કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો

પ્રિય સાતમા-ગ્રેડર્સ, તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે ભૌમિતિક આકૃતિઓને ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે, તમે જાણો છો કે તેમની સમાનતાના સંકેતો કેવી રીતે સાબિત કરવા. તમે ત્રિકોણના વિશેષ કિસ્સાઓ વિશે પણ જાણો છો: સમદ્વિબાજુ અને કાટકોણ. તમે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મોથી સારી રીતે વાકેફ છો.

પરંતુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં પણ ઘણા ગુણધર્મો છે. એક સ્પષ્ટ વસ્તુ સરવાળો પ્રમેય સાથે સંબંધિત છે આંતરિક ખૂણાત્રિકોણ: કાટકોણ ત્રિકોણમાં, તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90° છે. સૌથી વધુ અદ્ભુત મિલકતજ્યારે તમે પ્રસિદ્ધ પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો અભ્યાસ કરશો ત્યારે તમે 8મા ધોરણમાં કાટકોણ ત્રિકોણ વિશે શીખી શકશો.

હવે આપણે વધુ બે વિશે વાત કરીશું મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો. એક 30° કાટકોણ ત્રિકોણ માટે છે અને બીજો રેન્ડમ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે છે. ચાલો આપણે આ ગુણધર્મો ઘડીએ અને સાબિત કરીએ.

તમે સારી રીતે જાણો છો કે ભૂમિતિમાં જ્યારે નિવેદનમાં શરત અને નિષ્કર્ષ સ્થાનો બદલાય છે ત્યારે એવા નિવેદનો ઘડવાનો રિવાજ છે જે સાબિતી સાથે વિરોધાભાસી હોય. કન્વર્ઝ સ્ટેટમેન્ટ હંમેશા સાચા હોતા નથી. અમારા કિસ્સામાં, બંને વિરોધાભાસી નિવેદનો સાચા છે.

મિલકત 1.1 કાટકોણ ત્રિકોણમાં, 30°ના ખૂણાની સામેનો પગ અડધા સમાનકર્ણ

સાબિતી: લંબચોરસ ∆ ABC ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં ÐA=90°, ÐB=30°, પછી ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, તેથી, શું સાબિત કરવાની જરૂર છે.

પ્રોપર્ટી 1.2 (પ્રોપર્ટી 1.1 થી વિપરીત) જો કાટકોણ ત્રિકોણમાં પગ અડધા કર્ણાકાર જેટલો હોય, તો તેની સામેનો ખૂણો 30° છે.

મિલકત 2.1 કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણો તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે.

ચાલો એક લંબચોરસ ∆ ABC ને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમાં РВ=90°.

BD-મીડિયન, એટલે કે, AD=DC. ચાલો તે સાબિત કરીએ.

તે સાબિત કરવા માટે અમે કરીશું વધારાનું બાંધકામ: BD ભૂતકાળના બિંદુ Dને વિસ્તૃત કરો જેથી BD=DN અને N ને A અને C..gif સાથે જોડો" width="616" height="372 src=">

આપેલ: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, કારણ કે લંબચોરસ ∆BCE માં તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90o છે

2. BE=14cm(પ્રોપર્ટી 1)

3. ÐABE=30o, ત્યારથી ÐA+ÐABE=ÐBEC (સંપત્તિ બાહ્ય ખૂણોત્રિકોણ) તેથી ∆AEB સમદ્વિબાજુ AE=EB=14cm છે.

BC=2AN=20 cm (મિલકત 2).

કાર્ય 3. સાબિત કરો કે કર્ણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને મધ્ય એક ખૂણો બનાવે છે, તફાવત સમાનત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા.

આપેલ: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-મધ્ય, AH-ઊંચાઈ.

સાબિત કરો: RMAN=RS-RV.

પુરાવો:

1)РМАС=РС (ગુણધર્મ 2 દ્વારા ∆ AMC-સમદ્વિબાજુ, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે РНАС=РВ. આ હકીકત પરથી થાય છે કે ÐB+ÐC=90° (∆ ABC માં) અને ÐNAS+ÐC=90° (∆ ANS માંથી).

તેથી, RMAN = RС-РВ, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">આપેલ: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-height, .

શોધો: РВ, РС.

ઉકેલ: ચાલો મધ્ય AM લઈએ. ચાલો AN=x, પછી BC=4x અને

VM=MS=AM=2x.

લંબચોરસ ∆AMN માં, કર્ણો AM એ પગ AN કરતા 2 ગણો મોટો છે, તેથી ÐAMN=30°. VM=AM થી,

РВ=РВAM100%">

ચાલો AC ને બિંદુ A થી આગળ વધારીએ જેથી AD=AC. પછી ∆ABC=∆ABD (2 પગ પર). BD=BC=2AC=CD, આમ ∆DBC-સમકક્ષ, ÐC=60o અને ÐABC=30o.

સમસ્યા 5

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, એક ખૂણો 120° છે, આધાર 10 cm છે બાજુમાં દોરેલી ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ: શરૂ કરવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે 120°નો ખૂણો ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પર જ હોઈ શકે છે અને બાજુ તરફ દોરેલી ઊંચાઈ તેના ચાલુ રાખવા પર આવશે.

એબી - સીડી, કે - બિલાડીનું બચ્ચું.

સીડીની કોઈપણ સ્થિતિમાં, જ્યાં સુધી તે આખરે જમીન પર ન પડે ત્યાં સુધી, ∆ABC લંબચોરસ છે. MC - મધ્યક ∆ABC.

મિલકત 2 SK = 1/2AB મુજબ. એટલે કે, સમયની કોઈપણ ક્ષણે સેગમેન્ટ SK ની લંબાઈ સ્થિર છે.

જવાબ: બિંદુ K કેન્દ્ર C અને ત્રિજ્યા CK=1/2AB સાથે ગોળાકાર ચાપ સાથે આગળ વધશે.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.

