La distribution de Rayleigh a été introduite par J. W. Rayleigh (1880) en relation avec le problème d'addition vibrations harmoniques avec phases en spirale. La loi de Rayleigh est utilisée pour décrire des quantités non négatives, en particulier lorsque la variable aléatoire est un rayon vecteur sous une distribution gaussienne bidimensionnelle. Dans l'industrie du tissage, la loi de Rayleigh est largement utilisée pour l'analyse Forme géométrique, par exemple, non-rondeur, non-cylindricité, excentricité d'enroulement sur les arbres d'ourdissage et les ensouples de tissage. Également trouvé dans les applications de la théorie des probabilités, par exemple à l'ingénierie radio.
La répartition est somme géométrique variables aléatoires soumises à la loi de Gauss avec pour paramètres : .
La densité de probabilité de la distribution de Rayleigh a la forme :
(2.3.1)
où est la moyenne écart-type original distribution bidimensionnelle=). La valeur est un paramètre de la loi de Rayleigh.
La valeur maximale de la densité est égale à et est atteinte à (la Fig. 2.3.1 montre des graphiques de la densité de distribution de Rayleigh pour différents ) .
Fig. 2.3.1 Graphiques de densité de distribution de Rayleigh pour différents
La fonction de distribution a la forme : 
(2.3.2)
Lors du remplacement d'une nouvelle variable, nous obtenons la densité de probabilité et la fonction de distribution de la loi de Rayleigh normalisée :
(2.3.3)
(2.3.4)
Des graphiques de densité de probabilité normalisée et de fonctions de distribution sont présentés dans la Fig. 2.3.2.
La courbe différentielle (Fig. 2.3.2, a) a une asymétrie positive et un pic plus net que la distribution gaussienne.
Figure 2.3.2. Densité de probabilité (a) et fonction de distribution (b) de la loi de Rayleigh normalisée.
Calculons valeur attendue, variance et écart type :
1. Attente mathématique.
Ainsi, 
(2.3.5)
2. Écart.
.
.
Ainsi,
(2.3.6)
3. Écart type.
(2.3.7).
Calculons l'asymétrie et l'aplatissement :
1.Asymétrie.
, Où .
Ainsi,
(2.3.8)
2. Excès.
, Où .
Ainsi,
(2.3.9)
La distribution de Rayleigh normalisée ne dépend pas du paramètre et est facilement tabulaire.
Fin du travail -
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Distribution binomiale. Soit une variable aléatoire discrète qui prend deux valeurs possibles, par exemple ou , avec probabilité et respectivement. Le PDF correspondant est présenté dans la Fig. 2.1.6.
Riz. 2.1.6. Fonction de distribution de probabilité
Supposons maintenant que
où , , sont des variables aléatoires statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec le PDF illustré à la Fig. 2.1.6. Quelle est la fonction de répartition ?
Pour répondre à cette question, sachez qu’il s’agit initialement d’une série d’entiers de 0 à . La probabilité que , soit simplement égale à la probabilité que tout . Puisqu’ils sont statistiquement indépendants, alors
.
La probabilité que , soit égale à la probabilité qu'un terme soit , et que les autres soient égaux à zéro. Puisque cet événement peut se produire de diverses façons,
.
(2.1.84)
diverses combinaisons qui conduisent au résultat, on obtient
où est le coefficient binomial. Par conséquent, le PDF peut être exprimé comme
, (2.1.87)
où signifie le plus grand entier tel que .
IFR (2.1.87) caractérise distribution binomiale Variable aléatoire.
Les deux premiers instants sont égaux
et la fonction caractéristique
. (2.1.89)
Distribution uniforme. Les PDF et IDF d'une variable aléatoire uniformément distribuée sont présentés sur la Fig. 2.1.7.
Riz. 2.1.7. Graphiques de PDF et IFR pour une variable aléatoire uniformément distribuée
Les deux premiers instants sont égaux
,
, (2.1.90)
,
et la fonction caractéristique est égale à
(2.1.91)
Distribution gaussienne. La PDF d'une variable aléatoire gaussienne ou normalement distribuée est déterminée par la formule
, (2.1.92)
où est l'espérance mathématique et est la variance de la variable aléatoire. FMI est égal à
où est la fonction d'erreur, qui est déterminée par l'expression
. (2.1.94)
Le PDF et le PFR sont illustrés dans la Fig. 2.1.8.
Riz. 2.1.8. Graphiques de PDF (a) et IDF (b) d'une variable aléatoire gaussienne
L'IGF peut également être exprimé en termes d'une fonction d'erreur supplémentaire, c'est-à-dire
,
. (2.1.95)
remarquerez que 
, , Et . Car la fonction d'erreur supplémentaire est proportionnelle à l'aire sous la partie du PDF gaussien. Pour les grandes valeurs, une fonction d'erreur supplémentaire peut être approchée par la série
, (2.1.96)
et l'erreur d'approximation est inférieure au dernier terme retenu.
