) Et h (x, y) (\ displaystyle h (x, y)) sont des fonctions x (style d'affichage x) Et y. (\style d'affichage y.) Alors équation différentielle homogène est une équation dans laquelle g (style d'affichage g) Et h (style d'affichage h) sont fonctions homogènes au même degré. Autrement dit, les fonctions doivent satisfaire la condition g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Où k (style d'affichage k) est appelé degré d’homogénéité. Toute équation différentielle homogène peut être utilisée par des substitutions de variables (v = y / x (\displaystyle v=y/x) ou v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convertir en une équation séparable.

   • Exemple 1.4. La description ci-dessus de l’homogénéité peut sembler floue. Examinons ce concept avec un exemple.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pour commencer, il convient de noter que cette équation est non linéaire par rapport à y. (\style d'affichage y.) On voit aussi que dans dans ce cas Vous ne pouvez pas séparer les variables. En même temps, cette équation différentielle est homogène, puisque le numérateur et le dénominateur sont homogènes avec une puissance de 3. Par conséquent, nous pouvons faire un changement de variables v = y/x. (\ displaystyle v = y/x.)
     • ré y ré x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v X , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • ré v ré X X = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) En conséquence, nous avons l’équation pour v (style d'affichage v) avec des variables séparables.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   ré y ré x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ce Équation différentielle de Bernoulli- un type particulier d'équation non linéaire du premier degré, dont la solution peut être écrite à l'aide de fonctions élémentaires.

   • Multipliez les deux côtés de l'équation par (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n ré y ré x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Nous utilisons la règle de différenciation d'une fonction complexe du côté gauche et transformons l'équation en équation linéaire relativement y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) qui peut être résolu en utilisant les méthodes ci-dessus.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ce équation en différentiels totaux. Il est nécessaire de trouver ce qu'on appelle fonction potentielle φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), qui satisfait à la condition ré φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Pour remplir cette condition, il faut avoir dérivée totale. La dérivée totale prend en compte la dépendance à d'autres variables. Pour calculer la dérivée totale φ (\ displaystyle \ varphi) Par x , (\style d'affichage x,) nous supposons que y (style d'affichage y) peut aussi dépendre de X. (\style d'affichage x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • La comparaison des termes nous donne M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Et N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Il s'agit d'un résultat typique pour les équations à plusieurs variables, dans lesquelles les dérivées mixtes des fonctions lisses sont égales les unes aux autres. Parfois, ce cas est appelé Théorème de Clairaut. Dans ce cas, l’équation différentielle est une équation différentielle totale si la condition suivante est satisfaite :
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • La méthode de résolution d'équations aux différentielles totales est similaire à la recherche de fonctions potentielles en présence de plusieurs dérivées, dont nous discuterons brièvement. Intégrons d’abord M (style d'affichage M) Par X. (\style d'affichage x.) Parce que M (style d'affichage M) est une fonction et x (style d'affichage x), Et y , (\style d'affichage y,) lors de l'intégration, nous obtenons une fonction incomplète φ , (\displaystyle \varphi,) désigné comme φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Le résultat dépend aussi de y (style d'affichage y) constante d’intégration.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Après cela, pour obtenir c (y) (\style d'affichage c(y)) on peut prendre la dérivée partielle de la fonction résultante par rapport à y , (\style d'affichage y,)égaliser le résultat N (x, y) (\ displaystyle N (x, y)) et intégrer. Vous pouvez également d'abord intégrer N (style d'affichage N), puis prenez la dérivée partielle par rapport à x (style d'affichage x), ce qui vous permettra de trouver une fonction arbitraire ré(x). (\style d'affichage d(x).) Les deux méthodes conviennent et la fonction la plus simple est généralement choisie pour l’intégration.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ partiel (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Exemple 1.5. Vous pouvez prendre des dérivées partielles et voir que l’équation ci-dessous est une équation différentielle totale.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • ré c ré y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Si l'équation différentielle n'est pas une équation différentielle totale, vous pouvez dans certains cas trouver un facteur d'intégration qui vous permet de la convertir en une équation différentielle totale. Cependant, de telles équations sont rarement utilisées en pratique, et bien que le facteur intégrateur existe, ça arrive de le trouver pas facile, donc ces équations ne sont pas prises en compte dans cet article.

Partie 2

1. Équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants. Ces équations sont largement utilisées dans la pratique, leur solution est donc primordiale. Dans ce cas, nous ne parlons pas fonctions homogènes, mais qu'il y a un 0 sur le côté droit de l'équation. La section suivante montrera comment résoudre la question correspondante. hétérogèneéquations différentielles. Ci-dessous une (\style d'affichage a) Et b (style d'affichage b) sont des constantes.

   ré 2 y ré x 2 + une ré y ré x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Équation caractéristique. Cette équation différentielle est remarquable en ce sens qu’elle peut être résolue très facilement si l’on fait attention aux propriétés que devraient avoir ses solutions. D'après l'équation, il ressort clairement que y (style d'affichage y) et ses dérivées sont proportionnelles les unes aux autres. D'après les exemples précédents, abordés dans la section sur les équations du premier ordre, nous savons que seule une fonction exponentielle possède cette propriété. Il est donc possible de proposer ansatz(une supposition éclairée) sur ce que sera la solution à une équation donnée.

   • La solution aura la forme d'une fonction exponentielle e r x , (\ displaystyle e ^ (rx),) Où r (style d'affichage r) est une constante dont il faut trouver la valeur. Remplacez cette fonction dans l'équation et obtenez l'expression suivante
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Cette équation indique que le produit d'une fonction exponentielle et d'un polynôme doit être égal à zéro. On sait que l'exposant ne peut être égal à zéro pour aucune valeur du degré. Nous en concluons que le polynôme est égal à zéro. Ainsi, nous avons réduit le problème de la résolution d’une équation différentielle au problème beaucoup plus simple de la résolution d’une équation algébrique, appelée équation caractéristique d’une équation différentielle donnée.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Nous avons deux racines. Puisque cette équation différentielle est linéaire, sa solution générale est une combinaison linéaire de solutions partielles. Puisqu’il s’agit d’une équation du second ordre, nous savons que c’est vraiment solution générale, et il n’y en a pas d’autres. Une justification plus rigoureuse réside dans les théorèmes sur l’existence et l’unicité d’une solution, que l’on peut trouver dans les manuels.
   • Un moyen utile de vérifier si deux solutions sont linéairement indépendantes est de calculer Wronskiana. Vronskian W (style d'affichage W) est le déterminant d'une matrice dont les colonnes contiennent des fonctions et leurs dérivées successives. Le théorème d'algèbre linéaire stipule que les fonctions incluses dans le Wronskian sont linéairement dépendantes si le Wronskian est égal à zéro. Dans cette section, nous pouvons vérifier si deux solutions sont linéairement indépendantes. Pour ce faire, nous devons nous assurer que le Wronskian n’est pas nul. Le Wronskian est important dans la résolution d'équations différentielles inhomogènes à coefficients constants par la méthode des paramètres variables.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • En termes d'algèbre linéaire, l'ensemble de toutes les solutions d'une équation différentielle donnée forme un espace vectoriel dont la dimension est égale à l'ordre de l'équation différentielle. Dans cet espace, on peut choisir une base parmi linéairement indépendant décisions les uns des autres. Ceci est possible grâce au fait que la fonction y (x) (\style d'affichage y(x)) valide opérateur linéaire. Dérivé est opérateur linéaire, puisqu'il transforme l'espace des fonctions différentiables en l'espace de toutes les fonctions. Les équations sont dites homogènes dans les cas où, pour certains opérateur linéaire L (style d'affichage L) nous devons trouver une solution à l'équation L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Passons maintenant à l'examen de plusieurs exemples spécifiques. Nous considérerons le cas des racines multiples de l'équation caractéristique un peu plus tard, dans la section sur la réduction de l'ordre.

