Le travail de l'enseignant sur le théorème se déroule en plusieurs étapes. Soulignons les principales de ces étapes : 1) mise à jour des connaissances, motivation à l'étude du théorème ; 2) formulation du théorème et assimilation de son contenu ; 3) preuve du théorème ; 4) consolidation et application du théorème
A noter que dans chaque cas spécifique, l'enseignant décide lui-même quelles étapes utiliser dans quelle mesure et lesquelles peuvent être supprimées. Cela dépend des caractéristiques de la classe, de l’expérience antérieure de l’enseignant, de la complexité du théorème de perception, etc.
Étape 1 – mise à jour des connaissances(répétition de base) et la motivation pour étudier le théorème.
Technologie d'organisation de la répétition des références : enseignant
– divise la preuve en un nombre maximum d'étapes ;
– identifie tous les faits mathématiques sur lesquels repose la preuve ;
– analyse si tous et dans quelle mesure sont connus des étudiants ;
– organise la répétition de base sous la forme d'une conversation, d'une enquête frontale, d'un système de tâches préparatoires (le plus souvent « sur des dessins tout faits » - voir ci-dessous).
La motivation pour étudier un théorème est le plus souvent associée par l'enseignant à la solution problème pratique, dans lequel le fait reflété dans le théorème est nécessaire (voir exemple p. 30).
Étape 2 – introduire la formulation du théorème et maîtriser son contenu.
Décrivons deux manières principales d'introduire la formulation du théorème.
1ère méthode. L'enseignant formule lui-même le théorème avec ou sans motivation préalable.
Il n’est pas nécessaire de se précipiter dans la formulation. Ce n'est que si c'est simple et intelligible que vous pouvez commencer par la formulation. Si la formulation n'est pas simple, alors l'enseignant dessine d'abord une figure, découvre et écrit au tableau la condition, la conclusion du théorème, et seulement après cela le formule complètement.
Les avantages de la méthode sont la brièveté, la clarté, le gain de temps ; désavantage - le formalisme et le dogmatisme sont possibles.
2ème méthode. Les étudiants sont prêts à formuler le théorème de manière indépendante.
En planimétrie, des exercices de construction et de mesure de figures correspondantes sont souvent utilisés à cet effet.
Exemple. Pour que les élèves découvrent en toute autonomie le théorème des cordes d'un cercle, l'enseignant propose prochaines questions et tâches :
– Dessinez deux accords inégaux dans un cercle.
– Déterminez à l’œil lequel est le plus proche du centre.
– Formulez votre conclusion.
Les avantages de la méthode sont le développement des capacités créatives des étudiants, un intérêt croissant pour l'étude de la géométrie ; Inconvénients - beaucoup de temps, dispersion possible de l'attention sur des détails sans importance.
Une fois le théorème formulé, nous travaillons à la clarification : nous précisons la terminologie, soulignons la condition et la conclusion du théorème. Parallèlement, un bref enregistrement des données et de ce qui doit être prouvé est effectué ; le dessin est en cours de construction.
Exigences de dessin :
– doit être représenté de manière générale, et non cas particulier;
– les dimensions du dessin doivent être optimales ;
– les données et celles recherchées sont mises en évidence en couleur dans le dessin, des marques et symboles spéciaux sont utilisés pour la désignation.
Étape 3 – preuve du théorème.
Plus tôt (voir 3.2), nous avons caractérisé les bases logiques et méthodes mathématiques preuves de théorèmes.
Le manuel détermine en grande partie le choix de la méthode de preuve : logique (directe ou indirecte, analytique, synthétique ou méthode par contradiction) et mathématique (méthode des transformations géométriques ou méthode d'égalité ou de similarité des triangles).
L'enseignant doit avoir une bonne compréhension de la structure de tous types de preuves et être capable de traduire une preuve synthétique en analytique et vice versa; choisir consciemment un raisonnement analytique ou synthétique dans le cours (en fonction de l'âge et du niveau de formation des élèves, du profil de la classe, du temps passé éventuellement, etc.).
L'élève doit comprendre que le processus de preuve consiste à construire un enchaînement de raisonnements cohérent, justifié à l'aide de faits mathématiques déjà connus. La conclusion est son dernier maillon.
On le sait, chaque étape de cette chaîne est un syllogisme. À l'école, il n'est pas possible, ni même nécessaire, d'introduire les termes « syllogisme », « prémisse majeure », « prémisse mineure ». Typiquement, dans l'enseignement de la géométrie à l'école de base, les termes « étape », « étape » sont utilisés : à chaque étape de la preuve, un énoncé et sa justification sont indiqués.
Dans un premier temps, pour comprendre la structure de la preuve, une fois celle-ci trouvée, il est utile de la concevoir sous la forme de deux colonnes, dont l'une contient des énoncés et l'autre contient une justification.
Exemple. Signe de lignes parallèles.
Théorème : Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
La plus grande difficulté est de maîtriser la logique de la preuve. Des cartes spéciales pouvant être utilisées comme travail indépendant peuvent être d'une grande aide ici, devoirs, tâches pour les entretiens individuels, etc. 1
La technique pour les réaliser est simple : en omettant certains points dans les colonnes « déclaration » et « justification », on obtient l'une des options d'une carte individuelle, qui peut être utilisée comme une feuille avec support imprimé(l'étudiant complète les fragments manquants de la preuve).
Mode d'utilisation des cartes : une carte est délivrée et demande à être remplie des places libres; différents groupes d'élèves se voient proposer des cartes avec un contenu textuel différent, individualisant ainsi l'enseignement des mathématiques.
Pour préparer les étudiants à étudier la preuve de nombreux enseignants utilisent des théorèmes méthode d'élaboration d'un plan de preuve. Il y a généralement deux étapes.
1 approche. Donné plan prêt preuve d'un nouveau théorème, les élèves sont invités à le prouver eux-mêmes à l'aide d'un plan.
Exemple. Au théorème « Si dans un quadrilatère côtés opposés sont égaux deux à deux, alors c'est un parallélogramme », le plan suivant est proposé :
1. Dessinez une diagonale
2. Prouver l'égalité des triangles résultants
3. Prouver le parallélisme des côtés opposés d'un quadrilatère
4. Tirez une conclusion.
Le plan est présenté à la classe, par exemple, sur un écran à l'aide d'un tableau interactif, d'un projecteur multimédia ou d'un rétroprojecteur. comme ça nouvel uniforme Les étudiants perçoivent les tâches avec un intérêt exceptionnel. Dès que le plan apparaît à l’écran, ils se taisent – ils réfléchissent. De nombreuses personnes expriment alors le désir de répondre. Comment expliquer cet intérêt accru ?
Premièrement, le plan décompose la preuve d'un théorème en une série d'étapes simples et élémentaires que les élèves peuvent déjà suivre. S’ils n’ont pas encore appris à les mettre en œuvre, cela ne sert à rien de leur donner un plan.
Deuxièmement, les étudiants estiment qu'avec l'aide du plan, ils seront en mesure de prouver nouveau théorème. N'écoutez pas et ne mémorisez pas, mais prouvez-le vous-même. Cela les séduit vraiment.
Troisièmement, le plan vous permet de couvrir l'intégralité de la preuve dans son ensemble et d'en parvenir à une compréhension complète. Par conséquent, l’impact négatif est affaibli lorsque la mentalité de mémorisation rend la compréhension difficile. Cela conduit à la confiance et au désir de travailler augmente.
2ème approche. Les étudiants apprennent dresser un plan pour un théorème déjà prouvé. Ce travail se fait d’abord collectivement, puis de manière indépendante. De plus, ici, l'enseignant doit montrer à plusieurs reprises des exemples d'élaboration d'un plan. Les étudiants perçoivent librement plan prêt, mais ils ne développent pas immédiatement les compétences nécessaires pour élaborer un plan. De très bons résultats sont obtenus dans les cas où l'on doit prouver plusieurs théorèmes. plan global. De tels théorèmes, unis par une idée commune, sont appris de manière particulièrement productive.
Comme nous l'avons déjà dit, les manuels de planimétrie présentent de brèves preuves synthétiques de théorèmes. L'enseignant doit systématiquement enseigner aux élèves :
1) construire des preuves à partir d'étapes ;
2) transformer des épreuves de livre abrégées en chaînes détaillées d'étapes indiquant des justifications ;
3) établir des enregistrements complets de la preuve de théorèmes individuels.
