ચાલો વિશે વાત કરવાનું ચાલુ રાખીએ સમીકરણો ઉકેલવા. આ લેખમાં આપણે તેના વિશે વિગતવાર જઈશું તર્કસંગત સમીકરણોઅને ઉકેલના સિદ્ધાંતો તર્કસંગત સમીકરણોએક ચલ સાથે. પ્રથમ, ચાલો જોઈએ કે કયા પ્રકારના સમીકરણોને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે, સંપૂર્ણ તર્કસંગત અને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોની વ્યાખ્યા આપીએ અને ઉદાહરણો આપો. આગળ આપણે તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ મેળવીશું, અને, અલબત્ત, ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈશું. લાક્ષણિક ઉદાહરણોતમામ જરૂરી સ્પષ્ટતાઓ સાથે.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
જણાવેલ વ્યાખ્યાઓના આધારે, અમે તર્કસંગત સમીકરણોના ઘણા ઉદાહરણો આપીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , એ બધા તર્કસંગત સમીકરણો છે.
બતાવેલ ઉદાહરણો પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે તર્કસંગત સમીકરણો, તેમજ અન્ય પ્રકારના સમીકરણો, એક ચલ સાથે, અથવા બે, ત્રણ, વગેરે સાથે હોઈ શકે છે. ચલો નીચેના ફકરાઓમાં આપણે એક ચલ વડે તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું. બે ચલોમાં સમીકરણો ઉકેલવાઅને તેમને મોટી સંખ્યામાંખાસ ધ્યાન લાયક.
તર્કસંગત સમીકરણોને અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવા ઉપરાંત, તેઓ પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકમાં પણ વિભાજિત થાય છે. ચાલો અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓ આપીએ.
વ્યાખ્યા.
તર્કસંગત સમીકરણ કહેવાય છે સમગ્ર, જો તેની ડાબી અને જમણી બાજુ બંને પૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો છે.
વ્યાખ્યા.
જો તર્કસંગત સમીકરણનો ઓછામાં ઓછો એક ભાગ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ હોય, તો આવા સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત(અથવા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત).
તે સ્પષ્ટ છે કે સમગ્ર સમીકરણોમાં ચલ દ્વારા વિભાજન નથી હોતું, તેનાથી વિપરિત, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોમાં આવશ્યકપણે ચલ (અથવા છેદમાં ચલ) દ્વારા વિભાજન હોય છે. તેથી 3 x+2=0 અને (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- આ સંપૂર્ણ તર્કસંગત સમીકરણો છે, તેમના બંને ભાગો સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ છે. A અને x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 એ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોના ઉદાહરણો છે.
આ બિંદુને સમાપ્ત કરીને, ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ બિંદુ સુધી જાણીતા રેખીય સમીકરણો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો સંપૂર્ણ તર્કસંગત સમીકરણો છે.
સમગ્ર સમીકરણો ઉકેલવા
સમગ્ર સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના મુખ્ય અભિગમોમાંનો એક એ છે કે તેમને સમકક્ષ સુધી ઘટાડવું બીજગણિતીય સમીકરણો. આ હંમેશા સમીકરણના નીચેના સમકક્ષ રૂપાંતરણો કરીને કરી શકાય છે:
- પ્રથમ, મૂળ પૂર્ણાંક સમીકરણની જમણી બાજુથી અભિવ્યક્તિ સ્થાનાંતરિત થાય છે ડાબી બાજુસાથે વિરોધી ચિહ્નજમણી બાજુ પર શૂન્ય મેળવવા માટે;
- આ પછી, પરિણામી સમીકરણની ડાબી બાજુએ પ્રમાણભૂત દૃશ્ય.
પરિણામ છે બીજગણિતીય સમીકરણ, જે મૂળ પૂર્ણાંક સમીકરણની સમકક્ષ છે. તેથી સૌથી વધુ સરળ કિસ્સાઓસમગ્ર સમીકરણો ઉકેલવાથી રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવામાં ઘટાડો થાય છે, અને માં સામાન્ય કેસ– ડિગ્રી n નું બીજગણિતીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ઉદાહરણનો ઉકેલ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
સમગ્ર સમીકરણના મૂળ શોધો 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
ઉકેલ.
ચાલો આ સમગ્ર સમીકરણના ઉકેલને સમકક્ષ બીજગણિત સમીકરણના ઉકેલ સુધી ઘટાડીએ. આ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, આપણે અભિવ્યક્તિને જમણી બાજુથી ડાબી તરફ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, પરિણામે આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. અને, બીજું, અમે જરૂરી પૂર્ણ કરીને ડાબી બાજુએ રચાયેલી અભિવ્યક્તિને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ બહુપદીમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. આમ, મૂળ પૂર્ણાંક સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડો થાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 −5 x−6=0 .
અમે તેના ભેદભાવની ગણતરી કરીએ છીએ D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, તે હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણમાં બે વાસ્તવિક મૂળ છે, જે આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
સંપૂર્ણપણે ખાતરી કરવા માટે, ચાલો તે કરીએ સમીકરણના મળેલા મૂળને તપાસી રહ્યા છીએ. પહેલા આપણે રૂટ 6 તપાસીએ, મૂળ પૂર્ણાંક સમીકરણમાં ચલ x ને બદલે તેને બદલીએ: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6-1)−3, જે સમાન છે, 63=63. આ એક માન્ય સંખ્યાત્મક સમીકરણ છે, તેથી x=6 એ ખરેખર સમીકરણનું મૂળ છે. હવે આપણે રૂટ −1 તપાસીએ છીએ, આપણી પાસે છે 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, જ્યાંથી, 0=0 . x=−1 પર મૂળ સમીકરણસાચા આંકડાકીય સમાનતામાં પણ ફેરવાય છે, તેથી x=−1 એ સમીકરણનું મૂળ પણ છે.
