જેને મેટ્રિક્સ કહેવાય છે. ડમીઝ માટે ગણિત

આ વિષયમાં આપણે મેટ્રિક્સની વિભાવના, તેમજ મેટ્રિસિસના પ્રકારો પર વિચાર કરીશું. આ વિષયમાં ઘણી બધી શરતો હોવાથી, હું ઉમેરીશ સારાંશસામગ્રી નેવિગેટ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે.

મેટ્રિક્સ અને તેના તત્વની વ્યાખ્યા. નોટેશન.

મેટ્રિક્સ$m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમનું કોષ્ટક છે. મેટ્રિક્સના ઘટકો સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રકૃતિના પદાર્થો હોઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, ચલો અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, અન્ય મેટ્રિસિસ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ માં 3 પંક્તિઓ અને 2 કૉલમ છે; તેના તત્વો પૂર્ણાંકો છે. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(એરે) \right)$ 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે.

મેટ્રિસિસ લખવાની વિવિધ રીતો: બતાવો\ છુપાવો

મેટ્રિક્સ ફક્ત રાઉન્ડમાં જ નહીં, પણ ચોરસ અથવા ડબલ સીધા કૌંસમાં પણ લખી શકાય છે. એટલે કે, નીચેની એન્ટ્રીઓનો અર્થ સમાન મેટ્રિક્સ છે:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

ઉત્પાદન $m\times n$ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ કદ. ઉદાહરણ તરીકે, જો મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ હોય, તો અમે $5\ગુણા 3$ના કદના મેટ્રિક્સ વિશે વાત કરીએ છીએ. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ નું કદ $3 \times 2$ છે.

સામાન્ય રીતે મેટ્રિસિસ સૂચવવામાં આવે છે મોટા અક્ષરોમાં લેટિન મૂળાક્ષરો: $A$, $B$, $C$ અને તેથી વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. લાઇન નંબરિંગ ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે; કૉલમ - ડાબેથી જમણે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B$ની પ્રથમ પંક્તિમાં ઘટકો 5 અને 3 છે, અને બીજી કૉલમમાં ઘટકો 3, -87, 0 છે.

મેટ્રિસિસના ઘટકો સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વોને $a_(ij)$ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. ડબલ ઇન્ડેક્સ $ij$ મેટ્રિક્સમાં તત્વની સ્થિતિ વિશેની માહિતી ધરાવે છે. નંબર $i$ એ પંક્તિ નંબર છે, અને નંબર $j$ એ કૉલમ નંબર છે, જેના આંતરછેદ પર $a_(ij)$ તત્વ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજી પંક્તિના આંતરછેદ પર અને મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 ની પાંચમી કૉલમ & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ તત્વ $a_(25)= $59:

એ જ રીતે, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના આંતરછેદ પર આપણી પાસે $a_(11)=51$; ત્રીજી પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર - તત્વ $a_(32)=-15$ અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે પ્રવેશ $a_(32)$ "એક ત્રણ બે" વાંચે છે, પરંતુ "એક બત્રીસ" નહીં.

મેટ્રિક્સ $A$ ને સંક્ષિપ્ત કરવા માટે, જેનું કદ $m\times n$ છે, $A_(m\times n)$ નો ઉપયોગ થાય છે. તમે તેને થોડી વધુ વિગતમાં લખી શકો છો:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

જ્યાં નોટેશન $(a_(ij))$ મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વો દર્શાવે છે. તેના સંપૂર્ણ વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં, મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots અને a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(એરે) \right) $$

ચાલો બીજો શબ્દ રજૂ કરીએ - સમાન મેટ્રિસિસ.

બે મેટ્રિસિસ સમાન કદ$A_(m\times n)=(a_(ij))$ અને $B_(m\times n)=(b_(ij))$ કહેવાય છે સમાન, જો તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન હોય, એટલે કે. $a_(ij)=b_(ij)$ બધા $i=\overline(1,m)$ અને $j=\overline(1,n)$ માટે.

પ્રવેશ માટે સમજૂતી $i=\overline(1,m)$: show\hide

નોટેશન "$i=\overline(1,m)$" નો અર્થ છે કે પરિમાણ $i$ 1 થી m સુધી બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશ $i=\overline(1,5)$ સૂચવે છે કે પરિમાણ $i$ મૂલ્યો 1, 2, 3, 4, 5 લે છે.