Donnons un exemple de preuve complète du théorème étape par étape.
Exemple. Une preuve complète du test de parallélisme des droites (la formulation et le résumé de la preuve sont donnés à la page précédente).
Soit à l'intersection des lignes UN Et V sécante Avec nous avons par exemple des angles 2 et 3 – verticaux, 1 et 3 – transversaux.
1. Depuis 3 et 2 – angles verticaux, alors 3 = 2 (les angles verticaux sont égaux).
2. Puisque 1 = 2 et 3 = 2, alors 1 = 3 (si les côtés droits des vraies égalités sont égaux, alors leurs côtés gauches sont égaux).
3. Puisque 1 et 3 sont des angles transversaux à l'intersection des droites UN Et V sécante Avec et 1 = 3, alors UN V(si lorsque deux droites coupent une transversale, les angles couchés sont égaux, alors les droites sont parallèles).
Le théorème est prouvé .
Dans le processus de preuve, il est nécessaire d'utiliser pleinement les conditions du théorème. L'un des moyens consiste à discuter à quelles étapes et comment telle ou telle partie de la condition est appliquée, et si elles sont toutes utilisées dans la preuve.
Pour assurer l'assimilation des preuves, il est largement utilisé acceptation de la double preuve: d'abord, seule l'idée, le plan est discuté ; la preuve est présentée par fragments. Ensuite, la preuve est présentée dans son intégralité, avec toutes les subtilités et nuances.
Dans l'expérience de V.F. Shatalov utilise la répétition super-multiple de la preuve, souvent au niveau d'une idée ou d'un plan.
Étape 4 – consolidation et application du théorème
L'étape de consolidation du théorème consiste à déterminer si l'essence du théorème lui-même, l'idée, la méthode de preuve et ses étapes individuelles sont comprises. Les techniques de fixation peuvent être les suivantes :
– au cours de la conversation avec les étudiants, mettre à nouveau en évidence l'idée principale, la méthode et les étapes de preuve ;
– proposer d'expliquer les différentes étapes de la preuve ;
– lister tous les axiomes, théorèmes et définitions utilisés dans la preuve ;
– savoir où telle ou telle condition est utilisée, si toutes ont été utilisées ;
– existe-t-il d'autres moyens de preuve ;
– lors de la fixation, il est utile de varier les désignations sur le dessin, ainsi que le dessin lui-même, etc.
L'application du théorème s'organise dans le processus de résolution des problèmes dans lesquels il est utilisé. Il faut garder à l'esprit que le manuel ne propose pas toujours un système de problèmes pour appliquer un théorème spécifique ; le plus souvent, des problèmes individuels sont posés ; professeur expérimenté peut compléter. Les théorèmes sont également utilisés pour prouver d'autres théorèmes dans le cours ultérieur de planimétrie et de stéréométrie.
Thème 13. Théorèmes et preuves
Dans ce sujet, vous vous familiariserez avec trait distinctif Les mathématiques, par rapport à la physique et aux autres sciences, ne reconnaissent que les vérités ou lois qui ont été prouvées. À cet égard, le concept de théorème sera analysé et certains types de théorèmes et méthodes pour les prouver seront considérés.
13/09/03. Particularité des mathématiques
Théorie
1.1. Si l’on compare les mathématiques et la physique, ces deux sciences utilisent à la fois des observations et des preuves. Avec physique expérimentale existe physique théorique, dans lequel certaines affirmations, comme les théorèmes mathématiques, sont prouvées sur la base de lois physiques en déduisant séquentiellement certaines propositions à partir d'autres. Cependant lois physiques ne sont reconnus comme vrais que lorsqu'ils sont confirmés un grand nombre expériences. Ces lois peuvent être affinées au fil du temps.
Les mathématiques utilisent également les observations.
Exemple 1 : Observer cela
nous pouvons faire l'hypothèse que la somme des mille premiers impairs nombres naturels est égal à 1000000.
Cette affirmation peut être vérifiée calculs directs, après avoir dépensé grande quantité temps.
Nous pouvons également faire l’hypothèse générale que pour tout nombre naturel, la somme des nombres impairs initiaux est égale à . Cette affirmation ne peut pas être vérifiée par des calculs directs, car l’ensemble de tous les nombres naturels est infini. Cependant, l’hypothèse formulée est correcte car elle peut être prouvée.
Exemple 2. Nous pouvons mesurer les angles de nombreux triangles..gif" height="20">, est vrai si nous prenons le cinquième postulat d'Euclide comme axiome. éprouvé en 7ème année.
Exemple 3. Substitution dans un polynôme
au lieu de nombres naturels de 1 à 10, on obtient nombres premiers 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. On peut supposer que pour tout valeur naturelle trinôme quadratique est un nombre premier. La vérification a montré que cela est effectivement vrai pour tout nombre naturel de 1 à 39. Cependant, l'hypothèse est incorrecte, puisque le résultat est un nombre composé :
Le recours à la preuve plutôt qu’à l’observation pour établir la vérité des théorèmes est la marque des mathématiques.
Une conclusion tirée d'observations, même nombreuses, est considérée loi mathématique seulement quand il éprouvé.
1.2. Limitons-nous au concept intuitif de preuve comme dérivation séquentielle de certains jugements à partir d'autres, sans procéder à une analyse précise du concept d'inférence ou d'inférence. Analysons plus en détail le concept du théorème.
Un théorème est généralement appelé un énoncé dont la vérité est établie par une preuve. Le concept de théorème s'est développé et s'est affiné parallèlement au concept de preuve.
DANS sens classique Un théorème est une affirmation qui est prouvée en dérivant certaines propositions d'autres. Dans ce cas, il faut en sélectionner quelques-uns lois initiales ou axiomes, qui sont acceptés sans justificatif.
Le système d’axiomes en géométrie a été construit pour la première fois par le mathématicien grec Euclide dans son célèbre ouvrage Éléments. Suivant les axiomes des Éléments, théorèmes et problèmes de construction d'Euclide sous Nom commun des offres. Les théorèmes sont classés dans un ordre strict.
Chaque théorème est d'abord énoncé, puis ce qui est donné et ce qui doit être prouvé est indiqué. Ensuite, la preuve est présentée avec toutes les références aux propositions et axiomes précédemment prouvés. Parfois, la preuve se termine par les mots qui devaient être prouvés. Traduit en tout langues européennes Les Éléments d'Euclide, qui comprenaient 13 livres, restèrent jusqu'au XVIIIe siècle le seul manuel utilisé pour étudier la géométrie dans les écoles et les universités.
1.3. Pour faciliter l'identification de ce qui est donné et de ce qui doit être prouvé, les théorèmes sont formulés sous la forme si..., alors.... La première partie de la formulation du théorème entre si et alors s'appelle condition théorème, et la deuxième partie, qui est écrite après, s'appelle conclusion théorèmes.
Les conditions du théorème contiennent une description de ce qui est donné et la conclusion contient ce qui doit être prouvé.
Parfois, cette forme de théorème est appelée forme logique théorèmes, et est abrégé en forme si-alors.
Exemple 4. Considérons le théorème suivant.
Si c’est un nombre naturel pair, alors c’est un nombre impair.
Dans ce théorème, la condition est que tout nombre pair..gif" width="32 height=19" height="19"> impair.
Souvent, la condition et la conclusion sont écrites avec des mots différents.
Exemple 5. Le théorème de l'exemple 1 peut s'écrire sous la forme suivante :
Soit un nombre pair naturel. Alors c'est un nombre impair.
Dans ce cas, au lieu du mot s'ils utilisent le mot let, et au lieu du mot alors ils écrivent le mot alors.
Exemple 6. Le théorème de l'exemple 1 peut également s'écrire sous la forme suivante :
Du fait que l'entier naturel est pair, il s'ensuit que le nombre .gif" width="13" height="15"> implique que le nombre est impair.
Dans ce cas, le mot if est omis et à la place du mot alors, le mot implique est utilisé.
Parfois, d’autres types de notation des théorèmes sont utilisés.
