દ્રવ્યના તરંગ ગુણધર્મો વિશે ડી બ્રોગ્લીના વિચારને વિકસાવવામાં, ઇ. શ્રોડિન્ગરને તેનો પ્રાપ્ત થયો પ્રખ્યાત સમીકરણ. શ્રોડિંગરે માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની હિલચાલની તુલના કરી જટિલ કાર્યકોઓર્ડિનેટ્સ અને સમય, જેને તેમણે વેવ ફંક્શન કહે છે અને નિયુક્ત કર્યા છે ગ્રીક અક્ષર"psi" (). આપણે તેને psi ફંક્શન કહીશું.

પીએસઆઈ ફંક્શન માઇક્રોપાર્ટિકલની સ્થિતિ દર્શાવે છે. કાર્યનું સ્વરૂપ શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે આના જેવું દેખાય છે:

અહીં કણ સમૂહ છે, i - કાલ્પનિક એકમ, - લેપ્લેસ ઓપરેટર, જેનું પરિણામ ચોક્કસ કાર્ય પર કાર્ય કરે છે તે કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં બીજા આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો સરવાળો છે:

સમીકરણ (21.1) માં U અક્ષર કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમયના કાર્યને સૂચવે છે, જેનો ઢાળ, વિપરીત ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, તે કણ પર કાર્ય કરતું બળ નક્કી કરે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે U ફંક્શન સ્પષ્ટપણે સમય પર આધાર રાખતું નથી, તે કણની સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે.

સમીકરણ (21.1) પરથી તે અનુસરે છે કે psi ફંક્શનનું સ્વરૂપ U ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, આખરે, કણ પર કાર્ય કરતા દળોની પ્રકૃતિ દ્વારા.

શ્રોડિન્જર સમીકરણ એ બિન-સાપેક્ષવાદી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ છે. તે અન્ય સંબંધોમાંથી મેળવી શકાતું નથી. તેને પ્રારંભિક મૂળભૂત ધારણા તરીકે માનવું જોઈએ, જેની માન્યતા એ હકીકત દ્વારા સાબિત થાય છે કે તેમાંથી વહેતા તમામ પરિણામો પ્રાયોગિક તથ્યો સાથે સૌથી સચોટ કરારમાં છે.

શ્રોડિન્ગરે ઓપ્ટિકલ-મિકેનિકલ સાદ્રશ્યના આધારે તેમનું સમીકરણ સ્થાપિત કર્યું. આ સાદ્રશ્ય સમીકરણોની સમાનતામાં રહેલું છે જે પ્રકાશ કિરણોના માર્ગનું વર્ણન કરે છે તે સમીકરણો સાથે જે કણોની ગતિ નક્કી કરે છે વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સ. ઓપ્ટિક્સમાં, કિરણોનો માર્ગ ફર્મેટના સિદ્ધાંતને સંતોષે છે (મિકેનિક્સમાં § 115 જુઓ), ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના કહેવાતા સિદ્ધાંતને સંતોષે છે.

જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર છે, તો પછી કાર્ય V સ્પષ્ટપણે સમય પર આધારિત નથી અને, જેમ કે પહેલેથી નોંધ્યું છે, સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ બે પરિબળોમાં વિભાજિત થાય છે, જેમાંથી એક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે, બીજો - ફક્ત સમયસર:

અહીં E એ કણની કુલ ઊર્જા છે, જે કિસ્સામાં સ્થિર ક્ષેત્રસ્થિર રહે છે. અભિવ્યક્તિની માન્યતા ચકાસવા માટે (21.3), ચાલો તેને સમીકરણમાં બદલીએ (21.1). પરિણામે, આપણે સંબંધ મેળવીએ છીએ

દ્વારા ઘટાડો સામાન્ય ગુણકઆપણે ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરતા વિભેદક સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

સમીકરણ (21.4) ને સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આગળ આપણે ફક્ત આ સમીકરણ સાથે વ્યવહાર કરીશું અને સંક્ષિપ્તતા માટે આપણે તેને ફક્ત શ્રોડિંગર સમીકરણ કહીશું. સમીકરણ (21.4) ઘણીવાર ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે

ચાલો સમજાવીએ કે શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર કેવી રીતે પહોંચી શકાય. સરળતા માટે, અમે અમારી જાતને એક-પરિમાણીય કેસ સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ. ચાલો મુક્તપણે ફરતા કણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ડી બ્રોગલીના વિચાર મુજબ, તેને પ્લેન વેવ સાથે સાંકળવાની જરૂર છે

(વી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સઘાતાંકને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવાનો રિવાજ છે). E અને દ્વારા (18.1) અને (18.2) અનુસાર બદલીને, અમે અભિવ્યક્તિ પર પહોંચીએ છીએ

આ અભિવ્યક્તિને t ના સંદર્ભમાં એક વખત અને બીજી વખત x ના સંદર્ભમાં બે વાર અલગ કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

બિન-સાપેક્ષવાદી શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, ઊર્જા E અને મુક્ત કણની ગતિ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

E માટે અને આ સંબંધમાં સમીકરણો (21.7) ને બદલીને અને પછી દ્વારા ઘટાડીને, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

જે સમીકરણ (21.1) સાથે એકરુપ છે, જો બાદમાં આપણે મૂકીએ

દ્વારા લાક્ષણિકતા બળ ક્ષેત્રમાં ફરતા કણના કિસ્સામાં સંભવિત ઊર્જા U, ઊર્જા E અને મોમેન્ટમ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

આ કિસ્સામાં E માટે સમીકરણો (21.7) વિસ્તરે છે, અમે મેળવીએ છીએ

આ ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીને અને શબ્દને ડાબી બાજુએ ખસેડવાથી, આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ

સમીકરણ સાથે સુસંગત (21.1).

દર્શાવેલ તર્કમાં કોઈ સાક્ષી બળ નથી અને તેને શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ગણી શકાય નહીં. તેમનો હેતુ સમજાવવાનો છે કે આ સમીકરણ કેવી રીતે આવી શકે.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ખ્યાલ મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે એક ઓપરેટર એ એક નિયમ છે જેના દ્વારા એક ફંક્શન (ચાલો તેને સૂચવીએ) બીજા ફંક્શન સાથે સંકળાયેલું છે (ચાલો તેને સૂચવીએ). પ્રતીકાત્મક રીતે આ નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

અહીં ઓપરેટરનું સાંકેતિક હોદ્દો છે (તે જ સફળતા સાથે, તેની ઉપર "ટોપી" સાથેનો કોઈપણ અન્ય અક્ષર લઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વગેરે). સૂત્ર (21.2) માં, Q ની ભૂમિકા ફંક્શન F દ્વારા ભજવવામાં આવે છે, અને f ની ભૂમિકા સૂત્રની જમણી બાજુ છે.

હેઈઝનબર્ગને એવા નિષ્કર્ષ પર લઈ જવામાં આવ્યા હતા કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધમાં સૂક્ષ્મ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. બળ ક્ષેત્રો, ત્યાં એક સમીકરણ હોવું જોઈએ જેમાંથી પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરાયેલ મૂલ્યો અનુસરશે તરંગ ગુણધર્મોકણો સંચાલિત સમીકરણ એ તરંગ કાર્ય Ψ માટે સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x, y, z, t),કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જથ્થો |Ψ| 2, સમયની ક્ષણે કણ હાજર હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છે tવોલ્યુમ Δ માં વી,એટલે કે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં એક્સઅને x + dx, yઅને y + dу, zઅને z+ dz.

નોન-રિલેટિવિસ્ટિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ 1926 માં ઇ. શ્રોડિંગર દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને મેક્સવેલના સમીકરણો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની પાસેથી મેળવેલા અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે.

સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે:

જ્યાં ? = કલાક/(2π), m- પાર્ટિકલ માસ, Δ - લેપ્લેસ ઓપરેટર , i- કાલ્પનિક એકમ, યુ(x, y, z, t) એ બળ ક્ષેત્રમાં કણનું સંભવિત કાર્ય છે જેમાં તે આગળ વધે છે, Ψ( x, y, z, t) - જરૂરી બળદ નવી સુવિધાકણો

સમીકરણ (1) કોઈપણ કણ (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે) ઓછી (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) ગતિએ આગળ વધતા માટે માન્ય છે, એટલે કે. υ "સાથે.

તે શરતો દ્વારા પૂરક છે, વેવ ફંક્શન પર સુપરઇમ્પોઝ્ડ:

1) તરંગ કાર્ય મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ;

2) ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોવું જોઈએ;

3) કાર્ય |Ψ| 2 એકીકૃત હોવું આવશ્યક છે (સૌથી સરળ કેસોમાં આ સ્થિતિ સંભાવનાઓને સામાન્ય બનાવવા માટેની સ્થિતિને ઘટાડે છે).

સમીકરણ (1) કહેવાય છે સમય-આધારિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ.

ઘણા માટે ભૌતિક ઘટના, માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતું, સમીકરણ (1) ને સમય પર Ψ ની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, એટલે કે. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો - સ્થિર ઉર્જા મૂલ્યો સાથેના રાજ્યો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય યુ = યુ(x, y,z) સ્પષ્ટપણે સમય પર નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. IN આ કિસ્સામાંશ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે

. (2)

સમીકરણ (2) સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવાય છે.

આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે કુલ ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે ઇકણો વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત થયું છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી, લાદીને સીમા શરતોહોય તેવા ઉકેલો પસંદ કરો ભૌતિક અર્થ. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે આવી પરિસ્થિતિઓ છે તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો: નવા કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવા જોઈએ.

આમ, માત્ર તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે Ψ વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ ધરાવે છે. પરંતુ કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્યો માટે નિયમિત ઉકેલો થતા નથી ઇ,પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ કાર્યની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને ઇજેનવેલ્યુ કહેવામાં આવે છે . ઉર્જા ઇજેન મૂલ્યોને અનુરૂપ ઉકેલોને ઇજેનફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે . ઇજેનવેલ્યુઝ ઇસતત અને બંને રચના કરી શકે છે અલગ શ્રેણી. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે

ચાલો હાથ ધરીએ ગુણાત્મક વિશ્લેષણશ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલો અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણ પર લાગુ થાય છે. આવા "છિદ્ર" નું વર્ણન સ્વરૂપની સંભવિત ઉર્જા દ્વારા કરવામાં આવે છે (સરળતા માટે આપણે ધારીએ છીએ કે કણ ધરી સાથે આગળ વધે છે. X)

જ્યાં l"છિદ્ર" ની પહોળાઈ છે, અને ઊર્જા તેના તળિયેથી ગણવામાં આવે છે (ફિગ. 2).

