લઘુગણક ઉદાહરણોનો ઉમેરો. લોગરીધમિક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

કુદરતી લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો, આલેખ, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, મૂલ્યોનો સમૂહ, મૂળભૂત સૂત્રો, વ્યુત્પન્ન, અભિન્ન, વિસ્તરણ પાવર શ્રેણીઅને જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ln x ફંક્શનનું પ્રતિનિધિત્વ.

વ્યાખ્યા

કુદરતી લઘુગણકફંક્શન y = છે ln x, ઘાતાંકીયનો વ્યસ્ત, x = e y, અને e સંખ્યાના આધારનો લઘુગણક છે: ln x = log e x.

પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું વ્યુત્પન્ન સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે: (ln x)′ = 1/ x.

આધારિત વ્યાખ્યાઓ, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર સંખ્યા છે ઇ:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

કાર્ય y = નો આલેખ ln x.

કુદરતી લઘુગણકનો આલેખ (કાર્યો y = ln x) ઘાતાંકીય ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે અરીસાની છબીસીધી રેખા y = x સાથે સંબંધિત.

કુદરતી લઘુગણક પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે હકારાત્મક મૂલ્યોચલ x. તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે.

x → પર 0 કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત (-∞) છે.

x → + ∞ તરીકે, કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત (+ ∞) છે. મોટા x માટે, લઘુગણક એકદમ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ પાવર કાર્ય x a ધન ઘાતાંક સાથે a લઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે.

કુદરતી લઘુગણકના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યાનું ડોમેન, મૂલ્યોનો સમૂહ, ચરમસીમા, વધારો, ઘટાડો

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી. કુદરતી લઘુગણકના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

ln x મૂલ્યો

ln 1 = 0

કુદરતી લઘુગણક માટે મૂળભૂત સૂત્રો

વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી નીચેના સૂત્રો:

લઘુગણકની મુખ્ય મિલકત અને તેના પરિણામો

બેઝ રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા

કોઈપણ લઘુગણકને મૂળ અવેજી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

આ સૂત્રોના પુરાવા વિભાગ "લોગરીધમ" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

કુદરતી લઘુગણકનો વ્યસ્ત એ ઘાતાંક છે.

તો પછી

તો પછી.

વ્યુત્પન્ન ln x

કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
મોડ્યુલસ x ના કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:
.
વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

અભિન્ન

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
.
તેથી,

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ

જટિલ ચલ z ના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.
ચાલો જટિલ ચલ વ્યક્ત કરીએ zમોડ્યુલ દ્વારા આરઅને દલીલ φ :
.
લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:
.
અથવા
.
દલીલ φ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો તમે મૂકો
, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે,
તે વિવિધ n માટે સમાન સંખ્યા હશે.

તેથી, કુદરતી લઘુગણક, જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે, એકલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય નથી.

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ

જ્યારે વિસ્તરણ થાય છે:

સંદર્ભ:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

લોગરીધમ્સ સાથે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે, સૂચિબદ્ધ સમાનતાઓનો ઉપયોગ જમણેથી ડાબે અને ડાબેથી જમણે બંને થાય છે.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે ગુણધર્મોના પરિણામોને યાદ રાખવું જરૂરી નથી: જ્યારે પરિવર્તન હાથ ધરે છે, ત્યારે તમે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને અન્ય તથ્યો (ઉદાહરણ તરીકે, b≥0 માટે હકીકત) મેળવી શકો છો, જેમાંથી અનુરૂપ પરિણામો અનુસરે છે. " બાય-ઇફેક્ટ"આ અભિગમ ફક્ત એ હકીકતમાં જ પ્રગટ થાય છે કે ઉકેલ થોડો લાંબો હશે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિણામ વિના કરવા માટે, જે સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે , અને લોગરીધમ્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોથી શરૂ કરીને, તમારે નીચેના સ્વરૂપના પરિવર્તનની સાંકળ હાથ ધરવી પડશે: .

ઉપરની સૂચિમાંથી છેલ્લી મિલકત વિશે પણ એવું જ કહી શકાય, જેનો જવાબ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે , કારણ કે તે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી પણ અનુસરે છે. સમજવાની મુખ્ય બાબત એ છે કે ઘાતાંકમાં લઘુગણક સાથેની ધન સંખ્યાની ઘાત માટે ઘાતનો આધાર અને લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાને સ્વેપ કરવી હંમેશા શક્ય છે. વાજબી બનવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે આ પ્રકારના પરિવર્તનના અમલીકરણને સૂચવતા ઉદાહરણો વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. અમે ટેક્સ્ટમાં નીચે થોડા ઉદાહરણો આપીશું.

સંખ્યાત્મક સમીકરણોને લઘુગણક સાથે રૂપાંતરિત કરવું

અમે લઘુગણકના ગુણધર્મોને યાદ કર્યા, હવે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે તેમને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવાનો સમય છે. ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓને બદલે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓને રૂપાંતરિત કરીને પ્રારંભ કરવું સ્વાભાવિક છે, કારણ કે તે મૂળભૂત બાબતો શીખવા માટે વધુ અનુકૂળ અને સરળ છે. તે અમે શું કરીશું, અને અમે ખૂબ સાથે શરૂ કરીશું સરળ ઉદાહરણો, લઘુગણકની ઇચ્છિત મિલકત કેવી રીતે પસંદ કરવી તે શીખવા માટે, પરંતુ અમે ઉદાહરણોને ધીમે ધીમે જટિલ બનાવીશું, જ્યાં સુધી, મેળવવા માટે અંતિમ પરિણામતમારે એક પંક્તિમાં ઘણી મિલકતો લાગુ કરવાની જરૂર પડશે.

લઘુગણકની ઇચ્છિત ગુણધર્મ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

લોગરીધમ્સના ઘણા ગુણધર્મો છે, અને તે સ્પષ્ટ છે કે તમારે તેમાંથી યોગ્ય એક પસંદ કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે, જે આ ચોક્કસ કિસ્સામાં જરૂરી પરિણામ તરફ દોરી જશે. સામાન્ય રીતે રૂપાંતરિત લઘુગણક અથવા અભિવ્યક્તિના પ્રકારને લઘુગણકના ગુણધર્મો વ્યક્ત કરતા સૂત્રોના ડાબા અને જમણા ભાગોના પ્રકારો સાથે સરખાવીને આ કરવું મુશ્કેલ નથી. જો બાકી હોય અથવા જમણો ભાગસૂત્રોમાંથી એક આપેલ લઘુગણક અથવા અભિવ્યક્તિ સાથે એકરુપ છે, તો પછી, સંભવતઃ, તે આ ગુણધર્મ છે જેનો ઉપયોગ પરિવર્તન દરમિયાન થવો જોઈએ. નીચેના ઉદાહરણોઆ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

ચાલો લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણના ઉદાહરણો સાથે શરૂ કરીએ, જે સૂત્ર a b =b, a>0, a≠1, b>0 સૂત્રને અનુરૂપ છે.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો, જો શક્ય હોય તો: a) 5 લોગ 5 4, b) 10 લોગ(1+2·π), c) , ડી) 2 લોગ 2 (−7) , e) .

ઉકેલ.

અક્ષર a) હેઠળના ઉદાહરણમાં લોગ a b સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, જ્યાં a=5, b=4. આ સંખ્યાઓ a>0, a≠1, b>0 શરતોને સંતોષે છે, જેથી તમે સુરક્ષિત રીતે લોગ a b =b સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો. આપણી પાસે 5 લોગ 5 4=4 છે.

b) અહીં a=10, b=1+2·π, શરતો a>0, a≠1, b>0 મળે છે. આ કિસ્સામાં, સમાનતા 10 લોગ(1+2·π) =1+2·π થાય છે.

c) અને આ ઉદાહરણમાં આપણે લોગ a b, where અને b=ln15 ફોર્મની ડિગ્રી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. તેથી .

લોગ a b (અહીં a=2, b=−7) સમાન પ્રકારના હોવા છતાં, અક્ષર g હેઠળની અભિવ્યક્તિ) a log a b =b સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાતી નથી. કારણ એ છે કે તે અર્થહીન છે કારણ કે તેમાં લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા છે. તદુપરાંત, સંખ્યા b=−7 એ b>0 શરતને સંતોષતી નથી, જે લોગ a b =b સૂત્રનો આશરો લેવાનું અશક્ય બનાવે છે, કારણ કે તેને a>0, a≠1, b> શરતોની પરિપૂર્ણતાની જરૂર છે. 0. તેથી, આપણે 2 લોગ 2 (−7) ની કિંમતની ગણતરી કરવા વિશે વાત કરી શકતા નથી. આ કિસ્સામાં, 2 લોગ 2 (−7) =−7 લખવામાં ભૂલ હશે.

