Formes carrées.
Signez la définition des formes. Critère Sylvestre

L'adjectif « quadratique » suggère immédiatement que quelque chose ici est lié à un carré (le deuxième degré), et très bientôt nous découvrirons ce « quelque chose » et quelle en est la forme. Il s'est avéré que c'était un virelangue :)

Bienvenue dans ma nouvelle leçon, et comme échauffement immédiat, nous examinerons la forme rayée linéaire. Forme linéaire variables appelé homogène Polynôme du 1er degré :

- quelques chiffres précis * (on suppose qu'au moins un d'entre eux est non nul), a sont des variables qui peuvent prendre des valeurs arbitraires.

* Dans le cadre de ce sujet, nous considérerons uniquement nombres réels .

Nous avons déjà rencontré le terme « homogène » dans la leçon sur systèmes homogènes d'équations linéaires, et dans dans ce cas cela implique que le polynôme n'a pas de constante plus.

Par exemple: – forme linéaire de deux variables

La forme est désormais quadratique. Forme quadratique variables appelé homogène polynôme du 2ème degré, dont chaque terme contient soit le carré de la variable, soit double produit de variables. Ainsi, par exemple, la forme quadratique de deux variables a la forme suivante :

Attention! Il s’agit d’une entrée standard et il n’est pas nécessaire d’y changer quoi que ce soit ! Malgré l'apparence « effrayante », tout est simple ici : les doubles indices des constantes signalent quelles variables sont incluses dans quel terme :
– ce terme contient le produit et (carré) ;
- voici l'ouvrage ;
- et voici le travail.

– J’anticipe immédiatement une grossière erreur lorsqu’ils perdent le « moins » d’un coefficient, sans comprendre qu’il renvoie à un terme :

Parfois, il y a une option de conception « école » dans l'esprit, mais seulement parfois. Au fait, notez que les constantes ne nous disent rien ici, et donc il est plus difficile de retenir la « notation facile ». Surtout quand il y a plus de variables.

Et la forme quadratique de trois variables contient déjà six termes :

...pourquoi « deux » facteurs sont-ils placés en termes « mixtes » ? C'est pratique, et on comprendra bientôt pourquoi.

Cependant, notons la formule générale ; il est pratique de l'écrire sur une « feuille » :

– nous étudions attentivement chaque ligne – il n’y a rien de mal à cela !

La forme quadratique contient des termes avec les carrés des variables et des termes avec leurs produits appariés (cm. formule de combinaison combinatoire) . Rien de plus - pas de « X solitaire » et pas de constante aplatie (vous n'obtiendrez alors pas une forme quadratique, mais hétérogène polynôme du 2ème degré).

Notation matricielle de forme quadratique

Selon les valeurs, la forme en question peut prendre à la fois une forme positive et valeurs négatives, et il en va de même pour toute forme linéaire - si au moins un de ses coefficients est différent de zéro, alors il peut être positif ou négatif (selon les valeurs).

Ce formulaire est appelé signe alterné. Et si avec forme linéaire tout est transparent, alors avec la forme quadratique les choses sont bien plus intéressantes :

Il est tout à fait clair que cette forme peut prendre le sens de n'importe quel signe, donc la forme quadratique peut aussi être alternée.

Ou peut-être pas :

– toujours, sauf si simultanément égal à zéro.

– pour n'importe qui vecteur sauf zéro.

Et en général, si pour quelqu'un non nul vecteur , , alors forme quadratique appelé positif défini; si c'est le cas alors négatif défini.

Et tout irait bien, mais le caractère précis de la forme quadratique n'est visible que dans exemples simples, et cette visibilité est perdue même avec une légère complication :
– ?

On pourrait supposer que la forme est définie positivement, mais est-ce vraiment le cas ? Du coup, il y a des valeurs auxquelles il inférieur à zéro?

Sur ce point, il y a théorème: si TOUS valeurs propres les matrices de forme quadratique sont positives * , alors il est défini positif. Si tout est négatif, alors négatif.

* Il a été prouvé en théorie que toutes les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle valide

Écrivons la matrice de la forme ci-dessus :
et de l'équation. trouvons-la valeurs propres:

Résolvons le bon vieux équation quadratique:

, ce qui signifie la forme est défini positivement, c'est-à-dire pour toute valeur non nulle, supérieur à zéro.

La méthode envisagée semble fonctionner, mais il y a un gros MAIS. Déjà pour une matrice trois par trois, la recherche des nombres appropriés est une tâche longue et désagréable ; avec une forte probabilité, vous obtiendrez un polynôme du 3ème degré avec des racines irrationnelles.

Que dois-je faire? Il existe un moyen plus simple !

Critère Sylvestre

Non, pas Sylvester Stallone :) Tout d'abord, laissez-moi vous rappeler ce que c'est mineurs de coin matrices. Ce qualificatifs qui « grandissent » à partir de sa gauche coin supérieur:

et le dernier est exactement égal au déterminant de la matrice.

Maintenant, en fait, critère:

1) La forme quadratique est définie positivement si et seulement si TOUS ses mineurs angulaires sont supérieurs à zéro : .

2) La forme quadratique est définie négatif si et seulement si ses mineurs angulaires alternent en signe, le 1er mineur étant inférieur à zéro : , , if – pair ou , if – impair.

Si au moins un coin est mineur signe opposé, alors la forme signe alterné. Si les mineurs angulaires sont du signe « droit », mais qu'il y a des zéros parmi eux, alors il s'agit d'un cas particulier, que j'examinerai un peu plus tard, après avoir examiné des exemples plus courants.

Analysons les mineurs angulaires de la matrice :

Et cela nous dit immédiatement que la forme n'est pas définie négativement.

Conclusion: tous les mineurs de coin sont supérieurs à zéro, ce qui signifie la forme est défini positivement.

Il y a une différence avec la méthode valeurs propres? ;)

Écrivons la matrice de forme à partir de Exemple 1:

le premier est son mineur angulaire, et le second , d'où il résulte que la forme est alternée en signe, c'est-à-dire selon les valeurs, il peut prendre des valeurs positives et négatives. Cependant, cela est déjà évident.

Prenons la forme et sa matrice de Exemple 2:

Il n’y a aucun moyen de comprendre cela sans perspicacité. Mais avec le critère de Sylvester, on s’en fiche :
, la forme n’est donc certainement pas négative.

, et certainement pas positif (puisque tous les mineurs angulaires doivent être positifs).

Conclusion: la forme est alternée.

Exemples d'échauffement à résoudre par vous-même :

Exemple 4

Étudier les formes quadratiques pour vérifier la définition des signes

UN)

Dans ces exemples, tout se passe bien (voir la fin de la leçon), mais en fait, pour accomplir une telle tâche Le critère de Sylvester n'est peut-être pas suffisant.

Le fait est qu’il existe des cas « limites », à savoir : si pour non nul vecteur, alors la forme est déterminée non négatif, si – alors négatif. Ces formulaires ont non nul vecteurs pour lesquels .

Ici vous pouvez citer « l’accordéon » suivant :

Mise en évidence carré parfait, on voit tout de suite non-négativité forme : , et il est égal à zéro pour tout vecteur de coordonnées égales, par exemple : .

Exemple "Miroir" négatif une certaine forme:

et un exemple encore plus trivial :
– ici la forme est égale à zéro pour tout vecteur , où est un nombre arbitraire.

Comment identifier les formes non négatives ou non positives ?

Pour cela nous avons besoin du concept mineurs majeurs matrices. Un mineur majeur est un mineur composé d'éléments qui se trouvent à l'intersection de lignes et de colonnes portant les mêmes nombres. Ainsi, la matrice comporte deux mineurs principaux du 1er ordre :
(l'élément est à l'intersection de la 1ère ligne et de la 1ère colonne) ;
(l'élément est à l'intersection de la 2ème ligne et de la 2ème colonne),

et un mineur majeur du 2ème ordre :
– composé d’éléments de la 1ère, 2ème ligne et de la 1ère, 2ème colonne.

La matrice est « trois par trois » Il y a sept mineurs principaux, et ici vous devrez fléchir vos biceps :
– trois mineurs du 1er ordre,
trois mineurs de 2ème ordre :
– composé d'éléments de la 1ère, 2ème ligne et de la 1ère, 2ème colonne ;
– composé d'éléments de la 1ère, 3ème ligne et de la 1ère, 3ème colonne ;
– composé d'éléments de la 2ème, 3ème ligne et de la 2ème, 3ème colonne,
et un mineur de 3ème ordre :
– composé des éléments de la 1ère, 2ème, 3ème rangée et de la 1ère, 2ème et 3ème colonne.
Exercice pour comprendre : notez tous les mineurs majeurs de la matrice .
Nous vérifions à la fin de la leçon et continuons.

Critère de Schwarzenegger:

1) Forme quadratique non nulle* définie non négatif si et seulement si TOUS ses mineurs majeurs non négatif(supérieur ou égal à zéro).

* La forme quadratique zéro (dégénérée) a tous les coefficients égaux à zéro.

2) Une forme quadratique non nulle avec matrice est définie négatif si et seulement si :
– mineurs majeurs du 1er ordre non positif(inférieur ou égal à zéro) ;
– mineurs majeurs du 2ème ordre non négatif;
– les mineurs majeurs du 3ème ordre non positif(l'alternance a commencé) ;
…
– majeur mineur du ème ordre non positif, si – impair ou non négatif, si – même.

Si au moins un mineur est de signe opposé, alors la forme est à signe alterné.

Voyons comment fonctionne le critère dans les exemples ci-dessus :

Créons une matrice de forme, et tout d'abord Calculons les mineurs angulaires - et s'ils étaient définis positivement ou négativement ?

Les valeurs obtenues ne satisfont pas au critère de Sylvester, mais au deuxième mineur pas négatif, et cela oblige à vérifier le 2ème critère (dans le cas du 2ème critère, il ne sera pas rempli automatiquement, c'est-à-dire que la conclusion est immédiatement tirée sur l'alternance des signes de la forme).

Principaux mineurs du 1er ordre :
- positif,
majeur mineur du 2ème ordre :
– pas négatif.

Ainsi, TOUS les mineurs majeurs ne sont pas négatifs, ce qui signifie que la forme non négatif.

Écrivons la matrice de forme , pour lequel le critère Sylvester n'est évidemment pas satisfait. Mais nous n'avons pas non plus reçu de signes opposés (puisque les deux mineurs angulaires sont égaux à zéro). Nous vérifions donc le respect du critère de non-négativité/non-positivité. Principaux mineurs du 1er ordre :
– pas positif,
majeur mineur du 2ème ordre :
– pas négatif.

Ainsi, selon le critère de Schwarzenegger (point 2), la forme est définie de manière non positive.

Examinons maintenant de plus près un problème plus intéressant :

Exemple 5

Examinez la forme quadratique pour la précision du signe

Ce formulaire orne l'ordre "alpha", qui peut être égal à n'importe qui nombre réel. Mais ce n'en sera que plus amusant nous décidons.

Tout d’abord, écrivons la matrice du formulaire ; beaucoup de gens se sont probablement déjà habitués à le faire oralement : diagonale principale On met les coefficients des carrés, et aux endroits symétriques on met la moitié des coefficients des produits « mixtes » correspondants :

Calculons les mineurs angulaires :

Je vais développer le troisième déterminant sur la 3ème ligne :

S. Stevens a proposé une classification de quatre types d'échelles de mesure : échelle nominale, ordinale, d'intervalle et de rapport.

Échelle nominale(échelle de noms, échelle nominative) consiste à attribuer une certaine désignation ou un certain symbole (numérique, alphabétique, etc.) à toute propriété ou caractéristique. Essentiellement, il s'agit d'une classification de propriétés, d'un regroupement d'objets, de leur combinaison en classes, à condition que les objets appartenant à la même classe soient identiques (ou similaires) les uns aux autres par rapport à un attribut ou une propriété, tandis que les objets qui diffèrent dans ce domaine Les attributs appartiennent à différentes classes.

Exemple: a) classification des qualités gustatives : A - sucré, B - amer, C - aigre ; b) couleurs du spectre visible : rouge, vert, bleu, etc. ; c) nationalité : A est biélorusse, B est russe, C est ukrainienne ; d) diviser les gens en quatre types de tempérament : sanguin, flegmatique, mélancolique, colérique.

L'échelle nominale détermine que différentes propriétés ou caractéristiques sont qualitativement différentes les unes des autres. Les opérations habituelles avec les nombres - classement, addition-soustraction, division - lorsqu'elles sont mesurées sur une échelle nominative perdent leur sens. Ainsi, pour les traits mesurés sur cette échelle, on ne peut pas dire que certains d’entre eux sont plus grands et d’autres moins, certains sont meilleurs et d’autres pires. Autrement dit, lorsqu'on compare des objets, nous pouvons seulement conclure s'ils appartiennent au même ou différentes classes, sont identiques ou non en termes de propriété mesurée.

Il convient de souligner que les symboles attribués aux objets dans l'échelle nominative sont conditionnels et que toute substitution ou réarrangement des désignations alphabétiques (numériques) est autorisé.

Le cas le plus simpleéchelle nominative - échelle dichotomique. Lors de la mesure sur cette échelle, les caractéristiques mesurées peuvent être codées par deux symboles ou chiffres, par exemple 0 et 1 ou 3 et 5, ou les lettres A et B, ainsi que par deux symboles différents l'un de l'autre. Un trait mesuré sur une échelle dichotomique est appelé trait alternatif.

DANS échelle dichotomique tous les objets, signes ou propriétés étudiés sont divisés en deux classes non superposées, et le chercheur se pose la question de savoir si la caractéristique qui l'intéresse « est apparue » ou non dans le sujet. Par exemple, dans une étude particulière, le signe « gaucher » est apparu chez 8 sujets sur 20, c'est-à-dire que 8 sujets peuvent recevoir le chiffre 1, correspondant au signe « gaucher », et le reste , le chiffre 0, correspondant au signe de « droiterie ».

Exemple: a) classification par sexe : 1 - homme, 0 - femme ;
b) réponses au questionnaire : 1 - oui, 0 - non ; c) composition familiale : A - famille complète, B - famille monoparentale.

Dans l'échelle nominative, vous pouvez calculer la fréquence d'apparition d'une caractéristique, c'est-à-dire le nombre de sujets, phénomènes, etc., inclus dans cette classe et avoir cette propriété. Disons que nous découvrons le nombre de garçons et de filles dans une classe. Pour ce faire, on code par exemple les garçons avec le chiffre 1, et les filles avec le chiffre 0. Après cela, on compte quantité totale nombres (codes) 1 et 0. C'est le calcul de la fréquence d'un signe.

L'unité de mesure avec laquelle nous opérons est le nombre d'observations (sujets, réactions, choix, etc.), ou la fréquence. Plus précisément, l'unité de mesure est une observation. Nombre total les observations (sujets, réactions, choix, etc.) sont prises à 100 %, puis le pourcentage, par exemple, de garçons et de filles dans une classe peut être calculé.

Il est possible de postuler non grand nombre méthodes statistiques. Ces données peuvent être traitées, par exemple, à l'aide de la méthode %, critère binomial m, transformation angulaire de Fisher φ, etc.

Échelle ordinale(échelle de classement) est une échelle qui classe selon le principe « plus - moins », « plus haut - plus bas », « plus fort - plus faible ». La mesure à cette échelle consiste à attribuer des numéros aux objets en fonction du degré d'expression de la propriété mesurée. Si dans l'échelle précédente, l'ordre dans lequel les traits mesurés étaient situés n'avait pas d'importance, alors dans l'échelle ordinale, tous les traits sont classés par rang - du plus grand (grand, fort, intelligent, etc.) au plus petit (faible, faible, stupide, etc.) . Un exemple typique et très connu d'échelle ordinale est celui des notes scolaires : de 5 à 1 points ou de 0 à 10 points.

L'échelle ordinale doit comporter au moins trois classes, par exemple « réaction positive - réaction neutre - réaction négative » ou « élevée - moyenne - faible », etc., afin que les caractéristiques mesurées puissent être classées dans l'ordre.

Il existe de nombreuses façons d'obtenir une mesure sur une échelle ordinale. Mais l'essentiel reste général : lorsqu'on compare des sujets entre eux, on peut dire si une propriété est plus ou moins exprimée, mais on ne peut pas dire combien plus ou combien moins elle s'exprime, encore moins combien de fois plus ou moins. Ainsi, lorsqu’on mesure sur une échelle de classement toutes les propriétés des nombres, ce qui est pris en compte est qu’ils sont différents et qu’un nombre est plus grand qu’un autre.

Exemple: a) les places prises par les étudiants au concours (1, 2, 3) ; b) le classement de l’étudiant en fonction de sa note académique moyenne (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) ; c) réponses au test : 1 - jamais, 2 - parfois, 3 - souvent, 4 - toujours.

Dans une échelle ordinale, nous ne connaissons pas la véritable distance entre les classes, mais seulement qu'elles forment une séquence. Des classes, vous pouvez simplement passer aux nombres, si l'on considère que la classe la plus basse reçoit un rang (code ou numéro) 1, celle du milieu - 2, la plus élevée - 3 (ou vice versa). Comment plus grand nombre classes de partitions de l'ensemble expérimental, plus les possibilités de traitement statistique des données obtenues sont larges.

Lors du codage de variables ordinales, n'importe quel nombre (code) peut leur être attribué, mais l'ordre doit être préservé dans ces codes (nombres), ou, en d'autres termes, chaque nombre suivant doit être supérieur (ou inférieur) au précédent. Par exemple, il est nécessaire de coder le niveau d'anxiété en cinq gradations : le plus bas - 1, le plus faible - 2, le moyen - 3, le plus élevé - 4, le plus élevé - 5. D'autres méthodes de codage peuvent être utilisées (par exemple, 14, 23, 34 , 45, 56, respectivement), mais la méthode de codage initialement proposée est la plus connue et donc la plus préférée. Les nombres dans les échelles de rang indiquent uniquement l'ordre des signes, et les opérations avec des nombres dans cette échelle sont des opérations avec des rangs.

Lors du classement, deux circonstances doivent être prises en compte :
1. Définissez vous-même et souvenez-vous de l'ordre de classement. Vous pouvez attribuer le rang 1 à celui qui a la 1ère place en termes de gravité de cette caractéristique(par exemple, « le plus fort »). Ou vous pouvez attribuer le rang 1 à celui dont le trait est le moins sévère, puis augmenter le rang à mesure que le niveau du trait augmente. Il n'y a pas ici de règles de sélection strictes, mais il est important de rappeler dans quel sens le classement a été effectué. 2. Suivez la règle de classement pour les rangs apparentés lorsque deux sujets ou plus ont la même expression de la propriété mesurée. Dans ce cas, ces sujets se voient attribuer le même rang moyen. Par exemple, si vous classez les sujets par « place dans le groupe » et que deux ont les mêmes scores bruts les plus élevés, alors les deux se voient attribuer un rang moyen de 1,5 : (1+2)/2=1,5. Le sujet suivant cette paire se voit attribuer le rang 3, etc. Cette règle est basée sur la convention consistant à maintenir la même somme de rangs pour les rangs liés ou non. Conformément à cette règle, la somme de tous les rangs attribués pour un groupe de N doit être égale à N(N+1)/2, quelle que soit la présence ou l'absence de connexions dans les rangs.

L'échelle ordinale utilise une grande variété de techniques statistiques. Les coefficients de corrélation les plus couramment utilisés pour les mesures obtenues sur cette échelle sont Spearman et Kendall, et divers tests de différence sont utilisés pour les données obtenues sur cette échelle.

Échelle d'intervalle(échelle d'intervalle) est une échelle qui classe selon le principe « plus par un certain nombre d'unités, moins par un certain nombre d'unités ». Chacune des valeurs possibles de l'attribut est séparée des autres par à égale distance. Le concept principal de cette échelle est l'intervalle, qui peut être défini comme la proportion ou la partie de la propriété mesurée entre deux positions adjacentes sur l'échelle. La taille de l'intervalle est une valeur fixe et constante dans toutes les zones de l'échelle. Pour mesurer à l'aide d'une échelle d'intervalle, des unités de mesure spéciales sont établies (en psychologie, par exemple, les murs et les sténines). Un objet se voit attribuer un nombre d'unités de mesure proportionnel à la gravité de la propriété mesurée. Caractéristique importante l'échelle d'intervalle est qu'elle n'a pas point naturel référence (zéro est conditionnel et n'indique pas l'absence de la propriété mesurée). Par conséquent, en utilisant cette échelle, nous pouvons juger dans quelle mesure la propriété est exprimée en plus ou en moins lors de la comparaison d'objets, mais nous ne pouvons pas juger combien de fois la propriété est exprimée en plus ou en moins.

Exemple: a) mesure de la température sur l'échelle Celsius (°C) ; b) tests d'intelligence (unité de mesure conventionnelle QI) ; c) Questionnaire à 16 facteurs de Cattell (scores bruts convertis en murs).

Un assez grand nombre de méthodes statistiques sont applicables aux données expérimentales obtenues à cette échelle.

Échelle de relation - Il s'agit d'une échelle qui classe les objets ou sujets proportionnellement au degré d'expression de la propriété mesurée. Dans les échelles de ratios, les classes sont désignées par des nombres proportionnels les uns aux autres : 2 est à 4 comme 4 est à 8. Cela présuppose un absolu point zéro référence, par conséquent, lors de la comparaison d'objets, nous pouvons dire non seulement à quel point la propriété est exprimée plus ou moins, mais aussi combien de fois (combien de pour cent, etc.) elle est exprimée plus ou moins. En mesurant le temps nécessaire pour résoudre un problème par une paire de sujets, nous pouvons dire non seulement qui a résolu le problème le plus rapidement et en combien de secondes (minutes), mais aussi combien de fois plus vite.

Il convient de noter que, malgré la familiarité et la routine de l’échelle absolue, elle n’est pas souvent utilisée en psychologie. Possibilités psyché humaine tellement génial qu'il est difficile d'imaginer zéro absolu dans toute variable psychologique mesurable.

Exemple: a) mesurer le temps de réaction (généralement en millisecondes) ; b) mesure des seuils de sensibilité absolus.

Il est utile de caractériser les échelles répertoriées en fonction de leur capacité de différenciation (pouvoir). À cet égard, les échelles, à mesure que la puissance augmente, sont disposées comme suit : échelle nominale, ordinale, d'intervalle, de rapport. Ainsi, les échelles non métriques sont évidemment moins puissantes - elles reflètent moins d'informations sur la différence entre les objets (sujets) selon la propriété mesurée, et, à l'inverse, les échelles métriques sont plus puissantes, car elles différencient mieux les sujets. Par conséquent, si le chercheur a le choix, il est nécessaire d’utiliser une échelle plus puissante. Une autre chose est que le plus souvent, ce choix n'est pas disponible et vous devez utiliser une échelle de mesure disponible.

Déterminer à quelle échelle le phénomène est mesuré (le signe est présenté) - point clé analyse des données : le choix de la méthode et l’interprétation des résultats en dépendent.

Habituellement, l'identification de l'échelle nominative, sa différenciation de l'échelle de rang, et plus encore de l'échelle métrique, ne pose pas de problèmes.

Exemple: Examinons la question de l'enquête « Dans quelle mesure avez-vous confiance en vos capacités ? » pour une réponse à laquelle les sujets choisissent l'une des options proposées :

1) absolument sûr ;

2) J'ai du mal à répondre ;

3) complètement incertain.

Si un chercheur s'intéresse à la mesure dans laquelle les sujets ont confiance ou non dans leurs capacités, il est alors logique de supposer que le signe est présenté sur une échelle ordinale. Si le chercheur s'intéresse à la manière dont les réponses sont réparties entre les options ou à ce qui caractérise chacun des trois groupes correspondants, alors il est plus raisonnable de considérer cet attribut comme nominal.

Il est beaucoup plus difficile de déterminer la différence entre les échelles ordinales et métriques. Le problème vient du fait que les mesures en psychologie sont généralement indirectes. On mesure directement certains phénomènes ou événements observables : le nombre de réponses à des questions ou des tâches résolues dans le temps imparti, ou encore le temps nécessaire pour résoudre un ensemble de tâches, etc. Mais en même temps, nous portons des jugements sur certaines propriétés cachées et latentes, inaccessibles à l'observation directe : l'agressivité, la sociabilité, la capacité, etc.

Le nombre de problèmes résolus dans le temps imparti est bien entendu une mesure sur une échelle métrique. Mais cette quantité elle-même ne nous intéresse que dans la mesure où elle reflète une capacité que nous étudions. Les différences égales des problèmes résolus correspondent-elles différences égales la gravité de la propriété (capacité) étudiée ? Si la réponse est « oui », l'échelle est métrique (intervalle ou relations égales), si « non », l’échelle est ordinale.

Dans de telles situations, il est plus facile de convenir que la caractéristique est présentée sur une échelle ordinale. Mais en même temps, nous nous limitons considérablement dans le choix des méthodes d'analyse ultérieure. De plus, le passage à une échelle moins puissante nous condamne à la perte de certaines informations empiriques qui nous sont précieuses. Cela peut entraîner une chute signification statistique résultats de la recherche. Le chercheur s’efforce donc toujours de trouver la preuve que l’échelle utilisée est plus puissante.

Quêtes :

Déterminez à quelle échelle chacune des dimensions ci-dessous est représentée ; noms, ordre, intervalles, relations.

1. Classer les sujets par heure de résolution du problème de test.

2. Préférence pour les animaux de compagnie : chiens, chats, rats, aucun.

3. Grade militaire(soldat, caporal, sergent, lieutenant, capitaine) comme mesure de promotion.

4. Nombre de réactions agressives par jour.

5. Statut académique (assistant, professeur agrégé, professeur) comme indication d'appartenance à la catégorie correspondante.

6. Le classement par le sujet de 18 valeurs instrumentales (selon Rokeach) selon le degré de leur importance pour lui.

7. Couleur des cheveux (blond, brun, brun, roux).

8. Il est temps de résoudre le problème.

9. Statut d'étudiant dans le groupe (étoile, préféré, accepté, non accepté).

Bibliographie

1. Ermolaev, O.Yu. Statistiques mathématiques pour les psychologues /
O.Yu. Ermolaïev. - M. : MPSI : Silex. - 2002. – 325 p.

2. Nasledov, A.D. Méthodes mathématiques en recherche psychologique. Analyse et interprétation des données / A.D. Naslédov. - SPb. : Discours. - 2004.

3. Sidorenko, E.V. Méthodes de traitement mathématique en psychologie. – Saint-Pétersbourg : SARL « Rech » - 2004. – 350 p.

4. Burlachuk, L.F., Morozov S.M. Dictionnaire – ouvrage de référence en psychodiagnostic / L.F. Burlachuk, S.M. Morozov - Saint-Pétersbourg : Peter Kom. - 1999. – 528 p.

5. Sukhodolsky, G.V. Méthodes mathématiques en psychologie / G.V. Soukhodolski. - Kharkov : Maison d'édition Centre Humanitaire. - 2006. – 512 p.

6. Tarassov, S.G. Fondamentaux de l'application des méthodes mathématiques en psychologie. / S.G. Tarasov. - Saint-Pétersbourg : Maison d'édition : Saint-Pétersbourg. un-ta. - 1999. – 326 p.

7. Glinsky, V.V., Ionine, V.G. Analyse statistique données/
V.V. Glinsky, V.G. Ionine. - M. : Chouette. - 2008. – 265 p.

Mesure – Il s'agit d'un ensemble d'actions effectuées à l'aide d'instruments de mesure afin de trouver la valeur numérique de la quantité mesurée dans les unités de quantités acceptées.

Dans un sens plus large mesures est une procédure quantitative ou évaluation qualitative l'une ou l'autre propriété. La mesure devient possible s'il est possible de former échelle du bien considéré, compte tenu de son ensemble diverses manifestations. Le mot « échelle » vient du latin « scala - ladder » et désigne une série de valeurs séquentielles de la quantité mesurée par ordre croissant ou décroissant, qui sont acceptées pour la mesure.

Une propriété est considérée comme un certain système, entre les éléments dont s'opèrent diverses relations : relations d'équivalence (égalité), relations d'ordre (plus, moins), relations d'additivité (sommation).

En théorie de la mesure, ils considèrent 5 types de balances différents :

- nommer les échelles;

- échelles d'intervalle(échelles de différence);

- échelles de relations;

- échelles de commande(échelles de classement);

- échelles absolues.

Échelles de noms – Ce sont des échelles de qualité qui correspondent uniquement aux propriétés avec des relations d'équivalence. Le terme « taille » ne peut pas être appliqué à ces propriétés, mais elles peuvent être définies et identifiées. Par exemple, le nom ou la désignation d'une couleur selon un atlas des couleurs.

Barèmes de commande – correspondent à des propriétés pour lesquelles ils peuvent être paramétrés relations d'équivalence et relations d'ordre en augmentant ou en diminuant la manifestation quantitative d'une propriété, mais les unités de mesure ne peuvent pas être saisies. Il s'agit d'échelles notées par points (résistance sismique, force du vent, dureté des minéraux et des métaux).

Échelles d'intervalle– correspondent aux propriétés avec relations d'équivalence, d'ordre et d'additivité. Les échelles d'intervalle ont un zéro conventionnel, définir des valeurs intervalles et unité de mesure.

Par exemple, l'échelle de temps a un zéro conventionnel et des intervalles définis. L'unité de mesure est reproduite directement sous forme d'intervalle de temps - s, min, heure, jour, etc. L'échelle d'intervalle comprend les échelles de température Celsius et Fahrenheit. L'échelle Celsius a un zéro conventionnel (le point de congélation de l'eau ou la fonte de la glace) et un intervalle spécifié (100 degrés Celsius - le point d'ébullition de l'eau). Dans l'échelle Fahrenheit, le point de départ est la température du mélange de glace, de sel de table et d'ammoniac. La température du corps humain a été choisie comme deuxième point de référence. L'unité de température Fahrenheit, le degré Fahrenheit, est définie comme étant le quatre-vingt-seizième de l'intervalle résultant. Le point de fusion de la glace en degrés Fahrenheit est de 32 degrés, le point d'ébullition de l'eau est de 212 degrés.

Échelles relationnelles – correspondent à des propriétés avec des relations équivalence, ordre et additivité. Les échelles de ratios sont considérées comme les plus parfaites, car elles ont un zéro naturel et des unités de mesure acceptées par accord. Par exemple, échelle de température Kelvin a un zéro physiquement défini (le zéro absolu est la température la plus basse possible). Kelvin est l'une des unités de base du SI (jusqu'en 1968, on l'appelait le degré Kelvin). 1 K = 1 degré Celsius (par définition, Kelvin est une unité température thermodynamique, égal à 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau, c'est-à-dire le point de coexistence de trois états d'agrégation eau - liquide, solide et gazeuse. Le point triple de l'eau correspond à 0,01 degrés Celsius. Les échelles de rapports sont également des échelles de nombreuses grandeurs physiques - masse, longueur, courant électrique, etc. À l'aide des échelles de rapports, toutes les opérations arithmétiques avec des quantités mesurées sont possibles : addition, soustraction, multiplication et division.

Barèmes de commande – correspondent à des propriétés avec relations d'équivalence et d'ordre(manifestation quantitative croissante ou décroissante de la propriété), mais les unités de mesure ne peuvent pas être saisies. Ces quantités ne sont pas mesurées, mais estimées. Les échelles de commande sont notées. Par exemple, une échelle de résistance aux tremblements de terre, une échelle de dureté des minéraux et des métaux, une échelle de normes de gris et de bleu pour évaluer la solidité des couleurs, etc.

Échelles absolues - correspondent à des propriétés avec relations d'équivalence, d'ordre et d'additivité avoir naturel définition sans ambiguïté unités de mesure. Par exemple, l'échelle de mesure des angles plans en radians (le radian est angle central, correspondant à un arc dont la longueur est égale à son rayon).

Classement des mesures selon plusieurs critères de classification.

En fonction du nombre d'observations effectuées ou de lectures prises, les mesures sont divisées en simple et multiple.

Une fois appelée mesure effectuée une seule fois. Par exemple, prendre les caractéristiques dimensionnelles du corps humain.

Multiple est une mesure dont le résultat est obtenu à partir de plusieurs mesures successives (c'est-à-dire constituées d'un certain nombre de mesures uniques). Des mesures répétées sont effectuées pour réduire l'erreur. Par exemple, la détermination du Pp et de l'Ep d'un tissu selon la méthode standard implique l'utilisation de 3 échantillons pour la chaîne et de 4 échantillons pour la trame.

Selon la méthode d'obtention du résultat, les mesures sont divisées en directs, indirects, conjoints et cumulatifs.

Direct sont des mesures dans lesquelles la valeur souhaitée est trouvée directement à partir de données expérimentales. Par exemple, mesurer une longueur, une masse, etc.

Indirect sont des mesures dans lesquelles la valeur souhaitée est trouvée à partir des résultats de mesures directes d'autres quantités associées à la relation spécifique souhaitée. Par exemple, déterminer la densité linéaire des fils :

T=m/L, tex.

Articulation les mesures sont-elles effectuées simultanément sur deux ou plusieurs différentes quantitésétablir une relation fonctionnelle entre eux. Par exemple, détermination simultanée de P et l pour construire une courbe « déformation - force » et trouver la dépendance P=f(l).

Cumulatif sont des mesures dans lesquelles les valeurs des grandeurs mesurées sont trouvées en résolvant un système d'équations compilé à partir des données de mesure de plusieurs quantités du même nom. Un exemple consiste à déterminer les masses de poids individuels dans un ensemble sur la base de la masse connue de l'un d'entre eux et sur la base des résultats de la détermination des masses. diverses combinaisons poids.

En fonction de la nature de la dépendance de la valeur mesurée au temps, les mesures sont divisées en statique et dynamique.

Statique sont des mesures dans lesquelles la grandeur mesurée est considérée comme inchangée pendant toute la durée de la mesure. Par exemple, la mesure de Pp et Ep est statique.

Dynamique sont des mesures dans lesquelles la quantité mesurée change à un rythme dépassant la capacité de l'instrument de mesure à suivre ses changements. Dans ce cas, une composante dynamique supplémentaire de l'erreur apparaît, en raison des propriétés inertielles de l'appareil de mesure. Par exemple, la mesure valeurs discrètes P et E lors de l'étirement de l'échantillon ; mesure de l'augmentation de l'humidité de l'air dans le corps de l'installation lors de la détermination de la perméabilité à la vapeur des matériaux.

Selon le niveau de précision, les mesures sont divisées en mesures de la plus haute précision possible, contrôle et technique(ouvriers).

Des mesures avec la plus grande précision possible effectuées dans les centres métrologiques lors de la création et de l'exploitation des étalons, ainsi que dans recherche scientifique pour déterminer les valeurs de constantes, de données de référence standard, etc.

Essais les mesures sont effectuées lors de la vérification et de l'étalonnage des instruments de mesure. L'erreur de ces mesures ne doit pas dépasser une certaine valeur de référence spécifiée.

Technique Les mesures (de travail) sont effectuées dans l'industrie à l'aide d'instruments de mesure fonctionnels.

Selon les caractéristiques de traitement des résultats de mesure, ils sont divisés en égal et inégal.

Tout aussi précis sont des mesures effectuées par des instruments de mesure d’égale précision dans les mêmes conditions.

Inégalement précis sont des mesures effectuées par des instruments de mesure qui diffèrent en termes de précision et/ou de conditions différentes.

Systèmes d'unités

Système d'unités– un ensemble d’unités de quantités de base (indépendantes) et dérivées.

Le principe de construction d'un tel système a été développé pour la première fois par le scientifique allemand Gauss en 1832. Le système qu'il a développé s'appelait absolu et comprenait trois unités de base - millimètre, milligramme et seconde. Le système absolu n’est pas largement utilisé, mais le principe de sa construction est encore utilisé à ce jour.

Le principe de construction de systèmes d'unités est que des unités de base indépendantes sont sélectionnées grandeurs physiques. Leurs unités de mesure sont appelées de base unités de quantités. Les quantités restantes sont appelées dérivées, leurs unités de mesure sont unités de quantités dérivées. Les unités de quantités dérivées sont établies à partir des unités de base en utilisant des lois physiques et les ratios. En métrologie, ces relations sont appelées équations de connexion entre grandeurs.

Système international d'unités SI développé par décision de la CGPM et comprenait initialement (en 1960) six unités principales. Plus tard, une septième unité de base a été ajoutée - la quantité de substance - la taupe, puis deux unités supplémentaires - le radian et le stéradian. Le système SI se reflète dans les normes internationales ISO et norme d'état RF.

Unités SI de base :

- mètre (m)– unité de longueur (L), égal au chemin, passé dans le vide par la lumière dans un intervalle de temps de 1/299 792 458 s ;

- kilogramme (kg)– unité de masse (M), égal à la masse prototype international du kilogramme (le prototype du kilogramme est un poids sous la forme cylindre droit diamètre et hauteur 39 mm en alliage de platine et d'iridium) ;

- seconde(s)– unité de temps (T), égal à 9 192 631 770 périodes de rayonnement correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 ;

- ampère (A)– unité de courant électrique (JE). Ampère égal à la force courant constant qui, en passant par deux parallèles conducteurs droits longueur infinie et insignifiant petite zone circulaire coupe transversale, situés dans le vide à une distance de 1 m les uns des autres, provoqueraient sur chaque tronçon d'un conducteur de 1 m de long une force d'interaction égale à 2 * 10 -7 N ;

- Kelvin (K)– unité de température thermodynamique (Θ – grec, thêta ) , égal à 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau (c'est-à-dire le point de coexistence de la glace, de l'eau et de la vapeur, ce qui correspond à 0,01 degrés Celsius ou 273,16 K) ;

- bougie (cd)– unité d’intensité lumineuse (J). Candela est l'intensité lumineuse dans une direction donnée d'une source émettant un rayonnement monochromatique de fréquence 540,10 · 12 Hz, force électrique dont la lumière dans cette direction est de 1/683 W/sr (Watt par stéradian) ;

- taupe (mol)– unité de quantité de substance (N). Une taupe est la quantité de substance dans un système contenant la même quantité éléments structurels, combien d'atomes y a-t-il dans le carbone 12 pesant 0,012 kg.

Unités supplémentaires :

- radian (rad)– une unité de mesure d'un angle plan, égale à l'angle interne entre deux rayons d'un cercle dont la longueur de l'arc entre est égale au rayon ;

- stéradian (moyenne)– unité de mesure de l'angle solide. Le stéradian est égal à l'angle solide dont le sommet est au centre de la sphère, découpant l'aire à la surface de cette sphère, superficie égale carré dont le côté est égal au rayon.

Simultanément à l'adoption du système SI, la CGPM a adopté des préfixes décimaux multiples et sous-multiples pour les unités. Le préfixe signifie que un est multiplié par dix jusqu'à obtenir un entier positif ou degré négatif. La nouvelle unité est appelée multiple ou fractionnaire (un multiple ou une fraction de l'unité d'origine). De la variété des multiples et unités sous-multiples choisissez une unité qui vous permet de recevoir valeurs numériques, pratique pour une utilisation pratique - dans la plage de 0,1 à 1000.

Facteurs et préfixes pour la formation de multiples et sous-multiples décimaux, et leurs noms

Exemples : MPa, kN, hPa, daN, dm, cm, mm, µm, nm.

La CGPM a reconnu l'utilisation de certaines unités non systémiques sur un pied d'égalité avec les unités SI en raison de leur importance pratique - minute (min), heure (h), litre (l) et quelques autres.

Dans la pratique, pour plus de commodité, non seulement les unités de quantités systémiques et non systémiques acceptées sont utilisées. Par exemple, la valeur pression atmosphérique et la tension artérielle d’une personne est généralement indiquée en millimètres de mercure, et non en Pa ; la puissance du moteur d'une voiture est en chevaux-vapeur, pas en kilowatts, etc.

Questions pour la maîtrise de soi

1. Avec quelle aide ? Balance peut être fait le plus grand nombre actes:

- nommer les échelles;

- échelles d'intervalle;

- échelles de relations;

- échelles de commande;

- échelle absolue.

2. Une grandeur physique, sur l'ensemble des valeurs dont il est possible d'effectuer des opérations similaires à l'addition et à la soustraction, est :

- l'intensité du courant électrique ;

- coefficient de dilatation linéaire ;

- dureté des minéraux ;

- la force du vent.

3. Les mesures effectuées par des instruments de mesure qui diffèrent en termes de précision et/ou dans des conditions différentes sont appelées :

- une fois;

- multiple;

- droit;

- indirect ;

- inégal.

4. Une mesure dont le résultat est obtenu à partir de plusieurs mesures successives (c'est-à-dire constituées d'un certain nombre de mesures uniques) :

- multiples ;

- direct;

- indirect ;

- articulation;

- cumulatif.

5. Parmi les unités de mesure données, les principales unités de quantités sont:

- mètre, m

- kilogramme, kg

-joule, J

- ampère, A

- diplôme, grêle

-Kelvin, K

- deuxièmement, s

- taupe

- bougie, cd

Instruments de mesure

Instrument de mesure– un appareil technique destiné aux mesures et présentant des caractéristiques métrologiques normalisées. Les caractéristiques métrologiques comprennent les caractéristiques d'un instrument de mesure qui affectent le résultat de la mesure et son erreur.

Les instruments de mesure remplissent l'une des deux fonctions suivantes :

Reproduire la valeur d'une grandeur donnée (poids, règles) ;

Un signal (indication) est généré et contient des informations sur la valeur de la quantité mesurée.

Les lectures d'un instrument de mesure peuvent être directement perçues par les sens humains (par exemple, les lectures d'un pointeur ou d'un appareil numérique), ou converties par d'autres. moyens techniques en un signal pratique pour la perception (par exemple, par des appareils d'enregistrement).

Les instruments de mesure sont divisés en mesures, transducteurs de mesure (capteurs), instruments de mesure, installations de mesure, systèmes de mesure.

Mesure– un instrument de mesure conçu pour reproduire et/ou stocker la valeur d'une ou plusieurs dimensions dont les valeurs sont exprimées en unités établies avec la précision requise. Par exemple, un poids reproduit une taille, une ligne de mesure de longueur - une règle - reproduit plusieurs tailles.

Transducteur de mesure (capteur) est un instrument de mesure conçu pour convertir les signaux d'informations de mesure en une forme pratique pour la perception ou une conversion ultérieure. Par exemple, des bandes de température, des jauges de contrainte.

Mètre– il s'agit d'un instrument de mesure conçu pour obtenir des valeurs de la grandeur mesurée dans une plage spécifiée et générer un signal d'informations de mesure sous une forme accessible à perception directe. Selon la forme de présentation des informations de mesure, il existe instruments d'indication et d'enregistrement. Appareils indicateurs vous permettent de compter ou de lire des lectures. Par exemple, un pointeur ou des instruments numériques. Appareils d'enregistrement enregistrer des informations sur n’importe quel support. Par exemple, un hygrographe enregistre une courbe des changements d'humidité de l'air sur du papier spécial au cours de la journée.

Selon la forme de conversion des signaux de mesure, les appareils sont divisés en analogique et numérique. Appareils analogiques avoir des indications sous la forme fonction continue changements dans la quantité mesurée. Par exemple, les machines analogiques comprennent des machines d'essais de traction avec un dynamomètre à pendule, des tonomètres à cadran, etc. Appareils numériques convertir automatiquement les résultats de mesure continue en signaux discrets, qui sont affichés sous forme de chiffres sur un indicateur numérique (de ce fait, il existe des différences dans la définition et la normalisation des caractéristiques métrologiques des instruments numériques par rapport aux instruments analogiques). Par exemple, machines d'essais de traction à affichage numérique, tonomètres numériques, etc.

Configuration de mesure est un ensemble d'instruments de mesure et de dispositifs auxiliaires fonctionnellement combinés, conçus pour mesurer une ou plusieurs quantités, situés en un seul endroit. Par exemple, une installation avec dessiccateurs pour déterminer la perméabilité à la vapeur.

Système de mesure- il s'agit d'un ensemble d'instruments de mesure et de dispositifs auxiliaires fonctionnellement intégrés situés en différents points de l'objet contrôlé et interconnectés par des canaux de communication, destinés à mesurer une ou plusieurs grandeurs.

Questions pour la maîtrise de soi

1. Un ensemble d'instruments de mesure et de dispositifs auxiliaires fonctionnellement combinés, conçus pour mesurer une ou plusieurs grandeurs, situés en un seul endroit - il s'agit d'un instrument de mesure appelé :

- mesure,

- transducteur de mesure (capteur),

- appareil de mesure,

- installation de mesure,

- système de mesure

2. La machine d'essai de traction R-50, dotée d'affichages numériques pour afficher les valeurs de charge et de déformation des échantillons et d'un enregistreur pour construire une courbe charge-déformation, s'applique à :

- indicateurs d'instruments de mesure,

- enregistrement des instruments de mesure,

- instruments de mesure analogiques,

- appareil de mesure numérique.

Les variables diffèrent en termes de « dans quelle mesure » ​​elles peuvent être mesurées ou, en d’autres termes, de quantité d’informations mesurables fournies par leur échelle de mesure. On sait que dans chaque mesure, il existe une erreur qui détermine les limites de la « quantité d'informations » pouvant être obtenues dans une mesure donnée. Le type d'échelle sur laquelle la mesure est prise est un autre facteur qui détermine la quantité d'informations contenues dans une variable. On distingue les types d'échelles suivants : nominale, ordinale (ordinale), intervalle relatif (échelle de rapport). En conséquence, nous avons quatre types de variables.

Échelle de nom(échelle nominale) n'a en réalité aucun rapport avec la notion de « taille » et n'est utilisée qu'à des fins de classification qualitative afin de distinguer un objet d'un autre : le numéro d'un animal dans un groupe ou un code unique qui lui est attribué, etc. Ces variables ne peuvent être mesurées que comme appartenant à certaines classes significativement différentes ; cependant, vous ne pourrez pas commander ces cours. Par exemple, les individus appartiennent à différentes nationalités. Des exemples typiques de variables nominales sont le sexe, la nationalité, la couleur, la ville, etc. Les variables nominales sont souvent appelées catégorielles. Les variables catégorielles sont souvent présentées comme des fréquences d'observations appartenant à des catégories et classes spécifiques. S'il n'y a que deux classes, alors la variable sera dite dichotomique. Par exemple, lors de l'étude de l'échantillon, il a été constaté que la première catégorie Sexe féminin 30 sujets souffrant d'hypertension artérielle ont été affectés à la deuxième catégorie Sexe masculin 25 sujets ont été classés comme souffrant d'hypertension artérielle. Les capacités de traitement des variables liées à l'échelle nominale sont très limitées. À proprement parler, seule une analyse fréquentielle de ces variables peut être réalisée. Par exemple, calculer la valeur moyenne d'une variable Sol , est complètement inutile.

Échelle ordinale(échelle de rangs) - une échelle par rapport aux valeurs dont on ne peut pas dire combien de fois la valeur mesurée est supérieure (inférieure) à une autre, ni combien elle est supérieure (inférieure). Une telle échelle organise uniquement les objets, en leur attribuant certains points (le résultat des mesures est un ordre lâche des objets). En même temps, il est indiqué lesquels d'entre eux ont plus ou moins la qualité exprimée par cette variable. Cependant, ils ne permettent pas de dire « combien de plus » ou « combien de moins ». Les variables ordinales sont parfois également appelées variables ordinales. Les numéros de maison dans la rue sont mesurés sur une échelle ordinale. Exemple typique la variable ordinale est le statut socio-économique de la famille. Pour les tailles de vêtements, l'échelle ordinale suivante est utilisée : S, M, L, XL, XXL, XXXL, XXXXL. L'échelle de dureté minérale de Mohs est également ordinale. Les échelles de force du vent de Beaufort et de tremblement de terre de Richter sont construites de la même manière. Les échelles d'ordre sont largement utilisées en pédagogie, en psychologie, en médecine et dans d'autres sciences qui ne sont pas aussi précises que, par exemple, la physique et la chimie. En particulier, l'échelle omniprésente notes scolaires en points (cinq points, douze points, etc.) peuvent être attribués à l'échelle de commande. Dans la recherche biomédicale, les échelles d’ordre se retrouvent partout et sont parfois très habilement masquées. Par exemple, un thrombotest est utilisé pour analyser la coagulation sanguine : 0 – pas de coagulation pendant le test, 1 – « fils faibles », 2 – caillot gélatineux, 3 – caillot facilement déformable, 4 – dense, élastique, 5 – dense, occupant tout le volume etc. Il est clair que les intervalles entre ces positions peu distinguables et très subjectives sont arbitraires. Dans ce cas, cela n’a aucun sens de comparer les valeurs moyennes de deux échantillons !! De nombreuses échelles similaires se retrouvent encore en toxicologie expérimentale, en chirurgie expérimentale et en morphologie expérimentale. Les échelles ordinales en médecine sont l'échelle des stades d'hypertension (selon Myasnikov), l'échelle des degrés d'insuffisance cardiaque (selon Strazhesko-Vasilenko-Lang), l'échelle de gravité insuffisance coronarienne(selon Fogelson), etc. Toutes ces échelles sont construites selon le schéma suivant : aucune maladie détectée ; premier stade de la maladie; deuxième étape ; troisième étape. Chaque étape a sa propre particularité caractéristiques médicales. Lors de la description des groupes de handicap, les nombres sont utilisés dans l'ordre inverse : le plus grave est le premier groupe de handicap, puis le deuxième, le plus léger est le troisième. En plus de l'analyse fréquentielle, les variables avec une échelle ordinale permettent également le calcul de certains caractéristiques statistiques, comme les médianes. Dans certains cas, il est possible de calculer la valeur moyenne. Pour comparer différents échantillons de variables liées à l'échelle ordinale, on peut utiliser des tests non paramétriques dont les formules opèrent sur des rangs.

Variables d'intervalle permettent non seulement d'organiser des objets de mesure, mais aussi d'exprimer et de comparer numériquement les différences entre eux. Par exemple, la température mesurée en degrés Fahrenheit ou Celsius forme une échelle d'intervalle. L'échelle Celsius, comme on le sait, a été établie comme suit : le point de congélation de l'eau a été pris à zéro, son point d'ébullition à 100 degrés et, par conséquent, l'intervalle de température entre la congélation et l'ébullition de l'eau a été divisé en 100 parties égales. Ici, l’affirmation selon laquelle une température de 40°C est deux fois plus élevée que 20°C sera incorrecte. L'échelle d'intervalle préserve le rapport des longueurs d'intervalle. Non seulement on peut dire qu’une température de 40°C est supérieure à une température de 30°C, mais aussi que l’augmentation de la température de 20°C à 40 degrés est le double de l’augmentation de la température de 30 à 40 degrés. Ces variables peuvent être traitées par n'importe quelle méthode statistique sans restrictions. Ainsi, par exemple, la valeur moyenne est pleine indicateur statistique pour caractériser de telles variables.

Échelles relationnelles presque toutes les grandeurs physiques sont mesurées : temps, dimensions linéaires, surfaces, volumes, courant, puissance, etc. C'est l'échelle la plus puissante. Cette échelle inclut toutes les variables d'intervalle qui ont un point zéro absolu. Dans la recherche médicale et biologique, une échelle de relations aura lieu, par exemple, lorsque l'on mesure le temps d'apparition d'un signe particulier après le début de l'exposition (seuil de temps, en secondes, minutes), l'intensité de l'impact avant l'exposition. apparition de tout signe (seuil de résistance aux chocs en volts, roentgens) etc.). Naturellement, l'échelle de rapport comprend toutes les données des études biochimiques et électrophysiologiques (concentrations de substances, tensions, indicateurs temporaires de l'électrocardiogramme, etc.). Cela inclut également, par exemple, le nombre de « tâches » correctement ou incorrectement complétées dans divers tests pour les études dans l'enseignement supérieur. activité nerveuse chez les animaux. Par exemple, la température Kelvin forme une échelle de rapport, et on peut affirmer qu'une température de 200 degrés est non seulement supérieure à 100 degrés, mais qu'elle est également deux fois plus chaude. Les échelles d'intervalle (telles que l'échelle Celsius) n'ont pas cette propriété d'échelle de rapport. Notez que la plupart des procédures statistiques ne font pas de distinction entre les propriétés des échelles d’intervalle et des échelles de ratio. Pour les deux dernières échelles, il est possible de calculer des indicateurs numériques tels que la valeur moyenne et l'écart type.

Regardons quelques autres exemples spécifiques variables dans recherche empirique. Laissez-les être codés comme suit :

Tableau 1.1

Types d'échelles

On voit que le codage des variables sol l'utilisation des chiffres 1 et 2 est absolument arbitraire, ils pourraient être échangés ou désignés par d'autres chiffres. Cela ne veut pas dire que les femmes sont un cran en dessous des hommes. Dans ce cas, on parle de variables liées à l'échelle nominale. La même situation s'applique à la variable état civil. Il existe également une correspondance entre les nombres et les catégories état civil n'a pas signification empirique. Mais contrairement au sexe, cette variable n’est pas dichotomique : elle comporte quatre chiffres de code au lieu de deux.

Variable fumeur trié par ordre d'importance de bas en haut : un fumeur modéré fume plus qu'un non-fumeur, et un gros fumeur fume plus qu'un fumeur modéré, etc. Ces variables sont sur une échelle ordinale. Cependant, la signification empirique de ces variables ne dépend pas de la différence entre des valeurs numériques adjacentes. Ainsi, même si la différence entre les numéros de code d'un non-fumeur, d'un petit fumeur et d'un gros fumeur est dans les deux cas égale à un, on ne peut pas dire que la différence réelle entre un non-fumeur, un fumeur occasionnel et un gros fumeur le fumeur c'est pareil. Pour cela, ces concepts sont trop vagues. Des exemples classiques de variables avec une échelle ordinale sont également des variables obtenues en regroupant des quantités en classes, telles que revenu mensuel dans notre exemple.

Examinons maintenant le quotient intellectuel (QI). Et ses valeurs absolues reflètent la relation ordinale entre les répondants, et la différence entre les deux valeurs a également une signification empirique. Par exemple, si le QI de Fedor est de 80, celui de Peter de 120 et celui d'Ivan de 160, nous pouvons dire que Peter, comparé à Fedor, est aussi intelligent qu'Ivan est comparé à Peter (à savoir, de 40 unités de QI). Cependant, sur la base du seul fait que le QI de Fedor est la moitié de celui d'Ivan, on ne peut pas conclure qu'Ivan est deux fois plus intelligent que Fedor. Ces variables appartiennent à l'échelle d'intervalle.

L'échelle statistique la plus élevée sur laquelle le rapport de deux valeurs acquiert également une signification empirique est l'échelle de rapport. Un exemple de variable liée à une telle échelle est l'âge : si Andrey a 30 ans et Alexey 60 ans, on peut dire qu'Alexey est deux fois plus vieux qu'Andrey. L'échelle de rapport est l'échelle de température Kelvin avec des températures nulles absolues.

En pratique, y compris lors du traitement des données dans le progiciel Statistica, la différence entre les variables liées à l'échelle d'intervalle et à l'échelle de ratio est généralement sans importance.

Vous pouvez toujours passer d’une échelle plus riche ou plus puissante à une échelle plus pauvre. Ainsi, les variables continues peuvent être catégorisées. Par exemple, continu variable aléatoire(NE) Hauteur peut être converti d'une échelle de ratio en une échelle ordinale avec des gradations : faible, moyenne, élevée.

Disons que l'ensemble de la plage de changements dans une variable d'intervalle a été divisé en une zone de valeurs élevées, moyennes et faibles et que chaque observation a été classée dans l'une des trois catégories. Cela signifie qu'un phénomène initialement décrit sur une échelle d'intervalle peut également être décrit sur une échelle de dénomination et, par conséquent, toutes les méthodes statistiques qui nécessitent l'utilisation de variables sur une échelle de dénomination peuvent être utilisées pour analyser ce phénomène. Mais il faut tenir compte du fait qu'en passant à une échelle de noms à partir d'échelles de plus ordre élevé, nous perdons certaines informations sur les observations. Les observations qui étaient différentes les unes des autres lorsqu'elles sont décrites sur une échelle d'intervalle peuvent être perçues comme identiques lorsqu'elles sont décrites sur une échelle de dénomination. Par conséquent, il est recommandé d’utiliser une échelle de dénomination uniquement lorsqu’il n’est pas possible d’utiliser une échelle d’ordre supérieur.

DANS analyse du système mettre en évidence la section « théorie de l'efficacité » associée à la détermination de la qualité des systèmes et des processus qui les mettent en œuvre. Théorie de l'efficacité - direction scientifique, dont l'objet d'étude est les questions d'évaluation quantitative de la qualité des caractéristiques et de l'efficacité de fonctionnement systèmes complexes.

L’évaluation de systèmes complexes peut être réalisée à différentes fins :

4) pour l'optimisation - choisir le meilleur algorithme parmi plusieurs qui mettent en œuvre une loi de fonctionnement du système ;

5) pour l'identification - déterminer le système dont la qualité correspond le plus à l'objet réel dans conditions données;

6) prendre des décisions sur la gestion du système.

Commun à tous tâches similaires est une approche basée sur le fait que les notions d'« évaluation » et d'« évaluation » sont considérées séparément et que l'évaluation se déroule en plusieurs étapes. Sous évaluation comprendre le résultat obtenu au cours d'un processus, qui est défini comme évaluation. Ceux. le terme « évaluation » est comparé au concept de « vérité » et au terme « évaluation » - « exactitude ». Une véritable évaluation ne peut être réalisée que grâce à un processus d’évaluation approprié. Cette position détermine la place de la théorie de l'efficacité dans les problèmes d'analyse des systèmes.

L’évaluation de systèmes complexes comporte quatre étapes.

Étape 1. Déterminer le but de l'évaluation. Il existe deux types d'objectifs : qualitatifs et quantitatifs, dont la réalisation s'exprime selon des échelles appropriées. La définition de l'objectif doit être effectuée par rapport au système dans lequel le système en question est un élément (sous-système).

Étape 2. Mesurer les propriétés des systèmes reconnus comme significatifs aux fins d'évaluation. Pour ce faire, des échelles appropriées pour mesurer les propriétés sont sélectionnées et toutes les propriétés étudiées des systèmes se voient attribuer une certaine valeur sur ces échelles.

Étape 3. Justification des préférences pour les critères de qualité et de performance des systèmes basés sur des propriétés mesurées à des échelles sélectionnées.

Étape 4. L'évaluation proprement dite. Tous les systèmes étudiés, considérés comme alternatifs, sont comparés selon des critères formulés et, en fonction des objectifs d'évaluation, sont classés, sélectionnés, optimisés, etc.

2.1.1. Notion d'échelle

L'évaluation repose sur le processus de comparaison des valeurs des caractéristiques qualitatives ou quantitatives du système étudié avec les valeurs des échelles correspondantes. L'étude des caractéristiques a conduit à la conclusion que toutes les échelles possibles appartiennent à l'un des nombreux types déterminés par la liste des opérations autorisées sur ces échelles.

Formellement, une échelle est un tuple de trois éléments , j, Y>, où X- objet réel, Oui- échelle, j- cartographie homomorphe X sur Oui.

DANS théorie moderne mesures définies :

X={x 1 ,X 2 ,…x je,…, xn,réception) - un système empirique avec une relation, incluant de nombreuses propriétés x je, sur lequel, conformément aux objectifs de mesure, un certain rapport est spécifié Rx. Pendant le processus de mesure, chaque propriété a besoin x jeÎ X correspondre au signe ou au numéro qui le caractérise. Si, par exemple, le but de la mesure est le choix, alors les éléments x je sont considérées comme des alternatives, et l'attitude réception vous permet de comparer ces alternatives ; Oui={j(x 1),…, j(x n), R y) un système de signes avec une relation, qui est le reflet du système empirique sous la forme d'un système figuratif ou numérique correspondant au système empirique mesuré ; jО Ф - cartographie homomorphe X sur Oui, établissant une correspondance entre X Et Oui Donc ( j(x 1),…, j(x n), R y}Î Ry seulement quand ( X 1 ,..., xp,) Î réception.

Le type d'échelle est déterminé par l'ensemble des transformations admissibles Ф .

Conformément aux définitions données, couvrant à la fois les échelles quantitatives et qualitatives, la mesure d'un système empirique X avec attitude réception consiste à définir le système de signalisation Oui avec attitude R, correspondant au système mesuré. Préférences réception sur un plateau X´ X en conséquence, les mesures sont traduites en relations signées (y compris quantitatives) Ry sur un plateau Oui´ Y.

2.1.2. Échelles de type nominal

L'échelle de qualité la plus faible est nominal (échelle de noms, échelle de classement), par lequel les objets ou leurs groupes indiscernables reçoivent un attribut. Le nom « nominal » s'explique par le fait qu'un tel signe ne donne rien noms associés objets. Les échelles de type nominal sont spécifiées par un ensemble de transformations biunivoques admissibles des valeurs d'échelle. Ces valeurs sont pour différents objets soit identique, soit différent ; plus aucune relation subtile entre les valeurs n'est enregistrée. La propriété principale de ces échelles est la préservation de relations d'égalité inchangées entre les éléments du système empirique dans des échelles équivalentes.

Des exemples de mesures dans le type nominal d'échelles incluent les numéros de voiture, les numéros de téléphone, les codes de ville, les personnes, les objets, etc. Le seul objectif De telles mesures révèlent des différences entre des objets de différentes classes. Si chaque classe est constituée d'un objet, une échelle de dénomination est utilisée pour distinguer les objets.

La figure 2.1 montre la mesure sur une échelle nominale d'objets représentant trois ensembles d'éléments A, B, C. Ici, le système empirique est représenté par quatre éléments : UNÎ A, bÎ B, (s, d) Système d'exploitation. Le système de signes est représenté par une échelle numérique de noms, comprenant les éléments 1, 2,..., n et préservant la relation d'égalité. Cartographie homomorphe φ attribue à chaque élément du système empirique un certain élément du système de signes. Les échelles nominales ont deux caractéristiques :

Tout traitement des résultats de mesure à une échelle nominale doit tenir compte de ces caractéristiques. Dans le cas contraire, des conclusions erronées pourraient être tirées concernant l'évaluation des systèmes qui ne correspondent pas à la réalité.

2.1.3. Balances de commande

L'échelle s'appelle rang (échelle de commande), si l'ensemble Ф est constitué de toutes les transformations admissibles croissantes de façon monotone des valeurs d'échelle.

Une telle transformation est appelée augmentation monotone φ (X), qui satisfait la condition : si X 1 > X 2, alors φ (X 1) > φ (X 2) pour toutes les valeurs d'échelle de la zone de définition. Le type ordinal des échelles permet non seulement de distinguer les objets, comme le type nominal, mais est également utilisé pour classer les objets en fonction de propriétés mesurées.

Situations d'utilisation de l'échelle de classement :

Il est nécessaire de disposer les objets dans le temps ou dans l’espace. En même temps, ils ne s'intéressent pas à comparer le degré d'expression d'aucune de leurs qualités, mais uniquement à la disposition spatiale ou temporelle relative des objets ;

Il est nécessaire de disposer les objets en fonction d'une certaine qualité, mais il n'est pas nécessaire de la mesurer avec précision ;

Toute qualité est en principe mesurable, mais en moment présent ne peut être mesuré pour des raisons pratiques ou théoriques.

Exemples d'échelles d'ordre : l'échelle de dureté minérale, proposée en 1811 par le scientifique allemand F. Mohs et encore répandue dans le domaine travail géologique; échelles de force du vent, de résistance aux séismes, qualités des marchandises commercialisées, échelles sociologiques, etc.

Toute échelle dérivée d'une échelle de commande S en utilisant une transformation arbitrairement croissante et monotone des valeurs d'échelle, sera également une échelle d'ordre exacte pour le système empirique original avec des relations.

2.1.4. Échelles d'intervalle

L'un des types d'échelles les plus importants est le type intervalles. Ce type contient des échelles uniques jusqu'à un ensemble de transformations linéaires positives admissibles de la forme φ (X) = hache + b, Où XÎ Oui Oui ; un > 0; b- n'importe quelle valeur.

La propriété principale de ces échelles est que les rapports d'intervalles dans des échelles équivalentes restent inchangés :

Exemples d'utilisation d'échelles d'intervalle :

1) Échelles de température. Le passage d'une échelle à une échelle équivalente, par exemple de l'échelle Celsius à l'échelle Fahrenheit, est précisé par une transformation linéaire des valeurs de l'échelle :
t°F = 1,8 t°C + 32.

2) Mesurer l'attribut « date de l'événement », puisque pour mesurer le temps sur une échelle spécifique, il faut fixer l'échelle et l'origine. Les calendriers grégorien et musulman sont deux instanciations d'échelles d'intervalles.

Lors du passage à des échelles équivalentes en utilisant transformations linéaires dans les échelles d'intervalle, il y a un changement à la fois dans l'origine (paramètre b), et l'échelle de mesure (paramètre UN).

Les échelles d'intervalle, comme les échelles nominales et ordinales, préservent la distinction et l'ordre des objets mesurés. Cependant, en plus de cela, ils préservent également la relation des distances entre paires d’objets. Enregistrer signifie que la distance entre X 1 et X 2 po K une fois plus de distance entre X 3 et X 4 et dans toute échelle équivalente, cette valeur (le rapport des différences dans les estimations numériques) sera conservée. Dans ce cas, les relations entre les estimations elles-mêmes ne sont pas conservées.

Dans la recherche sociologique, les échelles d'intervalle mesurent généralement les caractéristiques temporelles et spatiales des objets. Par exemple, les dates des événements, l'ancienneté, l'âge, le temps d'exécution des tâches, les différences de notes sur une échelle graphique, etc. Cependant, identifier directement les variables mesurées avec la propriété étudiée n’est pas si simple.

Erreur courante: Les propriétés mesurées sur une échelle d'intervalle sont considérées comme des indicateurs d'autres propriétés qui sont liées de manière monotone aux données.

Utilisé pour la mesure propriétés associées les échelles d'intervalle d'origine deviennent de simples échelles d'ordre. Ignorer ce fait conduit à des résultats incorrects.

2.1.5. Échelles d'attitude

Échelle de relation (similarité) est appelée une échelle si Ф est constitué de transformations de similarité j(x) = hache, une>0, où XÎ O- valeurs d'échelle du domaine de définition Oui ; UN - des chiffres réels. Dans les échelles de ratios, les ratios des estimations numériques des objets restent inchangés : .

Des exemples de mesures sur des échelles de rapport sont les mesures de la masse et de la longueur des objets. Lors de l'établissement de la masse, une grande variété d'estimations numériques sont utilisées : en mesurant en kilogrammes, nous obtenons une valeur numérique, lorsqu'il est mesuré en livres - un autre, etc. Cependant, quel que soit le système d'unités dans lequel la masse est mesurée, le rapport des masses de tous les objets est le même et ne change pas lors du passage d'un système numérique à un autre, équivalent. Mesurer des distances et des longueurs d'objets a la même propriété.

Les échelles de rapport reflètent les relations entre les propriétés des objets, c'est-à-dire combien de fois une propriété d'un objet dépasse la même propriété d'un autre objet.

Les échelles de rapport forment un sous-ensemble d'échelles d'intervalle en fixant la valeur zéro du paramètre b: b= 0. Cela correspond à la définition du point zéro de référence pour les valeurs d'échelle pour toutes les échelles de rapport. Le passage d'une échelle de relations à une autre échelle équivalente s'effectue à l'aide de transformations de similarité (étirement), c'est-à-dire changer l'échelle de mesure. Les échelles de rapport, étant un cas particulier des échelles d'intervalles, lors du choix d'un point de référence zéro, préservent non seulement les relations des propriétés des objets, mais également les relations de distances entre paires d'objets.

2.1.6. Échelles de différence

Échelles de différence sont définis comme des échelles uniques jusqu'aux transformations de décalage φ (X) = x + b, Où XÎ Oui valeurs d'échelle du domaine de définition Oui ; b-nombres réels. Ceux. Lorsqu'on passe d'un système numérique à un autre, seul le point de départ change. Les échelles de différence sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de mesurer dans quelle mesure un objet est supérieur en une certaine propriété un autre objet. Dans les échelles de différence, les différences dans les estimations numériques des propriétés restent inchangées : φ (X 1) - φ (X 2) = X 1 - X 2 .

Exemples de mesures en échelles différentielles :

3) Mesurer l'augmentation de la production de l'entreprise (en unités absolues) au cours de l'année en cours par rapport à l'année précédente ;

4) Augmentation du nombre d'établissements, du nombre d'équipements achetés par an, etc.

5) Calcul des années (en années). Le passage d'une chronologie à une autre s'effectue en changeant le point de départ.

Les échelles de différence sont un cas particulier d'échelles d'intervalle obtenues en fixant le paramètre UN: (UN= 1), c'est-à-dire choisir une unité d’échelle de mesure. Le point de départ des échelles de différence peut être arbitraire. Les échelles de différence préservent le rapport des intervalles entre les estimations de paires d'objets, mais, contrairement à l'échelle de rapport, elles ne préservent pas le rapport des évaluations des propriétés des objets.

2.1.7. Échelles absolues

Absolu sont appelées échelles dans lesquelles les seules transformations admissibles Φ sont des transformations identiques : φ (X) = {e), Où e(x) = x.

Cela signifie qu’il n’existe qu’une seule cartographie d’objets empiriques dans un système numérique. Le caractère unique de la mesure s’entend au sens littéral et absolu.

Les échelles absolues sont utilisées, par exemple, pour mesurer le nombre d'objets, d'objets, d'événements, de décisions, etc. Les nombres naturels sont utilisés comme valeurs d'échelle lors de la mesure du nombre d'objets lorsque les objets sont représentés par des unités entières, et des nombres réels si, en plus des unités entières, des parties d'objets sont également présentes.

Les échelles absolues sont un cas particulier de tous les types d'échelles précédemment considérés, elles préservent donc toute relation entre les nombres d'estimations des propriétés mesurées des objets : différence, ordre, rapport d'intervalles, rapport et différence de valeurs, etc.

En plus de celles indiquées, il existe des types d'échelles intermédiaires, par exemple l'échelle de puissance φ(x)= ah b ; UN>0, b>0, UN#1, b N°1, et sa variante d'échelle logarithmique φ(x)= xb; b>0, b#1.

Pour plus de clarté, décrivons les relations entre les principaux types d'échelles sous la forme structure hiérarchique principales échelles (Fig. 2.2). Les flèches indiquent l'inclusion d'ensembles de transformations admissibles allant des types d'échelles les plus « forts » aux moins « forts ». De plus, l’échelle est d’autant plus « forte » qu’il y a moins de liberté de choix φ(x). Certaines échelles sont isomorphes, c'est-à-dire équivalent. Par exemple, l'échelle d'intervalle et l'échelle de puissance sont équivalentes. Échelle logarithmique est équivalent à l’échelle de différence et à l’échelle de rapport.