L'équation est expression mathématique, qui est une égalité contenant une inconnue. Si une égalité est vraie pour toutes les valeurs admissibles des inconnues qui y sont incluses, alors on l'appelle une identité ; par exemple : une relation de la forme (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) est valable pour toutes les valeurs de x.
Si une équation contenant un x inconnu n'est valable que pour certaines valeurs de x et non pour toutes les valeurs de x, comme dans le cas d'une identité, alors il peut être utile de déterminer les valeurs de x pour lesquelles le l’équation est valide. De telles valeurs de x sont appelées racines ou solutions de l'équation. Par exemple, le nombre 5 est la racine de l’équation 2x + 7= 17.
Dans la branche des mathématiques appelée théorie des équations, le principal sujet d’étude concerne les méthodes de résolution d’équations. DANS cours scolaire Les équations algébriques reçoivent beaucoup d’attention.
L'histoire de l'étude des équations remonte à plusieurs siècles. Le plus mathématiciens célèbres qui ont contribué au développement de la théorie des équations étaient :
Archimède (vers 287-212 avant JC) était un scientifique, mathématicien et mécanicien grec ancien. Lorsqu'on étudie un problème, ce qui se réduit à équation cubique, Archimède découvre le rôle de la caractéristique, que l'on appellera plus tard le discriminant.
François Viet a vécu au XVIe siècle. Il a apporté de grandes contributions à l'étude de divers problèmes mathématiques. Il a notamment présenté désignations de lettres coefficients de l'équation et établi le lien entre les racines de l'équation quadratique.
Leonhard Euler (1707 – 1783) - mathématicien, mécanicien, physicien et astronome. Auteur de St. 800 ouvrages sur l'analyse mathématique, équations différentielles, géométrie, théorie des nombres, calculs approximatifs, mécanique céleste, mathématiques, optique, balistique, construction navale, solfège, etc. Il a eu une influence significative sur le développement de la science. Il a dérivé des formules (formules d'Euler) exprimant fonctions trigonométriques variable x via une fonction exponentielle.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), mathématicien français et mécanicien. Il a mené des recherches remarquables, notamment sur l'algèbre (fonction symétrique des racines d'une équation), sur les équations différentielles (théorie solutions spéciales, méthode de variation des constantes).
J. Lagrange et A. Vandermonde sont des mathématiciens français. En 1771, une méthode de résolution de systèmes d'équations (la méthode de substitution) a été utilisée pour la première fois.
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - mathématicien allemand. Il a écrit un livre qui décrit la théorie des équations pour diviser un cercle (c'est-à-dire les équations xn - 1 = 0), qui, à bien des égards, était un prototype de la théorie de Galois. En plus méthodes courantes solutions de ces équations, a établi un lien entre elles et la construction polygones réguliers. Pour la première fois depuis les scientifiques grecs antiques, il a fait un pas en avant significatif dans ce domaine, à savoir : il a trouvé toutes ces valeurs de n pour lesquelles un n-gon régulier peut être construit avec un compas et une règle. J'ai étudié la méthode d'addition. J'en ai conclu que les systèmes d'équations peuvent être additionnés, divisés et multipliés.
O. I. Somov - a enrichi diverses parties des mathématiques avec des ouvrages importants et nombreux, parmi lesquels la théorie de certaines équations algébriques diplômes supérieurs.
Galois Evariste (1811-1832) - mathématicien français. Son principal mérite est la formulation d'un ensemble d'idées auxquelles il est parvenu dans le cadre de la poursuite des recherches sur la solvabilité des équations algébriques, commencées par J. Lagrange, N. Abel et d'autres, et a créé la théorie des équations algébriques de diplômes supérieurs avec une inconnue.
A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Son œuvre est associée méthodes géométriques Avec méthodes analytiques théorie des équations aux dérivées partielles. Ses travaux ont également eu un impact significatif sur la théorie des équations différentielles non linéaires.
P. Ruffini - mathématicien italien. Il a consacré de nombreux travaux à prouver l'insolvabilité des équations de degré 5, en utilisant systématiquement la fermeture de l'ensemble des substitutions.
Malgré le fait que les scientifiques étudient les équations depuis longtemps, la science ne sait pas comment et quand les gens ont besoin d'utiliser des équations. On sait seulement que les hommes résolvent des problèmes menant à la solution des équations les plus simples depuis qu’ils sont devenus humains. Encore 3 à 4 mille ans avant JC. e. Les Égyptiens et les Babyloniens savaient résoudre des équations. La règle pour résoudre ces équations coïncide avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment elles y sont arrivées.
DANS Egypte ancienne et Babylone, la méthode de la fausse position a été utilisée. Une équation du premier degré à une inconnue peut toujours se réduire à la forme ax + b = c, dans laquelle a, b, c sont des nombres entiers. Selon les règles opérations arithmétiques hache = c - b,
Si b > c, alors c b est un nombre négatif. Les nombres négatifs étaient inconnus des Égyptiens et de nombreux autres peuples ultérieurs (ainsi que nombres positifs ils n'ont commencé à être utilisés en mathématiques qu'au XVIIe siècle). Pour résoudre des problèmes que l’on résout aujourd’hui avec des équations du premier degré, la méthode des fausses positions a été inventée. Dans le papyrus Ahmes, 15 problèmes sont résolus par cette méthode. Les Egyptiens avaient signe spécial pour indiquer date inconnue, qui jusqu'à un passé récent était lu « comment » et traduit par le mot « tas » (« tas » ou « nombre inconnu » d'unités). Maintenant, ils lisent un peu moins inexactement : « ouais ». La méthode de résolution utilisée par Ahmes est appelée la méthode d’une fausse position. En utilisant cette méthode, des équations de la forme ax = b sont résolues. Cette méthode consiste à diviser chaque côté de l’équation par a. Il était utilisé aussi bien par les Égyptiens que par les Babyloniens. U différentes nations La méthode des deux fausses positions a été utilisée. Les Arabes ont mécanisé cette méthode et ont obtenu la forme sous laquelle elle est passée dans les manuels scolaires. peuples européens, y compris l’arithmétique de Magnitski. Magnitsky qualifie la solution de « fausse règle » et écrit dans la partie de son livre décrivant cette méthode :
Cette partie est très astucieuse, car on peut tout mettre avec. Non seulement ce qu'il y a dans la citoyenneté, mais aussi sciences supérieures dans l'espace, comme ils sont comptés dans la sphère du ciel, comme les sages ont des besoins.
Le contenu des poèmes de Magnitski peut être brièvement résumé ainsi : cette partie de l'arithmétique est très délicate. Avec son aide, vous pouvez non seulement calculer ce qui est nécessaire dans la pratique quotidienne, mais également résoudre les questions « supérieures » auxquelles sont confrontés les « sages ». Magnitski utilise la « fausse règle » sous la forme que lui ont donnée les Arabes, l'appelant « l'arithmétique de deux erreurs » ou la « méthode des échelles ». Les mathématiciens indiens posaient souvent des problèmes en vers. Problème Lotus :
Au-dessus du lac tranquille, à une demi-mesure au-dessus de l'eau, la couleur du lotus était visible. Il a grandi seul, et le vent, comme une vague, l'a plié sur le côté, et non plus
Fleur au-dessus de l'eau. L'œil du pêcheur l'a trouvé à deux mètres de l'endroit où il a grandi. Quelle est la profondeur de l'eau du lac ici ? Je vais vous poser une question.
Types d'équations
Les équations linéaires sont des équations de la forme : ax + b = 0, où a et b sont des constantes. Si a n'est pas égal à zéro, alors l'équation a une seule racine : x = - b : a (ax + b ; ax = - b ; x = - b : a.).
Par exemple : résolvez l’équation linéaire : 4x + 12 = 0.
Solution : Puisque a = 4 et b = 12, alors x = - 12 : 4 ; x = - 3.
Vérifiez : 4 (- 3) + 12 = 0 ; 0 = 0.
Puisque 0 = 0, alors -3 est la racine de l'équation d'origine.
Répondre. x = -3
Si a est égal à zéro et b est égal à zéro, alors la racine de l'équation ax + b = 0 est n'importe quel nombre.
Par exemple:
0 = 0. Puisque 0 est égal à 0, alors la racine de l'équation 0x + 0 = 0 est n'importe quel nombre.
Si a est égal à zéro et b n’est pas égal à zéro, alors l’équation ax + b = 0 n’a pas de racine.
Par exemple:
0 = 6. Puisque 0 n’est pas égal à 6, alors 0x – 6 = 0 n’a pas de racine.
Systèmes d'équations linéaires.
Un système d'équations linéaires est un système dans lequel toutes les équations sont linéaires.
Résoudre un système signifie trouver toutes ses solutions.
Avant de résoudre un système d’équations linéaires, vous pouvez déterminer le nombre de ses solutions.
Soit le système d'équations : (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Si a1 divisé par a2 n’est pas égal à b1 divisé par b2, alors le système a une solution unique.
Si a1 divisé par a2 est égal à b1 divisé par b2, mais égal à c1 divisé par c2, alors le système n’a pas de solutions.
Si a1 divisé par a2 est égal à b1 divisé par b2 et égal à c1 divisé par c2, alors le système a une infinité de solutions.
Un système d’équations qui a au moins une solution est appelé simultané.
Un système commun est dit défini s'il a numéro final solutions, et indéfini si l'ensemble de ses solutions est infini.
Un système qui n’a pas de solution unique est dit incohérent ou contradictoire.
Méthodes de résolution d'équations linéaires
Il existe plusieurs façons de résoudre des équations linéaires :
1) Méthode de sélection. C'est le plus la manière la plus simple. Cela réside dans le fait que tout le monde est sélectionné valeurs valides inconnu par dénombrement.
Par exemple:
Résolvez l’équation.
Soit x = 1. Alors
4 = 6. Puisque 4 n’est pas égal à 6, notre hypothèse selon laquelle x = 1 était incorrecte.
Soit x = 2.
6 = 6. Puisque 6 est égal à 6, alors notre hypothèse selon laquelle x = 2 était correcte.
Réponse : x = 2.
2) Méthode de simplification
Cette méthode consiste à transférer tous les termes contenant l'inconnu vers côté gauche, et les connus à droite avec signe opposé, donnez-en des similaires et divisez les deux côtés de l'équation par le coefficient de l'inconnue.
Par exemple:
Résolvez l’équation.
5x – 4 = 11 + 2x ;
5x – 2x = 11 + 4 ;
3x = 15 ; : (3) x = 5.
Répondre. x = 5.
3) Méthode graphique.
Cela consiste à construire un graphe de fonctions équation donnée. Puisque dans une équation linéaire y = 0, le graphique sera parallèle à l'ordonnée. Le point d'intersection du graphique avec l'axe des x sera la solution de cette équation.
Par exemple:
Résolvez l’équation.
Soit y = 7. Alors y = 2x + 3.
Traçons les fonctions des deux équations :
Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires
En septième année, ils étudient trois façons de résoudre des systèmes d’équations :
1) Méthode de substitution.
Cette méthode consiste à exprimer une inconnue par une autre dans l'une des équations. L'expression résultante est remplacée par une autre équation, qui se transforme ensuite en une équation à une inconnue, puis elle est résolue. La valeur résultante de cette inconnue est substituée dans n'importe quelle équation du système d'origine et la valeur de la deuxième inconnue est trouvée.
Par exemple.
Résolvez le système d’équations.
5x - 2 ans - 2 = 1.
3x + y = 4 ; y = 4 - 3x.
Remplaçons l'expression résultante dans une autre équation :
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1 ;
5x – 8 + 6x = 1 + 2 ;
11x = 11 ; : (11) x = 1.
Remplaçons la valeur résultante dans l'équation 3x + y = 4.
3 1 + y = 4 ;
3 + y = 4 ; y = 4 – 3 ; y = 1.
Examen.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1 ;
Réponse : x = 1 ; y = 1.
2) Méthode d'addition.
Cette méthode est que si ce système se compose d'équations qui, ajoutées terme par terme, forment une équation à une inconnue, puis en résolvant cette équation, on obtient la valeur d'une des inconnues. La valeur résultante de cette inconnue est substituée dans n'importe quelle équation du système d'origine et la valeur de la deuxième inconnue est trouvée.
Par exemple:
Résolvez le système d’équations.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3a = 4.
Résolvons l'équation résultante.
3x = 9 ; : (3) x = 3.
Remplaçons la valeur résultante dans l'équation 3y – 2x = 5.
3у – 2 3 = 5 ;
3у = 11 ; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Donc x = 3 ; y = 3 2/3.
Examen.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Répondre. x = 3 ; y = 3 2/3
3) Méthode graphique.
Cette méthode est basée sur le fait que les équations sont tracées dans un seul système de coordonnées. Si les graphiques d’une équation se croisent, alors les coordonnées du point d’intersection sont la solution de ce système. Si les graphiques de l’équation sont des droites parallèles, alors ce système n’a pas de solutions. Si les graphiques des équations fusionnent en une seule ligne droite, alors le système a une infinité de solutions.
Par exemple.
Résolvez le système d’équations.
18x + 3 ans - 1 = 8.
2x - y = 5 ; 18x + 3 ans - 1 = 8 ;
Y = 5 - 2x ; 3 ans = 9 - 18x ; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Construisons des graphiques des fonctions y = 2x - 5 et y = 3 - 6x sur le même système de coordonnées.
