Nous effectuons cette preuve en deux étapes. Supposons d’abord qu’il y en ait, et notons que dans ce cas D(S„) par le théorème de dispersion de somme. D’après l’inégalité de Chebyshev, pour tout t > 0

Pour t > n côté gauche inférieur à, et cette dernière valeur tend vers zéro. Ceci termine la première partie de la preuve.

Écartons maintenant la condition restrictive d’existence de D(). Ce cas est réduit au précédent par la méthode de troncature.

Définissons deux nouveaux ensembles Variables aléatoires, en fonction de ce qui suit :

U k =, V k =0, si (2.2)

U k =0, V k =, si

Ici k=1,… , n et est fixe. Alors

pour tout k.

Soit (f(j)) la distribution de probabilité des variables aléatoires (la même pour tous j). Nous avons supposé que = M() existe, donc la somme

fini. Ensuite il y a aussi

où la sommation est effectuée sur tous ceux j pour lesquels. Notons que bien que cela dépende de n, il en est de même pour

U 1, U 2, ..., U n. De plus, pour, et donc pour arbitraire > 0 et tout n suffisamment grand

U k sont mutuellement indépendants, et leur somme U 1 +U 2 +…+U n peut être traitée exactement de la même manière qu'avec X k dans le cas d'une dispersion finie, en appliquant l'inégalité de Chebyshev, on obtient de la même manière que (2.1)

D’après (2.6), il s’ensuit que

Puisque la série (2.4) converge, la dernière somme tend vers zéro lorsque n augmente. Ainsi, pour un n suffisamment grand

et donc

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Mais, à partir de (2.9) et (2.12), nous obtenons

Puisque et sont arbitraires, le membre de droite peut être rendu arbitrairement petit, ce qui complète la preuve.

Théorie des jeux « inoffensifs »

Après une analyse plus approfondie de l'essence de la loi grands nombres nous utiliserons la terminologie traditionnelle des joueurs, même si nos considérations permettent également et des applications plus sérieuses, et nos deux hypothèses de base sont plus réalistes en statistique et en physique qu'en jeu d'argent. Tout d’abord, supposons que le joueur dispose d’un capital illimité, de sorte qu’aucune perte ne puisse mettre fin à la partie. (Rejeter cette hypothèse conduit au problème de la ruine du joueur, qui intrigue toujours les étudiants en théorie des probabilités.) Deuxièmement, supposons que le joueur n'ait pas le tempérament d'interrompre la partie quand bon lui semble : le nombre n d'essais doit être fixé à l'avance et ne doit pas dépendre des jeux de déplacement. Sinon, le joueur, doté d'un capital illimité, attendrait une série de succès et arrêterait la partie au bon moment. Un tel joueur ne s'intéresse pas à la fluctuation probable à un instant donné, mais aux fluctuations maximales d'une longue série de jeux, qui sont décrites davantage par la loi du logarithme itéré que par la loi des grands nombres.

Introduisons la variable aléatoire k comme gain (positif ou négatif) pour kième répétition Jeux. Alors la somme S n = 1 +…+ k est le total des gains après n répétitions du jeu. Si avant chaque répétition le joueur paie une contribution (pas nécessairement positive) pour le droit de participer au jeu, alors n représente la contribution totale payée par lui, et S n est le total des gains nets. La loi des grands nombres s'applique si p=M(k) existe. En gros, pour un grand n, il est tout à fait plausible que la différence S n - semble petite par rapport à n. Par conséquent, si elle est inférieure à p, alors pour un grand n, le joueur aura probablement un gain de l'ordre de grandeur. De la même manière, une contribution entraîne presque certainement une perte. Bref, le hasard est favorable au joueur, et le hasard est défavorable.

A noter que nous n'avons encore rien dit sur l'affaire. Dans ce cas, la seule conclusion possible est que si et est suffisamment grand, le gain ou la perte total S n - n sera très haute probabilité petit par rapport à n. Mais on ne sait pas si S n - n s'avérera positif ou négatif, c'est-à-dire si le jeu sera rentable ou ruineux. Cela n'a pas été pris en compte théorie classique, qui appelait un prix inoffensif, et un jeu avec « inoffensif ». Vous devez comprendre qu’un jeu « inoffensif » peut en réalité être à la fois clairement rentable et ruineux.

Il est clair que dans le « cas normal » il existe non seulement M(k), mais aussi D(k). Dans ce cas, la loi des grands nombres est complétée par le théorème central limite, et ce dernier dit qu'il est très plausible que dans un jeu « inoffensif », le gain net résultant d'un jeu long S n - n soit de de l'ordre de n 1/2 et que pour n suffisamment grand ce gain sera d'environ chances égales positif ou négatif. Ainsi, si le théorème central limite s'applique, alors le terme jeu « inoffensif » est justifié, même si même dans ce cas nous avons affaire à un théorème limite, qui est souligné par les mots « à la suite d'un jeu long ». Analyse approfondie montre que la convergence dans (1.3) se détériore à mesure que la dispersion augmente. S'il est grand, alors approximation normale ne sera efficace que pour des n extrêmement grands.

Pour être plus précis, imaginons une machine dans laquelle, en y plaçant un rouble, le joueur peut gagner (10--1) roubles avec une probabilité de 10, et dans d'autres cas, il perd le rouble réduit. Ici nous avons des tests de Bernoulli et le jeu est "inoffensif". Après avoir effectué un million de tests, le joueur paiera un million de roubles pour cela. Pendant ce temps, il peut gagner 0, 1,2,... fois. D'après l'approximation de Poisson pour distribution binomiale, à quelques décimales près, la probabilité de gagner exactement k fois est égale à e -1 /k!. Ainsi, avec une probabilité de 0,368. . . le joueur perdra un million, et avec la même probabilité il ne récupérera que ses dépenses ; il a une probabilité de 0,184... d'acquérir exactement un million, etc. Ici, 10 6 essais équivalent à un seul essai dans un jeu avec un gain ayant une distribution de Poisson.

Évidemment, cela n’a aucun sens d’appliquer la loi des grands nombres dans ce genre de situations. Ce régime comprend une assurance contre l'incendie, les accidents de voiture, etc. Un montant important est exposé au risque, mais la probabilité correspondante est très faible. Cependant, ici, il n'y a généralement qu'un seul test par an, de sorte que le nombre n de tests ne devient jamais grand. Pour les assurés, le jeu n’est pas forcément « inoffensif », même s’il peut s’avérer tout à fait rentable économiquement. La loi des grands nombres n’a rien à voir là-dedans. Quant à la compagnie d'assurance, elle s'occupe d'un grand nombre de jeux, mais en raison de la grande variance, des fluctuations aléatoires apparaissent encore. Les primes d'assurance doivent être fixées de manière à éviter des pertes importantes certaines années, et c'est pourquoi l'entreprise s'intéresse au problème de la ruine plutôt qu'à la loi des grands nombres.

Lorsque la variance est infinie, le terme jeu « inoffensif » n’a plus de sens ; il n'y a aucune raison de croire que le gain net total S n - n fluctue autour de zéro. Vraiment. Il existe des exemples de jeux « inoffensifs » dans lesquels la probabilité que le joueur subisse une perte nette tend vers un. La loi des grands nombres indique seulement que cette perte sera d’un ordre inférieur à n. Cependant, on ne peut rien dire de plus. Si a n forme une séquence arbitraire et a n /n0, alors il est possible d'organiser un jeu « inoffensif » dans lequel la probabilité que la perte nette totale résultant de n répétitions du jeu dépasse a n tend vers un.

La loi des grands nombres est loi centrale théorie des probabilités car elle formule un lien fondamental entre la régularité et le hasard. Il soutient notamment qu'un grand nombre d'accidents conduit à un schéma qui permet de prédire le cours des événements. Dans sa forme la plus générale, il s'exprime Théorème de Chebyshev:

Laisser ( Χ 1 ; X2 ; … X n ; ...) variables aléatoires indépendantes (elles sont supposées être nombre infini). Et que leurs variances soient uniformément bornées (c'est-à-dire que les variances de toutes ces variables aléatoires ne dépassent pas une certaine constante AVEC):

Alors, peu importe la taille du nombre positif, la relation de probabilité limite est satisfaite :

si le nombre de variables aléatoires est suffisamment grand. Ou, ce qui est la même chose, la probabilité

Ainsi, le théorème de Chebyshev stipule que si l'on considère un nombre suffisamment grand n variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; … X n), alors l'événement peut être considéré comme presque fiable (avec une probabilité proche de l'unité) que l'écart de la moyenne arithmétique de ces variables aléatoires par rapport à la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques sera selon valeur absolue aussi petit que vous le souhaitez.

Preuve. Χ 1 ; X2 ; … X n):

(4)

; (5)

Compte tenu des conditions (1), nous établissons que

(6)

Ainsi, lorsque la variance est . C'est-à-dire lorsque l'écart des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique diminue sans limite. Et cela signifie que lorsque la valeur, c'est-à-dire . Ou, pour être plus précis, la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte d'une manière ou d'une autre de son attente mathématique - une constante - tend vers zéro. À savoir, pour tout nombre positif arbitrairement petit

Ainsi, selon le théorème prouvé de Chebyshev, la moyenne arithmétique grand nombre variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; … X n), étant une variable aléatoire, perd en fait son caractère aléatoire et devient en fait une constante immuable. Cette constante est égale à la moyenne arithmétique des espérances mathématiques des valeurs ( Χ 1 ; X2 ; … X n). C'est la loi des grands nombres.

Une autre preuve du théorème de Chebyshev peut être donnée. Pour ce faire, nous utilisons l’inégalité de Chebyshev. Il est valable pour les variables aléatoires discrètes et continues et a une valeur en soi. L'inégalité de Chebyshev permet d'estimer la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique ne dépasse pas en valeur absolue nombre positif. Présentons une preuve de l'inégalité de Chebyshev pour les variables aléatoires discrètes.

L'inégalité de Chebyshev : La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X de son espérance mathématique en valeur absolue est inférieure à un nombre positif, pas inférieur à :

.

Preuve: Depuis les événements consistant en la mise en œuvre des inégalités Et , sont opposés, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1, c'est-à-dire . D’où la probabilité qui nous intéresse. (*)

Nous trouverons . Pour ça trouvons la variance Variable aléatoire X.

Tous les termes de cette somme sont non négatifs. Écartons les termes pour lesquels (pour les durées restantes ), de sorte que le montant ne peut que diminuer. Acceptons de supposer, pour être précis, que le k premiers termes (nous supposerons que dans la table de distribution valeurs possibles numérotés dans cet ordre). Ainsi,

Puisque les deux côtés de l’inégalité sont positifs, donc en les mettant au carré, on obtient l'inégalité équivalente . Utilisons cette remarque en remplaçant chacun des facteurs dans la somme restante nombre (dans ce cas l’inégalité ne peut qu’augmenter), on obtient. (**)

D’après le théorème d’addition, la somme des probabilités est la probabilité que X prendra une, quelle qu'elle soit, des valeurs , et pour chacun d'entre eux, l'écart satisfait l'inégalité . Il s'ensuit que la somme exprime la probabilité . Cela nous permet de réécrire l'inégalité (**) comme suit : . (***).

Remplaçons (***) V (*) et nous obtenons , c'était ce qui devait être prouvé.

Preuve du théorème 2 de Chebyshev:

Introduisons une nouvelle variable aléatoire en considération - la moyenne arithmétique des variables aléatoires ( Χ 1 ; X2 ; … X n):

En utilisant les propriétés d'espérance mathématique et de dispersion, nous obtenons :

; . (*)

En appliquant l'inégalité de Chebyshev à la quantité, nous avons.

Compte tenu du ratio (*),

Par condition, cela signifie . (***) Remplacement côté droit(***) en inégalité (**) on a

De là, en passant à la limite en , on obtient

Puisque la probabilité ne peut pas dépasser un, on obtient finalement :

C’est ce que nous devions prouver.

Arrêtons-nous sur un cas particulier important du théorème de Chebyshev. À savoir, considérons le cas où des variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; … X n) avoir mêmes lois distributions, et donc identiques caractéristiques numériques:

(8)

Alors pour la variable aléatoire, d’après (5), on a :

(9)

La relation de probabilité limite (7) dans ce cas prendra la forme :

(10)

La conclusion découlant de (10) a grande importance pour lutter contre les erreurs aléatoires lors de la réalisation de différents types de mesures.

Supposons, par exemple, que vous deviez mesurer une certaine quantité UN. Nous n'en produirons pas un, mais plusieurs ( n) mesures répétées indépendantes de la valeur de cette grandeur. Toute mesure est inhérente à une erreur aléatoire liée à l'imperfection de l'appareil de mesure, à toutes sortes d'interférences aléatoires dans la mesure, etc. Donc les résultats ( Χ 1 ; X2 ; … X n) mesures séquentielles individuelles de la valeur souhaitée UN, d'une manière générale, ne seront pas donnés - ce seront des variables aléatoires. De plus, avec des quantités ayant distributions identiques, car les mesures sont effectuées de manière répétée, c'est-à-dire à constante conditions extérieures. Puis pour la quantité - la moyenne arithmétique des résultats de tous n mesures - la relation de probabilité limite (10) sera remplie. Cela signifie que cette moyenne arithmétique perd son caractère aléatoire et se transforme en UN – véritable signification quantité mesurée. Ceci est d'ailleurs démontré par les formules (9), selon lesquelles :

(11)

C'est-à-dire avoir effectué un nombre suffisamment important de mesures répétées de la quantité souhaitée UN, dans chacun desquels une erreur de mesure aléatoire est possible, puis trouver la moyenne résultats arithmétiques ces mesures, on utilise la formule

UN(12)

nous pouvons obtenir la valeur et pratiquement sans erreurs aléatoires.

Cette conclusion est une conséquence de la loi des grands nombres. DANS dans ce cas cette loi se manifeste dans le fait que lors de la sommation des résultats de mesure en (4) erreurs aléatoires les dimensions individuelles, apparaissant en principe aussi souvent avec un signe plus et un signe moins, s'annulent généralement. Et l'erreur restante sera toujours divisée en P., c'est-à-dire qu'il diminuera encore de P. une fois. Donc quand grandes valeurs n la valeur sera presque exactement égale à la valeur mesurée UN. Cette conclusion est naturellement largement utilisée dans la pratique.

Note. En ampleur, ils s'annulent seulement erreurs aléatoires mesures, c'est-à-dire les erreurs associées à l'action de facteurs aléatoires (interférences). Mais les erreurs systématiques (permanentes), c'est-à-dire les erreurs inhérentes à chaque mesure, subsistent naturellement . Par exemple, une flèche renversée (non ajustée) dans un appareil provoque une erreur constante (systématique) dans chaque mesure, et donc la provoque dans la moyenne arithmétique des résultats de ces mesures. Les erreurs systématiques doivent être éliminées avant même que les mesures ne soient prises et ne sont pas autorisées pendant le processus de mesure.

Ensuite, si α est la valeur de division de l'appareil de mesure, alors toutes les mesures répétées sont effectuées avec une précision de α. Mais alors, bien entendu, la moyenne arithmétique des résultats de toutes les mesures ne peut être indiquée qu'avec une précision de α, c'est-à-dire avec une précision déterminée par la précision de l'appareil.

Il ne faut donc pas penser qu'après avoir effectué un nombre suffisamment important de mesures répétées de la quantité UN puis en trouvant la moyenne arithmétique des résultats de ces mesures, on obtient exact signification UN. Nous ne l'obtiendrons que dans la limite de la précision de l'appareil de mesure. Et même alors, si l'on exclut erreur systématique des mesures.

En voici un autre important cas particulier loi des grands nombres. Laisser X=k– le nombre d'occurrences d'un événement UN V P. tests répétés ( X- valeur aléatoire). Et laissez et – probabilité d’occurrence et de non-occurrence d’un événement UN en un seul essai. Considérons une variable aléatoire - la fréquence relative d'occurrence d'un événement UN V P. essais. Présentons également n Variables aléatoires ( X 1, X 2, … X n), qui représentent le nombre d'occurrences de l'événement UN dans le premier, le deuxième,... P.-èmes tests. Alors k = X 1 + X 2 +…+ Xp, et survenance d'un événement UN coïncide pratiquement avec la probabilité que l'événement se produise UN en un seul essai. Cette conclusion est basée sur la recherche des probabilités de nombreux événements aléatoires, dont les probabilités ne peuvent pas être trouvées autrement (théoriquement).

Par exemple, supposons que le test consiste à lancer une pièce de monnaie déformée (asymétrique) et que l'événement UN pour ce défi, c'est une crête. Probabilité de l'événement UN Par formule classique ou d'une autre manière formule théorique c'est difficile à trouver, car une telle formule doit refléter d'une manière ou d'une autre les caractéristiques de la déformation de la pièce. Par conséquent, le véritable chemin menant au but est un : lancer la pièce à plusieurs reprises (plus le nombre de lancers est grand n, mieux c'est) et déterminer empiriquement la fréquence relative d'apparition des armoiries. Si n est grand, alors conformément à la loi des grands nombres, on peut affirmer avec une forte probabilité que .

La loi des grands nombres se manifeste dans de nombreux phénomènes naturels et sociaux.

Exemple 1. Comme on le sait, le gaz placé dans un récipient fermé exerce une pression sur les parois du récipient. Selon les lois de l'état du gaz, à température de gaz constante, cette pression est constante. La pression du gaz est provoquée par les impacts chaotiques de molécules individuelles contre les parois du récipient. Les vitesses et les directions de mouvement de toutes les molécules sont différentes, donc les forces d'impact de différentes molécules sur les parois du récipient sont également différentes. Cependant, la pression du gaz sur les parois du récipient n'est pas déterminée par la force d'impact des molécules individuelles, mais par leur moyenne de force. Mais elle est comme la moyenne un grand nombre indépendamment de forces actives, selon la loi des grands nombres, restera pratiquement inchangé. Par conséquent, la pression du gaz sur les parois du récipient reste pratiquement inchangée.

Exemple 2. Une compagnie d'assurance qui s'occupe, par exemple, de l'assurance automobile, paie différents montants d'assurance pour différents événements assurés (accidents de voiture et accidents de la route). Cependant, la valeur moyenne de ce montant d'assurance, comme la moyenne de nombreux n les montants d'assurance indépendants, selon la loi des grands nombres, resteront pratiquement inchangés. Il peut être déterminé en examinant les statistiques réelles des réclamations d’assurance. Pour qu'une compagnie d'assurance évite les pertes, la prime d'assurance moyenne facturée à ses clients doit être supérieure à la prime moyenne payée par la compagnie à ses clients. Mais cette prime ne doit pas être trop élevée pour que l’entreprise soit compétitive (pour rivaliser en attractivité avec les autres compagnies d’assurance).

Au début du cours, nous avons déjà parlé du fait que lois mathématiques les théories des probabilités sont obtenues en faisant abstraction de modèles statistiques réels inhérents aux phénomènes aléatoires de masse. La présence de ces modèles est précisément associée à la nature massive des phénomènes, c'est-à-dire à un grand nombre d'expériences homogènes réalisées ou à un grand nombre d'influences aléatoires cumulatives, qui dans leur totalité génèrent une variable aléatoire soumise à un une loi bien définie. Propriété de stabilité de masse phénomènes aléatoires connu de l'humanité depuis l'Antiquité. Quel que soit le domaine dans lequel il se manifeste, son essence se résume à ce qui suit : caractéristiques spécifiques chaque phénomène aléatoire individuel n'a presque aucun effet sur le résultat moyen des masses et des phénomènes similaires ; les écarts aléatoires par rapport à la moyenne, inévitables dans chaque phénomène individuel, s'annulent mutuellement, s'aplanissent, s'aplanissent dans la masse. C'est cette stabilité des moyennes qui représente le contenu physique de la « loi des grands nombres », entendue au sens large du terme : avec un très grand nombre de phénomènes aléatoires, leur résultat moyen cesse pratiquement d'être aléatoire et peut être prédit. avec un haut degré de certitude.

DANS au sens étroit le mot « loi des grands nombres » dans la théorie des probabilités désigne une série théorèmes mathématiques, dans chacun desquels, pour certaines conditions, est établi le fait que les caractéristiques moyennes d'un grand nombre d'expériences se rapprochent de certaines certaines constantes.

En 2.3 nous avons déjà formulé le plus simple de ces théorèmes - le théorème de J. Bernoulli. Elle affirme qu'avec un grand nombre d'expériences, la fréquence d'un événement se rapproche (plus précisément, converge en probabilité) de la probabilité de cet événement. Avec d'autres, plus formulaires généraux Nous présenterons la loi des grands nombres dans ce chapitre. Tous établissent le fait et les conditions de convergence de la probabilité de certaines variables aléatoires vers des variables constantes et non aléatoires.