તેવી જ રીતે, અક્ષર e) હેઠળના ઉદાહરણમાં ફોર્મનો ઉકેલ આપવો અશક્ય છે , કારણ કે મૂળ અભિવ્યક્તિનો અર્થ નથી.

જવાબ:

a) 5 લોગ 5 4 =4, b) 10 લોગ(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

રૂપાંતર ઘણી વખત ઉપયોગી હોય છે જેમાં ઘાતાંકમાં લઘુગણક સાથે સકારાત્મક સંખ્યાને અમુક હકારાત્મક અને બિન-એકતા સંખ્યાની શક્તિ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે લોગરીધમ a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 ની સમાન વ્યાખ્યા પર આધારિત છે, પરંતુ સૂત્ર જમણેથી ડાબે લાગુ થાય છે, એટલે કે b=a log a b સ્વરૂપમાં . ઉદાહરણ તરીકે, 3=e ln3 અથવા 5=5 લોગ 5 5 .

ચાલો સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવા માટે લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) લોગ 3.75 1, h) લોગ 5 π 7 1 .

ઉકેલ.

અક્ષરો હેઠળના ઉદાહરણોમાં a), b) અને c) અભિવ્યક્તિઓ log −2 1, log 1 1, log 0 1 આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ નથી, કારણ કે લઘુગણકના આધારમાં નકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ નહીં, શૂન્ય અથવા એક, કારણ કે અમે લઘુગણકને માત્ર એવા આધાર માટે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જે હકારાત્મક અને એકતાથી અલગ હોય. તેથી, ઉદાહરણોમાં a) - c) અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાનો કોઈ પ્રશ્ન ન હોઈ શકે.

અન્ય તમામ કાર્યોમાં, દેખીતી રીતે, લઘુગણકના પાયા અનુક્રમે સકારાત્મક અને બિન-એકતા નંબરો 7, e, 10, 3.75 અને 5·π 7 ધરાવે છે, અને લઘુગણકના ચિન્હો હેઠળ દરેક જગ્યાએ એકમો છે. અને આપણે એકતાના લઘુગણકની મિલકત જાણીએ છીએ: કોઈપણ a>0, a≠1 માટે a 1=0 લોગ કરો. આમ, સમીકરણોના મૂલ્યો b) – e) શૂન્યની બરાબર છે.

જવાબ:

a), b), c) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) લોગ 3.75 1=0, h) લોગ 5 e 7 1= 0

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો: a) , b) lne , c) lg10 , d) લોગ 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) લોગ −3 (−3) , f) લોગ 1 1 .

ઉકેલ.

તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે આધારના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરવો પડશે, જે a>0, a≠1 માટે a=1 સૂત્ર લોગને અનુરૂપ છે. ખરેખર, બધા અક્ષરો હેઠળના કાર્યોમાં, લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા તેના આધાર સાથે એકરુપ છે. આમ, હું તરત જ કહેવા માંગુ છું કે આપેલ દરેક સમીકરણનું મૂલ્ય 1 છે. જો કે, તમારે નિષ્કર્ષ પર ઉતાવળ કરવી જોઈએ નહીં: અક્ષરો હેઠળના કાર્યોમાં a) - d) અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો ખરેખર એક સમાન હોય છે, અને કાર્યોમાં e) અને f) મૂળ અભિવ્યક્તિઓ અર્થપૂર્ણ નથી, તેથી તે એમ કહી શકાય નહીં કે આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો 1 ની બરાબર છે.

જવાબ:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) લોગ 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

ઉદાહરણ.

મૂલ્ય શોધો: a) લોગ 3 3 11, b) , c) , d) લોગ −10 (−10) 6 .

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, લોગરીધમના ચિહ્નો હેઠળ આધારની કેટલીક શક્તિઓ છે. આના આધારે, આપણે સમજીએ છીએ કે અહીં આપણને આધારની ડિગ્રીના ગુણધર્મની જરૂર પડશે: લોગ a a p =p, જ્યાં a>0, a≠1 અને p કોઈપણ છે વાસ્તવિક સંખ્યા. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે નીચેના પરિણામો છે: a) log 3 3 11 =11, b) , વી) . શું ફોર્મ લોગ −10 (−10) 6 =6 ના અક્ષર d) હેઠળના ઉદાહરણ માટે સમાન સમાનતા લખવી શક્ય છે? ના, તમે કરી શકતા નથી, કારણ કે અભિવ્યક્તિ લોગ −10 (−10) 6 નો અર્થ નથી.

જવાબ:

a) લોગ 3 3 11 = 11, b) , વી) , ડી) અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

ઉદાહરણ.

સમાન આધારનો ઉપયોગ કરીને લોગરીધમના સરવાળા અથવા તફાવત તરીકે અભિવ્યક્તિ રજૂ કરો: a) , b) , c) લોગ((−5)·(−12)) .

ઉકેલ.

a) લઘુગણકની નિશાની હેઠળ એક ઉત્પાદન છે, અને આપણે ઉત્પાદન લોગ a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 લોગરીધમની મિલકત જાણીએ છીએ. , y>0. અમારા કિસ્સામાં, લઘુગણકના આધારની સંખ્યા અને ઉત્પાદનમાંની સંખ્યાઓ હકારાત્મક છે, એટલે કે, તેઓ પસંદ કરેલી મિલકતની શરતોને સંતોષે છે, તેથી, અમે તેને સુરક્ષિત રીતે લાગુ કરી શકીએ છીએ: .

b) અહીં આપણે ભાગલાકાર લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું, જ્યાં a>0, a≠1, x>0, y>0. અમારા કિસ્સામાં, લઘુગણકનો આધાર હકારાત્મક સંખ્યા e છે, અંશ અને છેદ π હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ મિલકતની શરતોને સંતોષે છે, તેથી અમને પસંદ કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે: .

c) પ્રથમ, નોંધ લો કે અભિવ્યક્તિ લોગ((−5)·(−12)) અર્થપૂર્ણ છે. પરંતુ તે જ સમયે, તેના માટે અમને ઉત્પાદન લોગ a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y ના લોગરીધમ માટે સૂત્ર લાગુ કરવાનો અધિકાર નથી. >0, કારણ કે સંખ્યાઓ −5 અને −12 – ઋણ છે અને શરતો x>0, y>0 ને સંતોષતી નથી. એટલે કે, તમે આવા પરિવર્તન કરી શકતા નથી: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). તો આપણે શું કરવું જોઈએ? આવા કિસ્સાઓમાં, નકારાત્મક સંખ્યાઓને ટાળવા માટે મૂળ અભિવ્યક્તિને પ્રારંભિક પરિવર્તનની જરૂર છે. વિશે સમાન કેસોઅમે એક પૃષ્ઠમાં લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતર વિશે વિગતવાર ચર્ચા કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે અમે આ ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીશું, જે અગાઉથી સ્પષ્ટ છે અને સમજૂતી વિના: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

જવાબ:

અ) , b) , c) લોગ((−5)·(−12))=log5+lg12.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

ઉકેલ.

અહીં આપણને ઉત્પાદનના લઘુગણકના સમાન ગુણધર્મો અને ભાગના લઘુગણક દ્વારા મદદ મળશે જેનો આપણે અગાઉના ઉદાહરણોમાં ઉપયોગ કર્યો છે, ફક્ત હવે આપણે તેને જમણેથી ડાબે લાગુ કરીશું. એટલે કે, આપણે લઘુગણકના સરવાળાને ઉત્પાદનના લઘુગણકમાં અને લઘુગણકના તફાવતને ભાગના લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. અમારી પાસે
અ) લોગ 3 0.25+લોગ 3 16+લોગ 3 0.5=લોગ 3 (0.25 16 0.5)=લોગ 3 2.
b) .

જવાબ:

અ) લોગ 3 0.25+લોગ 3 16+લોગ 3 0.5=લોગ 3 2, b) .

ઉદાહરણ.

લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળની ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવો: a) લોગ 0.7 5 11, b) , c) લોગ 3 (−5) 6 .

ઉકેલ.

તે જોવાનું સરળ છે કે આપણે log a b p ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. લઘુગણકના અનુરૂપ ગુણધર્મમાં ફોર્મ લોગ a b p =p·log a b છે, જ્યાં a>0, a≠1, b>0, p - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા. એટલે કે, જો a>0, a≠1, b>0 શરતો પૂરી થાય, તો પાવર લોગ a b p ના લઘુગણકમાંથી આપણે ઉત્પાદન p·log a b પર આગળ વધી શકીએ છીએ. ચાલો આપેલ અભિવ્યક્તિઓ સાથે આ પરિવર્તન કરીએ.

a) આ કિસ્સામાં a=0.7, b=5 અને p=11. તેથી લોગ 0.7 5 11 = 11·લોગ 0.7 5.

b) અહીં, a>0, a≠1, b>0 શરતો સંતુષ્ટ છે. એ કારણે

c) અભિવ્યક્તિ લોગ 3 (−5) 6 માં સમાન બંધારણ લોગ a b p , a=3 , b=−5 , p=6 છે. પરંતુ b માટે શરત b>0 સંતુષ્ટ નથી, જે ફોર્મ્યુલા લોગ a b p =p·log a b નો ઉપયોગ કરવાનું અશક્ય બનાવે છે. તો શું, તમે કાર્યનો સામનો કરી શકતા નથી? તે શક્ય છે, પરંતુ અભિવ્યક્તિનું પ્રારંભિક પરિવર્તન જરૂરી છે, જેની અમે શીર્ષક હેઠળના ફકરામાં નીચે વિગતવાર ચર્ચા કરીશું. ઉકેલ આના જેવો હશે: લોગ 3 (−5) 6 =લોગ 3 5 6 =6 લોગ 3 5.

જવાબ:

a) લોગ 0.7 5 11 = 11 લોગ 0.7 5 ,
b)
c) લોગ 3 (−5) 6 =6 લોગ 3 5.

ઘણી વાર, પરિવર્તનો હાથ ધરતી વખતે, પાવરના લઘુગણક માટેનું સૂત્ર p·log a b=log a b p સ્વરૂપમાં જમણેથી ડાબે લાગુ કરવું પડે છે (એ, b અને p માટે સમાન શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે). ઉદાહરણ તરીકે, 3·ln5=ln5 3 અને log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

ઉદાહરણ.

a) લોગ 2 5 ની કિંમતની ગણતરી કરો જો તે જાણીતું હોય કે log2≈0.3010 અને log5≈0.6990. b) અપૂર્ણાંકને લઘુગણક તરીકે આધાર 3 પર વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ.

એ) નવા લઘુગણક આધાર પર સંક્રમણ માટેનું સૂત્ર અમને આ લઘુગણકને દશાંશ લઘુગણકના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેના મૂલ્યો અમને જાણીતા છે: જે બાકી છે તે ગણતરીઓ હાથ ધરવાનું છે, અમારી પાસે છે .

b) અહીં નવા આધાર પર જવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે, અને તેને જમણેથી ડાબે લાગુ કરો, એટલે કે ફોર્મમાં . અમને મળે છે .

જવાબ:

a) લોગ 2 5≈2.3223, b) .

આ તબક્કે, અમે સૌથી વધુના પરિવર્તનને ખૂબ કાળજીપૂર્વક ધ્યાનમાં લીધું છે સરળ અભિવ્યક્તિઓલઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને. આ ઉદાહરણોમાં, અમારે એક ગુણધર્મ લાગુ કરવાની હતી અને વધુ કંઈ નહીં. હવે સાથે સ્પષ્ટ અંતઃકરણતમે ઉદાહરણો પર આગળ વધી શકો છો, જેના રૂપાંતરણ માટે લોગરીધમ્સ અને અન્ય ગુણધર્મોના ઉપયોગની જરૂર છે. વધારાના પરિવર્તનો. અમે આગામી ફકરામાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરીશું. પરંતુ તે પહેલાં, ચાલો લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી પરિણામોના ઉપયોગના ઉદાહરણોને સંક્ષિપ્તમાં જોઈએ.

ઉદાહરણ.

a) લઘુગણક ચિન્હ હેઠળના મૂળમાંથી છુટકારો મેળવો. b) અપૂર્ણાંકને આધાર 5 લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરો. c) લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં સત્તાઓથી તમારી જાતને મુક્ત કરો. ડી) અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો . e) અભિવ્યક્તિને આધાર 3 સાથે પાવર વડે બદલો.

ઉકેલ.

a) જો આપણે ડિગ્રીના લઘુગણકની મિલકતમાંથી કોરોલરી યાદ કરીએ , પછી તમે તરત જ જવાબ આપી શકો છો: .

b) અહીં આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જમણેથી ડાબે, અમારી પાસે છે .

c) બી આ બાબતેસૂત્ર પરિણામ આપે છે . અમને મળે છે .

d) અને અહીં તે કોરોલરી લાગુ કરવા માટે પૂરતું છે જેની સાથે સૂત્ર અનુરૂપ છે . તેથી .

e) લઘુગણકની મિલકત અમને ઇચ્છિત પરિણામ પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે: .

જવાબ:

અ) . b) . વી) . જી) . ડી) .

સળંગ બહુવિધ ગુણધર્મો લાગુ

લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતર પરના વાસ્તવિક કાર્યો સામાન્ય રીતે અગાઉના ફકરામાં આપણે જે કામ કર્યા હતા તેના કરતાં વધુ જટિલ હોય છે. તેમાં, એક નિયમ તરીકે, પરિણામ એક પગલામાં મેળવવામાં આવતું નથી, પરંતુ ઉકેલમાં પહેલેથી જ એક પછી એક મિલકતના અનુક્રમિક એપ્લિકેશનનો સમાવેશ થાય છે, વધારાના સમાન પરિવર્તનો, જેમ કે ઓપનિંગ કૌંસ, કાસ્ટિંગ. સમાન શરતો, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા વગેરે. તો ચાલો આવા ઉદાહરણોની નજીક જઈએ. આમાં કંઈ જટિલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ક્રિયાઓના ક્રમનું અવલોકન કરીને કાળજીપૂર્વક અને સતત કાર્ય કરવું.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો (લોગ 3 15−log 3 5) 7 લોગ 7 5.

ઉકેલ.

કૌંસમાં લઘુગણક વચ્ચેનો તફાવત, ભાગાંક લઘુગણકના ગુણધર્મ અનુસાર, લઘુગણક લોગ 3 (15:5) દ્વારા બદલી શકાય છે, અને પછી તેની કિંમત લોગ 3 (15:5)=log 3 3=1 ની ગણતરી કરો. અને લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા 7 લોગ 7 5 અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય 5 બરાબર છે. આ પરિણામોને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણને મળે છે (લોગ 3 15−લોગ 3 5) 7 લોગ 7 5 =1 5=5.

અહીં સમજૂતી વિના ઉકેલ છે:
(લોગ 3 15−લોગ 3 5) 7 લોગ 7 5 =લોગ 3 (15:5) 5=
=લોગ 3 3·5=1·5=5 .

જવાબ:

(લોગ 3 15−log 3 5) 7 લોગ 7 5 =5.

ઉદાહરણ.

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1 ની કિંમત શું છે?

ઉકેલ.

આપણે સૌપ્રથમ પાવરના લઘુગણક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ લઘુગણકનું રૂપાંતર કરીએ છીએ: log 2 2 3 =3. આમ, લોગ 3 લોગ 2 2 3 = લોગ 3 3 અને પછી લોગ 3 3=1. તો લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1=1−1=0 .

જવાબ:

લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1=0 .

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ.

નવા લઘુગણક આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર લોગરીધમના ગુણોત્તરને એક આધાર સાથે લોગ 3 5 તરીકે દર્શાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપ લેશે. લઘુગણકની વ્યાખ્યા પ્રમાણે 3 લોગ 3 5 =5, એટલે કે , અને પરિણામી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય, લઘુગણકની સમાન વ્યાખ્યાના આધારે, બે બરાબર છે.

અહીં ટૂંકું સંસ્કરણઉકેલો, જે સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે: .