La fonction qui est habituellement utilisée pour l'aire sous la partie du PDF gaussien est notée et définie comme
, . (2.1.97)
En comparant (2.1.95) et (2.1.97), on trouve
. (2.1.98)
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire gaussienne de moyenne et de variance est égale à
Les moments centraux d'une variable aléatoire gaussienne sont
(2.1.100)
et les moments ordinaires peuvent s'exprimer à travers points centraux
. (2.1.101)
La somme des variables aléatoires gaussiennes statiquement indépendantes est également une variable aléatoire gaussienne. Pour le démontrer, supposons
où , sont des variables aléatoires indépendantes avec moyenne et variances. En utilisant le résultat (2.1.79), on trouve que la fonction caractéristique est égale à
Il s’agit donc d’une variable aléatoire gaussienne avec moyenne et variance.
Distribution du chi carré. Une variable aléatoire de distribution chi carré est générée par une variable aléatoire gaussienne, dans le sens où sa formation peut être considérée comme une transformation de cette dernière. Pour être précis, soit , où est une variable aléatoire gaussienne. A ensuite une distribution du chi carré. Nous distinguons deux types de distribution du Chi carré. La première est appelée distribution centrale du Chi carré et est obtenue lorsqu’elle a une moyenne de zéro. La seconde est appelée distribution du Chi carré non centrale et est obtenue lorsqu'elle a une moyenne non nulle.
Tout d’abord, considérons la distribution centrale du chi carré. Soit une variable aléatoire gaussienne de moyenne et de variance nulles. Puisque , le résultat est donné par la fonction (2.1.47) avec les paramètres et . Ainsi, on obtient le PDF sous la forme
, . (2.1.105)
qui ne peut être exprimé sous une forme fermée. Fonction caractéristique, cependant, peut être exprimé sous forme fermée :
. (2.1.107)
Supposons maintenant que la variable aléatoire soit définie comme
où , , sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec une moyenne et une variance nulles. En raison de indépendance statistique fonction caractéristique
. (2.1.109)
La transformation inverse de cette fonction caractéristique donne le PDF
, , (2.1.110)
où est la fonction gamma définie comme
,
Entier, , (2.1.111)
Cette PDF est une généralisation de (2.1.105) et est appelée PDF du chi carré (ou gamma) avec degrés de liberté. Il est illustré sur la Fig. 2.1.9.
Le cas où ils sont égaux
Les deux premiers instants sont égaux
, (2.1.112)
FMI est égal à
, (2.1.113)
Riz. 2.1.9 Graphiques PDF pour une variable aléatoire avec une distribution du chi carré pour plusieurs valeurs de degrés de liberté
Cette intégrale est convertie en une fonction gamma incomplète, qui a été tabulée par Pearson (1965).
S'il est pair, l'intégrale (2.11.113) peut être exprimée sous forme fermée.
En particulier, soit , où soit un entier. Ensuite, en utilisant une intégration répétée par parties, on obtient
, . (2.1.114)
Considérons maintenant la distribution du chi carré non centrale, qui est le résultat de la mise au carré d'une variable aléatoire gaussienne avec une moyenne non nulle. S'il s'agit d'une variable aléatoire gaussienne avec moyenne et variance, la variable aléatoire a un PDF
, (2.1.115)
Ce résultat est obtenu en utilisant (2.1.47) pour une PDF gaussienne avec distribution (2.1.92). Fonction caractéristique pour PDF
. (2.1.116)
Pour généraliser les résultats, supposons qu'il s'agisse de la somme des carrés des variables aléatoires gaussiennes définies par (2.1.108). Tous les , , sont supposés statistiquement indépendants avec des moyennes , et des variances égales. Alors la fonction caractéristique obtenue à partir de (2.1.116), en utilisant la relation (2.1.79), est égale à
. (2.1.117)
La transformée de Fourier inverse de cette fonction caractéristique donne le PDF
où la désignation est introduite
a est une fonction de Bessel modifiée du premier type d'ordre, qui peut être représentée par une série infinie
, . (2.1.120)
La PDF définie par (2.1.118) est appelée distribution du Chi carré non centrale avec degrés de liberté. Le paramètre est appelé paramètre de non-centralité de distribution. IDF pour la distribution du chi carré non centrale avec degrés de liberté
Cette intégrale n'est pas exprimée sous forme fermée. Cependant, s'il s'agit d'un nombre entier, l'IDF peut être exprimé en termes de fonction Marcum généralisée, qui est définie comme
, (2.1.122)
, (2.1.123)
Si nous remplaçons la variable d'intégration dans (1.2.121) par , et , et supposons que , alors nous pouvons facilement trouver
. (2.1.124)
En conclusion, nous notons que les deux premiers moments de la distribution centrale du chi carré des variables aléatoires sont égaux à
,
.
