ગુમ થયેલ અંશ અથવા છેદને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે શોધવું. યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક

સરળ ગાણિતિક નિયમોઅને તકનીકો, જો તેનો સતત ઉપયોગ થતો નથી, તો તે ખૂબ જ ઝડપથી ભૂલી જાય છે. શરતો વધુ ઝડપથી મેમરીમાંથી અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

આમાંની એક સરળ ક્રિયા પરિવર્તનની છે યોગ્ય અપૂર્ણાંકસાચા એકમાં અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો મિશ્ર.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક એ એક છે જેમાં અંશ (રેખાની ઉપરની સંખ્યા) છેદ (રેખાની નીચેની સંખ્યા) કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે. આ અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક ઉમેરીને અથવા અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. ગણિતના નિયમો અનુસાર, આવા અપૂર્ણાંકને યોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે.

યોગ્ય અપૂર્ણાંક

તે ધારવું તાર્કિક છે કે અન્ય તમામ અપૂર્ણાંકો યોગ્ય કહેવાય છે. સખત વ્યાખ્યા - એક અપૂર્ણાંક જેનો અંશ છે છેદ કરતાં ઓછું. એક અપૂર્ણાંક જે ધરાવે છે આખો ભાગક્યારેક મિશ્ર કહેવાય છે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું

• પ્રથમ કેસ: અંશ અને છેદ એકબીજાના સમાન છે. આવા કોઈપણ અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવાનું પરિણામ એક છે. તે ત્રણ તૃતીયાંશ હોય કે એકસો પચીસ એકસો પચીસમા ભાગનો હોય તો વાંધો નથી. અનિવાર્યપણે, આવા અપૂર્ણાંક સંખ્યાને પોતાના દ્વારા વિભાજિત કરવાની ક્રિયા સૂચવે છે.

• બીજો કેસ: અંશ છેદ કરતા મોટો છે. અહીં તમારે સંખ્યાઓને શેષ સાથે વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ યાદ રાખવાની જરૂર છે.
  આ કરવા માટે, તમારે અંશ મૂલ્યની સૌથી નજીકની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે, જે શેષ વિના છેદ દ્વારા વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારી પાસે અપૂર્ણાંક ઓગણીસ તૃતીયાંશ છે. સૌથી વધુ બંધ નંબરજેને ત્રણ વડે ભાગી શકાય તે અઢાર છે. તે છ. હવે અંશમાંથી પરિણામી સંખ્યા બાદ કરો. અમને એક મળે છે. આ બાકી છે. રૂપાંતરનું પરિણામ લખો: છ સંપૂર્ણ અને એક તૃતીયાંશ.

પરંતુ અપૂર્ણાંકને ઘટાડતા પહેલા યોગ્ય પ્રકાર, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું તે ટૂંકાવી શકાય છે.
જો અંશ અને છેદ સામાન્ય અવયવ ધરાવતા હોય તો તમે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો. એટલે કે, એવી સંખ્યા કે જેના વડે બંને શેષ વિના વિભાજ્ય છે. જો આવા ઘણા વિભાજકો છે, તો તમારે સૌથી મોટો શોધવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ તરીકે, બધી સમ સંખ્યાઓમાં આવા સામાન્ય વિભાજક હોય છે - બે. અને સોળ-બારમા અપૂર્ણાંકમાં એક વધુ સામાન્ય વિભાજક છે - ચાર. આ સૌથી મોટો વિભાજક. અંશ અને છેદને ચાર વડે વિભાજિત કરો. ઘટાડાનું પરિણામ: ચાર તૃતીયાંશ. હવે, પ્રેક્ટિસ તરીકે, આ અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

આપણે જીવનમાં અપૂર્ણાંકોને શાળામાં ભણવાનું શરૂ કરતાં ઘણા વહેલા મળીએ છીએ. જો આપણે આખું સફરજન અડધું કાપીએ, તો આપણને અડધા ફળ મળે છે. ચાલો તેને ફરીથી કાપીએ - તે ¼ હશે. આ અપૂર્ણાંકો છે. અને બધું સરળ લાગતું હતું. પુખ્ત વયના લોકો માટે. બાળક માટે (અને આ વિષયઅંતે અભ્યાસ શરૂ કરો જુનિયર શાળા) અમૂર્ત ગાણિતિક ખ્યાલોહજી પણ ભયાનક રીતે અગમ્ય છે, અને શિક્ષકે સ્પષ્ટપણે સમજાવવું જોઈએ કે યોગ્ય અપૂર્ણાંક અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક, સામાન્ય અને દશાંશ શું છે, તેમની સાથે કયા ઓપરેશન કરી શકાય છે અને, સૌથી અગત્યનું, આ બધા માટે શું જરૂરી છે.

અપૂર્ણાંક શું છે?

જાણવું નવો વિષયશાળામાં સાથે શરૂ થાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ઉપર અને નીચે - બે સંખ્યાઓને અલગ કરતી આડી રેખા દ્વારા તેઓ સરળતાથી ઓળખી શકાય છે. ઉપરના ભાગને અંશ કહેવાય છે, નીચેનો ભાગ છેદ કહેવાય છે. અયોગ્ય અને યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકો લખવા માટે એક લોઅરકેસ વિકલ્પ પણ છે - સ્લેશ દ્વારા, ઉદાહરણ તરીકે: ½, 4/9, 384/183. આ વિકલ્પનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે લાઇનની ઊંચાઈ મર્યાદિત હોય અને "ટુ-સ્ટોરી" એન્ટ્રી ફોર્મનો ઉપયોગ કરવો શક્ય ન હોય. શા માટે? હા, કારણ કે તે વધુ અનુકૂળ છે. આ આપણે થોડી વાર પછી જોઈશું.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, દશાંશ અપૂર્ણાંક પણ છે. તેમને અલગ પાડવું ખૂબ જ સરળ છે: જો એક કિસ્સામાં આડા અથવા સ્લેશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો બીજામાં અલ્પવિરામનો ઉપયોગ સંખ્યાઓના ક્રમને અલગ કરવા માટે થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: 2.9; 163.34; 1.953. સંખ્યાઓને સીમિત કરવા માટે અમે જાણી જોઈને સેપરેટર તરીકે અર્ધવિરામનો ઉપયોગ કર્યો છે. તેમાંથી પ્રથમ આ રીતે વાંચશે: "બે પોઇન્ટ નવ."

