સજાતીય ડાયલિંગ સિસ્ટમ. સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ

સજાતીય સિસ્ટમોરેખીય બીજગણિતીય સમીકરણો

પાઠના ભાગરૂપે ગૌસીયન પદ્ધતિઅને સામાન્ય ઉકેલ સાથે અસંગત સિસ્ટમ/સિસ્ટમઅમે ધ્યાનમાં લીધા વિજાતીય સિસ્ટમો રેખીય સમીકરણો , ક્યાં મફત સભ્ય(જે સામાન્ય રીતે જમણી બાજુએ હોય છે) ઓછામાં ઓછું એકસમીકરણોથી શૂન્યથી અલગ હતું.
અને હવે, સાથે સારી વોર્મ-અપ પછી મેટ્રિક્સ રેન્ક, અમે તકનીકને પોલિશ કરવાનું ચાલુ રાખીશું પ્રાથમિક પરિવર્તનો ચાલુ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ.
પ્રથમ ફકરાઓના આધારે, સામગ્રી કંટાળાજનક અને સામાન્ય લાગે છે, પરંતુ આ છાપ ભ્રામક છે. તકનીકી તકનીકોના વધુ વિકાસ ઉપરાંત, ત્યાં ઘણા હશે નવી માહિતી, તેથી કૃપા કરીને આ લેખમાંના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ શું છે?

જવાબ પોતે સૂચવે છે. જો ફ્રી ટર્મ હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સજાતીય હોય છે દરેક વ્યક્તિસિસ્ટમ સમીકરણો શૂન્ય બરાબર. ઉદાહરણ તરીકે:

તે બિલકુલ સ્પષ્ટ છે સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, એટલે કે, તેની પાસે હંમેશા ઉકેલ હોય છે. અને, સૌ પ્રથમ, જે તમારી આંખને પકડે છે તે કહેવાતા છે તુચ્છઉકેલ . તુચ્છ, જેઓ વિશેષણનો અર્થ બિલકુલ સમજી શકતા નથી, તેનો અર્થ શો-ઓફ વિના થાય છે. શૈક્ષણિક રીતે નહીં, અલબત્ત, પરંતુ સમજદારીપૂર્વક =) ...શા માટે ઝાડની આસપાસ હરાવ્યું, ચાલો શોધી કાઢીએ કે આ સિસ્ટમ પાસે અન્ય કોઈ ઉકેલો છે કે કેમ:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ: સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે લખવું જરૂરી છે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સઅને પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી તેને લાવો સ્ટેપ્ડ વ્યુ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં વર્ટિકલ બાર અને ફ્રી ટર્મ્સની શૂન્ય કૉલમ લખવાની જરૂર નથી - છેવટે, તમે શૂન્ય સાથે શું કરો છો, તે શૂન્ય જ રહેશે:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(2) બીજી લાઇન ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

ત્રીજી લીટીને 3 વડે વિભાજિત કરવાનો બહુ અર્થ નથી.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સમકક્ષ સજાતીય સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે , અને, ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીતનો ઉપયોગ કરીને, તે ચકાસવું સરળ છે કે ઉકેલ અનન્ય છે.

જવાબ આપો:

ચાલો એક સ્પષ્ટ માપદંડ ઘડીએ: રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ છે માત્ર એક તુચ્છ ઉકેલ, જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ રેન્ક(વી આ કિસ્સામાં 3) ચલોની સંખ્યા સમાન (આ કિસ્સામાં - 3 ટુકડાઓ).

ચાલો ગરમ થઈએ અને અમારા રેડિયોને પ્રાથમિક પરિવર્તનની તરંગો સાથે ટ્યુન કરીએ:

ઉદાહરણ 2

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો

લેખમાંથી મેટ્રિક્સની રેન્ક કેવી રીતે શોધવી?યાદ રાખો તર્કસંગત તકનીકમેટ્રિક્સ સંખ્યાઓનો સમાંતર ઘટાડો. નહિંતર, તમારે મોટી અને ઘણી વાર કરડતી માછલીઓ કાપવી પડશે. અંદાજિત નમૂનાપાઠના અંતે સોંપણી પૂર્ણ કરવી.

