Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article commence une série de leçons dans lesquelles je vais examiner tâches typiques, lié à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez avoir connaissances de base sur les nombres complexes. Afin de consolider et de répéter le matériel, il suffit de visiter la page. Vous aurez également besoin des compétences nécessaires pour trouver dérivées partielles du second ordre. Les voici, ces dérivées partielles... même maintenant, j'étais un peu surpris de la fréquence à laquelle elles se produisent...

Le sujet que nous commençons à examiner ne présente pas de difficultés particulières, et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est clair et accessible. L'essentiel est de respecter la règle de base que j'ai dérivée expérimentalement. Continuez à lire !

Notion de fonction d'une variable complexe

Tout d’abord, rafraîchissons nos connaissances sur fonction scolaire une variable :

Fonction d'une variable est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction. Naturellement, « x » et « y » sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle se précise de la même manière :

Fonction à valeur unique d'une variable complexe- c'est la règle selon laquelle tout le monde complet la valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à un et un seul complet valeur de la fonction. La théorie prend également en compte les fonctions à valeurs multiples et certains autres types de fonctions, mais par souci de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la différence entre une fonction variable complexe ?

La principale différence : les nombres complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions laissent souvent les gens dans la stupeur ; à la fin de l’article, je vais vous raconter une histoire amusante. En classe Nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Depuis, la lettre « z » est devenue variable, alors nous le noterons comme suit : , tandis que « x » et « y » peuvent prendre des valeurs différentes valide significations. En gros, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « ordinaires ». Depuis ce fait Le point suivant s’ensuit logiquement :

La fonction d’une variable complexe peut s’écrire :
, où et sont deux fonctions de deux valide variables.

La fonction s'appelle partie réelle fonctions
La fonction s'appelle partie imaginaire fonctions

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons exemples pratiques:

Exemple 1

Solution: La variable indépendante « zet », comme vous vous en souvenez, s'écrit sous la forme , donc :

(1) Nous avons remplacé .

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Dans le terme, les parenthèses ont été ouvertes.

(3) Équarri soigneusement, sans oublier que

(4) Réarrangement des termes : nous réécrivons d'abord les termes , dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire(premier groupe), puis les termes là où il y en a (deuxième groupe). Il convient de noter qu’il n’est pas nécessaire de mélanger les termes et que cette étape peut être ignorée (en la faisant oralement).

(5) Pour le deuxième groupe, nous le retirons des parenthèses.

En conséquence, notre fonction s’est avérée être représentée sous la forme

Répondre:
– une véritable partie de la fonction.
– partie imaginaire de la fonction.

De quel genre de fonctions s’agissait-il? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables parmi lesquelles vous pouvez trouver des fonctions aussi populaires dérivées partielles. Sans pitié, nous le trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut s'écrire comme suit : on substitue , dans la fonction originale, on effectue des simplifications et on divise tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire) .

Exemple 2

Trouver la partie réelle et imaginaire de la fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Avant de se lancer dans la bataille l’épée dégainée, plan complexe, laisse-moi te donner le maximum conseil important sur le sujet :

SOIS PRUDENT! Bien sûr, vous devez être prudent partout, mais dans les nombres complexes, vous devriez être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas qu'en ouvrant soigneusement les supports, vous ne perdrez rien. D’après mes observations, l’erreur la plus courante est de perdre un panneau. Ne vous précipitez pas !

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Maintenant le cube. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par le bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et la table des dérivées sont valables fonctions élémentaires. Ainsi, la dérivée se prend exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions variables complexes, il n'y a pas de dérivée du tout et vous devez trouver est-ce différentiable une fonction ou une autre. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons la fonction d'une variable complexe. Pour cette fonctionétait différentiable nécessaire et suffisant :

1) Pour que des dérivées partielles du premier ordre existent. Oubliez tout de suite ces notations, puisque dans la théorie des fonctions d'une variable complexe une notation différente est traditionnellement utilisée : .

2) Pour réaliser ce qu'on appelle Conditions de Cauchy-Riemann:

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Exemple 3

Solution se divise en trois étapes successives :

1) Trouvons les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été abordée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis lors:

Ainsi:

– partie imaginaire de la fonction.

Permettez-moi d'aborder un autre point technique : dans quel ordreécrire les termes dans les parties réelle et imaginaire ? Oui, en principe, cela n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et l'imaginaire – comme ceci : .

2) Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann. Il y en a deux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

La condition est donc satisfaite.

Bien entendu, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

On vérifie la réalisation de la deuxième condition :

Il s'est avéré la même chose, mais avec signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également satisfaite.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvons la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve par règles normales:

Unité imaginaire lorsqu'elle est différenciée, elle est considérée comme une constante.

Répondre: – partie réelle, – partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, .

Il existe deux autres façons de trouver la dérivée, elles sont bien sûr utilisées moins fréquemment, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver une fonction d'une variable complexe ?

La dérivée peut être trouvée en utilisant la formule :

DANS dans ce cas:

Ainsi

A décider problème inverse– dans l'expression résultante, vous devez isoler . Pour ce faire, il faut dans les termes et hors parenthèses :

L'action inverse, comme beaucoup l'ont remarqué, est un peu plus difficile à réaliser ; pour vérifier, il est toujours préférable de prendre l'expression sur un brouillon ou d'ouvrir oralement les parenthèses, en s'assurant que le résultat est exactement le même.

Formule miroir pour trouver la dérivée :

Dans ce cas: , c'est pourquoi :

Exemple 4

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

Solution rapide Et échantillon approximatif terminer à la fin de la leçon.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont-elles toujours satisfaites ? Théoriquement, ils ne se réalisent pas plus souvent qu’ils ne le sont. Mais dans des exemples pratiques je ne me souviens pas d'un cas où elles n'étaient pas remplies =) Ainsi, si vos dérivées partielles "ne convergent pas", alors très forte probabilité vous pouvez dire que vous avez fait une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions :

Exemple 5

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer

Solution: L'algorithme de solution est entièrement conservé, mais à la fin un nouveau point sera ajouté : trouver la dérivée en un point. Pour les cubes formule requise déjà sorti :

Définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonction :

Attention et attention encore !

Depuis lors:


Ainsi:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Vérification de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable :

Calculons la valeur de la dérivée au point requis :

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites,

Les fonctions avec des cubes sont courantes, voici donc un exemple pour renforcer :

Exemple 6

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer.

Solution et exemple de finition en fin de cours.

Théoriquement analyse complète D'autres fonctions d'un argument complexe sont également définies : exposant, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles, voire bizarres - et c'est vraiment intéressant ! Je veux vraiment vous le dire, mais ici, en l'occurrence, il ne s'agit pas d'un ouvrage de référence ou d'un manuel, mais d'un livre de solutions, je vais donc examiner le même problème avec certaines fonctions communes.

Tout d'abord à propos de ce qu'on appelle Les formules d'Euler:

Pour n'importe qui valide les chiffres sont justes formules suivantes:

Vous pouvez également le copier dans votre cahier comme document de référence.

À proprement parler, il n'y a qu'une seule formule, mais pour plus de commodité, elles écrivent généralement cas particulier avec un moins dans l'indicateur. Le paramètre ne doit pas nécessairement être une seule lettre ; expression complexe, fonctionnent, il est seulement important qu'ils acceptent seulement valable significations. En fait, nous allons voir ceci maintenant :

Exemple 7

Trouvez la dérivée.

Solution: Ligne générale le parti reste inébranlable – il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction. je t'apporterai solution détaillée, et ci-dessous je commenterai chaque étape :

Depuis lors:

(1) Remplacez « z » à la place.

(2) Après substitution, vous devez sélectionner les parties réelles et imaginaires premier dans l'indicateur exposants. Pour ce faire, ouvrez les crochets.

(3) Nous regroupons la partie imaginaire de l'indicateur en plaçant l'unité imaginaire hors parenthèses.

(4) Nous utilisons l'action scolaire avec des diplômes.

(5) Pour le multiplicateur nous utilisons la formule d’Euler, et .

(6) Ouvrez les supports, ce qui donne :

– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Prochaines étapes sont standards, vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Exemple 9

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Qu’il en soit ainsi, nous ne trouverons pas la dérivée.

Solution: L'algorithme de résolution est très similaire aux deux exemples précédents, mais il existe de très nombreuses points importants, c'est pourquoi étape initiale Je commenterai à nouveau étape par étape :

Depuis lors:

1) Remplacez « z » à la place.

(2) Tout d'abord, nous sélectionnons les parties réelles et imaginaires à l'intérieur du sinus. À ces fins, nous ouvrons les parenthèses.

(3) Nous utilisons la formule, et .

(4) Utilisation parité cosinus hyperbolique : Et impair sinus hyperbolique : . Les hyperboliques, bien que hors de ce monde, rappellent à bien des égards des fonctions trigonométriques similaires.

Par conséquent:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Attention! Le signe moins fait référence à la partie imaginaire, et il ne faut en aucun cas le perdre ! Pour une illustration claire, le résultat ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann :

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Mesdames et messieurs, découvrons-le par nous-mêmes :

Exemple 10

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

J'ai délibérément choisi des exemples plus difficiles, car tout le monde semble être capable de faire face à quelque chose, comme des cacahuètes décortiquées. Par la même occasion, vous entraînerez votre attention ! Casse-noix à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, j'en considérerai un de plus exemple intéressant, Quand argument complexe est au dénominateur. C’est arrivé plusieurs fois dans la pratique, regardons quelque chose de simple. Eh, je vieillis...

Exemple 11

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

Solution: Encore une fois, il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Si, alors

La question se pose, que faire lorsque « Z » est au dénominateur ?

Tout est simple - le standard vous aidera méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée, il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Nombres complexes pour les nuls. Rappelons-nous formule scolaire. Nous avons déjà le dénominateur, ce qui signifie que l'expression conjuguée sera . Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par :

Notion de fonction d'une variable complexe

Tout d'abord, rafraîchissons nos connaissances sur la fonction d'école d'une variable :

Une fonction d'une variable est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction. Naturellement, « x » et « y » sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle se précise de la même manière :

Une fonction à valeur unique d'une variable complexe est une règle selon laquelle chaque valeur complexe de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur complexe de la fonction. La théorie prend également en compte les fonctions à valeurs multiples et certains autres types de fonctions, mais par souci de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la différence entre une fonction variable complexe ?

La principale différence : les nombres complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions laissent souvent les gens dans la stupeur ; à la fin de l’article, je vais vous raconter une histoire amusante. En classe Nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Puisque désormais la lettre « z » est devenue une variable, nous la désignerons comme suit : , tandis que « x » et « y » peuvent prendre des valeurs réelles différentes. En gros, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « ordinaires ». De ce fait découle logiquement le point suivant :

Partie réelle et imaginaire d'une fonction d'une variable complexe

La fonction d’une variable complexe peut s’écrire :
, où et sont deux fonctions de deux variables réelles.

La fonction est appelée la partie réelle de la fonction.
La fonction est appelée la partie imaginaire de la fonction.

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons des exemples pratiques :

Solution : La variable indépendante « zet », comme vous vous en souvenez, s'écrit sous la forme , donc :

(1) Nous avons remplacé .

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Dans le terme, les parenthèses ont été ouvertes.

(3) Équarri soigneusement, sans oublier que

(4) Regroupement de termes : on réécrit d'abord les termes dans lesquels il n'y a pas d'unité imaginaire (premier groupe), puis les termes où il y en a (deuxième groupe). Il convient de noter qu’il n’est pas nécessaire de mélanger les termes et que cette étape peut être ignorée (en la faisant oralement).

(5) Pour le deuxième groupe, nous le retirons des parenthèses.

En conséquence, notre fonction s’est avérée être représentée sous la forme

Répondre:
– une véritable partie de la fonction.
– partie imaginaire de la fonction.

De quel genre de fonctions s’agissait-il? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables parmi lesquelles vous pouvez trouver des fonctions aussi populaires dérivées partielles. Sans pitié, nous le trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut s'écrire comme suit : on substitue , dans la fonction originale, on effectue des simplifications et on divise tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire) .

Trouver la partie réelle et imaginaire de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Avant de vous lancer dans la bataille sur un plan complexe avec vos pions tirés au sort, laissez-moi vous donner les conseils les plus importants sur le sujet :

SOIS PRUDENT! Bien sûr, vous devez être prudent partout, mais dans les nombres complexes, vous devriez être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas qu'en ouvrant soigneusement les supports, vous ne perdrez rien. D'après mes observations, l'erreur la plus courante est la perte d'un signe. Ne vous précipitez pas !

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Maintenant le cube. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.
Conditions de Cauchy-Riemann

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par le bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Ainsi, la dérivée se prend exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions d’une variable complexe, il n’existe aucune dérivée et vous devez déterminer si une fonction particulière est différentiable. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons la fonction d'une variable complexe. Pour que cette fonction soit différentiable il faut et suffit :

1) Pour que des dérivées partielles du premier ordre existent. Oubliez tout de suite ces notations, puisque dans la théorie des fonctions d'une variable complexe une notation différente est traditionnellement utilisée : .

2) Pour que les conditions dites de Cauchy-Riemann soient satisfaites :

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

La solution se décompose en trois étapes successives :

1) Trouvons les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été abordée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis lors:

Ainsi:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Permettez-moi d'insister sur un autre point technique : dans quel ordre doit-on écrire les termes dans les parties réelle et imaginaire ? Oui, en principe, cela n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et l'imaginaire – comme ceci : .

3) Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann. Il y en a deux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

La condition est donc satisfaite.

Bien entendu, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

On vérifie la réalisation de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvons la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve selon les règles habituelles :

L'unité imaginaire est considérée comme une constante lors de la différenciation.

Répondre: – partie réelle, – partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, .

Intégrale FKP. Théorème de Cauchy.

Formule ( 52 ) s'appelle formule intégrale Cauchy ou intégrale de Cauchy. Si comme contour dans ( 52 ) sélectionnez un cercle, puis remplacez et étant donné qu'il s'agit de la différence de longueur d'arc, l'intégrale de Cauchy peut être représentée comme une formule de valeur moyenne.

Soit fonction = toi(x,y)+iv(x,y) est défini au voisinage du point z = x+je. Si la variable z incrément  z= x+je oui, alors la fonction
recevra une majoration


= (z+ z)–
=toi(x+ x, oui+ oui)+

+ iv(x+ x, oui+ oui) - toi(x,y) - iv(x,y) = [toi(x+ x, oui+ oui) –

– toi(x,y)] + je[v(x+ x, oui+ oui) - v(x,y)] =

= toi(x,y) + je v(x,y).

Définition. S'il y a une limite

=

,

alors cette limite est appelée la dérivée de la fonction
au point z et est noté par f(z) ou
. Ainsi, par définition,

=

=

. (1.37)

Si la fonction
a une dérivée au point z, alors ils disent que la fonction
différenciable au point z. Évidemment, pour que la fonction soit différentiable
il faut que les fonctions toi(x,y) Et v(x,y) étaient différenciables. Cependant, cela ne suffit pas à l’existence de la dérivée f(z). Par exemple, pour la fonction w== x–je fonctions toi(x,y)=x

Et v(x,y)=–oui différentiable en tout point M( x,y), mais la limite du rapport
à  x0,  oui0 n’existe pas, car si  oui= 0,  x 0, alors  w/ z= 1,

si  x = 0,  oui 0, alors  w/z = -1.

Il n’y a pas de limite unique. Cela signifie que la fonction

w= n'a à aucun moment de dérivée z. Pour l'existence d'une dérivée d'une fonction d'une variable complexe, des conditions supplémentaires sont requises. Lesquels exactement ? La réponse à cette question est donnée par le théorème suivant.

Théorème. Laissez les fonctions toi(x,y) Et v(x,y) sont dérivables au point M( x,y). Alors pour que la fonction

= toi(x,y) + iv(x,y)

avait un dérivé au point z = x+je, il faut et il suffit que les égalités tiennent

Les égalités (1,38) sont appelées conditions de Cauchy-Riemann.

Preuve. 1) Nécessité. Laissez la fonction
a une dérivée au point z, c'est-à-dire qu'il y a une limite

=

=
.(1.39)

La limite du côté droit de l'égalité (1.39) ne dépend pas du chemin emprunté par le point  z =  x+je oui s'efforce

à 0. En particulier, si y = 0, x  0 (Fig. 1.10), alors

Si x = 0, y  0 (Fig. 1.11), alors

(1.41)

Fig.1.10 Fig. 1.11

Les côtés gauches des égalités (1,40) et (1,41) sont égaux. Cela signifie que les côtés droits sont également égaux

Il s'ensuit que

Ainsi, à partir de l’hypothèse de l’existence de la dérivée f(z) l'égalité (1.38) s'ensuit, c'est-à-dire que les conditions de Cauchy-Riemann sont nécessaires à l'existence de la dérivée f(z).

1) Suffisance. Supposons maintenant que les égalités (1.38) sont satisfaites :

et prouver que dans ce cas la fonction
a une dérivée au point z= x+je, c'est-à-dire la limite (1,39)

=

existe.

Puisque les fonctions toi(x,y) Et v(x,y) sont dérivables au point M( x,y), puis l'incrément total de ces fonctions au point M( x,y) peut être représenté sous la forme

,

où  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 à  x0, oui0.

Puisque, grâce à (1.38),

Ainsi,

=
,

 1 =  1 +je 1 0,  2 =  2 +je 2 0 à z =  x+jeoui0.

Ainsi,

Depuis  z 2 =  x 2 + oui 2 , alors  x/ z1,  y/z1. C'est pourquoi

à  z  0.

Il s'ensuit que côté droit l’égalité (1.42) a une limite à  z 0 donc, et côté gauche a une limite à  z 0, et cette limite ne dépend pas du chemin  z tend vers 0. Ainsi, il a été prouvé que si au point M(x,y) les conditions (1.38) sont satisfaites, alors la fonction
a une dérivée au point z = x+je, et

.

Le théorème est complètement prouvé.

Dans le processus de preuve du théorème, deux formules (1.40) et (1.42) ont été obtenues pour la dérivée d'une fonction d'une variable complexe

,

.

En utilisant les formules (1.38), nous pouvons obtenir deux autres formules

, (1.43)

. (1.44)

Si la fonction f(z) a une dérivée en tout point de la région D, alors on dit que la fonction
est différentiable dans le domaine D. Pour cela, il faut et suffisant que les conditions de Cauchy-Riemann soient satisfaites en tous points du domaine D.

Exemple. Vérifiez les conditions de Cauchy-Riemann pour

fonctions e z .

Parce que e z = e x+iy = e x(parce que oui + je péché oui),

Que toi(x, oui) = Ré e z = e x parce que oui, v(x, oui) = je suis e z = e x péché oui,

,
,

,
,

ainsi,

Conditions de Cauchy-Riemann pour une fonction e z rempli en tous points z. Donc la fonction e z est différentiable sur tout le plan de la variable complexe, et

La différentiabilité se prouve exactement de la même manière

fonctions z n , parce que z, péché z,ch z, ch z, Ln z, et la validité des formules

(z n) = nz n-1, (car z) = -péché z, (péché z) = cos z,

(ch z) = ch z, (merde z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Pour les fonctions d'une variable complexe, toutes les règles de différenciation des fonctions d'une variable réelle restent en vigueur. La preuve de ces règles découle de la définition de la dérivée de la même manière que pour les fonctions d'une variable réelle.

Laisser w=f (z) est une fonction à valeur unique définie dans le domaine.

Définition 1.Dérivé de la fonction f(z) au point
s'appelle la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro :

Une fonction qui a une dérivée en un point z, appelé différenciableà ce point.

Il est évident que toutes les propriétés arithmétiques des dérivées sont satisfaites.

Exemple.

En utilisant la formule binomiale de Newton, on en déduit de la même manière que

Les séries pour l'exponentielle, le sinus et le cosinus satisfont à toutes les conditions de différenciation terme par terme. Par vérification directe, il est facile de voir que :

Commentaire. Bien que la définition de la dérivée du FKP coïncide formellement tout à fait avec la définition du FKP, elle est essentiellement plus complexe (voir la remarque du §5).

Définition 2. Fonction f (z) , différenciables en continu en tous points de la région G, appelé analytique ou régulier sur ce domaine.

Théorème 1. Si la fonction f(z) est différentiable en tous points de la région G, alors il est analytique dans ce domaine. (p/j)

Commentaire. En fait, ce théorème établit l'équivalence de la régularité et de la différentiabilité du FKP sur un domaine.