La loi des grands nombres joue un rôle important dans Applications pratiques théorie des probabilités. La propriété des variables aléatoires, dans certaines conditions, de se comporter pratiquement comme des variables non aléatoires permet d'opérer en toute confiance avec ces quantités et de prédire les résultats des phénomènes aléatoires de masse avec une certitude presque totale.

Les possibilités de telles prédictions dans le domaine des phénomènes aléatoires de masse sont encore élargies par la présence d'un autre groupe de théorèmes limites, qui concernent non pas les valeurs limites des variables aléatoires, mais les lois limites de distribution. Il s'agit de sur un groupe de théorèmes connus sous le nom de « théorème central limite ». Nous avons déjà dit que lors de la sommation d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires, la loi de distribution de la somme se rapproche indéfiniment de la normale, sous certaines conditions. Ces conditions, qui peuvent être formulées mathématiquement de différentes manières - sous une forme plus ou moins générale - se résument essentiellement à l'exigence que l'influence sur la somme des termes individuels soit uniformément faible, c'est-à-dire que la somme ne comprenne pas les membres qui dominent nettement la totalité du reste selon leur influence sur la dispersion du montant. Les différentes formes du théorème central limite diffèrent les unes des autres par les conditions pour lesquelles cette propriété limite de la somme des variables aléatoires est établie.

Diverses formes de la loi des grands nombres ainsi que Formes variées Le théorème central limite forme un ensemble de théorèmes limites de la théorie des probabilités. Les théorèmes limites permettent non seulement de faire des prévisions scientifiques dans le domaine des phénomènes aléatoires, mais aussi d'évaluer l'exactitude de ces prévisions.

Dans ce chapitre, nous ne considérerons que quelques-uns des plus formes simples théorèmes limites. Nous considérerons d’abord les théorèmes liés au groupe « loi des grands nombres », puis les théorèmes liés au groupe « théorème central limite ».

La « loi des grands nombres » en théorie des probabilités est comprise comme une série de théorèmes mathématiques dont chacun, dans certaines conditions, établit le fait que les caractéristiques moyennes d'un grand nombre d'expériences se rapprochent de certaines certaines constantes.

Elle est basée sur l’inégalité de Chebyshev :

La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à un nombre positif ε n'est pas inférieure à :

Valable pour les véhicules récréatifs discrets et continus.

53. Théorème de Chebyshev.

Soit une séquence infinie de variables aléatoires indépendantes avec la même espérance mathématique et des variances limitées par la même constante C :

Alors, quel que soit le nombre positif, la probabilité de l’événement tend vers un.

54. Théorème de Bernoulli.

Soit n produit tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité d'occurrence de l'événement A est égale à p.

55. Le concept du théorème central limite de Lyapunov.

La distribution de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes dans des conditions très générales est proche de la distribution normale.

On sait que les variables aléatoires normalement distribuées sont largement distribuées dans la pratique. L'explication en a été donnée par A.M. Lyapunov dans le théorème central limite : si une variable aléatoire est la somme d'un très grand nombre de variables aléatoires mutuellement indépendantes, dont l'influence de chacune sur la somme totale est négligeable, alors elle a un répartition proche de la normale.

56. Population générale et échantillon : définitions et concepts de base.

La statistique mathématique est une science qui s'occupe du développement de méthodes d'obtention, de description et de traitement de données expérimentales afin d'étudier les modèles de phénomènes de masse aléatoires.

Problèmes de statistiques mathématiques :

Estimation d'une fonction de distribution inconnue basée sur les résultats de mesure.

Grade paramètres inconnus distributions.

Tests d'hypothèses statiques.

Étudions une caractéristique quantitative x.

Puis sous population générale l'ensemble de toutes ses significations possibles est compris.

Pour étudier les propriétés de cette caractéristique Dans la population générale, une partie des éléments est sélectionnée aléatoirement par des variantes Xi, qui forment un échantillon de population ou d'échantillon.

Le nombre d'éléments d'une collection est appelé son objet n.

Échantillonnage : 1) échantillonnage répété, dans lequel l'objet sélectionné (avant de sélectionner le suivant) est renvoyé à la population générale.

2) échantillonnage sans répétition, dans lequel l'objet sélectionné est renvoyé à la population générale.

Afin d'utiliser les données de l'échantillon pour juger avec suffisamment de confiance sur la caractéristique de la population générale qui nous intéresse, il est nécessaire que l'échantillon soit représentatif.)