જવાબ:

આગળના ફકરામાં માહિતીમાં સરળતાથી સંક્રમણ કરવા માટે, ચાલો 5 2+log 5 3 અને log0.01 સમીકરણો પર એક નજર કરીએ. તેમની રચના લઘુગણકના કોઈપણ ગુણધર્મોને બંધબેસતી નથી. તો શું થાય છે, તેઓ લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાતા નથી? જો તમે લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોને લાગુ કરવા માટે આ અભિવ્યક્તિઓ તૈયાર કરતા પ્રારંભિક પરિવર્તનો હાથ ધરો તો તે શક્ય છે. તેથી 5 2+લોગ 5 3 =5 2 5 લોગ 5 3 =25 3=75, અને log0.01=log10 −2 =−2. આગળ આપણે આ પ્રકારની અભિવ્યક્તિ તૈયારી કેવી રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે તેના પર વિગતવાર જોઈશું.

લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા માટે અભિવ્યક્તિઓ તૈયાર કરી રહ્યા છીએ

રૂપાંતરિત થતી અભિવ્યક્તિમાં લોગરીધમ્સ લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોને અનુરૂપ સૂત્રોના ડાબા અને જમણા ભાગોમાંથી સંકેતની રચનામાં ઘણી વાર અલગ પડે છે. પરંતુ ઘણી વાર નહીં, આ અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનમાં લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ શામેલ છે: તેનો ઉપયોગ કરવા માટે તમારે ફક્ત પ્રારંભિક તૈયારી. અને આ તૈયારી ચોક્કસ હાથ ધરવા સમાવેશ થાય છે ઓળખ પરિવર્તન, ગુણધર્મ લાગુ કરવા માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લઘુગણક લાવવું.

વાજબી બનવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે લગભગ કોઈપણ અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન પ્રારંભિક પરિવર્તન તરીકે કામ કરી શકે છે, સમાન શબ્દોના મામૂલી ઘટાડાથી લઈને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના ઉપયોગ સુધી. આ સમજી શકાય તેવું છે, કારણ કે રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ કોઈપણ ગાણિતિક વસ્તુઓ સમાવી શકે છે: કૌંસ, મોડ્યુલો, અપૂર્ણાંક, મૂળ, શક્તિઓ, વગેરે. આમ, લોગરીધમના ગુણધર્મોનો વધુ લાભ લેવા માટે તમારે કોઈપણ જરૂરી પરિવર્તન કરવા માટે તૈયાર રહેવાની જરૂર છે.

ચાલો આપણે તરત જ કહીએ કે આ બિંદુએ આપણે આપણી જાતને તમામ કલ્પનાશીલ પ્રારંભિક રૂપાંતરણોનું વર્ગીકરણ અને વિશ્લેષણ કરવાનું કાર્ય સુયોજિત કરતા નથી જે અમને પછીથી લઘુગણકના ગુણધર્મો અથવા લઘુગણકની વ્યાખ્યાને લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે. અહીં આપણે તેમાંથી માત્ર ચાર પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, જે સૌથી સામાન્ય છે અને વ્યવહારમાં મોટાભાગે જોવા મળે છે.

અને હવે તેમાંના દરેક વિશે વિગતવાર, તે પછી, અમારા વિષયના માળખામાં, જે બાકી છે તે લોગરીધમના સંકેતો હેઠળ ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનને સમજવાનું છે.

લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળ અને તેના આધાર પર શક્તિઓની ઓળખ

ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે તરત જ શરૂઆત કરીએ. ચાલો લોગરીધમ લઈએ. દેખીતી રીતે, આ સ્વરૂપમાં તેની રચના લઘુગણકના ગુણધર્મોના ઉપયોગ માટે અનુકૂળ નથી. શું કોઈક રીતે કન્વર્ટ કરવું શક્ય છે આ અભિવ્યક્તિતેને સરળ બનાવવા માટે, અથવા વધુ સારી રીતે, તેની કિંમતની ગણતરી કરો? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો આપણા ઉદાહરણના સંદર્ભમાં 81 અને 1/9 નંબરો પર નજીકથી નજર કરીએ. અહીં એ નોંધવું સરળ છે કે આ સંખ્યાઓ 3 ની ઘાત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, ખરેખર, 81 = 3 4 અને 1/9 = 3 −2. આ કિસ્સામાં, મૂળ લઘુગણક ફોર્મમાં રજૂ કરવામાં આવે છે અને સૂત્ર લાગુ કરવાનું શક્ય બને છે . તેથી, .

વિશ્લેષણ કરેલ ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ નીચેના વિચારને જન્મ આપે છે: જો શક્ય હોય તો, તમે ડિગ્રી અથવા તેના પરિણામોના લઘુગણકની મિલકતને લાગુ કરવા માટે લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં ડિગ્રીને અલગ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ ડિગ્રીઓને કેવી રીતે અલગ પાડવી તે શોધવાનું બાકી છે. ચાલો આ મુદ્દા પર કેટલીક ભલામણો આપીએ.

કેટલીકવાર તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા અને/અથવા તેના આધારમાં કેટલીક પૂર્ણાંક શક્તિ દર્શાવે છે, જેમ કે ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણમાં. લગભગ સતત આપણે બેની શક્તિઓ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે, જે સારી રીતે પરિચિત છે: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. ત્રણની શક્તિઓ વિશે પણ એવું જ કહી શકાય: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... સામાન્ય રીતે, જો તમારી આંખો સામે હોય તો તે નુકસાન પહોંચાડશે નહીં કુદરતી સંખ્યાઓની શક્તિઓનું કોષ્ટકએક ડઝનની અંદર. દસ, એકસો, હજાર, વગેરેની પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથે કામ કરવું પણ મુશ્કેલ નથી.

ઉદાહરણ.

મૂલ્યની ગણતરી કરો અથવા અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

ઉકેલ.

a) દેખીતી રીતે, 216=6 3, તેથી લોગ 6 216=લોગ 6 6 3 =3.

b) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શક્તિઓનું કોષ્ટક તમને અનુક્રમે 343 અને 1/243 સંખ્યાઓને શક્તિ 7 3 અને 3 −4 તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, આપેલ લઘુગણકનું નીચેનું રૂપાંતર શક્ય છે:

c) 0.000001=10 −6 અને 0.001=10 −3 થી, પછી લોગ 0.000001 0.001=લોગ 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

જવાબ:

a) લોગ 6 216=3, b) , c) લોગ 0.000001 0.001=1/2.

વધુ માં મુશ્કેલ કેસોસંખ્યાઓની શક્તિઓને અલગ પાડવા માટે વ્યક્તિએ આશરો લેવો પડશે.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને વધુમાં કન્વર્ટ કરો સરળ દૃશ્યલોગ 3 648 લોગ 2 3 .

ઉકેલ.

ચાલો જોઈએ કે 648 નંબરનું વિઘટન શું થાય છે મુખ્ય પરિબળો:

એટલે કે, 648=2 3 ·3 4. આમ, લોગ 3 648 લોગ 2 3 = લોગ 3 (2 3 3 4) લોગ 2 3.

હવે આપણે ઉત્પાદનના લઘુગણકને લઘુગણકના સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે પાવરના લઘુગણકના ગુણધર્મો લાગુ કરીએ છીએ:
લોગ 3 (2 3 3 4)લોગ 2 3=(લોગ 3 2 3 +લોગ 3 3 4)લોગ 2 3=
=(3·લોગ 3 2+4)·લોગ 2 3 .

પાવરના લઘુગણકની મિલકતમાંથી કોરોલરીના આધારે, જે સૂત્રને અનુરૂપ છે , ઉત્પાદન log32·log23 એ નું ઉત્પાદન છે, અને, જેમ જાણીતું છે, તે એક સમાન છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે 3 લોગ 3 2 લોગ 2 3+4 લોગ 2 3=3 1+4 લોગ 2 3=3+4 લોગ 2 3.

જવાબ:

લોગ 3 648 લોગ 2 3=3+4 લોગ 2 3.

ઘણી વાર, લઘુગણકના ચિહ્ન હેઠળ અને તેના આધારમાં અભિવ્યક્તિઓ અમુક સંખ્યાઓના મૂળ અને/અથવા શક્તિઓના ઉત્પાદનો અથવા ગુણોત્તરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, , . આવા અભિવ્યક્તિઓ શક્તિ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, મૂળથી સત્તામાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. આ પરિવર્તનો લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં શક્તિઓને અલગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને પછી લઘુગણકના ગુણધર્મોને લાગુ કરે છે.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો: a) , b).