શૂન્ય સારા અને અનુકૂળ છે, પરંતુ વ્યવહારમાં જ્યારે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ વધુ સામાન્ય છે રેખીય રીતે નિર્ભર. અને પછી અનિવાર્ય દેખાવ સામાન્ય ઉકેલ:

ઉદાહરણ 3

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ. પ્રથમ ક્રિયાનો હેતુ માત્ર એક મૂલ્ય મેળવવા માટે જ નહીં, પરંતુ પ્રથમ કૉલમમાં સંખ્યા ઘટાડવાનો પણ છે:

(1) પ્રથમ લીટીમાં ત્રીજી લીટી ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. ત્રીજી લાઇન બીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. ઉપર ડાબી બાજુએ મને "માઈનસ" સાથેનું એકમ મળ્યું, જે આગળના પરિવર્તન માટે ઘણી વખત વધુ અનુકૂળ હોય છે.

(2) પ્રથમ બે લીટીઓ સમાન છે, તેમાંથી એક કાઢી નાખવામાં આવી હતી. પ્રામાણિકપણે, સોલ્યુશનને કસ્ટમાઇઝ કર્યું નથી - તે તે રીતે બહાર આવ્યું છે. જો તમે ટેમ્પલેટ રીતે પરિવર્તન કરો છો, તો પછી રેખીય અવલંબન લીટીઓ થોડી વાર પછી જાહેર થઈ હશે.

(3) બીજી લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(4) પ્રથમ લીટીનું ચિહ્ન બદલાઈ ગયું હતું.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સમકક્ષ સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ હતી:

એલ્ગોરિધમ બરાબર એ જ રીતે કામ કરે છે વિજાતીય સિસ્ટમો. "પગલાં પર બેઠેલા" ચલો મુખ્ય છે, જે ચલને "પગલું" મળ્યું નથી તે મફત છે.

ચાલો મૂળભૂત ચલોને ફ્રી વેરીએબલ દ્વારા વ્યક્ત કરીએ:

જવાબ આપો: સામાન્ય ઉકેલ:

મામૂલી ઉકેલ સમાવવામાં આવેલ છે સામાન્ય સૂત્ર, અને તેને અલગથી લખવું બિનજરૂરી છે.

ચેક સામાન્ય યોજના અનુસાર પણ હાથ ધરવામાં આવે છે: પરિણામી સામાન્ય સોલ્યુશનને બદલવું આવશ્યક છે ડાબી બાજુસિસ્ટમના દરેક સમીકરણ અને તમામ અવેજીઓ માટે કાનૂની શૂન્ય મેળવો.

આને શાંતિથી અને શાંતિથી સમાપ્ત કરવું શક્ય હશે, પરંતુ સમીકરણોની સમાનતાવાળી સિસ્ટમના ઉકેલને વારંવાર રજૂ કરવાની જરૂર છે. વી વેક્ટર ફોર્મ ઉપયોગ કરીને ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ. કૃપા કરીને હમણાં માટે તે વિશે ભૂલી જાઓ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, કારણ કે હવે આપણે સામાન્ય બીજગણિત અર્થમાં વેક્ટર્સ વિશે વાત કરીશું, જેના વિશે મેં લેખમાં થોડું ખોલ્યું છે મેટ્રિક્સ રેન્ક. પરિભાષા પર ચળકાટ કરવાની જરૂર નથી, બધું એકદમ સરળ છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ગેરફાયદાઓ છે: જ્યાં સુધી ગૌસીયન પદ્ધતિમાં જરૂરી તમામ પરિવર્તનો હાથ ધરવામાં ન આવે ત્યાં સુધી સિસ્ટમ સુસંગત છે કે નહીં તે જાણવું અશક્ય છે; ગોસની પદ્ધતિ અક્ષર ગુણાંક ધરાવતી સિસ્ટમો માટે યોગ્ય નથી.