જવાબ:
6 , −1 .
અહીં એ પણ નોંધવું જોઈએ કે "સંપૂર્ણ સમીકરણની ડિગ્રી" શબ્દ બીજગણિત સમીકરણના રૂપમાં સમગ્ર સમીકરણની રજૂઆત સાથે સંકળાયેલ છે. ચાલો અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપીએ:
વ્યાખ્યા.
સમગ્ર સમીકરણની શક્તિસમકક્ષ બીજગણિતીય સમીકરણની ડિગ્રી કહેવાય છે.
આ વ્યાખ્યા મુજબ, અગાઉના ઉદાહરણમાંથી સમગ્ર સમીકરણમાં બીજી ડિગ્રી છે.
આ સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવાનો અંત હોઈ શકે છે, જો એક વસ્તુ માટે નહીં…. જેમ જાણીતું છે, બીજા કરતા વધુ ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા એ નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલ છે, અને ચોથા કરતા વધુ ડિગ્રીના સમીકરણો માટે કોઈ નથી. સામાન્ય સૂત્રોમૂળ તેથી, ત્રીજા, ચોથા અને વધુના સમગ્ર સમીકરણો ઉકેલવા ઉચ્ચ ડિગ્રીઘણીવાર તમારે અન્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓનો આશરો લેવો પડે છે.
આવા કિસ્સાઓમાં, પર આધારિત સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટેનો અભિગમ ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ. આ કિસ્સામાં, નીચેના અલ્ગોરિધમનો પાલન કરવામાં આવે છે:
- પ્રથમ, તેઓ ખાતરી કરે છે કે સમીકરણની જમણી બાજુએ શૂન્ય છે આ કરવા માટે, તેઓ અભિવ્યક્તિને સમગ્ર સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી તરફ સ્થાનાંતરિત કરે છે;
- પછી, ડાબી બાજુએ પરિણામી અભિવ્યક્તિ ઘણા પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જે આપણને ઘણા સરળ સમીકરણોના સમૂહ તરફ આગળ વધવા દે છે.
ફેક્ટરાઇઝેશન દ્વારા સમગ્ર સમીકરણને ઉકેલવા માટે આપેલ અલ્ગોરિધમને ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને વિગતવાર સમજૂતીની જરૂર છે.
ઉદાહરણ.
આખું સમીકરણ ઉકેલો (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
ઉકેલ.
પ્રથમ, હંમેશની જેમ, અમે અભિવ્યક્તિને સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલશો નહીં, અમને મળે છે (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . અહીં તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે પરિણામી સમીકરણની ડાબી બાજુને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીમાં રૂપાંતરિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવતી નથી, કારણ કે આ ફોર્મની ચોથી ડિગ્રીનું બીજગણિતીય સમીકરણ આપશે. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, જેનો ઉકેલ મુશ્કેલ છે.
બીજી તરફ, તે સ્પષ્ટ છે કે પરિણામી સમીકરણની ડાબી બાજુએ આપણે x 2 −10 x+13 કરી શકીએ છીએ, ત્યાંથી તેને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. પરિણામી સમીકરણ મૂળ સમગ્ર સમીકરણની સમકક્ષ છે, અને તે બદલામાં, બે ચતુર્ભુજ સમીકરણોના સમૂહ દ્વારા બદલી શકાય છે x 2 −10·x+13=0 અને x 2 −2·x−1=0. દ્વારા તેમના મૂળ શોધવા જાણીતા સૂત્રોભેદભાવ દ્વારા મૂળ મુશ્કેલ નથી, મૂળ સમાન છે. તેઓ મૂળ સમીકરણના ઇચ્છિત મૂળ છે.
જવાબ:
સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે પણ ઉપયોગી નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે તમને એવા સમીકરણો પર જવા દે છે કે જેની ડિગ્રી મૂળ સમગ્ર સમીકરણની ડિગ્રી કરતા ઓછી હોય.
ઉદાહરણ.
તર્કસંગત સમીકરણના વાસ્તવિક મૂળ શોધો (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
ઉકેલ.
આ સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણને બીજગણિત સમીકરણમાં ઘટાડવું, તેને હળવાશથી કહીએ તો, બહુ સારો વિચાર નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં આપણે ચોથા-અંતરના સમીકરણને હલ કરવાની જરૂરિયાત પર આવીશું જે નથી તર્કસંગત મૂળ. તેથી, તમારે બીજો ઉકેલ શોધવો પડશે.
અહીં તે જોવાનું સરળ છે કે તમે એક નવું ચલ y દાખલ કરી શકો છો અને તેની સાથે x 2 +3·x એક્સપ્રેશન બદલી શકો છો. આ ફેરબદલી આપણને સમગ્ર સમીકરણ (y+1) 2 +10=−2·(y−4) તરફ દોરી જાય છે, જે અભિવ્યક્તિ −2·(y−4) ને ડાબી બાજુ ખસેડ્યા પછી અને પછી અભિવ્યક્તિના રૂપાંતર તરફ દોરી જાય છે. ત્યાં રચાય છે, તેને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ y 2 +4·y+3=0 સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. આ સમીકરણ y=−1 અને y=−3ના મૂળ શોધવા માટે સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ વિયેટાના પ્રમેયના પ્રમેયના વિપરીતના આધારે પસંદ કરી શકાય છે.
હવે આપણે નવા વેરીએબલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિના બીજા ભાગમાં, એટલે કે, રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરવા માટે આગળ વધીએ છીએ. વિપરીત અવેજીકરણ કર્યા પછી, અમે બે સમીકરણો x 2 +3 x=−1 અને x 2 +3 x=−3 મેળવીએ છીએ, જેને x 2 +3 x+1=0 અને x 2 +3 x+3 તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. =0. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રથમ સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ. અને બીજા ચતુર્ભુજ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, કારણ કે તેનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
જવાબ:
સામાન્ય રીતે, જ્યારે આપણે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમગ્ર સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે હંમેશા શોધવા માટે તૈયાર રહેવું જોઈએ બિન-માનક પદ્ધતિઅથવા તેમને હલ કરવાની કૃત્રિમ પદ્ધતિ.
અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા
પ્રથમ, ફોર્મના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા તે સમજવા માટે ઉપયોગી થશે, જ્યાં p(x) અને q(x) પૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો છે. અને પછી આપણે બતાવીશું કે અન્ય અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોના ઉકેલને સૂચવેલ પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલમાં કેવી રીતે ઘટાડવું.
સમીકરણ ઉકેલવા માટેના એક અભિગમ પર આધારિત છે આગામી નિવેદન: સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક u/v , જ્યાં v એ બિન-શૂન્ય સંખ્યા છે (અન્યથા આપણે સામનો કરીશું, જે અવ્યાખ્યાયિત છે), શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો તેનો અંશ શૂન્ય બરાબર, એટલે કે, જો અને માત્ર જો u=0. આ વિધાનના આધારે, સમીકરણ હલ કરવાથી બે શરતો p(x)=0 અને q(x)≠0 પરિપૂર્ણ થાય છે.
આ નિષ્કર્ષ નીચેનાને અનુરૂપ છે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ. ફોર્મના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તમારે જરૂર છે
- સમગ્ર તર્કસંગત સમીકરણ p(x)=0 ઉકેલો;
- અને તપાસો કે શું દરેક મૂળ માટે q(x)≠0 શરત સંતુષ્ટ છે, જ્યારે
- જો સાચું હોય, તો આ મૂળ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે;
- જો તે સંતુષ્ટ ન હોય, તો આ મૂળ બાહ્ય છે, એટલે કે, તે મૂળ સમીકરણનું મૂળ નથી.
ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલતી વખતે જાહેર કરેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
સમીકરણના મૂળ શોધો.
ઉકેલ.
આ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ છે, અને સ્વરૂપનું, જ્યાં p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
આ પ્રકારના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમ મુજબ, આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણ 3 x−2=0 હલ કરવાની જરૂર છે. આ રેખીય સમીકરણ, જેનું મૂળ x=2/3 છે.
તે આ રુટ માટે તપાસવાનું બાકી છે, એટલે કે, તે 5 x 2 −2≠0 સ્થિતિને સંતોષે છે કે કેમ તે તપાસો. આપણે x ને બદલે 5 x 2 −2 અભિવ્યક્તિમાં નંબર 2/3 ને બદલીએ છીએ, અને આપણને મળે છે. શરત પૂરી થઈ છે, તેથી x=2/3 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.
જવાબ:
2/3 .
તમે થોડી અલગ સ્થિતિમાંથી અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટે સંપર્ક કરી શકો છો. આ સમીકરણ મૂળ સમીકરણના ચલ x પર પૂર્ણાંક સમીકરણ p(x)=0 ની સમકક્ષ છે. એટલે કે, તમે આને વળગી શકો છો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ :
- સમીકરણ p(x)=0 ઉકેલો;
- ચલ x નું ODZ શોધો;
- વિસ્તાર સાથે જોડાયેલા મૂળ લો સ્વીકાર્ય મૂલ્યો, - તે મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના ઇચ્છિત મૂળ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલીએ.
ઉદાહરણ.
સમીકરણ ઉકેલો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 −2·x−11=0 હલ કરીએ છીએ. તેના મૂળની ગણતરી બીજા ગુણાંક માટેના મૂળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, અમારી પાસે છે ડી 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, અને .
બીજું, આપણે મૂળ સમીકરણ માટે x ચલનો ODZ શોધીએ છીએ. તે તમામ સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે જેના માટે x 2 +3·x≠0, જે x·(x+3)≠0 સમાન છે, જ્યાંથી x≠0, x≠−3 છે.
તે તપાસવાનું બાકી છે કે પ્રથમ પગલામાં મળેલા મૂળ ODZ માં શામેલ છે કે કેમ. દેખીતી રીતે હા. તેથી, મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.
જવાબ:
નોંધ કરો કે આ અભિગમ પ્રથમ કરતાં વધુ નફાકારક છે જો ODZ શોધવામાં સરળ હોય, અને તે ખાસ કરીને ફાયદાકારક છે જો સમીકરણ p(x) = 0 ના મૂળ અતાર્કિક હોય, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા તર્કસંગત, પરંતુ તેના બદલે મોટા અંશ સાથે અને /અથવા છેદ, ઉદાહરણ તરીકે, 127/1101 અને −31/59. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આવા કિસ્સાઓમાં, સ્થિતિ q(x)≠0 તપાસવા માટે નોંધપાત્ર કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયત્નોની જરૂર પડશે, અને ODZ નો ઉપયોગ કરીને બાહ્ય મૂળને બાકાત રાખવું વધુ સરળ છે.
અન્ય કિસ્સાઓમાં, સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, ખાસ કરીને જ્યારે સમીકરણ p(x) = 0 ના મૂળ પૂર્ણાંકો હોય, ત્યારે આપેલ અલ્ગોરિધમ્સમાંથી પ્રથમનો ઉપયોગ કરવો વધુ નફાકારક છે. એટલે કે, તરત જ સમગ્ર સમીકરણ p(x)=0 ના મૂળ શોધવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, અને પછી ODZ શોધવાને બદલે q(x)≠0 સ્થિતિ તેમના માટે સંતુષ્ટ છે કે કેમ તે તપાસો અને પછી સમીકરણ ઉકેલો. p(x)=0 આ ODZ પર. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આવા કિસ્સાઓમાં સામાન્ય રીતે ડીઝેડ શોધવા કરતાં તપાસવું સરળ હોય છે.