તેથી, મેટ્રિસિસ સમાન બનવા માટે, બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: કદનો સંયોગ અને સંબંધિત તત્વોની સમાનતા. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ મેટ્રિક્સની બરાબર નથી $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ કારણ કે મેટ્રિક્સ $A$ નું કદ $3\times 2$ અને મેટ્રિક્સ $B$ છે કદ $2\ગુણા $2 ધરાવે છે. ઉપરાંત, મેટ્રિક્સ $A$ એ મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 અને 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(એરે)\right)$ સમાન નથી , ત્યારથી $a_( 21)\neq c_(21)$ (એટલે ​​​​કે $0\neq 98$). પરંતુ મેટ્રિક્સ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ માટે આપણે સુરક્ષિત રીતે $A= લખી શકીએ છીએ. F$ કારણ કે $A$ અને $F$ બંને માપો અને મેટ્રિસીસના અનુરૂપ ઘટકો એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

મેટ્રિક્સનું માપ નક્કી કરો $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(એરે) \right)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ કયા તત્વો સમાન છે તે દર્શાવો.

આ મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ છે, તેથી તેનું કદ $5\ગુણા 3$ છે. તમે આ મેટ્રિક્સ માટે $A_(5\times 3)$ નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો.

તત્વ $a_(12)$ એ પ્રથમ પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(12)=-2$. તત્વ $a_(33)$ એ ત્રીજી પંક્તિ અને ત્રીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(33)=23$. તત્વ $a_(43)$ ચોથી પંક્તિ અને ત્રીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(43)=-5$.

જવાબ આપો: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

તેમના કદના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર. મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણ. મેટ્રિક્સ ટ્રેસ.

ચોક્કસ મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ આપવા દો. જો $m=1$ (મેટ્રિક્સ એક પંક્તિ ધરાવે છે), તો પછી માટે આ મેટ્રિક્સકહેવાય છે મેટ્રિક્સ-પંક્તિ. જો $n=1$ (મેટ્રિક્સમાં એક કૉલમ હોય છે), તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ-સ્તંભ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(એરે) \right)$ એ પંક્તિ મેટ્રિક્સ છે, અને $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(એરે) \right)$ એ કૉલમ મેટ્રિક્સ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ એ $m\neq n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી નથી) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો તે ઘણીવાર કહેવાય છે કે $A$ એક લંબચોરસ છે મેટ્રિક્સ ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ નું કદ $2\times 4 છે $, તે. 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે. પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોવાથી, આ મેટ્રિક્સ લંબચોરસ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ $m=n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો $A$ એ $ નું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોવાનું કહેવાય છે. n$. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ એ બીજા-ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ એ ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. IN સામાન્ય દૃશ્યચોરસ મેટ્રિક્સ $A_(n\times n)$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots & a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(એરે) \right) $$

તત્વો $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ચાલુ હોવાનું કહેવાય છે મુખ્ય કર્ણમેટ્રિસિસ $A_(n\times n)$. આ તત્વો કહેવામાં આવે છે મુખ્ય કર્ણ તત્વો(અથવા માત્ર કર્ણ તત્વો). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ચાલુ છે બાજુ (નાની) કર્ણ; તેઓ કહેવામાં આવે છે બાજુના કર્ણ તત્વો. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( એરે) \right)$ અમારી પાસે છે:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ એ મુખ્ય કર્ણ તત્વો છે; તત્વો $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ એ બાજુના કર્ણ તત્વો છે.

મુખ્ય કર્ણ તત્વોનો સરવાળો કહેવાય છે મેટ્રિક્સ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છેઅને $\Tr A$ (અથવા $\Sp A$) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 અને -9 અને 5 અને 6 \end(એરે)\right)$ અમારી પાસે છે:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

વિકર્ણ તત્વોની વિભાવનાનો ઉપયોગ નોન-સ્ક્વેર મેટ્રિસિસ માટે પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(એરે) \right)$ મુખ્ય કર્ણ તત્વો $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ હશે.

તેમના તત્વોના મૂલ્યોના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે નલઅને સામાન્ય રીતે $O$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \end(એરે) \right)$ - શૂન્ય મેટ્રિસિસ.

મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ને નીચેનું સ્વરૂપ રહેવા દો:

પછી આ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડલ. તેમાં શૂન્ય પંક્તિઓ ન હોઈ શકે, પરંતુ જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો તે મેટ્રિક્સના તળિયે સ્થિત છે. વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ફરીથી, પાછળની નલ રેખાઓ જરૂરી નથી. તે. ઔપચારિક રીતે, અમે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ માટે નીચેની શરતોને અલગ પાડી શકીએ છીએ:

1. મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા તત્વો શૂન્ય છે.
2. મુખ્ય કર્ણ પર પડેલા $a_(11)$ થી $a_(rr)$ સુધીના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન નથી: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. કાં તો છેલ્લી $m-r$ પંક્તિઓના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે અથવા $m=r$ (એટલે ​​કે ત્યાં કોઈ શૂન્ય પંક્તિઓ નથી).

ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિસિસના ઉદાહરણો:

ચાલો આગળ વધીએ નીચેની વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ કહેવાય છે પગલું ભર્યું, જો તે નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટેપ મેટ્રિક્સહશે:

સરખામણી માટે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 અને 0 \end(એરે)\right)$ એ એકેલન નથી કારણ કે ત્રીજી પંક્તિમાં બીજી પંક્તિ જેટલો જ શૂન્ય ભાગ છે. એટલે કે, સિદ્ધાંત "નીચી રેખા, શૂન્ય ભાગ મોટો" નું ઉલ્લંઘન થાય છે. ચાલો હું ઉમેરું કે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ છે ખાસ કેસસ્ટેપ મેટ્રિક્સ.

ચાલો આગળની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. જો બધા તત્વો ચોરસ મેટ્રિક્સ, મુખ્ય કર્ણ હેઠળ સ્થિત છે, શૂન્યની બરાબર છે, પછી આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(એરે) \right)$ એ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. નોંધ કરો કે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની ઉપર અથવા મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(એરે) \right)$ એ પણ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

જો મુખ્ય કર્ણની ઉપર સ્થિત ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે. નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 3 અને 0 અને 0 અને 0 \\ -5 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 8 અને 2 અને 1 અને 0 \\ 5 અને 4 અને 0 અને 6 \ end(એરે) \right)$ - નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. નોંધ કરો કે નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેના પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(એરે) \right)$ અને $\left(\ બિગિન (એરે) (સીસીસી) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0\\ 0 અને 0 અને 0 \ એન્ડ(એરે) \right)$ પણ નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે કર્ણ, જો આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો જે મુખ્ય કર્ણ પર આવેલા નથી તે શૂન્ય સમાન છે. ઉદાહરણ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ અંત(એરે)\જમણે)$. મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો કંઈપણ હોઈ શકે છે ( શૂન્ય બરાબરઅથવા નહીં) અમૂર્ત છે.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે એકલ, જો મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો 1 ની બરાબર હોય. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(એરે)\right)$ - ચોથા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ એ બીજા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

આવા મેટ્રિસિસ પર વિવિધ કામગીરી કરવામાં આવે છે: તેઓ એકબીજાથી ગુણાકાર કરે છે, નિર્ણાયકો શોધે છે, વગેરે. મેટ્રિક્સ- એરેનો વિશિષ્ટ કેસ: જો એરેમાં કોઈપણ સંખ્યાના પરિમાણો હોઈ શકે, તો માત્ર બે-પરિમાણીય એરેને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

પ્રોગ્રામિંગમાં, મેટ્રિક્સને દ્વિ-પરિમાણીય એરે પણ કહેવામાં આવે છે. પ્રોગ્રામમાંના કોઈપણ એરેનું નામ હોય છે, જાણે કે તે એક જ ચલ હોય. એરે કોષોમાંથી કયો છે તે સ્પષ્ટ કરવા માટે, જ્યારે તેનો પ્રોગ્રામમાં ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંના સેલની સંખ્યા વેરીએબલ સાથે વપરાય છે. પ્રોગ્રામમાં દ્વિ-પરિમાણીય મેટ્રિક્સ અને એન-ડાયમેન્શનલ એરે બંને માત્ર આંકડાકીય જ નહીં, પણ સાંકેતિક, શબ્દમાળા, બુલિયન અને અન્ય માહિતી પણ સમાવી શકે છે, પરંતુ સમગ્ર એરેમાં હંમેશા સમાન હોય છે.

મેટ્રિસિસને મોટા અક્ષરો A:MxN દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં A એ મેટ્રિક્સનું નામ છે, M એ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની સંખ્યા છે, અને N એ કૉલમની સંખ્યા છે. તત્વો - અનુરૂપ નાના અક્ષરોપંક્તિ અને કૉલમ a (m, n) માં તેમની સંખ્યા દર્શાવતા સૂચકાંકો સાથે.