એક-પરિમાણીય સમસ્યાના કિસ્સામાં સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

. (1)

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ (અનંત ઊંચી "દિવાલો") અનુસાર, કણ "છિદ્ર" ની બહાર પ્રવેશતું નથી, તેથી "છિદ્ર" ની બહાર તેની શોધ (અને પરિણામે, તરંગ કાર્ય) ની સંભાવના શૂન્ય છે. "ખાડો" ની સીમાઓ પર (એટ એક્સ= 0 અને x = 1)સતત વેવ ફંક્શન પણ અદૃશ્ય થવું જોઈએ.

તેથી, આ કિસ્સામાં સીમાની શરતોનું સ્વરૂપ છે:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

"ખાડા" ની અંદર (0 ≤ એક્સ≤ 0) શ્રોડિન્જર સમીકરણ (1) સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવશે:

અથવા . (3)

જ્યાં k 2 = 2mE / ? 2.(4)

સામાન્ય ઉકેલ વિભેદક સમીકરણ (3):

Ψ ( x) = એપાપ kx + બી cos kx.

ત્યારથી (2) Ψ (0) = 0 મુજબ, પછી B = 0. પછી

Ψ ( x) = એપાપ kx. (5)

શરત Ψ ( l) = એપાપ kl= 0 (2) ત્યારે જ પરિપૂર્ણ થાય છે kl = nπ, ક્યાં n- પૂર્ણાંકો, એટલે કે. તે જરૂરી છે

k = nπ/l. (6)

(4) અને (6) અભિવ્યક્તિઓમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

એટલે કે સ્થિર સમીકરણશ્રોડિન્જર, જે અનંત ઉંચી "દિવાલો" સાથે "સંભવિત કૂવા" માં કણની ગતિનું વર્ણન કરે છે, તે માત્ર ઇજનવેલ્યુ માટે જ સંતુષ્ટ છે. ઇ પી,પૂર્ણાંક પર આધાર રાખીને પી.તેથી, ઊર્જા ઇ પીઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના "સંભવિત કૂવા" માંના કણો જ સ્વીકારે છે ચોક્કસ અલગ મૂલ્યો, એટલે કે તે પરિમાણિત છે.

પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો ઇ પીકહેવાય છે ઊર્જા સ્તરોઅને નંબર p,વ્યાખ્યાયિત ઊર્જા સ્તરોકણો કહેવાય છે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર.આમ, અનંત ઊંચી "દિવાલો" વાળા "સંભવિત કૂવા" માં સૂક્ષ્મ કણો માત્ર ચોક્કસ ઉર્જા સ્તર પર હોઈ શકે છે. ઇ પી,અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, કણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં છે પી.

(5) મૂલ્યમાં અવેજીમાં k(6) માંથી, અમે ઇજનફંક્શન્સ શોધીએ છીએ:

.

એકીકરણનું સતત એઅમે નોર્મલાઇઝેશન શરતમાંથી શોધીએ છીએ, જે આ કેસ માટે ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

.

એકીકરણના પરિણામે આપણે મેળવીએ છીએ , અને eigenfunctions પાસે ફોર્મ હશે:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

ઉર્જાના સ્તરને અનુરૂપ eigenfunctions (8) ના આલેખ (7) at n= 1,2,3, ફિગમાં બતાવેલ છે. 3, એ.ફિગ માં. 3, bછિદ્રની "દિવાલો" થી વિવિધ અંતરે કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે, જે Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) માટે n = 1, 2 અને 3. તે આકૃતિમાંથી અનુસરે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, સાથે ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં n= 2, એક કણ "છિદ્ર" ની મધ્યમાં હોઈ શકતું નથી, જ્યારે સમાન રીતે તે તેની ડાબી બાજુએ હોઈ શકે છે અને જમણા ભાગો. કણની આ વર્તણૂક સૂચવે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પાર્ટિકલ ટ્રેજેક્ટરીઝની વિભાવનાઓ અસમર્થ છે.

અભિવ્યક્તિ (7) પરથી તે અનુસરે છે કે બે સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચે ઊર્જા અંતરાલ બરાબર છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સારી પરિમાણો સાથે ઇલેક્ટ્રોન માટે l= 10 -1 મીટર ( મફત ઇલેક્ટ્રોનધાતુમાં) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, એટલે કે ઊર્જા સ્તરો એટલા નજીકથી સ્થિત છે કે સ્પેક્ટ્રમ વ્યવહારીક રીતે સતત ગણી શકાય. જો કૂવાના પરિમાણો અણુ સાથે તુલનાત્મક હોય ( l ≈ 10 -10 મીટર), પછી ઇલેક્ટ્રોન Δ માટે E n ≈ 10 -17 nજે ≈ 10 2 n eV, એટલે કે દેખીતી રીતે અલગ ઊર્જા મૂલ્યો (રેખા સ્પેક્ટ્રમ) મેળવવામાં આવે છે.

આમ, શ્રોડિંગર સમીકરણને "સંભવિત કૂવા" માં અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણ પર લાગુ કરવાથી પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ આ કણની ઊર્જા પર કોઈ નિયંત્રણો લાદતા નથી.

વધુમાં, આ સમસ્યાની ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ વિચારણા એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે "સંભવિત કૂવામાં" અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણમાં π 2 જેટલી લઘુત્તમ ઊર્જા કરતાં ઓછી ઊર્જા હોઈ શકતી નથી. ? 2 /(2t1 2). બિનશૂન્ય લઘુત્તમ ઊર્જાની હાજરી આકસ્મિક નથી અને અનિશ્ચિતતા સંબંધને અનુસરે છે. સંકલન અનિશ્ચિતતા Δ એક્સ"ખાડો" પહોળા કણો lΔ ની બરાબર એક્સ= l.

પછી, અનિશ્ચિતતા સંબંધ અનુસાર, આવેગનું ચોક્કસ, આ કિસ્સામાં શૂન્ય, મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. મોમેન્ટમ અનિશ્ચિતતા Δ આર ≈ h/l. વેગ મૂલ્યોનો આ ફેલાવો અનુરૂપ છે ગતિ ઊર્જા E મિનિટ ≈(Δ પી) 2 / (2m) = ? 2 / (2મિલી 2). અન્ય તમામ સ્તરો ( p> 1) આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવે છે.

સૂત્રો (9) અને (7) પરથી તે અનુસરે છે કે મોટા ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ માટે ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/n“1, એટલે કે નજીકના સ્તરો નજીકથી સ્થિત છે: વધુ નજીક પી.જો nખૂબ મોટી છે, તો પછી આપણે સ્તરોના લગભગ સતત ક્રમ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ અને લાક્ષણિક લક્ષણ ક્વોન્ટમ પ્રક્રિયાઓ- વિવેકબુદ્ધિ દૂર કરવામાં આવે છે. આ પરિણામ બોહરના પત્રવ્યવહાર સિદ્ધાંત (1923) નો એક વિશેષ કેસ છે, જે મુજબ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નિયમો આવશ્યક છે. મોટા મૂલ્યો ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓશાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો પર જાઓ.

§ 217. જનરલ શ્રોડિન્જર સમીકરણ. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ

દા બ્રોગ્લી તરંગોનું આંકડાકીય અર્થઘટન (જુઓ § 216) અને હેઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધ (જુઓ § 215) એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી ગયું કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધ બળ ક્ષેત્રોમાં માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે, તે એક સમીકરણ હોવું જોઈએ. જેમાંથી કણોના પ્રાયોગિક તરંગ ગુણધર્મો પર અવલોકનક્ષમ. સંચાલિત સમીકરણ એ વેવ ફંક્શન (x, z, t ), y,t કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જથ્થો, જે સમયની ક્ષણે કણ હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છેવોલ્યુમમાં , ડીવીx એટલે કે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં x + અને . ડીએક્સ y ડીએક્સ + અને . dy + dz . ઝુઝ આવશ્યક સમીકરણે કણોના તરંગ ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક હોવાથી, તે તરંગ સમીકરણ હોવું જોઈએ, જેનું વર્ણન કરતા સમીકરણ જેવું જ છે..

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોમૂળભૂત સમીકરણ E. Schrödinger દ્વારા 1926 માં ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટેના મેક્સવેલના સમીકરણો), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે.

(217.1)

આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની સહાયથી પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણનું સ્વરૂપ છેક્યાં, ટી ,

- - પાર્ટિકલ માસ, - લેપ્લેસ ઓપરેટરકાલ્પનિક એકમ, વી z , t ) (x, y,- બળ ક્ષેત્રમાં કણનું સંભવિત કાર્ય જેમાં તે આગળ વધે છે, z, t ) (x, y,

- કણનું ઇચ્છિત તરંગ કાર્ય. સમીકરણ (217.1) કોઈપણ કણ માટે માન્ય છે (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે; જુઓ § 225) ઓછી ઝડપે (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) આગળ વધી રહ્યા છે, એટલે કે, ઝડપ સાથે તે તરંગ પર લાદવામાં આવેલી શરતો દ્વારા પૂરક છે. કાર્ય: 1) વેવ ફંક્શન મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ (જુઓ § 216); 2) ડેરિવેટિવ્ઝ

સતત હોવું જોઈએ; 3) કાર્ય હોવું જોઈએ

એકીકૃત; સરળ કિસ્સાઓમાં આ સ્થિતિ સંભાવનાઓને સામાન્ય બનાવવા માટેની સ્થિતિને ઘટાડે છે (216.3). શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર પહોંચવા માટે, મુક્તપણે ફરતા કણને ધ્યાનમાં લો, જે ડી બ્રોગલીના વિચાર મુજબ, સાથે સંકળાયેલ છેવિમાન તરંગ . સરળતા માટે, અમે એક-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. અક્ષ સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગનું સમીકરણ X, ફોર્મ ધરાવે છે (જુઓ § 154), અથવા જટિલ સંકેતમાં

તેથી ફ્લેટ

(217.2)

ડી બ્રોગ્લી તરંગનું સ્વરૂપ છે (તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ઘાતાંકને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે,

પરંતુ તેનો માત્ર ભૌતિક અર્થ હોવાથી, આ (જુઓ (217.2)) બિનમહત્વપૂર્ણ છે. પછી

જ્યાંઇ ઊર્જા વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવો અને આવેગ

અને અવેજી અભિવ્યક્તિઓ

(217.3), અમે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએયુ જે કેસ માટે સમીકરણ (217.1) સાથે એકરુપ છે

=0 (અમે મુક્ત કણ ગણ્યા હતા).યુ , જો કોઈ કણ સંભવિત ઉર્જા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ બળ ક્ષેત્રમાં ફરે છે

તેઇ કુલ ઊર્જા સમાવે છે લાક્ષણિક

વાસ્તવિક અને સંભવિત ઊર્જા. સમાન હાથ ધરે છેઇ yઆર તર્ક અને વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ (આ કેસ માટે

અમે આવીશું

° (217.1) સાથે સુસંગત વિભેદક સમીકરણ.