ચાલો ઉલ્લેખિત ઘોંઘાટને સમજાવવા માટે બે ઉદાહરણોના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ.
સમીકરણના મૂળ શોધો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, ચાલો સમગ્ર સમીકરણના મૂળ શોધીએ (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, અપૂર્ણાંકના અંશનો ઉપયોગ કરીને બનેલું. આ સમીકરણની ડાબી બાજુ ઉત્પાદન છે, અને જમણી બાજુ શૂન્ય છે, તેથી, સમીકરણો દ્વારા સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ અનુસાર, આ સમીકરણ ચાર સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . આમાંના ત્રણ સમીકરણો રેખીય છે અને એક ચતુર્ભુજ છે. પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ x=1/2, બીજામાંથી - x=6, ત્રીજામાંથી - x=7, x=−2, ચોથામાંથી - x=−1.
મૂળ મળી આવતાં, મૂળ સમીકરણની ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકનો છેદ અદૃશ્ય થઈ જાય છે કે કેમ તે તપાસવું એકદમ સરળ છે, પરંતુ તેનાથી વિપરિત, ODZ નક્કી કરવું એટલું સરળ નથી, કારણ કે આ માટે તમારે સમસ્યા હલ કરવી પડશે. પાંચમી ડિગ્રીનું બીજગણિત સમીકરણ. તેથી, અમે મૂળને તપાસવાની તરફેણમાં ODZ શોધવાનું છોડી દઈશું. આ કરવા માટે, અમે એક્સપ્રેશનમાં ચલ x ને બદલે એક પછી એક બદલીએ છીએ x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, અવેજી પછી મેળવો, અને તેમની સરખામણી શૂન્ય સાથે કરો: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
આમ, 1/2, 6 અને −2 એ મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના ઇચ્છિત મૂળ છે, અને 7 અને −1 એ બાહ્ય મૂળ છે.
જવાબ:
1/2 , 6 , −2 .
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ શોધો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, ચાલો સમીકરણના મૂળ શોધીએ (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. આ સમીકરણ બે સમીકરણોના સમૂહને સમકક્ષ છે: વર્ગ 5 x 2 −7 x−1=0 અને રેખીય x−2=0. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બે મૂળ શોધીએ છીએ, અને બીજા સમીકરણમાંથી આપણી પાસે x=2 છે.
x ના મળેલા મૂલ્યો પર છેદ શૂન્ય પર જાય છે કે કેમ તે તપાસવું તદ્દન અપ્રિય છે. અને મૂળ સમીકરણમાં x ચલના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરવી એકદમ સરળ છે. તેથી, અમે ODZ દ્વારા કાર્ય કરીશું.
અમારા કિસ્સામાં, મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના ચલ xના ODZમાં તમામ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે સિવાય કે જેના માટે x 2 +5·x−14=0 શરત સંતોષાય છે. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે x=−7 અને x=2, જેમાંથી આપણે ODZ વિશે નિષ્કર્ષ દોરીએ છીએ: તેમાં બધા xનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે.
તે ચકાસવાનું બાકી છે કે શું મળેલા મૂળ અને x=2 સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે સંબંધિત છે. મૂળો સંબંધિત છે, તેથી, તે મૂળ સમીકરણના મૂળ છે, અને x=2 સંબંધિત નથી, તેથી, તે બાહ્ય મૂળ છે.
જવાબ:
જ્યારે ફોર્મના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણમાં અંશમાં સંખ્યા હોય છે, એટલે કે જ્યારે p(x) અમુક સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે ત્યારે તે કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા માટે પણ ઉપયોગી થશે. તે જ સમયે
- જો આ સંખ્યા બિન-શૂન્ય છે, તો સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે અપૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર છે જો અને માત્ર જો તેનો અંશ શૂન્ય સમાન હોય;
- જો આ સંખ્યા શૂન્ય છે, તો સમીકરણનું મૂળ ODZ માંથી કોઈપણ સંખ્યા છે.
ઉદાહરણ.
ઉકેલ.
સમીકરણની ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકના અંશમાં બિન-શૂન્ય સંખ્યા હોવાથી, કોઈપણ x માટે આ અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતું નથી. આથી, આપેલ સમીકરણકોઈ મૂળ નથી.
જવાબ:
કોઈ મૂળ નથી.
ઉદાહરણ.
સમીકરણ ઉકેલો.
ઉકેલ.
આ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણની ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકનો અંશ શૂન્ય ધરાવે છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય કોઈપણ x માટે શૂન્ય છે જેના માટે તે અર્થપૂર્ણ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સમીકરણનો ઉકેલ એ આ ચલના ODZ માંથી x ની કોઈપણ કિંમત છે.
સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની આ શ્રેણી નક્કી કરવાનું બાકી છે. તેમાં x ના તમામ મૂલ્યો શામેલ છે જેના માટે x 4 +5 x 3 ≠0 છે. સમીકરણ x 4 +5 x 3 =0 ના ઉકેલો 0 અને −5 છે, કારણ કે આ સમીકરણ સમીકરણ x 3 (x+5)=0 સમકક્ષ છે, અને તે બદલામાં બે સમીકરણ x ના સંયોજનને સમકક્ષ છે. 3 =0 અને x +5=0, જ્યાંથી આ મૂળ દેખાય છે. તેથી, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની ઇચ્છિત શ્રેણી x=0 અને x=−5 સિવાય કોઈપણ x છે.
આમ, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, જે શૂન્ય અને ઓછા પાંચ સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા છે.
જવાબ:
અંતે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા વિશે વાત કરવાનો સમય છે મનસ્વી પ્રકાર. તેઓને r(x)=s(x) તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં r(x) અને s(x) તર્કસંગત સમીકરણો છે અને તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અપૂર્ણાંક છે. આગળ જોતા, ચાલો કહીએ કે તેમનો ઉકેલ આપણને પહેલાથી જ પરિચિત સ્વરૂપના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે.
તે જાણીતું છે કે સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં વિપરીત ચિહ્ન સાથે પદનું સ્થાનાંતરણ સમકક્ષ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે, તેથી સમીકરણ r(x)=s(x) એ સમીકરણ r(x)−s(x) ની સમકક્ષ છે. )=0.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે કોઈપણ , સમાન રીતે આ અભિવ્યક્તિની સમાન, શક્ય છે. આમ, તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ r(x)−s(x)=0 સમીકરણની ડાબી બાજુએ આપણે હંમેશા તેને ફોર્મના સમાન સમાન તર્કસંગત અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી આપણે મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ r(x)=s(x) થી સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ, અને તેનો ઉકેલ, જેમ આપણે ઉપર શોધી કાઢ્યું છે, તે સમીકરણ p(x)=0 ઉકેલવા માટે ઘટે છે.
પરંતુ અહીં એ હકીકત ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે કે જ્યારે r(x)−s(x)=0 ને , અને પછી p(x)=0 સાથે બદલીએ ત્યારે ચલ xના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી વિસ્તરી શકે છે. .
પરિણામે, મૂળ સમીકરણ r(x)=s(x) અને સમીકરણ p(x)=0 કે જેના પર આપણે આવ્યા છીએ તે અસમાન હોઈ શકે છે, અને સમીકરણ p(x)=0 હલ કરીને આપણે મૂળ મેળવી શકીએ છીએ. જે મૂળ સમીકરણ r(x)=s(x) ના બાહ્ય મૂળ હશે. તમે તપાસ કરીને અથવા તે મૂળ સમીકરણના ODZ સાથે સંબંધિત છે કે કેમ તે ચકાસીને જવાબમાં બાહ્ય મૂળને ઓળખી શકો છો અને તેનો સમાવેશ કરી શકતા નથી.
ચાલો આ માહિતીનો સારાંશ આપીએ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ r(x)=s(x) ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ r(x)=s(x) ઉકેલવા માટે, તમારે જરૂર છે
- વિરોધી ચિહ્ન સાથે જમણી બાજુથી અભિવ્યક્તિને ખસેડીને જમણી બાજુ શૂન્ય મેળવો.
- સમીકરણની ડાબી બાજુએ અપૂર્ણાંકો અને બહુપદીઓ સાથે કામગીરી કરો, ત્યાંથી તેને ફોર્મના તર્કસંગત અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
- સમીકરણ p(x)=0 ઉકેલો.
- બાહ્ય મૂળને ઓળખો અને દૂર કરો, જે તેમને મૂળ સમીકરણમાં બદલીને અથવા મૂળ સમીકરણના ODZ સાથે સંબંધિત છે તે ચકાસીને કરવામાં આવે છે.
વધુ સ્પષ્ટતા માટે, અમે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવાની સમગ્ર સાંકળ બતાવીશું:
.
આપેલ માહિતીના બ્લોકને સ્પષ્ટ કરવા માટે સોલ્યુશન પ્રક્રિયાના વિગતવાર સમજૂતી સાથે કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલો.
ઉકેલ.
અમે હમણાં જ મેળવેલ સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અનુસાર કાર્ય કરીશું. અને પ્રથમ આપણે સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી બાજુએ શરતોને ખસેડીએ છીએ, પરિણામે આપણે સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ.
બીજા પગલામાં, આપણે પરિણામી સમીકરણની ડાબી બાજુએ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે કાસ્ટ કરીએ છીએ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકસામાન્ય છેદ માટે અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: . તેથી આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ.
આગળના પગલામાં, આપણે સમીકરણ −2·x−1=0 હલ કરવાની જરૂર છે. આપણે x=−1/2 શોધીએ છીએ.
મળેલ સંખ્યા −1/2 છે કે કેમ તે તપાસવાનું બાકી છે બાહ્ય મૂળમૂળ સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમે મૂળ સમીકરણના x ચલનો VA ચકાસી શકો છો અથવા શોધી શકો છો. ચાલો બંને અભિગમો દર્શાવીએ.
ચાલો ચકાસણી સાથે પ્રારંભ કરીએ. આપણે ચલ x ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં નંબર −1/2 બદલીએ છીએ, અને આપણને તે જ વસ્તુ મળે છે, −1=−1. અવેજી સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા આપે છે, તેથી x=−1/2 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.
હવે આપણે બતાવીશું કે અલ્ગોરિધમનો છેલ્લો બિંદુ ODZ દ્વારા કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. મૂળ સમીકરણના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી એ −1 અને 0 સિવાયની તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (x=−1 અને x=0 પર અપૂર્ણાંકના છેદ અદૃશ્ય થઈ જાય છે). અગાઉના પગલામાં મળેલ રુટ x=−1/2 ODZ નું છે, તેથી, x=−1/2 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.
જવાબ:
−1/2 .
ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
સમીકરણના મૂળ શોધો.
ઉકેલ.
આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર છે, ચાલો એલ્ગોરિધમના તમામ પગલાઓમાંથી પસાર થઈએ.
પ્રથમ, આપણે શબ્દને જમણી બાજુથી ડાબી તરફ ખસેડીએ છીએ, આપણને મળે છે.
બીજું, અમે ડાબી બાજુએ રચાયેલી અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: . પરિણામે, આપણે સમીકરણ x=0 પર પહોંચીએ છીએ.
તેનું મૂળ સ્પષ્ટ છે - તે શૂન્ય છે.
