વ્યુત્પન્ન વિનાના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો. કયા બિંદુએ વ્યુત્પન્ન સૌથી મહાન છે? બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવો

કાર્ય કરવા દો y =f(X)અંતરાલ પર સતત છે [ a, b]. જેમ જાણીતું છે, આવા કાર્ય આ સેગમેન્ટમાં તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. ફંક્શન આ મૂલ્યો લઈ શકે છે આંતરિક બિંદુસેગમેન્ટ [ a, b], અથવા સેગમેન્ટની સીમા પર.

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે [ a, b] જરૂરી:

1) શોધો નિર્ણાયક મુદ્દાઓઅંતરાલમાં કાર્યો ( a, b);

2) મળેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરો;

3) સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો, એટલે કે જ્યારે x=એઅને x = b;

4) ફંક્શનના તમામ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોમાંથી, સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો.

ઉદાહરણ.ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો

સેગમેન્ટ પર.

નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધવી:

આ બિંદુઓ સેગમેન્ટની અંદર આવેલા છે; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

બિંદુ પર x= 3 અને બિંદુ પર x= 0.

બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.

કાર્ય y = f (x) કહેવાય છે બહિર્મુખવચ્ચે (a, b) , જો તેનો ગ્રાફ આ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની નીચે રહેલો હોય, અને તેને કહેવામાં આવે છે બહિર્મુખ નીચે (અંતર્મુખ), જો તેનો ગ્રાફ સ્પર્શકની ઉપર આવેલો છે.

બિંદુ કે જેના દ્વારા બહિર્મુખતાને અવતરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અથવા તેનાથી વિપરીત કહેવામાં આવે છે વળાંક બિંદુ.

બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુની તપાસ માટે અલ્ગોરિધમ:

1. બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે એવા બિંદુઓ કે જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

2. સંખ્યા રેખા પર નિર્ણાયક બિંદુઓનું પ્લોટ કરો, તેને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો. દરેક અંતરાલ પર બીજા વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધો; જો , તો ફંક્શન બહિર્મુખ ઉપરની તરફ છે, જો, તો ફંક્શન બહિર્મુખ નીચે તરફ છે.

3. જો, જ્યારે બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે અને આ બિંદુએ બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, તો આ બિંદુ એ ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુનો એબ્સીસા છે. તેનું ઓર્ડિનેટ શોધો.

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ. એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.

વ્યાખ્યા.ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટને કહેવામાં આવે છે સીધા, જેમાં ગુણધર્મ છે કે આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુથી આ રેખા સુધીનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે ગ્રાફ પરનો બિંદુ મૂળથી અનિશ્ચિત સમય સુધી ખસે છે.

ત્રણ પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને વળેલું.

વ્યાખ્યા.સીધી રેખા કહેવાય છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x), જો આ બિંદુએ ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અનંત સમાન હોય, તો તે છે

ફંક્શનનું વિરામ બિંદુ ક્યાં છે, એટલે કે, તે વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી.

ઉદાહરણ.

ડી ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - વિરામ બિંદુ.

વ્યાખ્યા.સીધું y =એકહેવાય છે આડી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)ખાતે, જો

ઉદાહરણ.

વ્યાખ્યા.સીધું y =kx +b (k≠ 0) કહેવાય છે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)પર, ક્યાં

કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા અને ગ્રાફ બનાવવા માટેની સામાન્ય યોજના.

કાર્ય સંશોધન અલ્ગોરિધમy = f(x) :

1. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો ડી (y).

2. સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ (જો શક્ય હોય તો) શોધો (જો x= 0 અને ખાતે y = 0).

3. કાર્યની સમાનતા અને વિચિત્રતાની તપાસ કરો ( y (‒ x) = y (x) ‒ સમાનતા y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ વિચિત્ર).

4. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

5. ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો.

6. ફંક્શનની સીમા શોધો.

7. ફંક્શન ગ્રાફના બહિર્મુખતા (અંતર્મુખતા) અને વળાંક બિંદુઓના અંતરાલો શોધો.

8. હાથ ધરાયેલા સંશોધનના આધારે, કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો.

ઉદાહરણ.કાર્યનું અન્વેષણ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.

1) ડી (y) =

x= 4 - વિરામ બિંદુ.

2) ક્યારે x = 0,

(0; ‒ 5) – સાથે છેદન બિંદુ ઓહ.

મુ y = 0,

3) y(‒ x)= કાર્ય સામાન્ય દૃશ્ય(એક પણ કે વિષમ પણ નહીં).

4) અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે તપાસ કરીએ છીએ.

a) ઊભી

b) આડી

c) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો જ્યાં

- ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ

5) આ સમીકરણમાં કાર્યની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવાનું જરૂરી નથી.

6)

આ નિર્ણાયક બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને અંતરાલ (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) અને (10; +∞) માં વિભાજિત કરે છે. નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં પ્રાપ્ત પરિણામો રજૂ કરવા માટે તે અનુકૂળ છે.

વ્યવહારમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવો એકદમ સામાન્ય છે. અમે આ ક્રિયા ત્યારે કરીએ છીએ જ્યારે આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કેવી રીતે ખર્ચ ઘટાડવો, નફો વધારવો, ઉત્પાદન પરના શ્રેષ્ઠ ભારની ગણતરી કરવી વગેરે, એટલે કે એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપણે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે. શ્રેષ્ઠ મૂલ્યકોઈપણ પરિમાણ. આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે હલ કરવા માટે, તમારે સારી રીતે સમજવાની જરૂર છે કે સૌથી મહાન અને શું છે સૌથી નાનું મૂલ્યકાર્યો

Yandex.RTB R-A-339285-1

સામાન્ય રીતે આપણે આ મૂલ્યોને ચોક્કસ અંતરાલ x ની અંદર વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે બદલામાં ફંક્શનના સમગ્ર ડોમેન અથવા તેના ભાગને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. તે સેગમેન્ટ [a; b ] , અને ખુલ્લું અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), અનંત અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) અથવા અનંત અંતરાલ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞; + ∞) .

આ લેખમાં અમે તમને કહીશું કે સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની સ્પષ્ટ રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી આપેલ કાર્યએક ચલ સાથે y=f(x) y = f (x) .

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

ચાલો, હંમેશની જેમ, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓની રચના સાથે પ્રારંભ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y = f (x 0) x ∈ X છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા બનાવે છે f (x) ≤ f (x) માન્ય 0) .

વ્યાખ્યા 2

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી નાનું મૂલ્ય m i n x ∈ X y = f (x 0) છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા f(X f) બનાવે છે. (x) ≥ f (x 0) .

આ વ્યાખ્યાઓ એકદમ સ્પષ્ટ છે. તેનાથી પણ સરળ, આપણે આ કહી શકીએ: ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તેની સૌથી વધુ છે મહાન મૂલ્ય abscissa x 0 પર જાણીતા અંતરાલ પર, અને x 0 પર સમાન અંતરાલ પર સૌથી નાનું સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા 3

સ્થિર બિંદુઓ ફંક્શનની દલીલના તે મૂલ્યો છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન 0 બને છે.

આપણે શા માટે એ જાણવાની જરૂર છે કે સ્થિર બિંદુઓ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયને યાદ રાખવાની જરૂર છે. તે તેના પરથી અનુસરે છે કે સ્થિર બિંદુ એ એક બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક કાર્યનો અંતિમ ભાગ સ્થિત છે (એટલે ​​કે તેનું સ્થાનિક લઘુત્તમઅથવા મહત્તમ). પરિણામે, ફંક્શન ચોક્કસ અંતરાલ પર સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર ચોક્કસપણે સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.

ફંક્શન તે બિંદુઓ પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પણ લઈ શકે છે જ્યાં ફંક્શન પોતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે પહેલો પ્રશ્ન ઉદ્ભવે છે: બધા કિસ્સાઓમાં, શું આપણે ફંક્શનનું સૌથી મોટું કે સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ? આ સેગમેન્ટ? ના, અમે આ કરી શકતા નથી જ્યારે આપેલ અંતરાલની સીમાઓ વ્યાખ્યા ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય, અથવા જો આપણે અનંત અંતરાલ સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ. એવું પણ બને છે કે આપેલ સેગમેન્ટમાં અથવા અનંતમાં ફંક્શન અનંત નાના અથવા અનંત મોટા મૂલ્યો લેશે. આ કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરવું શક્ય નથી.

ગ્રાફ પર દર્શાવ્યા પછી આ મુદ્દા વધુ સ્પષ્ટ થશે:

પ્રથમ આકૃતિ આપણને એક કાર્ય બતાવે છે જે સેગમેન્ટ [ - 6 ; 6].

ચાલો બીજા ગ્રાફમાં દર્શાવેલ કેસની વિગતવાર તપાસ કરીએ. ચાલો સેગમેન્ટની કિંમત [ 1 ; 6 ] અને આપણે શોધીએ છીએ કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય અંતરાલની જમણી સીમા પરના એબ્સીસા સાથેના બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે અને સૌથી નાનું સ્થિર બિંદુ.

ત્રીજી આકૃતિમાં, પોઈન્ટના એબ્સીસાસ સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓને રજૂ કરે છે [ - 3 ; 2]. તેઓ આપેલ કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

હવે ચાલો ચોથું ચિત્ર જોઈએ. તેમાં, ફંક્શન ખુલ્લા અંતરાલ (- 6; 6) પર સ્થિર બિંદુઓ પર m a x y (સૌથી મોટી કિંમત) અને m i n y (સૌથી નાની કિંમત) લે છે.

જો આપણે અંતરાલ લઈએ [ 1 ; 6), પછી આપણે કહી શકીએ કે તેના પરના કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે. સૌથી મોટી કિંમત આપણા માટે અજાણ હશે. જો x = 6 અંતરાલ સાથે સંબંધિત હોય તો ફંક્શન તેની મહત્તમ કિંમત x બરાબર 6 પર લઈ શકે છે. આ ગ્રાફ 5 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

ગ્રાફ 6 પર સૌથી ઓછું મૂલ્ય આ કાર્યઅંતરાલ (- 3; 2 ] ની જમણી સીમા પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને અમે સૌથી વધુ મૂલ્ય વિશે ચોક્કસ નિષ્કર્ષ દોરી શકતા નથી.

આકૃતિ 7 માં આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુ પર m a x y હશે જેનું abscissa 1 ની બરાબર હશે. ફંક્શન સી અંતરાલની સીમા પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે જમણી બાજુ. માઇનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે.

જો આપણે અંતરાલ x ∈ 2 લઈએ; + ∞ , પછી આપણે જોઈશું કે આપેલ ફંક્શન તેના પર ન તો નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે. જો x 2 તરફ વળે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વળશે, કારણ કે સીધી રેખા x = 2 છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ. જો એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે. આકૃતિ 8 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

આ ફકરામાં આપણે ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓનો ક્રમ રજૂ કરીશું.

1. પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. ચાલો તપાસીએ કે શરતમાં ઉલ્લેખિત સેગમેન્ટ તેમાં શામેલ છે કે કેમ.
2. હવે ચાલો આ સેગમેન્ટમાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓની ગણતરી કરીએ કે જેના પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી. મોટેભાગે તેઓ એવા કાર્યોમાં મળી શકે છે જેની દલીલ મોડ્યુલસ સાઇન હેઠળ અથવા ઇન લખવામાં આવે છે પાવર કાર્યો, જેનો ઘાત અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યા છે.
3. આગળ, આપણે શોધીશું કે આપેલ સેગમેન્ટમાં કયા સ્થિર બિંદુઓ આવશે. આ કરવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેને 0 સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો, અને પછી યોગ્ય મૂળ પસંદ કરો. જો આપણને એક પણ સ્થિર બિંદુ ન મળે અથવા તે આપેલ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો અમે આગળના પગલા પર આગળ વધીએ છીએ.
4. અમે નક્કી કરીએ છીએ કે આપેલ સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો) પર ફંક્શન કયા મૂલ્યો લેશે, અથવા તે બિંદુઓ પર જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો ત્યાં કોઈ હોય તો), અથવા અમે x = a અને માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ x = b.
5. 5. અમારી પાસે સંખ્યાબંધ ફંક્શન વેલ્યુ છે, જેમાંથી હવે આપણે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે જેને આપણે શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું.