Théorème 2. Une fonction différentiable dans un domaine a une infinité de dérivées dans ce domaine. (n/d. Ci-dessous (au §13), cette affirmation sera prouvée sous certaines hypothèses supplémentaires)

Représentons la fonction comme une somme de parties réelles et imaginaires : Théorème 3. (Conditions de Cauchy – Riemann). Laissez la fonction f(z) est différentiable à un moment donné
. Puis les fonctions toi (x,oui) Et v (x,oui) ont des dérivées partielles à ce stade, et

Et
, appelé Conditions de Cauchy-Riemann.

(Puisque la valeur de la dérivée ne dépend pas de la façon dont la quantité tend
à zéro, choisissez le chemin suivant : On obtient :

De même, lorsque
nous avons:
, ce qui prouve le théorème.)

L’inverse est également vrai :

Théorème 4. Si les fonctions toi(x,oui) Et v (x,oui) ont en un certain point des dérivées partielles continues qui satisfont aux conditions de Cauchy – Riemann, alors la fonction elle-même f (z) – différentiable à ce stade (b/d)

Les théorèmes 1 à 4 montrent la différence fondamentale entre PKP et FDP.

Le théorème 3 permet de calculer la dérivée d'une fonction en utilisant l'une des formules suivantes :

Dans ce cas, on peut considérer X Et à nombres complexes arbitraires et calculez la dérivée à l'aide des formules :

Exemples. Vérifiez la régularité du fonctionnement. Si la fonction est régulière, calculez sa dérivée.

la fonction est régulière ;

2. la fonction n'est pas différenciable.

Commentaire. Il n'est pas difficile de voir que tout fonction réelle argument complexe - non différenciable.

§9.Fonctions harmoniques.

Rappelons la définition des fonctions harmoniques donnée dans le cours « Théorie des champs » :

Définition. Fonction toi(x,oui) s'appelle harmonique, s'il satisfait l'équation de Laplace :

Laissez libre cours à la zone G une fonction analytique est donnée. Cette fonction satisfait aux conditions de Cauchy – Riemann :
,
(§8). Puisque la fonction analytique est infiniment différentiable, alors les fonctions toi Et v sont également infiniment différentiables. Différencions la première condition par rapport à x, deuxième en oui et additionnons les égalités résultantes :

ceux. la partie réelle de la fonction analytique est harmonique. Si les conditions sont différenciées par à, Par X et soustraire, il est facile de vérifier que la partie imaginaire est harmonique. Il est ainsi prouvé

Théorème. Les parties réelles et imaginaires de la fonction analytique sont harmoniques :

Il est clair que deux fonctions harmoniques arbitraires, d’une manière générale, ne seront pas les parties réelles et imaginaires d’une fonction analytique. Pour ce faire, ils doivent également satisfaire aux conditions de Cauchy-Riemann. Cependant, à partir de n’importe quelle fonction harmonique, il est possible de déterminer la deuxième partie de la fonction analytique (c’est-à-dire la fonction analytique elle-même) jusqu’à une constante.

Exemple. Démontrer ce qui peut être une partie réelle d'une fonction analytique et définir cette fonction.

De la 2ème condition K – R :

CAUCHY - ÉQUATIONS DE RIEMANN

- différentiel ur-nia, la Crimée satisfait aux substances. et parties imaginaires fonction analytique. Fonction f(z) = u(x, y)+i(x, y), z=x+je, continuellement différenciable dans le domaine D plan complexe , est analytique en D si et seulement si les équations de K.-R.

K. - R.u. introduit pour la première fois par J. L. D'Alembert en 1752 et L. Euler en 1777 et utilisé par O. Cauchy et B. Riemann. Formellement, K.-R. peut aussi s'écrire sous la forme

En conséquence de K.-R u. est le fait que u(x, y)Et ( x, y) - fonctions harmoniques V D. Deux harmonieux fonctions appelées se conjuguent mutuellement s’ils satisfont au K.-R. Pour toute fonction harmonique dans un domaine simplement connexe, il existe une harmonique conjuguée. fonction déterminée précise à publier. terme. Dans le cas de domaines non simplement connectés, cette dernière affirmation n’est, en général, pas vraie.

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