ચોથા પગલા પર, તે શોધવાનું બાકી છે કે શું મળેલું મૂળ મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ માટે બહારનું છે. જ્યારે તેને મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે. દેખીતી રીતે, તે અર્થમાં નથી કારણ કે તે શૂન્ય દ્વારા વિભાજન ધરાવે છે. જ્યાંથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે 0 એ બાહ્ય મૂળ છે. તેથી, મૂળ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.
7, જે Eq તરફ દોરી જાય છે. આના પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે ડાબી બાજુના છેદમાં અભિવ્યક્તિ જમણી બાજુની સમાન હોવી જોઈએ, એટલે કે, . હવે આપણે ત્રિવિધની બંને બાજુઓમાંથી બાદ કરીએ છીએ: . સાદ્રશ્ય દ્વારા, ક્યાંથી, અને આગળ.
તપાસ દર્શાવે છે કે જે બંને મૂળ મળ્યા છે તે મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ છે.
જવાબ:
સંદર્ભો.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. બપોરે 2 વાગ્યે ભાગ 1. વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
- બીજગણિત: 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2009. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-021134-5.
છેદમાં ચલ ધરાવતા સમીકરણો બે રીતે ઉકેલી શકાય છે:
અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને
પ્રમાણની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ
પસંદ કરેલી પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સમીકરણના મૂળ શોધ્યા પછી, મળેલા માન્ય મૂલ્યોમાંથી પસંદ કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, જે છેદને $0$માં ફેરવતા નથી.
1 રસ્તો. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.
ઉદાહરણ 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
ઉકેલ:
1. ચાલો સમીકરણની જમણી બાજુથી અપૂર્ણાંકને ડાબી તરફ સ્થાનાંતરિત કરીએ
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
આને યોગ્ય રીતે કરવા માટે, યાદ રાખો કે ઘટકોને સમીકરણના બીજા ભાગમાં ખસેડતી વખતે, અભિવ્યક્તિઓની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો જમણી બાજુએ અપૂર્ણાંકની સામે "+" ચિહ્ન હશે, તો તેની સામે ડાબી બાજુએ "-" ચિહ્ન હશે અપૂર્ણાંક
2. હવે નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંકમાં વિવિધ છેદ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તફાવત બનાવવા માટે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવવા જરૂરી છે. સામાન્ય છેદ એ મૂળ અપૂર્ણાંકોના છેદમાં બહુપદીનું ઉત્પાદન હશે: $(2x-1)(x+3)$
પ્રાપ્ત કરવા માટે સમાન અભિવ્યક્તિ, પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને બહુપદી $(x+3)$ દ્વારા અને બીજાને બહુપદી $(2x-1)$ વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ.
\[\frac((2x+3)(x+3))(2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
ચાલો પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાં પરિવર્તન કરીએ - બહુપદીનો ગુણાકાર કરીએ. યાદ કરો કે આ માટે તમારે પ્રથમ બહુપદીના પ્રથમ પદને બીજા બહુપદીના પ્રત્યેક પદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, પછી પ્રથમ બહુપદીના બીજા પદને બીજા બહુપદીના દરેક પદ વડે ગુણાકાર કરો અને પરિણામો ઉમેરો.
\[\left(2x+3\જમણે)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
ચાલો આપીએ સમાન શરતોપરિણામી અભિવ્યક્તિમાં
\[\left(2x+3\જમણે)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
ચાલો બીજા અપૂર્ણાંકના અંશમાં સમાન પરિવર્તન કરીએ - બહુપદીનો ગુણાકાર કરીએ
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$
પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
હવે સાથે અપૂર્ણાંક સમાન છેદ, જેનો અર્થ છે કે તમે બાદબાકી કરી શકો છો. યાદ કરો કે જ્યારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી સમાન છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને બાદ કરો, ત્યારે તમારે બીજા અપૂર્ણાંકના અંશને બાદબાકી કરવી પડશે, છેદને સમાન છોડીને.
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))(2x-1)(x+3))=0\]
ચાલો અભિવ્યક્તિને અંશમાં રૂપાંતરિત કરીએ. "-" ચિહ્નની આગળના કૌંસને ખોલવા માટે, તમારે કૌંસમાં શરતોની સામેના તમામ ચિહ્નોને વિરુદ્ધમાં બદલવાની જરૂર છે.
\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
ચાલો સમાન શરતો રજૂ કરીએ
$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
પછી અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ લેશે
\[\frac((\rm 20x+4))(2x-1)(x+3))=0\]
3. અપૂર્ણાંક $0$ બરાબર છે જો તેનો અંશ 0 છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકના અંશને $0$ સાથે સરખાવીએ છીએ.
\[(\rm 20х+4=0)\]
ચાલો રેખીય સમીકરણ હલ કરીએ:
4. ચાલો મૂળના નમૂના લઈએ. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે મૂળ મળી આવે ત્યારે મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદ $0$ તરફ વળે છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે.
ચાલો શરત સેટ કરીએ કે છેદ $0$ ની બરાબર નથી
x$\ne 0.5$ x$\ne -3$
આનો અર્થ એ છે કે $-3$ અને $0.5$ સિવાય તમામ ચલ મૂલ્યો સ્વીકાર્ય છે.
અમને મળેલ રુટ સ્વીકાર્ય મૂલ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે તેને સુરક્ષિત રીતે સમીકરણનું મૂળ ગણી શકાય. જો મળેલ રુટ માન્ય મૂલ્ય ન હોત, તો આવા રુટ બાહ્ય હશે અને, અલબત્ત, પ્રતિસાદમાં શામેલ કરવામાં આવશે નહીં.
જવાબ:$-0,2.$
હવે આપણે એવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ બનાવી શકીએ જે છેદમાં ચલ ધરાવે છે.
એક સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ જેમાં છેદમાં ચલ હોય છે
બધા ઘટકોને સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી તરફ ખસેડો. પ્રાપ્ત કરવા માટે સમાન સમીકરણજમણી બાજુના અભિવ્યક્તિઓની પહેલાના તમામ ચિહ્નોને વિરુદ્ધમાં બદલવું જરૂરી છે
જો ડાબી બાજુએ આપણને અભિવ્યક્તિ મળે છે વિવિધ છેદ, પછી અમે અપૂર્ણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને તેમને સામાન્ય મૂલ્યમાં લાવીએ છીએ. નો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તનો કરો ઓળખ પરિવર્તનઅને $0$ ની બરાબર અંતિમ અપૂર્ણાંક મેળવો.
અંશને $0$ સાથે સરખાવો અને પરિણામી સમીકરણના મૂળ શોધો.
ચાલો મૂળના નમૂના લઈએ, એટલે કે. ચલોના માન્ય મૂલ્યો શોધો જે છેદ $0$ બનાવતા નથી.
પદ્ધતિ 2. અમે પ્રમાણની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ
પ્રમાણની મુખ્ય મિલકત એ છે કે પ્રમાણની આત્યંતિક શરતોનું ઉત્પાદન મધ્યમ શરતોના ઉત્પાદન જેટલું છે.
ઉદાહરણ 2
અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ આ મિલકતઆ કાર્ય ઉકેલવા માટે
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. ચાલો પ્રમાણના આત્યંતિક અને મધ્યમ પદોના ઉત્પાદનને શોધીએ અને તેની સમાનતા કરીએ.
$\left(2x+3\જમણે)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
પરિણામી સમીકરણ હલ કર્યા પછી, આપણે મૂળના મૂળ શોધીશું
2. ચાલો ચલના સ્વીકાર્ય મૂલ્યો શોધીએ.
અગાઉના સોલ્યુશન (પદ્ધતિ 1) થી આપણે પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે કે $-3$ અને $0.5$ સિવાય કોઈપણ મૂલ્યો સ્વીકાર્ય છે.
પછી, સ્થાપિત કરેલ રૂટ એ માન્ય મૂલ્ય છે, અમને જાણવા મળ્યું કે $-0.2$ એ રૂટ હશે.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
અપૂર્ણાંક સાથે સમીકરણો ઉકેલવાચાલો ઉદાહરણો જોઈએ. ઉદાહરણો સરળ અને દૃષ્ટાંતરૂપ છે. તેમની સહાયથી, તમે સૌથી વધુ સમજી શકાય તેવી રીતે સમજી શકશો.
ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સરળ સમીકરણ x/b + c = d હલ કરવાની જરૂર છે.
આ પ્રકારના સમીકરણને રેખીય કહેવામાં આવે છે, કારણ કે છેદ માત્ર સંખ્યાઓ ધરાવે છે.
ઉકેલ સમીકરણની બંને બાજુઓને b વડે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે, પછી સમીકરણ x = b*(d – c) સ્વરૂપ લે છે, એટલે કે. ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકનો છેદ રદ થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, કેવી રીતે ઉકેલવું અપૂર્ણાંક સમીકરણ:
x/5+4=9
અમે બંને બાજુઓને 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે:
x+20=45
x=45-20=25
અન્ય ઉદાહરણ જ્યારે અજ્ઞાત છેદમાં છે:
આ પ્રકારના સમીકરણોને અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત અથવા ફક્ત અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
આપણે અપૂર્ણાંકમાંથી છૂટકારો મેળવીને અપૂર્ણાંક સમીકરણ ઉકેલીશું, જે પછી આ સમીકરણ, મોટાભાગે, રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં ફેરવાય છે, જે સામાન્ય રીતે ઉકેલાય છે. તમારે ફક્ત નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે:
- ચલનું મૂલ્ય જે છેદને 0 માં ફેરવે છે તે રુટ હોઈ શકતું નથી;
- તમે સમીકરણ =0 દ્વારા ભાગાકાર અથવા ગુણાકાર કરી શકતા નથી.
આ તે છે જ્યાં અનુમતિશીલ મૂલ્યોના પ્રદેશની વિભાવના અમલમાં આવે છે - આ સમીકરણના મૂળના મૂલ્યો છે જેના માટે સમીકરણ અર્થપૂર્ણ છે.
આમ, સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, મૂળ શોધવાનું જરૂરી છે, અને પછી તેમને ODZ સાથે પાલન માટે તપાસો. તે મૂળ કે જે આપણા ODZ ને અનુરૂપ નથી તે જવાબમાંથી બાકાત રાખવામાં આવ્યા છે.
ઉદાહરણ તરીકે, તમારે અપૂર્ણાંક સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે:
ઉપરોક્ત નિયમના આધારે, x = 0 ન હોઈ શકે, એટલે કે. માં ODZ આ કિસ્સામાં: x - શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ કિંમત.
સમીકરણના તમામ પદોને x વડે ગુણાકાર કરીને આપણે છેદથી છુટકારો મેળવીએ છીએ
અને આપણે સામાન્ય સમીકરણ હલ કરીએ છીએ
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
જવાબ: x = 1/3
ચાલો વધુ જટિલ સમીકરણ હલ કરીએ:
ODZ અહીં પણ હાજર છે: x -2.
આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, આપણે દરેક વસ્તુને એક બાજુએ ખસેડીશું નહીં અને અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ. અમે તરત જ સમીકરણની બંને બાજુઓને એક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીશું જે એક જ સમયે તમામ છેદને રદ કરશે.
છેદ ઘટાડવા માટે, તમારે ડાબી બાજુને x+2 વડે અને જમણી બાજુને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણની બંને બાજુઓને 2(x+2) વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
આ સૌથી વધુ છે સામાન્ય ગુણાકારઅપૂર્ણાંક, જેની આપણે ઉપર ચર્ચા કરી છે
ચાલો સમાન સમીકરણ લખીએ, પરંતુ સહેજ અલગ રીતે
ડાબી બાજુ (x+2) અને જમણી બાજુ 2 થી ઘટે છે. ઘટાડા પછી, આપણે સામાન્ય રેખીય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:
x = 4 – 2 = 2, જે આપણા ODZ ને અનુરૂપ છે
જવાબ: x = 2.