કાટકોણ ત્રિકોણનો એક ખૂણો 60° છે, અને કર્ણ અને ટૂંકા પગ વચ્ચેનો તફાવત 4 સેમી છે. કર્ણની લંબાઈ શોધો. લંબચોરસ ∆ ABC માં કર્ણ BC અને કોણ B 60° બરાબર છે, ઊંચાઈ AD દોરવામાં આવે છે. DC શોધો જો DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - ઊંચાઈ, BC=2ВD. સાબિત કરો કે AD=3ВD. કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કર્ણોને 3 સેમી અને 9 સેમી ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણના ખૂણો અને કર્ણોની મધ્યથી લાંબા પગ સુધીનું અંતર શોધો. દ્વિભાજક ત્રિકોણને બે ભાગમાં વહેંચે છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. મૂળ ત્રિકોણના ખૂણા શોધો. મધ્ય ત્રિકોણને બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. શું ખૂણા શોધવાનું શક્ય છે

મૂળ ત્રિકોણ?

જીવનમાં આપણે વારંવાર સામનો કરવો પડશે ગણિત સમસ્યાઓ: શાળામાં, યુનિવર્સિટીમાં, અને પછી તમારા બાળકને પૂર્ણ કરવામાં મદદ કરવી હોમવર્ક. અમુક વ્યવસાયોમાં લોકો દરરોજ ગણિતનો સામનો કરશે. તેથી, તે યાદ રાખવું અથવા યાદ રાખવું ઉપયોગી છે ગાણિતિક નિયમો. આ લેખમાં આપણે તેમાંથી એક જોઈશું: કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ શોધવી.

કાટકોણ ત્રિકોણ શું છે

પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ કે સમકોણ ત્રિકોણ શું છે. જમણો ત્રિકોણએ ત્રણ વિભાગોની ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે એક જ સીધી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુઓને જોડે છે અને આ આકૃતિનો એક ખૂણો 90 ડિગ્રી છે. કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓને પગ કહેવામાં આવે છે, અને બાજુ જે વિરુદ્ધ હોય છે જમણો ખૂણો- કર્ણ.

જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધવો

પગની લંબાઈ શોધવાની ઘણી રીતો છે. હું તેમને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવા માંગુ છું.

કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ શોધવા માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય

જો આપણે કર્ણ અને પગને જાણીએ, તો આપણે લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ પ્રખ્યાત પગપાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર. તે આના જેવું સંભળાય છે: “કર્ણનો ચોરસ સરવાળો સમાનપગના ચોરસ." ફોર્મ્યુલા: c²=a²+b², જ્યાં c એ કર્ણ છે, a અને b એ પગ છે. આપણે સૂત્રનું રૂપાંતર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: a²=c²-b².

ઉદાહરણ. કર્ણ 5 સેમી છે, અને પગ 3 સેમી છે અમે ફોર્મ્યુલાનું રૂપાંતર કરીએ છીએ: c²=a²+b² → a²=c²-b². આગળ આપણે હલ કરીએ છીએ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધવા માટે ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તર

જો કાટખૂણ ત્રિકોણની બીજી કોઈ બાજુ અને કોઈપણ તીવ્ર કોણ જાણીતું હોય તો તમે અજાણ્યો પગ પણ શોધી શકો છો. ઉપયોગ કરીને પગ શોધવા માટે ચાર વિકલ્પો છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ દ્વારા. નીચે આપેલ કોષ્ટક અમને સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરશે. ચાલો આ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ.

સાઈનનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણ (પાપ) ની સાઈન એ ગુણોત્તર છે વિરુદ્ધ પગકર્ણ માટે. ફોર્મ્યુલા: sin=a/c, જ્યાં a એ આપેલ કોણની સામેનો પગ છે અને c એ કર્ણ છે. આગળ, આપણે ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: a=sin*c.

ઉદાહરણ. કર્ણ 10 સેમી છે અને કોણ A 30 ડિગ્રી છે. કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ A ની સાઈનની ગણતરી કરીએ છીએ, તે 1/2 ની બરાબર છે. પછી, રૂપાંતરિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે હલ કરીએ છીએ: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

કોસાઇનનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણ (cos) નું કોસાઇન એ કર્ણાકારની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: cos=b/c, જ્યાં b એ પગને અડીને છે આ કોણ, અને c એ કર્ણ છે. ચાલો ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત કરીએ અને મેળવો: b=cos*c.

ઉદાહરણ. કોણ A 60 ડિગ્રી બરાબર છે, કર્ણ 10 સે.મી.ની બરાબર છે. આગળ આપણે હલ કરીએ છીએ: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

ખૂણા (tg) ની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: tg=a/b, જ્યાં a એ કોણની વિરુદ્ધ બાજુ છે, અને b એ અડીને બાજુ છે. ચાલો ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત કરીએ અને મેળવો: a=tg*b.

ઉદાહરણ. કોણ A 45 અંશ બરાબર છે, કર્ણ 10 સેમી બરાબર છે, કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ A ના સ્પર્શકની ગણતરી કરીએ છીએ, તે ઉકેલની બરાબર છે: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (સેમી).

કોટેન્જેન્ટનો ઉપયોગ કરીને કાટખૂણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણ કોટેન્જેન્ટ (સીટીજી) એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: ctg=b/a, જ્યાં b એ કોણને અડીને આવેલો પગ છે અને સામેનો પગ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોટેન્જેન્ટ એ "ઊંધી સ્પર્શક" છે. અમને મળે છે: b=ctg*a.

ઉદાહરણ. કોણ A 30 અંશ છે, સામેનો પગ 5 સેમી છે કોષ્ટક મુજબ, કોણ A ની સ્પર્શક √3 છે. અમે ગણતરી કરીએ છીએ: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (સેમી).

તો હવે તમે જાણો છો કે જમણા ત્રિકોણમાં પગ કેવી રીતે શોધવો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે એટલું મુશ્કેલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ સૂત્રોને યાદ રાખવાની છે.