Distribution de Rayleigh. La distribution de Rayleigh est souvent utilisée comme modèle pour les signaux statistiques transmis sur des canaux radio, comme dans les communications radio cellulaires. Cette distribution est étroitement liée à la distribution centrale du chi carré. Pour illustrer cela, supposons que , où et sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes avec des moyennes nulles et une variance égale. De ce qui précède, il s’ensuit qu’il a une distribution du chi carré avec deux degrés de liberté. Par conséquent, le PDF pour
, . (2.1.126)
Supposons maintenant que nous définissions une nouvelle variable aléatoire
. (2.1.127)
Après avoir effectué des transformations simples dans (2.1.126), on obtient pour le PDF
, . (2.1.128)
Il s'agit du PDF de la variable aléatoire Rayleigh. Le FMI correspondant est égal à
, . (2.1.129)
Les moments de sont égaux
, (2.1.130)
et dispersion
. (2.1.131)
Fonction caractéristique pour une variable aléatoire distribuée de Rayleigh
. (2.1.132)
Cette intégrale peut s’exprimer ainsi :
où est la fonction hypergéométrique dégénérée définie comme
, … (2.1.134)
Bowley (1990) a montré qu’il peut s’exprimer sous la forme
. (2.1.135)
En guise de généralisation des expressions obtenues ci-dessus, considérons la variable aléatoire
où , , sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec une moyenne nulle. Il est clair qu’il a une distribution du Chi carré avec des degrés de liberté. Son PDF est donné par la formule (2.1.100). Conversions simples la variable dans (2.1.110) mène au PDF pour sous la forme
, . (2.1.137)
En raison de la relation fondamentale entre la distribution centrale du Chi carré et la distribution de Rayleigh, l'IDF correspondant est assez simple. Ainsi, pour tout IFR, for peut être représenté sous la forme d'une fonction gamma incomplète. Dans un cas particulier, lorsqu'il est clair, c'est-à-dire quand , le FMI pour peut être représenté sous forme fermée
, . (2.1.138)
En conclusion, nous présentons la formule du ième moment
, , (2.1.139)
juste pour tout le monde.
Distribution de riz. Alors que la distribution de Rayleigh est liée à la distribution centrale du chi carré, la distribution de Rice est liée à la distribution non centrale du chi carré. Pour illustrer cette relation, posons , où et sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes de moyenne et de même variance. D'après la discussion précédente, nous savons qu'une distribution du Chi carré non centrale a un paramètre de déviation. Le PDF pour est obtenu à partir de (2.1.118), et pour on trouve
, . (2.1.140)
Introduisons maintenant une nouvelle variable.
Le PDF pour est obtenu à partir de (2.1.140) en remplaçant la variable
, . (2.1.141)
La fonction (2.1.141) est appelée distribution de Rice.
Comme cela sera montré au Chap. En référence à la figure 5, ce PDF caractérise les statistiques de l'enveloppe d'un signal harmonique exposé à un bruit gaussien à bande étroite. Il est également utilisé pour les statistiques du signal transmis via certains canaux radio. L'IFR pour est facile à trouver à partir de (2.1.124) pour le cas où . Cela donne
, , (2.1.142)
où est défini par (2.1.123).
Pour généraliser le résultat ci-dessus, définissons-le par (2.1.136), où , sont des variables aléatoires statistiquement indépendantes de moyenne et de variances identiques. La variable aléatoire a une distribution du Chi carré non centrale avec un paramètre non central de -degrés de liberté, défini par (2.1.119). Sa PDF est déterminée par (2.1.118), donc la PDF pour est égale à
, , (2.1.143)
et l'IMF concernée
où est défini par (2.1.121). Dans le cas particulier où est un entier, on a
, , (2.1.145)
qui découle de (2.1.124). En conclusion, notons que le ème moment de
, , (2.1.146)
où est la fonction hypergéométrique dégénérée.
-Distribution Nakagami. Les distributions de Rayleigh et de Rice sont souvent utilisées pour décrire les statistiques des fluctuations du signal à la sortie d'un canal à trajets multiples à évanouissement. Ce modèle de canal est discuté au Chap. 14. Une autre distribution souvent utilisée pour caractériser les signaux statistiques transmis sur des canaux à évanouissements par trajets multiples est la distribution de Nakagami. Le PDF de cette distribution est donné par Nakagami (1960)
, , (2.1.147)
où est défini comme
et le paramètre est défini comme le rapport des moments et est appelé paramètre d'évanouissement :
, . (2.1.149)
Une version normalisée de (2.1.147) peut être obtenue en introduisant une autre variable aléatoire (voir problème 2.15). le ème moment à partir de est égal à
.
On peut voir que (2.1.147) conduit à la distribution de Rayleigh. Pour les valeurs qui satisfont à la condition, on obtient un PDF qui a des queues plus longues qu'avec la distribution de Rayleigh. Aux valeurs, les queues de la PDF de la distribution de Nakagami diminuent plus rapidement que pour la distribution de Rayleigh. La figure 2.1.10 illustre le PDF pour différentes significations.
Distribution gaussienne multivariée. Parmi les nombreuses distributions multivariées ou multivariées pouvant être définies, la distribution gaussienne multivariée est la plus importante et la plus couramment utilisée en pratique. Présentons cette distribution et considérons ses propriétés fondamentales.
Supposons que , soient des variables aléatoires gaussiennes avec des moyennes , des variances et des covariances , . Il est clair que , . Soit une matrice de covariance de dimension à éléments . Let définit le vecteur colonne des variables aléatoires et désigne le vecteur colonne des valeurs moyennes, . La PDF conjointe des variables aléatoires gaussiennes , , est définie comme suit. Nous voyons que si les variables aléatoires gaussiennes ne sont pas corrélées, elles sont également statistiquement indépendantes. ne sont pas corrélés et donc statistiquement indépendants. la forme est diagonale. Il faut donc exiger d’obtenir les vecteurs propres
Ainsi,
.
Il est facile de montrer que et , où les éléments diagonaux sont égaux à et .
Agence fédérale de l'éducation
Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Université technique d'État de l'Oural-UPI du nom du premier président de la Russie B.N. Eltsine"
Département des fondements théoriques de l'ingénierie radio
DISTRIBUTION RAYLEIGH
dans la discipline "Modèles Probabilistes"
Groupe : R-37072
Étudiante : Reshetnikova N.E.
Enseignant : député Trukhin.
Ekaterinbourg, 2009
Histoire d'origine 3
Fonction de densité de probabilité 4
Fonction de distribution cumulative 6
Moments centraux et absolus 8
Fonction caractéristique 10
Cumulants (semi-invariants) 11
Domaine d'application 12
Références 13
Histoire de l'apparition
Le 12 novembre 1842, Lord John William Rayleigh, physicien anglais, naît à Langford Grove (Essex). Lauréat du Prix Nobel. A reçu une éducation à domicile. Il est diplômé du Trinity College de l'Université de Cambridge et y travaille jusqu'en 1871. En 1873, il crée un laboratoire sur le domaine familial de Terlin Place. En 1879, il devient professeur de physique expérimentale à l'Université de Cambridge, en 1884 - secrétaire du London Société royale. En 1887-1905. - Professeur de la Royal Association, depuis 1905 - Président de la Royal Society of London, depuis 1908 - Président de l'Université de Cambridge.
Étant un naturaliste très érudit, il s'est distingué dans de nombreuses branches scientifiques : théorie des vibrations, optique, acoustique, théorie du rayonnement thermique, physique moléculaire, hydrodynamique, électricité et autres domaines de la physique. En étudiant les vibrations acoustiques (vibrations des cordes, des tiges, des plaques, etc.), il formule un certain nombre de théorèmes fondamentaux de la théorie linéaire des vibrations (1873), permettant de tirer des conclusions qualitatives sur les fréquences propres des systèmes oscillatoires, et développe une méthode de perturbation quantitative pour trouver des fréquences naturelles système oscillatoire. Rayleigh fut le premier à souligner la spécificité des systèmes non linéaires capables d'effectuer des oscillations non amorties sans influence extérieure périodique, et la nature particulière de ces oscillations, appelées plus tard auto-oscillations.
Il a expliqué la différence entre le groupe et vitesses de phase et obtenu une formule pour la vitesse de groupe (formule de Rayleigh).
La distribution de Rayleigh est apparue en 1880 à la suite de la réflexion sur le problème de l'addition d'un ensemble d'oscillations avec des phases aléatoires, dans laquelle il a obtenu une fonction de distribution pour l'amplitude résultante. La méthode développée par Rayleigh depuis longtemps a déterminé le développement ultérieur de la théorie des processus aléatoires.
Fonction de densité de probabilité
Type de fonction de distribution :
Paramètre σ.
Ainsi, en fonction du paramètre σ, non seulement l'amplitude, mais aussi la dispersion de la distribution change. À mesure que σ diminue, l’amplitude augmente et le graphique se « rétrécit », et à mesure que σ augmente, la dispersion augmente et l’amplitude diminue.
Fonction de distribution cumulative
La fonction de distribution cumulée, par définition égale à l'intégrale de la densité de probabilité, est égale à :
Graphique de la fonction de distribution intégrale pour divers paramètres σ :
En fonction de σ, le graphique de la fonction de distribution ressemble à ceci :
Ainsi, lorsque le paramètre σ change, le graphique change. À mesure que σ diminue, le graphique devient plus raide, et à mesure que σ augmente, il devient plus plat :
Moments centraux et absolus
Les lois de distribution décrivent complètement une variable aléatoire X Avec point probabiliste vision (contient des informations complètes sur la variable aléatoire). Dans la pratique, cela n’est souvent pas nécessaire description complète, il suffit d'indiquer les valeurs de paramètres individuels (caractéristiques numériques) qui déterminent certaines propriétés de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire.
Parmi les caractéristiques numériques, l'espérance mathématique joue le rôle le plus important et est considérée comme le résultat de l'application opérations de calcul de moyenne
à une variable aléatoire X, noté comme 
.
Le moment de départs - Premier ordre Variable aléatoire X appelé espérance mathématique s – la puissance de cette quantité :
.
Pour une variable aléatoire continue :
L’espérance mathématique d’une valeur distribuée selon la loi de Rayleigh est :
La valeur de l'espérance mathématique pour différentes valeurs du paramètre σ :
Variable aléatoire centrée X son écart par rapport à l'espérance mathématique est appelé .
Moment central
s
–
Premier ordre Variable aléatoire X appelé espérance mathématique s– ième degré de la grandeur centrée
:
Pour une variable aléatoire continue
.
Deuxième point central. Dispersion Il y a caractéristique de diffusion variable aléatoire sur son espérance mathématique
Pour une variable aléatoire distribuée selon la loi de Rayleigh, la dispersion (deuxième moment central) est égale à :
Fonction caractéristique
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire X est la fonction
- cette fonction représente l'espérance mathématique d'une variable aléatoire complexe 
, qui est fonction de la variable aléatoire X. Lors de la résolution de nombreux problèmes, il est plus pratique d'utiliser la fonction caractéristique plutôt que la loi de distribution.
Connaissant la loi de distribution, vous pouvez trouver la fonction caractéristique à l'aide de la formule :
. Comme nous le voyons, cette formule n'est rien de plus que la transformée de Fourier inverse de la fonction de densité de distribution. Évidemment, avec l'aide conversion directe Fourier peut utiliser la fonction caractéristique pour trouver la loi de distribution.
Fonction caractéristique d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de Rayleigh :
,
Où 
- intégrale de la probabilité d'un argument complexe.
Cumulants (semi-invariants)
Fonction 
est appelée la fonction cumulante de la variable aléatoire X. La fonction cumulante est une caractéristique probabiliste complète de la variable aléatoire, tout comme. L’intérêt de l’introduction de la fonction cumulant est que cette fonction s’avère souvent être la plus simple parmi les caractéristiques probabilistes complètes.
Dans ce cas, le nombre est appelé cumulant de l’ordre de la variable aléatoire X.
Champ d'application
La distribution de Rayleigh est utilisée pour décrire un grand nombre de problèmes, par exemple :
Le problème de l'addition d'oscillations avec des phases aléatoires ;
Distribution de l'énergie du rayonnement du corps noir ;
Décrire les lois de la fiabilité ;
Décrire certains signaux radio ;
La loi de distribution de Rayleigh régit les valeurs d'amplitude des oscillations de bruit (interférences) dans un récepteur radio ;
Utilisé pour décrire l'enveloppe aléatoire d'un processus aléatoire à bande étroite (bruit).
Liste de la littérature utilisée
R.N. Wadzinski "Manuel de distributions de probabilité", S.-P.
"Sciences", 2001. GÉORGIE. Samusevitch, Didacticiel
«Théorie des probabilités et statistiques mathématiques», USTU-UPI, 2007.
Si vous mesurez le paramètre contrôlé en continu, vous pouvez tracer son graphique de densité de distribution. Cependant, dans la pratique, les mesures ne sont effectuées qu'à certaines périodes et non sur tous les produits, mais seulement sur certains. Par conséquent, sur la base des résultats de mesure, un histogramme est généralement construit - une figure en escalier dont les contours donnent une idée approximative du graphique de densité, c'est-à-dire la nature de la distribution du paramètre étudié.
diagramme à bandes est un graphique à barres utilisé pour représentation graphique informations quantitatives disponibles.
En règle générale, la base de la construction d'un histogramme est un tableau d'intervalles de fréquences, dans lequel toute la plage de valeurs mesurées d'une variable aléatoire est divisée en un certain nombre d'intervalles, et pour chaque intervalle, le nombre de valeurs comprises dans cet intervalle est indiqué.
La séquence de construction d'un histogramme est la suivante.
1. Trouvez le plus grand ( Xmax) et le plus petit ( Xmin) valeurs de la variable aléatoire et calculer la plage de changement R.
R=Xmax– Xmin.
2. Définissez un certain nombre de chiffres k. À n< 100 peuvent être acceptésk = 6.
3. Déterminez la largeur des chiffres h =. Pour simplifier les calculs, la valeur résultante h tourner dans n’importe quelle direction.
4. Définissez les limites des chiffres et comptez le nombre de mesures dans chacun d'eux. Lors du calcul de la valeur X, situé en limite du rejet, il doit toujours être affecté au rejet situé à gauche ou à droite.
5. Installer je suis– nombre de valeurs X inclus dans cette catégorie.
6. Déterminer la fréquence d'apparition de la valeur p je dans cette catégorie
p je = ,
Où n– le nombre total de toutes les données expérimentales.
7. Dans le système de coordonnées p je =F(X) à la largeur de bits h mettre de côté la valeur p je comme hauteur et construisez un rectangle.
Le résultat est inscrit dans le tableau
Tableau. Histogramme de distribution
|
Arbres intermédiaires |
||||||
|
je suis |
||||||
|
p je = |
Évidemment, l'aire d'un rectangle élémentaire
et je = salut je = p je,
et l'aire de tout l'histogramme
S = = = 1.
Ainsi, un histogramme est une collection de rectangles.
Riz. Diagramme à bandes ( 1 ) et le polygone ( 2 ) répartition de la valeur X
L'analyse d'un histogramme se résume à sa comparaison avec des cas typiques.
Type régulier(symétrique ou en forme de cloche). Fréquence la plus élevée se termine au milieu du bas de l'histogramme (et diminue progressivement vers les deux extrémités). La forme est symétrique. Cet histogramme apparence se rapproche d'une courbe normale (gaussienne), et on peut supposer qu'aucun des facteurs influençant le processus étudié ne domine les autres.
Cette forme d'histogramme est la plus courante. Dans ce cas, la valeur moyenne de la variable aléatoire (par rapport à une opération technologique, c'est un indicateur du niveau de sentiment) est proche du milieu de la base de l'histogramme, et le degré de sa dispersion par rapport au la valeur moyenne (pour les opérations technologiques, il s'agit d'un indicateur de précision) est caractérisée par l'intensité de la diminution des colonnes.
Riz. Type d'histogramme régulier
Peigne(type multimodal). Les cours passant par un ont des fréquences plus basses.
Cette forme d'histogramme se produit lorsque le nombre d'observations individuelles entrant dans une classe varie d'une classe à l'autre ou lorsque certaine règle arrondi des données Il peut être nécessaire de stratifier les données, c'est-à-dire de déterminer des caractéristiques supplémentaires pour regrouper les valeurs observées.
Riz. Peigne
Distribution asymétrique positivement (négativement). La valeur moyenne de l'histogramme est située à droite (gauche) du milieu de la base de l'histogramme. Les fréquences chutent assez fortement
En se déplaçant vers la gauche (à droite) et, à l'inverse, lentement vers la droite (à gauche). La forme est asymétrique.
Cette forme d'histogramme se produit lorsque la limite inférieure (supérieure) est ajustée soit théoriquement, soit par une valeur de tolérance, ou lorsque la valeur gauche (droite) est inaccessible. Dans ce cas, on peut également supposer que le processus est principalement influencé par un certain facteur ; en particulier, une forme similaire se produit en cas d'usure lente (accélérée) de l'outil de coupe.
Un histogramme similaire est également typique de la distribution de Rayleigh, qui caractérise la forme ou l'asymétrie du produit.
Riz. Distribution positivement asymétrique
Distribution avec une cassure à gauche(sur la droite). La moyenne arithmétique de l'histogramme est localisée loin à gauche (à droite) du milieu de la base. Les fréquences chutent fortement lorsqu'on se déplace vers la gauche (droite) et, à l'inverse, lentement vers la droite (gauche). La forme est asymétrique.
Riz. Distribution avec une cassure à gauche
C'est l'une de ces formes qui surviennent souvent lors d'un contrôle à 100 % des produits en raison d'une mauvaise reproductibilité du processus, ainsi que lorsqu'une asymétrie positive (négative) prononcée apparaît.
Plateau(distributions uniformes et rectangulaires). Fréquences dans différentes classes forment un plateau car toutes les classes ont plus ou moins les mêmes fréquences attendues.
Riz. Plateau
Cette forme apparaît dans un mélange de plusieurs distributions ayant des moyens différents, mais peut également indiquer un facteur prédominant, tel qu'une usure uniforme de l'outil de coupe.
Type à double pointe(type bimodal). Au voisinage du milieu de la base, la fréquence est basse, mais il y a un pic de chaque côté.
Cette forme se produit lorsque deux distributions dont les moyennes sont largement séparées sont mélangées, ce qui signifie qu'il est logique de stratifier les données. La même forme de l'histogramme peut également être observée dans le cas où un facteur prédominant modifie ses caractéristiques, par exemple si l'outil de coupe a d'abord une usure accélérée puis lente.
Riz. Type à double pointe
Distribution avec pic isolé. Parallèlement à la distribution type habituelle, un petit pic isolé apparaît.
Riz. Distribution de pointe isolée
Cette forme apparaît lorsqu'il y a de petites inclusions de données provenant d'une autre distribution ou d'une autre erreur de mesure. Lors de l'obtention d'un tel histogramme, vous devez d'abord vérifier la fiabilité des données et, dans le cas où les résultats de mesure ne font aucun doute, considérer la validité de la méthode choisie pour diviser les valeurs observées en intervalles.
De plus, l'histogramme peut être utilisé pour évaluer le processus.
Lors de l'utilisation d'histogrammes pour évaluer la qualité d'un processus, sur l'échelle des valeurs du paramètre observé, les limites inférieure et supérieure du champ de tolérance (champs de spécification) sont marquées et deux droites parallèles aux colonnes de l'histogramme sont tracé à travers ces points.
Si l’ensemble de l’histogramme se situe dans les limites de tolérance, le processus est statistiquement stable et ne nécessite aucune intervention.
Si les limites gauche et droite de l'histogramme coïncident avec les limites du champ de tolérance, il est alors souhaitable de réduire la dispersion du processus, car tout impact peut conduire à l'apparition de produits ne respectant pas la tolérance.
Si certaines colonnes de l'histogramme se situent en dehors du champ de tolérance, il est alors nécessaire d'ajuster le processus de manière à ce que la moyenne se rapproche du centre du champ et que les variations puissent être réduites afin d'obtenir moins de dispersion.
Fonction de densité de probabilité
Fonction de distribution
, x³0;
Estimation ponctuelle paramètre de loi de distribution
.
Loi de distribution d'Erlang (distribution gamma)
Fonction de densité de probabilité
Fonction de distribution
, x³0;
Estimation ponctuelle des paramètres de la loi de distribution :
et par k" k est pris comme l'entier le plus proche (k=1, 2, 3,...) ; 
.
Loi de distribution de Weibull
Fonction de densité de probabilité
fonction de distribution
, x³0;
Estimation ponctuelle des paramètres de la loi de distribution
;
Dans les systèmes avec des exigences de priorité, une distinction est faite entre la priorité relative (sans interruption de service), lorsqu'une demande avec une priorité plus élevée arrive, elle est acceptée pour le service après que le traitement précédemment commencé d'une demande avec une priorité inférieure soit terminé, et priorité absolue, lorsque le canal est immédiatement libéré pour répondre à une demande entrante avec une priorité plus élevée.
L'échelle de priorité peut être construite sur la base de certains critères externes au système de services ou d'indicateurs liés au fonctionnement du système de services lui-même. Importance pratique avoir types suivants priorités :
priorité donnée aux besoins le moins de temps service. L’efficacité de cette priorité peut être démontrée dans exemple suivant. Deux demandes ont été reçues séquentiellement avec une durée de service de 6,0 et 1,0 heures, respectivement. Lorsqu'elles sont acceptées pour le service par un canal vide dans l'ordre d'arrivée, le temps d'arrêt sera de 6,0 heures pour la 1ère demande et de 6,0 + 1,0 = 7 pour. la deuxième 0,0 heure ou un total de 13,0 heures pour deux exigences. Si vous donnez la priorité à la deuxième exigence et l'acceptez pour le service en premier, alors son temps d'arrêt sera de 1,0 heure et le temps d'arrêt de l'autre sera de 1,0 + 6,0 = 7,0 heures ou au total pour deux exigences 8,0 heures Le gain de la priorité attribuée sera de 5,0 heures (13-8) de réduction du temps d'arrêt des exigences dans le système ;
la priorité est donnée aux exigences avec un rapport minimum entre le temps de service et la puissance (performance) de la source de demande, par exemple à la capacité de charge d'un véhicule.
Le mécanisme de service est caractérisé par les paramètres des canaux de service individuels, le débit du système dans son ensemble et d'autres données sur les exigences de service. La capacité du système est déterminée par le nombre de canaux (périphériques) et les performances de chacun d'eux.
45. Détermination des intervalles de confiance des variables aléatoires
Estimation d'intervalle Le paramètre de distribution d'une variable aléatoire est déterminé par le fait qu'avec la probabilité g
abs(P – P m) ≤d,
où P est la valeur exacte (vraie) du paramètre ;
P m – estimation des paramètres basée sur l'échantillon ;
d – précision (erreur) de l’estimation du paramètre P.
Les valeurs les plus communément acceptées sont g de 0,8 à 0,99.
Intervalle de confiance Le paramètre est l'intervalle dans lequel la valeur du paramètre tombe avec une probabilité g. Par exemple, sur cette base, la taille d'échantillon requise d'une variable aléatoire est trouvée, ce qui fournit une estimation de l'espérance mathématique avec une précision d avec une probabilité g. Le type de connexion est déterminé par la loi de distribution de la variable aléatoire.
La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné [Х 1 , Х 2 ] est déterminée par l'incrément de la fonction de distribution intégrale sur l'intervalle considéré F(Х 2) – F(Х 1). Sur cette base, quand fonction connue distribution, vous pouvez trouver le minimum garanti attendu X gn (x≥ X gn) ou valeur maximum X gv (x≤ X gv) variable aléatoire c probabilité donnée g (Figure 2.15). Le premier d'entre eux est la valeur selon laquelle la variable aléatoire sera supérieure à celle avec la probabilité g, et le second est que la variable aléatoire avec la probabilité g sera inférieure à cette valeur. La valeur minimale garantie de X gv avec probabilité g est assurée à F(x)= 1-g et le maximum X gv à F(x)=g. Ainsi, les valeurs de X gn et X gv se trouvent par les expressions :
X gn = F -1 (1-g) ;
X gv = F -1 (g).
Exemple. La variable aléatoire a une distribution exponentielle avec la fonction 
.
Il faut trouver les valeurs de X r et X r pour lesquelles la variable aléatoire X avec probabilité g = 0,95, respectivement supérieure à X gv et inférieure à X gv.
En partant du fait que F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (voir conclusion plus haut) et α = 1-g = 0,05, nous obtenons
X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,05)=-100 (-.0513)=5,13.
Pour X gv α = g = 0,95 nous avons de la même manière
X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,95)=-100 (-2,996)=299,6.
Pour loi normale les distributions des valeurs de X gv et X gv peuvent être calculées à l'aide des formules
X g = x m + s U 1- g = x m - s U g ;
X gv = x m + s U g,
où x m est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ; s – écart type d'une variable aléatoire ; U g – quantile unilatéral de la loi de distribution normale avec probabilité g.
Figure 2.15 – Interprétation graphique de la définition de X gn et X gv
46.Description des flux de besoins en services
Le flux entrant est une séquence d'exigences (applications) arrivant au système de service, et se caractérise par la fréquence de réception des exigences par unité de temps (intensité) et la loi de répartition de l'intensité du flux. Le flux entrant peut également être décrit par des intervalles de temps entre les instants de réception des requêtes et la loi de répartition de ces intervalles.
Les requêtes dans un flux peuvent arriver une par une (flux ordinaires) ou en groupes (flux non ordinaires).
La propriété d’un flux ordinaire est qu’une seule requête peut arriver à un instant donné. En d’autres termes, la propriété est que la probabilité de recevoir plus d’une requête dans un court laps de temps est une valeur infinitésimale.
Dans le cas de réception groupée de demandes, l'intensité de réception des groupes de demandes et la loi de sa répartition, ainsi que la taille des groupes et la loi de leur répartition sont précisées.
L'intensité de réception des besoins peut varier dans le temps (flux non stationnaires) ou dépend uniquement de l'unité de temps adoptée pour déterminer l'intensité (flux stationnaires). Un flux est dit stationnaire si la probabilité d'apparition de n requêtes sur une période de temps (t 0 , t 0 +Δt) ne dépend pas de t 0 , mais dépend uniquement de Δt.
Dans un écoulement instable, l'intensité change au fil du temps de manière non périodique ou motif périodique(par exemple, processus saisonniers), et peuvent également avoir des périodes correspondant à un retard d'écoulement partiel ou complet.
Selon qu'il existe un lien entre le nombre de requêtes entrant dans le système avant et après un certain moment, le flux peut avoir ou non une séquelle.
Un flux ordinaire et stationnaire de demandes sans séquelles est le plus simple.
47.Critères de l’accord Pearson et Romanovsky