ઉકેલ.

a) લઘુગણકના પાયામાં અભિવ્યક્તિ એ સમાન પાયા સાથેની શક્તિઓનું ઉત્પાદન છે, અનુરૂપ મિલકતઅમારી પાસે ડિગ્રી છે 5 2 ·5 −0.5 ·5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

હવે ચાલો લોગરીધમ ચિન્હ હેઠળના અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરીએ: આપણે મૂળમાંથી શક્તિ તરફ જઈશું, ત્યારબાદ આપણે સમાન આધારો સાથે શક્તિના ગુણોત્તરની મિલકતનો ઉપયોગ કરીશું: .

તે પ્રાપ્ત પરિણામોને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં બદલવાનું બાકી છે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો અને રૂપાંતર સમાપ્ત કરો:

b) 729 = 3 6 અને 1/9 = 3 −2 થી, મૂળ અભિવ્યક્તિ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

આગળ, આપણે પાવરના રુટની પ્રોપર્ટી લાગુ કરીએ છીએ, રુટથી પાવર તરફ જઈએ છીએ અને લોગરિધમના બેઝને પાવરમાં કન્વર્ટ કરવા માટે પાવરના રેશિયોની પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

વિચારણા છેલ્લું પરિણામ, અમારી પાસે .

જવાબ:

અ) , b).

તે સ્પષ્ટ છે કે માં સામાન્ય કેસલઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં સત્તા મેળવવા માટે, વિવિધ પરિવર્તનની જરૂર પડી શકે છે વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ. ચાલો એક-બે ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે: a) , b) .

ઉકેલ.

અમે આગળ નોંધીએ છીએ કે આપેલ અભિવ્યક્તિમાં ફોર્મ લોગ A B p છે, જ્યાં A=2, B=x+1 અને p=4. અમે પાવર લોગ a b p =p·log a b ના લોગરીધમના ગુણધર્મ અનુસાર આ પ્રકારની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કર્યું છે, તેથી, આપેલ અભિવ્યક્તિ સાથે હું તે જ કરવા માંગુ છું, અને લોગ 2 (x+1) 4 થી આગળ વધવું છું. 4·લોગ 2 (x+1) . હવે ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિની કિંમત અને રૂપાંતર પછી મેળવેલ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે x=−2. અમારી પાસે લોગ 2 (−2+1) 4 =લોગ 2 1=0 , અને 4 લોગ 2 (−2+1)=4 લોગ 2 (−1)- અર્થહીન અભિવ્યક્તિ. આ એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: "અમે શું ખોટું કર્યું?"

અને તેનું કારણ આ છે: અમે રૂપાંતરણ લોગ 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , ફોર્મ્યુલા લોગ a b p =p·log a b ના આધારે કર્યું, પરંતુ આ સૂત્રજો શરતો પૂરી થાય તો જ અમને અરજી કરવાનો અધિકાર છે: a>0, a≠1, b>0, p - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા. એટલે કે, આપણે જે રૂપાંતરણ કર્યું છે તે થાય છે જો x+1>0, જે x>−1 સમાન છે (A અને p માટે, શરતો પૂરી થાય છે). જો કે, અમારા કિસ્સામાં, મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ચલ xના ODZમાં માત્ર અંતરાલ x>−1 જ નહીં, પણ અંતરાલ xનો પણ સમાવેશ થાય છે.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ડીએલને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂરિયાત

ચાલો આપણે લોગ 2 (x+1) 4 પસંદ કરેલ અભિવ્યક્તિના રૂપાંતરણનું વિશ્લેષણ કરવાનું ચાલુ રાખીએ, અને હવે જોઈએ કે જ્યારે અભિવ્યક્તિ 4 · લોગ 2 (x+1) પર જઈએ ત્યારે ODZ નું શું થાય છે. અગાઉના ફકરામાં, અમને મૂળ અભિવ્યક્તિનો ODZ મળ્યો - આ સમૂહ છે (−∞, −1)∪(−1, +∞) . હવે 4·log 2 (x+1) અભિવ્યક્તિ માટે x ચલના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધીએ. તે શરત x+1>0 દ્વારા નક્કી થાય છે, જે સમૂહ (−1, +∞) ને અનુરૂપ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે લોગ 2 (x+1) 4 થી 4·log 2 (x+1) તરફ આગળ વધીએ ત્યારે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી સાંકડી થાય છે. અને અમે એવા રૂપાંતરણોને ટાળવા સંમત થયા જે DL ના સંકુચિત થવા તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે આ વિવિધ નકારાત્મક પરિણામો તરફ દોરી શકે છે.

અહીં તે તમારા માટે નોંધવું યોગ્ય છે કે તે પરિવર્તનના દરેક પગલા પર OA ને નિયંત્રિત કરવા અને તેના સંકુચિતતાને અટકાવવા માટે ઉપયોગી છે. અને જો અચાનક પરિવર્તનના કોઈ તબક્કે DL સંકુચિત થઈ ગયું હોય, તો પછી આ પરિવર્તન માન્ય છે કે કેમ અને અમને તે હાથ ધરવાનો અધિકાર છે કે કેમ તે ખૂબ કાળજીપૂર્વક જોવાનું યોગ્ય છે.

વાજબી બનવા માટે, ચાલો કહીએ કે વ્યવહારમાં આપણે સામાન્ય રીતે અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવું પડે છે જેમાં ચલોનો ODZ એવો હોય છે કે, જ્યારે રૂપાંતરણો હાથ ધરે છે, ત્યારે આપણે લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ આપણને પહેલાથી જ જાણીતા સ્વરૂપમાં પ્રતિબંધો વિના કરી શકીએ છીએ, બંનેમાંથી ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે. તમને ઝડપથી આની આદત પડી જાય છે, અને તમે યાંત્રિક રીતે પરિવર્તનો હાથ ધરવાનું શરૂ કરો છો, તે વિચાર્યા વિના કે તે હાથ ધરવાનું શક્ય છે કે કેમ. અને આવી ક્ષણો પર, નસીબની જેમ, વધુ જટિલ ઉદાહરણો સરકી જાય છે જેમાં લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોની બેદરકારીથી ઉપયોગ ભૂલો તરફ દોરી જાય છે. તેથી તમારે હંમેશા સતર્ક રહેવાની જરૂર છે અને ખાતરી કરો કે ODZ માં કોઈ સંકુચિતતા નથી.

લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો પર આધારિત મુખ્ય પરિવર્તનોને અલગથી પ્રકાશિત કરવાથી નુકસાન થશે નહીં, જે ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક હાથ ધરવામાં આવવું જોઈએ, જે OD ના સંકુચિતતા તરફ દોરી શકે છે, અને પરિણામે, ભૂલો તરફ દોરી શકે છે:

લઘુગણકના ગુણધર્મો પર આધારિત અભિવ્યક્તિઓના કેટલાક રૂપાંતરણો પણ વિરુદ્ધ તરફ દોરી શકે છે - ODZ ના વિસ્તરણ. ઉદાહરણ તરીકે, 4·log 2 (x+1) થી લોગ 2 (x+1) 4 માં સંક્રમણ ODZ ને સમૂહ (−1, +∞) થી (−∞, −1)∪(−1, +∞). જો આપણે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ODZ ના માળખામાં રહીએ તો આવા પરિવર્તનો થાય છે. તેથી હમણાં જ ઉલ્લેખિત રૂપાંતરણ 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 મૂળ અભિવ્યક્તિ 4·log 2 (x+1) માટે ચલ xના ODZ પર થાય છે, એટલે કે, માટે x+1> 0, જે (−1, +∞) સમાન છે.

હવે જ્યારે અમે લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ચલ સાથે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરતી વખતે તમારે ધ્યાન આપવાની જરૂર છે તે ઘોંઘાટની ચર્ચા કરી છે, આ રૂપાંતરણોને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે હાથ ધરવા તે શોધવાનું બાકી છે.

X+2>0 . શું તે અમારા કિસ્સામાં કામ કરે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો x ચલના ODZ પર એક નજર કરીએ. તે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે , જે x+2>0 શરતની સમકક્ષ છે (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ). આમ, અમે પાવરના લઘુગણકની મિલકતને સુરક્ષિત રીતે લાગુ કરી શકીએ છીએ.