સૂચનાઓ

પગ a અને b ની વિરુદ્ધના ખૂણા અનુક્રમે A અને B દ્વારા સૂચવવામાં આવશે, વ્યાખ્યા મુજબ, કર્ણાકાર એ કાટકોણની બાજુ છે જે જમણા ખૂણાની વિરુદ્ધ છે (જ્યારે કર્ણ ની બીજી બાજુઓ સાથે તીવ્ર ખૂણા બનાવે છે. ત્રિકોણ). આપણે કર્ણોની લંબાઈ c દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

તમને જરૂર પડશે:
કેલ્ક્યુલેટર.

પગ માટે નીચેની અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરો: a=sqrt(c^2-b^2), જો તમે કર્ણ અને બીજા પગના મૂલ્યો જાણો છો. આ અભિવ્યક્તિ પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી ઉતરી આવી છે, જે જણાવે છે કે ત્રિકોણના કર્ણનો વર્ગ એ પગના ચોરસનો સરવાળો છે. sqrt ઓપરેટર વર્ગમૂળ કાઢે છે. "^2" ચિહ્નનો અર્થ થાય છે બીજી શક્તિમાં વધારો.

સૂત્ર a=c*sinA નો ઉપયોગ કરો જો તમે કર્ણ (c) અને ઇચ્છિત એકની વિરુદ્ધ કોણ જાણો છો (અમે આ ખૂણો A તરીકે દર્શાવ્યો છે).
જો તમે કર્ણો (c) અને ઇચ્છિત પગને અડીને આવેલા કોણને જાણો છો તો પગ શોધવા માટે a=c*cosB અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરો (અમે આ ખૂણો B તરીકે સૂચવ્યો છે).
જ્યાં લેગ b અને ઇચ્છિત પગની વિરુદ્ધનો ખૂણો આપવામાં આવ્યો હોય તેવા કિસ્સામાં a=b*tgA થી પગની ગણતરી કરો (અમે આ ખૂણો A તરીકે દર્શાવવા માટે સંમત થયા છીએ).

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો:
જો તમારી સમસ્યાનો પગ વર્ણવેલ કોઈપણ રીતે જોવા મળતો નથી, તો સંભવતઃ તે તેમાંથી એકમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉપયોગી ટીપ્સ:
આ તમામ અભિવ્યક્તિઓ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની જાણીતી વ્યાખ્યાઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે, તેથી, જો તમે તેમાંથી એકને ભૂલી જાઓ તો પણ, તમે હંમેશા સરળ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને તેને ઝડપથી મેળવી શકો છો. 30, 45, 60, 90, 180 ડિગ્રીના સૌથી સામાન્ય ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોને જાણવું પણ ઉપયોગી છે.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• "યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે ગણિત પર મેન્યુઅલ," એડ. જી.એન. યાકોવલેવા, 1982
• જમણા ત્રિકોણનો પગ

ચોરસ ત્રિકોણવધુ સચોટ રીતે કાટકોણ ત્રિકોણ કહેવાય છે. આ ભૌમિતિક આકૃતિની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધોની ત્રિકોણમિતિના ગાણિતિક શિસ્તમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

તમને જરૂર પડશે

• - કાગળની શીટ;
• - પેન;
• - બ્રેડિસ કોષ્ટકો;
• - કેલ્ક્યુલેટર.

સૂચનાઓ

શોધો ત્રિકોણપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. આ પ્રમેય મુજબ, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે: c2 = a2+b2, જ્યાં c એ કર્ણ છે ત્રિકોણ, a અને b તેના પગ છે. આને લાગુ કરવા માટે, તમારે લંબચોરસની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ જાણવાની જરૂર છે ત્રિકોણ.

જો શરતો પગના પરિમાણોને સ્પષ્ટ કરે છે, તો કર્ણની લંબાઈ શોધો. આ કરવા માટે, ઉપયોગ કરો વર્ગમૂળપગના સરવાળામાંથી, જેમાંથી દરેકનો પ્રથમ સ્ક્વેર હોવો જોઈએ.

જો કર્ણ અને બીજા પગના પરિમાણો જાણીતા હોય તો એક પગની લંબાઈની ગણતરી કરો. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, કર્ણ અને જાણીતા પગ વચ્ચેના તફાવતનું વર્ગમૂળ પણ કાઢો, પણ વર્ગ.

જો સમસ્યા કર્પોટેન્યુસ અને તેની નજીકના તીવ્ર ખૂણાઓમાંથી એકને સ્પષ્ટ કરે છે, તો બ્રાડિસ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરો. તેઓ માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો દર્શાવે છે મોટી સંખ્યામાંખૂણા સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શન્સ સાથે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો, તેમજ ત્રિકોણમિતિ પ્રમેય કે જે બાજુઓ અને લંબચોરસ વચ્ચેના સંબંધોનું વર્ણન કરે છે. ત્રિકોણ.

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને પગ શોધો: a = c*sin α, b = c*cos α, જ્યાં a એ કોણ α ની વિરુદ્ધનો પગ છે, b એ કોણ α ને અડીને આવેલો પગ છે. તે જ રીતે બાજુઓના કદની ગણતરી કરો ત્રિકોણ, જો કર્ણ અને અન્ય એક્યુટ એંગલ આપવામાં આવે છે: b = c*sin β, a = c*cos β, જ્યાં b એ કોણ β ની વિરુદ્ધ લેગ છે, અને કોણ β ને અડીને લેગ છે.

a અને નજીકના તીવ્ર કોણ β ના કિસ્સામાં, ભૂલશો નહીં કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 90°: α + β = 90° જેટલો હોય છે. લેગ a ની વિરુદ્ધ કોણનું મૂલ્ય શોધો: α = 90° – β. અથવા ત્રિકોણમિતિ ઘટાડાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો: sin α = sin (90° – β) = cos β; tan α = tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• પગ દ્વારા કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ કેવી રીતે શોધવી અને તીક્ષ્ણ ખૂણો 2019 માં

ટીપ 3: કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણો કેવી રીતે શોધવો

સીધા કાર્બનિકત્રિકોણ કદાચ સૌથી પ્રસિદ્ધ છે, સાથે ઐતિહાસિક બિંદુદ્રષ્ટિ, ભૌમિતિક આકારો. પાયથાગોરિયન "પેન્ટ" ફક્ત "યુરેકા!" સાથે સ્પર્ધા કરી શકે છે! આર્કિમિડીઝ.