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની અન્ય પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ. આ પદ્ધતિઓ મેટ્રિક્સ રેન્કના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે અને કોઈપણ ઉકેલને ઘટાડે છે સંયુક્ત સિસ્ટમસિસ્ટમના ઉકેલ માટે કે જેના પર ક્રેમરનો નિયમ લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 1.સામાન્ય ઉકેલ શોધો આગામી સિસ્ટમરેખીય સમીકરણો ઘટાડેલી સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીને અને અસંગત પ્રણાલીના ચોક્કસ ઉકેલનો ઉપયોગ કરે છે.

1. મેટ્રિક્સ બનાવવું એઅને વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ (1)

2. સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો (1) એકતા માટે. આ કરવા માટે, અમે મેટ્રિસિસની રેન્ક શોધીએ છીએ એઅને https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). જો તે બહાર આવે, તો સિસ્ટમ (1) અસંગત. જો આપણે તે મેળવીએ , તો પછી આ સિસ્ટમ સુસંગત છે અને અમે તેને હલ કરીશું. (સુસંગતતા અભ્યાસ ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય પર આધારિત છે).

a અમે શોધીએ છીએ આરએ.

શોધવા માટે આરએ, અમે મેટ્રિક્સના પ્રથમ, બીજા, વગેરે ઓર્ડરના બિન-શૂન્ય સગીરોને ક્રમિક રીતે ધ્યાનમાં લઈશું એઅને તેમની આસપાસના સગીરો.

M1=1≠0 (ડાબી બાજુથી 1 લો ટોચનો ખૂણોમેટ્રિસિસ એ).

અમે સરહદ M1આ મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ અને બીજી કૉલમ. . અમે સરહદ ચાલુ રાખીએ છીએ M1બીજી લાઇન અને ત્રીજી સ્તંભ..gif" width="37" height="20 src=">. હવે આપણે બિન-શૂન્ય ગૌણને સરહદ કરીએ છીએ M2′બીજો ક્રમ.

અમારી પાસે છે: (કારણ કે પ્રથમ બે કૉલમ સમાન છે)

(કેમ કે બીજી અને ત્રીજી રેખાઓ પ્રમાણસર છે).

તે આપણે જોઈએ છીએ rA=2, a એ મેટ્રિક્સનો આધાર લઘુ છે એ.

b અમે શોધીએ છીએ.

એકદમ મૂળભૂત માઇનોર M2′મેટ્રિસિસ એફ્રી ટર્મ્સ અને તમામ પંક્તિઓના કૉલમ સાથે બોર્ડર (અમારી પાસે માત્ર છેલ્લી પંક્તિ છે).

. તે તેને અનુસરે છે M3′મેટ્રિક્સનો મૂળભૂત માઇનોર રહે છે https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

કારણ કે M2′- મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોર એસિસ્ટમો (2) , તો પછી આ સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે (3) , જેમાં સિસ્ટમના પ્રથમ બે સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે (2) (માટે M2′મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ બે હરોળમાં છે).

(3)

મૂળભૂત માઇનોર હોવાથી https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

આ સિસ્ટમમાં બે મફત અજ્ઞાત છે ( x2 અને x4 ). તેથી જ FSR સિસ્ટમો (4) બે ઉકેલો સમાવે છે. તેમને શોધવા માટે, અમે મફતમાં અજાણ્યાઓને સોંપીએ છીએ (4) પ્રથમ મૂલ્યો x2=1 , x4=0 , અને પછી - x2=0 , x4=1 .

મુ x2=1 , x4=0 અમને મળે છે:

.

આ સિસ્ટમ પહેલેથી જ છે એકમાત્ર વસ્તુ ઉકેલ (તે ક્રેમરના નિયમ અથવા અન્ય કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે). બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમને બાદ કરીને, આપણને મળે છે:

તેનો ઉકેલ આવશે x1= -1 , x3=0 . મૂલ્યો આપ્યા છે x2 અને x4 , જે અમે આપ્યું છે, અમને પ્રથમ મળે છે મૂળભૂત ઉકેલસિસ્ટમો (2) : .