સૌથી સામાન્ય મેટ્રિસિસ આકારમાં લંબચોરસ હોય છે, જોકે દૂરના ભૂતકાળમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ ત્રિકોણાકાર ગણાતા હતા. જો મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સમાન હોય, તો તેને વર્ગ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, M=N પાસે મેટ્રિક્સ ઓર્ડરનું નામ પહેલેથી જ છે. માત્ર એક પંક્તિ ધરાવતા મેટ્રિક્સને પંક્તિ કહેવામાં આવે છે. માત્ર એક જ સ્તંભ ધરાવતા મેટ્રિક્સને કોલમર મેટ્રિક્સ કહેવાય છે. વિકર્ણ મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં માત્ર કર્ણની સાથે સ્થિત તત્વો શૂન્ય સિવાયના હોય છે. જો બધા તત્વો એક સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે, જો બધા તત્વો શૂન્ય સમાન હોય, તો તેને શૂન્ય કહેવામાં આવે છે.

જો તમે મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને સ્વેપ કરો છો, તો તે સ્થાનાંતરિત થઈ જાય છે. જો બધા તત્વો જટિલ સંયોજકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો તે જટિલ સંયોજક બને છે. વધુમાં, મેટ્રિક્સના અન્ય પ્રકારો છે, જે મેટ્રિક્સ તત્વો પર લાદવામાં આવેલી શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પરંતુ આમાંની મોટાભાગની શરતો ફક્ત ચોરસ રાશિઓને જ લાગુ પડે છે.

વિષય પર વિડિઓ

મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા. મેટ્રિસીસના પ્રકાર

માપનું મેટ્રિક્સ m× nસમૂહ કહેવાય છે m·nના લંબચોરસ કોષ્ટકમાં ગોઠવેલ સંખ્યાઓ mરેખાઓ અને nકૉલમ આ કોષ્ટક સામાન્ય રીતે સમાવવામાં આવેલ છે કૌંસ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

સંક્ષિપ્તતા માટે, મેટ્રિક્સને એક દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે મોટા અક્ષર, ઉદાહરણ તરીકે, એઅથવા IN.

સામાન્ય રીતે, કદનું મેટ્રિક્સ m× nતેને આ રીતે લખો

.

જે સંખ્યાઓ મેટ્રિક્સ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ તત્વો. બે સૂચકાંકો સાથે મેટ્રિક્સ ઘટકો પ્રદાન કરવા માટે તે અનુકૂળ છે એક ij: પ્રથમ પંક્તિ નંબર સૂચવે છે અને બીજો કૉલમ નંબર સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, a 23- તત્વ 2જી પંક્તિ, 3જી કૉલમમાં છે.

જો મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા જેટલી પંક્તિઓની સંખ્યા હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ચોરસ, અને તેની પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે ક્રમમાંમેટ્રિસિસ ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, બીજું મેટ્રિક્સ ચોરસ છે - તેનો ક્રમ 3 છે, અને ચોથો મેટ્રિક્સ તેનો ક્રમ 1 છે.

મેટ્રિક્સ કે જેમાં પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ. ઉદાહરણોમાં આ પ્રથમ મેટ્રિક્સ અને ત્રીજું છે.

એવા મેટ્રિસિસ પણ છે કે જેમાં માત્ર એક પંક્તિ અથવા એક કૉલમ હોય છે.

માત્ર એક પંક્તિ ધરાવતું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ - પંક્તિ(અથવા સ્ટ્રિંગ), અને માત્ર એક કૉલમ સાથેનું મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ - કૉલમ.

એક મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે નલઅને (0), અથવા ફક્ત 0 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

.

મુખ્ય કર્ણચોરસ મેટ્રિક્સના ઉપરના ડાબેથી નીચેના જમણા ખૂણે જતા કર્ણને આપણે કહીએ છીએ.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે બધા તત્વો શૂન્ય સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે ત્રિકોણાકારમેટ્રિક્સ

.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો સિવાયના તમામ તત્વો શૂન્યની બરાબર હોય તેને કહેવામાં આવે છે. કર્ણમેટ્રિક્સ ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

એક વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કે જેમાં તમામ કર્ણ તત્વો એક સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે એકલમેટ્રિક્સ અને અક્ષર E દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3જી ઓર્ડર ઓળખ મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે .

મેટ્રિસીસ પરની ક્રિયાઓ

મેટ્રિક્સ સમાનતા. બે મેટ્રિસિસ એઅને બીસમાન કહેવાય છે જો તેમની પાસે સમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને કૉલમ હોય અને તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન હોય એક ij = b ij. તેથી જો અને , તે A=B, જો a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21અને a 22 = b 22.