તમને જરૂર પડશે

• - ત્રિકોણનું ચિત્ર;
• - શાસક;
• - પ્રોટ્રેક્ટર

સૂચનાઓ

ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી છે. લંબચોરસમાં ત્રિકોણએક ખૂણો (સીધો) હંમેશા 90 ડિગ્રી હશે, અને બાકીના તીવ્ર છે, એટલે કે. દરેક 90 ડિગ્રી કરતા ઓછું. લંબચોરસમાં કયો કોણ છે તે નક્કી કરવા ત્રિકોણસીધી છે, ત્રિકોણની બાજુઓને માપવા અને સૌથી મોટી નક્કી કરવા માટે શાસકનો ઉપયોગ કરો. તે કર્ણ (AB) છે અને જમણા ખૂણા (C) ની વિરુદ્ધ સ્થિત છે. બાકીની બે બાજુઓ જમણો ખૂણો અને પગ (AC, BC) બનાવે છે.

એકવાર તમે નિર્ધારિત કરી લો કે કયો કોણ તીવ્ર છે, તમે કાં તો પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને કોણની ગણતરી કરી શકો છો ગાણિતિક સૂત્રો.

પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને કોણ નક્કી કરવા માટે, તેની ટોચને સંરેખિત કરો (ચાલો તેને A અક્ષરથી દર્શાવો) પ્રોટ્રેક્ટરની મધ્યમાં લેગ એસી તેની ઉપરની ધાર સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ; પ્રોટ્રેક્ટરના અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ પર તે બિંદુને ચિહ્નિત કરો કે જેના દ્વારા કર્ણ AB છે. આ બિંદુ પરનું મૂલ્ય ડિગ્રીના ખૂણાને અનુરૂપ છે. જો પ્રોટ્રેક્ટર પર 2 મૂલ્યો સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી તીવ્ર કોણ માટે તમારે નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે, એક અસ્પષ્ટ કોણ માટે - મોટા.

બ્રાડીસ સંદર્ભ પુસ્તકોમાં પરિણામી મૂલ્ય શોધો અને પરિણામી મૂલ્ય કયા ખૂણાને અનુરૂપ છે તે નિર્ધારિત કરો સંખ્યાત્મક મૂલ્ય. અમારી દાદીએ આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો.

અમારા કિસ્સામાં, ગણતરી કાર્ય સાથે લેવા માટે તે પૂરતું છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો. ઉદાહરણ તરીકે, બિલ્ટ-ઇન વિન્ડોઝ કેલ્ક્યુલેટર. "કેલ્ક્યુલેટર" એપ્લિકેશન લોંચ કરો, "જુઓ" મેનૂ આઇટમમાં, "એન્જિનિયરિંગ" પસંદ કરો. ઇચ્છિત કોણની સાઇનની ગણતરી કરો, ઉદાહરણ તરીકે, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

કેલ્ક્યુલેટર ડિસ્પ્લે પરના INV બટન પર ક્લિક કરીને કેલ્ક્યુલેટરને ઇનવર્સ ફંક્શન મોડ પર સ્વિચ કરો, પછી આર્ક્સાઇન ફંક્શન બટન પર ક્લિક કરો (ડિસ્પ્લે પર sin માઇનસ પ્રથમ પાવર તરીકે દર્શાવેલ). નીચેનો સંદેશ ગણતરી વિંડોમાં દેખાશે: asind (0.5) = 30. એટલે કે. ઇચ્છિત કોણનું મૂલ્ય 30 ડિગ્રી છે.

મધ્યવર્તી સ્તર

જમણો ત્રિકોણ. સંપૂર્ણ સચિત્ર માર્ગદર્શિકા (2019)

લંબચોરસ ત્રિકોણ. એન્ટ્રી લેવલ.

સમસ્યાઓમાં, જમણો ખૂણો બિલકુલ જરૂરી નથી - નીચે ડાબે, તેથી તમારે આ સ્વરૂપમાં જમણો ત્રિકોણ ઓળખવાનું શીખવાની જરૂર છે,

અને આમાં

અને આમાં

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશે શું સારું છે? સારું... સૌ પ્રથમ, ત્યાં ખાસ છે સુંદર નામોતેની બાજુઓ માટે.

ડ્રોઇંગ પર ધ્યાન આપો!

યાદ રાખો અને ગૂંચવશો નહીં: ત્યાં બે પગ છે, અને માત્ર એક જ કર્ણો છે(એક અને માત્ર, અનન્ય અને સૌથી લાંબી)!

ઠીક છે, અમે નામોની ચર્ચા કરી છે, હવે સૌથી મહત્વની વસ્તુ: પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

આ પ્રમેય કાટખૂણ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવાની ચાવી છે. પાયથાગોરસે તેને સંપૂર્ણ રીતે સાબિત કર્યું અનાદિકાળનો સમય, અને ત્યારથી તેણીએ જેઓ તેણીને ઓળખે છે તેમના માટે ઘણો લાભ લાવ્યો છે. અને તેના વિશે સૌથી સારી બાબત એ છે કે તે સરળ છે.

તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

શું તમને મજાક યાદ છે: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે!"?

ચાલો આ જ દોરો પાયથાગોરિયન પેન્ટઅને ચાલો તેમને જોઈએ.