સમીકરણ (217.1) એ સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે. તેને સમય આધારિત શ્રોઇડનેગર સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતી ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ માટે, સમીકરણ (217.1) ને સમય પરની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો સ્થિર અવસ્થાઓ - સ્થિર ઊર્જા મૂલ્યો સાથેના રાજ્યો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલને બે કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે, બીજું - માત્ર સમયનું છે, અને સમય પરની અવલંબન ગુણક દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

તેથી

જ્યાંઇ એ કણની કુલ ઊર્જા છે, જે સ્થિર ક્ષેત્રના કિસ્સામાં સ્થિર છે. (217.4) ને (217.1) માં બદલીને, આપણને મળે છે

જ્યાંથી, સામાન્ય પરિબળો અને અનુરૂપ પરિવર્તનો દ્વારા વિભાજન કર્યા પછી

આપણે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

(217.5)

સમીકરણ (217.5) ને સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે કુલ ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે ઇ કણો વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત થાય છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી ભૌતિક અર્થ ધરાવતા ઉકેલોને સીમાની શરતો લાદીને પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે, આવી પરિસ્થિતિઓ તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો છે: તરંગ કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સની સાથે મર્યાદિત, એકલ-મૂલ્યવાળું અને સતત હોવા જોઈએ. ઇ, આમ, ફક્ત તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેનો વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ હોય છે પરંતુ નિયમિત ઉકેલો પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યો માટે થતા નથી પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ કાર્યની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને યોગ્ય મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે.ઉકેલો ઇ , જે ઉર્જા ઇજેન મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, તેને ઇજેન ફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે. ઇજેનવેલ્યુઝ

બંને કાયમી રચના કરી શકે છે

અખંડ અને અલગ શ્રેણી. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

§ 218. કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત ■ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અનિશ્ચિતતા સંબંધમાંથી, એક નિષ્કર્ષ ઘણીવાર દોરવામાં આવે છે કે કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત માઇક્રોકોઝમમાં બનતી ઘટનાઓને લાગુ પડતો નથી. આ નીચેની બાબતો પર આધારિત છે.શાસ્ત્રીય નિશ્ચયવાદ, સમયની ચોક્કસ ક્ષણે સિસ્ટમની જાણીતી સ્થિતિના આધારે (સંપૂર્ણપણે સિસ્ટમના તમામ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાના મૂલ્યો દ્વારા નિર્ધારિત) અને તેના પર લાગુ કરાયેલા દળો, કોઈ પણ વ્યક્તિ તેની સંપૂર્ણ સચોટતા નક્કી કરી શકે છે. કોઈપણ અનુગામી ક્ષણે રાજ્ય. આથી, શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રકાર્યકારણની નીચેની સમજણ પર આધારિત છે: રાજ્ય યાંત્રિક સિસ્ટમવી પ્રારંભિક ક્ષણકણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના જાણીતા નિયમ સાથેનો સમય એ કારણ છે, અને પછીની ક્ષણે તેની સ્થિતિ અસર છે.

બીજી બાજુ, માઇક્રોઓબ્જેક્ટ્સમાં એકસાથે ચોક્કસ સંકલન અને વેગના ચોક્કસ અનુરૂપ પ્રક્ષેપણ (અનિશ્ચિતતા સંબંધ (215.1) દ્વારા નિર્ધારિત) બંને હોઈ શકતા નથી, તેથી તે નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે પ્રારંભિક ક્ષણે સિસ્ટમની સ્થિતિ ચોક્કસ નથી. નિર્ધારિત જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરવામાં આવતી નથી, તો પછીના રાજ્યોની આગાહી કરી શકાતી નથી, એટલે કે કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.

જો કે, સૂક્ષ્મ-પદાર્થોના સંબંધમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું કોઈ ઉલ્લંઘન જોવા મળતું નથી, કારણ કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સૂક્ષ્મ-પદાર્થની સ્થિતિનો ખ્યાલ ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ કરતાં સંપૂર્ણપણે અલગ અર્થ લે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, માઇક્રોઓબ્જેક્ટની સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે વેવ ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (x, સંચાલિત સમીકરણ એ વેવ ફંક્શન (x,z, t), મોડ્યુલસનો ચોરસ જેનું(x, સંચાલિત સમીકરણ એ વેવ ફંક્શન (x,z, t)\ 2 કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતાનો ઉલ્લેખ કરે છે x, y,z.

બદલામાં, વેવ ફંક્શન(x, સંચાલિત સમીકરણ એ વેવ ફંક્શન (x,z, t) સમયના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સમાવિષ્ટ, શ્રોડિંગર સમીકરણ (217.1) ને સંતોષે છે. આનો અર્થ એવો પણ થાય છે કે ફંક્શન (સમય t 0 માટે) સ્પષ્ટ કરવું એ પછીની ક્ષણો પર તેનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે. તેથી, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પ્રારંભિક સ્થિતિ

ત્યાં એક કારણ છે, અને પછીની ક્ષણે રાજ્ય એક પરિણામ છે. આ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું સ્વરૂપ છે, એટલે કે, ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવો એ પછીની કોઈપણ ક્ષણો માટે તેના મૂલ્યો પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે. આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વ્યાખ્યાયિત માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની સિસ્ટમની સ્થિતિ, કાર્યકારણના સિદ્ધાંત દ્વારા આવશ્યકતા મુજબ, અગાઉની સ્થિતિથી સ્પષ્ટપણે અનુસરે છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રીઓમાં આટલી વ્યાપક લોકકથા અનુસાર, તે આના જેવું બન્યું: 1926 માં, નામના એક સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રીએ ઝ્યુરિચ યુનિવર્સિટીમાં એક વૈજ્ઞાનિક સેમિનારમાં વાત કરી. તેમણે હવામાં વિચિત્ર નવા વિચારો વિશે વાત કરી, કેવી રીતે માઇક્રોસ્કોપિક પદાર્થો ઘણીવાર કણોની જેમ તરંગો જેવા વધુ વર્તે છે. પછી એક વૃદ્ધ શિક્ષકે બોલવાનું કહ્યું અને કહ્યું: “શ્રોડિન્જર, તમે જોતા નથી કે આ બધું બકવાસ છે? અથવા શું આપણે બધા નથી જાણતા કે તરંગો માત્ર તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવી શકાય તેવા તરંગો છે?” શ્રોડિન્ગરે આને વ્યક્તિગત અપમાન તરીકે લીધું અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના માળખામાં કણોનું વર્ણન કરવા માટે તરંગ સમીકરણ વિકસાવવાનું નક્કી કર્યું - અને આ કાર્યનો તેજસ્વી રીતે સામનો કર્યો.

અહીં એક સમજૂતી કરવી જરૂરી છે. આપણા રોજિંદા વિશ્વમાં, ઊર્જાનું સ્થાનાંતરણ બે રીતે થાય છે: એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ખસેડતી વખતે પદાર્થ દ્વારા (ઉદાહરણ તરીકે, ગતિશીલ એન્જિન અથવા પવન) - કણો આવા ઊર્જા ટ્રાન્સફરમાં સામેલ હોય છે - અથવા તરંગો દ્વારા (ઉદાહરણ તરીકે, રેડિયો તરંગો કે જે શક્તિશાળી ટ્રાન્સમિટર્સ દ્વારા પ્રસારિત થાય છે અને અમારા ટેલિવિઝનના એન્ટેના દ્વારા પકડવામાં આવે છે). એટલે કે, તમે અને હું જ્યાં રહીએ છીએ તે મેક્રોકોઝમમાં, તમામ ઊર્જા વાહકો સખત રીતે બે પ્રકારોમાં વિભાજિત થાય છે - કોર્પસ્ક્યુલર (સામગ્રીના કણોનો સમાવેશ થાય છે) અથવા તરંગ. આ કિસ્સામાં, કોઈપણ તરંગનું વર્ણન કરવામાં આવે છે ખાસ પ્રકારસમીકરણો - તરંગ સમીકરણો. તમામ તરંગો, અપવાદ વિના, સમુદ્રના તરંગો છે, સિસ્મિક તરંગો ખડકો, દૂરના તારાવિશ્વોમાંથી રેડિયો તરંગો સમાન પ્રકારના તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ સમજૂતી એ સ્પષ્ટ કરવા માટે જરૂરી છે કે જો આપણે સંભાવના વિતરણ તરંગોના સંદર્ભમાં સબએટોમિક વિશ્વની ઘટનાને રજૂ કરવા માગીએ છીએ (જુઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ), તો આ તરંગોનું પણ અનુરૂપ તરંગ સમીકરણ દ્વારા વર્ણન કરવું આવશ્યક છે.