1.4. Dans certains cas, les conditions du théorème ne sont pas consignées dans sa formulation. Cela se produit lorsqu'il ressort clairement du texte quelle forme cette condition peut prendre.
Exemple 8. Vous connaissez le théorème : les médianes d'un triangle se coupent en un point.
DANS forme logique ce théorème peut s'écrire comme suit :
Si vous dessinez toutes les médianes d’un triangle, ces médianes se couperont en un point.
Exemple 9. Le théorème sur l'infinité de l'ensemble des nombres premiers peut s'écrire sous la forme :
Si est l’ensemble de tous les nombres premiers, alors il est infini.
Pour établir des liens entre les théorèmes en mathématiques, ils utilisent langue spéciale, qui sera partiellement discuté dans les paragraphes suivants de ce chapitre.
Questions de contrôle
1. Quels exemples d'observations en mathématiques connaissez-vous ?
2. Quels axiomes de géométrie connaissez-vous ?
3. Quelle notation du théorème est appelée la forme logique du théorème ?
4. Quelle est la condition du théorème ?
5. Qu'appelle-t-on la conclusion du théorème ?
6. Quelles formes d'écriture de théorèmes connaissez-vous ?
Tâches et exercices
1. Quelles hypothèses pouvez-vous faire en observant :
a) le produit de deux nombres naturels adjacents ;
b) la somme de deux nombres naturels adjacents ;
c) la somme de trois nombres naturels consécutifs ;
d) la somme de trois nombres impairs ;
d) derniers chiffres V notation décimale nombres .gif" width="13 height=15" height="15">;
f) le nombre de parties en lesquelles le plan est divisé par diverses droites passant par un point ;
g) le nombre de parties en lesquelles le plan est divisé par diverses lignes droites, dont les lignes droites sont parallèles deux à deux et se coupent .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > nombres de la forme , où est un nombre naturel ;
d) la somme de deux nombres irrationnels ?
3. Quelle hypothèse pouvez-vous faire en observant les centres de cercles circonscrits autour de triangles obtus ?
4. Écrivez le théorème sous forme logique :
a) montant coins internes convexe https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) deux rectangulaires quelconques triangle isocèle similaire;
c) l'égalité est valable pour tous les entiers et ;
d) la hauteur d'un triangle isocèle tiré à sa base coupe l'angle au sommet de ce triangle ;
d) pour tout nombres non négatifs et l'inégalité est satisfaite ;
e) la somme de deux coins opposés un quadrilatère inscrit dans un cercle vaut 180 ;
g) le nombre n'est pas un nombre rationnel ;
h) tous les nombres premiers supérieurs à 10 sont impairs ;
i) les diagonales d'un carré sont égales, perpendiculaires et bissectrices au point d'intersection ;
j) de tous les quadrilatères inscrits dans cercle donné, la place a la plus grande superficie ;
k) il existe un nombre premier pair ;
l) aucun nombre premier ne peut être représenté comme la somme de deux nombres naturels impairs différents ;
m) la somme des cubes des premiers nombres naturels est le carré d'un nombre naturel.
5.* Chacun des théorèmes donnés dans tâche précédente, écrivez-le de plusieurs manières différentes.
Réponses et directions
Tache 1. Quelles hypothèses pouvez-vous faire en observant :
a) le produit de deux nombres naturels adjacents ;
b) la somme de deux nombres naturels adjacents ;
c) la somme de trois nombres naturels consécutifs ;
d) la somme de trois nombres impairs ;
d)derniers chiffres en notation décimaleavec du naturel;
e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 hauteur=20" hauteur="20"> nombre de parties en lesquelles le plan est divisé https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> les lignes droites sont parallèles deux à deux et se coupent.gif" width="13 hauteur=20" hauteur="20"> nombre de parties en lesquelles le plan est divisé https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> seuls quatre chiffres peuvent être obtenus :
0, 1, 5, 6 ; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" largeur ="13" hauteur="15"> -gon est égal à;
b) deux triangles isocèles rectangles sont semblables ;
c) égalitéfonctionne pour tous les entiersEt;
Axiome il existe une vérité évidente qui n'a pas besoin d'être prouvée.
Théorème ou une proposition est une vérité qui nécessite une preuve.
Preuve est un ensemble de raisonnements qui rendent cette proposition évidente.
La preuve atteint son objectif lorsque, avec son aide, on découvre que la proposition donnée est une conséquence nécessaire des axiomes ou d'une autre proposition déjà prouvée.
Chaque preuve est basée sur le principe selon lequel, avec une inférence correcte, une fausse conclusion ne peut être tirée d'une phrase vraie.
Composition du théorème. Chaque théorème se compose de deux parties, a) les conditions et b) la conclusion ou la conséquence.
La condition est parfois appelée une hypothèse. Il est donné et reçoit donc parfois le nom donné.
Théorème inverse. Une phrase dans laquelle la conclusion d'un théorème donné devient une condition et la condition devient une conclusion est appelée théorème inverse..
Dans ce cas ce théorème appelé directement.
Deux théorèmes ensemble, direct et inverse, sont appelés théorèmes mutuellement inverses.
Ils sont dans une telle relation mutuelle que, ayant choisi l'un d'eux comme direct, l'un peut prendre l'autre comme inverse.
Dans deux propositions mutuellement inverses, l’une suit comme conséquence nécessaire de l’autre.
Si dans le théorème nous désignons la condition par la lettre en premier lieu, et la conclusion par la lettre en deuxième place, alors le théorème direct peut être schématiquement représenté par l'expression (Aa), et l'inverse de l'expression(aA).
L'expression (Aa) représente schématiquement la proposition : si A est le cas, alors a est le cas.
Si pour cette offre(Aa) et le théorème (aA) sont valables, alors les deux théorèmes (Aa) et (aA) sont appelés théorèmes mutuellement inverses.
Un exemple de deux de ces théorèmes mutuellement inverses peut être les théorèmes suivants :
Premier théorème. Dans un triangle, les côtés opposés égaux se trouvent angles égaux .
Deuxième théorème. Dans un triangle, il y a des angles opposés égaux côtés égaux .
Dans le premier théorème, la condition donnée sera l'égalité des côtés du triangle, et la conclusion sera l'égalité des angles opposés, et dans le second, vice versa.
Tous les théorèmes n’ont pas leur inverse.
Un exemple de phrase arithmétique qui n’a pas son inverse est le suivant théorème. Si les facteurs de deux produits sont égaux, alors les produits sont égaux.
L’hypothèse inverse n’est pas vraie. En effet, du fait que les produits sont égaux, il ne s’ensuit pas que les facteurs soient égaux.
Un exemple de phrase géométrique pour laquelle la réciproque n’est pas vraie est théorème: dans chaque carré les diagonales sont égales.
Le contraire serait : si les diagonales d’un quadrilatère sont égales, alors ce sera un carré.
Cette hypothèse est incorrecte, car les diagonales sont égales dans plus d’un carré.
Puisque l’hypothèse inverse n’est pas toujours vraie, la proposition opposée nécessite à chaque fois une preuve particulière.
En théorie preuves géométriques Il est parfois très important de savoir quand une phrase donnée admet son contraire.
Les éléments suivants peuvent servir à cet effet : règle de réversibilité. Quand, en supposant que tout soit possible et conditions différentes toutes les conclusions possibles et différentes correspondent, la proposition inverse est vraie.
Regardons cela à titre d'exemple.
Offre directe. Si deux triangles ont deux côtés égaux,alors le troisième côté sera supérieur, égal ou inférieur au troisième côté de l'autre triangle, selon que l'angle entre les côtés égaux est supérieur, égal ou inférieur à l'angle correspondant de l'autre triangle.
Dans cette phrase, trois hypothèses différentes et possibles sur l'angle correspondent à trois conclusions différentes et possibles sur le côté opposé, donc, conformément à la règle de réversibilité, ce théorème permet hypothèse inverse:
Lorsque deux triangles ont deux côtés égaux, l'angle entre eux sera supérieur, égal ou inférieur à l'angle correspondant de l'autre triangle, selon que le troisième côté est supérieur, égal ou inférieur au troisième côté. du triangle donné.
En plus de l'inverse, le théorème direct peut avoir son contraire.
Théorème opposé il y en a un dans lequel la négation de la condition implique la négation de la conclusion.
Le théorème opposé peut avoir sa réciproque.
Pour résumer tous ces théorèmes, nous les présentons schématiquement sous la forme générale suivante :
Théorème direct ou principal. Si la condition ou la propriété A est vérifiée, alors la conclusion ou la propriété B est vérifiée.
Inverse. Si B se produit, alors A se produit.
Opposé. Si A ne se produit pas, alors B ne se produit pas.
Revers ci-contre. Si B ne se produit pas, alors A ne se produit pas.
Les exemples suivants illustrent des cas spécifiques relation mutuelle ces théorèmes :
Théorème direct. Si, lorsque deux droites données en coupent une troisième, les angles correspondants sont égaux, alors les droites données sont parallèles.
Théorème inverse. Si deux droites sont parallèles, alors lorsqu'elles coupent la troisième, les angles correspondants sont égaux.
Opposé. Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, les angles correspondants ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles.
Revers ci-contre. Si les droites ne sont pas parallèles, les angles correspondants ne sont pas égaux.
Dans une présentation géométrique des théorèmes, il suffit de prouver seulement deux de ces trois théorèmes, alors les deux théorèmes restants sont valables sans preuve.
Cette connexion de théorèmes est basée sur la technique par laquelle, pour prouver théorème inverse se limitent souvent à prouver le théorème inverse.
Méthodes de preuves géométriques
Pour preuve théorèmes géométriques Il existe deux manières principales : synthétique Et analytique.
Ces méthodes sont parfois appelées en abrégé la synthèse Et analyse.
La synthèse il existe une méthode de preuve dans laquelle une proposition donnée est une conséquence nécessaire d'une autre, déjà prouvée.
En synthèse, une chaîne de preuves commence par une phrase connue et se termine par cette phrase. Lors de la preuve, la phrase originale est comparée à un axiome ou à une autre phrase déjà connue. La méthode synthétique est pratique pour dériver de nouvelles phrases qui ne sont pas spécifiées à l’avance. Pour la preuve de cette proposition, elle présente de nombreux inconvénients. Il ne montre pas : a) lequel des théorèmes connus doit être choisi pour que la proposition à prouver suive comme sa conséquence nécessaire, et b) laquelle des conséquences de la proposition choisie conduit à la preuve de la proposition.
La synthèse n’est donc pas appelée une méthode permettant de découvrir de nouvelles vérités, mais une méthode permettant de les présenter.
Cependant, même lors de la présentation de théorèmes par la méthode synthétique, il existe un inconvénient dans le sens où il n'est pas clair pourquoi telle et non une autre proposition, ou telle et non une autre conséquence de celle-ci, a été choisie comme vérité initiale dans la chaîne de preuves. .
Un exemple de méthode de preuve synthétique est le théorème suivant.
Théorème. La somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
Dan triangle ABC(dessin 224).
Nous devons prouver que A + B + C = 2d.
Preuve. Traçons une droite DE parallèle à AC.
La somme des angles d'un côté d'une droite est donc égale à deux angles droits :
α + B + γ = 2d
alors, en remplaçant les angles α et γ dans l'égalité précédente par des angles qui leur sont égaux, on a :
A + B + C = 2j (CHD).
Ici, la proposition initiale de la chaîne de preuve est le théorème sur la somme des angles situés d’un côté d’une ligne droite.
Il est mis en relation avec des théorèmes sur l'égalité des angles croisés à l'intersection de deux parallèles et du troisième indirect.
Le théorème à prouver est une conséquence nécessaire de tous les théorèmes proposés et constitue la dernière conclusion de la chaîne de preuves.
Analyse Il existe une voie qui est à l’opposé de la synthèse. En analyse, une chaîne de raisonnement commence par un théorème à prouver et se termine par une autre vérité déjà connue..
L’analyse se présente sous deux formes. De la proposition démontrée, on peut passer à la proposition qui lui sert de base immédiate ou de conséquence immédiate.
En passant d'une proposition donnée à la proposition qui lui sert de base immédiate, nous considérons cette proposition comme une conséquence nécessaire.
En passant d’une proposition donnée à sa conséquence immédiate, nous considérons cette proposition comme la base d’une chaîne d’inférences.
Première méthode d'analyse. En effectuant l'analyse en passant à la base, ils recherchent la première phrase la plus proche dont le donné découle comme conséquence nécessaire. Si cette proposition a été prouvée précédemment, alors cette proposition est également prouvée, mais sinon, cherchez la deuxième proposition, sous-jacent pour le premier.
Cette transition vers la base doit être poursuivie jusqu'à ce que nous parvenions à une proposition complètement prouvée. Cette proposition apparaîtra comme une conséquence nécessaire de la dernière proposition prouvée.
En désignant chaque phrase par une lettre et en la plaçant devant ou derrière l'autre, selon qu'elle servira de base ou de conséquence à une autre phrase, on peut exprimer schématiquement cette méthode d'analyse sous la forme
où M est la proposition donnée, L est sa base la plus proche et H est une proposition complètement prouvée. Si la proposition H est vraie, alors la proposition K est vraie ; si K est vrai, alors L est vrai ; si L est vrai, alors M est également vrai.
Deuxième méthode d'analyse consiste dans le passage d’une proposition donnée à sa conséquence. Cette technique est plus souvent utilisée car il est plus facile de trouver la conséquence nécessaire que de trouver le fondement d'une certaine vérité. Grâce à cette méthode, on dérive d'une proposition donnée le théorème qui lui sert de conséquence immédiate. Si ce corollaire est une proposition déjà prouvée, alors ils s’arrêtent là ; sinon, ils passent au corollaire le plus proche suivant et continuent généralement cette dérivation séquentielle de corollaires jusqu'à ce qu'ils atteignent une proposition complètement prouvée.
Si la dernière phrase n’est pas vraie, alors celle-ci ne l’est pas, car une conséquence incorrecte ne peut pas être obtenue à partir d’une phrase correcte.
Si la dernière phrase est vraie, alors croire en la vérité de cette phrase nécessite que certaines conditions soient remplies.
Schématiquement, cette méthode d’analyse peut être représentée comme
M-N-O-P-Q-R-S
où M est une phrase donnée, N est une phrase qui lui sert de conséquence immédiate, et S est la dernière phrase dont nous sommes entièrement convaincus de la validité.
À partir de deux propositions R et S, reliées de telle sorte que si R est vraie, alors la proposition S est également vraie, nous ne pouvons pas toujours, comme on le sait, conclure inversement que si S est vraie, alors la proposition R est également vraie.
Pour que cette dernière conclusion soit valable, il faut que les théorèmes R et S soient des propositions réciproques.
Ainsi, afin de vérifier que les théorèmes R et S sont dans une relation telle qu'ils satisfont le schéma R - S et le schéma S - R, il est nécessaire de prouver que les propositions R et S sont réciproques.
Ainsi, pour pouvoir conclure de la vérité de la dernière phrase S que la phrase donnée M est vraie, il faut prouver que tous les deux adjacents offres intéressantes R et S, P et R, O et P, N et O, M et N satisfont à la loi de réversibilité.
Si cela est prouvé, alors la chaîne de propositions peut être inversée, et à côté du schéma M - N - O - P - Q - R - S le schéma
S-R-Q-P-O-N-M
d'où nous sommes en droit de conclure que si la proposition S est vraie, alors la proposition M est également vraie.
Comme il est difficile de prouver à chaque fois la réversibilité de deux phrases, cela est évité en combinant la méthode analytique avec la méthode synthétique. Après que la proposition S a été déduite d’une proposition M comme conséquence, ils cherchent s’il est possible de déduire la proposition M comme conséquence nécessaire de la proposition S.
Si la synthèse est une méthode appelée déduction ou conclusion, alors l'analyse peut être appelée réduction(casting, accompagnement).
Exemple méthode analytique Le théorème suivant peut servir de preuve.
Théorème. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux.
Preuve. Si les diagonales se coupent en deux, alors les triangles AOB et DOC sont égaux (Fig. 225). L'égalité des triangles AOB et DOC découle du fait que AB = CD comme côtés opposés d'un parallélogramme et ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ comme angles croisés.
Ainsi, on voit qu'une phrase donnée est successivement remplacée par une autre, et ce remplacement s'effectue jusqu'à arriver à une phrase déjà prouvée.