શું તે અમુક પ્રકારના શોર્ટ્સ જેવું નથી લાગતું? સારું, કઈ બાજુઓ પર અને ક્યાં સમાન છે? મજાક શા માટે અને ક્યાંથી આવી? અને આ મજાક પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાથે ચોક્કસ રીતે જોડાયેલ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે પાયથાગોરસ પોતે જે રીતે તેના પ્રમેયને ઘડ્યો છે તેની સાથે. અને તેણે તેને આ રીતે ઘડ્યું:

"સમ ચોરસ વિસ્તારો, પગ પર બાંધવામાં, સમાન છે ચોરસ વિસ્તાર, કર્ણ પર બનેલ છે."

શું તે ખરેખર થોડું અલગ લાગે છે? અને તેથી, જ્યારે પાયથાગોરસે તેના પ્રમેયનું નિવેદન દોર્યું, ત્યારે આ બરાબર ચિત્ર બહાર આવ્યું.

આ ચિત્રમાં, નાના ચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. અને જેથી બાળકો વધુ સારી રીતે યાદ રાખી શકે કે પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના ચોરસ જેટલો છે, કોઈ વિનોદી પાયથાગોરિયન પેન્ટ વિશે આ મજાક સાથે આવ્યો.

હવે આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય શા માટે ઘડી રહ્યા છીએ?

શું પાયથાગોરસ પીડાતા હતા અને ચોરસ વિશે વાત કરતા હતા?

તમે જુઓ, પ્રાચીન સમયમાં કોઈ... બીજગણિત નહોતું! ત્યાં કોઈ ચિહ્નો નહોતા વગેરે. ત્યાં કોઈ શિલાલેખ ન હતા. શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે ગરીબ પ્રાચીન વિદ્યાર્થીઓ માટે બધું શબ્દોમાં યાદ રાખવું કેટલું ભયંકર હતું?! અને આપણે ખુશ થઈ શકીએ કે આપણી પાસે છે સરળ શબ્દરચનાપાયથાગોરિયન પ્રમેય. ચાલો તેને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે તેને ફરીથી પુનરાવર્તન કરીએ:

તે હવે સરળ હોવું જોઈએ:

સારું, અહીં તે છે મુખ્ય પ્રમેયકાટકોણ ત્રિકોણ વિશે ચર્ચા કરી. જો તમને તે કેવી રીતે સાબિત થાય છે તેમાં રસ હોય, તો સિદ્ધાંતના નીચેના સ્તરો વાંચો અને હવે ચાલો આગળ વધીએ... શ્યામ જંગલ... ત્રિકોણમિતિ! ભયંકર શબ્દો માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ.

હકીકતમાં, બધું એટલું ડરામણી નથી. અલબત્ત, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની "વાસ્તવિક" વ્યાખ્યા લેખમાં જોવી જોઈએ. પરંતુ હું ખરેખર નથી ઇચ્છતો, શું હું? અમે આનંદ કરી શકીએ છીએ: કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, તમે નીચેની સરળ વસ્તુઓને ખાલી ભરી શકો છો:

શા માટે બધું માત્ર ખૂણા વિશે છે? ખૂણો ક્યાં છે? આ સમજવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે વિધાન 1 - 4 શબ્દોમાં કેવી રીતે લખાય છે. જુઓ, સમજો અને યાદ રાખો!

1.
વાસ્તવમાં તે આના જેવું લાગે છે:

કોણ વિશે શું? શું ત્યાં કોઈ પગ છે જે ખૂણાની વિરુદ્ધ છે, એટલે કે, વિરુદ્ધ (કોણ માટે) પગ છે? અલબત્ત ત્યાં છે! આ એક પગ છે!

કોણ વિશે શું? ધ્યાનથી જુઓ. કયો પગ ખૂણાને અડીને છે? અલબત્ત, પગ. આનો અર્થ એ છે કે કોણ માટે પગ અડીને છે, અને

હવે, ધ્યાન આપો! અમને શું મળ્યું તે જુઓ:

જુઓ કે તે કેટલું સરસ છે:

હવે આપણે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ તરફ આગળ વધીએ.

હવે હું આને શબ્દોમાં કેવી રીતે લખી શકું? કોણના સંબંધમાં પગ શું છે? વિરુદ્ધ, અલબત્ત - તે ખૂણાની વિરુદ્ધ "જૂઠું" છે. પગ વિશે શું? ખૂણાને અડીને. તો આપણી પાસે શું છે?

જુઓ કે અંશ અને છેદના સ્થાનો કેવી રીતે બદલાયા છે?

અને હવે ફરીથી ખૂણાઓ અને વિનિમય કર્યો:

ફરી શરૂ કરો

ચાલો આપણે જે શીખ્યા તે બધું ટૂંકમાં લખીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેનું મુખ્ય પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

માર્ગ દ્વારા, શું તમને સારી રીતે યાદ છે કે પગ અને કર્ણ શું છે? જો ખૂબ સારું ન હોય, તો પછી ચિત્ર જુઓ - તમારા જ્ઞાનને તાજું કરો

તે તદ્દન શક્ય છે કે તમે પહેલાથી જ ઘણી વખત પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો છે, પરંતુ શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે આવી પ્રમેય કેમ સાચી છે? હું તેને કેવી રીતે સાબિત કરી શકું? ચાલો પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ કરીએ. ચાલો બાજુ સાથે ચોરસ દોરીએ.

જુઓ કેટલી ચતુરાઈથી અમે તેની બાજુઓને લંબાઈમાં વિભાજિત કરી છે અને!

હવે ચાલો ચિહ્નિત બિંદુઓને જોડીએ

અહીં અમે, જો કે, કંઈક બીજું નોંધ્યું છે, પરંતુ તમે જાતે જ ડ્રોઇંગ જુઓ અને વિચારો કે આવું કેમ છે.

મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે? સાચું, . નાના વિસ્તાર વિશે શું? ચોક્કસપણે, . ચાર ખૂણાઓનો કુલ વિસ્તાર રહે છે. કલ્પના કરો કે અમે તેમને એક સમયે બે લીધા અને તેમના કર્ણ સાથે તેમને એકબીજાની સામે ઝુકાવી દીધા. શું થયું? બે લંબચોરસ. આનો અર્થ એ છે કે "કટ" નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.

ચાલો હવે તે બધાને એકસાથે મૂકીએ.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

તેથી અમે પાયથાગોરસની મુલાકાત લીધી - અમે તેના પ્રમેયને પ્રાચીન રીતે સાબિત કર્યું.

કાટકોણ ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમિતિ

કાટકોણ ત્રિકોણ માટે, નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

તીવ્ર કોણની સાઈન ગુણોત્તર સમાનકર્ણની વિરુદ્ધ બાજુ

એક્યુટ એંગલનો કોસાઇન એ કર્પોટેન્યુસની બાજુના પગના ગુણોત્તર સમાન છે.

તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

અને ફરી એકવાર આ બધું ટેબ્લેટના રૂપમાં:

તે ખૂબ અનુકૂળ છે!

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. બે બાજુઓ પર

II. પગ અને કર્ણ દ્વારા

III. કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા

IV. પગ અને તીવ્ર કોણ સાથે

a)

b)

ધ્યાન આપો! અહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પગ "યોગ્ય" છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે આના જેવું જાય:

પછી ત્રિકોણ સમાન નથી, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેમની પાસે એક સમાન તીવ્ર કોણ છે.

તે જરૂરી છે બંને ત્રિકોણમાં પગ અડીને હતો, અથવા બંનેમાં તે વિરુદ્ધ હતો.

શું તમે નોંધ્યું છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો ત્રિકોણની સમાનતાના સામાન્ય ચિહ્નોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? વિષય જુઓ "અને એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે "સામાન્ય" ત્રિકોણની સમાનતા માટે, તેમના ત્રણ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ: બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ, બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુ અથવા ત્રણ બાજુઓ. પરંતુ કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા માટે, ફક્ત બે અનુરૂપ તત્વો પૂરતા છે. મહાન, અધિકાર?

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો સાથે પરિસ્થિતિ લગભગ સમાન છે.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. તીવ્ર કોણ સાથે

II. બે બાજુઓ પર

III. પગ અને કર્ણ દ્વારા

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્યક

આવું કેમ છે?

કાટકોણ ત્રિકોણને બદલે, આખા લંબચોરસને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો એક કર્ણ દોરીએ અને એક બિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ. તમે લંબચોરસના કર્ણ વિશે શું જાણો છો?

અને આમાંથી શું થાય છે?

તેથી તે બહાર આવ્યું છે કે

1. - મધ્યક:

આ હકીકત યાદ રાખો! ઘણી મદદ કરે છે!

તેનાથી પણ વધુ આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે વિપરીત પણ સાચું છે.

એ હકીકતમાંથી શું સારું મેળવી શકાય છે કે કર્ણો તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે? ચાલો ચિત્ર જોઈએ

ધ્યાનથી જુઓ. આપણી પાસે છે: , એટલે કે, બિંદુથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓનું અંતર સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પરંતુ ત્રિકોણમાં માત્ર એક બિંદુ છે, જેમાંથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી અંતર સમાન છે, અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. તો શું થયું?

તો ચાલો આ સાથે શરૂઆત કરીએ “આ સિવાય...”.

ચાલો જોઈએ અને.

પરંતુ સમાન ત્રિકોણમાં બધા સમાન ખૂણા હોય છે!

અને વિશે પણ એવું જ કહી શકાય

હવે ચાલો તેને એકસાથે દોરીએ:

આ "ત્રણ" સમાનતામાંથી શું લાભ મેળવી શકાય?

સારું, ઉદાહરણ તરીકે - કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ માટેના બે સૂત્રો.

ચાલો અનુરૂપ પક્ષોના સંબંધો લખીએ:

ઊંચાઈ શોધવા માટે, અમે પ્રમાણને હલ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ પ્રથમ સૂત્ર "કાટકોણ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ":

તેથી, ચાલો સમાનતા લાગુ કરીએ: .

હવે શું થશે?

ફરીથી આપણે પ્રમાણ હલ કરીએ છીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

તમારે આ બંને ફોર્મ્યુલાને ખૂબ સારી રીતે યાદ રાખવાની જરૂર છે અને જે વધુ અનુકૂળ હોય તેનો ઉપયોગ કરો. ચાલો તેમને ફરીથી લખીએ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે: .

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• બે બાજુઓ પર:
• પગ અને કર્ણ દ્વારા: અથવા
• પગ અને નજીકના તીવ્ર કોણ સાથે: અથવા
• પગ સાથે અને વિરુદ્ધ તીવ્ર કોણ: અથવા
• કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા: અથવા.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• એક તીવ્ર ખૂણો: અથવા
• બે પગના પ્રમાણથી:
• પગ અને કર્ણની પ્રમાણસરતામાંથી: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ

• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ એન્ગલનો કોસાઇન એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ કોણનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:

• પગ દ્વારા:

મધ્યવર્તી સ્તર

જમણો ત્રિકોણ. સંપૂર્ણ સચિત્ર માર્ગદર્શિકા (2019)

લંબચોરસ ત્રિકોણ. એન્ટ્રી લેવલ.

સમસ્યાઓમાં, જમણો ખૂણો બિલકુલ જરૂરી નથી - નીચે ડાબે, તેથી તમારે આ સ્વરૂપમાં જમણો ત્રિકોણ ઓળખવાનું શીખવાની જરૂર છે,

અને આમાં

અને આમાં

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશે શું સારું છે? સારું..., સૌ પ્રથમ, તેની બાજુઓ માટે ખાસ સુંદર નામો છે.

ડ્રોઇંગ પર ધ્યાન આપો!