ઉદાહરણ 1

શરત:ફંક્શન y = x 3 + 4 x 2 આપેલ છે. સેગમેન્ટ્સ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરો [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીને શરૂ કરીએ. આ કિસ્સામાં, તેણી પાસે ઘણા બધા હશે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, 0 સિવાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ શરતમાં ઉલ્લેખિત બંને વિભાગો વ્યાખ્યા વિસ્તારની અંદર હશે.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક તફાવતના નિયમ અનુસાર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

અમે શીખ્યા કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં રહેશે [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

હવે આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ સમીકરણ x 3 - 8 x 3 = 0 નો ઉપયોગ કરીને કરીએ. તે માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, જે 2 છે. તે ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ હશે અને પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવશે [1; 4].

ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ અને આ બિંદુએ, એટલે કે. x = 1, x = 2 અને x = 4 માટે:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 એ x = 1 પર પ્રાપ્ત થશે, અને સૌથી નાનો m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 પર.

બીજા સેગમેન્ટમાં એક સ્થિર બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી, તેથી આપણે આપેલ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

આનો અર્થ છે m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

જવાબ:સેગમેન્ટ માટે [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , સેગમેન્ટ માટે [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

ચિત્ર જુઓ:

તમે અભ્યાસ કરો તે પહેલાં આ પદ્ધતિ, અમે તમને એકતરફી મર્યાદા અને અનંતતા પરની મર્યાદાની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેની સમીક્ષા કરવા તેમજ તેમને શોધવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ શીખવાની સલાહ આપીએ છીએ. ખુલ્લા અથવા અનંત અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, નીચેના પગલાંઓ ક્રમિક રીતે કરો.

1. પ્રથમ, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું આપેલ અંતરાલ આપેલ ફંક્શનના ડોમેનનો સબસેટ હશે.
2. ચાલો આપણે બધા બિંદુઓ નક્કી કરીએ જે જરૂરી અંતરાલમાં સમાયેલ છે અને જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તેઓ સામાન્ય રીતે ફંક્શન્સમાં થાય છે જ્યાં દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્નમાં બંધ હોય છે, અને અપૂર્ણાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સમાં તર્કસંગત સૂચક. જો આ બિંદુઓ ખૂટે છે, તો પછી તમે આગલા પગલા પર આગળ વધી શકો છો.
3. હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ અંતરાલમાં આવશે. પ્રથમ, આપણે વ્યુત્પન્નને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ, સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો આપણી પાસે એક પણ સ્થિર બિંદુ ન હોય અથવા તે આપેલ અંતરાલમાં ન આવે, તો અમે તરત જ જઈએ છીએ આગળની ક્રિયાઓ. તેઓ અંતરાલના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

• જો અંતરાલ સ્વરૂપનું છે [ a ; b) , તો આપણે બિંદુ x = a અને એકતરફી પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે મર્યાદા x → b - 0 f (x) .
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b ] હોય, તો આપણે બિંદુ x = b અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → a + 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b) હોય, તો આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ સ્વરૂપનું છે [ a ; + ∞), પછી આપણે બિંદુ x = a અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) પરની મર્યાદા પરની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ (- ∞ ; b ] જેવો દેખાય છે, તો આપણે બિંદુ x = b પરની કિંમત અને માઇનસ અનંત લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
• જો - ∞ ; b , પછી આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) અને માઈનસ અનંત lim x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
• જો - ∞; + ∞ , પછી આપણે માઈનસ અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) , લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

1. અંતે, તમારે પ્રાપ્ત કાર્ય મૂલ્યો અને મર્યાદાઓના આધારે નિષ્કર્ષ દોરવાની જરૂર છે. અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે. તેથી, જો એકતરફી મર્યાદા માઇનસ અનંત અથવા વત્તા અનંતની બરાબર હોય, તો તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના સૌથી નાના અને મોટા મૂલ્યો વિશે કશું કહી શકાતું નથી. નીચે આપણે એક જોઈશું લાક્ષણિક ઉદાહરણ. વિગતવાર વર્ણનોશું છે તે સમજવામાં તમને મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો, તમે સામગ્રીના પ્રથમ ભાગમાં આકૃતિ 4 - 8 પર પાછા આવી શકો છો.

શરત: આપેલ ફંક્શન y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . અંતરાલોમાં તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરો - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

ઉકેલ

સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંકનો છેદ સમાવે છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જે 0 પર ન જવું જોઈએ:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવ્યું છે કે જેમાં શરતમાં ઉલ્લેખિત તમામ અંતરાલો સંબંધિત છે.

હવે ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ અને મેળવીએ:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

પરિણામે, ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન x = - 1 2 પર 0 બને છે. આ એક સ્થિર બિંદુ છે જે અંતરાલો (- 3 ; 1 ] અને (- 3 ; 2) માં આવેલું છે.

ચાલો અંતરાલ (- ∞ ; - 4 ] માટે x = - 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ, તેમજ માઇનસ અનંત પરની મર્યાદા:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 થી, તેનો અર્થ એમ થાય છે કે m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. આ અમને અનન્ય રીતે સૌથી નાનું મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. ફંક્શન.

બીજા અંતરાલની ખાસિયત એ છે કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અને તેમાં એક પણ કડક સીમા નથી. પરિણામે, અમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીશું નહીં. માઇનસ અનંત પર મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી અને દલીલ ડાબી બાજુએ - 3 તરફ વળે છે, અમને ફક્ત મૂલ્યોનો અંતરાલ મળે છે:

લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યો અંતરાલમાં સ્થિત થશે - 1; +∞

ત્રીજા અંતરાલમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તેનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ x = - 1 2 જો x = 1 પર નક્કી કરીએ છીએ. જ્યારે દલીલ જમણી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે અમને કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા પણ જાણવાની જરૂર પડશે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

તે બહાર આવ્યું છે કે ફંક્શન સ્થિર બિંદુ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લેશે. નાનામાં નાના મૂલ્ય માટે, અમે તેને નિર્ધારિત કરી શકતા નથી. આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું , - 4 ની નીચી મર્યાદાની હાજરી છે.