En vertu de la loi des grands nombres, on peut affirmer qu'un échantillon sera représentatif s'il est réalisé de manière aléatoire : chaque objet de la population doit avoir la même probabilité d'être inclus dans l'échantillon.

Si l'objet de population est suffisamment grand et que l'échantillon ne constitue qu'une petite partie de cette population, alors la distinction entre échantillons répétés et non répétitifs s'efface.

Une liste d’options classées par ordre croissant est appelée une série de variations.

Le nombre d'observations d'une option donnée est appelé sa fréquence ni, et le rapport de la fréquence ni à l'objet échantillon est la fréquence n relative wi.

La théorie des probabilités étudie les modèles inhérents aux phénomènes aléatoires de masse. Comme toute autre science, la théorie des probabilités vise à prédire le plus précisément possible l’issue d’un phénomène ou d’une expérience particulière. Si le phénomène est de nature isolée, alors la théorie des probabilités ne peut prédire la probabilité du résultat que dans des limites très larges. Les régularités n'apparaissent qu'avec un grand nombre de phénomènes aléatoires se produisant dans des conditions homogènes.

Un groupe de théorèmes qui établissent une correspondance entre les caractéristiques théoriques et expérimentales des variables aléatoires et des événements aléatoires avec un grand nombre de tests sur celles-ci, ainsi que ceux concernant les lois de distribution limite, sont regroupés sous Nom commun théorèmes limites de la théorie des probabilités.

Il existe deux types de théorèmes limites : la loi des grands nombres et le théorème central limite.

Loi des grands nombres occupé l'endroit le plus important en théorie des probabilités, le lien entre la théorie des probabilités science mathématique et les modèles de phénomènes aléatoires lors de leurs observations massives.

La loi joue très rôle important dans les applications pratiques de la théorie des probabilités aux phénomènes naturels et processus techniques associée à la production de masse.

Les lois limites de distribution font l'objet d'un groupe de théorèmes - forme quantitative loi des grands nombres. Ceux. la loi des grands nombres est une série de théorèmes dont chacun établit le fait que les caractéristiques moyennes d'un grand nombre de tests se rapprochent de certaines constantes, c'est-à-dire établir le fait de convergence en probabilité de certaines variables aléatoires vers des constantes. Ce sont les théorèmes de Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev.

1. UN) Théorème de Bernoulli – loi des grands nombres ( a été formulé et prouvé plus tôt au paragraphe 3 du § 6 en considérant le théorème intégral limite de Moivre-Laplace.)

Avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences indépendantes homogènes, la fréquence d'un événement différera aussi peu que souhaité de la probabilité d'un événement dans une expérience distincte. Sinon, la probabilité que l'écart fréquence relative survenance d'un événement UN depuis probabilité constante R.événements UN très peu quand tend vers 1 pour tout : .

b) Théorème de Chebyshev.

Avec une augmentation illimitée du nombre d'essais indépendants, la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire à variance finie converge en probabilité vers son espérance mathématique, sinon, si des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique avec espérance mathématique et une dispersion limitée, alors pour tout ce qui suit est vrai : .

Théorème de Chebyshev (généralisé). Si les variables aléatoires de la séquence sont indépendantes par paire et que leurs variances satisfont à la condition , alors pour tout ε > 0 positif, l'affirmation suivante est vraie :

ou c'est quoi la même chose .

c) Théorème de Markov. (loi des grands nombres en formulation générale)

Si les variances des variables aléatoires arbitraires de la séquence satisfont à la condition : , alors pour tout ε > 0 positif, l’énoncé du théorème de Chebyshev est vrai : .

d) Théorème de Poisson.

Avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences indépendantes dans conditions variables fréquence des événements UN converge en probabilité vers la moyenne arithmétique de ses probabilités pour des tests donnés.

Commentaire. Dans aucune des formes de la loi des grands nombres, nous ne traitons des lois de distribution des variables aléatoires. Question liée à la découverte loi limite la distribution de la somme lorsque le nombre de termes augmente indéfiniment est considérée par le théorème central limite. identiquement distribué, on arrive alors à théorème intégral De Moivre-Laplace (Section 3 du § 6), qui est le cas particulier le plus simple du théorème central limite.