Comparaison de la synthèse avec l'analyse. La méthode analytique conduit plus précisément à la preuve d'un théorème donné, car à partir d'un théorème donné, il est plus facile de passer à sa base ou corollaire le plus proche.
Bien que l'analyse explique mieux que la synthèse pourquoi telle ou telle voie a été choisie pour prouver le théorème, l'incertitude dans les preuves n'est pas complètement éliminée dans le sens où en remplaçant successivement une phrase par une autre, on ne peut pas toujours atteindre une phrase qui nous est connue. , parce que parfois on ne voit pas laquelle des conséquences ou laquelle des raisons d'une proposition donnée doit être choisie pour la prouver. Les difficultés augmentent encore lorsqu’il faut tracer de nouvelles lignes auxiliaires pour la preuve. Il est parfois difficile de donner des indications correctes lesquelles facilitent la démonstration d'un théorème donné.
Analyser, comme tout le monde astuces logiques, ne fait que faciliter et aider à trouver la preuve d'une proposition donnée, mais ne conduit pas toujours nécessairement à la preuve elle-même.
En plus de ces lignes, il y a méthode indirecte la preuve, dite preuve par contradiction ou méthode de réduction à l'absurde.
Méthode de preuve par contradiction consiste dans le fait que pour prouver une proposition donnée, on est convaincu de l’impossibilité de supposer le contraire.
Sur cette base, cette preuve est appelée preuve par contradiction. Il atteint son but chaque fois que de deux propositions, données et opposées, une se produit certainement.
Dans ce cas, pour prouver ce qui est donné, après avoir admis la proposition contraire, ils en déduisent des conséquences qui contredisent les axiomes ou théorèmes déjà prouvés. Si l’une des conséquences de cette phrase est fausse, alors la phrase opposée est fausse, et donc la phrase donnée est vraie.
Cette technique est souvent utilisée pour prouver des théorèmes inverses ou opposés aux données.
Il n'est pas difficile de remarquer que cette méthode est la deuxième méthode d'analyse, dans laquelle on procède séquentiellement d'une proposition donnée à ses conséquences.
Un exemple d'application de cette méthode est la preuve du théorème donné ci-dessus : des côtés égaux sont opposés à des angles égaux dans un triangle (Théorème 26).
En géométrie, on utilise également des méthodes qui dépendent du contenu même des vérités géométriques. Les vérités géométriques concernent les extensions géométriques. Ces extensions ont certaines propriétés, soumis aux sens extérieurs. L'étendue géométrique peut être considérée comme un tout, accessible à l'observation par les sens extérieurs. La contemplation la plus sensuelle contribue également au caractère persuasif de la preuve. Il est impossible de s'en passer en géométrie.
Parmi les techniques utilisées en géométrie figurent : méthode d'imposition, méthode de proportionnalité et méthode de limites.
Procédé d'application consiste dans le fait qu'une quantité géométrique se superpose à une autre. On est ainsi convaincu de l'égalité ou de l'inégalité des extensions géométriques, selon qu'elles se combinent ou non lorsqu'elles sont superposées.
Méthode de proportionnalité consiste à appliquer les propriétés des proportions aux extensions géométriques. Cette méthode est utilisée pour prouver des théorèmes liés à chiffres similaires et aux segments proportionnels.
Méthode de limites consiste dans le fait qu'au lieu d'extensions données, les propriétés d'extensions proches dans leurs propriétés de celle donnée sont considérées, et les conclusions obtenues en considérant certaines sont appliquées à d'autres extensions similaires.
Méthodes de résolution de problèmes géométriques
Au moment de décider problèmes géométriques la synthèse et l'analyse sont utilisées de la même manière que pour prouver des théorèmes.
Lorsqu'ils résolvent un problème de manière synthétique, ils prennent un autre problème qu'ils savent résoudre, puis de sa solution ils déduisent la solution du problème suivant, comme conséquence nécessaire, et ce jusqu'à ce qu'ils parviennent à la solution de ce problème.
La méthode synthétique de résolution du problème présente tous les mêmes inconvénients que la méthode synthétique de preuve.
Par conséquent, l’analyse est utilisée plus souvent et avec plus de succès pour résoudre des problèmes.
Lors de la résolution d'un problème, l'analyse remplace cette tâche nouveau. Nous appellerons ce nouveau problème remplacer.
Si deux problèmes sont dans une relation telle que les conditions du second sont des conséquences nécessaires des conditions du premier, alors nous appellerons le premier problème primaire, et le deuxième - dérivé.
Il existe deux manières d'analyser.
Première façon. Le problème de remplacement est choisi de telle sorte que les conditions de ce problème suivent comme une conséquence nécessaire des conditions du nouveau problème de remplacement, c'est-à-dire que, dans notre terminologie, elles passent de ce problème au premier tâche initiale. Si la solution à ce problème est connue, alors la solution à ce problème apparaît comme une conséquence nécessaire de la solution au problème initial. Si sa solution est inconnue, alors ils passent au deuxième, troisième problème initial et continuent ainsi jusqu'à ce qu'ils obtiennent un problème dont la solution est connue.
Ayant résolu ça dernière tâche, en même temps, ils parviennent systématiquement à la solution à ce problème.
Deuxième façon. Il est possible de passer d'un problème donné à un autre dont les conditions sont une conséquence des conditions de celui-ci, c'est-à-dire que d'un problème donné on passe à sa dérivée.
En remplaçant ainsi successivement un problème par un autre de ses dérivés, on peut arriver à un problème dont la solution est déjà connue. Résoudre ce problème permet parfois de résoudre également ce problème.
Ce passage d'un problème donné à sa dérivée est plus souvent utilisé, car il est plus facile de passer à une conséquence que de chercher le fondement d'une vérité.
Dans ce cas particulier d'analyse, on suppose généralement que le problème a été résolu, et de cette hypothèse sont dérivées des relations qui permettent de résoudre ce problème.
Lorsqu'on passe d'une tâche donnée à son remplacement, il est très important de faire attention à savoir si les deux tâches auront la propriété de réversibilité mutuelle. Cette réciprocité dans les conditions de deux problèmes se produit lorsqu'une tâche, étant initiale d'une autre, peut en même temps en être la dérivée ; sinon, lorsque deux tâches sont dans une relation telle que les conditions de l’une peuvent être des conséquences nécessaires de l’autre et vice versa.
Si deux problèmes, l’actuel et le nouveau, ont ces propriétés, alors nouvelle tâche remplace complètement celui-ci. Dans ce cas, toutes les solutions de l’un seront également des solutions de l’autre.
Si les conditions de deux problèmes n'ont pas les propriétés d'inversibilité mutuelle, alors, en remplaçant ce problème par un nouveau, nous pouvons soit trouver des solutions supplémentaires, soit perdre certaines de ces solutions.
Si le problème de remplacement est un dérivé de celui donné, nous pouvons alors trouver des solutions supplémentaires ; si c'est initial pour une solution donnée, alors nous pouvons trouver des solutions perdues.
Puisqu’ils passent souvent d’un problème donné à un problème dérivé, ils doivent souvent obtenir des solutions inutiles.
Pour séparer les solutions inutiles et retrouver celles perdues, toutes les solutions trouvées sont vérifiées.
Vérification existe-t-il un moyen de séparer les solutions superflues (inutiles). Il complète l'analyse.
La solution analytique d'un problème indique la construction qui doit être faite pour résoudre le problème. En réalisant cette construction, ils résolvent le problème de manière opposée à l’analyse, c’est-à-dire qu’ils recourent à une méthode synthétique. Cette méthode synthétique peut souvent remplacer la vérification réelle des solutions trouvées.
L'utilisation combinée de la synthèse et de l'analyse permet d'éviter les erreurs qui peuvent survenir lors de l'utilisation d'une seule de ces méthodes de résolution.
Résolvons le même problème de manière synthétique et analytique. La tâche suivante peut servir d'exemple.
Tâche. Diviser ce segment AB en relation extrême et moyenne.
Solution. Construisons la perpendiculaire BO à partir de l'extrémité du segment AB égal à la moitié AB (dessin 226). A partir du centre O nous décrivons un cercle de rayon BO, connectons le centre O au point A et traçons sur le segment AB un segment AC égal à AD, alors le segment AC ou AD sera celui recherché.