અંતરાલ (- 3 ; 2) માટે, અગાઉની ગણતરીના પરિણામો લો અને ફરી એકવાર ગણતરી કરો કે જ્યારે ડાબી બાજુએ 2 તરફ વળવું ત્યારે એકતરફી મર્યાદા કેટલી બરાબર છે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 લિમ x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

આનો અર્થ એ છે કે m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી, અને ફંક્શનના મૂલ્યો નંબર - 4 દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે .

અગાઉની બે ગણતરીઓમાં જે મળ્યું તેના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અંતરાલ [ 1 ; 2) ફંક્શન x = 1 પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે, પરંતુ સૌથી નાનું શોધવાનું અશક્ય છે.

અંતરાલ પર (2 ; + ∞) ફંક્શન સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં, એટલે કે. તે અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - 1 ; + ∞

લિમ x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 પર ફંક્શનની કિંમત કેટલી હશે તેની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , અને વત્તા અનંત પર આપેલ ફંક્શન એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સીધી રેખા y = - 1 સુધી પહોંચશે.

આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે દરેક ગણતરીમાં આપણને શું મળ્યું તેની સરખામણી કરીએ. આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે અમે તમને આટલું જ કહેવા માગીએ છીએ. અમે આપેલ ક્રિયાઓનો ક્રમ તમને જરૂરી ગણતરીઓ શક્ય તેટલી ઝડપથી અને સરળ રીતે કરવામાં મદદ કરશે. પરંતુ યાદ રાખો કે ફંક્શન કયા અંતરાલમાં ઘટશે અને કયા સમયે તે વધશે તે શોધવા માટે તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે, જેના પછી તમે વધુ તારણો દોરી શકો છો. આ રીતે તમે કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને વધુ સચોટ રીતે નિર્ધારિત કરી શકો છો અને પ્રાપ્ત પરિણામોને ન્યાયી ઠેરવી શકો છો.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પ્રિય મિત્રો! વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત કાર્યોના જૂથમાં કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે - શરત ફંક્શનનો આલેખ આપે છે, આ આલેખ પર કેટલાક બિંદુઓ અને પ્રશ્ન છે:

કયા બિંદુએ વ્યુત્પન્ન સૌથી મહાન (નાનું) છે?

ચાલો સંક્ષિપ્તમાં પુનરાવર્તન કરીએ:

એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન સમાન છે ઢાળસ્પર્શક પસાર થાય છેગ્રાફ પર આ બિંદુ.

યુબદલામાં સ્પર્શકનો વૈશ્વિક ગુણાંક સ્પર્શક સમાનઆ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ.

*આ સ્પર્શક અને x-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાને દર્શાવે છે.

1. વધતા કાર્યના અંતરાલો પર, વ્યુત્પન્ન હોય છે હકારાત્મક મૂલ્ય.

2. તેના ઘટાડાના અંતરાલો પર, વ્યુત્પન્ન હોય છે નકારાત્મક મૂલ્ય.

નીચેના સ્કેચને ધ્યાનમાં લો:

પોઈન્ટ 1,2,4 પર, ફંક્શનના ડેરિવેટિવનું નકારાત્મક મૂલ્ય હોય છે, કારણ કે આ પોઈન્ટ્સ ઘટતા અંતરાલો સાથે સંબંધિત છે.

પોઈન્ટ 3,5,6 પર, ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું હકારાત્મક મૂલ્ય છે, કારણ કે આ બિંદુઓ વધતા અંતરાલોને અનુસરે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, વ્યુત્પન્નના અર્થ સાથે બધું સ્પષ્ટ છે, એટલે કે, આલેખના ચોક્કસ બિંદુએ તેની પાસે કઈ નિશાની (સકારાત્મક કે નકારાત્મક) છે તે નિર્ધારિત કરવું બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

તદુપરાંત, જો આપણે માનસિક રીતે આ બિંદુઓ પર સ્પર્શક રચીએ, તો આપણે જોશું કે બિંદુઓ 3, 5 અને 6માંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ 0 થી 90 o સુધીની oX ધરી સાથે કોણ બનાવે છે, અને બિંદુઓ 1, 2 અને 4માંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ સ્વરૂપે છે. oX અક્ષ સાથે ખૂણાઓ 90 o થી 180 o સુધીના હોય છે.

*સંબંધ સ્પષ્ટ છે: વધતા વિધેયોના અંતરાલો સાથે જોડાયેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકો oX અક્ષ સાથે રચાય છે તીક્ષ્ણ ખૂણા, ઘટતા વિધેયોના અંતરાલો સાથે જોડાયેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકો oX અક્ષ સાથે સ્થૂળ ખૂણા બનાવે છે.

હવે મહત્વનો પ્રશ્ન!

વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાય છે? બધા પછી, સ્પર્શક માં વિવિધ બિંદુઓગ્રાફિક્સ સતત કાર્યસ્વરૂપો વિવિધ ખૂણા, તે ગ્રાફ પરના કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તેના આધારે.

*અથવા, બોલતા સરળ ભાષામાં, સ્પર્શક એવી રીતે સ્થિત છે કે જાણે "આડી" અથવા "ઊભી" હોય. જુઓ:

સીધી રેખાઓ 0 થી 90 o સુધીના oX અક્ષ સાથે ખૂણા બનાવે છે

સીધી રેખાઓ 90° થી 180° સુધીના oX અક્ષ સાથે કોણ બનાવે છે

તેથી, જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો:

- ગ્રાફ પર આપેલા બિંદુઓમાંથી કયા પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સૌથી નાનું છે?

- ગ્રાફ પર આપેલા બિંદુઓમાંથી કયા પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે?

તો જવાબ આપવા માટે એ સમજવું જરૂરી છે કે સ્પર્શકોણના સ્પર્શકનું મૂલ્ય 0 થી 180 o ની રેન્જમાં કેવી રીતે બદલાય છે.

*પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, એક બિંદુ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય oX અક્ષ તરફના સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક જેટલું છે.

સ્પર્શક મૂલ્ય નીચે પ્રમાણે બદલાય છે:

જ્યારે સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ 0° થી 90° સુધી બદલાય છે, ત્યારે સ્પર્શકનું મૂલ્ય અને તેથી વ્યુત્પન્ન, તે મુજબ 0 થી +∞ બદલાય છે;

જ્યારે સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ 90° થી 180° સુધી બદલાય છે, ત્યારે સ્પર્શકનું મૂલ્ય અને તેથી વ્યુત્પન્ન, તે મુજબ બદલાય છે –∞ થી 0.

આ સ્પર્શક કાર્યના ગ્રાફ પરથી સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે:

સરળ શબ્દોમાં:

0° થી 90° સુધીના સ્પર્શક ઝોક કોણ પર

તે 0 o ની જેટલી નજીક હશે, ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય શૂન્યની નજીક હશે (ધન બાજુએ).

કોણ 90°ની નજીક હશે, વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય +∞ તરફ વધશે.

90° થી 180° સુધીના સ્પર્શક ઝોક કોણ સાથે

તે 90 o ની જેટલી નજીક છે, વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય –∞ તરફ વધુ ઘટશે.

કોણ 180°ની નજીક હશે, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શૂન્યની નજીક હશે (નકારાત્મક બાજુએ).

317543. આકૃતિ y = ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે f(x) અને પોઈન્ટ ચિહ્નિત થયેલ છે–2, –1, 1, 2. આમાંથી કયા બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન સૌથી મોટું છે? કૃપા કરીને તમારા જવાબમાં આ મુદ્દો સૂચવો.

અમારી પાસે ચાર બિંદુઓ છે: તેમાંથી બે એવા અંતરાલોથી સંબંધિત છે કે જેના પર ફંક્શન ઘટે છે (આ પોઈન્ટ -1 અને 1 છે) અને બે એવા અંતરાલોના છે કે જેના પર ફંક્શન વધે છે (આ પોઈન્ટ -2 અને 2 છે).

અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પોઈન્ટ -1 અને 1 પર ડેરિવેટિવનું નકારાત્મક મૂલ્ય છે, અને પોઈન્ટ -2 અને 2 પર તેનું હકારાત્મક મૂલ્ય છે. તેથી માં આ કિસ્સામાંપોઈન્ટ -2 અને 2નું વિશ્લેષણ કરવું અને તેમાંથી કયું મૂલ્ય સૌથી વધુ હશે તે નક્કી કરવું જરૂરી છે. ચાલો સૂચવેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકો બનાવીએ:

સીધી રેખા a અને abscissa અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શકનું મૂલ્ય હશે વધુ મૂલ્યરેખા b અને આ અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાની સ્પર્શક. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ -2 પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સૌથી વધુ હશે.

અમે જવાબ આપીશું આગામી પ્રશ્ન: કયા બિંદુએ –2, –1, 1 અથવા 2 વ્યુત્પન્ન સૌથી વધુ નકારાત્મક છે? કૃપા કરીને તમારા જવાબમાં આ મુદ્દો સૂચવો.

ઘટતા અંતરાલો સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નનું નકારાત્મક મૂલ્ય હશે, તેથી ચાલો બિંદુઓ -2 અને 1 ને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો તેમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકો બનાવીએ:

તે આપણે જોઈએ છીએ અસ્પષ્ટ કોણસીધી રેખા b અને oX અક્ષ વચ્ચે 180 ની "નજીક" છેઓ , તેથી તેની સ્પર્શક સીધી રેખા a અને oX અક્ષ દ્વારા રચાયેલા ખૂણાના સ્પર્શક કરતા વધારે હશે.

આમ, બિંદુ x = 1 પર, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સૌથી વધુ નકારાત્મક હશે.

317544. આકૃતિ y = ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવે છે f(x) અને પોઈન્ટ ચિહ્નિત થયેલ છે–2, –1, 1, 4. આમાંથી કયા બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન સૌથી નાનું છે? કૃપા કરીને તમારા જવાબમાં આ મુદ્દો સૂચવો.

આપણી પાસે ચાર પોઈન્ટ છે: તેમાંથી બે એવા અંતરાલોના છે કે જેના પર ફંક્શન ઘટે છે (આ પોઈન્ટ -1 અને 4 છે) અને બે ઈન્ટરવલ કે જેના પર ફંક્શન વધે છે (આ પોઈન્ટ -2 અને 1 છે).

અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પોઈન્ટ -1 અને 4 પર ડેરિવેટિવનું નકારાત્મક મૂલ્ય છે, અને પોઈન્ટ -2 અને 1 પર તેનું હકારાત્મક મૂલ્ય છે. તેથી, આ કિસ્સામાં, પોઈન્ટ -1 અને 4નું વિશ્લેષણ કરવું અને તેમાંથી કયું મૂલ્ય સૌથી નાનું હશે તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો સૂચવેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકો બનાવીએ:

સીધી રેખા a અને abscissa અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શકનું મૂલ્ય સીધી રેખા b અને આ અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શકના મૂલ્ય કરતાં વધુ હશે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x = 4 પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સૌથી નાનું હશે.

જવાબ: 4

હું આશા રાખું છું કે મેં તમને લેખનની માત્રાથી "ઓવરલોડ" કર્યું નથી. હકીકતમાં, બધું ખૂબ જ સરળ છે, તમારે ફક્ત વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મો સમજવાની જરૂર છે, તેના ભૌમિતિક અર્થઅને કોણની સ્પર્શક 0 થી 180 o સુધી કેવી રીતે બદલાય છે.

1. પ્રથમ, આ બિંદુઓ (+ અથવા -) પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરો અને પસંદ કરો જરૂરી બિંદુઓ(પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નના આધારે).

2. આ બિંદુઓ પર સ્પર્શક બનાવો.