હવે અમે માનીએ છીએ (4) x2=0 , x4=1 . અમને મળે છે:

.

અમે ક્રેમરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીએ છીએ:

.

અમે સિસ્ટમનો બીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ (2) : .

ઉકેલો β1 , β2 અને મેક અપ કરો FSR સિસ્ટમો (2) . પછી તેનો સામાન્ય ઉકેલ આવશે

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

અહીં C1 , C2 - મનસ્વી સ્થિરાંકો.

4. ચાલો એક શોધીએ ખાનગી ઉકેલ વિજાતીય સિસ્ટમ(1) . ફકરાની જેમ 3 , સિસ્ટમને બદલે (1) ચાલો સમકક્ષ સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ (5) , જેમાં સિસ્ટમના પ્રથમ બે સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે (1) .

(5)

ચાલો મુક્ત અજાણ્યાઓને જમણી બાજુએ ખસેડીએ x2અને x4.

(6)

ચાલો મફત અજ્ઞાત આપીએ x2 અને x4 મનસ્વી મૂલ્યો, ઉદાહરણ તરીકે, x2=2 , x4=1 અને તેમને અંદર મૂકો (6) . ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ

આ સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ છે (તેના નિર્ણાયકથી M2′0). તેને ઉકેલવાથી (ક્રેમરના પ્રમેય અથવા ગૌસની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), અમે મેળવીએ છીએ x1=3 , x3=3 . મફત અજ્ઞાત ના મૂલ્યો આપેલ છે x2 અને x4 , અમને મળે છે અસંગત સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ(1)α1=(3,2,3,1).

5. હવે જે બાકી છે તે લખવાનું છે અસંગત સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ α(1) : તે સરવાળો બરાબર છે ખાનગી ઉકેલઆ સિસ્ટમ અને તેની ઘટાડેલી સજાતીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

આનો અર્થ છે: (7)

6. પરીક્ષા.તમે સિસ્ટમ યોગ્ય રીતે હલ કરી છે કે કેમ તે તપાસવા માટે (1) , અમને સામાન્ય ઉકેલની જરૂર છે (7) માં અવેજી (1) . જો દરેક સમીકરણ ઓળખમાં ફેરવાય તો ( C1 અને C2 નાશ કરવો જ જોઇએ), પછી ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવે છે.

અમે અવેજી કરીશું (7) ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમનું માત્ર છેલ્લું સમીકરણ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

અમને મળે છે: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

જ્યાં –1=–1. અમને એક ઓળખ મળી. અમે આ સિસ્ટમના અન્ય તમામ સમીકરણો સાથે કરીએ છીએ (1) .

ટિપ્પણી.ચેક સામાન્ય રીતે તદ્દન બોજારૂપ હોય છે. નીચેની "આંશિક તપાસ" ની ભલામણ કરી શકાય છે: સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલમાં (1) મનસ્વી સ્થિરાંકોને કેટલાક મૂલ્યો સોંપો અને પરિણામી આંશિક ઉકેલને ફક્ત કાઢી નાખવામાં આવેલા સમીકરણોમાં (એટલે ​​​​કે, તે સમીકરણોમાં (1) , જેનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો ન હતો (5) ). ઓળખાણ મળે તો વધુ શક્યતા, સિસ્ટમ સોલ્યુશન (1) યોગ્ય રીતે જોવા મળે છે (પરંતુ આવી તપાસ ચોકસાઈની સંપૂર્ણ બાંયધરી આપતી નથી!). ઉદાહરણ તરીકે, જો માં (7) મૂકો C2=- 1 , C1=1, પછી આપણને મળે છે: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. સિસ્ટમ (1) ના છેલ્લા સમીકરણમાં અવેજીમાં, અમારી પાસે છે: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , એટલે કે –1=–1. અમને એક ઓળખ મળી.

ઉદાહરણ 2.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો (1) , મુક્ત લોકોના સંદર્ભમાં મૂળભૂત અજાણ્યાઓને વ્યક્ત કરવું.

ઉકેલ.માં તરીકે ઉદાહરણ 1, મેટ્રિસિસ કંપોઝ કરો એઅને આ મેટ્રિસિસમાંથી https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. હવે આપણે સિસ્ટમના ફક્ત તે સમીકરણો છોડીએ છીએ (1) , જેનાં ગુણાંક આ મૂળભૂત ગૌણમાં સમાવવામાં આવેલ છે (એટલે ​​​​કે, અમારી પાસે પ્રથમ બે સમીકરણો છે) અને તેમાંથી બનેલી સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લો, સમકક્ષ સિસ્ટમ (1).

ચાલો આ સમીકરણોની જમણી બાજુએ મુક્ત અજાણ્યાઓને સ્થાનાંતરિત કરીએ.

સિસ્ટમ (9) અમે ગૌસિયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલીએ છીએ, જમણી બાજુની બાજુઓને મુક્ત શરતો તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

વિકલ્પ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

વિકલ્પ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

વિકલ્પ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

વિકલ્પ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ક્ષેત્ર પર રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ

વ્યાખ્યા. સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમને બિન-ખાલી રેખીય કહેવામાં આવે છે. સ્વતંત્ર સિસ્ટમતેના ઉકેલો, જેનો રેખીય ગાળો સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે (1).

નોંધ કરો કે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલી કે જેમાં માત્ર શૂન્ય સોલ્યુશન હોય તેમાં ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ હોતી નથી.

દરખાસ્ત 3.11. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની કોઈપણ બે મૂળભૂત પ્રણાલીઓ સમાવે છે સમાન નંબરનિર્ણયો

પુરાવો. વાસ્તવમાં, સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની કોઈપણ બે મૂળભૂત પ્રણાલીઓ (1) સમકક્ષ અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, દરખાસ્ત 1.12 દ્વારા, તેમની રેન્ક સમાન છે. પરિણામે, એક મૂળભૂત પ્રણાલીમાં સમાવિષ્ટ ઉકેલોની સંખ્યા અન્ય કોઈપણ મૂળભૂત પ્રણાલીમાં સમાવિષ્ટ ઉકેલોની સંખ્યા જેટલી છે.

જો સમીકરણો (1) ની સજાતીય પ્રણાલીનો મુખ્ય મેટ્રિક્સ A શૂન્ય હોય, તો માંથી કોઈપણ વેક્ટર સિસ્ટમ (1) માટે ઉકેલ છે; આ કિસ્સામાં, કોઈપણ સંગ્રહ રેખીય છે સ્વતંત્ર વેક્ટરના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે. જો મેટ્રિક્સ A ની કૉલમ રેન્ક બરાબર છે, તો સિસ્ટમ (1) પાસે માત્ર એક જ ઉકેલ છે - શૂન્ય; તેથી, આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) પાસે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ નથી.

પ્રમેય 3.12. જો રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ (1) ઓછી સંખ્યાચલ , પછી સિસ્ટમ (1) પાસે મૂળભૂત ઉકેલ સિસ્ટમ છે જેમાં ઉકેલોનો સમાવેશ થાય છે.

પુરાવો. જો સજાતીય સિસ્ટમ (1) ના મુખ્ય મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ શૂન્ય અથવા ની બરાબર હોય, તો તે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે પ્રમેય સાચું છે. તેથી, નીચે એવું માનવામાં આવે છે કે ધારી રહ્યા છીએ, અમે ધારીશું કે મેટ્રિક્સ A ના પ્રથમ કૉલમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ A એ ઘટાડેલા સ્ટેપવાઇઝ મેટ્રિક્સની પંક્તિ પ્રમાણે સમકક્ષ છે, અને સિસ્ટમ (1) સમીકરણોની નીચેની ઘટાડેલી સ્ટેપવાઇઝ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

તે તપાસવું સરળ છે કે મફત મૂલ્યોની કોઈપણ સિસ્ટમ સિસ્ટમ ચલો(2) સિસ્ટમ (2) અને તેથી, સિસ્ટમ (1) માટે એક અને માત્ર એક જ ઉકેલને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને, સિસ્ટમ (2) અને સિસ્ટમ (1) નું માત્ર શૂન્ય સોલ્યુશન શૂન્ય મૂલ્યોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે.

સિસ્ટમ (2) માં અમે એક મફત સોંપીશું ચલ મૂલ્ય, 1 ની બરાબર છે, અને બાકીના ચલોમાં શૂન્ય મૂલ્યો છે. પરિણામે, અમે સમીકરણો (2) ની સિસ્ટમના ઉકેલો મેળવીએ છીએ, જે આપણે નીચેના મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

આ મેટ્રિક્સની પંક્તિ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ખરેખર, સમાનતામાંથી કોઈપણ સ્કેલર્સ માટે

સમાનતા અનુસરે છે

અને તેથી, સમાનતા

ચાલો સાબિત કરીએ કે મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓની સિસ્ટમનો રેખીય ગાળો સિસ્ટમ (1) ના તમામ ઉકેલોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે.

સિસ્ટમનો મનસ્વી ઉકેલ (1). પછી વેક્ટર

સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ છે (1), અને

ઉકેલકેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને શોધો. સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ લીનિયર નોટ સિસ્ટમ્સ માટે સમાન છે સજાતીય સમીકરણો.
ફક્ત પંક્તિઓ સાથે સંચાલન કરતા, અમને મેટ્રિક્સનો ક્રમ મળે છે, જે આધાર ગૌણ છે; અમે આશ્રિત અને મુક્ત અજ્ઞાત જાહેર કરીએ છીએ અને સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. સિસ્ટમના ઉકેલોના સામાન્ય ઉકેલ અને મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો
ઉકેલ.



,
તે અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 અને છે સંખ્યા જેટલીઅજ્ઞાત આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં મફત અજાણ્યાઓ નથી, અને તેથી એક અનન્ય ઉકેલ છે - એક તુચ્છ.

વ્યાયામ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને ઉકેલો.
ઉદાહરણ 4

વ્યાયામ. દરેક સિસ્ટમના સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો શોધો.
ઉકેલ.ચાલો સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લખીએ:

કાર્ય . શોધો મૂળભૂત સમૂહરેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો.

રેખીય સમીકરણ કહેવાય છે સજાતીય, જો તેનો મુક્ત શબ્દ શૂન્ય સમાન હોય, અને અન્યથા અસંગત હોય. સજાતીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ સજાતીય કહેવાય છે અને ધરાવે છે સામાન્ય દૃશ્ય:

તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક સજાતીય સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેમાં શૂન્ય (તુચ્છ) ઉકેલ છે. તેથી, રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓના સંબંધમાં, વ્યક્તિએ ઘણીવાર બિન-શૂન્ય ઉકેલોના અસ્તિત્વના પ્રશ્નનો જવાબ શોધવો પડે છે. આ પ્રશ્નનો જવાબ નીચેના પ્રમેય તરીકે ઘડી શકાય છે.

પ્રમેય . રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીમાં બિનશૂન્ય સોલ્યુશન હોય છે અને જો તેનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય તો જ .

પુરાવો: ચાલો માની લઈએ કે જે સિસ્ટમનો ક્રમ સમાન છે તેમાં બિન-શૂન્ય ઉકેલ છે. દેખીતી રીતે તે વધી નથી. જો સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. સજાતીય રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં હંમેશા શૂન્ય ઉકેલ હોય છે, તો શૂન્ય ઉકેલ બરાબર હશે એકમાત્ર ઉકેલ. આમ, બિન-શૂન્ય ઉકેલો ફક્ત માટે જ શક્ય છે.

કોરોલરી 1 : સમીકરણોની એકસમાન પ્રણાલી, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય છે, તેમાં હંમેશા બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોય છે.

પુરાવો: જો સમીકરણોની સિસ્ટમ હોય, તો સિસ્ટમનો ક્રમ સમીકરણોની સંખ્યા કરતાં વધી જતો નથી, એટલે કે. . આમ, સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે અને તેથી, સિસ્ટમ પાસે બિન-શૂન્ય ઉકેલ છે.

કોરોલરી 2 : અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીમાં બિનશૂન્ય ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય.

પુરાવો: ચાલો ધારીએ કે રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ, જેનું મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક સાથે, નોનશૂન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. પછી, સાબિત પ્રમેય અનુસાર, અને આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સ એકવચન છે, એટલે કે. .

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ.

n ચલ સાથે m રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે જો બધા મફત સભ્યો 0 ની બરાબર છે. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે તે હંમેશા ઓછામાં ઓછા શૂન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો ચલ માટે તેના ગુણાંકના મેટ્રિક્સનો ક્રમ ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, એટલે કે. રેન્ક A માટે (n. કોઈપણ રેખીય સંયોજન

લિન સિસ્ટમ સોલ્યુશન્સ. સજાતીય ur-ii પણ આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોની સિસ્ટમ e1, e2,...,еkને મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે જો સિસ્ટમનો દરેક ઉકેલ ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન હોય. પ્રમેય: જો રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ચલોના ગુણાંકના મેટ્રિક્સનો ક્રમ n ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો સિસ્ટમના ઉકેલોની દરેક મૂળભૂત સિસ્ટમમાં આનો સમાવેશ થાય છે n-r ઉકેલો. તેથી, રેખીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ. એક દિવસ ur-th ફોર્મ ધરાવે છે: c1e1+c2e2+...skek, જ્યાં e1, e2,..., ek – ઉકેલોની કોઈપણ મૂળભૂત સિસ્ટમ, c1, c2,..., ck – મનસ્વી સંખ્યાઓઅને k=n-r. n ચલ સાથે m રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ સરવાળો સમાન છે

તેને અનુરૂપ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલો એકરૂપ છે. રેખીય સમીકરણો અને આ સિસ્ટમનો મનસ્વી ચોક્કસ ઉકેલ.

7. રેખીય જગ્યાઓ. સબસ્પેસ. આધાર, પરિમાણ. રેખીય શેલ. લીનિયર સ્પેસ કહેવાય છે n-પરિમાણીય, જો તેમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની સિસ્ટમ અને કોઈપણ સિસ્ટમ હોય વધુવેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર છે. નંબર પર બોલાવવામાં આવે છે પરિમાણ (પરિમાણોની સંખ્યા) રેખીય જગ્યાઅને નિયુક્ત થયેલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અવકાશનું પરિમાણ છે મહત્તમ સંખ્યાઆ જગ્યાના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર. જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય, તો જગ્યાને મર્યાદિત-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ માટે કુદરતી સંખ્યા n અવકાશમાં એક સિસ્ટમ છે જેમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે, પછી આવી જગ્યાને અનંત-પરિમાણીય (લેખિત: ) કહેવામાં આવે છે. નીચેનામાં, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય, મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશનો આધાર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો ક્રમબદ્ધ સંગ્રહ છે ( આધાર વેક્ટર).

આધારની દ્રષ્ટિએ વેક્ટરના વિસ્તરણ પર પ્રમેય 8.1. જો n-પરિમાણીય રેખીય અવકાશનો આધાર હોય, તો કોઈપણ વેક્ટરને આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
અને, વધુમાં, એકમાત્ર રીતે, એટલે કે. ગુણાંક અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અવકાશના કોઈપણ વેક્ટરને આધારમાં અને વધુમાં, અનન્ય રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

ખરેખર, જગ્યાનું પરિમાણ છે. વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે (આ એક આધાર છે). આધારમાં કોઈપણ વેક્ટર ઉમેર્યા પછી, અમે રેખીય રીતે મેળવીએ છીએ આશ્રિત સિસ્ટમ(કારણ કે આ સિસ્ટમમાં વેક્ટર્સનો સમાવેશ થાય છે n-પરિમાણીય જગ્યા). 7 રેખીય રીતે આશ્રિત અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રમેયનો નિષ્કર્ષ મેળવીએ છીએ.