અપૂર્ણાંક સાથે સમીકરણો ઉકેલવાલાગે તેટલું મુશ્કેલ નથી. આ લેખમાં અમે ઉદાહરણો સાથે આ બતાવ્યું છે. જો તમને કોઈ મુશ્કેલી હોય તો અપૂર્ણાંક સાથે સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા, પછી ટિપ્પણીઓમાં અનસબ્સ્ક્રાઇબ કરો.
અપૂર્ણાંક સમીકરણો. ODZ.
ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")
અમે સમીકરણોને માસ્ટર કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ. છેલ્લું દૃશ્ય બાકી - અપૂર્ણાંક સમીકરણો. અથવા તેઓને વધુ આદરપૂર્વક પણ કહેવામાં આવે છે - અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો. તે જ વસ્તુ છે.
અપૂર્ણાંક સમીકરણો.
નામ પ્રમાણે, આ સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંકો હોવા જરૂરી છે. પરંતુ માત્ર અપૂર્ણાંક જ નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંકો જે ધરાવે છે છેદમાં અજ્ઞાત. ઓછામાં ઓછા એકમાં. ઉદાહરણ તરીકે:
ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે જો છેદ માત્ર છે સંખ્યાઓ, આ રેખીય સમીકરણો છે.
કેવી રીતે નક્કી કરવું અપૂર્ણાંક સમીકરણો? સૌ પ્રથમ, અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવો! આ પછી, સમીકરણ મોટાભાગે રેખીય અથવા ચતુર્ભુજમાં ફેરવાય છે. અને પછી આપણે જાણીએ છીએ કે શું કરવું... કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ઓળખમાં ફેરવાઈ શકે છે, જેમ કે 5=5 અથવા ખોટી અભિવ્યક્તિ, જેમ કે 7=2. પરંતુ આવું ભાગ્યે જ બને છે. હું નીચે આનો ઉલ્લેખ કરીશ.
પરંતુ અપૂર્ણાંકોથી કેવી રીતે છુટકારો મેળવવો!? ખૂબ જ સરળ. સમાન સમાન રૂપાંતરણો લાગુ કરો.
આપણે સમગ્ર સમીકરણને સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. જેથી તમામ છેદ ઓછા થાય! બધું તરત જ સરળ થઈ જશે. ચાલો હું એક ઉદાહરણ સાથે સમજાવું. ચાલો સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે:
માં શીખવવામાં આવ્યું છે જુનિયર વર્ગો? અમે દરેક વસ્તુને એક બાજુએ ખસેડીએ છીએ, તેને સામાન્ય સંપ્રદાયમાં લાવીએ છીએ, વગેરે. ખરાબ સ્વપ્નની જેમ ભૂલી જાઓ! જ્યારે તમે ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો ત્યારે તમારે આ કરવાની જરૂર છે. અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ. અથવા તમે અસમાનતા સાથે કામ કરો છો. અને સમીકરણોમાં, અમે તરત જ બંને બાજુઓને એક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ જે અમને તમામ છેદ ઘટાડવાની તક આપશે (એટલે કે, સારમાં, દ્વારા સામાન્ય છેદ). અને આ અભિવ્યક્તિ શું છે?
ડાબી બાજુએ, છેદ ઘટાડવા માટે વડે ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે x+2. અને જમણી બાજુએ, 2 દ્વારા ગુણાકાર જરૂરી છે આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણનો ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે 2(x+2). ગુણાકાર:
આ અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય ગુણાકાર છે, પરંતુ હું તેનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે હું હજી સુધી કૌંસ ખોલતો નથી (x + 2)! તેથી, તેની સંપૂર્ણતામાં, હું તેને લખું છું:
ડાબી બાજુએ તે સંપૂર્ણપણે સંકુચિત થાય છે (x+2), અને જમણી બાજુએ 2. જે જરૂરી હતું! ઘટાડા પછી આપણને મળે છે રેખીયસમીકરણ
અને દરેક જણ આ સમીકરણ હલ કરી શકે છે! x = 2.
ચાલો બીજું ઉદાહરણ હલ કરીએ, થોડું વધુ જટિલ:
જો આપણે યાદ રાખીએ કે 3 = 3/1, અને 2x = 2x/ 1, અમે લખી શકીએ છીએ:
અને ફરીથી આપણે જે ખરેખર ગમતું નથી તેમાંથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ - અપૂર્ણાંક.
આપણે જોઈએ છીએ કે X સાથે છેદ ઘટાડવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંકને વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (x – 2). અને થોડા આપણા માટે અવરોધ નથી. સારું, ચાલો ગુણાકાર કરીએ. બધાડાબી બાજુ અને બધા જમણી બાજુ:
કૌંસ ફરીથી (x – 2)હું જાહેર નથી કરતો. હું સંપૂર્ણ કૌંસ સાથે કામ કરું છું જાણે તે એક નંબર હોય! આ હંમેશા કરવું જોઈએ, નહીં તો કંઈપણ ઘટશે નહીં.
ઊંડા સંતોષની લાગણી સાથે અમે ઘટાડો કરીએ છીએ (x – 2)અને આપણને શાસક સાથે કોઈપણ અપૂર્ણાંક વિના સમીકરણ મળે છે!
ચાલો હવે કૌંસ ખોલીએ:
અમે સમાન લાવીએ છીએ, બધું ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
પરંતુ તે પહેલા આપણે અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલતા શીખીશું. વ્યાજ પર. તે એક દાંતી છે, માર્ગ દ્વારા!
જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...
માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)
તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)
તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.