ટ્રાન્સપોઝ. ચાલો વિચાર કરીએ મનસ્વી મેટ્રિક્સ એથી mરેખાઓ અને nકૉલમ તે નીચેના મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે બીથી nરેખાઓ અને mકૉલમ, જેમાં દરેક પંક્તિ મેટ્રિક્સ કૉલમ છે એસમાન સંખ્યા સાથે (તેથી દરેક કૉલમ મેટ્રિક્સની પંક્તિ છે એસમાન નંબર સાથે). તેથી જો , તે .

આ મેટ્રિક્સ બીકહેવાય છે સ્થાનાંતરિતમેટ્રિક્સ એ, અને થી સંક્રમણ એથી બી ટ્રાન્સપોઝિશન.

આમ, સ્થાનાંતરણ એ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની ભૂમિકાઓનું રિવર્સલ છે. મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સમાં સ્થાનાંતરિત એ, સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે એ ટી.

મેટ્રિક્સ વચ્ચે સંચાર એઅને તેનું ટ્રાન્સપોઝ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે.આપેલ એકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ શોધો.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો.મેટ્રિસીસ દો એઅને બીસમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને સમાન સંખ્યામાં કૉલમનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. પાસે સમાન કદ. પછી મેટ્રિસિસ ઉમેરવા માટે એઅને બીમેટ્રિક્સ તત્વો માટે જરૂરી એમેટ્રિક્સ તત્વો ઉમેરો બીસમાન સ્થળોએ ઊભા. આમ, બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો એઅને બીમેટ્રિક્સ કહેવાય છે સી, જે નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણો.મેટ્રિસિસનો સરવાળો શોધો:

મેટ્રિક્સ ઉમેરણનું પાલન કરે છે તે ચકાસવું સરળ છે નીચેના કાયદા: વિનિમયાત્મક A+B=B+Aઅને સહયોગી ( A+B)+સી=એ+(B+C).

સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવા માટે એસંખ્યા દીઠ kમેટ્રિક્સના દરેક તત્વની જરૂર છે એઆ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. આમ, મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એસંખ્યા દીઠ kછે નવું મેટ્રિક્સ, જે નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અથવા

કોઈપણ નંબરો માટે aઅને bઅને મેટ્રિસિસ એઅને બીનીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

ઉદાહરણો.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.આ કામગીરી એક વિશિષ્ટ કાયદા અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે. સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે પરિબળ મેટ્રિસિસના કદ સુસંગત હોવા જોઈએ. તમે ફક્ત તે જ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકો છો જેમાં પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે (એટલે ​​​​કે, પ્રથમ પંક્તિની લંબાઈ બીજા કૉલમની ઊંચાઈ જેટલી હોય છે). કામમેટ્રિસિસ એમેટ્રિક્સ નથી બીનવું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે C=AB, જેનાં ઘટકો નીચે મુજબ બનેલા છે:

આમ, ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદન મેળવવા માટે (એટલે ​​કે મેટ્રિક્સમાં સી) 1લી પંક્તિ અને 3જી કૉલમમાં સ્થિત તત્વ 13 થી, તમારે 1લી મેટ્રિક્સમાં 1લી પંક્તિ, 2જીમાં 3જી કૉલમ લેવાની જરૂર છે અને પછી પંક્તિના ઘટકોને સંબંધિત કૉલમ ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવાની જરૂર છે. અને ઉત્પાદન મેટ્રિક્સના અન્ય ઘટકો પ્રથમ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને બીજા મેટ્રિક્સના કૉલમના સમાન ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, જો આપણે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીએ A = (a ij)કદ m× nમેટ્રિક્સ માટે B = (b ij)કદ n× પી, પછી આપણને મેટ્રિક્સ મળે છે સીકદ m× પી, જેના ઘટકોની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: તત્વ c ijતત્વોના ઉત્પાદનના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે iમેટ્રિક્સની મી પંક્તિ એઅનુરૂપ તત્વો માટે jમી મેટ્રિક્સ કૉલમ બીઅને તેમના ઉમેરાઓ.

આ નિયમથી તે અનુસરે છે કે તમે હંમેશા સમાન ક્રમના બે ચોરસ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકો છો, અને પરિણામે આપણે સમાન ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. ખાસ કરીને, ચોરસ મેટ્રિક્સ હંમેશા પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે, એટલે કે. તેને ચોરસ કરો.

બીજો મહત્વનો કેસ એ છે કે પંક્તિ મેટ્રિક્સનો કૉલમ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર, અને પ્રથમની પહોળાઈ બીજાની ઊંચાઈ જેટલી હોવી જોઈએ, પરિણામે પ્રથમ-ક્રમનું મેટ્રિક્સ (એટલે ​​​​કે એક ઘટક) આવે છે. ખરેખર,

.

ઉદાહરણો.

તેથી આ સરળ ઉદાહરણોબતાવો કે મેટ્રિસિસ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકબીજા સાથે મુસાફરી કરતા નથી, એટલે કે. A∙B ≠ B∙A . તેથી, મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે પરિબળોના ક્રમને કાળજીપૂર્વક મોનિટર કરવાની જરૂર છે.

તે ચકાસી શકાય છે કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સહયોગી અને વિતરણ કાયદાઓનું પાલન કરે છે, એટલે કે. (AB)C=A(BC)અને (A+B)C=AC+BC.

ચોરસ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે તે તપાસવું પણ સરળ છે એઓળખ મેટ્રિક્સ માટે ઇતે જ ક્રમમાં આપણે ફરીથી મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ એ, અને AE=EA=A.

નીચેની રસપ્રદ હકીકત નોંધી શકાય છે. જેમ તમે જાણો છો, 2 બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન 0 ની બરાબર નથી. મેટ્રિસિસ માટે આ કેસ ન હોઈ શકે, એટલે કે. 2 બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન શૂન્ય મેટ્રિક્સ સમાન હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો , તે

.

નિર્ધારકોનો ખ્યાલ

સેકન્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિક્સ આપવા દો - બે પંક્તિઓ અને બે સ્તંભો ધરાવતા ચોરસ મેટ્રિક્સ .

બીજો ક્રમ નિર્ણાયક, આ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ, નીચે પ્રમાણે મેળવેલ સંખ્યા છે: a 11 a 22 - a 12 a 21.

નિર્ણાયક પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે .

તેથી, બીજા ક્રમના નિર્ણાયકને શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનમાંથી બીજા કર્ણની સાથે તત્વોના ગુણાંકને બાદ કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણો.બીજા ક્રમ નિર્ધારકોની ગણતરી કરો.

એ જ રીતે, આપણે ત્રીજા-ક્રમના મેટ્રિક્સ અને તેના અનુરૂપ નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

ત્રીજો ક્રમ નિર્ણાયક, આપેલ ત્રીજા ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ, નીચે પ્રમાણે સૂચિત અને પ્રાપ્ત થયેલ સંખ્યા છે:

.

આમ, આ સૂત્ર પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોના સંદર્ભમાં ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ આપે છે. a 11, a 12, a 13અને ત્રીજા ક્રમના નિર્ણાયકની ગણતરીને બીજા ક્રમના નિર્ધારકોની ગણતરીમાં ઘટાડે છે.

ઉદાહરણો.ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો.

એ જ રીતે, કોઈ ચોથા, પાંચમા, વગેરેના નિર્ધારકોની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકે છે. ઓર્ડર્સ, 1લી પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તરણ કરીને, શરતોના “+” અને “–” ચિહ્નો સાથે તેમના ક્રમમાં ઘટાડો.

તેથી, મેટ્રિક્સથી વિપરીત, જે સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે, નિર્ણાયક એ સંખ્યા છે જે મેટ્રિક્સને ચોક્કસ રીતે અસાઇન કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યા- પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યા ધરાવતી સંખ્યાઓનું કોષ્ટક કહેવાય છે

મેટ્રિક્સના તત્વો એ ij સ્વરૂપની સંખ્યાઓ છે, જ્યાં i એ પંક્તિ નંબર છે j એ કૉલમ નંબર છે

ઉદાહરણ 1 i = 2 j = 3

હોદ્દો: A=

મેટ્રિસિસના પ્રકાર:

1. જો પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ:

2. જો પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ચોરસ:

ચોરસ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સની સંખ્યાને તેની કહેવામાં આવે છે ક્રમમાં. ઉદાહરણમાં n = 2

ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો:

a 11, a 22......., a nn તત્વો ધરાવતા કર્ણને કહેવાય છે મુખ્ય , અને a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – તત્વો ધરાવતો કર્ણ સહાયક

એક મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો જ બિનશૂન્ય હોય તેને કહેવામાં આવે છે કર્ણ:

ઉદાહરણ 4 n=3

3. જો વિકર્ણ મેટ્રિક્સમાં 1 સમાન તત્વો હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે એકલઅને અક્ષર E દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 6 n=3

4. એક મેટ્રિક્સ, જેનાં તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે, કહેવાય છે નલ મેટ્રિક્સ અને અક્ષર O દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 7

5. ત્રિકોણાકાર nth ક્રમનું મેટ્રિક્સ એ ચોરસ મેટ્રિક્સ છે, જેના મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્યની બરાબર છે:

ઉદાહરણ 8 n=3

મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ:

મેટ્રિક્સ A અને B નો સરવાળો એ મેટ્રિક્સ C છે જેના તત્વો મેટ્રિક્સ A અને B ના અનુરૂપ ઘટકોના સરવાળા સમાન છે.

માત્ર મેટ્રિક્સ છે સમાન નંબરપંક્તિઓ અને કૉલમ.

મેટ્રિક્સ A અને સંખ્યા k નું ઉત્પાદનઆવા મેટ્રિક્સ kA કહેવાય છે, જેનું દરેક તત્વ ka ij ની બરાબર છે

ઉદાહરણ 10

મેટ્રિક્સને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી તે સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદનમેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પ્રથમ મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિ પસંદ કરવાની અને બીજા મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમના અનુરૂપ ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામ ઉમેરવાની જરૂર છે. આ પરિણામને 1લી પંક્તિ અને 10મી કૉલમમાં પરિણામ મેટ્રિક્સમાં મૂકો. અમે અન્ય તમામ ઘટકો સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ: 1 લી લીટીથી બીજા સ્તંભમાં, 3જી સુધી, વગેરે, પછી નીચેની લીટીઓ સાથે.

ઉદાહરણ 11

મેટ્રિક્સ B દ્વારા મેટ્રિક્સ A નો ગુણાકાર ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજા મેટ્રિક્સના કૉલમ્સની સંખ્યા જેટલી હોય.

- કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે;

- કામ અસ્તિત્વમાં નથી

ઉદાહરણો 12 મેટ્રિક્સ II માં છેલ્લી લીટીને ગુણાકાર કરવા માટે કંઈ નથી, એટલે કે. કામ અસ્તિત્વમાં નથી

મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝપંક્તિ ઘટકોને કૉલમ ઘટકો સાથે બદલવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ13

એક શક્તિ સુધી વધારીનેમેટ્રિક્સના પોતાના દ્વારા અનુક્રમિક ગુણાકાર કહેવાય છે.

1 લી વર્ષ, ઉચ્ચ ગણિત, અભ્યાસ મેટ્રિસિસઅને તેમના પર મૂળભૂત ક્રિયાઓ. અહીં અમે મૂળભૂત કામગીરીને વ્યવસ્થિત કરીએ છીએ જે મેટ્રિસિસ સાથે કરી શકાય છે. મેટ્રિસિસ સાથે પરિચિત થવાનું ક્યાંથી શરૂ કરવું? અલબત્ત, સરળ વસ્તુઓમાંથી - વ્યાખ્યાઓ, મૂળભૂત ખ્યાલો અને સરળ કામગીરી. અમે તમને ખાતરી આપીએ છીએ કે મેટ્રિસેસ દરેકને સમજાશે જેઓ તેમને ઓછામાં ઓછો થોડો સમય ફાળવે છે!

મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યા

મેટ્રિક્સ- આ લંબચોરસ ટેબલતત્વો સારું, જો સરળ ભાષામાં- સંખ્યાઓનું કોષ્ટક.

સામાન્ય રીતે મેટ્રિસિસ કેપિટલમાં સૂચવવામાં આવે છે લેટિન અક્ષરોમાં. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ એ , મેટ્રિક્સ બી અને તેથી વધુ. મેટ્રિસિસ હોઈ શકે છે વિવિધ કદ: લંબચોરસ, ચોરસ, પંક્તિ મેટ્રિસિસ અને કૉલમ મેટ્રિસિસ પણ છે જેને વેક્ટર કહેવાય છે. મેટ્રિક્સનું કદ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો લખીએ લંબચોરસ મેટ્રિક્સકદ m પર n , ક્યાં m - રેખાઓની સંખ્યા, અને n - કૉલમની સંખ્યા.

જેના માટે વસ્તુઓ i=j (a11, a22, .. ) મેટ્રિક્સનો મુખ્ય કર્ણ બનાવે છે અને તેને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

તમે મેટ્રિસિસ સાથે શું કરી શકો? ઉમેરો/બાદબાકી, સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો, પોતાની વચ્ચે ગુણાકાર કરો, ટ્રાન્સપોઝ. હવે ક્રમમાં મેટ્રિસિસ પર આ તમામ મૂળભૂત કામગીરી વિશે.

મેટ્રિક્સ સરવાળો અને બાદબાકીની કામગીરી

ચાલો અમે તમને તરત જ ચેતવણી આપીએ કે તમે ફક્ત સમાન કદના મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકો છો. પરિણામ સમાન કદનું મેટ્રિક્સ હશે. મેટ્રિસિસ ઉમેરવા (અથવા બાદબાકી) સરળ છે - તમારે ફક્ત તેમના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરવાની જરૂર છે . ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો બે બાય બે માપના બે મેટ્રિસ A અને B નો ઉમેરો કરીએ.

બાદબાકી સામ્યતા દ્વારા કરવામાં આવે છે, માત્ર વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે.

ચાલુ મનસ્વી સંખ્યાતમે કોઈપણ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકો છો. આ કરવા માટે તમારે તેના દરેક ઘટકોને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પહેલા ઉદાહરણમાંથી મેટ્રિક્સ A ને નંબર 5 વડે ગુણાકાર કરીએ:

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કામગીરી

તમામ મેટ્રિક્સ એકસાથે ગુણાકાર કરી શકાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે બે મેટ્રિક્સ છે - A અને B. જો મેટ્રિક્સ A ના કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય તો જ તેનો એકબીજાથી ગુણાકાર થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં પરિણામી મેટ્રિક્સનું દરેક ઘટક i-th પંક્તિમાં સ્થિત છે અને jth કૉલમ, કરશે સરવાળો સમાનમાં અનુરૂપ તત્વોના ઉત્પાદનો i-th લાઇનપ્રથમ પરિબળ અને બીજાની j-મી કૉલમ. આ અલ્ગોરિધમ સમજવા માટે, ચાલો લખીએ કે કેવી રીતે બે ચોરસ મેટ્રિસનો ગુણાકાર થાય છે:

અને સાથે એક ઉદાહરણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. ચાલો મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરીએ:

મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝ ઓપરેશન

મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન એ એક ઓપરેશન છે જ્યાં અનુરૂપ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ સ્વેપ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્રથમ ઉદાહરણમાંથી મેટ્રિક્સ A ને સ્થાનાંતરિત કરીએ:

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક

નિર્ણાયક, અથવા નિર્ણાયક, મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક છે રેખીય બીજગણિત. એક સમયે લોકો સાથે આવ્યા હતા રેખીય સમીકરણો, અને તેમની પાછળ અમારે નિર્ણાયક સાથે આવવું પડ્યું. અંતે, આ બધા સાથે વ્યવહાર કરવાનું તમારા પર છે, તેથી, છેલ્લો દબાણ!

નિર્ણાયક છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાચોરસ મેટ્રિક્સ, જે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે જરૂરી છે.
સૌથી સરળ ચોરસ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે, તમારે મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણના ઘટકોના ઉત્પાદનો વચ્ચેના તફાવતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ ક્રમના મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક, એટલે કે, એક તત્વનો સમાવેશ, આ તત્વ સમાન છે.

જો મેટ્રિક્સ ત્રણ બાય ત્રણ હોય તો શું? આ વધુ મુશ્કેલ છે, પરંતુ તમે તેને મેનેજ કરી શકો છો.

આવા મેટ્રિક્સ માટે, નિર્ણાયકનું મૂલ્ય મુખ્ય કર્ણના ઘટકોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને મુખ્ય કર્ણની સમાંતર ચહેરા સાથે ત્રિકોણ પર પડેલા તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું હોય છે, જેમાંથી ગૌણ કર્ણના તત્વો અને સમાંતર ગૌણ કર્ણના ચહેરા સાથે ત્રિકોણ પર પડેલા તત્વોના ઉત્પાદનને બાદ કરવામાં આવે છે.

સદનસીબે, મેટ્રિસીસના નિર્ધારકોની ગણતરી મોટા કદવ્યવહારમાં તે ભાગ્યે જ જરૂરી છે.

અહીં અમે મેટ્રિસિસ પરની મૂળભૂત કામગીરી જોઈ. અલબત્ત, માં વાસ્તવિક જીવનતમે ક્યારેય એક સંકેતનો પણ સામનો નહીં કરી શકો મેટ્રિક્સ સિસ્ટમસમીકરણો અથવા ઊલટું - ઘણું બધું જટિલ કેસોજ્યારે તમારે ખરેખર તમારા મગજને રેક કરવું હોય. આવા કિસ્સાઓ માટે વ્યાવસાયિક વિદ્યાર્થી સેવાઓ અસ્તિત્વમાં છે. મદદ માટે પૂછો, ગુણવત્તા મેળવો અને વિગતવાર ઉકેલ, તમારી શૈક્ષણિક સફળતા અને મફત સમયનો આનંદ માણો.