3. ટેન્જેસોઇડ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, ખૂણાઓ અને પ્રદર્શનને યોજનાકીય રીતે ચિહ્નિત કરોએલેક્ઝાન્ડર.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

કેટલીકવાર સમસ્યાઓ B15 માં "ખરાબ" કાર્યો હોય છે જેના માટે વ્યુત્પન્ન શોધવું મુશ્કેલ છે. પહેલાં, આ ફક્ત નમૂના પરીક્ષણો દરમિયાન જ થતું હતું, પરંતુ હવે આ કાર્યો એટલા સામાન્ય છે કે વાસ્તવિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે તેને અવગણી શકાય નહીં.

આ કિસ્સામાં, અન્ય તકનીકો કામ કરે છે, જેમાંથી એક છે એકવિધ.

ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે વધી રહ્યું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધતા કાર્ય માટે, મોટા x, મોટા f(x). ઘટતા કાર્ય માટે વિરુદ્ધ સાચું છે: મોટા x, ધ ઓછું f(x).

ઉદાહરણ તરીકે, જો બેઝ a > 1 હોય તો લોગરીધમ એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે< a < 1. Не забывайте про область સ્વીકાર્ય મૂલ્યોલઘુગણક: x > 0.

f (x) = લોગ a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

અંકગણિત ચોરસ (અને માત્ર ચોરસ જ નહીં) મૂળ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર એકવિધ રીતે વધે છે:

ઘાતાંકીય કાર્યલઘુગણકની જેમ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે અને 0 માટે ઘટે છે< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

છેલ્લે, સાથે ડિગ્રી નકારાત્મક સૂચક. તમે તેમને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકો છો. તેમની પાસે એક વિરામ બિંદુ છે જ્યાં એકવિધતા તૂટી ગઈ છે.

આ તમામ કાર્યો તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં ક્યારેય જોવા મળતા નથી. તેઓ બહુપદી, અપૂર્ણાંક અને અન્ય નોનસેન્સ ઉમેરે છે, જે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. ચાલો જોઈએ કે આ કિસ્સામાં શું થાય છે.

પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

મોટેભાગે ફંક્શન દલીલ સાથે બદલાઈ જાય છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીફોર્મ y = ax 2 + bx + c. તેનો આલેખ પ્રમાણભૂત પેરાબોલા છે જેમાં અમને રસ છે:

1. પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જઈ શકે છે (a > 0 માટે) અથવા નીચે (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ ચતુર્ભુજ ફંક્શનનું સીમાબિંદુ છે જ્યાં આ ફંક્શન તેનું ન્યૂનતમ (a> 0 માટે) અથવા મહત્તમ (a) લે છે.< 0) значение.

સૌથી વધુ રસ છે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ, જેનું એબ્સીસા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે ચતુર્ભુજ કાર્યનો અંતિમ બિંદુ શોધી કાઢ્યો છે. પરંતુ જો મૂળ ફંક્શન મોનોટોનિક છે, તો તેના માટે બિંદુ x 0 પણ એક આત્યંતિક બિંદુ હશે. આમ, ચાલો મુખ્ય નિયમ ઘડીએ:

ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ અને જટિલ કાર્ય, જેમાં તે સમાવવામાં આવેલ છે, એકરુપ છે. તેથી, તમે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી માટે x 0 શોધી શકો છો, અને કાર્ય વિશે ભૂલી શકો છો.

ઉપરોક્ત તર્કથી, તે અસ્પષ્ટ રહે છે કે આપણે કયો બિંદુ મેળવીએ છીએ: મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ. જો કે, કાર્યો ખાસ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે જેથી આમાં કોઈ ફરક ન પડે. તમારા માટે ન્યાયાધીશ:

1. સમસ્યા નિવેદનમાં કોઈ સેગમેન્ટ નથી. તેથી, f(a) અને f(b) ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. તે ફક્ત આત્યંતિક બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે;
2. પરંતુ ત્યાં ફક્ત એક જ બિંદુ છે - આ પેરાબોલા x 0 નું શિરોબિંદુ છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ શાબ્દિક રીતે મૌખિક રીતે અને કોઈપણ ડેરિવેટિવ્ઝ વિના ગણવામાં આવે છે.

આમ, સમસ્યાનું નિરાકરણ ખૂબ જ સરળ છે અને તે ફક્ત બે પગલાઓ પર આવે છે:

1. પેરાબોલા y = ax 2 + bx + c નું સમીકરણ લખો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનું શિરોબિંદુ શોધો: x 0 = −b /2a ;
2. આ બિંદુએ મૂળ કાર્યની કિંમત શોધો: f (x 0). જો ના વધારાની શરતોના, તે જવાબ હશે.

પ્રથમ નજરમાં, આ અલ્ગોરિધમ અને તેનું તર્ક જટિલ લાગે છે. હું ઇરાદાપૂર્વક "બેર" સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ પોસ્ટ કરતો નથી, કારણ કે આવા નિયમોનો વિચારવિહીન ઉપયોગ ભૂલોથી ભરપૂર છે.

માંથી વાસ્તવિક સમસ્યાઓ જોઈએ અજમાયશ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાગણિતમાં - આ તે છે જ્યાં આ તકનીક મોટાભાગે જોવા મળે છે. તે જ સમયે, અમે ખાતરી કરીશું કે આ રીતે ઘણી બધી B15 સમસ્યાઓ લગભગ મૌખિક બની જાય છે.

મૂળની નીચે રહે છે ચતુર્ભુજ કાર્ય y = x 2 + 6x + 13. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપરની તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0 છે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત હોવાથી, x 0 = −3 બિંદુ પર કાર્ય y = x 2 + 6x + 13 તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે.

રુટ એકવિધ રીતે વધે છે, જેનો અર્થ છે x 0 એ સમગ્ર કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે. અમારી પાસે છે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 2 (x 2 + 2x + 9)

લઘુગણક હેઠળ ફરીથી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = x 2 + 2x + 9. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે a = 1 > 0.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

તેથી, બિંદુ x 0 = −1 પર ચતુર્ભુજ કાર્ય તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે. પરંતુ કાર્ય y = log 2 x એકવિધ છે, તેથી:

y મિનિટ = y (−1) = લોગ 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = લોગ 2 8 = 3

ઘાતાંકમાં ચતુર્ભુજ કાર્ય y = 1 − 4x − x 2 હોય છે. ચાલો તેને ફરીથી લખીએ સામાન્ય સ્વરૂપ: y = −x 2 − 4x + 1.

દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો આલેખ એક પેરાબોલા છે, શાખાઓ નીચે છે (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

મૂળ ફંક્શન ઘાતાંકીય છે, તે મોનોટોનિક છે, તેથી સૌથી મોટી કિંમત મળેલ બિંદુ x 0 = −2 પર હશે:

સચેત વાચક કદાચ જોશે કે અમે મૂળ અને લઘુગણકના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી લખી નથી. પરંતુ આ જરૂરી ન હતું: અંદર એવા કાર્યો છે જેના મૂલ્યો હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

ફંક્શનના ડોમેનમાંથી કોરોલરીઝ

સમસ્યા B15 ઉકેલવા માટે કેટલીકવાર પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધવાનું પૂરતું નથી. તમે જે મૂલ્ય શોધી રહ્યા છો તે ખોટું હોઈ શકે છે સેગમેન્ટના અંતે, અને આત્યંતિક બિંદુ પર બિલકુલ નહીં. જો સમસ્યા કોઈ સેગમેન્ટને બિલકુલ સૂચવતી નથી, તો જુઓ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમૂળ કાર્ય. જેમ કે:

મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: શૂન્ય મૂળની નીચે હોઈ શકે છે, પરંતુ અપૂર્ણાંકના લઘુગણક અથવા છેદમાં ક્યારેય નહીં. ચાલો જોઈએ કે આ વિશિષ્ટ ઉદાહરણો સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો:

મૂળની નીચે ફરી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = 3 − 2x − x 2 . તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, પરંતુ શાખાઓ નીચે છે કારણ કે a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический વર્ગમૂળનકારાત્મક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી.

અમે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો (APV) ની શ્રેણી લખીએ છીએ:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

હવે ચાલો પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધીએ:

x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

બિંદુ x 0 = −1 ODZ સેગમેન્ટનો છે - અને આ સારું છે. હવે આપણે બિંદુ x 0, તેમજ ODZ ના છેડે ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ:

y(−3) = y(1) = 0

તેથી, અમને 2 અને 0 નંબરો મળ્યા. અમને સૌથી મોટો શોધવા માટે કહેવામાં આવે છે - આ નંબર 2 છે.

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 0.5 (6x − x 2 − 5)

લઘુગણકની અંદર એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે y = 6x − x 2 − 5. આ એક પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ નીચે છે, પરંતુ લઘુગણકમાં તે હોઈ શકતું નથી. નકારાત્મક સંખ્યાઓ, તેથી અમે ODZ લખીએ છીએ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અસમાનતા કડક છે, તેથી છેડા ODZ સાથે સંબંધિત નથી. આ લઘુગણકને મૂળથી જુદો પાડે છે, જ્યાં સેગમેન્ટના છેડા અમને ખૂબ જ અનુકૂળ આવે છે.

અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધી રહ્યા છીએ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ ODZ અનુસાર બંધબેસે છે: x 0 = 3 ∈ (1; 5). પરંતુ અમને સેગમેન્ટના છેડામાં રસ ન હોવાથી, અમે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી માત્ર બિંદુ x 0 પર કરીએ છીએ:

y મિનિટ = y (3) = લોગ 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = લોગ 0.5 (18 − 9 − 5) = લોગ 0.5 4 = −2

કેટલીકવાર સમસ્યાઓ B14 માં "ખરાબ" કાર્યો હોય છે જેના માટે વ્યુત્પન્ન શોધવું મુશ્કેલ છે. પહેલાં, આ ફક્ત નમૂના પરીક્ષણો દરમિયાન જ થતું હતું, પરંતુ હવે આ કાર્યો એટલા સામાન્ય છે કે વાસ્તવિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે તેને અવગણી શકાય નહીં. આ કિસ્સામાં, અન્ય તકનીકો કામ કરે છે, જેમાંથી એક એકવિધતા છે. વ્યાખ્યા એ ફંકશન f (x) ને સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે વધતું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ પોઈન્ટ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે: x 1

વ્યાખ્યા. ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ પોઈન્ટ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે: x 1 f (x 2). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધતા કાર્ય માટે, મોટા x, મોટા f(x). ઘટતા કાર્ય માટે વિરુદ્ધ સાચું છે: મોટો x, નાનો f(x).

ઉદાહરણો. જો આધાર a > 1 હોય તો લઘુગણક એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, અને એકવિધ રીતે ઘટે છે જો 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, અને એકવિધ રીતે ઘટે છે જો 0 0. f (x) = log a x (a > 0) ; a 1; x > 0)"> 1, અને એકવિધ રીતે ઘટે છે જો 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples. The logarithm જો આધાર a > 1 હોય તો એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="ઉદાહરણો. જો આધાર a > 1 હોય તો લઘુગણક એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

ઉદાહરણો. ઘાતાંકીય કાર્ય લઘુગણકની જેમ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે અને 0 0 માટે ઘટે છે: 1 અને 0 0 પર ઘટે છે:"> 1 અને 0 0:"> 1 પર ઘટે છે અને 0 0:" title="ઉદાહરણો. ઘાતાંકીય કાર્ય લઘુગણકની જેમ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે. અને 0 0 માટે ઘટે છે:"> title="ઉદાહરણો. ઘાતાંકીય કાર્ય લઘુગણકની જેમ જ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે અને 0 0 માટે ઘટે છે:"> !}

0) અથવા નીચે (a 0) અથવા નીચે (a 9પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મોટાભાગે, ફંક્શનની દલીલ ફોર્મના ચોરસ ત્રિનોમી દ્વારા બદલવામાં આવે છે તેનો આલેખ પ્રમાણભૂત પેરાબોલા છે, જેમાં અમને શાખાઓમાં રસ છે: પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જઈ શકે છે (માટે a > 0) અથવા નીચે (a 0) અથવા મહાન (a 0) અથવા નીચે (a 0) અથવા નીચે (a 0) અથવા મહાન (a 0) અથવા નીચે (a 0) અથવા નીચે (a title="(! લેંગ: પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મોટાભાગે, ફંક્શનની દલીલ ફોર્મના ચતુર્ભુજ ત્રિપદી દ્વારા બદલવામાં આવે છે તેનો આલેખ પ્રમાણભૂત પેરાબોલા છે, જેમાં અમને શાખાઓમાં રસ છે: પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જઈ શકે છે (a > 0 માટે) અથવા નીચે (a

સમસ્યા નિવેદનમાં કોઈ સેગમેન્ટ નથી. તેથી, f(a) અને f(b) ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. તે ફક્ત આત્યંતિક બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે; પરંતુ ત્યાં માત્ર એક જ બિંદુ છે - પેરાબોલા x 0 નું શિરોબિંદુ, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ શાબ્દિક રીતે મૌખિક રીતે અને કોઈપણ ડેરિવેટિવ્ઝ વિના ગણવામાં આવે છે.