યાદ રાખો અને ગૂંચવશો નહીં: ત્યાં બે પગ છે, અને માત્ર એક જ કર્ણો છે(એક અને માત્ર, અનન્ય અને સૌથી લાંબી)!

ઠીક છે, અમે નામોની ચર્ચા કરી છે, હવે સૌથી મહત્વની વસ્તુ: પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

આ પ્રમેય કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની ચાવી છે. તે સંપૂર્ણપણે પ્રાચીન સમયમાં પાયથાગોરસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને ત્યારથી તે જાણનારાઓને ઘણો ફાયદો થયો છે. અને તેના વિશે સૌથી સારી બાબત એ છે કે તે સરળ છે.

તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

શું તમને મજાક યાદ છે: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે!"?

ચાલો આ જ પાયથાગોરિયન પેન્ટ દોરીએ અને તેમને જોઈએ.

શું તે અમુક પ્રકારના શોર્ટ્સ જેવું નથી લાગતું? સારું, કઈ બાજુઓ પર અને ક્યાં સમાન છે? મજાક શા માટે અને ક્યાંથી આવી? અને આ મજાક પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાથે ચોક્કસ રીતે જોડાયેલ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે પાયથાગોરસ પોતે જે રીતે તેના પ્રમેયને ઘડ્યો છે તેની સાથે. અને તેણે તેને આ રીતે ઘડ્યું:

"સમ ચોરસ વિસ્તારો, પગ પર બાંધવામાં, સમાન છે ચોરસ વિસ્તાર, કર્ણ પર બનેલ છે."

શું તે ખરેખર થોડું અલગ લાગે છે? અને તેથી, જ્યારે પાયથાગોરસે તેના પ્રમેયનું નિવેદન દોર્યું, ત્યારે આ બરાબર ચિત્ર બહાર આવ્યું.

આ ચિત્રમાં, નાના ચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. અને જેથી બાળકો વધુ સારી રીતે યાદ રાખી શકે કે પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના ચોરસ જેટલો છે, કોઈ વિનોદી પાયથાગોરિયન પેન્ટ વિશે આ મજાક સાથે આવ્યો.

હવે આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય શા માટે ઘડી રહ્યા છીએ?

શું પાયથાગોરસ પીડાતા હતા અને ચોરસ વિશે વાત કરતા હતા?

તમે જુઓ, પ્રાચીન સમયમાં કોઈ... બીજગણિત નહોતું! ત્યાં કોઈ ચિહ્નો નહોતા વગેરે. ત્યાં કોઈ શિલાલેખ ન હતા. શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે ગરીબ પ્રાચીન વિદ્યાર્થીઓ માટે બધું શબ્દોમાં યાદ રાખવું કેટલું ભયંકર હતું?! અને આપણે આનંદ કરી શકીએ છીએ કે આપણી પાસે પાયથાગોરિયન પ્રમેયની સરળ રચના છે. ચાલો તેને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે તેને ફરીથી પુનરાવર્તન કરીએ:

તે હવે સરળ હોવું જોઈએ:

ઠીક છે, કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. જો તમને તે કેવી રીતે સાબિત થાય છે તેમાં રસ હોય, તો સિદ્ધાંતના નીચેના સ્તરો વાંચો, અને હવે ચાલો આગળ... ત્રિકોણમિતિના ઘેરા જંગલમાં જઈએ! ભયંકર શબ્દો માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ.

હકીકતમાં, બધું એટલું ડરામણી નથી. અલબત્ત, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની "વાસ્તવિક" વ્યાખ્યા લેખમાં જોવી જોઈએ. પરંતુ હું ખરેખર નથી ઇચ્છતો, શું હું? અમે આનંદ કરી શકીએ છીએ: કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, તમે નીચેની સરળ વસ્તુઓને ખાલી ભરી શકો છો:

શા માટે બધું માત્ર ખૂણા વિશે છે? ખૂણો ક્યાં છે? આ સમજવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે વિધાન 1 - 4 શબ્દોમાં કેવી રીતે લખાય છે. જુઓ, સમજો અને યાદ રાખો!

1.
વાસ્તવમાં તે આના જેવું લાગે છે:

કોણ વિશે શું? શું ત્યાં કોઈ પગ છે જે ખૂણાની વિરુદ્ધ છે, એટલે કે, વિરુદ્ધ (કોણ માટે) પગ છે? અલબત્ત ત્યાં છે! આ એક પગ છે!

કોણ વિશે શું? ધ્યાનથી જુઓ. કયો પગ ખૂણાને અડીને છે? અલબત્ત, પગ. આનો અર્થ એ છે કે કોણ માટે પગ અડીને છે, અને

હવે, ધ્યાન આપો! અમને શું મળ્યું તે જુઓ:

જુઓ કે તે કેટલું સરસ છે:

હવે આપણે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ તરફ આગળ વધીએ.

હવે હું આને શબ્દોમાં કેવી રીતે લખી શકું? કોણના સંબંધમાં પગ શું છે? વિરુદ્ધ, અલબત્ત - તે ખૂણાની વિરુદ્ધ "જૂઠું" છે. પગ વિશે શું? ખૂણાને અડીને. તો આપણી પાસે શું છે?

જુઓ કે અંશ અને છેદના સ્થાનો કેવી રીતે બદલાયા છે?

અને હવે ફરીથી ખૂણાઓ અને વિનિમય કર્યો:

ફરી શરૂ કરો

ચાલો આપણે જે શીખ્યા તે બધું ટૂંકમાં લખીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેનું મુખ્ય પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

માર્ગ દ્વારા, શું તમને સારી રીતે યાદ છે કે પગ અને કર્ણ શું છે? જો ખૂબ સારું ન હોય, તો પછી ચિત્ર જુઓ - તમારા જ્ઞાનને તાજું કરો

તે તદ્દન શક્ય છે કે તમે પહેલાથી જ ઘણી વખત પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો છે, પરંતુ શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે આવી પ્રમેય કેમ સાચી છે? હું તેને કેવી રીતે સાબિત કરી શકું? ચાલો પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ કરીએ. ચાલો બાજુ સાથે ચોરસ દોરીએ.

જુઓ કેટલી ચતુરાઈથી અમે તેની બાજુઓને લંબાઈમાં વિભાજિત કરી છે અને!

હવે ચાલો ચિહ્નિત બિંદુઓને જોડીએ

અહીં અમે, જો કે, કંઈક બીજું નોંધ્યું છે, પરંતુ તમે જાતે જ ડ્રોઇંગ જુઓ અને વિચારો કે આવું કેમ છે.

મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે? સાચું, . નાના વિસ્તાર વિશે શું? ચોક્કસપણે, . ચાર ખૂણાઓનો કુલ વિસ્તાર રહે છે. કલ્પના કરો કે અમે તેમને એક સમયે બે લીધા અને તેમના કર્ણ સાથે તેમને એકબીજાની સામે ઝુકાવી દીધા. શું થયું? બે લંબચોરસ. આનો અર્થ એ છે કે "કટ" નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.

ચાલો હવે તે બધાને એકસાથે મૂકીએ.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

તેથી અમે પાયથાગોરસની મુલાકાત લીધી - અમે તેના પ્રમેયને પ્રાચીન રીતે સાબિત કર્યું.

કાટકોણ ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમિતિ

કાટકોણ ત્રિકોણ માટે, નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

એક્યુટ એંગલની સાઈન એ કર્ણની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે

એક્યુટ એંગલનો કોસાઇન એ કર્પોટેન્યુસની બાજુના પગના ગુણોત્તર સમાન છે.

તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

અને ફરી એકવાર આ બધું ટેબ્લેટના રૂપમાં:

તે ખૂબ અનુકૂળ છે!

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. બે બાજુઓ પર

II. પગ અને કર્ણ દ્વારા

III. કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા

IV. પગ અને તીવ્ર કોણ સાથે

a)

b)

ધ્યાન આપો! અહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પગ "યોગ્ય" છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે આના જેવું જાય:

પછી ત્રિકોણ સમાન નથી, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેમની પાસે એક સમાન તીવ્ર કોણ છે.

તે જરૂરી છે બંને ત્રિકોણમાં પગ અડીને હતો, અથવા બંનેમાં તે વિરુદ્ધ હતો.

શું તમે નોંધ્યું છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો ત્રિકોણની સમાનતાના સામાન્ય ચિહ્નોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? વિષય જુઓ "અને એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે "સામાન્ય" ત્રિકોણની સમાનતા માટે, તેમના ત્રણ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ: બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ, બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુ અથવા ત્રણ બાજુઓ. પરંતુ કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા માટે, ફક્ત બે અનુરૂપ તત્વો પૂરતા છે. મહાન, અધિકાર?

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો સાથે પરિસ્થિતિ લગભગ સમાન છે.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. તીવ્ર કોણ સાથે

II. બે બાજુઓ પર

III. પગ અને કર્ણ દ્વારા

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્યક

આવું કેમ છે?

કાટકોણ ત્રિકોણને બદલે, આખા લંબચોરસને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો એક કર્ણ દોરીએ અને એક બિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ. તમે લંબચોરસના કર્ણ વિશે શું જાણો છો?

અને આમાંથી શું થાય છે?

તેથી તે બહાર આવ્યું છે કે

1. - મધ્યક:

આ હકીકત યાદ રાખો! ઘણી મદદ કરે છે!

તેનાથી પણ વધુ આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે વિપરીત પણ સાચું છે.

એ હકીકતમાંથી શું સારું મેળવી શકાય છે કે કર્ણો તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે? ચાલો ચિત્ર જોઈએ

ધ્યાનથી જુઓ. આપણી પાસે છે: , એટલે કે, બિંદુથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓનું અંતર સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પરંતુ ત્રિકોણમાં માત્ર એક બિંદુ છે, જેમાંથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી અંતર સમાન છે, અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. તો શું થયું?

તો ચાલો આ સાથે શરૂઆત કરીએ “આ સિવાય...”.

ચાલો જોઈએ અને.

પરંતુ સમાન ત્રિકોણમાં બધા સમાન ખૂણા હોય છે!

અને વિશે પણ એવું જ કહી શકાય

હવે ચાલો તેને એકસાથે દોરીએ:

આ "ત્રણ" સમાનતામાંથી શું લાભ મેળવી શકાય?

સારું, ઉદાહરણ તરીકે - કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ માટેના બે સૂત્રો.

ચાલો અનુરૂપ પક્ષોના સંબંધો લખીએ:

ઊંચાઈ શોધવા માટે, અમે પ્રમાણને હલ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ પ્રથમ સૂત્ર "કાટકોણ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ":

તેથી, ચાલો સમાનતા લાગુ કરીએ: .

હવે શું થશે?

ફરીથી આપણે પ્રમાણ હલ કરીએ છીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

તમારે આ બંને ફોર્મ્યુલાને ખૂબ સારી રીતે યાદ રાખવાની જરૂર છે અને જે વધુ અનુકૂળ હોય તેનો ઉપયોગ કરો. ચાલો તેમને ફરીથી લખીએ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે: .

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• બે બાજુઓ પર:
• પગ અને કર્ણ દ્વારા: અથવા
• પગ અને નજીકના તીવ્ર કોણ સાથે: અથવા
• પગ સાથે અને વિરુદ્ધ તીવ્ર કોણ: અથવા
• કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા: અથવા.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• એક તીવ્ર ખૂણો: અથવા
• બે પગના પ્રમાણથી:
• પગ અને કર્ણની પ્રમાણસરતામાંથી: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ

• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ એન્ગલનો કોસાઇન એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ કોણનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:

• પગ દ્વારા: