Saisons

Maison Pays du monde Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un :

, alors ils disent que c'est donné 1 , , alors ils disent que c'est donné 2 , , alors ils disent que c'est donné 3 , . . . , séquence de nombres , . . . .

un un Donc,

séquence de nombres , alors ils disent que c'est donné 1 — fonction de l'argument naturel. Nombre appelé , alors ils disent que c'est donné 2 — premier terme de la suite , nombre , alors ils disent que c'est donné 3 — deuxième terme de la suite , nombre n — fonction de l'argument naturel. troisième et ainsi de suite. Nombre nième mandat séquences — , et un nombre naturel .

n séquence de nombres son numéro séquence de nombres +1 De deux membres adjacents séquence de nombres +1 — fonction de l'argument naturel. Et membre de séquence n ultérieur n — (par rapport à membre de séquence séquence de nombres +1 ).

), UN

précédent Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro. Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant

formules du nième terme

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro. Par exemple, séquence de positif

séquence de nombres= 2nombres impairs 1,

peut être donné par la formule 1 n- -1 et la séquence d'alternance

Et- formule = (-1)b +1 . ◄

n n, La séquence peut être déterminée

formules du nième terme

formule récurrente , alors ils disent que c'est donné 1 = 1 c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs). séquence de nombres +1 = séquence de nombres + 5

, alors ils disent que c'est donné 1 = 1,

, alors ils disent que c'est donné 2 = , alors ils disent que c'est donné 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

, alors ils disent que c'est donné 3 = , alors ils disent que c'est donné 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

, alors ils disent que c'est donné 4 = , alors ils disent que c'est donné 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

, alors ils disent que c'est donné 5 = , alors ils disent que c'est donné 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si , UN= 1, Si = 1, séquence de nombres +2 = séquence de nombres + séquence de nombres +1 , un 1

un 2 = 1,

alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : = 1,

un 1 = un 2 + alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : = 1 + 1 = 2,

un 2 = alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : + un 1 = 1 + 2 = 3,

un 3 = un 1 + un 2 = 2 + 3 = 5,

, alors ils disent que c'est donné 6 = , alors ils disent que c'est donné 4 + , alors ils disent que c'est donné 5 = 3 + 5 = 8,

, alors ils disent que c'est donné 7 = , alors ils disent que c'est donné 5 + , alors ils disent que c'est donné 6 = 5 + 8 = 13. ◄

un 4 un 5 son numéro Les séquences peuvent être .

final sans fin La séquence s'appelle ultime si elle a numéro final membres. La séquence s'appelle

formules du nième terme

sans fin

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

, s’il compte une infinité de membres.

séquence de nombres naturels à deux chiffres :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

final. ◄

Suite de nombres premiers : sans fin. La séquence s'appelle

Suite de nombres premiers : croissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

formules du nième terme

2, 4, 6, 8, . . . , 2séquences, . . . décroissant

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /b, . . . , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent. ◄

— séquence croissante ; — séquence décroissante. .

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle

séquence monotone

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes. est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

, alors ils disent que c'est donné 1 , , alors ils disent que c'est donné 2 , , alors ils disent que c'est donné 3 , . . . , séquence de nombres, . . .

est une progression arithmétique si pour n'importe quel nombre naturel Pays du monde la condition est remplie :

séquence de nombres +1 = séquence de nombres + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'un terme donné progression arithmétique toujours constant :

Si - , alors ils disent que c'est donné 1 = un 3 - , alors ils disent que c'est donné 2 = . . . = séquence de nombres +1 - séquence de nombres = d.

séquence de nombres d — fonction de l'argument naturel. différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

formules du nième terme

formule récurrente , alors ils disent que c'est donné 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 2 =3,

alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : = un 2 + d = 3 + 4 = 7,

un 1 = alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : + d= 7 + 4 = 11,

un 2 = un 1 + d= 11 + 4 = 15,

, alors ils disent que c'est donné 5 = , alors ils disent que c'est donné 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme , alors ils disent que c'est donné 1 et la différence d son Pays du monde

séquence de nombres = un 2 + (séquences- 1)d.

formules du nième terme

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 2 =1, d = 3,

un 30 = un 2 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 2 + (séquences- 2)d,

séquence de nombres= un 2 + (séquences- 1)d,

séquence de nombres +1 = , alors ils disent que c'est donné 1 + sd,

alors évidemment

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

formules du nième terme

séquence de nombres = 2séquences- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

séquence de nombres = 2séquences- 7,

un n-1 = 2(nombres impairs 1) - 7 = 2séquences- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2séquences- 5.

Ainsi,

◄

Noter que Pays du monde Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers , alors ils disent que c'est donné 1 , mais aussi tout précédent un k

séquence de nombres = un k + (séquences- k)d.

formules du nième terme

Pour , alors ils disent que c'est donné 5 peut être écrit

un 3 = un 2 + 4d,

un 3 = alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit : + 3d,

un 3 = un 1 + 2d,

un 3 = un 2 + d. ◄

séquence de nombres = un n-k + kd,

séquence de nombres = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres équidistants de cette progression arithmétique.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

formules du nième terme

en progression arithmétique

1) , alors ils disent que c'est donné 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (, alors ils disent que c'est donné 9 + , alors ils disent que c'est donné 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 1 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ séquence de nombres,

d'abord Pays du monde termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , séquence de nombres,

alors la formule précédente conserve sa structure :

formules du nième terme

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités , alors ils disent que c'est donné 1 , séquence de nombres, d, séquences EtS Pays du monde reliés par deux formules :

Par conséquent, si significations de trois de ces grandeurs sont données, puis les valeurs correspondantes des deux autres grandeurs sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Dans ce cas:

• formule récurrente d > 0 , alors il augmente ;
• formule récurrente d < 0 , alors il diminue ;
• formule récurrente d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

Et 1 , Et 2 , Et 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel Pays du monde la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

Et 2 / Et 1 = Et 3 / Et 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

séquence de nombres q — fonction de l'argument naturel. dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

formules du nième terme

formule récurrente Et 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

Et 5 = Et 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

Et 1 et le dénominateur q son Pays du monde Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = Et 1 · qn -1 .

formules du nième terme

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

Et 1 = 1, q = 2,

Et 7 = Et 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = Et 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux égal au produit les deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

formules du nième terme

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 b , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 b,

bn -1 = -3 2 b -1 ,

bn +1 = -3 2 b +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 b) 2 = (-3 2 b -1 ) · (-3 · 2 b +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve l’énoncé souhaité. ◄

Noter que Pays du monde Le ième terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers Et 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

formules du nième terme

Pour Et 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · qk,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir du second, est égal au produit des termes équidistants de cette progression.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ séquences= k+ je.

formules du nième terme

en progression géométrique

1) Et 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = Et 5 · Et 7 ;

2) 1024 = Et 11 = Et 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) Et 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = Et 4 · Et 8 ;

4) Et 2 · Et 7 = Et 4 · Et 5 , parce que

Et 2 · Et 7 = 2 · 64 = 128,

Et 4 · Et 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= Et 1 + Et 2 + Et 3 + . . . + bn

d'abord Pays du monde membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

formules du nième terme

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si donné progression géométrique, alors les quantités Et 1 , bn, q, séquences n- S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme Et 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

Et 1 > 0 Et q> 1;

Et 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

Et 1 > 0 Et 0 < q< 1;

Et 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier Pays du monde les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) séquences / 2 .

formules du nième terme

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers Pays du monde membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre Pays du monde . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

formules du nième terme

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

, alors ils disent que c'est donné 1 , , alors ils disent que c'est donné 2 , , alors ils disent que c'est donné 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

formules du nième terme

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

Et 1 , Et 2 , Et 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

formules du nième terme

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄

Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans cours scolaire algèbre. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

De quel genre de progression s’agit-il ?

Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.

N'importe quelle séquence nombres réels, qui est obtenu en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent, est appelé une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :

Ici i est le numéro de série de l'élément de la ligne a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :

un n = un 1 + d * (n - 1).

Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.

Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule

Avant de donner la formule du montant indiqué, il convient de considérer une simple cas particulier. Étant donné une progression d’entiers naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Une chose à considérer chose intéressante: puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paires du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.

Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'affilée ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n , ainsi que nombre total n termes.

On pense que Gauss fut le premier à penser à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème donné. professeur d'école tâche : additionner les 100 premiers entiers.

Somme des éléments de m à n : formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire cela ?

La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer exemple suivant: qu'il soit nécessaire de trouver la somme des termes du m-ième au n-ième. Pour résoudre le problème, vous devez présenter le segment donné de m à n de la progression sous la forme d'une nouvelle série de nombres. Dans ce m-ième représentation le terme a m sera le premier, et a n sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemple d'utilisation de formules

Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.

Ci-dessous une séquence numérique, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :

Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère :

une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;

une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Connaître les valeurs des nombres aux extrémités de ce qui est donné progression algébrique, et connaissant également quels numéros de la ligne ils occupent, vous pouvez utiliser la formule pour le montant obtenu dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments par formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments en utilisant la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.

Les problèmes de progression arithmétique existaient déjà dans l’Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution parce qu’ils avaient un besoin pratique.

Ainsi, dans l'un des papyrus Egypte ancienne ayant contenu mathématique, - le papyrus Rhind (19ème siècle avant JC) - contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain entre dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de la mesure.

Et dans les travaux mathématiques des Grecs anciens, il existe des théorèmes élégants liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsiclès d'Alexandrie (IIe siècle, qui représentait beaucoup tâches intéressantes et qui a ajouté le quatorzième livre aux Éléments d'Euclide, a formulé la pensée : « Dans une progression arithmétique qui a un nombre pair de termes, la somme des termes de la 2ème moitié est supérieure à la somme des termes de la 1ère par le carré de la moitié du nombre de termes.

La séquence est désignée par un. Les numéros d'une séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent le numéro d'ordre de ce membre (a1, a2, a3... lire : « un 1er », « un 2e », « un 3e » et ainsi de suite ).

La séquence peut être infinie ou finie.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Nous entendons par là celui obtenu en ajoutant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.

Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors cette progression est considérée comme croissante.

Une progression arithmétique est dite finie si seuls ses premiers termes sont pris en compte. À très grandes quantités membres, c'est déjà fait progression sans fin.

Toute progression arithmétique est définie par la formule suivante :

an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.

L'affirmation inverse est absolument vraie : si une suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique qui a les propriétés :

1. Chaque terme de la progression est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant.
2. Inverse : si, à partir du 2ème, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, soit si la condition est remplie, alors cette séquence est une progression arithmétique. Cette égalité est aussi un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle habituellement propriété caractéristique progression.
   De la même manière, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un des termes de la suite, en commençant par le 2ème.

La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al, si n + m = k + l (m, n, k sont des nombres de progression).

Dans une progression arithmétique, tout (Nième) terme nécessaire peut être trouvé en utilisant la formule suivante:

Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et égal à trois, et la différence (d) est égale à quatre. Il vous faut trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177

La formule an = ak + d(n - k) permet de déterminer nième mandat une progression arithmétique à travers l'un de ses kèmes termes, à condition qu'elle soit connue.

La somme des termes d'une progression arithmétique (c'est-à-dire les n premiers termes progression finie) est calculé comme suit :

Sn = (a1+an)n/2.

Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule convient pour le calcul :

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somme d'une progression arithmétique contenant n termes est calculée comme suit :

Le choix des formules de calcul dépend des conditions des problèmes et des données initiales.

Série naturelle de nombres quelconques, tels que 1,2,3,...,n,...- exemple le plus simple progression arithmétique.

En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique qui a ses propres propriétés et caractéristiques.

Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, considérons ce qu'est une séquence de nombres, puisqu'une progression arithmétique est un cas particulier d'une séquence de nombres.

La séquence de nombres est ensemble de numéros, dont chaque élément possède son propre numéro de série. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Le cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle du temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous la forme d'une formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Permettez-moi de noter encore une fois que dans l'ordre, contrairement à l'arbitraire fonction numérique, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents.

Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le ou les premiers membres de la séquence. ,

Par exemple, considérons la séquence On peut trouver les valeurs des membres de la séquence un par un

, à partir du troisième : Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent , depuis mot latin récurrent

- revenir.

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes. est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre.

Le numéro est appelé différence de progression arithmétique. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.

Si titre="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} croissant.

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; 11;...

Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est décroissant.

Par exemple, 2 ; -1 ; -4 ; -7;...

Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est stationnaire.

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons la photo.

Nous voyons que

, et en même temps

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

.

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

De plus, puisque

, et en même temps

, Que

, et donc

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin

Nous avons formule du nième terme.

IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

Ajoutons par paires :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On obtient :

un la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) Nous le voyons ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , c'est pourquoi

On obtient :

b) Supposons que le nombre 41 soit membre de la séquence. Trouvons son numéro. Pour ce faire, résolvons l'équation :

Nous avons valeur naturelle n, donc oui, le nombre 41 est membre de la progression. Si la valeur trouvée de n n’était pas un nombre naturel, alors nous répondrions que le nombre 41 n’est PAS un membre de la progression.

3 . a) Entre les nombres 2 et 8, insérez 4 nombres afin qu'ils forment avec ces nombres une progression arithmétique.

b) Trouver la somme des termes de la progression résultante.

UN) Insérons quatre nombres entre les nombres 2 et 8 :

Nous avons une progression arithmétique avec 6 termes.

Trouvons la différence de cette progression. Pour ce faire, on utilise la formule du nième terme :

Il est désormais facile de trouver la signification des nombres :

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Réponse : a) oui ; b) 30

4. Le camion transporte une charge de pierre concassée pesant 240 tonnes, augmentant ainsi la cadence de transport du même nombre de tonnes chaque jour. On sait que 2 tonnes de pierre concassée ont été transportées le premier jour. Déterminez combien de tonnes de pierre concassée ont été transportées le douzième jour si tous les travaux ont été achevés en 15 jours.

Selon l’état du problème, la quantité de pierre concassée transportée par le camion augmente du même nombre chaque jour. Nous avons donc affaire à une progression arithmétique.

Formulons ce problème en termes de progression arithmétique.

Durant la première journée, 2 tonnes de pierre concassée ont été transportées : a_1=2.

L'ensemble des travaux a été réalisé en 15 jours : .

Le camion transporte un lot de pierre concassée pesant 240 tonnes :

Nous devons trouver.

Tout d’abord, trouvons la différence de progression. Utilisons la formule de la somme de n termes d'une progression.

Dans notre cas :

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : SOOOOO !) savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le deuxième cas, la différence entre la série numéros debout est déjà égal à cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, il y a complètement des racines. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et quelques-uns à la fois commentaires importants. Premièrement, la progression n’est prise en compte que ordonné séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : dernier exemple peut paraître trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout dépend ici uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire numéros identiques: (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Cela ressemblera à ceci :

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme on le voit, dans tout trois cas la différence s’est en fait révélée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est ça! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est comme ça qu'il est facile de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de la progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est ça! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

Solution entière minimale de cette inégalité- numéro 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à inégalité stricte, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et écrivons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Qu’est-ce que cela signifie pour nous ? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Jetez un oeil :

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Parce que numéros spécifiés sont membres de la progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : élément central$x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Il s'est avéré classique équation quadratique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse : 1 ; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

Dans l'ensemble, décider dernières tâches, nous en avons croisé un autre fait intéressant, qu'il faut également rappeler :

Si trois nombres sont tels que le deuxième est le milieu l'arithmétique d'abord et enfin, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l'avenir, comprendre cette affirmation nous permettra littéralement de « concevoir » progressions nécessaires, en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple :

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à passer de ces éléments à côtés opposés(l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), puis les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Compréhension ce fait nous permettra de résoudre les problèmes de manière fondamentalement plus haut niveau difficultés que celles que nous avons évoquées ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : je l'ai sorti multiplicateur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches vers le haut :

calendrier fonction quadratique- parabole

Veuillez noter: valeur minimale cette parabole prend $((d)_(0))$ en son sommet en abscisse. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L’abscisse est donc égale à la moyenne nombres arithmétiques−66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend plus petite valeur(d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre représente la différence par rapport à la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, avec le premier et dernier numéro est déjà connu. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si à partir des nombres $x$ et $z$ nous sommes dans à l'heure actuelle on ne peut pas obtenir $y$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Encore plus tâche difficile, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais considérer quelques points relativement tâches simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tout est pareil :

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que des points importants et très conséquences utiles d'elle.