   Si les racines r ± (\displaystyle r_(\pm )) sont différents nombres réels, l'équation différentielle a solution suivante

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Deux racines complexes. Du théorème fondamental de l'algèbre, il résulte que les solutions d'équations polynomiales à coefficients réels ont des racines réelles ou forment des paires conjuguées. Donc si un nombre complexe r = α + je β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) est la racine de l'équation caractéristique, alors r ∗ = α − je β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) est aussi la racine de cette équation. On peut donc écrire la solution sous la forme c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cependant, il s’agit d’un nombre complexe et n’est pas souhaitable pour résoudre des problèmes pratiques.

   • Au lieu de cela, vous pouvez utiliser La formule d'Euler e je x = cos ⁡ x + je péché ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), qui permet d'écrire la solution sous forme de fonctions trigonométriques :
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + je c 1 péché ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − je c 2 péché ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ bêta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Maintenant, vous pouvez au lieu de rester constant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))écrire c 1 (\style d'affichage c_(1)), et l'expression je (c 1 − c 2) (\ displaystyle i (c_ (1) -c_ (2))) remplacer par c2. (\style d'affichage c_(2).) Après cela, nous obtenons la solution suivante :
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\bêta x))
   • Il existe une autre manière d’écrire la solution en termes d’amplitude et de phase, mieux adaptée aux problèmes de physique.
   • Exemple 2.1. Trouvons une solution à l'équation différentielle donnée ci-dessous avec les conditions initiales données. Pour ce faire, vous devez prendre la solution résultante, ainsi que son dérivé, et les substituer aux conditions initiales, ce qui nous permettra de déterminer des constantes arbitraires.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 je (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )je)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Résolution d'équations différentielles d'ordre n à coefficients constants (enregistrées par Intuit - National Open University).

2. Ordre décroissant. La réduction d'ordre est une méthode de résolution d'équations différentielles lorsqu'une solution linéairement indépendante est connue. Cette méthode consiste à diminuer l'ordre de l'équation d'un point, ce qui permet de résoudre l'équation en utilisant les méthodes décrites dans la section précédente. Faites connaître la solution. L'idée principale de la réduction d'ordre est de trouver une solution dans le formulaire ci-dessous, où il faut définir la fonction v (x) (\displaystyle v(x)), en le substituant dans l'équation différentielle et en trouvant v(x). (\style d'affichage v(x).) Voyons comment la réduction d'ordre peut être utilisée pour résoudre une équation différentielle avec des coefficients constants et des racines multiples.

   
   

   Racines multipleséquation différentielle homogène à coefficients constants. Rappelons qu'une équation du second ordre doit avoir deux solutions linéairement indépendantes. Si équation caractéristique a plusieurs racines, de nombreuses solutions Pas forme un espace puisque ces solutions sont linéairement dépendantes. Dans ce cas, il est nécessaire d’utiliser la réduction d’ordre pour trouver une deuxième solution linéairement indépendante.

   • Laissez l'équation caractéristique avoir plusieurs racines r (style d'affichage r). Supposons que la deuxième solution puisse s'écrire sous la forme y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), et remplacez-le dans l'équation différentielle. Dans ce cas, la plupart des termes, à l'exception du terme avec la dérivée seconde de la fonction v , (\style d'affichage v,) sera réduit.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Exemple 2.2. Soit l'équation suivante qui a plusieurs racines r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Lors de la substitution, la plupart des termes sont réduits.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\fin (aligné)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\annuler (8v"e^(-4x)))+(\annuler (16ve^(-4x)))\\&+(\annuler (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Semblable à notre ansatz pour une équation différentielle à coefficients constants, dans ce cas seule la dérivée seconde peut être égale à zéro. Nous intégrons deux fois et obtenons l'expression souhaitée pour v (style d'affichage v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Alors la solution générale d’une équation différentielle à coefficients constants dans le cas où l’équation caractéristique a plusieurs racines peut s’écrire sous la forme suivante. Pour plus de commodité, vous pouvez vous rappeler que pour obtenir indépendance linéaire il suffit de multiplier le deuxième terme par x (style d'affichage x). Cet ensemble de solutions est linéairement indépendant et nous avons donc trouvé toutes les solutions de cette équation.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La réduction de commande est applicable si la solution est connue y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), qui peut être trouvé ou donné dans l’énoncé du problème.

   • Nous recherchons une solution sous la forme y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) et remplacez-le dans cette équation :
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Parce que y 1 (\ displaystyle y_ (1)) est une solution d'une équation différentielle, tous les termes avec v (style d'affichage v) sont en train d’être réduits. Au final, il reste équation linéaire du premier ordre. Pour y voir plus clair, faisons un changement de variables w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Si les intégrales peuvent être calculées, on obtient la solution générale comme combinaison de fonctions élémentaires. Sinon, la solution peut être laissée sous forme intégrale.

3. Équation de Cauchy-Euler. L'équation de Cauchy-Euler est un exemple d'équation différentielle du second ordre avec variables coefficients, qui a des solutions exactes. Cette équation est utilisée en pratique, par exemple, pour résoudre l'équation de Laplace en coordonnées sphériques.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Équation caractéristique. Comme vous pouvez le constater, dans cette équation différentielle, chaque terme contient un facteur de puissance dont le degré est égal à l'ordre de la dérivée correspondante.

   • Ainsi, vous pouvez essayer de chercher une solution sous la forme y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) où il faut déterminer n (style d'affichage n), tout comme nous cherchions une solution sous forme de fonction exponentielle pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Après différenciation et substitution, on obtient
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Pour utiliser l’équation caractéristique, nous devons supposer que x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Point x = 0 (\ displaystyle x = 0) appelé point singulier régulieréquation différentielle. Ces points sont importants lors de la résolution d’équations différentielles à l’aide de séries entières. Cette équation a deux racines, qui peuvent être différentes et réelles, multiples ou complexes conjuguées.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Deux vraies racines différentes. Si les racines n ± (\displaystyle n_(\pm )) sont réels et différents, alors la solution de l'équation différentielle a la forme suivante :

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Deux racines complexes. Si l'équation caractéristique a des racines n ± = α ± β je (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la solution est une fonction complexe.

   • Pour convertir la solution en fonction réelle, faisons un changement de variables x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) c'est t = ln ⁡ X , (\displaystyle t=\ln x,) et utilisez la formule d'Euler. Des actions similaires ont été effectuées précédemment lors de la détermination de constantes arbitraires.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\bêta)))
   • Alors la solution générale peut s’écrire
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Racines multiples. Pour obtenir une deuxième solution linéairement indépendante, il faut à nouveau réduire l’ordre.

   • Cela demande pas mal de calculs, mais le principe reste le même : on substitue y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) dans une équation dont la première solution est y 1 (\ displaystyle y_ (1)). Après réductions, on obtient l’équation suivante :
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Il s’agit d’une équation linéaire du premier ordre par rapport à v′ (x) . (\style d'affichage v"(x).) Sa solution est v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ X . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Ainsi, la solution peut s’écrire sous la forme suivante. C'est assez facile à retenir : pour obtenir la deuxième solution linéairement indépendante, il suffit d'ajouter un terme supplémentaire avec ln ⁡ X (\ displaystyle \ ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Équations différentielles linéaires inhomogènes à coefficients constants. Les équations inhomogènes ont la forme L [ y (x)] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Où f (x) (\displaystyle f(x))- le soi-disant membre gratuit. Selon la théorie des équations différentielles, la solution générale de cette équation est une superposition solution privée y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Et solution supplémentaire oui c (x) . (\ displaystyle y_ (c) (x).) Cependant, dans ce cas, une solution particulière ne signifie pas une solution donnée par les conditions initiales, mais plutôt une solution déterminée par la présence d’hétérogénéité (terme libre). Une solution supplémentaire est la solution du correspondant équation homogène, dans lequel f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La solution globale est une superposition de ces deux solutions, puisque L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), et depuis L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) une telle superposition est bien une solution générale.

   ré 2 y ré x 2 + une ré y ré x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Méthode coefficients incertains. La méthode des coefficients indéfinis est utilisée dans les cas où le terme d'origine est une combinaison de fonctions exponentielles, trigonométriques, hyperboliques ou puissance. Seules ces fonctions sont garanties d’avoir un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Dans cette section, nous trouverons une solution particulière à l’équation.

   • Comparons les termes dans f (x) (\displaystyle f(x)) avec des termes sans prêter attention aux facteurs constants. Il y a trois cas possibles.
     • Il n’y a pas deux membres identiques. Dans ce cas, une solution particulière y p (\ displaystyle y_ (p)) sera une combinaison linéaire de termes de y p (\ displaystyle y_ (p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contient un membre x n (\style d'affichage x^(n)) et membre de y c , (\displaystyle y_(c),) Où n (style d'affichage n) est zéro ou un entier positif, et ce terme correspond à une racine distincte de l'équation caractéristique. Dans ce cas y p (\ displaystyle y_ (p)) consistera en une combinaison de la fonction x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) ses dérivées linéairement indépendantes, ainsi que d'autres termes f (x) (\displaystyle f(x)) et leurs dérivées linéairement indépendantes.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contient un membre h (x) , (\style d'affichage h(x),) qui est une œuvre x n (\style d'affichage x^(n)) et membre de y c , (\displaystyle y_(c),) Où n (style d'affichage n) est égal à 0 ou à un entier positif, et ce terme correspond à multiple racine de l’équation caractéristique. Dans ce cas y p (\ displaystyle y_ (p)) est une combinaison linéaire de la fonction x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Où s (style d'affichage s)- multiplicité de la racine) et ses dérivées linéairement indépendantes, ainsi que les autres membres de la fonction f (x) (\displaystyle f(x)) et ses dérivées linéairement indépendantes.
   • Écrivons-le y p (\ displaystyle y_ (p)) comme une combinaison linéaire des termes énumérés ci-dessus. Grâce à ces coefficients dans une combinaison linéaire cette méthode appelée « méthode des coefficients indéterminés ». Lorsque le contenu apparaît oui c (\ displaystyle y_ (c)) les membres peuvent être supprimés en raison de la présence de constantes arbitraires dans oui c . (\style d'affichage y_(c).) Après cela, nous remplaçons y p (\ displaystyle y_ (p)) dans l’équation et assimile des termes similaires.
   • Nous déterminons les coefficients. A ce stade, le système est obtenu équations algébriques, qui peut généralement être résolu sans aucun problème. La solution de ce système nous permet d'obtenir y p (\ displaystyle y_ (p)) et ainsi résoudre l'équation.
   • Exemple 2.3. Considérons une équation différentielle inhomogène dont le terme libre contient un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Une solution particulière à une telle équation peut être trouvée par la méthode des coefficients indéfinis.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligné)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fin(cas)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Méthode Lagrange. La méthode de Lagrange, ou méthode de variation de constantes arbitraires, est une méthode plus méthode générale résoudre des équations différentielles inhomogènes, en particulier dans les cas où le terme libre ne contient pas un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Par exemple, quand membres gratuits bronzage ⁡ X (\ displaystyle \ tan x) ou x − n (\style d'affichage x^(-n)) pour trouver une solution particulière il faut utiliser la méthode de Lagrange. La méthode de Lagrange peut même être utilisée pour résoudre des équations différentielles à coefficients variables, même si dans ce cas, à l'exception de l'équation de Cauchy-Euler, elle est moins fréquemment utilisée car solution supplémentaire généralement pas exprimé à travers fonctions élémentaires.

   • Supposons que la solution ait la forme suivante. Sa dérivée est donnée en deuxième ligne.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Puisque la solution proposée contient deux quantités inconnues, il faut imposer supplémentaire condition. Choisissons ceci condition supplémentaire sous la forme suivante :
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nous pouvons maintenant obtenir la deuxième équation. Après substitution et redistribution des membres, vous pouvez regrouper les membres avec v 1 (\style d'affichage v_(1)) et les membres avec v 2 (\style d'affichage v_(2)). Ces délais sont réduits car y 1 (\ displaystyle y_ (1)) Et y 2 (\displaystyle y_(2)) sont des solutions de l’équation homogène correspondante. En conséquence nous obtenons le système suivantéquations
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\fin (aligné)))
   • Ce système peut être transformé en une équation matricielle de la forme A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) dont la solution est X = UNE − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pour matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matrice inverse se trouve en divisant par le déterminant, en réorganisant les éléments diagonaux et en changeant le signe des éléments non diagonaux. En fait, le déterminant de cette matrice est un Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ fin(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expressions pour v 1 (\style d'affichage v_(1)) Et v 2 (\style d'affichage v_(2)) sont donnés ci-dessous. Comme dans la méthode de réduction d'ordre, dans ce cas, lors de l'intégration, une constante arbitraire apparaît, qui inclut une solution supplémentaire dans la solution générale de l'équation différentielle.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conférence de la National Open University Intuit intitulée "Équations différentielles linéaires d'ordre n avec coefficients constants".

Application pratique

Les équations différentielles établissent une relation entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Parce que de telles relations sont extrêmement courantes, les équations différentielles ont trouvé de nombreuses applications dans une variété de domaines, et comme nous vivons en quatre dimensions, ces équations sont souvent des équations différentielles dans privé dérivés. Cette section couvre certaines des équations les plus importantes de ce type.

• Croissance et déclin exponentiels. Désintégration radioactive. Intérêts composés. Le taux de réactions chimiques. Concentration de médicaments dans le sang. Croissance démographique illimitée. Loi de Newton-Richmann. DANS monde réel Il existe de nombreux systèmes dans lesquels le taux de croissance ou de déclin à un moment donné est proportionnel à la quantité en à l'heure actuelle temps ou peut être bien approximé par le modèle. En effet, la solution de cette équation différentielle, la fonction exponentielle, est l'une des solutions les plus simples. fonctions importantes en mathématiques et autres sciences. En plus cas général avec une croissance démographique contrôlée, le système peut inclure des membres supplémentaires qui limitent la croissance. Dans l'équation ci-dessous, la constante k (style d'affichage k) peut être supérieur ou inférieur à zéro.
  • ré y ré x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibrations harmoniques. En mécanique classique et quantique, l'oscillateur harmonique est l'un des éléments les plus importants. systèmes physiques en raison de sa simplicité et de sa large application pour le rapprochement de plus systèmes complexes, comme un simple pendule. DANS mécanique classique les vibrations harmoniques sont décrites par une équation qui relie la position point matériel avec son accélération grâce à la loi de Hooke. Dans ce cas, les forces d’amortissement et motrices peuvent également être prises en compte. Dans l'expression ci-dessous x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- dérivée temporelle de x , (\style d'affichage x,) β (\displaystyle \bêta)- paramètre qui décrit la force d'amortissement, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- fréquence angulaire du système, F (t) (\style d'affichage F(t))- en fonction du temps force motrice. Oscillateur harmonique Il est également présent dans les circuits oscillatoires électromagnétiques, où il peut être mis en œuvre avec une plus grande précision que dans les systèmes mécaniques.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• L'équation de Bessel. L'équation différentielle de Bessel est utilisée dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour résoudre équation d'onde, les équations de Laplace et les équations de Schrödinger, notamment en présence d'un corps cylindrique ou symétrie sphérique. Cette équation différentielle du second ordre à coefficients variables n'est pas une équation de Cauchy-Euler, ses solutions ne peuvent donc pas être écrites sous forme de fonctions élémentaires. Les solutions de l'équation de Bessel sont les fonctions de Bessel, bien étudiées en raison de leur application dans de nombreux domaines. Dans l'expression ci-dessous α (\ displaystyle \ alpha)- une constante qui correspond en ordre Fonctions de Bessel.
  • x 2 ré 2 y ré x 2 + x ré y ré x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Les équations de Maxwell. Avec la force de Lorentz, les équations de Maxwell constituent la base électrodynamique classique. Ce sont les quatre équations aux dérivées partielles pour l'électricité E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) et magnétique B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) champs. Dans les expressions ci-dessous ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densité de charge, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- la densité de courant, et ϵ 0 (\ displaystyle \ epsilon _ (0)) Et μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- constantes électriques et magnétiques, respectivement.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Équation de Schrödinger. En mécanique quantique, l'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale du mouvement, qui décrit le mouvement des particules en fonction d'un changement dans la fonction d'onde. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) au fil du temps. L'équation du mouvement est décrite par le comportement Hamiltonien H^(\displaystyle (\hat (H))) - opérateur, qui décrit l’énergie du système. L'un des plus largement exemples célèbres L'équation de Schrödinger en physique est une équation pour une seule particule non relativiste sur laquelle agit un potentiel V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). De nombreux systèmes sont décrits par l'équation de Schrödinger dépendant du temps, et sur le côté gauche de l'équation se trouve E Ψ , (\displaystyle E\Psi,) Où E (style d'affichage E)- l'énergie des particules. Dans les expressions ci-dessous ℏ (\displaystyle \hbar)- constante de Planck réduite.
  • je ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • je ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Équation d'onde. La physique et la technologie ne peuvent être imaginées sans ondes ; elles sont présentes dans tous les types de systèmes. En général, les vagues sont décrites par l'équation ci-dessous, dans laquelle u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) est la fonction recherchée, et c (style d'affichage c)- constante déterminée expérimentalement. d'Alembert fut le premier à découvrir que pour le cas unidimensionnel, la solution de l'équation d'onde est n'importe lequel fonction avec argument x − c t (\displaystyle x-ct), qui décrit une onde de forme arbitraire se propageant vers la droite. La solution générale pour le cas unidimensionnel est une combinaison linéaire de cette fonction avec une deuxième fonction avec argument x + c t (\ displaystyle x + ct), qui décrit une onde se propageant vers la gauche. Cette solution est présentée en deuxième ligne.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Équations de Navier-Stokes. Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides. Puisque les fluides sont présents dans pratiquement tous les domaines scientifiques et technologiques, ces équations sont extrêmement importantes pour prévoir le temps, concevoir des avions, étudier courants océaniques et résoudre de nombreux autres problèmes appliqués. Les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires, et dans la plupart des cas elles sont très difficiles à résoudre car la non-linéarité conduit à des turbulences, et l'obtention d'une solution stable par des méthodes numériques nécessite un partitionnement en très petites cellules, ce qui nécessite une puissance de calcul importante. À des fins pratiques en hydrodynamique, des méthodes telles que la moyenne temporelle sont utilisées pour modéliser les écoulements turbulents. Tâches complexes Il existe des questions encore plus fondamentales, telles que l'existence et l'unicité des solutions pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, et la preuve de l'existence et de l'unicité d'une solution pour les équations de Navier-Stokes en trois dimensions fait partie des questions les plus fondamentales. problèmes mathématiques millénaire. Vous trouverez ci-dessous l'équation d'écoulement d'un fluide incompressible et l'équation de continuité.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• De nombreuses équations différentielles ne peuvent tout simplement pas être résolues à l’aide des méthodes ci-dessus, en particulier celles mentionnées dans la dernière section. Cela s'applique aux cas où l'équation contient des coefficients variables et n'est pas une équation de Cauchy-Euler, ou lorsque l'équation est non linéaire, sauf dans quelques cas très rares. Cependant, les méthodes ci-dessus peuvent résoudre de nombreuses équations différentielles importantes qui sont souvent rencontrées dans divers domaines science.
• Contrairement à la différenciation, qui permet de trouver la dérivée de n'importe quelle fonction, l'intégrale de nombreuses expressions ne peut pas être exprimée en fonctions élémentaires. Ne perdez donc pas de temps à essayer de calculer une intégrale là où cela est impossible. Regardez le tableau des intégrales. Si la solution d'une équation différentielle ne peut être exprimée en termes de fonctions élémentaires, elle peut parfois être représentée sous forme forme intégrale, et dans ce cas, peu importe que cette intégrale puisse être calculée analytiquement.

Avertissements

• Apparence L’équation différentielle peut être trompeuse. Par exemple, vous trouverez ci-dessous deux équations différentielles du premier ordre. La première équation peut être facilement résolue en utilisant les méthodes décrites dans cet article. A première vue, un changement mineur y (style d'affichage y) sur y 2 (\style d'affichage y^(2)) dans la deuxième équation la rend non linéaire et devient très difficile à résoudre.
  • ré y ré x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • ré y ré x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

expériences avec le vide

En 1657, il invente un baromètre à eau, avec lequel en 1660 il prédit l'approche d'une tempête 2 heures avant son apparition, entrant ainsi dans l'histoire comme l'un des premiers météorologues.

Pompe à air

Guericke, comme on le sait, ne considérait pas au début qu'il était possible de pomper directement l'air et souhaitait créer un espace vide dans un tonneau hermétiquement fermé en éliminant l'eau qui le remplissait. À cet effet, il a fixé une pompe au fond du baril, pensant que ce n'est qu'avec cette disposition du dispositif que l'eau suivrait le piston de la pompe en raison de sa gravité. Nous voyons de là qu'au début Guericke n'avait pas encore une idée précise de la pression atmosphérique et de l'élasticité de l'air en général. Cette première tentative ayant échoué, l'air extérieur sifflant dans le vide résultant à travers les fissures et les pores du tonneau, Guericke essaya de placer son tonneau dans un autre, également rempli d'eau, dans l'intention de protéger ainsi le vide de l'air s'engouffrant dans le tonneau. cela de l'extérieur. Mais cette fois aussi, l'expérience a échoué, car l'eau du baril extérieur, sous l'influence de la pression atmosphérique, s'est écoulée à travers les pores vers le baril intérieur et a rempli le vide. Puis, finalement, Guericke a décidé d'utiliser une pompe pour pomper directement l'air d'un récipient sphérique en cuivre, adhérant toujours à sa fausse hypothèse selon laquelle l'air, comme l'eau, ne pouvait suivre le piston de la pompe qu'en raison de sa gravité, alors maintenant la pompe était vissée. au fond du récipient et situé verticalement. Le résultat du pompage était complètement inattendu et a effrayé toutes les personnes présentes : la bille de cuivre n'a pas pu résister à la pression extérieure et s'est froissée et aplatie avec fracas. Cela obligea Guericke à préparer des chars plus solides et de forme plus régulière pour les prochaines expériences. L'emplacement peu pratique de la pompe obligea bientôt Guericke à construire un trépied spécial pour l'ensemble de l'appareil et à fixer un levier au piston ; c'est ainsi qu'a été construite la première pompe à air, nommée par l'auteur Antlia pneumatique. Bien entendu, le dispositif était encore très loin d'être parfait et nécessitait au moins trois personnes pour manipuler le piston et les robinets, immergés dans l'eau, afin de mieux isoler le vide résultant de l'air extérieur.

Etude de l'effet de la chaleur sur l'air

Guericke a également étudié l'effet de la chaleur sur l'air, et bien qu'il n'ait apporté aucune amélioration significative dans la conception de son thermomètre à air par rapport aux instruments alors connus (qui à son époque en Italie étaient appelés caloris mensor), nous pouvons néanmoins dire en toute sécurité qu'il était le premier météorologue à temps. Sans aborder la question controversée et fondamentalement sans importance de l'invention du thermomètre, qui est le plus souvent attribuée à Galilée, mais aussi à Drebbel et au médecin Sanctorius, notons seulement que sa forme originale était extrêmement imparfaite : d'abord parce que les lectures de l'appareil n'était pas seulement influencé par la température, mais aussi par la pression atmosphérique, et deuxièmement, en raison de l'absence d'une unité spécifique (degré) pour comparer les effets thermiques.

Thermomètre Guericke. Illustration tirée du livre Experimenta Nova Magdeburgica d’Otto von Guericke.

Le thermomètre (à air) de cette époque consistait en un réservoir avec un tube immergé avec l'extrémité ouverte dans un récipient contenant de l'eau ; le niveau d'eau élevé dans le tube variait évidemment en fonction de la température de l'air dans le réservoir et de la pression atmosphérique extérieure. Il est étrange que Guericke, à qui cette dernière influence aurait dû être bien connue, n'y ait pas prêté attention, du moins dans son thermomètre, cette influence n'a pas été éliminée ; L'appareil lui-même, destiné exclusivement à observer l'évolution de la température de l'air extérieur et donc placé comme un baromètre sur le mur extérieur de la maison, était constitué d'un tube siphon (métal) rempli à moitié environ d'alcool ; une extrémité du tube communiquait avec une grosse boule contenant de l'air, l'autre était ouverte et renfermait un flotteur, d'où un fil passait à travers un bloc ; Au bout du fil, une figurine en bois se balançait librement dans les airs, pointant de la main une échelle à 7 divisions. Tous les détails de l'appareil, à l'exception de la boule sur laquelle était affichée l'inscription Perpetuum mobile, des chiffres et des échelles, étaient également recouverts de planches. Points extrêmes sur la balance étaient marqués les mots : magnus frigus et magnus calor. La ligne médiane avait signification particulière, pour ainsi dire, climatique : elle devait correspondre à la température de l'air à laquelle apparaissent les premières gelées nocturnes d'automne à Magdebourg.

De là, nous pouvons conclure que même si les premières tentatives pour marquer 0° sur l'échelle du thermomètre appartenaient à l'Académie florentine (Del Cimento), célèbre dans l'histoire de la physique expérimentale, Guericke a également compris combien il est important et nécessaire d'avoir au moins un sur l'échelle thermométrique point constant, et, comme on le voit, il tenta de faire un nouveau pas en avant dans cette direction, choisissant de régler son thermomètre sur une ligne arbitraire correspondant aux premières gelées d'automne.

Etude de l'électricité

Gravure de 1750 montrant un dispositif permettant de générer de l'électricité statique.

Passons maintenant à un autre domaine de la physique, dans lequel le nom de Guericke jouit également d'une renommée bien méritée. Il s'agit de l'électricité qui, à cette époque, appelée pour ainsi dire à la vie par les recherches expérimentales de Hilbert, ne représentait sous la forme de quelques faits fragmentaires qu'un embryon insignifiant et sans intérêt de cette force grandiose destinée à vaincre l'attention de l'ensemble du monde civilisé et embrouiller globe réseau de leurs guides.

Otto von Guericke est parfois qualifié de simple inventeur spirituel d'instruments physiques, s'efforçant de devenir célèbre parmi ses contemporains pour ses expériences grandioses et se souciant peu des progrès de la science. Mais Ferdinand Rosenberger (1845-1899) dans son « Histoire de la physique » note à juste titre qu'un tel reproche est sans fondement, puisque Guericke n'avait pas pour seul but de surprendre le public. Il a toujours été guidé par des intérêts purement scientifiques et a tiré de ses expériences non pas des idées fantastiques, mais de véritables conclusions scientifiques. La meilleure preuve en est son études expérimentales les phénomènes d'électricité statique, qui à cette époque - nous le répétons - peu de gens s'intéressaient.

Voulant répéter et tester les expériences de Hilbert, Guericke a inventé un dispositif pour obtenir un état électrique qui, bien qu'il ne puisse pas être appelé une machine électrique au vrai sens du terme, car il lui manquait un condensateur pour collecter l'électricité développée par friction, servait néanmoins comme prototype pour tous les arrangements tardifs découvertes électriques. Cela devrait tout d'abord inclure la découverte de la répulsion électrique, inconnue de Gilbert.

Pour développer l'état électrique, Guericke prépara une assez grosse boule de soufre qui, grâce à un axe enfilé, était mise en rotation et simplement frottée avec une main sèche. Ayant électrifié cette balle, Guericke remarqua que les corps attirés par la balle se repoussent après avoir touché ; puis il remarqua aussi qu'un morceau de peluche flottant librement dans l'air, attiré puis repoussé par la balle, était attiré par d'autres corps. Guericke a également prouvé que l'état électrique se transmet par un fil (le lin) ; mais en même temps, ne connaissant rien aux isolants, il prit la longueur du fil à une coudée seulement et ne put que lui donner disposition verticale. Il fut le premier à observer une lueur électrique dans l'obscurité sur sa boule de soufre, mais ne reçut pas d'étincelle ; il entendit aussi un léger crépitement « dans la boule de soufre » lorsqu'il la rapprocha de son oreille, mais ne savait pas à quoi l'attribuer.

Etude du magnétisme

Dans le domaine du magnétisme, Guericke fit également plusieurs nouvelles observations. Il a constaté que les barres verticales en fer des barreaux des fenêtres s'aimantaient elles-mêmes, représentant les pôles nord en haut et les pôles sud en bas, et a montré qu'il était possible de magnétiser légèrement une bande de fer en la plaçant dans la direction du méridien. et en le frappant avec un marteau.

Recherche en astronomie

La structure de l'Univers selon Otto von Guericke

A également étudié l'astronomie. Il était partisan du système héliocentrique. Il développa son propre système cosmologique, qui différait du système copernicien par l'hypothèse de la présence d'un espace infini dans lequel les étoiles fixes sont réparties. On croyait que l'espace était vide, mais entre corps célestes les forces à longue portée agissent pour réguler leur mouvement.

Fermons le bocal en verre avec un bord poli avec une fine plaque de verre et commençons à pomper l'air du bocal (Fig. 276). La plaque de verre sera fermement pressée contre le pot par une pression externe et, si le pompage continue, sera écrasée par la différence de pression entre l'extérieur et l'intérieur du pot.

Riz. 276. L'excès de pression externe par rapport à la pression interne pousse à travers une plaque de verre

L'une des premières expériences réalisées pour prouver l'existence de la pression atmosphérique fut la célèbre expérience avec les « hémisphères de Magdebourg », réalisée par le physicien allemand Otto von Guericke en 1654 (à Magdebourg). Il pompait l'air de deux hémisphères de cuivre repliés ensemble, et la pression de l'air extérieur pressait les hémisphères si étroitement l'un contre l'autre que deux attelages de chevaux ne pouvaient pas les déchirer (Fig. 277). Bien entendu, le rôle de deuxième harnais pourrait être joué par une perche solide à laquelle serait attaché l'un des hémisphères. Sur la fig. 278 montre une modification de l'expérience de Guericke avec une charge suspendue.

Riz. 277. Gravure tirée du livre de Guericke « New Magdeburg Experiments ». Déchirure des hémisphères par des charrettes à chevaux

Riz. 278. Gravure tirée du livre de Guericke « New Magdeburg Experiments ». Déchirement des hémisphères avec poids suspendu

En médecine, on utilise parfois des coupelles pneumatiques, constituées d'une coupelle avec un ballon en caoutchouc (Fig. 279). En pressant le ballon avec votre main, en chassez l'air et appliquez la coupe sur la peau. Si vous relâchez maintenant le ballon, il acceptera à nouveau grâce à son élasticité. forme sphérique, le volume interne de la canette augmentera et la pression de l’air restant dans la canette diminuera. Le pot sera fermement pressé contre la peau par la pression de l’air extérieur. La peau sous le pot devient très rouge ; ça laisse un bleu. Le sang qui a une pression atmosphérique dans le corps circule vers un endroit où la pression est plus basse. Ce flux sanguin local est le but de la coupe. Dans ce cas, l'air dissous dans le sang, se dilatant à mesure que la pression diminue, rompt les petits vaisseaux sanguins, formant une ecchymose. Si vous appuyez sur la peau au bord du pot et laissez entrer l’air extérieur, la pression de l’intérieur et de l’extérieur sera égale et le pot tombera tout seul.

Le physicien, ingénieur et philosophe allemand Otto von Guericke est né à Magdebourg le 20 novembre 1602. Après avoir obtenu son diplôme de l'école municipale, il poursuit ses études aux universités de Leipzig, Helmstadt, Jena et Leiden.

Loin d'être un scientifique de salon, Guericke s'est intéressé toute sa vie sciences naturelles. Pour tester le postulat d'Aristote - la nature ne tolère pas les espaces vides - il inventa une pompe à air, à l'aide de laquelle il réalisa sa célèbre expérience avec les hémisphères de Magdebourg en 1654. Pour réaliser l'expérience, deux hémisphères en cuivre d'un diamètre de 14 pouces (35,6 cm) ont été fabriqués, dont l'un était équipé d'un tube pour pomper l'air. Ces hémisphères étaient assemblés et un anneau de cuir imbibé de cire fondue était placé entre eux. Ensuite, à l’aide d’une pompe, l’air était pompé de la cavité formée entre les hémisphères. Chaque hémisphère avait anneaux de fer, qui étaient attelés à deux attelages de chevaux. En 1654, à Ratisbonne, von Guericke fit une démonstration de l'expérience au Reichstag en présence de l'empereur Ferdinand III. Après avoir pompé l'air hors de la sphère, 16 chevaux, 8 de chaque côté, n'ont pas pu déchirer les hémisphères, mais lorsque l'air a été introduit dans les hémisphères, ils se sont désintégrés sans effort. On ne sait pas si les chevaux des deux côtés étaient utilisés pour un plus grand divertissement ou par ignorance du physicien lui-même, car il était possible de remplacer la moitié des chevaux par une monture fixe, sans perdre la force d'influence sur les hémisphères. En 1656, Guericke répéta l'expérience à Magdebourg et en 1663 à Berlin avec 24 chevaux. Selon des calculs ultérieurs, 13 forts chevaux de trait ont dû être attelés de chaque côté pour vaincre l'effort.

Dessin de Gaspard Schott « Hémisphères de Magdebourg ».

L'expérience avec les hémisphères de Magdebourg a prouvé la présence de la pression atmosphérique et est toujours enseignée dans les cours physique générale dans le monde entier. Les hémisphères et la pompe d'origine sont conservés Musée allemandà Munich. Développant ce thème, Guericke construisit en 1660 le premier baromètre à eau et l'utilisa pour des observations météorologiques, inventa un hygromètre, conçut un thermomètre à air et un manomètre.

L'éventail des intérêts de Guericke ne se limitait cependant pas à cette section de la physique. En 1660, il crée l'une des premières machines électrostatiques : une boule de soufre de la taille d'une boule de taille moyenne, montée sur un axe en fer. En faisant tourner le ballon et en le frottant avec ses paumes, Guericke recevait de l'électricité. Grâce à cet appareil, il a étudié phénomènes électriques: découverte de la répulsion électrostatique, de la lueur électrique (une boule de soufre électrifiée brillait dans le noir).

Nombreux expériences physiques Même de son vivant, ils ont valu au scientifique la reconnaissance et le surnom respectueux de Galilée allemand. Alors qu'il étudiait l'astronomie, il exprima l'opinion que les comètes pourraient revenir. Guericke a également établi l'élasticité et le poids de l'air, sa capacité à entretenir la combustion et la respiration et à conduire le son. Prouvé la présence de vapeur d'eau dans l'air. En 1666, il fut le premier parmi les scientifiques à recevoir le titre de noblesse et fut connu sous le nom d'Otto von Guericke. Le scientifique est décédé à Hambourg le 11 mai 1686.

L'expérience avec les hémisphères de Magdebourg a tellement impressionné ses contemporains que les ducs de Brunswick-Wolfenbüttel ont utilisé son image sur les thalers commémoratifs de 1702 comme allégorie. Ayant régné ensemble depuis 1685, les deux ducs frères se disputèrent. Anton Ulrich est devenu jaloux de son épouse Elisabeth Juliana de Holstein-Norburg pour Rudolf Augustus, ce qui a conduit à leur séparation. En mars 1702, Anton Ulrich fut démis du pouvoir et s'enfuit en Saxe-Gotha. A cette occasion, le soi-disant « luftpumpenthaler » a été émis - un thaler avec une pompe à air. Son avers représente deux chevaux déchirant inutilement les hémisphères de Magdebourg. Les hémisphères imbriqués sont un symbole de l'union inextricable des deux dirigeants de Brunswick. À l’inverse, sans aucun effort, les deux hémisphères se désagrègent, car la main d’une femme a ouvert la valve et de l’air est entré à l’intérieur. Le graveur a illustré la querelle du palais à l'aide de dispositifs physiques. Après la mort de Rudolf August en 1704, Anton Ulrich revient au pouvoir.

Brunswick-Wolfenbüttel. Rudolf August et Anton Ulrich, 1685-1704. Luftpumpenthaler 1702, Goslar. En l'honneur de l'unité fraternelle. 29,36 g. Avers : deux chevaux déchirent en vain les hémisphères de Magdebourg avec l'abréviation RAV, derrière eux se trouve un symbole de chasteté, une licorne et un aigle avec un éclair dans les pattes, l'inscription QVOD VI NON POTVIT (qu'ils n'ont pas pu forcer) . Revers : sur le socle se trouvent deux hémisphères ouverts et une main de femme ouvrant la valve, au-dessus se trouve un ruban avec le texte DISIECTVM EST ARTE MINISTRA (artificiellement dispersé).

Brunswick-Wolfenbüttel. Rudolf August et Anton Ulrich, 1685-1704. Luftpumpenthaler 1702, Goslar. En l'honneur de l'unité fraternelle. Avers : deux chevaux déchirent en vain les hémisphères de Magdebourg avec l'abréviation RAV, derrière eux une licorne et des éclairs jaillissant d'un nuage, l'inscription NON VI (pas par violence). Revers : sur un piédestal il y a deux hémisphères ouverts et une main de femme ouvrant une valve, au-dessus se trouve un ruban avec le texte SED ARTE (mais dans l'art).

Pour le 375e anniversaire de la naissance d'Otto von Guericke, une pièce commémorative d'une valeur nominale de 10 marks a été frappée en RDA.

RDA. 10 marks, 1977. 375e anniversaire de la naissance d'Otto von Guericke. 500 Ag ; 31 millimètres ; 17. Tirage : 49 434 pièces.

RDA. 10 marks, 1977. 375e anniversaire de la naissance d'Otto von Guericke. Avec l'inscription "Test". 500 Ag; 31 millimètres ; 17. Tirage : 6 000 pièces.

À l'occasion du 250e anniversaire de la mort d'Otto von Guericke sous le Troisième Reich, une médaille commémorative a été frappée et un timbre-poste a été émis.

Médaille de bronze, 1936. 250e anniversaire de la mort d'Otto von Guericke. 97 millimètres. Graveur : Rudolf Bosselt (1874-1938). Avers : buste de Guericke ; revers : les armoiries de Magdebourg et l'inscription « Ehrengabe der Stadt Magdeburg » (Don honoraire de la ville de Magdebourg).

Troisième Reich. Timbre-poste, 1936. 250e anniversaire de la mort d'Otto von Guericke.

La RDA et l'Allemagne de l'Ouest ont également émis des timbres-poste dédiés à Otto von Guericke et à son invention.

RDA. Timbre-poste, 1969. Expérience avec les hémisphères de Magdebourg.

RDA. Timbre-poste, 1977. 375e anniversaire de la naissance d'Otto von Guericke.

Allemagne. Timbre-poste, 2002. 400e anniversaire de la naissance d'Otto von Guericke.

Otto von Guericke(Allemand : Otto von Guericke) - Physicien, ingénieur, philosophe, diplomate et bourgmestre allemand de Magdebourg. Dans le but de prouver l'existence du vide, Guericke inventa la pompe à air (1650). Dans une série d’expériences, il prouva l’existence de la pression atmosphérique.

Guericke a également établi l'élasticité et le poids de l'air, sa capacité à entretenir la combustion et la respiration et à conduire le son. Prouvé la présence de vapeur d'eau dans l'air. En 1660, Guericke construisit le premier baromètre à eau au monde et l'utilisa pour prédire la météo. Alors qu'il étudiait l'astronomie, il exprima l'opinion que les comètes pourraient revenir.

En 1663, Guericke créa l'une des premières machines électriques - une boule de soufre en rotation, frottée à la main, et découvrit le phénomène de répulsion électrostatique des objets chargés unipolairement. En 1672, il découvrit qu'une boule chargée crépitait et brillait dans l'obscurité (. électroluminescence).

Ainsi, Otto von Guericke devint l'un des fondateurs de la science de l'électricité. C'était une personne extraordinaire avec une vision large, qui a réussi dans de nombreux domaines de la vie humaine.

Otto von Guericke est né à Magdebourg en 1602. Après avoir obtenu son diplôme de l'école municipale, il poursuit ses études aux universités de Leipzig, Helmstadt, Jena et Leiden. Il s'intéressait particulièrement à la physique, aux mathématiques appliquées, à la mécanique et à la fortification.

La jeunesse de Guericke survient au début de la brutale guerre de Trente Ans, à laquelle, outre les Allemands, les Tchèques, les Autrichiens, les Danois, les Suédois et les Français prirent part à différentes étapes.

En tant que centre stratégiquement important de l’Allemagne de l’Est, Magdebourg changea plusieurs fois de mains et fut complètement détruite en 1631. Lorsque les Suédois occupèrent Magdebourg, Guericke retourna dans la ville et participa activement à la restauration des bâtiments et des fortifications détruits et supervisa la construction d'un pont sur l'Elbe.

En 1635, la ville fut de nouveau prise par les troupes combinées austro-saxonnes, dont l'entretien imposait une lourde charge aux citadins. Commence l'activité diplomatique de Guericke qui, après bien des ennuis et des voyages chez l'électeur de Saxe, réussit à remplacer la garnison étrangère par des garnisons locales.

La ville, en signe de gratitude, élit Otto Guericke comme l'un de ses quatre bourgmestres en 1646. Au conseil municipal, il accomplit avec succès des missions diplomatiques jusqu'en 1659.

En tant qu'émissaire, il a mené des négociations fructueuses avec les belligérants à Osnabrück, Nuremberg, Vienne, Prague et Ratisbonne.

L'activité diplomatique réussie du bourgmestre Otto Guericke a contribué à ce que Magdebourg reçoive un certain nombre de privilèges, notamment le statut de ville hanséatique.

Guericke a représenté Magdebourg à la conférence de paix puis au Reichstag à Ratisbonne. Mais renommée mondiale il a apporté des expériences avec les hémisphères de Magdebourg.

Otto Guericke était marié et père de trois fils, mais deux d'entre eux moururent. Le bourshomiste consacrait tous ses loisirs à ses expériences physiques.

Il a résumé les résultats des expériences dans l’essai « Nouvelles (soi-disant) expériences de Magdebourg avec l’espace vide ». Il y décrit ses autres expériences, y compris celles avec les « forces mondiales », qui incluaient des phénomènes électriques.

En 1666, Guericke fut élevé au rang de noblesse et devint Otto von Guericke. L'électeur de Brandebourg le nomma conseiller.

Guericke n'était pas un scientifique de salon par vocation, mais tout au long de sa vie, il s'est intéressé aux sciences naturelles. Il était particulièrement intrigué par le postulat d'Aristote selon lequel la nature a horreur du vide. Pour tester cette affirmation, il inventa une pompe à air, à l'aide de laquelle il réalisa en 1654 sa célèbre expérience avec les hémisphères de Magdebourg.

Pour réaliser l'expérience, deux hémisphères en cuivre d'un diamètre d'environ 35,5 cm ont été réalisés, dont l'un était équipé d'un tube pour pomper l'air. Ces hémisphères étaient assemblés et un anneau de cuir imbibé de cire fondue était placé entre eux.

L'emplacement peu pratique de la pompe a obligé Guericke à prévoir un trépied spécial pour l'ensemble de l'appareil et à fixer un levier au piston. Ainsi, la première pompe à air au monde a été créée, nommée par l'auteur Antila Pneumatique (latin Antlia pneumatique).

Ensuite, à l’aide d’une pompe, l’air était pompé de la cavité formée entre les hémisphères. Sur chaque hémisphère, il y avait des anneaux de fer dans lesquels étaient attelés deux attelages de huit chevaux.

Les chevaux, conduits par les cochers, essayaient de toutes leurs forces de bouger au moins. Mais toutes les tentatives pour séparer les hémisphères ont échoué, mais lorsque l’air a pu pénétrer à l’intérieur des hémisphères, ils se sont désintégrés sans effort.

L'expérience avec les hémisphères de Magdebourg a prouvé la présence de la pression atmosphérique et est toujours enseignée dans les cours de physique générale du monde entier.

En 1654, à Ratisbonne, Guericke fit une démonstration de l'expérience au Reichstag en présence de l'empereur Ferdinand III.

Quelle force comprimait les hémisphères, contrecarrant la force de seize chevaux ? Cette force était l’action de l’air atmosphérique. Plus l'air était pompé hors de la cavité entre les hémisphères, plus ils étaient comprimés de l'extérieur par la pression atmosphérique.

Au même moment, Otto von Guericke inventait l'expérience d'une vessie de taureau étroitement liée, qui gonfle et éclate sous la cloche d'une machine pneumatique.

En 1657, Guericke inventa son grandiose baromètre à eau, dont la conception était étroitement liée à ses précédentes expériences pneumatiques.

Le baromètre consistait en un long tube de cuivre fixé au mur extérieur de la maison à trois étages de Guericke. L'extrémité inférieure du tube était immergée dans un récipient rempli d'eau et l'extrémité supérieure, complétée par un tube en verre, était équipée d'un robinet et pouvait être connectée à une pompe à air.

Bientôt, à l'aide de cet appareil, Guericke détermina que la pression atmosphérique changeait constamment, c'est pourquoi il appela son baromètre Semper vivum. Puis il a remarqué la relation entre la hauteur de l'eau dans le tube et les conditions météorologiques. Et il a inventé un appareil pour prédire la météo.

Pour plus d'effet lors de la démonstration de l'expérience à la surface de l'eau, un flotteur a été installé dans un tube de verre en forme de figure humaine avec une main tendue, qui pointait vers une table avec des inscriptions correspondant à diverses conditions météorologiques. Le reste de l’appareil était masqué par des boiseries.

Pour étudier l'état électrique et la répulsion, Guericke prépara une grosse boule de soufre qui, lorsqu'un axe passait à travers un trou, pouvait tourner et pouvait être frottée avec une main sèche. Après avoir électrifié cette balle, Guericke remarqua que les corps étaient attirés par la balle, et qu'après avoir touché ils étaient repoussés.

Le sociable bourgmestre aimait montrer à ses invités un tour amusant avec une petite sphère qui, lorsqu’elle tournait uniformément, créait des plumes de lumière autour d’elle, qui finissaient par se retrouver sur le nez de l’invité. Lorsque la sphère tournait, à cause du frottement, elle commençait à briller et à émettre des étincelles.

Otto von Guericke a mené de nombreuses expériences sous vide. Il est responsable des manifestations bien connues sous la cloche des pompes à air. Tout d'abord, il s'agit de l'atténuation du son de la cloche - une expérience qui a montré pour la première fois que le son ne se propage que dans la matière. Parallèlement, Guericke montrait que la lumière se propage dans le vide de la même manière que dans l'air.

Otto von Guericke a commencé à être accablé par les fonctions de bourgmestre et a progressivement commencé à se retirer des activités politiques, mais n'a obtenu sa démission qu'en 1678. Sur la base de son expérience, il a décrit l'histoire du siège et de la destruction de Magdebourg. En 1681, lorsqu'une épidémie de peste éclata à Magdebourg, Otto von Guericke s'installa à Hambourg pour vivre avec son fils unique, où il mourut en 1686.

Le génie d’Otto Guericke a été reconnu du vivant du scientifique, ce qui a été confirmé par l’attribution d’un titre noble, le premier de la communauté mondiale des physiciens de l’époque.

L'Université de Magdebourg porte le nom d'Otto von Guericke - son célèbre citoyen et bourgmestre, un inventeur remarquable, un scientifique célèbre, un diplomate subtil et une personne merveilleuse. Que sa mémoire soit bénie !