Les graphiques des fonctions y = 2x - 5 et y = 3 - 6x se coupent au point A (1 ; -3).
Par conséquent, la solution de ce système d’équations sera x = 1 et y = -3.
Examen.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Répondre. x = 1 ; y = -3.
Conclusion
Sur la base de tout ce qui précède, nous pouvons conclure que les équations sont nécessaires dans monde moderne non seulement pour résoudre problèmes pratiques, mais aussi comme outil scientifique. C’est pourquoi tant de scientifiques ont étudié cette question et continuent de l’étudier.
52. Plus exemples complexeséquations.
Exemple 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Le dénominateur commun est x 2 – 1, puisque x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Multipliez les deux côtés de cette équation par x 2 – 1. Nous obtenons :
ou, après réduction,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 et x = 3½
Considérons une autre équation :
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)
En résolvant comme ci-dessus, on obtient :
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ou 2x = 2 et x = 1.
Voyons si nos égalités sont justifiées si nous remplaçons x dans chacune des équations considérées par le nombre trouvé.
Pour le premier exemple, nous obtenons :
On voit qu'il n'y a aucun doute : nous avons trouvé pour x un nombre tel que l'égalité recherchée est justifiée.
Pour le deuxième exemple, nous obtenons :
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ou 5/0 – 3/2 = 15/0
Ici, des doutes surgissent : nous sommes confrontés à une division par zéro, ce qui est impossible. Si à l’avenir nous parvenons à donner un certain sens, quoique indirect, à cette division, alors nous pouvons convenir que la solution trouvée x – 1 satisfait notre équation. D’ici là, nous devons admettre que notre équation n’a pas de solution ayant un sens direct.
De tels cas peuvent se produire lorsque l'inconnue est d'une manière ou d'une autre incluse dans les dénominateurs des fractions présentes dans l'équation, et certains de ces dénominateurs, lorsque la solution est trouvée, se tournent vers zéro.
Exemple 2.
On voit tout de suite que cette équation a la forme d'une proportion : le rapport du nombre x + 3 au nombre x – 1 est égal au rapport du nombre 2x + 3 au nombre 2x – 2. Que quelqu'un, dans Compte tenu de cette circonstance, décidons d'appliquer ici pour libérer l'équation des fractions, la propriété principale de la proportion (le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens). Il obtiendra alors :
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Ici, la crainte que nous ne puissions pas résoudre cette équation peut être soulevée par le fait que l'équation inclut des termes avec x 2. Cependant, nous pouvons soustraire 2x 2 des deux côtés de l’équation – cela ne brisera pas l’équation ; alors les termes avec x 2 seront détruits, et nous obtiendrons :
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Déplaçons les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite - nous obtenons :
3x = 3 ou x = 1
Se souvenir de cette équation
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
On remarquera immédiatement que la valeur trouvée pour x (x = 1) fait disparaître les dénominateurs de chaque fraction ; Il faudra abandonner une telle solution jusqu'à ce que l'on ait examiné la question de la division par zéro.
Si l'on constate aussi que l'application de la propriété de proportion a compliqué les choses et qu'une équation plus simple pourrait être obtenue en multipliant les deux côtés de ce qui est donné par un dénominateur commun, à savoir 2(x – 1) - après tout, 2x – 2 = 2 (x – 1) , alors on obtient :
2(x + 3) = 2x – 3 ou 2x + 6 = 2x – 3 ou 6 = –3,
ce qui est impossible.
Cette circonstance indique que cette équation n'a pas de solutions ayant une signification directe qui ne ramènerait pas les dénominateurs de cette équation à zéro.
Résolvons maintenant l'équation :
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Multiplions les deux côtés de l'équation 2(x – 1), c'est-à-dire par un dénominateur commun, nous obtenons :
6x + 10 = 2x + 18
La solution trouvée ne fait pas disparaître le dénominateur et a une signification directe :
ou 11 = 11
Si quelqu’un, au lieu de multiplier les deux parties par 2(x – 1), utilisait la propriété de proportion, il obtiendrait :
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) ou
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Ici les termes avec x 2 ne seraient pas détruits. En déplaçant tous les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite, nous obtiendrions
4x 2 – 12x = –8
x2 – 3x = –2
Nous ne pourrons plus résoudre cette équation. À l’avenir, nous apprendrons comment résoudre de telles équations et trouver deux solutions : 1) vous pouvez prendre x = 2 et 2) vous pouvez prendre x = 1. Il est facile de vérifier les deux solutions :
1) 2 2 – 3 2 = –2 et 2) 1 2 – 3 1 = –2
Si l'on se souvient de l'équation initiale
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
alors nous verrons que maintenant nous obtenons ses deux solutions : 1) x = 2 est la solution qui a une signification directe et ne met pas le dénominateur à zéro, 2) x = 1 est la solution qui met le dénominateur à zéro et n'a pas de signification directe.
Exemple 3.
Trouvons le dénominateur commun des fractions incluses dans cette équation en factorisant chacun des dénominateurs :
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Le dénominateur commun est (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Multiplions les deux côtés de cette équation (et nous pouvons maintenant la réécrire comme suit :
par un dénominateur commun (x – 3) (x – 2) (x + 1). Ensuite, après avoir réduit chaque fraction, nous obtenons :
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ou
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
De là, nous obtenons :
–x = –13 et x = 13.
Cette solution a un sens direct : elle ne fait disparaître aucun des dénominateurs.
Si on prend l'équation :
alors, en faisant exactement la même chose que ci-dessus, nous obtiendrions
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
d'où tu le trouverais ?
ce qui est impossible. Cette circonstance montre qu'il est impossible de trouver une solution à la dernière équation qui a une signification directe.
Et etc., il est logique de se familiariser avec des équations d'autres types. Les prochains en ligne sont équations linéaires, dont l'étude ciblée commence dans les cours d'algèbre en 7e année.
Il est clair qu'il faut d'abord expliquer ce qu'est une équation linéaire, donner une définition d'une équation linéaire, ses coefficients, la montrer vue générale. Ensuite, vous pouvez déterminer combien de solutions une équation linéaire a en fonction des valeurs des coefficients et comment les racines sont trouvées. Cela vous permettra de passer à la résolution d'exemples, et ainsi de consolider la théorie apprise. Dans cet article, nous ferons ceci : nous nous attarderons en détail sur tous les points théoriques et pratiques relatifs aux équations linéaires et à leurs solutions.
Disons tout de suite qu'ici nous ne considérerons que les équations linéaires à une variable, et dans un article séparé nous étudierons les principes de solution équations linéaires à deux variables.
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Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
La définition d’une équation linéaire est donnée par la manière dont elle s’écrit. De plus, dans différents manuels Les formulations mathématiques et algébriques des définitions d'équations linéaires présentent certaines différences qui n'affectent pas l'essence du problème.
Par exemple, dans le manuel d'algèbre pour la 7e année de Yu N. Makarychev et al., une équation linéaire est définie comme suit :
Définition.
Équation de la forme une x = b, où x est une variable, a et b sont des nombres, est appelé équation linéaire à une variable.
Donnons des exemples d'équations linéaires qui répondent à la définition énoncée. Par exemple, 5 x = 10 est une équation linéaire avec une variable x, ici le coefficient a est 5 et le nombre b est 10. Autre exemple : −2,3·y=0 est aussi une équation linéaire, mais avec une variable y, dans laquelle a=−2,3 et b=0. Et dans les équations linéaires x=−2 et −x=3,33 a ne sont pas présents explicitement et sont égaux respectivement à 1 et −1, tandis que dans la première équation b=−2, et dans la seconde - b=3,33.
Et un an plus tôt, dans le manuel de mathématiques de N. Ya Vilenkin, les équations linéaires à une inconnue, en plus des équations de la forme a x = b, considéraient également des équations qui peuvent être amenées à cette forme en transférant des termes d'une partie. de l’équation à une autre de signe opposé, ainsi qu’en réduisant les termes similaires. D'après cette définition, les équations de la forme 5 x = 2 x + 6, etc. également linéaire.
À son tour, dans le manuel d'algèbre pour la 7e année d'A. G. Mordkovich, la définition suivante est donnée :
Définition.
Équation linéaire avec une variable x est une équation de la forme a·x+b=0, où a et b sont des nombres appelés coefficients de l'équation linéaire.
Par exemple, les équations linéaires de ce type sont 2 x−12=0, ici le coefficient a est 2, et b est égal à −12, et 0,2 y+4,6=0 avec les coefficients a=0,2 et b =4,6. Mais en même temps, il existe des exemples d'équations linéaires qui ont la forme non pas a·x+b=0, mais a·x=b, par exemple 3·x=12.
Pour éviter les divergences à l'avenir, par une équation linéaire avec une variable x et des coefficients a et b, nous comprendrons une équation de la forme a x + b = 0. Ce type d'équation linéaire semble être le plus justifié, puisque les équations linéaires sont équations algébriques premier degré. Et toutes les autres équations mentionnées ci-dessus, ainsi que les équations qui, en utilisant transformations équivalentes se réduisent à la forme a·x+b=0 , on appellera équations qui se réduisent à des équations linéaires. Avec cette approche, l'équation 2 x+6=0 est une équation linéaire, et 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, etc. - Ce sont des équations qui se réduisent à des équations linéaires.
Comment résoudre des équations linéaires ?
Il est maintenant temps de comprendre comment les équations linéaires a·x+b=0 sont résolues. En d’autres termes, il est temps de découvrir si une équation linéaire a des racines, et si oui, combien d’entre elles et comment les trouver.
La présence de racines d'une équation linéaire dépend des valeurs des coefficients a et b. Dans ce cas, l’équation linéaire a x+b=0 a
- la seule racine de a≠0,
- n'a pas de racines pour a=0 et b≠0,
- a une infinité de racines pour a=0 et b=0, auquel cas tout nombre est la racine d’une équation linéaire.
Expliquons comment ces résultats ont été obtenus.
Nous savons que pour résoudre des équations, nous pouvons passer de l’équation originale à des équations équivalentes, c’est-à-dire à des équations avec les mêmes racines ou, comme celle d’origine, sans racines. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les transformations équivalentes suivantes :
- transférer un terme d'une partie de l'équation à une autre de signe opposé,
- ainsi que multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre non nul.
Donc, dans une équation linéaire avec un variable de la forme a x+b=0 nous pouvons déplacer le terme b du côté gauche vers côté droit avec le signe opposé. Dans ce cas, l'équation prendra la forme a·x=−b.
Et puis se pose la question de diviser les deux côtés de l’équation par le nombre a. Mais il y a une chose : le nombre a peut être égal à zéro, auquel cas une telle division est impossible. Pour résoudre ce problème, nous supposerons d’abord que le nombre a est non nul, et nous considérerons séparément le cas où a étant égal à zéro un peu plus tard.
Ainsi, lorsque a n'est pas égal à zéro, alors nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation a·x=−b par a, après quoi elle se transformera sous la forme x=(−b) :a, ce résultat peut s'écrire en utilisant la barre oblique fractionnaire comme.
Ainsi, pour a≠0, l'équation linéaire a·x+b=0 est équivalente à l'équation dont sa racine est visible.
Il est facile de montrer que cette racine est unique, c’est-à-dire que l’équation linéaire n’a pas d’autres racines. Cela vous permet de faire la méthode inverse.
Notons la racine par x 1. Supposons qu'il existe une autre racine de l'équation linéaire, que nous notons x 2, et x 2 ≠x 1, qui, en raison de définitions nombres égauxà travers la différence est équivalent à la condition x 1 −x 2 ≠0. Puisque x 1 et x 2 sont des racines de l'équation linéaire a·x+b=0, alors les égalités numériques a·x 1 +b=0 et a·x 2 +b=0 sont valables. On peut soustraire les parties correspondantes de ces égalités, ce que les propriétés des égalités numériques nous permettent de faire, on a a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, d'où a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 et alors a·(x 1 −x 2)=0 . Mais cette égalité est impossible, puisque a≠0 et x 1 − x 2 ≠0. Nous sommes donc arrivés à une contradiction qui prouve l’unicité de la racine de l’équation linéaire a·x+b=0 pour a≠0.
Nous avons donc résolu l'équation linéaire a·x+b=0 pour a≠0. Le premier résultat donné au début de ce paragraphe est justifié. Il en reste deux autres qui remplissent la condition a=0.
Lorsque a=0, l'équation linéaire a·x+b=0 prend la forme 0·x+b=0. De cette équation et de la propriété de multiplier les nombres par zéro, il s'ensuit que quel que soit le nombre que nous prenons comme x, lorsqu'il est substitué dans l'équation 0 x + b=0, l'égalité numérique b=0 sera obtenue. Cette égalité est vraie lorsque b=0, et dans les autres cas lorsque b≠0 cette égalité est fausse.
Par conséquent, avec a=0 et b=0, n'importe quel nombre est la racine de l'équation linéaire a·x+b=0, puisque dans ces conditions, substituer n'importe quel nombre à x donne l'égalité numérique correcte 0=0. Et lorsque a=0 et b≠0, l'équation linéaire a·x+b=0 n'a pas de racine, puisque dans ces conditions, substituer n'importe quel nombre à x conduit à l'égalité numérique incorrecte b=0.
Les justifications données nous permettent de formuler une séquence d'actions qui nous permet de résoudre n'importe quelle équation linéaire. Donc, algorithme pour résoudre une équation linéaire est:
- Tout d'abord, en écrivant l'équation linéaire, on retrouve les valeurs des coefficients a et b.
- Si a=0 et b=0, alors cette équation a une infinité de racines, à savoir, tout nombre est une racine de cette équation linéaire.
- Si a est différent de zéro, alors
- le coefficient b est transféré du côté droit avec le signe opposé, et l'équation linéaire est transformée sous la forme a·x=−b,
- après quoi les deux côtés de l'équation résultante sont divisés par un nombre non nul a, ce qui donne la racine souhaitée de l'équation linéaire d'origine.
L'algorithme écrit est une réponse complète à la question de savoir comment résoudre des équations linéaires.
En conclusion de ce point, il convient de dire qu’un algorithme similaire est utilisé pour résoudre des équations de la forme a·x=b. Sa différence est que lorsque a≠0, les deux côtés de l'équation sont immédiatement divisés par ce nombre ; ici b est déjà dans la partie requise de l'équation et il n'est pas nécessaire de la transférer.
Pour résoudre des équations de la forme a x = b, l'algorithme suivant est utilisé :
- Si a=0 et b=0, alors l’équation a une infinité de racines, qui sont des nombres quelconques.
- Si a=0 et b≠0 , alors équation originale n'a pas de racines.
- Si a est non nul, alors les deux côtés de l’équation sont divisés par un nombre non nul a, à partir duquel est trouvée la seule racine de l’équation, égale à b/a.
Exemples de résolution d'équations linéaires
Passons à la pratique. Voyons comment l'algorithme de résolution d'équations linéaires est utilisé. Voici les solutions exemples typiques, correspondant différentes significations coefficients d'équations linéaires.
Exemple.
Résolvez l'équation linéaire 0·x−0=0.
Solution.
Dans cette équation linéaire, a=0 et b=−0 , ce qui équivaut à b=0 . Par conséquent, cette équation a une infinité de racines ; tout nombre est une racine de cette équation.
Répondre:
x – n’importe quel nombre.
Exemple.
L'équation linéaire 0 x + 2,7 = 0 a-t-elle des solutions ?
Solution.
DANS dans ce cas coefficient a égal à zéro, et le coefficient b de cette équation linéaire est égal à 2,7, c'est-à-dire différent de zéro. Une équation linéaire n’a donc pas de racines.
Équations linéaires. Solution, exemples.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Équations linéaires.
Les équations linéaires ne sont pas les plus sujet complexe mathématiques scolaires. Mais il existe quelques astuces qui peuvent dérouter même un étudiant qualifié. Voyons ça ?)
Généralement, une équation linéaire est définie comme une équation de la forme :
hache + b = 0 Où un et b– n'importe quel nombre.
2x + 7 = 0. Ici une = 2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Ici une = 0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Ici une = 12, b=1/2
Rien de compliqué, non ? Surtout si vous ne remarquez pas les mots : "où a et b sont des nombres quelconques"... Et si vous le remarquiez et y réfléchissez négligemment ?) Après tout, si une = 0, b=0(des nombres sont possibles ?), alors on obtient une drôle d'expression :
Mais ce n'est pas tout ! Si, disons, une = 0, UN b=5, Cela s’avère être quelque chose de complètement hors du commun :
Ce qui est énervant et mine la confiance en mathématiques, oui...) Surtout lors des examens. Mais parmi ces expressions étranges, il faut aussi trouver X ! Ce qui n'existe pas du tout. Et, étonnamment, ce X est très facile à trouver. Nous apprendrons à le faire. Dans cette leçon.
Comment reconnaître une équation linéaire à son apparence ? Cela dépend de quoi apparence.) L’astuce est que les équations linéaires ne sont pas seulement des équations de la forme hache + b = 0 , mais aussi toutes les équations pouvant être réduites à cette forme par transformations et simplifications. Et qui sait si ça descend ou pas ?)
Une équation linéaire peut être clairement reconnue dans certains cas. Disons que nous avons une équation dans laquelle il n'y a que des inconnues au premier degré et des nombres. Et dans l'équation il n'y a pas fractions divisées par inconnu , c'est important ! Et division par nombre, ou une fraction numérique - c'est le bienvenu ! Par exemple:
Il s'agit d'une équation linéaire. Il y a des fractions ici, mais il n'y a pas de x dans le carré, le cube, etc., ni de x dans les dénominateurs, c'est-à-dire Non division par x. Et voici l'équation
ne peut pas être qualifié de linéaire. Ici les X sont tous au premier degré, mais il y a division par expression avec x. Après simplifications et transformations, vous pouvez obtenir une équation linéaire, une équation quadratique ou tout ce que vous voulez.
Il s'avère qu'il est impossible de reconnaître l'équation linéaire dans un exemple compliqué tant que vous ne l'avez presque pas résolue. C'est bouleversant. Mais dans les devoirs, en règle générale, ils ne posent pas de questions sur la forme de l'équation, n'est-ce pas ? Les devoirs demandent des équations décider. Cela me rend heureux.)
Résolution d'équations linéaires. Exemples.
La solution entière des équations linéaires consiste en des transformations identiques des équations. D’ailleurs, ces transformations (deux d’entre elles !) sont à la base des solutions toutes les équations mathématiques. Autrement dit, la solution n'importe lequel l'équation commence par ces mêmes transformations. Dans le cas des équations linéaires, elle (la solution) est basée sur ces transformations et se termine par une réponse complète. C'est logique de suivre le lien, non ?) De plus, il y a aussi des exemples de résolution d'équations linéaires.
Tout d’abord, regardons l’exemple le plus simple. Sans aucun piège. Supposons que nous devions résoudre cette équation.
x-3 = 2-4x
Il s'agit d'une équation linéaire. Les X sont tous à la puissance première, il n'y a pas de division par X. Mais, en fait, peu importe de quel type d’équation il s’agit. Nous devons le résoudre. Le schéma ici est simple. Collectez tout ce qui comporte des X sur le côté gauche de l'équation, tout ce qui ne contient pas de X (nombres) à droite.
Pour ce faire, vous devez transférer - 4x vers la gauche, avec un changement de signe bien sûr, et - 3 - À droite. Au fait, c'est la première transformation identique des équations. Surpris? Cela veut dire que vous n'avez pas suivi le lien, mais en vain...) On obtient :
x + 4x = 2 + 3
En voici des similaires, nous considérons :
De quoi avons-nous besoin pour être pleinement heureux ? Oui, pour qu'il y ait un X pur à gauche ! Cinq est sur le chemin. Se débarrasser des cinq avec l'aide la deuxième transformation identique des équations.À savoir, nous divisons les deux côtés de l’équation par 5. Nous obtenons une réponse toute prête :
Un exemple élémentaire, bien sûr. C'est pour s'échauffer.) On ne sait pas très bien pourquoi je me souviens de transformations identiques ici ? D'ACCORD. Prenons le taureau par les cornes.) Décidons de quelque chose de plus solide.
Par exemple, voici l'équation :
Par où commencer ? Avec des X - à gauche, sans X - à droite ? C'est possible. Par petits pas longue route. Ou vous pouvez le faire immédiatement, d’une manière universelle et puissante. Si, bien sûr, vous avez des transformations d'équations identiques dans votre arsenal.
Je vous demande question clé: Qu’est-ce qui vous déplaît le plus dans cette équation ?
95 personnes sur 100 répondront : fractions ! La réponse est correcte. Alors débarrassons-nous-en. On commence donc immédiatement par deuxième transformation identitaire. Par quoi avez-vous besoin de multiplier la fraction de gauche pour que le dénominateur soit complètement réduit ? C'est vrai, à 3 heures. Et à droite ? Par 4. Mais les mathématiques nous permettent de multiplier les deux côtés par le même numéro. Comment pouvons-nous en sortir ? Multiplions les deux côtés par 12 ! Ceux. à un dénominateur commun. Ensuite, les trois et les quatre seront réduits. N'oubliez pas que vous devez multiplier chaque partie entièrement. Voici à quoi ressemble la première étape :
Extension des parenthèses :
Faites attention! Numérateur (x+2) Je l'ai mis entre parenthèses ! En effet, lors de la multiplication de fractions, le numérateur entier est multiplié ! Vous pouvez maintenant réduire des fractions :
Développez les parenthèses restantes :
Ce n'est pas un exemple, mais pur plaisir!) Rappelons maintenant le sort de classes juniors: avec un X - à gauche, sans X - à droite ! Et appliquez cette transformation :
En voici quelques similaires :
Et divisez les deux parties par 25, c'est-à-dire appliquez à nouveau la deuxième transformation :
C'est ça. Répondre: X=0,16
Remarque : pour donner une forme agréable à l'équation originale déroutante, nous en avons utilisé deux (juste deux !) transformations identitaires– translation gauche-droite avec changement de signe et multiplication-division d’une équation par le même nombre. Ce méthode universelle! Nous travaillerons ainsi avec n'importe lequel des équations ! Absolument n'importe qui. C'est pourquoi je ne cesse de répéter fastidieusement ces transformations identiques.)
Comme vous pouvez le constater, le principe de résolution d’équations linéaires est simple. Nous prenons l'équation et la simplifions avec transformations identitaires avant de recevoir une réponse. Les principaux problèmes ici résident dans les calculs et non dans le principe de la solution.
Mais... Il y a de telles surprises dans le processus de résolution des équations linéaires les plus élémentaires qu'elles peuvent vous plonger dans une forte stupeur...) Heureusement, il ne peut y avoir que deux de ces surprises. Appelons-les des cas particuliers.
Cas particuliers dans la résolution d'équations linéaires.
Première surprise.
Supposons que vous tombiez sur une équation très basique, quelque chose comme :
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Un peu ennuyé, on le déplace avec un X vers la gauche, sans X - vers la droite... Avec un changement de signe, tout est parfait... On obtient :
2x-5x+3x=5-2-3
On compte, et... oups !!! On obtient :
Cette égalité en elle-même n’est pas répréhensible. Zéro est vraiment zéro. Mais X manque ! Et nous devons écrire dans la réponse, à quoi est égal x ? Sinon, la solution ne compte pas, non...) Impasse ?
Calme! Dans de tels cas douteux, les règles les plus générales vous sauveront. Comment résoudre des équations ? Que signifie résoudre une équation ? Cela signifie, trouvez toutes les valeurs de x qui, une fois substituées dans l'équation d'origine, nous donneront l'égalité correcte.
Mais nous avons une vraie égalité déjàça a marché ! 0=0, combien plus précis ?! Il reste à déterminer à quels x cela se produit. Dans quelles valeurs de X peuvent être substituées originaléquation si ces x seront-ils encore réduits à zéro ? Allez?)
Oui!!! Les X peuvent être remplacés n'importe lequel! Lesquels veux-tu ? Au moins 5, au moins 0,05, au moins -220. Ils vont encore rétrécir. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez le vérifier.) Remplacez toutes les valeurs de X par originaléquation et calcul. Ça marchera tout le temps pure vérité: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 et ainsi de suite.
Voici votre réponse : x - n'importe quel nombre.
La réponse peut être écrite sous différents symboles mathématiques, l’essence ne change pas. C'est une réponse tout à fait correcte et complète.
Deuxième surprise.
Prenons la même équation linéaire élémentaire et modifions-y un seul nombre. Voici ce que nous déciderons :
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Après les mêmes transformations identiques, on obtient quelque chose d’intrigant :
Comme ça. Nous avons résolu une équation linéaire et obtenu une étrange égalité. Parlant langage mathématique, nous avons fausse égalité. Et parlant dans un langage simple, ce n'est pas vrai. Rave. Mais néanmoins, cette absurdité est une très bonne raison pour la bonne décisionéquations.)
Encore une fois, nous pensons en nous basant sur règles générales. Ce que les x, une fois substitués dans l'équation originale, nous donneront vraiégalité? Oui, aucun ! Il n’existe pas de tels X. Peu importe ce que vous mettrez, tout sera réduit, il ne restera que des bêtises.)
Voici votre réponse : il n'y a pas de solutions.
C'est aussi une réponse complètement complète. En mathématiques, de telles réponses sont souvent trouvées.
Comme ça. Maintenant, j'espère que la disparition des X dans le processus de résolution de n'importe quelle équation (pas seulement linéaire) ne vous embrouillera pas du tout. C'est déjà un sujet familier.)
Maintenant que nous avons résolu tous les pièges des équations linéaires, il est logique de les résoudre.
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
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Dans cette vidéo, nous analyserons tout un ensemble d'équations linéaires résolues à l'aide du même algorithme - c'est pourquoi elles sont appelées les plus simples.
Tout d'abord, définissons : qu'est-ce qu'une équation linéaire et laquelle est dite la plus simple ?
Une équation linéaire est une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule variable, et seulement au premier degré.
L'équation la plus simple signifie la construction :
Toutes les autres équations linéaires sont réduites au plus simple à l'aide de l'algorithme :
- Développez les parenthèses, le cas échéant ;
- Déplacez les termes contenant une variable d’un côté du signe égal et les termes sans variable de l’autre ;
- Plomb termes similairesà gauche et à droite du signe égal ;
- Divisez l'équation résultante par le coefficient de la variable $x$.
Bien entendu, cet algorithme n’aide pas toujours. Le fait est que parfois, après toutes ces machinations, le coefficient de la variable $x$ s'avère égal à zéro. Dans ce cas, deux options sont possibles :
- L’équation n’a aucune solution. Par exemple, quand quelque chose comme $0\cdot x=8$ s'avère, c'est-à-dire à gauche se trouve zéro et à droite un nombre autre que zéro. Dans la vidéo ci-dessous, nous examinerons plusieurs raisons pour lesquelles cette situation est possible.
- La solution réside dans tous les chiffres. Le seul cas où cela est possible est lorsque l'équation a été réduite à la construction $0\cdot x=0$. Il est tout à fait logique que peu importe ce que $x$ nous substituons, il s'avérera toujours « zéro est égal à zéro », c'est-à-dire corriger l'égalité numérique.
Voyons maintenant comment tout cela fonctionne à l'aide d'exemples concrets.
Exemples de résolution d'équations
Aujourd'hui, nous traitons d'équations linéaires, et uniquement des plus simples. En général, une équation linéaire désigne toute égalité contenant exactement une variable, et cela ne va qu'au premier degré.
De telles constructions sont résolues à peu près de la même manière :
- Tout d'abord, vous devez ouvrir les parenthèses, le cas échéant (comme dans notre dernier exemple);
- Alors apportez similaire
- Enfin, isolez la variable, c'est-à-dire déplacez d'un côté tout ce qui est lié à la variable, les termes dans lesquels elle est contenue, et déplacez de l'autre tout ce qui reste sans elle.
Ensuite, en règle générale, vous devez en amener des similaires de chaque côté de l'égalité résultante, et après cela, il ne reste plus qu'à diviser par le coefficient "x", et nous obtiendrons la réponse finale.
En théorie, cela semble simple et agréable, mais en pratique, même des lycéens expérimentés peuvent commettre des erreurs offensantes dans des équations linéaires assez simples. En règle générale, des erreurs sont commises soit lors de l'ouverture des parenthèses, soit lors du calcul des « plus » et des « moins ».
De plus, il arrive qu'une équation linéaire n'ait aucune solution, ou que la solution soit la droite numérique entière, c'est-à-dire n'importe quel numéro. Nous examinerons ces subtilités dans la leçon d'aujourd'hui. Mais nous commencerons, comme vous l'avez déjà compris, par le tâches simples.
Schéma de résolution d'équations linéaires simples
Tout d'abord, permettez-moi d'écrire à nouveau l'intégralité du schéma de résolution des équations linéaires les plus simples :
- Développez les parenthèses, le cas échéant.
- Nous isolons les variables, c'est-à-dire Nous déplaçons tout ce qui contient des « X » d’un côté, et tout ce qui ne contient pas de « X » de l’autre.
- Nous présentons des termes similaires.
- On divise le tout par le coefficient de « x ».
Bien sûr, ce schéma ne fonctionne pas toujours ; il comporte certaines subtilités et astuces, et nous allons maintenant les connaître.
Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples
Tâche n°1
La première étape nous oblige à ouvrir les parenthèses. Mais ils ne figurent pas dans cet exemple, nous sautons donc cette étape. Dans la deuxième étape, nous devons isoler les variables. Veuillez noter: nous parlons de uniquement sur des termes individuels. Écrivons-le :
Nous présentons des termes similaires à gauche et à droite, mais cela a déjà été fait ici. Passons donc à quatrième étape: divisé par le coefficient :
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Nous avons donc eu la réponse.
Tâche n°2
Nous pouvons voir les parenthèses dans ce problème, alors développons-les :
À gauche et à droite, nous voyons à peu près le même design, mais agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire séparer les variables :
En voici quelques similaires :
À quelles racines cela fonctionne-t-il ? Réponse : pour n'importe lequel. Par conséquent, nous pouvons écrire que $x$ est n’importe quel nombre.
Tâche n°3
La troisième équation linéaire est plus intéressante :
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Il y a plusieurs parenthèses, mais elles ne sont multipliées par rien, elles sont simplement précédées de divers signes. Décomposons-les :
Nous effectuons la deuxième étape déjà connue de nous :
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Faisons le calcul :
Nous effectuons la dernière étape - divisons le tout par le coefficient « x » :
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Choses à retenir lors de la résolution d'équations linéaires
Si l'on ignore les tâches trop simples, je voudrais dire ceci :
- Comme je l'ai dit plus haut, toutes les équations linéaires n'ont pas de solution - parfois il n'y a tout simplement pas de racines ;
- Même s’il y a des racines, il peut n’y en avoir aucune – il n’y a rien de mal à cela.
Zéro est le même nombre que les autres ; vous ne devez en aucun cas le discriminer ou supposer que si vous obtenez zéro, vous avez fait quelque chose de mal.
Une autre fonctionnalité est liée à l’ouverture des parenthèses. Attention : lorsqu'il y a un « moins » devant eux, nous le supprimons, mais entre parenthèses nous changeons les signes en opposé. Et puis nous pourrons l'ouvrir à l'aide d'algorithmes standards : nous obtiendrons ce que nous avons vu dans les calculs ci-dessus.
Comprendre cela simple fait vous permettra d'éviter de commettre des erreurs stupides et offensantes au lycée, alors que de telles actions sont considérées comme allant de soi.
Résolution d'équations linéaires complexes
Passons à plus équations complexes. Maintenant, les constructions deviendront plus complexes et lors de diverses transformations, une fonction quadratique apparaîtra. Cependant, il ne faut pas avoir peur de cela, car si, selon le plan de l'auteur, nous résolvons une équation linéaire, alors pendant le processus de transformation, tous les monômes contenant une fonction quadratique s'annuleront certainement.
Exemple n°1
Évidemment, la première étape consiste à ouvrir les parenthèses. Faisons-le très soigneusement :
Jetons maintenant un coup d'œil à la confidentialité :
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
En voici quelques similaires :
Évidemment, cette équation n’a pas de solution, nous écrirons donc ceci dans la réponse :
\[\varrien\]
ou il n'y a pas de racines.
Exemple n°2
Nous effectuons les mêmes actions. Premier pas:
Déplaçons tout avec une variable vers la gauche, et sans elle - vers la droite :
En voici quelques similaires :
Évidemment, cette équation linéaire n’a pas de solution, nous l’écrirons donc ainsi :
\[\varrien\],
ou il n'y a pas de racines.
Nuances de la solution
Les deux équations sont complètement résolues. En utilisant ces deux expressions comme exemple, nous étions une fois de plus convaincus que même dans les équations linéaires les plus simples, tout n'est peut-être pas si simple : il peut y en avoir une, ou aucune, ou une infinité de racines. Dans notre cas, nous avons considéré deux équations, toutes deux n’ayant tout simplement pas de racines.
Mais je voudrais attirer votre attention sur un autre fait : comment travailler avec les parenthèses et comment les ouvrir s'il y a un signe moins devant elles. Considérons cette expression :
Avant d'ouvrir, il faut tout multiplier par « X ». Attention : se multiplie chaque terme individuel. À l'intérieur, il y a deux termes - respectivement, deux termes et multipliés.
Et ce n'est qu'après avoir effectué ces transformations apparemment élémentaires, mais très importantes et dangereuses, que vous pourrez ouvrir le support du point de vue du fait qu'il y a un signe moins après. Oui, oui : seulement maintenant, lorsque les transformations sont terminées, on se souvient qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, ce qui signifie que tout en dessous change simplement de signe. Dans le même temps, les parenthèses elles-mêmes disparaissent et, surtout, le « moins » avant disparaît également.
On fait de même avec la deuxième équation :
Ce n’est pas par hasard que je prête attention à ces petits faits apparemment insignifiants. Parce que résoudre des équations est toujours une séquence transformations élémentaires, où l'incapacité d'effectuer clairement et avec compétence étapes simples conduit au fait que des lycéens viennent me voir et réapprennent à résoudre des équations aussi simples.
Bien sûr, le jour viendra où vous perfectionnerez ces compétences jusqu’à l’automaticité. Vous n'aurez plus à effectuer autant de transformations à chaque fois ; vous écrirez tout sur une seule ligne. Mais pendant que vous apprenez, vous devez écrire chaque action séparément.
Résoudre des équations linéaires encore plus complexes
Ce que nous allons résoudre maintenant peut difficilement être qualifié de tâche la plus simple, mais le sens reste le même.
Tâche n°1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Multiplions tous les éléments de la première partie :
Faisons un peu d'intimité :
En voici quelques similaires :
Terminons la dernière étape :
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Voici notre réponse finale. Et, malgré le fait que lors du processus de résolution, nous avions des coefficients avec une fonction quadratique, ils s'annulaient, ce qui rend l'équation linéaire et non quadratique.
Tâche n°2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Effectuons soigneusement la première étape : multipliez chaque élément de la première parenthèse par chaque élément de la seconde. Il devrait y avoir un total de quatre nouveaux termes après les transformations :
Effectuons maintenant soigneusement la multiplication dans chaque terme :
Déplaçons les termes avec « X » vers la gauche, et ceux sans - vers la droite :
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Voici des termes similaires :
Une fois de plus, nous avons reçu la réponse définitive.
Nuances de la solution
La remarque la plus importante à propos de ces deux équations est que dès que l’on commence à multiplier des parenthèses contenant plus d’un terme, cela se fait par règle suivante: on prend le premier terme du premier et on multiplie avec chaque élément du second ; puis nous prenons le deuxième élément du premier et multiplions de la même manière avec chaque élément du second. En conséquence, nous aurons quatre mandats.
À propos de la somme algébrique
Avec ce dernier exemple, je voudrais rappeler aux étudiants ce qu'est une somme algébrique. En mathématiques classiques, par $1-7$ nous entendons conception simple: soustrayez sept de un. En algèbre, on entend par là ceci : au nombre « un » on ajoute un autre nombre, à savoir « moins sept ». C'est en quoi une somme algébrique diffère d'une somme arithmétique ordinaire.
Dès que, lors de l'exécution de toutes les transformations, de chaque addition et multiplication, vous commencerez à voir des constructions similaires à celles décrites ci-dessus, vous n'aurez tout simplement aucun problème en algèbre lorsque vous travaillerez avec des polynômes et des équations.
Enfin, examinons quelques autres exemples qui seront encore plus complexes que ceux que nous venons d'examiner, et pour les résoudre, nous devrons légèrement étendre notre algorithme standard.
Résoudre des équations avec des fractions
Pour résoudre de telles tâches, nous devrons ajouter une étape supplémentaire à notre algorithme. Mais d’abord, permettez-moi de vous rappeler notre algorithme :
- Ouvrez les supports.
- Variables séparées.
- Apportez-en des similaires.
- Divisez par le rapport.
Hélas, ce merveilleux algorithme, malgré toute son efficacité, s'avère pas tout à fait approprié lorsque nous avons des fractions devant nous. Et dans ce que nous verrons ci-dessous, nous avons une fraction à gauche et à droite dans les deux équations.
Comment travailler dans ce cas ? Oui, c'est très simple ! Pour ce faire, vous devez ajouter une étape supplémentaire à l'algorithme, qui peut être effectuée avant et après la première action, à savoir se débarrasser des fractions. L'algorithme sera donc le suivant :
- Débarrassez-vous des fractions.
- Ouvrez les supports.
- Variables séparées.
- Apportez-en des similaires.
- Divisez par le rapport.
Que signifie « se débarrasser des fractions » ? Et pourquoi cela peut-il être fait à la fois après et avant la première étape standard ? En fait, dans notre cas, toutes les fractions sont numériques dans leur dénominateur, c'est-à-dire Partout, le dénominateur n’est qu’un nombre. Par conséquent, si nous multiplions les deux côtés de l’équation par ce nombre, nous nous débarrasserons des fractions.
Exemple n°1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Débarrassons-nous des fractions de cette équation :
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Attention : tout est multiplié par « quatre » une fois, c'est-à-dire ce n’est pas parce que vous avez deux parenthèses que vous devez multiplier chacune par « quatre ». Écrivons :
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Développons maintenant :
On isole la variable :
Nous effectuons la réduction de termes similaires :
\[-4x=-1\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Nous avons décision finale, passons à la deuxième équation.
Exemple n°2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Ici, nous effectuons toutes les mêmes actions :
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Le problème est résolu.
C’est en fait tout ce que je voulais vous dire aujourd’hui.
Points clés
Les principales conclusions sont les suivantes :
- Connaître l'algorithme de résolution d'équations linéaires.
- Possibilité d'ouvrir les parenthèses.
- Ne vous inquiétez pas si vous voyez fonctions quadratiques, très probablement, au cours de transformations ultérieures, ils diminueront.
- Il existe trois types de racines dans les équations linéaires, même les plus simples : une seule racine, la droite numérique entière est une racine et aucune racine du tout.
J'espère que cette leçon vous aidera à maîtriser un sujet simple mais très important pour une meilleure compréhension de toutes les mathématiques. Si quelque chose n'est pas clair, allez sur le site et résolvez les exemples qui y sont présentés. Restez à l'écoute, bien d'autres choses intéressantes vous attendent !