શ્રોડિંગરે તરંગ કાર્યના શાસ્ત્રીય વિભેદક સમીકરણને સંભાવના તરંગોના ખ્યાલ પર લાગુ કર્યું અને તેનું નામ ધરાવતું પ્રખ્યાત સમીકરણ મેળવ્યું. જેમ સામાન્ય તરંગ કાર્ય સમીકરણ, ઉદાહરણ તરીકે, પાણીની સપાટી પરના લહેરોના પ્રસારનું વર્ણન કરે છે, તેમ શ્રોડિન્જર સમીકરણ અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર કણ શોધવાની સંભાવનાના તરંગના પ્રસારનું વર્ણન કરે છે. આ તરંગના શિખરો (મહત્તમ સંભાવનાના બિંદુઓ) દર્શાવે છે કે અવકાશમાં કણ ક્યાં સમાપ્ત થવાની સંભાવના છે. જો કે શ્રોડિંગર સમીકરણ પ્રદેશનું છે ઉચ્ચ ગણિત, તે સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, કે હું હજી પણ તેને અહીં રજૂ કરીશ - સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં (કહેવાતા "વન-પરિમાણીય સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ"). ઉપરોક્ત સંભાવના વિતરણ વેવ ફંક્શન, જે ગ્રીક અક્ષર (psi) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે નીચેના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે (જો તમે તેને સમજતા ન હોવ તો તે ઠીક છે; ફક્ત તેને વિશ્વાસ પર લો કે આ સમીકરણ બતાવે છે કે સંભાવના તરંગની જેમ વર્તે છે. ::

ક્વોન્ટમ ઘટનાઓનું ચિત્ર જે શ્રોડિન્જર સમીકરણ આપણને આપે છે તે છે ઇલેક્ટ્રોન અને અન્ય પ્રાથમિક કણોસમુદ્રની સપાટી પર મોજાની જેમ વર્તે છે. સમય જતાં, આ તરંગનું વર્ણન કરતા સમીકરણ અનુસાર તરંગનું શિખર (તે સ્થાનને અનુરૂપ જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન સૌથી વધુ હોવાની સંભાવના છે) અવકાશમાં આગળ વધે છે. એટલે કે, જેને આપણે પરંપરાગત રીતે કણ માનીએ છીએ તે ક્વોન્ટમ વિશ્વમાં તરંગની જેમ વર્તે છે.

જ્યારે શ્રોડિન્ગરે પ્રથમ વખત તેના પરિણામો પ્રકાશિત કર્યા, ત્યારે વિશ્વ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રપાણીના ગ્લાસમાં તોફાન ફાટી નીકળ્યું. હકીકત એ છે કે લગભગ તે જ સમયે, શ્રોડિન્ગરના સમકાલીન, વર્નર હેઇઝનબર્ગનું કાર્ય દેખાયું (જુઓ હેઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત), જેમાં લેખકે "મેટ્રિક્સ મિકેનિક્સ" ના ખ્યાલને આગળ ધપાવ્યો, જ્યાં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની સમાન સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી. બીજી, વધુ જટિલ સિસ્ટમમાં. ગાણિતિક બિંદુમેટ્રિક્સ ફોર્મ જુઓ. હંગામો એ હકીકતને કારણે થયો હતો કે વૈજ્ઞાનિકો ફક્ત ડરતા હતા કે શું બંને અંદર છે સમાન રીતેમાઇક્રોવર્લ્ડનું વર્ણન કરવા માટે પ્રતીતિકારક અભિગમો. ચિંતાઓ વ્યર્થ હતી. તે જ વર્ષે, શ્રોડિન્ગરે પોતે બે સિદ્ધાંતોની સંપૂર્ણ સમાનતા સાબિત કરી હતી - એટલે કે, મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરંગ સમીકરણમાંથી અનુસરે છે, અને ઊલટું; પરિણામો સમાન છે. આજે, તે મુખ્યત્વે શ્રોડિન્જરનું સંસ્કરણ છે (કેટલીકવાર તેને "વેવ મિકેનિક્સ" કહેવામાં આવે છે) તેનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું સમીકરણ ઓછું બોજારૂપ અને શીખવવામાં સરળ છે.

જો કે, કલ્પના કરવી અને સ્વીકારવું એટલું સરળ નથી કે ઇલેક્ટ્રોન જેવું કંઈક તરંગની જેમ વર્તે છે. IN રોજિંદા જીવનઆપણે કાં તો કણ અથવા તરંગ સાથે અથડાઈએ છીએ. બોલ એક કણ છે, ધ્વનિ એક તરંગ છે, અને બસ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની દુનિયામાં, બધું એટલું સરળ નથી. વાસ્તવમાં - અને પ્રયોગોએ ટૂંક સમયમાં આ બતાવ્યું - ક્વોન્ટમ વિશ્વમાં, એન્ટિટીઓ જે વસ્તુઓથી આપણે પરિચિત છીએ તેનાથી અલગ છે અને વિવિધ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પ્રકાશ, જેને આપણે તરંગ તરીકે માનીએ છીએ, તે કેટલીકવાર કણ (જેને ફોટોન કહેવાય છે) ની જેમ વર્તે છે અને ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન જેવા કણો તરંગોની જેમ વર્તે છે (જુઓ પૂરકતા સિદ્ધાંત).

આ સમસ્યાને સામાન્ય રીતે ક્વોન્ટમ કણોની ડ્યુઅલ અથવા ડ્યુઅલ પાર્ટિકલ-વેવ પ્રકૃતિ કહેવામાં આવે છે, અને તે દેખીતી રીતે, સબએટોમિક વિશ્વના તમામ પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે (જુઓ બેલનું પ્રમેય). આપણે સમજવું જોઈએ કે માઈક્રોવર્લ્ડમાં દ્રવ્ય શું સ્વરૂપ લઈ શકે છે અને તે કેવી રીતે વર્તે છે તે અંગેના આપણા સામાન્ય સાહજિક વિચારો લાગુ પડતા નથી. આપણે જેને કણો તરીકે વિચારવા માટે ટેવાયેલા છીએ તેની હિલચાલનું વર્ણન કરવા માટે આપણે તરંગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે આનો સ્પષ્ટ પુરાવો છે. પરિચયમાં નોંધ્યું છે તેમ, આમાં કોઈ ખાસ વિરોધાભાસ નથી. છેવટે, આપણી પાસે માનવા માટે કોઈ અનિવાર્ય કારણો નથી કે આપણે મેક્રોકોઝમમાં જે અવલોકન કરીએ છીએ તે માઇક્રોકોઝમના સ્તરે ચોક્કસ રીતે પુનઃઉત્પાદિત થવું જોઈએ. તેમ છતાં પ્રાથમિક કણોની દ્વિ પ્રકૃતિ ઘણા લોકો માટે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સૌથી કોયડારૂપ અને મુશ્કેલીમાં મુકાયેલા પાસાઓ પૈકીનું એક છે, અને એ કહેવામાં કોઈ અતિશયોક્તિ નથી કે બધી મુશ્કેલીઓ એર્વિન શ્રોડિન્જરથી શરૂ થઈ હતી.

જેમ્સ ટ્રેફિલ દ્વારા જ્ઞાનકોશ “વિજ્ઞાનની પ્રકૃતિ. બ્રહ્માંડના 200 નિયમો."

જેમ્સ ટ્રેફિલ જ્યોર્જ મેસન યુનિવર્સિટી (યુએસએ) માં ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર છે, જે લોકપ્રિય વિજ્ઞાન પુસ્તકોના પશ્ચિમી લેખકોમાંના એક છે.

મેક્સ પ્લાન્ક, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સ્થાપકોમાંના એક, ઊર્જા પરિમાણના વિચારો સાથે આવ્યા, તાજેતરમાં શોધાયેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો અને અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સૈદ્ધાંતિક રીતે સમજાવવાનો પ્રયાસ કર્યો અને તેના દ્વારા બ્લેક બોડી રેડિયેશનની સમસ્યાને હલ કરી. તેને સમજાયું કે અણુઓના અવલોકન કરાયેલ ઉત્સર્જન સ્પેક્ટ્રમને સમજાવવા માટે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે પરમાણુ ભાગોમાં ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે અને શોષી લે છે (જેને વૈજ્ઞાનિક ક્વોન્ટા કહે છે) અને માત્ર વ્યક્તિગત તરંગ ફ્રીક્વન્સીઝ પર.

ચોક્કસ કાળું શરીર, સંપૂર્ણપણે શોષી લે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનકોઈપણ આવર્તન, જ્યારે ગરમ થાય છે, સમગ્ર આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ પર સમાનરૂપે વિતરિત તરંગોના સ્વરૂપમાં ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે.

"ક્વોન્ટમ" શબ્દ લેટિન ક્વોન્ટમ ("કેટલું, કેટલું") અને અંગ્રેજી ક્વોન્ટમ ("જથ્થા, ભાગ, ક્વોન્ટમ") પરથી આવ્યો છે. દ્રવ્યની હિલચાલના વિજ્ઞાનને "મિકેનિક્સ" એ લાંબા સમયથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. તદનુસાર, "ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ" શબ્દનો અર્થ થાય છે ભાગોમાં પદાર્થની હિલચાલનું વિજ્ઞાન (અથવા, આધુનિક શબ્દોમાં વૈજ્ઞાનિક ભાષાપરિમાણિત પદાર્થની હિલચાલનું વિજ્ઞાન). "ક્વોન્ટમ" શબ્દ જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી મેક્સ પ્લાન્ક દ્વારા અણુઓ સાથે પ્રકાશની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો.

સબએટોમિક વિશ્વની એક હકીકત એ છે કે તેના પદાર્થો - જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન અથવા ફોટોન - મેક્રોવર્લ્ડના સામાન્ય પદાર્થો જેવા જ નથી. તેઓ ન તો કણોની જેમ વર્તે છે કે ન તો તરંગોની જેમ, પરંતુ સંપૂર્ણ રીતે વર્તે છે વિશેષ શિક્ષણ, તરંગ અને બંનેનું પ્રદર્શન કોર્પસ્ક્યુલર ગુણધર્મોસંજોગો પર આધાર રાખીને. નિવેદન કરવું એ એક બાબત છે, પરંતુ ક્વોન્ટમ કણોની વર્તણૂકના તરંગ અને કણોના પાસાઓને એકસાથે જોડવા માટે, તેમને ચોક્કસ સમીકરણ સાથે વર્ણવવા માટે તદ્દન બીજી બાબત છે. ડી બ્રોગ્લી રિલેશનમાં આવું જ કરવામાં આવ્યું હતું.

રોજિંદા જીવનમાં, અવકાશમાં ઊર્જા સ્થાનાંતરિત કરવાની બે રીત છે - કણો અથવા તરંગો દ્વારા. IN રોજિંદા જીવનઊર્જા ટ્રાન્સફરની બે પદ્ધતિઓ વચ્ચે કોઈ દૃશ્યમાન વિરોધાભાસ નથી. તેથી, બાસ્કેટબોલ એક કણ છે, અને ધ્વનિ એક તરંગ છે, અને બધું સ્પષ્ટ છે. જો કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વસ્તુઓ એટલી સરળ નથી. સાથેના સરળ પ્રયોગોમાંથી પણ ક્વોન્ટમ પદાર્થોખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે માઇક્રોવર્લ્ડમાં મેક્રોવર્લ્ડના સિદ્ધાંતો અને કાયદાઓ જે આપણે ટેવાયેલા છીએ તે લાગુ પડતા નથી. પ્રકાશ, જેને આપણે તરંગ તરીકે વિચારવા માટે ટેવાયેલા છીએ, તે કેટલીકવાર એવું વર્તન કરે છે કે તેમાં કણો (ફોટોન્સ) ના પ્રવાહનો સમાવેશ થાય છે, અને પ્રાથમિક કણો, જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન અથવા તો મોટા પ્રોટોન, ઘણીવાર તરંગના ગુણધર્મો દર્શાવે છે.

સૌથી વધુ, આઇન્સ્ટાઇને માઇક્રોવર્લ્ડની ઘટનાને સંભાવનાઓ અને તરંગ કાર્યોના સંદર્ભમાં વર્ણવવાની જરૂરિયાત સામે વિરોધ કર્યો, અને કોઓર્ડિનેટ્સ અને કણોના વેગની સામાન્ય સ્થિતિથી નહીં. "પાસા ફેરવવા" દ્વારા તેનો અર્થ તે જ છે. તેમણે માન્યતા આપી હતી કે ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ અને કોઓર્ડિનેટના સંદર્ભમાં તેમની હિલચાલનું વર્ણન અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પરંતુ, આઈન્સ્ટાઈને દલીલ કરી હતી કે, કેટલાક અન્ય ચલો અથવા પરિમાણો હોવા જોઈએ, જે ધ્યાનમાં લેતા માઇક્રોવર્લ્ડનું ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ચિત્ર અખંડિતતા અને નિર્ધારણના માર્ગ પર પાછા આવશે. એટલે કે, તેણે આગ્રહ કર્યો, અમને ફક્ત એવું લાગે છે કે ભગવાન અમારી સાથે પાસા રમી રહ્યા છે, કારણ કે આપણે બધું સમજી શકતા નથી. આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સમીકરણોમાં છુપાયેલા ચલ પૂર્વધારણાને ઘડનારા તે પ્રથમ હતા. તે હકીકતમાં રહેલું છે કે હકીકતમાં ઇલેક્ટ્રોન પાસે ન્યુટનના બિલિયર્ડ બોલની જેમ નિશ્ચિત સંકલન અને ગતિ છે, અને અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના માળખામાં તેમના નિર્ધારણ માટે સંભવિત અભિગમ એ સિદ્ધાંતની અપૂર્ણતાનું પરિણામ છે, જે શા માટે તે તેમને ચોક્કસ વ્યાખ્યા માટે મંજૂરી આપતું નથી.

યુલિયા ઝોટોવા

તમે શીખી શકશો: કઈ તકનીકોને ક્વોન્ટમ કહેવામાં આવે છે અને શા માટે. ક્લાસિકલ કરતાં ક્વોન્ટમ ટેકનોલોજીનો ફાયદો શું છે? શું કરી શકે અને શું ન કરી શકે ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર કેવી રીતે બનાવે છે. જ્યારે તે બનાવવામાં આવશે.

ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી પિયર સિમોન લેપ્લેસ મૂકે છે મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્ન, વિશ્વની દરેક વસ્તુ વિશ્વની પાછલી સ્થિતિ દ્વારા પૂર્વનિર્ધારિત છે કે કેમ તે વિશે, અથવા કોઈ કારણ ઘણા પરિણામોનું કારણ બની શકે છે. દાર્શનિક પરંપરાની અપેક્ષા મુજબ, લેપ્લેસે પોતે તેમના પુસ્તક "એક્સપોઝિશન ઓફ ધ વર્લ્ડ સિસ્ટમ" માં કોઈ પ્રશ્ન પૂછ્યો ન હતો, પરંતુ તૈયાર જવાબ આપ્યો હતો કે હા, વિશ્વની દરેક વસ્તુ પૂર્વનિર્ધારિત છે, જો કે, ઘણીવાર ફિલસૂફીમાં થાય છે, લેપ્લેસ દ્વારા પ્રસ્તાવિત વિશ્વનું ચિત્ર દરેકને સહમત ન કરી શક્યું અને આ રીતે તેના જવાબે આ મુદ્દાની આસપાસ ચર્ચાને જન્મ આપ્યો જે આજ સુધી ચાલુ છે. કેટલાક ફિલસૂફોના અભિપ્રાય હોવા છતાં કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સે ઉકેલ લાવી દીધો છે આ પ્રશ્નસંભવિત અભિગમની તરફેણમાં, જો કે, સંપૂર્ણ પૂર્વનિર્ધારણનો લેપ્લેસનો સિદ્ધાંત, અથવા તેને અન્યથા લેપ્લેસ નિર્ધારણનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે, તે આજે પણ ચર્ચામાં છે.

ગોર્ડે લેસોવિક

થોડા સમય પહેલા, મેં અને સહ-લેખકોના જૂથે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના દૃષ્ટિકોણથી થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમને મેળવવાનું શરૂ કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે, તેના એક ફોર્મ્યુલેશનમાં, જે જણાવે છે કે એન્ટ્રોપી બંધ સિસ્ટમઘટતું નથી, સામાન્ય રીતે વધે છે, અને જો સિસ્ટમ ઊર્જાસભર રીતે અલગ હોય તો કેટલીકવાર તે સ્થિર રહે છે. જાણીતા પરિણામોનો ઉપયોગ ક્વોન્ટમ થિયરીમાહિતી, અમે કેટલીક શરતો મેળવી છે જેના હેઠળ આ નિવેદન સાચું છે. અનપેક્ષિત રીતે, તે બહાર આવ્યું છે કે આ શરતો સિસ્ટમોના ઊર્જા અલગતાની સ્થિતિ સાથે સુસંગત નથી.

ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર જિમ અલ-ખલીલી સૌથી સચોટ અને સૌથી ગૂંચવણમાં મૂકે છે. વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો- ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર. 20મી સદીની શરૂઆતમાં, વૈજ્ઞાનિકોએ દ્રવ્યની છુપાયેલી ઊંડાઈ, આપણી આસપાસની દુનિયાના સબએટોમિક બિલ્ડીંગ બ્લોક્સને પ્લમ્બિંગ કર્યું. તેઓએ અસાધારણ ઘટના શોધી કાઢી જે પહેલા જોવા મળેલી કોઈપણ વસ્તુ કરતા અલગ હતી. એક એવી દુનિયા કે જ્યાં બધું એક જ સમયે ઘણી જગ્યાએ હોઈ શકે છે, જ્યાં વાસ્તવિકતા ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં છે જ્યારે આપણે તેનું અવલોકન કરીએ છીએ. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને માત્ર એ વિચારનો પ્રતિકાર કર્યો કે પ્રકૃતિનો સાર તક પર આધારિત છે. ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રસૂચવે છે કે સબએટોમિક કણો ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે ઝડપી ગતિપ્રકાશ, અને આ તેમના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે.

ડી બ્રોગ્લી તરંગોના આંકડાકીય અર્થઘટનમાંથી (જુઓ § અને હેઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધો (જુઓ § 215) તે અનુસરે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, વિવિધ બળ ક્ષેત્રોમાં સૂક્ષ્મ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરતું એક સમીકરણ હોવું જોઈએ જેમાંથી અવલોકનો અનુસરશે - કણોના પ્રાયોગિક રીતે નિર્ધારિત તરંગ ગુણધર્મો.

મુખ્ય સમીકરણ તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં એક સમીકરણ હોવું જોઈએ, કારણ કે તે ચોક્કસપણે તે છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, મૂલ્ય |Ф|2, જે સમયની ક્ષણે કણ હાજર હોવાની સંભાવનાને નિર્ધારિત કરે છે. tવોલ્યુમમાં ડીવી,કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના વિસ્તારમાં અને એક્સ+ dx, y+dy,

zઅને જરૂરી સમીકરણ કણોના તરંગ ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક હોવાથી, તે હોવું જોઈએ તરંગ સમીકરણ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું વર્ણન કરતા સમીકરણ જેવું જ. મૂળભૂત સમીકરણ બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ E. Schrödinger દ્વારા 1926 માં ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટેના મેક્સવેલના સમીકરણો), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની સહાયથી પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે. સમીકરણ

શ્રોડિંગર પાસે ફોર્મ છે

કાલ્પનિક એકમ, y,z,t) -

સંભવિત કાર્યબળ ક્ષેત્રના કણો જેમાં તે ફરે છે; z,t) -ઇચ્છિત તરંગ કાર્ય

આ સમીકરણ કોઈપણ કણ માટે માન્ય છે (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે; જુઓ § 225) ઓછી ગતિએ (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) ગતિએ, એટલે કે. વિસાથે. તે તરંગ કાર્ય પર લાદવામાં આવેલી શરતો દ્વારા પૂરક છે: 1) તરંગ કાર્ય મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ (જુઓ § 216);

2) વ્યુત્પન્ન -, -, -, આવશ્યક-

dh ડૂ

આપણે સતત રહેવાની જરૂર છે; 3) ફંક્શન |Ф|2 એકીકૃત હોવું આવશ્યક છે; સરળ કિસ્સાઓમાં આ સ્થિતિ ઘટાડે છે

સામાન્યકરણ સ્થિતિ (216.3).

શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર પહોંચવા માટે, ચાલો એક મુક્તપણે ફરતા કણને ધ્યાનમાં લઈએ, જે ડી બ્રોગ્લીના મતે, સરળતા માટે, ચાલો એક-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. અક્ષ સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગનું સમીકરણ . સરળતા માટે, અમે એક-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. અક્ષ સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગનું સમીકરણફોર્મ ધરાવે છે (જુઓ § 154) t) = એ cos - અથવા જટિલ સંકેત ટી)-તેથી, પ્લેન ડી બ્રોગ્લી તરંગનું સ્વરૂપ છે

(217.2)

(તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે - = -). ક્વોન્ટમમાં

ઘાતાંક “-” ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, કારણ કે માત્ર |Ф|2 નો ભૌતિક અર્થ છે, આ બિનમહત્વપૂર્ણ છે. પછી

ઊર્જા વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવો ઇઅને આવેગ = --) અને અવેજી

અભિવ્યક્તિ (217.3), આપણે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ

જે કેસના સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે યુ-ઓ (અમે એક મુક્ત કણ તરીકે ગણવામાં આવે છે).

જો કોઈ કણ સંભવિત ઉર્જા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ બળ ક્ષેત્રમાં ફરે છે યુ,પછી કુલ ઊર્જા ઇગતિ અને સંભવિત ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે. સમાન તર્ક હાથ ધરવા અને ("માટે

કેસો = E -U),અમે (217.1) સાથે સુસંગત એક વિભેદક સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ.

ઉપરોક્ત તર્ક શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ન લેવું જોઈએ.તેઓ ફક્ત સમજાવે છે કે કોઈ આ સમીકરણ પર કેવી રીતે પહોંચી શકે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણની સાચીતાનો પુરાવો એ તારણો કે જેના પર તે લઈ જાય છે તેના અનુભવ સાથેનો કરાર છે.

સમીકરણ (217.1) છે સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ. તે પણ કહેવાય છે સમય-આધારિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ. માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતી ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ માટે, સમીકરણ (217.1) ને સમયની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો સ્થિર અવસ્થાઓ - સ્થિર ઉર્જા મૂલ્યો સાથેની સ્થિતિઓ.આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય U=z)સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે.

આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલને બે કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે, બીજું - માત્ર સમય, અને સમય પરની અવલંબન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

તે e" = e વડે ગુણાકાર થાય છે, તેથી

(217.4)

જ્યાં ઇએ કણની કુલ ઊર્જા છે, જે સ્થિર ક્ષેત્રના કિસ્સામાં સ્થિર છે. (217.4) ને (217.1) માં બદલીને, આપણને મળે છે

જ્યાં, અનુરૂપ રૂપાંતરણોના સામાન્ય પરિબળ e વડે ભાગ્યા પછી

રચના, આપણે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

સમીકરણ સમીકરણ

સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિંગરનો સિદ્ધાંત. આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે કુલ ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે ઇકણો વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી દ્વારાસીમાની શરતો લાદવાથી ભૌતિક હોય તેવા ઉકેલો પસંદ કરો

શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે આવી પરિસ્થિતિઓ છે તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો:વેવ ફંક્શન તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે મર્યાદિત, સિંગલ-વેલ્યુડ અને સતત હોવા જોઈએ.

આમ, ફક્ત તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેનો વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ હોય છે પરંતુ નિયમિત ઉકેલો પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યો માટે થતા નથી ઇ,પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ સમસ્યાની લાક્ષણિકતા. આ ઊર્જા મૂલ્યો કહેવાય છે પોતાના ઉર્જા ઇજનવેલ્યુને અનુરૂપ ઉકેલો કહેવામાં આવે છે પોતાના કાર્યો. ઇજેનવેલ્યુઝ ઇસતત અને અલગ શ્રેણી બંને બનાવી શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમે વિશે વાત સતત અથવા સતત સ્પેક્ટ્રમ બીજામાં - લગભગ અલગ સ્પેક્ટ્રમ.

§ 218. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત

અનિશ્ચિતતા સંબંધમાંથી તે ઘણીવાર તારણ કાઢે છે કે

માઇક્રોકોઝમમાં બનતી ઘટનાના કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત. આ નીચેની બાબતો પર આધારિત છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, અનુસાર કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત - શાસ્ત્રીય નિશ્ચયવાદનો સિદ્ધાંત,દ્વારાસમયની ચોક્કસ ક્ષણે સિસ્ટમની જાણીતી સ્થિતિ (સિસ્ટમના તમામ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાના મૂલ્યો દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત) અને તેના પર લાગુ દળો, કોઈપણ અનુગામી ક્ષણે તેની સ્થિતિ ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકે છે . પરિણામે, શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્ર કાર્યકારણની નીચેની સમજણ પર આધારિત છે: કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના જાણીતા નિયમ સાથે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે યાંત્રિક પ્રણાલીની સ્થિતિ કારણ છે, અને પછીની ક્ષણે તેની સ્થિતિ અસર છે.

બીજી બાજુ, માઇક્રોઓબ્જેક્ટ્સમાં એક સાથે ચોક્કસ સંકલન અને ગતિના ચોક્કસ અનુરૂપ પ્રક્ષેપણ હોઈ શકતા નથી [તેથી, તે તારણ કાઢ્યું છે કે પ્રારંભિક ક્ષણે સિસ્ટમની સ્થિતિ ચોક્કસ રીતે નિર્ધારિત નથી. જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે સિસ્ટમની સ્થિતિ નિશ્ચિત ન હોય, તો પછીના રાજ્યોની આગાહી કરી શકાતી નથી, એટલે કે કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.

જો કે, માઇક્રોઓબ્જેક્ટના સંબંધમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું કોઈ ઉલ્લંઘન જોવા મળતું નથી, કારણ કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં માઇક્રોઓબ્જેક્ટની સ્થિતિનો ખ્યાલ ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ કરતાં સંપૂર્ણપણે અલગ અર્થ લે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, સૂક્ષ્મ પદાર્થની સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે વેવ ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જેનું મોડ્યુલસ સ્ક્વેર છે

2 કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતાનો ઉલ્લેખ કરે છે x, y, z.

બદલામાં, વેવ ફંક્શન સમીકરણને સંતોષે છે

સમયના સંદર્ભમાં Ф ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન ધરાવતું શ્રોડિંગર. આનો અર્થ એવો પણ થાય છે કે ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવો (સમયમાં એક ક્ષણ માટે તે પછીની ક્ષણો પર તેનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે. પરિણામે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, પ્રારંભિક સ્થિતિ એ કારણ છે, અને પછીની ક્ષણે Ф એ અસર છે. આનું સ્વરૂપ છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સિદ્ધાંત કાર્યકારણ, એટલે કે, ફંક્શનનું સ્પષ્ટીકરણ કોઈપણ અનુગામી ક્ષણો માટે તેના મૂલ્યો પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વ્યાખ્યાયિત માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની સિસ્ટમની સ્થિતિ અસ્પષ્ટપણે અગાઉની સ્થિતિથી અનુસરે છે, જે સિદ્ધાંત દ્વારા આવશ્યક છે. કાર્યકારણ

§219. મુક્ત કણની હિલચાલ

ફ્રીપાર્ટિકલ - બાહ્ય ક્ષેત્રોની ગેરહાજરીમાં ફરતો કણ. મુક્ત હોવાથી (તેને ધરી સાથે ખસેડવા દો X)દળો કાર્ય કરતા નથી, પછી કણની સંભવિત ઊર્જા U(x) = const અને તે સ્વીકારી શકાય છે શૂન્ય બરાબર. પછી કણની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ ઊર્જા સાથે મેળ ખાય છે. આ કિસ્સામાં, સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (217.5) સ્વરૂપ લેશે

(219.1)

સીધા અવેજીકરણ દ્વારા આપણે ચકાસી શકીએ છીએ કે સમીકરણ (219.1) નો ચોક્કસ ઉકેલ એ કાર્ય છે - જ્યાં A = const અને થી= const, s eigenvalueઊર્જા

ફંક્શન = = એ વેવ ફંક્શનના માત્ર કોઓર્ડિનેટ ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તેથી (217.4) અનુસાર, સમય-આધારિત તરંગ કાર્ય.

(219.3) એ પ્લેન મોનોક્રોમેટિક ડી બ્રોગ્લી તરંગ છે [જુઓ (217.2)].

થીઅભિવ્યક્તિ (219.2) તે અનુસરે છે કે વેગ પર ઊર્જાની અવલંબન

બિન-સાપેક્ષિક કણો માટે સામાન્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેથી, મુક્ત કણની ઊર્જા લઈ શકે છે કોઈપણ મૂલ્યો(તરંગ નંબરથી થીકોઈપણ હકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે), એટલે કે ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ મુક્ત કણ છે સતત

તેથી મફત ક્વોન્ટમ કણપ્લેન મોનોક્રોમેટિક ડી બ્રોગ્લી તરંગ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર કણ શોધવાની સમય-સ્વતંત્ર સંભાવના ઘનતાને અનુરૂપ છે

એટલે કે, અવકાશમાં મુક્ત કણોની તમામ સ્થિતિ સમાન રીતે સંભવિત છે.

§ 220. એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણ

"દિવાલો"

ચાલો આપણે શ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલોનું ગુણાત્મક વિશ્લેષણ કરીએ

ચોખા. 299

(220.4)

કણ સાથે સંબંધિત વીએક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવો" અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે. આવા "કુવા" નું વર્ણન સ્વરૂપની સંભવિત ઉર્જા દ્વારા કરવામાં આવે છે (સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે કણ ધરી સાથે આગળ વધે છે. X)

"ખાડો" ની પહોળાઈ ક્યાં છે, એઊર્જા તેની નીચેથી ગણવામાં આવે છે (ફિગ. 299).

એક-પરિમાણીય સમસ્યાના કિસ્સામાં સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (217.5) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ (અનંત ઊંચી "દિવાલો") અનુસાર, કણ "છિદ્ર" ની બહાર પ્રવેશતું નથી, તેથી "છિદ્ર" ની બહાર તેની શોધ (અને પરિણામે, તરંગ કાર્ય) ની સંભાવના શૂન્ય છે. "ખાડો" ની સીમાઓ પર (એટ X- 0 અને x =સતત વેવ ફંક્શન પણ અદૃશ્ય થવું જોઈએ. પરિણામે, આ કિસ્સામાં સીમાની સ્થિતિનું સ્વરૂપ છે

"ખાડા" ની અંદર (0 એક્સશ્રોડિન્જર સમીકરણ (220.1) સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવશે

વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (220.3):

ત્યારથી (220.2) = 0 મુજબ, પછી IN= 0.

(220.5)

સ્થિતિ (220.2) = 0 માત્ર જ્યાં માટે ચલાવવામાં આવે છે n- પૂર્ણાંકો, એટલે કે તે જરૂરી છે

અભિવ્યક્તિ (220.4) અને (220.6) થી તે નીચે મુજબ છે,

એટલે કે, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ, જે અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે "સંભવિત કૂવા" માં કણની ગતિનું વર્ણન કરે છે, તે પૂર્ણાંક પર આધાર રાખીને ફક્ત ઇજનવેલ્યુ માટે જ સંતુષ્ટ છે. પી.તેથી, માં કણ ઊર્જા

અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેનો "સંભવિત કૂવો" ફક્ત લે છે ચોક્કસ અલગ મૂલ્યો,તે પરિમાણિત

પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે ઊર્જા સ્તરો અને નંબર p,જે કણના ઉર્જા સ્તરો નક્કી કરે છે તેને કહેવાય છે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર. આમ, અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે "સંભવિત કૂવા" માં માઇક્રોપાર્ટિકલ ફક્ત ચોક્કસ ઉર્જા સ્તર પર હોઈ શકે છે અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, કણ એક માત્રામાં છે

મૂલ્ય (220.5) માં બદલવું થી(220.6) માંથી, અમે ઇજનફંક્શન્સ શોધીએ છીએ:

એકીકરણનું સતત એ અમે નોર્મલાઇઝેશન કંડીશન (216.3) માંથી શોધીએ છીએ, જે આ કેસ માટે ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

INઅર્ધ એકીકરણના પરિણામે

A -એ eigenfunctions જેવો દેખાશે

હું રફીકી ઇજનફંક્શન્સ(220.8), સ્તરોને અનુરૂપ

ઉર્જા (220.7) ખાતે n=1.2, 3 ફિગમાં બતાવેલ છે. 300, એ.ફિગ માં. 300, bછિદ્રની "દિવાલો" થી વિવિધ અંતરે કણ શોધવાની સંભાવનાની ઘનતા દર્શાવે છે, જે =

માટે n= 1, 2 અને 3. તે આકૃતિ પરથી અનુસરે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં n= 2, કણ "કૂવા" ની મધ્યમાં ન હોઈ શકે, જ્યારે સમાન રીતે તે તેના ડાબા અને જમણા ભાગોમાં હોઈ શકે છે. કણની આ વર્તણૂક સૂચવે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કણોના માર્ગ વિશેના વિચારો અસમર્થ છે. અભિવ્યક્તિ (220.7) પરથી તે બે વચ્ચેના ઉર્જા અંતરાલને અનુસરે છે

પડોશી સ્તરો સમાન છે

ઉદાહરણ તરીકે, સારી પરિમાણો સાથે ઇલેક્ટ્રોન માટે - 10"1 મીટર (મફત ઇલેક્ટ્રિકલ

ધાતુમાં સિંહાસન) 10 જે

એટલે કે, ઊર્જા સ્તરો એટલા નજીકથી સ્થિત છે કે સ્પેક્ટ્રમ વ્યવહારીક રીતે સતત ગણી શકાય. જો કૂવાના પરિમાણો અણુ m સાથે સુસંગત હોય), તો પછી ઇલેક્ટ્રોન J eV માટે, એટલે કે. દેખીતી રીતે અલગ ઊર્જા મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે (રેખા સ્પેક્ટ્રમ).

આમ, શ્રોડિંગર સમીકરણનો ઉપયોગ "સંભવિત કૂવા" માં અનંત ઊંચાઈવાળા કણ માટે

"દિવાલો" પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ આ કણની ઊર્જા પર કોઈ નિયંત્રણો લાદતા નથી.

ઉપરાંત,

આ સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવાથી એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે કણ "સંભવિત કૂવામાં" અનંત ઊંચાઈ સાથે છે. દિવાલો"ઓછી ઊર્જા ન હોઈ શકે

ન્યૂનતમ, સમાન [જુઓ. (220.7)].

બિનશૂન્ય લઘુત્તમ ઊર્જાની હાજરી આકસ્મિક નથી અને અનિશ્ચિતતા સંબંધને અનુસરે છે. સંકલન અનિશ્ચિતતા ઓહ"ખાડો" પહોળા કણો આહ =પછી, અનિશ્ચિતતા સંબંધ અનુસાર, આવેગનું ચોક્કસ, આ કિસ્સામાં શૂન્ય, મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. આવેગ અનિશ્ચિતતા

મૂલ્યોનો આવો ફેલાવો

આવેગ ગતિ ઊર્જાને અનુરૂપ છે

અન્ય તમામ સ્તરો (એન > 1) આ લઘુત્તમ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવે છે.

થીફોર્મ્યુલા (220.9) અને (220.7) તે મોટા ક્વોન્ટમ નંબરો માટે તેને અનુસરે છે

એટલે કે, નજીકના સ્તરો નજીકથી સ્થિત છે: નજીક, વધુ પી.જો nખૂબ મોટી છે, તો પછી આપણે સ્તરોના લગભગ સતત ક્રમ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ અને ક્વોન્ટમ પ્રક્રિયાઓની લાક્ષણિકતા - વિવેકબુદ્ધિ - સરળ થઈ જાય છે. આ પરિણામ એક ખાસ કેસ છે બોહરના પત્રવ્યવહાર સિદ્ધાંત (1923).

વધુ પત્રવ્યવહારના સિદ્ધાંતનું સામાન્ય અર્થઘટન: કોઈપણ નવું, વધુ સામાન્ય સિદ્ધાંત, જે ક્લાસિકલનો વિકાસ છે, તે તેને સંપૂર્ણપણે નકારી કાઢતું નથી, પરંતુ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતનો સમાવેશ કરે છે, જે તેની એપ્લિકેશનની સીમાઓ દર્શાવે છે અને અમુક મર્યાદિત કિસ્સાઓમાં નવો સિદ્ધાંતજૂનામાં જાય છે. આમ, ગતિશાસ્ત્ર અને ગતિશાસ્ત્રના સૂત્રો વિશેષ સિદ્ધાંતસાપેક્ષતા પર જાય છે વિ c ન્યૂટોનિયન મિકેનિક્સના સૂત્રો માટે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કે દા બ્રોગ્લી પૂર્વધારણા તમામ સંસ્થાઓને તરંગ ગુણધર્મોને આભારી છે, તે કિસ્સાઓમાં જ્યારે આપણે મેક્રોસ્કોપિક સંસ્થાઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ, ત્યારે તેમના તરંગ ગુણધર્મોને અવગણવામાં આવી શકે છે, એટલે કે. અરજી કરો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સન્યુટન.

§ 221. સંભવિત અવરોધ દ્વારા કણનું પસાર થવું.

ટનલ અસર

લંબચોરસ આકારનો સૌથી સરળ સંભવિત અવરોધ (આકૃતિ. એક-પરિમાણીય માટે (કણની ગતિની ધરી સાથે. ઊંચાઈ અને પહોળાઈવાળા લંબચોરસ આકારના સંભવિત અવરોધ માટે / આપણે લખી શકીએ છીએ

સમસ્યાની આપેલ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, એક શાસ્ત્રીય કણ, ઊર્જા ધરાવે છે ઇ,અથવા અવરોધ વિના પસાર થશે (જો ઇ > યુ),અથવા તેમાંથી પ્રતિબિંબિત થશે (જો ઇ< U) અંદર જશે વિપરીત બાજુ, એટલે કે તે અવરોધને પાર કરી શકતો નથી. માઇક્રોપાર્ટિકલ માટે, સાથે પણ E > U,ઉપલબ્ધ ઉત્તમશૂન્યથી સંભાવના છે કે કણ અવરોધમાંથી પ્રતિબિંબિત થશે અને વિરુદ્ધ દિશામાં જશે. મુ ઇ ત્યાં પણ બિન-શૂન્ય સંભાવના છે કે કણ પ્રદેશમાં સમાપ્ત થશે x>તે અવરોધ ભેદશે. સમાન દેખીતી રીતે વિરોધાભાસી તારણો સીધા જ શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલમાંથી અનુસરે છે, જેનું વર્ણન

412

આ સમસ્યાની સ્થિતિમાં માઇક્રોપાર્ટિકલની હિલચાલનું વર્ણન.

દરેક પ્રકાશિત ફિગ માટે સ્થિર સ્થિતિઓ માટે સમીકરણ (217.5). 301, એપ્રદેશ ધરાવે છે

(પ્રદેશો માટે

(વિસ્તાર માટે

સામાન્ય ઉકેલોઆ વિભેદક સમીકરણો:

સોલ્યુશન (221.3)માં તરંગો (સમય પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કર્યા પછી) બંને દિશામાં પ્રસારિત થાય છે. જો કે, વિસ્તારમાં 3 ત્યાં માત્ર એક તરંગ છે જે અવરોધમાંથી પસાર થઈ છે અને ડાબેથી જમણે પ્રચાર કરે છે. તેથી, સૂત્ર (221.3) નો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર લેવો જોઈએ.

વિસ્તારમાં 2 નિર્ણય પર આધાર રાખે છે સંબંધો ઇ>યુઅથવા ઇ જ્યારે કણની કુલ ઉર્જા સંભવિત અવરોધની ઊંચાઈ કરતાં ઓછી હોય ત્યારે ભૌતિક રસ એ છે, કારણ કે ઇશાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો સ્પષ્ટપણે કોઈ કણને અવરોધમાં પ્રવેશવાની મંજૂરી આપતા નથી. આ કિસ્સામાં, અનુસાર q= - કાલ્પનિક સંખ્યા, ક્યાં

(પ્રદેશ માટે

(વિસ્તાર 2 માટે);

અર્થ qઅને 0, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં ત્રણ પ્રદેશો માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલો મેળવીએ છીએ:

(પ્રદેશ માટે 3).

INખાસ કરીને પ્રદેશ માટે 1 (217.4) અનુસાર સંપૂર્ણ વેવ ફંક્શનમાં ફોર્મ હશે

આ અભિવ્યક્તિમાં, પ્રથમ શબ્દ અક્ષની સકારાત્મક દિશામાં પ્રસારિત, પ્રકાર (219.3) ના સમતલ તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે એક્સ(અવરોધ તરફ આગળ વધતા કણને અનુલક્ષે છે), અને બીજું એક તરંગ છે જે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રચાર કરે છે, એટલે કે અવરોધમાંથી પ્રતિબિંબિત થાય છે (અવરોધથી ડાબી તરફ જતા કણને અનુરૂપ).

(પ્રદેશ માટે 3).

વિસ્તારમાં 2 ફંક્શન હવે બંને દિશામાં પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગોને અનુરૂપ નથી, કારણ કે ઘાતાંકના ઘાતાંક કાલ્પનિક નથી, પરંતુ વાસ્તવિક છે. તે બતાવી શકાય છે કે ઊંચા અને પહોળા અવરોધના વિશિષ્ટ કેસ માટે, જ્યારે 1,

કાર્યોની ગુણાત્મક પ્રકૃતિ ફિગમાં દર્શાવવામાં આવી છે. 301, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે તરંગ-

કાર્ય અવરોધની અંદર પણ શૂન્ય સમાન નથી, પરંતુ પ્રદેશમાં છે 3, જો અવરોધ ખૂબ પહોળો ન હોય, તો તે ફરીથી સમાન આવેગ સાથે ડી બ્રોગ્લી તરંગોનું સ્વરૂપ ધરાવશે, એટલે કે, સમાન આવર્તન સાથે, પરંતુ નાના કંપનવિસ્તાર સાથે. પરિણામે, અમને જાણવા મળ્યું કે એક કણ મર્યાદિત પહોળાઈના સંભવિત અવરોધમાંથી પસાર થવાની બિનશૂન્ય સંભાવના ધરાવે છે.

આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ મૂળભૂત રીતે નવી ચોક્કસ ક્વોન્ટમ ઘટના તરફ દોરી જાય છે, જેને કહેવાય છે ટનલ અસર, જેના પરિણામે માઇક્રો-ઓબ્જેક્ટ સંભવિત અવરોધમાંથી "પાસ" થઈ શકે છે. લંબચોરસ સંભવિત અવરોધ માટેના સમીકરણોના સંયુક્ત ઉકેલ દ્વારા (એકતાની સરખામણીમાં પારદર્શિતા ગુણાંક નાનો છે એમ ધારીને)

જ્યાં એક સતત પરિબળ છે જે એક સમાન હોઈ શકે છે; યુ-સંભવિત અવરોધ ઊંચાઈ; ઇ -કણ ઊર્જા; - અવરોધની પહોળાઈ.

અભિવ્યક્તિથી (221.7) તે અનુસરે છે ડીભારપૂર્વક સમૂહ પર આધાર રાખે છે ક્યાં,કણો, પહોળાઈ/અવરોધ અને થી (યુ -અવરોધ જેટલો પહોળો હશે, તેટલી ઓછી શક્યતા એક કણ તેમાંથી પસાર થશે.

મનસ્વી આકારના સંભવિત અવરોધ માટે (ફિગ. 302), કહેવાતા શરતોને સંતોષતા અર્ધશાસ્ત્રીય અંદાજ(વળાંકનો એકદમ સરળ આકાર), અમારી પાસે છે

જ્યાં U= U(x).

શાસ્ત્રીય દૃષ્ટિકોણથી, પર સંભવિત અવરોધ દ્વારા કણનું પસાર થવું ઇ અશક્ય છે, કારણ કે કણ, અવરોધક પ્રદેશમાં હોવાથી, તેની પાસે નકારાત્મક ગતિ ઊર્જા હોવી જોઈએ. ટનલ અસર ચોક્કસ ક્વોન્ટમ અસર છે.

શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર, તે ભેદી શકતું નથી તેવા પ્રદેશમાંથી કણનું પસાર થવું અનિશ્ચિતતા સંબંધ દ્વારા સમજાવી શકાય છે. ગતિની અનિશ્ચિતતા અરસેગમેન્ટ પર આહ =છે Ar > -.ગતિના મૂલ્યોમાં આ સ્કેટર સાથે સંકળાયેલ ગતિ છે

302

ચેક ઊર્જા હોઈ શકે છે

પૂર્ણ કરવા માટે પૂરતું

કણ ઊર્જા સંભવિત કરતાં વધુ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

ટનલ સંક્રમણોના સિદ્ધાંતનો પાયો L. I. Mandelshtam ના કાર્યોમાં નાખવામાં આવ્યો છે.

સંભવિત અવરોધ દ્વારા ટનલિંગ ઘન સ્થિતિ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઘણી ઘટનાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, બે સેમિકન્ડક્ટરની સીમા પર સંપર્ક સ્તરમાં ઘટના), અણુ અને પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર (ઉદાહરણ તરીકે, સડો, થર્મોન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓની ઘટના) અંતર્ગત છે.

§ 222. રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં

લીનિયર હાર્મોનિક ઓસિલેટર- અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ એક-પરિમાણીય ગતિમાંથી પસાર થતી સિસ્ટમ એ શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની ઘણી સમસ્યાઓમાં વપરાતું મોડેલ છે (જુઓ § 142). વસંત, ભૌતિક અને ગાણિતિક લોલક શાસ્ત્રીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઉદાહરણો છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સંભવિત ઊર્જા [જુઓ. (141.5)] બરાબર છે

ઓસિલેટરની કુદરતી આવર્તન ક્યાં છે; ટી -કણ સમૂહ.

પરાધીનતા (222.1) એક પેરાબોલા (ફિગ. 303) નું સ્વરૂપ ધરાવે છે, એટલે કે. આ કિસ્સામાં "સંભવિત કૂવો" પેરાબોલિક છે.

ક્લાસિકલ ઓસિલેટરના નાના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર તેની કુલ ઊર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે ઇ(જુઓ ફિગ. 17).

ડિન્જર સંભવિત ઊર્જા માટે અભિવ્યક્તિ (222.1)ને ધ્યાનમાં લે છે. પછી ક્વોન્ટમ ઓસિલેટરની સ્થિર અવસ્થાઓ ફોર્મના શ્રોડિન્જર સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

= 0, (222.2)

જ્યાં ઇ -ઓસિલેટરની કુલ ઊર્જા. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં

તે સાબિત થયું છે કે સમીકરણ (222.2) માત્ર ઊર્જાના ઇજન મૂલ્યો માટે જ ઉકેલી શકાય છે

(222.3)

ફોર્મ્યુલા (222.3) બતાવે છે કે ક્વોન્ટમ ઓસિલેટરની ઊર્જા કરી શકે છે

માત્ર છે અલગ મૂલ્યો,એટલે કે પરિમાણિતઊર્જા નીચેથી બિનશૂન્ય લઘુત્તમ મૂલ્ય દ્વારા મર્યાદિત છે, જેમ કે અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે લંબચોરસ "કુવા" માટે (જુઓ § 220). = સુ-

લઘુત્તમ ઊર્જાનું અસ્તિત્વ - તેને કહેવામાં આવે છે શૂન્ય-બિંદુ સ્પંદનોની ઊર્જા - ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ્સ માટે લાક્ષણિક છે અને અનિશ્ચિતતા સંબંધનું સીધું પરિણામ છે.

શૂન્ય-બિંદુ ઓસિલેશનની હાજરીનો અર્થ એ છે કે કણ "સંભવિત કૂવા" (કુવાના આકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના) ના તળિયે ન હોઈ શકે. વાસ્તવમાં, "છિદ્રના તળિયે પડવું" એ કણના વેગના અદ્રશ્ય થવા સાથે સંકળાયેલું છે, અને તે જ સમયે તેની અનિશ્ચિતતા. પછી કોઓર્ડિનેટની અનિશ્ચિતતા મનસ્વી રીતે મોટી બને છે, જે બદલામાં, કણોની હાજરીનો વિરોધાભાસ કરે છે.

"સંભવિત છિદ્ર".

ક્વોન્ટમ ઓસિલેટરના શૂન્ય-બિંદુ ઓસિલેશનની ઊર્જાની હાજરી વિશેનો નિષ્કર્ષ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતના નિષ્કર્ષનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે મુજબ ઓસિલેટરની સૌથી ઓછી ઊર્જા શૂન્યની બરાબર હોય છે (સંતુલન સ્થિતિમાં આરામ પર રહેલા કણને અનુરૂપ હોય છે. ). ઉદાહરણ તરીકે, ખાતે શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિષ્કર્ષ અનુસાર ટી= 0, સ્ફટિકના અણુઓની કંપન ગતિની ઊર્જા અદૃશ્ય થઈ જવી જોઈએ. પરિણામે, પરમાણુ સ્પંદનોને કારણે પ્રકાશનું સ્કેટરિંગ પણ અદૃશ્ય થઈ જવું જોઈએ. જો કે, પ્રયોગ દર્શાવે છે કે ઘટતા તાપમાન સાથે પ્રકાશ વિખેરવાની તીવ્રતા શૂન્યની બરાબર નથી, પરંતુ ચોક્કસ મર્યાદિત મૂલ્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, જે દર્શાવે છે કે જ્યારે ટીસ્ફટિકમાં અણુઓના 0 સ્પંદનો બંધ થતા નથી. આ શૂન્ય ઓસિલેશનની હાજરીની પુષ્ટિ કરે છે.

સૂત્ર (222.3) પરથી તે પણ અનુસરે છે કે રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઊર્જા સ્તરો એકબીજાથી સમાન અંતરે સ્થિત છે (ફિગ. 303 જુઓ), એટલે કે, સંલગ્ન ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેનું અંતર બરાબર છે અને ન્યૂનતમ ઊર્જા મૂલ્ય છે. =

ક્વોન્ટમ ઓસિલેટરની સમસ્યાનો સખત ઉકેલ ક્લાસિકલ કરતાં અન્ય નોંધપાત્ર તફાવત તરફ દોરી જાય છે.