આમ, સમસ્યાનું નિરાકરણ ખૂબ જ સરળ બને છે અને તે ફક્ત બે પગલાંઓ પર આવે છે: પેરાબોલાના સમીકરણ લખો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનું શિરોબિંદુ શોધો: આ બિંદુએ મૂળ કાર્યની કિંમત શોધો: f (x 0). જો ત્યાં કોઈ વધારાની શરતો નથી, તો આ જવાબ હશે.

0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="ફંક્શનની સૌથી નાની કિંમત શોધો: ઉકેલ: મૂળ હેઠળ છે એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન આ ફંક્શન પેરાબોલાના શાખાઓ સાથેનો ગ્રાફ, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0. પેરાબોલાની ટોચ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !}ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો: સોલ્યુશન: રુટની નીચે એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન છે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપરની તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. પેરાબોલાની ટોચ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. પરબોલાની ટોચ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" સૌથી નાની કિંમત શોધો ફંક્શનનું: સોલ્યુશન: રુટની નીચે એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન છે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપરની તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો: સોલ્યુશન: રુટની નીચે એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન છે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપરની તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો: સોલ્યુશન લોગરીધમ હેઠળ, ચતુર્ભુજ ફંક્શન ફરીથી છે, કારણ કે પેરાબોલાના આલેખ ઉપરની શાખાઓ છે a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. પેરાબોલાની ટોચ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. પરબોલાની ટોચ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title=" સૌથી નાની કિંમત શોધો ફંક્શનનું: લોગરીધમ હેઠળનું સોલ્યુશન ફરીથી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે, કારણ કે a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો: સોલ્યુશન લોગરીધમ હેઠળ, ચતુર્ભુજ ફંક્શન ફરીથી છે, કારણ કે પેરાબોલાના આલેખની શાખાઓ ઉપરની તરફ છે a = 1 > 0. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો: સોલ્યુશન: ઘાતાંકમાં ચતુર્ભુજ ફંક્શન છે, ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ: દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો આલેખ પેરાબોલા છે, શાખાઓ નીચે છે (a = 1

ફંક્શનના ડોમેનમાંથી કોરોલરીઝ કેટલીકવાર સમસ્યા B14 ઉકેલવા માટે ફક્ત પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધવાનું પૂરતું નથી. ઇચ્છિત મૂલ્ય સેગમેન્ટના અંતમાં હોઈ શકે છે, અને અંતિમ બિંદુ પર બિલકુલ નહીં. જો સમસ્યા કોઈ સેગમેન્ટને સ્પષ્ટ કરતી નથી, તો અમે મૂળ કાર્યના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી જોઈએ છીએ. જેમ કે:

0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર થી અસ્તિત્વમાં છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:" title="1. લઘુગણકની દલીલ હકારાત્મક હોવી જોઈએ: y = log a f (x) f (x) > 0 2. અંકગણિત ચોરસ રુટ ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી અસ્તિત્વમાં છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ:" class="link_thumb"> 26 !} 1. લઘુગણકની દલીલ હકારાત્મક હોવી જોઈએ: y = log a f (x) f (x) > 0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી અસ્તિત્વમાં છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: 0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી જ અસ્તિત્વમાં છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય સમાન ન હોવો જોઈએ: "> 0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી અસ્તિત્વમાં છે: 3. છેદ અપૂર્ણાંકનો શૂન્ય સમાન ન હોવો જોઈએ: "> 0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ ધરાવે છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:" title="1. The લઘુગણકની દલીલ સકારાત્મક હોવી જોઈએ: y = log a f (x) f (x) > 0 2. અંકગણિત વર્ગ મૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી અસ્તિત્વમાં છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ નહીં:"> title="1. લઘુગણકની દલીલ હકારાત્મક હોવી જોઈએ: y = log a f (x) f (x) > 0 2. અંકગણિત વર્ગમૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓથી અસ્તિત્વમાં છે: 3. અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:"> !}

મૂળ હેઠળનું સોલ્યુશન ફરીથી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, પરંતુ શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે, કારણ કે a = 1 હવે આપણે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ શોધીએ છીએ: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/( 2) = 1 પોઈન્ટ x 0 = 1 સેગમેન્ટ ODZ થી સંબંધિત છે અને આ સારું છે. હવે આપણે બિંદુ x 0, તેમજ ODZ ના અંતે ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ: y(3) = y(1) = 0 તેથી, આપણને 2 અને 0 નંબરો મળ્યા છે. અમને શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે. સૌથી મોટી સંખ્યા 2. જવાબ: 2

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અસમાનતા કડક છે, તેથી છેડા ODZ સાથે સંબંધિત નથી. આ લઘુગણકને મૂળથી જુદો પાડે છે, જ્યાં સેગમેન્ટના છેડા અમને ખૂબ જ અનુકૂળ આવે છે. અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધી રહ્યા છીએ: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 પેરાબોલાના શિરોબિંદુ ODZ સાથે બંધબેસે છે: x 0 = 3 ( 1; 5). પરંતુ અમને સેગમેન્ટના છેડામાં રસ ન હોવાથી, અમે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી માત્ર બિંદુ x 0 પર કરીએ છીએ:

Y મિનિટ = y(3) = લોગ 0.5 (6 ) = = લોગ 0.5 (18 9 5) = લોગ 0.5 4 = 2 જવાબ: -2