Preuve. La droite AB est tangente au cercle, donc
où nous avons :
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
Puisque DE = AB et AD = AC, alors dans la proportion précédente on a :
AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC
où trouve-t-on la proportion
Cette solution est synthétique. Dans celui-ci, nous partons de théorème célèbre sur les propriétés d'une tangente et la solution à ce problème sont une conséquence nécessaire de ce théorème.
Solution analytique. Supposons que le problème ait été résolu, et donc que le segment AC ait été trouvé, alors
AB/AC = AC/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
D’après la dernière proportion, il est clair que AB est une tangente, AB + AC se coupe, AC est son segment extérieur et AB est son segment intérieur.
Il en résulte que construction. Il faut construire une perpendiculaire égale à ½AB à partir de l'extrémité B, tracer un cercle, relier O à A et placer la partie AC = AD sur le segment AB.
En cela solution analytique nous remplaçons ce problème satisfaisant la condition (1) par une tâche satisfaisant la condition (2).
La condition (2) indique également la manière de résoudre le problème lui-même par construction.
Habituellement, après avoir trouvé une solution à un problème à l'aide d'une méthode analytique, ils font une construction dans laquelle, à l'aide d'une méthode de raisonnement synthétique, ils prouvent que cette construction résout réellement le problème et avec cette preuve ils remplacent la vérification, qui vise à éliminer solutions étrangères.
DANS dans cet exemple Il existe une réversibilité complète entre les problèmes qui satisfont aux conditions (1) et (2), car les conditions (1) entraînent les conditions (2) comme conséquence nécessaire et vice versa, il n'y a donc pas de solutions perdues ou superflues ici.
L'étude des méthodes secondaires et auxiliaires pour résoudre les problèmes n'a pas encore atteint son achèvement complet et complet dans son traitement. Nous éviterons pour l’instant de les examiner en détail.
E.V. Petrova, professeur de mathématiques au lycée n°25 de Vladimir
La preuve est un raisonnement qui convainc. (Yu.A. Shikhanovitch)
Etude et preuve de théorèmes.Mise en œuvre rôle moderne les mathématiques suggèrent une amélioration formation mathématiqueétudiants, place importante qui se concentre sur la capacité de découvrir des modèles, de les justifier et de les appliquer dans la pratique. Formation d'algorithmes, heuristiques, la pensée abstraite les étudiants s'effectuent également principalement dans le processus de preuve. L'enseignement des mathématiques implique des méthodes d'enseignement d'activités pour acquérir des connaissances, ce qui nécessite une identification et une maîtrise dans le processus d'enseignement des mathématiques. divers schémas raisonnement utilisé en mathématiques. En sciences expérimentales, nous nous tournons constamment vers les observations et les expériences pour tester certaines affirmations. La situation est complètement différente en mathématiques. Un théorème n’est considéré comme prouvé que s’il est logiquement déduit d’autres propositions. Par conséquent, le problème de l’enseignement de la preuve aux étudiants a toujours été l’un des problèmes centraux de la méthodologie de l’enseignement des mathématiques.
Actuellement, le processus en cours d'humanisation de l'éducation implique l'orientation de l'éducation sur le développement de la personnalité, sur la formation de la moralité, qui est facilitée par l'enseignement de la preuve, où un rôle important est accordé à l'apprentissage de la recherche de méthodes de preuve, de leur comparaison, et en choisissant le plus simple.
Que signifie prouver un théorème, qu'est-ce qu'une preuve ?
Lorsque vous convainquez votre ami de quelque chose ou défendez votre opinion, votre point de vue dans un différend avec lui, vous produisez essentiellement des preuves (habilement ou mal est une autre question).
Preuve mathématique devrait être une chaîne de conséquences logiques depuis les axiomes initiaux, les définitions, les conditions du théorème et les théorèmes précédemment prouvés jusqu'à la conclusion requise.Le principal fardeau du développement de la capacité de preuve des étudiants est supporté par le cours de géométrie. D. Polya a souligné rôle important, dont la preuve joue dans la construction d’un système géométrique : « Le système géométrique est cimenté par la preuve. Chaque théorème est relié aux axiomes, définitions et théorèmes précédents par une preuve. Sans comprendre ces preuves, on ne peut pas comprendre l’essence même du système. » Historiquement, la géométrie comme sujet académique Il a grande importance pour étudier le monde qui nous entoure et crée Conditions favorables initier les étudiants à la création activités de recherche. L'étude de la géométrie contribue au développement de la capacité de prouver, c'est-à-dire capacité à penser logiquement et à raisonner. Le développement de la pensée logique se produit au cours de l'étude des preuves de théorèmes données dans les manuels et par l'enseignant, tout en résolvant des problèmes.Que signifie prouver un théorème, qu'est-ce qu'une preuve ? Preuve en dans un sens large- il s'agit d'un raisonnement logique, au cours duquel la vérité d'une pensée est justifiée à l'aide d'autres dispositions. En mathématiques, il est inacceptable de faire référence, par exemple, à des relations évidentes illustrées par un dessin. Une preuve mathématique doit être une chaîne de conséquences logiques depuis les axiomes initiaux, les définitions, les conditions du théorème et les théorèmes précédemment prouvés jusqu'à la conclusion requise.
Ainsi, lorsqu'on prouve un théorème, on le réduit à des théorèmes préalablement prouvés, et ceux-ci, à leur tour, à d'autres, etc. Il est évident que ce processus de réduction doit être fini, et par conséquent toute preuve réduit finalement le théorème prouvé aux définitions originales et aux axiomes acceptés sans preuve.
Processus de preuve – processus difficile pensée, et il ne se forme que progressivement, du simple au plus structures complexes. Par conséquent, la preuve pédagogique est système complexe, dont la structure est déterminée par de nombreuses connexions entre ses différents composants.
À l’âge de 13 ou 14 ans, le cerveau d’un écolier devient capable de maîtriser la pensée abstraite et raisonnée. Le développement d’une pensée fondée sur des données probantes, note P. P. Blonsky, passe par deux étapes. DANS adolescence un écolier assimile plutôt la preuve qu'il ne l'utilise de manière autonome, et encore moins la crée : à cet âge, la preuve est davantage une affaire de mémoire. À un jeune âge, ils sont déjà remarquablement performants Esprit critique aux preuves fournies et au désir de leurs propres preuves.Tout ce qui précède conduit à la conclusion sur la nécessité d'étudier les stratégies cognitives individuelles des écoliers lors de l'étude et de la preuve de théorèmes.
C'est ma première année de travail sur ce problème.Dans un premier temps, j'ai défini le but, les objectifs et les hypothèses de l'étude.
Cible: identifier et développer des stratégies individuelles pour étudier et prouver des théorèmes en 8e année.
Tâches:
1. Identifier des stratégies individuelles pour étudier et prouver des théorèmes à partir du questionnaire (avec des éléments de la fiche d'analyse).
2. Développer les stratégies individuelles des élèves en discutant des résultats obtenus, en créant une banque d'actions réussies lors de la réalisation de l'étude et en démontrant les théorèmes.
3. Développer des conseils sur étude réussie théorèmes de géométrie.
4. Analyser les résultats des étudiants maîtrisant les théorèmes avant et après avoir utilisé la technologie CRPS, développer et tester un rappel des activités réussies des étudiants.
Hypothèse: La compréhension par les étudiants de leurs propres actions lors de l'étude des théorèmes leur permettra de développer des compétences dans la preuve et la résolution de problèmes de géométrie, et d'accomplir davantage de choses. résultats élevés entraînement.
Manuels scolaires la géométrie montre une preuve de théorèmes toute faite, mais n'enseigne pas le processus de preuve lui-même.Les étudiants ont souvent des difficultés à maîtriser les théorèmes et à reproduire leurs preuves.. La crainte de nombreux étudiants devant le mot « théorème » est bien connue. Un travail ciblé conformément à la théorie de la formation progressive aide à le surmonter actions mentales P.Ya. Galpérine. Pour assurer l'assimilation des théorèmes, de leurs preuves et apprendre à résoudre des problèmes de géométrie, conformément à cette théorie il faut organiser activité indépendanteétudiants. Il est nécessaire d'apprendre aux étudiants à prouver le théorème par eux-mêmes.
En enseignant les preuves, nous devons comprendre comment enseigner aux étudiants comment analyser des preuves toutes faites, les reproduire, découvrir des faits de manière indépendante, rechercher d'autres moyens de preuve et également réfuter les propositions avancées.
J'ai commencé mon expérience avec une question à laquelle j'ai reçu une réponse inattendue.
Dans un premier temps, les élèves devaient décrire les actions qu'ils effectuent lorsqu'ils introduisent et prouvent un théorème. En conséquence, les options suivantes ont été obtenues :
***
J'ai lu le théorème dans le manuel.
J'enseigne.
Je prouve un théorème en classe.
***
J'enseigne comme un poème. Quand je vous le dis, j'ai peur de me perdre.
. ***
1. J'apprends le théorème dans le manuel.
2. J'écris brièvement la preuve pour moi-même.
3. Je prouve le théorème à l’aide de notes.
4. J'en donne la preuve à ma mère.
5. En classe, je prouve le théorème au professeur.
Après analyse stratégies individuelles J'ai compris pourquoi il est difficile pour les gars de prouver le théorème. Cela se produit parce qu’ils ne comprennent fondamentalement pas ce que signifie « apprendre un théorème ».Ensuite, j'ai identifié les raisons des difficultés. Ceci et mauvaise qualité connaissances, incapacité à les appliquer, manque de conscience des opérations mentales, incapacité à établir des liens entre des étapes logiques, faible motivation, etc. La mise en œuvre de l'exigence de « prouver le théorème » implique un certain nombre d'actions. Sans la maîtrise de ces actions, aucune association n’apparaîtra dans la pensée de l’élève qui lui permettrait d’avancer dans la démonstration de théorèmes. Parmi ceux-ci opérations mentales inclure : mettre en évidence la condition et la conclusion du théorème, les enregistrer verbalement et graphiquement, diviser la preuve en parties, analyser chacune d'elles, tirer des conclusions et passer à autre chose. Par conséquent, il est nécessaire de former dans la pensée des étudiants les actions nécessaires pour réaliser la preuve d’action.
Lors de l'étude du théorème « Le premier signe de similitude des triangles », j'ai élaboré un questionnaire pour les étudiants. Ces questions nous ont fait réfléchir sur le contenu du théorème, sur les étapes de la preuve, et en même temps ont évoqué les associations nécessaires dans la réflexion des étudiants.
Questionnaire.
Quelle action avez-vous utilisée pour commencer à vous familiariser avec le théorème ?
Comment comprenez-vous qu’il s’agit d’un théorème ?
Qu’est-ce qui vous motive à étudier la preuve d’un théorème ?
Combien de fois avez-vous lu le théorème ?
Qu'est-ce qui est donné ?
Que faut-il prouver ?
Le dessin aidera-t-il à prouver le théorème ?
Comment avez-vous commencé à étudier la preuve du théorème ?
La preuve du théorème peut-elle être décomposée en parties ?
La connaissance de quels faits, théorèmes, définitions vous a été utile ?
Qu'est-ce qui vous a empêché de prouver le théorème ?
Qu’est-ce qui a aidé à prouver le théorème ?
Comment avez-vous compris que le théorème était prouvé ?
Quelle découverte avez-vous fait par vous-même ?
Tu es heureux? Qu’est-ce que cela vous fait ressentir ?
Quels conseils pourriez-vous donner à ceux qui s’apprêtent à étudier le théorème ? ?
Voici quelques-unes des réponses à ces questions.
Julia:
J'ai ouvert le manuel, trouvé le théorème et appris à le connaître visuellement.
Je l'ai lu.
J'ai commencé à l'étudier parce que j'étais intéressé.
J'ai lu le théorème 2 fois.
Le premier signe de similitude des triangles est donné.
Et si 2 angles d'un triangle étaient égaux à 2 angles correspondants un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.
Oui.
Du texte.
Oui.
Oui.
Manque de concentration, beaucoup de mots nouveaux.
Dessin.
Quand j’ai compris de quoi il s’agissait, j’ai regardé la preuve.
-----------
Anton :
Dès l'ouverture du manuel.
Il est dit ici que c'est un théorème.
Connaissance du théorème et de l'évaluation.
2 fois.
Deux triangles.
Similitude des triangles.
Oui.
De la lecture.
Oui.
Théorème sur le rapport des aires de triangles semblables.
Ignorance de certains faits nécessaires.
La mémoire a aidé.
Le manuel dit que le théorème a été prouvé.
J'ai appris un nouveau théorème.
Oui je suis heureux.
Sois prudent.
Alina :
Je cherche le théorème dont j'ai besoin dans le manuel, je le lis et j'essaie de comprendre le texte.
Je comprends qu'il s'agit d'un théorème, car la règle est accompagnée d'une preuve de ce fait.
Compétences en résolution de problèmes et compréhension.
J'ai relu le théorème jusqu'à ce que je m'en souvienne, 4 à 6 fois.
Étant donné 2 triangles, des angles égaux sont indiqués.
La similitude de ces deux triangles.
Le dessin m'aidera à mieux comprendre ce qui doit être prouvé et à comprendre l'état.
Je lirai d’abord l’intégralité de la preuve, puis je ferai un dessin et, en le lisant attentivement, je commencerai à démonter la preuve.
Ce qui est donné – approche pour résoudre le problème – preuve – conclusion.
J'ai été aidé dans la preuve par le théorème sur la somme des angles d'un triangle, la définition de triangles semblables, le théorème sur le rapport des aires de triangles semblables.
Rien ne s'est mis en travers de mon chemin.
Connaître la définition de triangles similaires, connaissance d'autres théorèmes et faits.
La conclusion est donnée, et lorsque nous avons obtenu ce que nous devions prouver, je termine par les mots « le théorème est prouvé ».
J'ai découvert un nouveau signe de similitude des triangles et, pour la première fois, j'ai pu comprendre moi-même la preuve du nouveau théorème.
Apprenez le théorème en silence, en approfondissant le texte. Tout d’abord, apprenez la formulation du théorème, rappelez-vous le matériel qui peut aider à la preuve.
Victoria:
J'ai ouvert le manuel, j'ai trouvé le théorème dont j'avais besoin, je l'ai lu en essayant de m'en souvenir.
C’est une proposition qui doit être prouvée.
Je suis motivé par : a) obtenir une bonne note, car c'est très important pour mes parents et mon avenir ; b) L'étude des théorèmes se développe pensée logique, et la logique est nécessaire pour résoudre des problèmes de géométrie. Cela signifie qu'en étudiant des théorèmes, j'apprends à résoudre des problèmes.
Donné : 2 triangles avec des angles égaux.
Nous devons prouver que les deux triangles sont semblables.
Oui. Le dessin m'aide beaucoup à prouver des théorèmes et à résoudre des problèmes. Parfois, un dessin suggère une solution à un problème.
J'ai lu la preuve du théorème plusieurs fois dans le manuel, je l'ai brièvement notée dans un cahier, puis j'ai essayé de répéter oralement le théorème et la preuve.
Peut-être en 2 parties.
Les connaissances que j'avais acquises plus tôt, dès la 7e, m'ont été utiles.
Rien ne m'a dérangé. L'essentiel est de savoir pourquoi tout cela est nécessaire.
Pour prouver le théorème, j'ai été aidé par un manuel et un grand désir de savoir ce que je ne sais toujours pas.
J'ai logiquement déterminé qu'il n'y avait plus rien à prouver.
Le théorème lui-même est déjà une découverte pour moi ; je ne connaissais pas cette propriété auparavant.
Je suis heureux d'avoir pu prouver le théorème, un sentiment de satisfaction, un sentiment de fierté d'avoir tout compris.
Lisez attentivement le théorème et la preuve, essayez de les comprendre, lisez-les plusieurs fois, prouvez le théorème à quelqu'un ou à un miroir, je vous conseillerais d'avoir ce questionnaire devant vous - ça aide.
À l'aide de ce questionnaire, les gars eux-mêmes ont prouvé le théorème. Pour les étudiants ce travailétait inhabituel, intéressant et difficile. Nous avons examiné et résumé toutes les réponses, en notant leur diversité, et avons identifié les plus action rationnelle lors de l'exécution de ce travail. Lors du cours suivant, tous les élèves interrogés ont pu prouver le théorème avec des notes positives.
Ensuite, mes étudiants et moi avons discuté de stratégies pour étudier et prouver le théorème, identifié des modèles communs et différents de leurs actions, créé une banque d'actions réussies, appelant travail final"Mes pas."
Les enfants ont eux-mêmes prouvé le deuxième signe de similitude des triangles à l’aide de la liste « Mes étapes ». Mais lors de l'étude du troisième critère de similarité (cette leçon a été enregistrée en vidéo, et le résumé de la leçon est donné ci-dessous), nous avons pu dresser un rappel de la preuve du théorème, que nous avons utilisé avec succès pour prouver d'autres théorèmes à la fois dans ce classe et dans une autre classe de ce parallèle.
Note.
Lorsque vous étudiez et prouvez des théorèmes, vous devez :
Remplacez les termes du théorème par des définitions des concepts qu'ils désignent ou de leurs caractéristiques.
Séparez les éléments de la condition et de la conclusion par les mots « donné » et « prouver ».
Notez toutes les quantités connues dans la colonne « Donnée ».
Dans la colonne « Preuve », notez ce qui doit être prouvé.
Faites un dessin clair et soigné. Marquez-le dessus avec des lettres latines ce qui est initialement connu.
Divisez le théorème en plusieurs parties.
Prouvez chaque partie séparément.
Terminez la preuve par la conclusion « donc, approbation initiale C'est vrai, le théorème est prouvé.
Fermez le manuel, prouvez le théorème à quelqu'un, essayez-le.
Après avoir placé le rappel devant lui, n'importe quel enfant peut désormais comprendre le théorème de manière indépendante et le prouver. Ce mémo permet d'extraire des informations des conditions du théorème, d'isoler éléments individuels, combinez-les, tirez des conclusions indépendantes, formulez les exigences de chaque étape de la preuve, évaluez vos connaissances en cours de travail et éliminez les « lacunes ». Nos travaux n'ont pas suscité moins d'intérêt chez mes collègues mathématiciens.
L'utilisation de la technologie CRPS a permis d'obtenir une dynamique positive dans l'étude et la démonstration de théorèmes en géométrie. Désormais, tous les élèves de 8e année comprennent ce que signifient les mots du professeur « apprendre le théorème ». Les gars ont commencé à être attirés par les indépendants activité cognitive, leur motivation a changé, la confiance en soi est apparue et propre force, une attitude responsable envers ses propres activités est née. Voici une stratégie pour réussir à étudier et prouver le théorème après s’être familiarisé avec les principes de base du SDRC :
Sacha :
J'ai lu attentivement le théorème du manuel.
Je lis chaque mot, notant les nouveaux termes et expressions.
Je lis la preuve.
Je décide si tout est clair pour moi.
Si quelque chose n’est pas clair, je le relis en prêtant attention à chaque mot.
Si tout est clair, alors je découvre et j'écris ce qui est donné et ce qui doit être prouvé.
Je fais un dessin qui répond aux conditions du théorème indiquant toutes les données.
Je relis attentivement la preuve.
J'essaie de diviser la preuve en parties logiques.
Je prouve le théorème en partie, en tirant les conclusions nécessaires.
J'ai relu le théorème.
Après avoir fermé le manuel, à l'aide du dessin, je prouve le théorème.
Ça y est, j'ai appris le théorème et je l'ai prouvé !
Je vais maintenant essayer d'appliquer les connaissances acquises lors de l'étude du théorème.
Les observations, l'analyse des stratégies, les conversations avec les étudiants ont permis de déterminer les perspectives de travail - la nécessité d'étudier la stratégie de preuve heuristique des théorèmes, la preuve par contradiction.
Développement de la leçon
Sujet : géométrie.
Enseignant : Petrova Elena Vladimirovna
Classe : 8 "g"
Sujet de la leçon : le troisième signe de similitude des triangles.
Le but de la leçon : rédiger un mémo sur l'étude et la preuve des théorèmes, le tester lors de l'étude du troisième critère de similarité des triangles.
Objectifs de cours formulés sur la base d'activités :
- éducatif: développement de la motivation pour étudier la géométrie; formation attitude respectueuseà une opinion différente, à un point de vue différent ; développement de l'indépendance dans la résolution de problèmes personnels.
- éducatif : Créez un mémo qui favorise l'étude réussie et la preuve des théorèmes, appliquez-le à auto-apprentissage
le troisième critère de similitude des triangles.
- développement: développer la capacité d'analyser, de mettre en évidence l'essentiel, de comparer, de généraliser, de systématiser, d'expliquer des concepts et de les prouver.
Scène
Nom de scène
Tâches
Activités de l'enseignant (méthodes et techniques d'enseignement)
Activités étudiantes (formes d'organisation d'activités pédagogiques)
Résultat attendu (connaissances, compétences, méthodes d'activité)
Motivation à Activités éducatives
Créer les conditions de l'émergence d'un besoin interne d'inclusion dans les activités éducatives
J'ai deux triangles. Les côtés de l'un d'eux mesurent 3 cm, 5 cm et 4 cm, et l'autre mesure 12 cm, 20 cm et 16 cm. Comment savoir si ces triangles sont similaires ?
Analysez la situation et essayez de résoudre le problème.
Les élèves réfléchiront à résoudre ce problème, mais ne parviendront pas à le résoudre.
Identifier l'emplacement et la cause du problème.
Découvrez les raisons : pourquoi ne pouvons-nous pas répondre à la question posée ?
Organiser les activités des élèves de manière à les amener à la cause de la difficulté.
Au cours de la discussion, les élèves découvrent ce qui les empêche de résoudre ce problème, et ce qui pourrait les aider à sortir d'une situation difficile.
Les étudiants se rendent compte qu’ils n’ont pas suffisamment de connaissances pour résoudre le problème
Construire un projet pour sortir d'un problème.
Aider les élèves à trouver une issue à la situation
L'enseignant aide à fixer des objectifs en animant le dialogue et en encourageant à l'action.
Les élèves se fixent des objectifs et choisissent un moyen d'atteindre l'objectif - étudient un autre signe de similitude des triangles.
Après avoir analysé la situation, nous arrivons à la conclusion qu'il est nécessaire de créer un manuel pour étudier et prouver les théorèmes.
Mise en œuvre du plan prévu
Créez un rappel universel.
L'enseignant guide le processus
Les élèves créent individuellement leur propre mémo en fonction de « mes étapes » identifiées dans les leçons précédentes afin de réussir l'étude du théorème ; puis, au cours du processus de discussion, nous créons un rappel universel.
Création d'un rappel pour prouver avec succès n'importe quel théorème du manuel.
Mise en œuvre du projet terminé.
Utilisez le manuel pour examiner le troisième critère de similitude des triangles.
L'enseignant guide le processus
À l'aide du manuel, les élèves analysent un théorème qui est nouveau pour eux et, à l'aide d'un mémo, décrivent sa démonstration dans leur cahier.
Le théorème a été analysé et sa démonstration a été notée dans un cahier.
Consolidation primaire avec programmation en parole externe
Découvrez tous les points flous du théorème
L'enseignant aide les élèves en documentant comment ils ont surmonté les difficultés rencontrées.
Corrélez les notes du cahier avec le plan de preuve, clarifiez les questions qui se sont posées et tirez des conclusions.
.Analyser le travail effectué et examiner verbalement les preuves
Inclusion dans le système de connaissances et répétition.
Démontrez le troisième critère de similarité des triangles.
L'enseignant propose, à l'aide du mémo compilé, de prouver le théorème au tableau.
Les élèves prouvent le théorème à leur propre discrétion au tableau.
Un des gars pourra répondre au tableau.
Réflexion sur les activités d'apprentissage en classe.
Enregistre le degré d’atteinte des objectifs.
Les étudiants comprennent que maintenant ce problème peut être résolu, c'est-à-dire L'estime de soi de l'élève augmente.
Les étudiants apprécieront ce type d’activité et comprendront qu’il s’agit de l’approche la plus efficace pour apprendre et prouver un théorème.