અમારી પાસે
3 લોગ(x+2) 7 −લોગ(x+2)−5 લોગ(x+2) 4 =
=3·7·લોગ(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 લોગ(x+2)−લોગ(x+2)−20 લોગ(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

તમે અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો, સદભાગ્યે ODZ તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે આના જેવું:

જવાબ:

3 લોગ(x+2) 7 −લોગ(x+2)−5 લોગ(x+2) 4 =0.

પરંતુ જ્યારે લોગરીધમના ગુણધર્મો સાથેની શરતો ODZ પર પૂરી ન થાય ત્યારે શું કરવું? આને આપણે ઉદાહરણોથી સમજીશું.

ચાલો અભિવ્યક્તિ લોગ(x+2) 4 − log(x+2) 2 ને સરળ બનાવવાની જરૂર છે. આ અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર, અગાઉના ઉદાહરણની અભિવ્યક્તિથી વિપરીત, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો મફત ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. શા માટે? આ કિસ્સામાં ચલ x નું ODZ એ બે અંતરાલ x>−2 અને xનું જોડાણ છે<−2 . При x>−2 આપણે પાવરના લઘુગણકના ગુણધર્મને સરળતાથી લાગુ પાડી શકીએ છીએ અને ઉપરના ઉદાહરણ પ્રમાણે કાર્ય કરી શકીએ છીએ: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). પરંતુ ODZ માં એક વધુ અંતરાલ x+2 છે<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2અને આગળ k lg|x+2| ડિગ્રીના ગુણધર્મોને લીધે 4 −lg|x+2| 2. ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે |x+2|>0 થી, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરી શકાય છે. અમારી પાસે લોગ|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. હવે તમે તમારી જાતને મોડ્યુલમાંથી મુક્ત કરી શકો છો, કારણ કે તેણે તેનું કામ કર્યું છે. કારણ કે આપણે x+2 પર રૂપાંતરણ કરીએ છીએ<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ જોઈએ જેથી મોડ્યુલો સાથે કામ કરવું પરિચિત બને. ચાલો અભિવ્યક્તિમાંથી કલ્પના કરીએ રેખીય દ્વિપદી x−1, x−2 અને x−3 ના લઘુગણકના સરવાળા અને તફાવત પર જાઓ. પ્રથમ આપણે ODZ શોધીએ છીએ:

અંતરાલ (3, +∞) પર x−1, x−2 અને x−3 અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો હકારાત્મક છે, તેથી આપણે સરવાળા અને તફાવતના લઘુગણકના ગુણધર્મોને સરળતાથી લાગુ કરી શકીએ છીએ:

અને અંતરાલ (1, 2) પર x−1 અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો હકારાત્મક છે, અને x−2 અને x−3 અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો નકારાત્મક છે. તેથી, ગણવામાં આવેલ અંતરાલ પર આપણે મોડ્યુલસનો ઉપયોગ કરીને x−2 અને x−3 ને −|x−2| અને −|x−3| અનુક્રમે જેમાં

હવે આપણે ઉત્પાદન અને ભાગના લઘુગણકના ગુણધર્મો લાગુ કરી શકીએ છીએ, કારણ કે માનવામાં આવેલા અંતરાલ (1, 2) પર x−1 , |x−2| અને |x−3| - હકારાત્મક.

અમારી પાસે

પ્રાપ્ત પરિણામોને જોડી શકાય છે:

સામાન્ય રીતે, સમાન તર્ક, ઉત્પાદનના લઘુગણક, ગુણોત્તર અને ડિગ્રીના સૂત્રોના આધારે, ત્રણ વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગી પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, જે વાપરવા માટે તદ્દન અનુકૂળ છે:

ફોર્મ લોગ a (X·Y) ના બે મનસ્વી અભિવ્યક્તિઓ X અને Y ના ઉત્પાદનના લઘુગણકને લોગરીધમ લોગ a |X|+log a |Y|ના સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે. , a>0 , a≠1 .
ચોક્કસ ફોર્મ લોગ a (X:Y) ના લોગરીધમને લોગરીધમ લોગ a |X|−log a |Y| ના તફાવત દ્વારા બદલી શકાય છે. , a>0, a≠1, X અને Y એ મનસ્વી સમીકરણો છે.
અમુક અભિવ્યક્તિ B ના લોગરિધમથી લઈને લોગ a B p ફોર્મની એક સમાન શક્તિ p સુધી આપણે p·log a |B| અભિવ્યક્તિ પર જઈ શકીએ છીએ. , જ્યાં a>0, a≠1, p એ એક સમાન સંખ્યા છે અને B એ મનસ્વી અભિવ્યક્તિ છે.

સમાન પરિણામો આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંકીય અને હલ કરવા માટેની સૂચનાઓમાં લઘુગણક સમીકરણો M. I. Skanavi દ્વારા સંપાદિત, યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે ગણિતની સમસ્યાઓના સંગ્રહમાં.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

પાવર, સરવાળો અને તફાવતના લઘુગણકના ગુણધર્મોને લાગુ કરવું સારું રહેશે. પરંતુ શું આપણે આ અહીં કરી શકીએ? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે આપણે DPD જાણવાની જરૂર છે.

ચાલો તેને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે x+4, x−2 અને (x+4) 13 ચલ xના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સમીકરણો હકારાત્મક અને નકારાત્મક એમ બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. તેથી, આપણે મોડ્યુલો દ્વારા કાર્ય કરવું પડશે.

મોડ્યુલ પ્રોપર્ટીઝ તમને તેને આ રીતે ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે

ઉપરાંત, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરવાથી અને પછી સમાન શરતો લાવવાથી તમને કંઈપણ અટકાવતું નથી:

પરિવર્તનનો બીજો ક્રમ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે:

અને ODZ પર x−2 અભિવ્યક્તિ સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે, પછી જ્યારે સમ ઘાતાંક 14 મૂકે ત્યારે

મુખ્ય ગુણધર્મો.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

સમાન આધારો

લોગ6 4 + લોગ6 9.

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ.

લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો

જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

અલબત્ત, આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે જો લઘુગણકનો ODZ અવલોકન કરવામાં આવે: a > 0, a ≠ 1, x >

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લોગરીધમ લોગેક્સ આપવા દો. પછી કોઈપણ સંખ્યા c માટે જેમ કે c > 0 અને c ≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

આ પણ જુઓ:

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ઘાત 2.718281828 છે…. ઘાતાંકને યાદ રાખવા માટે, તમે નિયમનો અભ્યાસ કરી શકો છો: ઘાતાંક 2.7 ની બરાબર છે અને લીઓ નિકોલાઈવિચ ટોલ્સટોયના જન્મના વર્ષમાં બે વાર છે.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

આ નિયમ જાણીને, તમે જાણશો અને ખરી કિંમતપ્રદર્શકો, અને લીઓ ટોલ્સટોયની જન્મ તારીખ.

લોગરીધમ માટે ઉદાહરણો

લોગરીધમ અભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ 1.
એ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને અમે ગણતરી કરીએ છીએ

4. જ્યાં .

ઉદાહરણ 2. જો x શોધો

ઉદાહરણ 3. લોગરીધમનું મૂલ્ય આપવા દો

જો લોગ(x) ની ગણતરી કરો

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર નથી નિયમિત સંખ્યાઓ, અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - તેમના વિના એક પણ ગંભીર સમસ્યા હલ થઈ શકતી નથી. લઘુગણક સમસ્યા. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગેક્સ અને લોગે. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. નૉૅધ: મુખ્ય ક્ષણઅહીં - સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે લઘુગણક અભિવ્યક્તિજ્યારે તેના વ્યક્તિગત ભાગોની ગણતરી કરવામાં આવતી નથી ત્યારે પણ (“લગ્નગરીધમ શું છે” પાઠ જુઓ). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log2 48 − log2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log3 135 − log3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા આ હકીકત પર બાંધવામાં આવે છે ટેસ્ટ પેપરો. નિયંત્રણો વિશે શું? સમાન અભિવ્યક્તિઓયુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ઓફર કરવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક કાઢવું

તે નોંધવું સરળ છે છેલ્લો નિયમપ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકની ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x > 0. અને બીજી એક વાત: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો. , એટલે કે લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો. આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log7 496.

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 24; 49 = 72. અમારી પાસે છે:

મને લાગે છે છેલ્લું ઉદાહરણસ્પષ્ટતા જરૂરી. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ.

લઘુગણક સૂત્રો. લોગરીધમ ઉદાહરણો ઉકેલો.

અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ2 7. લોગ2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક કહ્યું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

ખાસ કરીને, જો આપણે c = x સેટ કરીએ, તો આપણને મળશે:

બીજા સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

આ સૂત્રો પરંપરાગતમાં ભાગ્યે જ જોવા મળે છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે કે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log5 16 log2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યા n દલીલમાં ઘાતાંક બને છે. સંખ્યા n સંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તે તેને કહેવાય છે: .

વાસ્તવમાં, જો સંખ્યા b ને એવી ઘાત સુધી વધારવામાં આવે કે આ ઘાતની સંખ્યા b એ સંખ્યા a આપે તો શું થાય? તે સાચું છે: પરિણામ એ જ સંખ્યા છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર સંક્રમણ માટેના સૂત્રોની જેમ, મુખ્ય લઘુગણક ઓળખક્યારેક તે એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ લો કે log25 64 = log5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સાથે સત્તાઓનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેવું સમાન આધાર, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય, તો યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

લોગા = 1 છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: તે આધારના જ કોઈપણ આધાર a માટે લઘુગણક એક સમાન.
લોગા 1 = 0 છે. આધાર a કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય તો - લઘુગણક શૂન્ય બરાબર! કારણ કે a0 = 1 છે સીધું પરિણામવ્યાખ્યામાંથી.

તે તમામ ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.

આ પણ જુઓ:

a ને બેઝ કરવા માટે b નો લઘુગણક અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે. લઘુગણકની ગણતરી કરવાનો અર્થ એ છે કે પાવર x () શોધવાનું કે જેના પર સમાનતા સંતુષ્ટ હોય

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને જાણવું જરૂરી છે, કારણ કે લઘુગણકને લગતી લગભગ તમામ સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણો તેના આધારે ઉકેલવામાં આવે છે. બાકીના વિદેશી ગુણધર્મો આ સૂત્રો સાથે ગાણિતિક મેનિપ્યુલેશન્સ દ્વારા મેળવી શકાય છે

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

લોગરિધમ્સ (3.4) ના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રની ગણતરી કરતી વખતે તમે ઘણી વાર આવો છો. બાકીના કેટલાક અંશે જટિલ છે, પરંતુ સંખ્યાબંધ કાર્યોમાં તેઓ જટિલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા અને તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે અનિવાર્ય છે.

લઘુગણકના સામાન્ય કિસ્સાઓ

કેટલાક સામાન્ય લઘુગણક એવા છે કે જેમાં આધાર દસ, ઘાતાંકીય અથવા બે હોય છે.
બેઝ ટેન સુધીના લઘુગણકને સામાન્ય રીતે દશાંશ લઘુગણક કહેવામાં આવે છે અને તેને ફક્ત lg(x) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

રેકોર્ડિંગ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રેકોર્ડિંગમાં બેઝિક્સ લખવામાં આવી નથી. દાખ્લા તરીકે

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ લઘુગણક છે જેનો આધાર ઘાતાંક છે (ln(x) દ્વારા સૂચિત).

ઘાત 2.718281828 છે…. ઘાતાંકને યાદ રાખવા માટે, તમે નિયમનો અભ્યાસ કરી શકો છો: ઘાતાંક 2.7 ની બરાબર છે અને લીઓ નિકોલાઈવિચ ટોલ્સટોયના જન્મના વર્ષમાં બે વાર છે. આ નિયમને જાણીને, તમે ઘાતાંકની ચોક્કસ કિંમત અને લીઓ ટોલ્સટોયની જન્મ તારીખ બંને જાણી શકશો.

અને બેઝ બે માટે અન્ય મહત્વપૂર્ણ લઘુગણક દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે

ફંક્શનના લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન ચલ વડે ભાગ્યા સમાન છે

ઇન્ટિગ્રલ અથવા એન્ટિડેરિવેટિવ લોગરીધમ સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

આપેલ સામગ્રી તમારા માટે લઘુગણક અને લઘુગણક સંબંધિત સમસ્યાઓના વિશાળ વર્ગને ઉકેલવા માટે પૂરતી છે. સામગ્રીને સમજવામાં તમને મદદ કરવા માટે, હું આમાંથી માત્ર થોડા સામાન્ય ઉદાહરણો આપીશ શાળા અભ્યાસક્રમઅને યુનિવર્સિટીઓ.

લોગરીધમ માટે ઉદાહરણો

લોગરીધમ અભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ 1.
એ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને અમે ગણતરી કરીએ છીએ

2.
લોગરીધમના તફાવતના ગુણધર્મ દ્વારા આપણી પાસે છે

3.
ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

4. જ્યાં .

દેખાવ દ્વારા જટિલ અભિવ્યક્તિસંખ્યાબંધ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને રચનાને સરળ બનાવવામાં આવે છે

લઘુગણક મૂલ્યો શોધવી

ઉદાહરણ 2. જો x શોધો

ઉકેલ. ગણતરી માટે, અમે છેલ્લી મુદત 5 અને 13 ગુણધર્મો માટે અરજી કરીએ છીએ

અમે તેને રેકોર્ડ પર મૂકીએ છીએ અને શોક કરીએ છીએ

પાયા સમાન હોવાથી, અમે સમીકરણોની સમાનતા કરીએ છીએ

લઘુગણક. પ્રથમ સ્તર.

લઘુગણકનું મૂલ્ય આપવા દો

જો લોગ(x) ની ગણતરી કરો

ઉકેલ: ચાલો ચલનો લઘુગણક લઈએ અને તેના શબ્દોના સરવાળા દ્વારા લઘુગણક લખીએ.

આ લોગરીધમ્સ અને તેમના ગુણધર્મો સાથેના અમારા પરિચયની માત્ર શરૂઆત છે. ગણતરીઓનો અભ્યાસ કરો, તમારી વ્યવહારિક કુશળતાને સમૃદ્ધ બનાવો - લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમને ટૂંક સમયમાં જ તમને પ્રાપ્ત જ્ઞાનની જરૂર પડશે. આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે તમારા જ્ઞાનને બીજા સમાન મહત્વના વિષય - લઘુગણક અસમાનતાઓ પર વિસ્તૃત કરીશું.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - તેમના વિના, એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા હલ થઈ શકતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અહીં મુખ્ય મુદ્દો છે સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log6 4 + log6 9.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log2 48 − log2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log3 135 − log3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા પરીક્ષણો આ હકીકત પર આધારિત છે. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક કાઢવું

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લો નિયમ પ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

લોગરીધમ્સ કેવી રીતે હલ કરવી

આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log7 496.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ. અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

ખાસ કરીને, જો આપણે c = x સેટ કરીએ, તો આપણને મળશે:

સામાન્ય આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓમાં આ સૂત્રો ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log5 16 log2 25.

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log9 100 lg 3.

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તે તેને કહેવાય છે: .

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ લો કે log25 64 = log5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય, તો યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

લોગા = 1 છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: તે આધારના કોઈપણ આધાર a માટે લઘુગણક પોતે એક સમાન છે.
લોગા 1 = 0 છે. આધાર a કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઈમેલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી, અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

સાથે શરૂઆત કરીએ એકના લઘુગણકના ગુણધર્મો. તેની રચના નીચે મુજબ છે: એકતાનો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે, લોગ a 1=0કોઈપણ a>0, a≠1 માટે. સાબિતી અઘરી નથી: ઉપરોક્ત શરતો a>0 અને a≠1ને સંતોષતી કોઈપણ માટે 0 =1, તો પછી સાબિત કરવા માટે સમાનતા લોગ a 1=0 લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી તરત જ અનુસરે છે.

ચાલો આપણે ગણવામાં આવેલ મિલકતના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપીએ: લોગ 3 1=0, log1=0 અને .

ચાલો આગળ વધીએ નીચેની મિલકત માટે: સંખ્યાનો લઘુગણક, આધાર સમાન, એક સમાન, તે જ, લોગ a a=1 a>0, a≠1 માટે. ખરેખર, કોઈપણ a માટે 1 =a હોવાથી, પછી લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા લોગ a=1.

લોગરીધમના આ ગુણધર્મના ઉપયોગના ઉદાહરણો સમાનતા લોગ 5 5=1, લોગ 5.6 5.6 અને lne=1 છે.

ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 2 7 =7, લોગ10 -4 =-4 અને .

બેના ગુણાંકનો લઘુગણક હકારાત્મક સંખ્યાઓ x અને y ઉત્પાદન સમાનઆ સંખ્યાઓના લઘુગણક: log a (x y) = log a x+ log a y, a>0 , a≠1 . ચાલો ઉત્પાદનના લઘુગણકની મિલકત સાબિત કરીએ. ડિગ્રીના ગુણધર્મોને કારણે a લોગ a x+ log a y =a લોગ a x · a લોગ a y, અને મુખ્ય લઘુગણક ઓળખ દ્વારા લોગ a x =x અને લોગ a y =y, પછી લોગ a x ·a લોગ a y =x·y. આમ, લોગ a x+log a y =x·y, જેમાંથી, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા, સમાનતા સાબિત થઈ રહી છે.

ચાલો ઉત્પાદનના લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો બતાવીએ: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 અને .

ઉત્પાદનના લઘુગણકની મિલકતને ઉત્પાદનમાં સામાન્ય કરી શકાય છે મર્યાદિત સંખ્યા n હકારાત્મક સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , …, x n તરીકે લોગ a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= લોગ a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . આ સમાનતા સમસ્યાઓ વિના સાબિત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદનના કુદરતી લઘુગણકને ત્રણના સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે કુદરતી લઘુગણકનંબરો 4 , e , અને .

બે સકારાત્મક સંખ્યાઓના ભાગનો લઘુગણક x અને y તફાવત સમાનઆ સંખ્યાઓના લઘુગણક. ભાગલાકારના લઘુગણકની મિલકત ફોર્મના સૂત્રને અનુરૂપ છે, જ્યાં a>0, a≠1, x અને y કેટલીક હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે. આ સૂત્રની માન્યતા તેમજ ઉત્પાદનના લઘુગણક માટેના સૂત્ર સાબિત થાય છે: ત્યારથી , પછી લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા.

લોગરીધમના આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાનું અહીં એક ઉદાહરણ છે: .

ચાલો આગળ વધીએ પાવરના લઘુગણકની મિલકત. ડિગ્રીનો લઘુગણક ઘાતાંકના ગુણાંક અને આ ડિગ્રીના આધારના મોડ્યુલસના લઘુગણક સમાન છે. ચાલો પાવરના લઘુગણકની આ ગુણધર્મને સૂત્ર તરીકે લખીએ: લોગ a b p = p·log a |b|, જ્યાં a>0, a≠1, b અને p એવી સંખ્યાઓ છે કે જે b p ડિગ્રીનો અર્થ થાય છે અને b p >0.

પહેલા આપણે આ ગુણધર્મને ધન b માટે સાબિત કરીએ છીએ. મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ આપણને b ને લોગ a b તરીકે દર્શાવવા દે છે, પછી b p =(a log a b) p , અને પરિણામી અભિવ્યક્તિ, પાવરના ગુણધર્મને લીધે, p·log a b ની બરાબર છે. તેથી આપણે સમાનતા b p =a p·log a b પર આવીએ છીએ, જેમાંથી, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે લોગ a b p =p·log a b.

તે નકારાત્મક b માટે આ મિલકત સાબિત કરવાનું બાકી છે. અહીં આપણે નોંધીએ છીએ કે ઋણ b માટે સમીકરણ લોગ a b p માત્ર ઘાતાંક p માટે અર્થપૂર્ણ છે (કારણ કે ડિગ્રી b p નું મૂલ્ય હોવું જોઈએ શૂન્યથી ઉપર, અન્યથા લઘુગણકનો અર્થ થશે નહીં), અને આ કિસ્સામાં b p =|b| પી. પછી b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, જ્યાંથી લોગ a b p =p·log a |b| .

દાખ્લા તરીકે, અને ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

તે પાછલી મિલકતમાંથી અનુસરે છે મૂળમાંથી લઘુગણકની મિલકત: nમા મૂળનો લઘુગણક આમૂલ અભિવ્યક્તિના લઘુગણક દ્વારા અપૂર્ણાંક 1/n ના ગુણાંક જેટલો છે, એટલે કે, , જ્યાં a>0, a≠1, n – કુદરતી સંખ્યા, એક કરતાં વધુ, b>0.

સાબિતી સમાનતા (જુઓ) પર આધારિત છે, જે કોઈપણ હકારાત્મક b માટે માન્ય છે, અને પાવરના લઘુગણકની મિલકત: .

અહીં આ મિલકતનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ છે: .

હવે સાબિત કરીએ નવા લઘુગણક આધાર પર જવા માટેનું સૂત્રપ્રકારની . આ કરવા માટે, સમાનતા લોગ c b=log a b·log c a ની માન્યતા સાબિત કરવા માટે તે પૂરતું છે. મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ અમને b ને લોગ a b તરીકે દર્શાવવા દે છે, પછી log c b=log c a log a b. તે ડિગ્રીના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરવાનું બાકી છે: log c a log a b = log a b log c a. આ સમાનતા log c b=log a b·log c a સાબિત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે લઘુગણકના નવા આધાર પર સંક્રમણ માટેનું સૂત્ર પણ સાબિત થયું છે.

ચાલો લઘુગણકની આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના કેટલાક ઉદાહરણો બતાવીએ: અને .

નવા આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર તમને "અનુકૂળ" આધાર ધરાવતા લોગરીધમ્સ સાથે કામ કરવા માટે આગળ વધવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેની સહાયથી તમે કુદરતી અથવા પર સ્વિચ કરી શકો છો દશાંશ લઘુગણકજેથી તમે લોગરીધમના કોષ્ટકમાંથી લઘુગણકની કિંમતની ગણતરી કરી શકો. નવા લઘુગણક આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર કેટલાક કિસ્સાઓમાં આપેલ લઘુગણકનું મૂલ્ય શોધવાની પણ પરવાનગી આપે છે જ્યારે અન્ય પાયા સાથેના કેટલાક લઘુગણકના મૂલ્યો જાણીતા હોય.

વારંવાર ઉપયોગ થાય છે ખાસ કેસફોર્મના c=b સાથે લઘુગણકના નવા આધાર પર સંક્રમણ માટેના સૂત્રો . આ બતાવે છે કે લોગ એ બી અને લોગ બી એ – . દા.ત. .

સૂત્રનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે , જે લઘુગણક મૂલ્યો શોધવા માટે અનુકૂળ છે. અમારા શબ્દોની પુષ્ટિ કરવા માટે, અમે બતાવીશું કે તેનો ઉપયોગ ફોર્મના લઘુગણકના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે કેવી રીતે થઈ શકે છે. અમારી પાસે . સૂત્ર સાબિત કરવા માટે લોગરીધમ a ના નવા આધાર પર સંક્રમણ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે: .

તે લઘુગણકની તુલનાના ગુણધર્મોને સાબિત કરવાનું બાકી છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે b 1 અને b 2, b 1 લોગ a b 2 , અને a>1 માટે - અસમાનતા લોગ a b 1

છેલ્લે, તે લઘુગણકની સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોમાંથી છેલ્લી સાબિત કરવાનું બાકી છે. ચાલો આપણે પોતાને તેના પ્રથમ ભાગના પુરાવા સુધી મર્યાદિત કરીએ, એટલે કે, આપણે સાબિત કરીશું કે જો 1 > 1, 2 > 1 અને 1 1 સાચો લોગ a 1 b> લોગ a 2 b છે. લઘુગણકના આ ગુણધર્મના બાકીના નિવેદનો સમાન સિદ્ધાંત અનુસાર સાબિત થાય છે.

ચાલો વિપરીત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ધારો કે 1 > 1, 2 > 1 અને 1 માટે 1 સાચો લોગ a 1 b≤log a 2 b છે. લઘુગણકના ગુણધર્મોના આધારે, આ અસમાનતાઓને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે અને અનુક્રમે, અને તેમાંથી તે અનુસરે છે કે log b a 1 ≤log b a 2 અને log b a 1 ≥log b a 2, અનુક્રમે. પછી, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓના ગુણધર્મો અનુસાર, સમાનતાઓ b log b a 1 ≥b log b a 2 અને b log b a 1 ≥b log b a 2 હોવી જ જોઈએ, એટલે કે, a 1 ≥a 2. તેથી અમે શરત એ 1 ના વિરોધાભાસ પર આવ્યા

ગ્રંથસૂચિ.

કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.

ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).