નવી વિભાવનાઓ

ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પર પાછા જઈએ. તેઓ બે પ્રકારના આવે છે.

યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે: તે એક અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો છે. આ શા માટે મહત્વનું છે? આપણે હવે જોઈશું!

તમારી પાસે ઘણાં સફરજન છે, અડધાં. કુલ - 5 ભાગો. તમે કેવી રીતે કહેશો: શું તમારી પાસે "અઢી" અથવા "સાડા પાંચ" સફરજન છે? અલબત્ત, પ્રથમ વિકલ્પ વધુ કુદરતી લાગે છે, અને મિત્રો સાથે વાત કરતી વખતે અમે તેનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ જો આપણે ગણતરી કરવાની જરૂર હોય કે દરેક વ્યક્તિને કેટલા ફળ મળશે, જો કંપનીમાં પાંચ લોકો હોય, તો આપણે 5/2 નંબર લખીશું અને તેને 5 વડે ભાગીશું - ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ વધુ સ્પષ્ટ થશે. .

તેથી, યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના નામકરણ માટે, નિયમ આ છે: જો સંપૂર્ણ ભાગને અપૂર્ણાંક (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) માં ઓળખી શકાય, તો તે અનિયમિત છે. જો આ કરી શકાતું નથી, જેમ કે ½, 13/16, 9/10 ના કિસ્સામાં, તે સાચું હશે.

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને એકસાથે સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે તો તેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી. કલ્પના કરો: તેઓએ કેકને 4 સમાન ભાગોમાં કાપી અને તમને એક આપ્યો. તેઓએ એક જ કેકને આઠ ટુકડા કરી અને તમને બે આપ્યા. શું તે ખરેખર વાંધો છે? છેવટે, ¼ અને 2/8 એ જ વસ્તુ છે!

ઘટાડો

ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણોના લેખકો વારંવાર એવા અપૂર્ણાંકો આપીને વિદ્યાર્થીઓને મૂંઝવવાનો પ્રયત્ન કરે છે જે લખવા માટે બોજારૂપ હોય છે પરંતુ વાસ્તવમાં સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે. અહીં યોગ્ય અપૂર્ણાંકનું ઉદાહરણ છે: 167/334, જે, એવું લાગે છે, ખૂબ "ડરામણી" લાગે છે. પરંતુ આપણે ખરેખર તેને ½ તરીકે લખી શકીએ છીએ. 334 નંબર શેષ વિના 167 વડે વિભાજ્ય છે - આ ઓપરેશન કર્યા પછી, આપણને 2 મળે છે.

મિશ્ર સંખ્યાઓ

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે મિશ્ર સંખ્યા. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સમગ્ર ભાગને આગળ લાવવામાં આવે છે અને આડી રેખાના સ્તરે લખવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, અભિવ્યક્તિ રકમનું સ્વરૂપ લે છે: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 અને તેથી વધુ.

આખો ભાગ લેવા માટે, તમારે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે. વિભાગનો બાકીનો ભાગ ટોચ પર, રેખાની ઉપર અને સંપૂર્ણ ભાગ - અભિવ્યક્તિ પહેલાં લખો. આમ, આપણને બે માળખાકીય ભાગો મળે છે: સંપૂર્ણ એકમો + યોગ્ય અપૂર્ણાંક.

તે હાથ ધરવા માટે શક્ય છે વિપરીત કામગીરી- આ કરવા માટે, તમારે છેદ દ્વારા સમગ્ર ભાગને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી મૂલ્યને અંશમાં ઉમેરવાની જરૂર છે. કંઈ જટિલ નથી.

ગુણાકાર અને ભાગાકાર

વિચિત્ર રીતે, અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર ઉમેરવા કરતાં વધુ સરળ છે. ફક્ત આડી રેખાને લંબાવવાની જરૂર છે: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

વિભાજન સાથે, બધું પણ સરળ છે: તમારે અપૂર્ણાંકને ક્રોસવાઇઝ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

જો તમારે ઉમેરણ કરવાની જરૂર હોય અથવા તેમનો છેદ હોય તો શું કરવું વિવિધ નંબરો? તે ગુણાકારની જેમ જ કામ કરશે નહીં - અહીં તમારે યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા અને તેના સારને સમજવું જોઈએ. શરતોને સામાન્ય છેદ પર લાવવી જરૂરી છે, એટલે કે, બંને અપૂર્ણાંકના તળિયે સમાન સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.

આ કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ: બંને ભાગોને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો. ઉદાહરણ તરીકે, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

શરતોને ઘટાડવા માટે કયા છેદને કેવી રીતે પસંદ કરવું? આ ન્યૂનતમ સંખ્યા હોવી જોઈએ જે અપૂર્ણાંકના છેદમાં બંને સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે: 1/3 અને 1/9 માટે તે 9 હશે; ½ અને 1/7 - 14 માટે, કારણ કે નાની કિંમત, શેષ વિના 2 અને 7 વડે વિભાજ્ય, અસ્તિત્વમાં નથી.

ઉપયોગ

તેઓ શેના માટે છે? અયોગ્ય અપૂર્ણાંક? છેવટે, આખો ભાગ તરત જ પસંદ કરવો, મિશ્ર નંબર મેળવવો - અને તેની સાથે પૂર્ણ કરવું વધુ અનુકૂળ છે! તે તારણ આપે છે કે જો તમારે બે અપૂર્ણાંકને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરવાની જરૂર હોય, તો અનિયમિતનો ઉપયોગ કરવો વધુ નફાકારક છે.

ચાલો લઈએ આગામી ઉદાહરણ: (2 + 3/17) / (37 / 68).

એવું લાગે છે કે કાપવા માટે કંઈ જ નથી. પરંતુ જો આપણે પ્રથમ કૌંસમાં વધારાના પરિણામને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ તો શું? જુઓ: (37/17) / (37/68)

હવે બધું જગ્યાએ પડે છે! ચાલો ઉદાહરણને એવી રીતે લખીએ કે બધું સ્પષ્ટ થઈ જાય: (37*68) / (17*37).

ચાલો અંશ અને છેદમાં 37 ને રદ કરીએ અને છેલ્લે ઉપર અને નીચેને 17 વડે ભાગીએ. શું તમને યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક માટેનો મૂળભૂત નિયમ યાદ છે? જ્યાં સુધી આપણે તે એક જ સમયે અંશ અને છેદ માટે કરીએ છીએ ત્યાં સુધી આપણે તેમને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગી શકીએ છીએ.

તેથી, અમને જવાબ મળે છે: 4. ઉદાહરણ જટિલ લાગતું હતું, પરંતુ જવાબમાં ફક્ત એક જ સંખ્યા છે. આ ગણિતમાં વારંવાર થાય છે. મુખ્ય વસ્તુ ડરવાની અને સરળ નિયમોનું પાલન કરવાની નથી.

સામાન્ય ભૂલો

અમલ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થી સરળતાથી સામાન્ય ભૂલોમાંથી એક કરી શકે છે. સામાન્ય રીતે તેઓ બેદરકારીને કારણે થાય છે, અને કેટલીકવાર એ હકીકતને કારણે કે અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી હજુ સુધી માથામાં યોગ્ય રીતે સંગ્રહિત કરવામાં આવી નથી.

ઘણી વખત અંશમાં સંખ્યાઓનો સરવાળો તમને તેના વ્યક્તિગત ઘટકો ઘટાડવા ઈચ્છે છે. ચાલો ઉદાહરણમાં કહીએ: (13 + 2) / 13, કૌંસ વિના લખાયેલ (આડી રેખા સાથે), ઘણા વિદ્યાર્થીઓ, બિનઅનુભવીને કારણે, ઉપર અને નીચે 13ને પાર કરે છે. પરંતુ આ કોઈ પણ સંજોગોમાં ન કરવું જોઈએ, કારણ કે આ એક ગંભીર ભૂલ છે! જો વધારાને બદલે ગુણાકારની નિશાની હોત, તો અમને જવાબમાં નંબર 2 મળશે, પરંતુ જ્યારે સરવાળો કરવામાં આવે ત્યારે, ફક્ત સંપૂર્ણ રકમ સાથે કોઈ એક શબ્દ સાથે કોઈ ક્રિયા કરવાની મંજૂરી નથી.

અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતી વખતે ગાય્સ પણ ઘણીવાર ભૂલો કરે છે. ચાલો બે સાચા લઈએ અફર અપૂર્ણાંકઅને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરો: (5/6) / (25/33). વિદ્યાર્થી તેને મિશ્રિત કરી શકે છે અને પરિણામી અભિવ્યક્તિ (5*25) / (6*33) તરીકે લખી શકે છે. પરંતુ આ ગુણાકાર સાથે થશે, પરંતુ અમારા કિસ્સામાં બધું કંઈક અંશે અલગ હશે: (5*33) / (6*25). અમે જે શક્ય છે તે ઘટાડીએ છીએ, અને જવાબ 11/10 હશે. અમે પરિણામી અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ - 1.1 તરીકે લખીએ છીએ.

કૌંસ

તે કોઈપણ માં યાદ રાખો ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓઑપરેશનનો ક્રમ ઑપરેશનના સંકેતોની પ્રાથમિકતા અને કૌંસની હાજરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અન્ય તમામ વસ્તુઓ સમાન હોવાથી, ક્રિયાઓનો ક્રમ ડાબેથી જમણે ગણવામાં આવે છે. આ અપૂર્ણાંક માટે પણ સાચું છે - અંશ અથવા છેદમાં અભિવ્યક્તિ આ નિયમ અનુસાર સખત રીતે ગણવામાં આવે છે.

છેવટે, આ એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાનું પરિણામ છે. જો તેઓ સમાનરૂપે વિભાજિત ન હોય, તો તે અપૂર્ણાંક બની જાય છે - બસ.

કમ્પ્યુટર પર અપૂર્ણાંક કેવી રીતે લખવો

માનક સાધનો હંમેશા બે "સ્તરો" ધરાવતા અપૂર્ણાંક બનાવવાની મંજૂરી આપતા નથી, તેથી વિદ્યાર્થીઓ કેટલીકવાર વિવિધ યુક્તિઓનો આશરો લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ પેઇન્ટ ગ્રાફિક એડિટરમાં અંશ અને છેદની નકલ કરે છે અને તેમની વચ્ચે દોરે છે. આડી રેખા. અલબત્ત, ત્યાં એક સરળ વિકલ્પ છે, જે, માર્ગ દ્વારા, ઘણું પૂરું પાડે છે વધારાના લક્ષણો, જે ભવિષ્યમાં તમારા માટે ઉપયોગી થશે.

માઈક્રોસોફ્ટ વર્ડ ખોલો. સ્ક્રીનની ટોચ પરની એક પેનલને "ઇનસર્ટ" કહેવામાં આવે છે - તેને ક્લિક કરો. જમણી બાજુએ, જ્યાં વિન્ડો બંધ કરો અને નાનું કરો ચિહ્નો સ્થિત છે, ત્યાં એક "ફોર્મ્યુલા" બટન છે. આ બરાબર છે જે આપણને જોઈએ છે!

જો તમે આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો છો, તો સ્ક્રીન પર એક લંબચોરસ વિસ્તાર દેખાશે જેમાં તમે કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો ગાણિતિક ચિહ્નો, કીબોર્ડ પર ખૂટે છે, અને ક્લાસિક સ્વરૂપમાં અપૂર્ણાંક પણ લખો. એટલે કે, અંશ અને છેદને આડી રેખા વડે વિભાજિત કરવું. તમને આશ્ચર્ય પણ થશે કે આટલો યોગ્ય અપૂર્ણાંક લખવા માટે આટલો સરળ છે.

ગણિત શીખો

જો તમે 5-6 ગ્રેડમાં છો, તો ટૂંક સમયમાં ગણિતનું જ્ઞાન (અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાની ક્ષમતા સહિત!) ઘણામાં જરૂરી બનશે. શાળા વિષયો. ભૌતિકશાસ્ત્રની લગભગ કોઈપણ સમસ્યામાં, રસાયણશાસ્ત્રમાં, ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિમાં પદાર્થોના સમૂહને માપતી વખતે, તમે અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. ટૂંક સમયમાં તમે કાગળ પર અભિવ્યક્તિઓ લખ્યા વિના, તમારા મનમાંની દરેક વસ્તુની ગણતરી કરવાનું શીખી શકશો, પરંતુ વધુને વધુ જટિલ ઉદાહરણો. તેથી, યોગ્ય અપૂર્ણાંક શું છે અને તેની સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે શીખો, સાથે રાખો અભ્યાસક્રમ, તમારું હોમવર્ક સમયસર કરો અને તમે સફળ થશો.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકને \textit (યોગ્ય) અને \textit (અયોગ્ય) અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ વિભાજન અંશ અને છેદની સરખામણી પર આધારિત છે.

યોગ્ય અપૂર્ણાંક

યોગ્ય અપૂર્ણાંકએક સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ કહેવાય છે, જેમાં અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય છે, એટલે કે. $m

ઉદાહરણ 1

ઉદાહરણ તરીકે, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ સાચા છે , તો તેમાંના દરેકમાં અંશ એ છેદ કરતા ઓછા કેવી રીતે છે, જે યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાને પૂર્ણ કરે છે.

યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા છે, જે એક સાથે અપૂર્ણાંકની તુલના કરવા પર આધારિત છે.

યોગ્ય, જો તે એક કરતા ઓછું હોય તો:

ઉદાહરણ 2

ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(6)(13)$ યોગ્ય છે કારણ કે શરત $\frac(6)(13) સંતુષ્ટ છે

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકએક સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ છે જેનો અંશ અથવા તેનાથી મોટો છે છેદ સમાન, એટલે કે $m\ge n$.

ઉદાહરણ 3

ઉદાહરણ તરીકે, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ અનિયમિત છે , તો તેમાંના દરેકમાં અંશ એ છેદ કરતા મોટો અથવા સમાન છે, જે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાને પૂર્ણ કરે છે.

ચાલો આપણે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા આપીએ, જે તેની સાથેની સરખામણી પર આધારિત છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ છે ખોટું, જો તે એક કરતા વધુ અથવા સમાન હોય તો:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

ઉદાહરણ 4

ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(21)(4)$ અયોગ્ય છે કારણ કે $\frac(21)(4) >1$ સંતુષ્ટ છે;

સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(8)(8)$ અયોગ્ય છે કારણ કે $\frac(8)(8)=1$ શરત સંતુષ્ટ છે.

ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના ખ્યાલ પર નજીકથી નજર કરીએ.

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(7)(7)$ લઈએ. આ અપૂર્ણાંકનો અર્થ એક વસ્તુના સાત શેર લેવાનો છે, જે સાત સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલો છે. આમ, જે સાત શેર ઉપલબ્ધ છે તેમાંથી, સમગ્ર પદાર્થની રચના કરી શકાય છે. તે. અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(7)(7)$ વર્ણવે છે સમગ્ર વિષયઅને $\frac(7)(7)=1$. તેથી, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક, જેમાં અંશ છેદ સમાન હોય છે, એક સંપૂર્ણ પદાર્થનું વર્ણન કરે છે અને આવા અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા $1$ દ્વારા બદલી શકાય છે.

$\frac(5)(2)$ - તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ પાંચ સેકન્ડના ભાગોમાંથી તમે $2$ સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ્સ બનાવી શકો છો (એક આખો ઑબ્જેક્ટ $2$ ભાગોનો બનેલો હશે, અને બે સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ કંપોઝ કરવા માટે તમને જરૂર છે. $2+2=4$ શેર) અને એક સેકન્ડ શેર બાકી છે. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(5)(2)$ એ ઑબ્જેક્ટના $2$ અને $\frac(1)(2)$ આ ઑબ્જેક્ટના શેરનું વર્ણન કરે છે.

$\frac(21)(7)$ -- એકવીસમા ભાગમાંથી તમે $3$ સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ બનાવી શકો છો (દરેકમાં $7$ શેર સાથે $3$ ઑબ્જેક્ટ્સ). તે. અપૂર્ણાંક $\frac(21)(7)$ $3$ સમગ્ર ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરે છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાંથી, કોઈ નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે આગામી આઉટપુટ: અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કુદરતી સંખ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે જો અંશ છેદ વડે વિભાજ્ય હોય (ઉદાહરણ તરીકે, $\frac(7)(7)=1$ અને $\frac(21)(7)=3$), અથવા કુદરતી સંખ્યા અને સાચા અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંકનો સરવાળો જો અંશ સંપૂર્ણપણે છેદ દ્વારા વિભાજ્ય ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). તેથી જ આવા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ખોટું.

વ્યાખ્યા 1

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે દર્શાવવાની પ્રક્રિયા (ઉદાહરણ તરીકે, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) કહેવાય છે. આખા ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરવું.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરતી વખતે, વ્યક્તિ અવલોકન કરી શકે છે બંધ જોડાણતેમની અને મિશ્ર સંખ્યાઓ વચ્ચે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક ઘણીવાર મિશ્ર સંખ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે - એક સંખ્યા જેમાં પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગ હોય છે.

મિશ્ર સંખ્યા તરીકે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક લખવા માટે, તમારે અંશને છેદ દ્વારા શેષ સાથે વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. ભાગાંક મિશ્રિત સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ હશે, બાકીનો ભાગ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ હશે, અને વિભાજક અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ હશે.

ઉદાહરણ 5

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(37)(12)$ ને મિશ્ર સંખ્યા તરીકે લખો.

ઉકેલ.

શેષ સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (શેષ\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

જવાબ આપો.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવા માટે, તમારે સંખ્યાના સંપૂર્ણ ભાગ દ્વારા છેદને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, પરિણામી ઉત્પાદનમાં અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને અપૂર્ણાંકના અંશમાં લખવાની જરૂર છે. અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદ સમાન હશે.

ઉદાહરણ 6

મિશ્ર સંખ્યા $5\frac(3)(7)$ ને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખો.

ઉકેલ.

જવાબ આપો.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

મિશ્ર સંખ્યાઓ અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ

મિશ્ર સંખ્યાનો ઉમેરો$a\frac(b)(c)$ અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક$\frac(d)(e)$ આપેલ અપૂર્ણાંકમાં આપેલ મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગને ઉમેરીને કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 7

યોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(4)(15)$ અને મિશ્ર સંખ્યા $3\frac(2)(5)$ ઉમેરો.

ઉકેલ.

ચાલો મિશ્ર સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\જમણે)=3+\ ડાબે(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\જમણે)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

સંખ્યા \textit(5) વડે ભાગવાથી આપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ કે $\frac(10)(15)$ અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય છે. ચાલો ઘટાડો કરીએ અને ઉમેરાનું પરિણામ શોધીએ:

તેથી, યોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(4)(15)$ અને મિશ્ર સંખ્યા $3\frac(2)(5)$ ઉમેરવાનું પરિણામ $3\frac(2)(3)$ છે.

જવાબ:$3\frac(2)(3)$

મિશ્ર સંખ્યાઓ અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક અને મિશ્ર સંખ્યાઓ ઉમેરી રહ્યા છીએબે મિશ્રિત સંખ્યાઓના ઉમેરા માટે ઘટાડે છે, જેના માટે તે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ કરવા માટે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ 8

મિશ્ર સંખ્યા $6\frac(2)(15)$ અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(13)(5)$ ના સરવાળાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(13)(5)$માંથી પૂર્ણાંક ભાગ કાઢીએ:

જવાબ:$8\frac(11)(15)$.

તમામ વિજ્ઞાન - ગણિતની રાણીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમુક સમયે દરેકને અપૂર્ણાંક આવે છે. જો કે આ ખ્યાલ (જેમ કે અપૂર્ણાંકના પ્રકારો અથવા તેમની સાથેની ગાણિતિક ક્રિયાઓ) બિલકુલ જટિલ નથી, પણ તેની કાળજીપૂર્વક સારવાર કરવી જોઈએ, કારણ કે વાસ્તવિક જીવનતે શાળાની બહાર ખૂબ જ ઉપયોગી થશે. તેથી, ચાલો અપૂર્ણાંક વિશેના અમારા જ્ઞાનને તાજું કરીએ: તેઓ શું છે, તેઓ કયા માટે છે, તેઓ કયા પ્રકારનાં છે અને તેમની સાથે વિવિધ વસ્તુઓ કેવી રીતે કરવી. અંકગણિત કામગીરી.

હર મેજેસ્ટી અપૂર્ણાંક: તે શું છે

ગણિતમાં, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે, જેમાંના દરેકમાં એકમના એક અથવા વધુ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. આવા અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અથવા સરળ પણ કહેવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, તે બે સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે જે આડી અથવા સ્લેશ લાઇન દ્વારા અલગ પડે છે, તેને "અપૂર્ણાંક" રેખા કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: ½, ¾.

આ સંખ્યાઓનો ઉપલા, અથવા પ્રથમ, અંશ છે (સંખ્યામાંથી કેટલા ભાગો લેવામાં આવ્યા છે તે બતાવે છે), અને નીચલું અથવા બીજું, છેદ છે (એકમ કેટલા ભાગોમાં વિભાજિત છે તે દર્શાવે છે).

અપૂર્ણાંક પટ્ટી વાસ્તવમાં વિભાજન ચિહ્ન તરીકે કાર્ય કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 7:9=7/9

પરંપરાગત રીતે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક એક કરતા ઓછા હોય છે. જ્યારે દશાંશ તેના કરતા મોટા હોઈ શકે છે.

અપૂર્ણાંક શેના માટે છે? હા દરેક વસ્તુ માટે, કારણ કે માં વાસ્તવિક દુનિયાબધી સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કાફેટેરિયામાં બે સ્કૂલની છોકરીઓએ સાથે મળીને એક સ્વાદિષ્ટ ચોકલેટ બાર ખરીદ્યો. જ્યારે તેઓ મીઠાઈ વહેંચવાના હતા, ત્યારે તેઓ એક મિત્રને મળ્યા અને તેની સાથે પણ સારવાર કરવાનું નક્કી કર્યું. જો કે, હવે ચોકલેટ બારને યોગ્ય રીતે વિભાજીત કરવું જરૂરી છે, તે ધ્યાનમાં લેતા કે તેમાં 12 ચોરસ છે.

શરૂઆતમાં, છોકરીઓ દરેક વસ્તુને સમાન રીતે વહેંચવા માંગતી હતી, અને પછી દરેકને ચાર ટુકડાઓ મળશે. પરંતુ, તેના પર વિચાર કર્યા પછી, તેઓએ તેમના મિત્ર સાથે 1/3 નહીં, પરંતુ 1/4 ચોકલેટની સારવાર કરવાનું નક્કી કર્યું. અને શાળાની છોકરીઓ અપૂર્ણાંકનો સારી રીતે અભ્યાસ કરતી ન હોવાથી, તેઓએ ધ્યાનમાં લીધું ન હતું કે આવી પરિસ્થિતિમાં તેઓ 9 ટુકડાઓ સાથે સમાપ્ત થશે, જેને બે ભાગમાં વહેંચવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. આ એકદમ સરળ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે સંખ્યાના ભાગને યોગ્ય રીતે શોધવામાં સક્ષમ થવું કેટલું મહત્વપૂર્ણ છે. પણ જીવનમાં સમાન કેસોઘણું બધું

અપૂર્ણાંકના પ્રકાર: સામાન્ય અને દશાંશ

બધા ગાણિતિક અપૂર્ણાંકબે મોટા વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સામાન્ય અને દશાંશ. તેમાંથી પ્રથમની લાક્ષણિકતાઓ પાછલા ફકરામાં વર્ણવવામાં આવી હતી, તેથી હવે બીજા પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.

દશાંશ એ સંખ્યાના અપૂર્ણાંકનું સ્થાનીય સંકેત છે, જે અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરીને, ડૅશ અથવા સ્લેશ વિના લેખિતમાં લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: 0.75, 0.5.

વાસ્તવમાં, દશાંશ અપૂર્ણાંક સામાન્ય અપૂર્ણાંક જેવો જ હોય ​​છે, જો કે, તેનો છેદ હંમેશા એક પછી શૂન્ય હોય છે - તેથી તેનું નામ.

અલ્પવિરામની પહેલાની સંખ્યા એક પૂર્ણાંક ભાગ છે, અને તેના પછીની દરેક વસ્તુ અપૂર્ણાંક છે. હું તેને પ્રેમ કરું છું સરળ અપૂર્ણાંકદશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આમ, અગાઉના ઉદાહરણમાં દર્શાવેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે લખી શકાય છે: ¾ અને ½.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે દશાંશ અને સામાન્ય અપૂર્ણાંક બંને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે. જો તેમની આગળ "-" ચિહ્ન હોય, આપેલ અપૂર્ણાંકનકારાત્મક, જો "+" - તો પછી હકારાત્મક.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકના પેટા પ્રકારો

આ પ્રકારના સરળ અપૂર્ણાંકો છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંકના પેટા પ્રકારો

સરળ અપૂર્ણાંકથી વિપરીત, દશાંશ અપૂર્ણાંક માત્ર 2 પ્રકારોમાં વહેંચાયેલો છે.

• અંતિમ - આ નામ એ હકીકતને કારણે પ્રાપ્ત થયું કે દશાંશ બિંદુ પછી તેમાં અંકોની મર્યાદિત (મર્યાદિત) સંખ્યા છે: 19.25.
• અનંત અપૂર્ણાંક એ દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની અનંત સંખ્યાવાળી સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે 10 ને 3 વડે ભાગીએ ત્યારે પરિણામ આવે છે અનંત અપૂર્ણાંક 3,333…

અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

અપૂર્ણાંક સાથે વિવિધ અંકગણિત મેનિપ્યુલેશન્સ હાથ ધરવા કરતાં થોડું વધુ મુશ્કેલ છે સામાન્ય સંખ્યાઓ. જો કે, જો તમે મૂળભૂત નિયમોને સમજો છો, તો તેમની સાથે કોઈપણ ઉદાહરણને ઉકેલવું મુશ્કેલ રહેશે નહીં.

ઉદાહરણ તરીકે: 2/3+3/4. તેમના માટે લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 12 હશે, તેથી, આ સંખ્યા દરેક છેદમાં હોવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 4 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, તે 8/12 થાય છે, આપણે બીજા શબ્દ સાથે પણ તે જ કરીએ છીએ, પરંતુ ફક્ત 3 - 9/12 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. હવે તમે ઉદાહરણને સરળતાથી હલ કરી શકો છો: 8/12+9/12= 17/12. પરિણામી અપૂર્ણાંક એ ખોટો એકમ છે કારણ કે અંશ છેદ કરતા મોટો છે. તે 17:12 = 1 અને 5/12 ને વિભાજિત કરીને યોગ્ય મિશ્રિતમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે અને થવું જોઈએ.

જ્યારે મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે ક્રિયાઓ પ્રથમ પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે કરવામાં આવે છે, અને પછી અપૂર્ણાંક સાથે.

જો ઉદાહરણમાં દશાંશ અપૂર્ણાંક અને નિયમિત અપૂર્ણાંક હોય, તો તે બંનેને સરળ બનાવવા જરૂરી છે, પછી તેમને સમાન છેદ પર લાવો અને તેમને ઉમેરો. ઉદાહરણ તરીકે 3.1+1/2. નંબર 3.1 તરીકે લખી શકાય છે મિશ્ર અપૂર્ણાંક 3 અને 1/10 અથવા અયોગ્ય તરીકે - 31/10. સામાન્ય છેદશરતો માટે 10 હશે, તેથી તમારે બદલામાં 1/2 ના અંશ અને છેદને 5 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, તમને 5/10 મળશે. પછી તમે સરળતાથી દરેક વસ્તુની ગણતરી કરી શકો છો: 31/10+5/10=35/10. પ્રાપ્ત પરિણામ એ અયોગ્ય ઘટાડી શકાય તેવું અપૂર્ણાંક છે, અમે તેને ઘટાડીએ છીએ સામાન્ય દેખાવ, 5 થી ઘટાડીને: 7/2 = 3 અને 1/2, અથવા દશાંશ - 3.5.

2 દશાંશ અપૂર્ણાંક ઉમેરતી વખતે, તે મહત્વનું છે કે દશાંશ બિંદુ પછી સમાન સંખ્યામાં અંકો હોય. જો આ કેસ નથી, તો તમારે ફક્ત ઉમેરવાની જરૂર છે જરૂરી જથ્થોશૂન્ય, કારણ કે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં આ પીડારહિત રીતે કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3.5+3.005. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે પ્રથમ નંબરમાં 2 શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે અને પછી એક પછી એક ઉમેરો: 3.500+3.005=3.505.

અપૂર્ણાંક બાદબાકી

અપૂર્ણાંકને બાદ કરતી વખતે, તમારે ઉમેરતી વખતે તે જ કરવું જોઈએ: સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો, એક અંશને બીજામાંથી બાદ કરો અને, જો જરૂરી હોય તો, પરિણામને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

ઉદાહરણ તરીકે: 16/20-5/10. સામાન્ય છેદ 20 હશે. તમારે તેના બંને ભાગોને 2 વડે ગુણાકાર કરીને આ છેદમાં બીજા અપૂર્ણાંક લાવવાની જરૂર છે, તમને 10/20 મળશે. હવે તમે ઉદાહરણ હલ કરી શકો છો: 16/20-10/20= 6/20. જો કે, આ પરિણામ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંકોને લાગુ પડે છે, તેથી તે બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરવા યોગ્ય છે અને પરિણામ 3/10 છે.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર

અપૂર્ણાંકને વિભાજીત અને ગુણાકાર - ઘણું બધું સરળ પગલાંસરવાળો અને બાદબાકી કરતાં. હકીકત એ છે કે આ કાર્યો કરતી વખતે, સામાન્ય છેદ શોધવાની જરૂર નથી.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે ફક્ત બંને અંશને એક પછી એક અને પછી બંને છેદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. જો અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય તેવી માત્રા હોય તો પરિણામી પરિણામમાં ઘટાડો કરો.

ઉદાહરણ તરીકે: 4/9x5/8. વૈકલ્પિક ગુણાકાર પછી, પરિણામ 4x5/9x8=20/72 છે. આ અપૂર્ણાંક 4 થી ઘટાડી શકાય છે, તેથી ઉદાહરણમાં અંતિમ જવાબ 5/18 છે.

અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે વિભાજીત કરવું

અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવું એ પણ એક સરળ કામગીરી છે, તે હજુ પણ તેમને ગુણાકાર કરવા માટે નીચે આવે છે. એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે બીજાને ઉલટાવીને પ્રથમ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 5/19 અને 5/7 અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવું. ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે, તમારે બીજા અપૂર્ણાંકના છેદ અને અંશને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે અને ગુણાકાર કરો: 5/19x7/5=35/95. પરિણામ 5 દ્વારા ઘટાડી શકાય છે - તે 7/19 બહાર વળે છે.

જો તમારે અપૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર હોય, તો તકનીક થોડી અલગ છે. શરૂઆતમાં, તમારે આ સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવી જોઈએ, અને પછી સમાન યોજના અનુસાર વિભાજીત કરવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, 2/13:5ને 2/13:5/1 તરીકે લખવું જોઈએ. હવે તમારે 5/1 પર ફેરવવાની અને પરિણામી અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: 2/13x1/5= 2/65.

કેટલીકવાર તમારે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવું પડશે. તમારે તેમની સાથે જેમ તમે પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરો છો તેમ કરવાની જરૂર છે: તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો, વિભાજકને ઉલટાવો અને દરેક વસ્તુનો ગુણાકાર કરો. ઉદાહરણ તરીકે, 8 ½: 3. દરેક વસ્તુને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરો: 17/2: 3/1. આ પછી 3/1 ફ્લિપ અને ગુણાકાર થાય છે: 17/2x1/3= 17/6. હવે તમારે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને સાચા એકમાં રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ - 2 સંપૂર્ણ અને 5/6.

તેથી, અપૂર્ણાંક શું છે અને તમે તેમની સાથે વિવિધ અંકગણિત કામગીરી કેવી રીતે કરી શકો છો તે શોધી કાઢ્યા પછી, તમારે તેના વિશે ભૂલી ન જવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. છેવટે, લોકો હંમેશા કંઈક ઉમેરવા કરતાં ભાગોમાં વિભાજિત કરવા માટે વધુ વલણ ધરાવે છે, તેથી તમારે તેને યોગ્ય રીતે કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે.

યોગ્ય અપૂર્ણાંક

ક્વાર્ટર્સ

1. સુવ્યવસ્થિતતા. aઅને bત્યાં એક નિયમ છે જે વ્યક્તિને તેમની વચ્ચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી એક અને માત્ર એકને અનન્ય રીતે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: “< », « >" અથવા " = ". આ નિયમ કહેવાય છે ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: બે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને બે પૂર્ણાંકો અને ; બે બિન-હકારાત્મક સંખ્યાઓ aઅને bબે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓ જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે અને ; જો અચાનક aબિન-નકારાત્મક, પરંતુ b- પછી નકારાત્મક a > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છેએડિશન ઓપરેશન. aઅને bકોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે ત્યાં એક કહેવાતા છે સરવાળો નિયમ c સરવાળો નિયમ. તે જ સમયે, નંબર પોતે કહેવાય છેરકમ aઅને bસંખ્યાઓ અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છેસમીકરણ .
3. . સરવાળો નિયમ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:એડિશન ઓપરેશન. aઅને bકોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે ગુણાકાર કામગીરી.ગુણાકારનો નિયમ સરવાળો નિયમ c સરવાળો નિયમ. તે જ સમયે, નંબર પોતે , જે તેમને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા અસાઇન કરે છેરકમ aઅને bકામ અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયાને પણ કહેવામાં આવે છેગુણાકાર .
4. . ગુણાકારનો નિયમ આના જેવો દેખાય છે:ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા. a , bઅને સરવાળો નિયમતર્કસંગત સંખ્યાઓના કોઈપણ ત્રિવિધ માટે aજો bઅને bજો સરવાળો નિયમઓછું aજો સરવાળો નિયમ, તે a, અને જો bઅને b, અને જો સરવાળો નિયમઓછું a, અને જો સરવાળો નિયમબરાબર
5. . 6435">ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી. ઉમેરાની સહયોગીતા.ઓર્ડર
6. ત્રણ ઉમેરી રહ્યા છેતર્કસંગત સંખ્યાઓ પરિણામને અસર કરતી નથી.
7. શૂન્યની હાજરી.ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે જે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
8. વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિરુદ્ધ તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જે ઉમેરવાથી 0 મળે છે.
9. ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી.તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
10. ગુણાકારની સહયોગીતા.એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે જે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
11. પારસ્પરિક સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જેનો ગુણાકાર કરવાથી 1 મળે છે.
12. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરકતા.ગુણાકારની કામગીરી વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉમેરા સાથે સંકલિત કરવામાં આવે છે:
13. ઉમેરાની કામગીરી સાથે ઓર્ડર સંબંધનું જોડાણ.ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુ તર્કસંગત અસમાનતાતમે સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરી શકો છો.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ. aતર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય a, તમે એટલા બધા એકમો લઈ શકો છો કે તેમનો સરવાળો વધી જાય

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

વધારાના ગુણધર્મો

તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં સહજ અન્ય તમામ ગુણધર્મોને મૂળભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવતાં નથી, કારણ કે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ હવે પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મો પર સીધા આધારિત નથી, પરંતુ આપેલ મૂળભૂત ગુણધર્મોના આધારે અથવા સીધા કેટલાક ગાણિતિક પદાર્થની વ્યાખ્યા દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. . આવા ઘણા વધારાના ગુણધર્મો છે. તેમાંથી માત્ર થોડાને અહીં સૂચિબદ્ધ કરવાનું અર્થપૂર્ણ છે.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

સમૂહની ગણતરી

તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યા તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમારે તેમના સમૂહની મુખ્યતા શોધવાની જરૂર છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. આ કરવા માટે, એક અલ્ગોરિધમ આપવા માટે તે પૂરતું છે જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરે છે, એટલે કે, તર્કસંગત અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરે છે.આ અલ્ગોરિધમનો સૌથી સરળ આના જેવો દેખાય છે. દરેક પર, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનું એક અનંત કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવ્યું છે i-દરેકમાં મી લીટી તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમારે તેમના સમૂહની મુખ્યતા શોધવાની જરૂર છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. આ કરવા માટે, એક અલ્ગોરિધમ આપવા માટે તે પૂરતું છે જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરે છે, એટલે કે, તર્કસંગત અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરે છે. j iમી કૉલમ કે જેમાં અપૂર્ણાંક સ્થિત છે. નિશ્ચિતતા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે આ કોષ્ટકની પંક્તિઓ અને કૉલમ એકથી શરૂ કરીને ક્રમાંકિત છે. કોષ્ટક કોષો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં

- કોષ્ટક પંક્તિની સંખ્યા જેમાં કોષ સ્થિત છે, અને

- કૉલમ નંબર.

પરિણામી કોષ્ટક નીચેના ઔપચારિક અલ્ગોરિધમ અનુસાર "સાપ" નો ઉપયોગ કરીને પસાર થાય છે. આ નિયમો ઉપરથી નીચે સુધી શોધવામાં આવે છે અને પ્રથમ મેચના આધારે આગળની સ્થિતિ પસંદ કરવામાં આવે છે.. એટલે કે, અપૂર્ણાંક 1/1 નંબર 1 ને, અપૂર્ણાંક 2/1 ને નંબર 2, વગેરેને સોંપવામાં આવ્યો છે. એ નોંધવું જોઈએ કે માત્ર અફર અપૂર્ણાંકને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણતાની ઔપચારિક નિશાની એ છે કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એક સમાન છે.

આ અલ્ગોરિધમને અનુસરીને, આપણે બધી સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. ધન અને નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરવું સહેલું છે, ફક્ત દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેની વિરુદ્ધમાં સોંપીને. તે. નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર છે. તેમનું યુનિયન ગણી શકાય તેવા સમૂહોની મિલકત દ્વારા પણ ગણનાપાત્ર છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર હોય છે, કારણ કે તે મર્યાદિત સંખ્યા સાથે ગણી શકાય તેવા સમૂહના જોડાણ તરીકે ગણાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહની ગણતરીક્ષમતા વિશેનું નિવેદન કેટલીક મૂંઝવણનું કારણ બની શકે છે, કારણ કે પ્રથમ નજરમાં એવું લાગે છે કે તે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ કરતાં વધુ વ્યાપક છે. વાસ્તવમાં, આવું નથી અને તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે પૂરતી કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો અભાવ

આવા ત્રિકોણનું કર્ણ કોઈ પણ વ્યક્ત કરી શકતું નથી તર્કસંગત સંખ્યા

ફોર્મ 1 / ની તર્કસંગત સંખ્યાઓ nમોટા પ્રમાણમાં nમનસ્વી રીતે નાની માત્રામાં માપી શકાય છે. આ હકીકત બનાવે છે ભ્રામક છાપકે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કોઈપણ ભૌમિતિક અંતર માપવા માટે થઈ શકે છે. તે બતાવવું સરળ છે કે આ સાચું નથી.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણાકાર તેના પગના ચોરસના સરવાળાના વર્ગમૂળ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે. સમદ્વિબાજુના કર્ણની લંબાઈ જમણો ત્રિકોણએકમ પગ સાથે સમાન છે, એટલે કે, એક સંખ્યા જેનો વર્ગ 2 છે.

જો આપણે ધારીએ કે સંખ્યાને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, તો આવી પૂર્ણાંક છે mઅને આવી કુદરતી સંખ્યા n, તે , અને અપૂર્ણાંક અફર છે, એટલે કે સંખ્યાઓ mઅને n- પરસ્પર સરળ.

જો, તો પછી , એટલે કે m 2 = 2n 2. તેથી, સંખ્યા m 2 બે સમાન છે, પરંતુ બેનું ઉત્પાદન વિષમ સંખ્યાઓવિચિત્ર, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા પોતે mપણ. તેથી કુદરતી સંખ્યા છે k, જેમ કે સંખ્યા mફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે m = 2k. નંબર ચોરસ mઆ અર્થમાં m 2 = 4k 2, પરંતુ બીજી બાજુ m 2 = 2n 2 એટલે 4 k 2 = 2n 2, અથવા n 2 = 2k 2. નંબર માટે અગાઉ બતાવ્યા પ્રમાણે m, આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા n- તરીકે પણ m. પરંતુ પછી તેઓ પ્રમાણમાં પ્રાઇમ નથી, કારણ કે બંને દ્વિભાજિત છે. પરિણામી વિરોધાભાસ સાબિત કરે છે કે તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી.