સંખ્યાનું નિર્ધારણ e. અન્ય શબ્દકોશોમાં "નંબર e" શું છે તે જુઓ

સંખ્યા "e" એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક સ્થિરાંકો પૈકી એક છે જેના વિશે દરેક વ્યક્તિએ સાંભળ્યું છે. શાળાના પાઠગણિત ખ્યાલ પ્રકાશિત કરે છે લોકપ્રિય રજૂઆત, માનવતાવાદીઓ માટે માનવતાવાદી દ્વારા લખાયેલ, જેમાં સુલભ ભાષાયુલરનો નંબર શા માટે અને શા માટે અસ્તિત્વમાં છે તે જણાવશે.

આપણા પૈસા અને યુલરના નંબરમાં શું સામ્ય છે?

જ્યારે નંબર π (pi) ત્યાં એક ખૂબ જ ચોક્કસ છે ભૌમિતિક અર્થઅને તેનો ઉપયોગ પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવતો હતો, પછી નંબર ઇ(યુલરનો નંબર) પ્રમાણમાં તાજેતરમાં વિજ્ઞાનમાં તેનું યોગ્ય સ્થાન મેળવ્યું છે અને તેના મૂળ સીધા... નાણાકીય મુદ્દાઓ પર જાય છે.

નાણાની શોધ પછી બહુ ઓછો સમય પસાર થયો જ્યારે લોકોને સમજાયું કે ચોક્કસ વ્યાજ દરે ચલણ ઉધાર અથવા ઉધાર આપી શકાય છે. સ્વાભાવિક રીતે, "પ્રાચીન" ઉદ્યોગપતિઓએ "ટકા" ની પરિચિત ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો, પરંતુ ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન ચોક્કસ સૂચક દ્વારા રકમમાં વધારો તેમને પરિચિત હતો.

ફોટામાં: લિયોનહાર્ડ યુલર (1707-1783) ની છબી સાથે 10 ફ્રેંકની કિંમતની બૅન્કનોટ.

અમે વાર્ષિક 20% સાથેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં, કારણ કે ત્યાંથી યુલર નંબર સુધી પહોંચવામાં ઘણો સમય લાગે છે. ચાલો આ અચલના અર્થની સૌથી સામાન્ય અને સ્પષ્ટ સમજૂતીનો ઉપયોગ કરીએ, અને આ માટે આપણે થોડી કલ્પના કરવી પડશે અને કલ્પના કરવી પડશે કે કોઈ બેંક અમને વાર્ષિક 100% ના દરે ડિપોઝિટ પર નાણાં મૂકવાની ઓફર કરી રહી છે.

થોટ-ફાઇનાન્સિયલ પ્રયોગ

આ વિચાર પ્રયોગ માટે, તમે કોઈપણ રકમ લઈ શકો છો અને પરિણામ હંમેશા સમાન હશે, પરંતુ 1 થી શરૂ કરીને, અમે સંખ્યાના પ્રથમ અંદાજિત મૂલ્ય પર સીધા આવી શકીએ છીએ. ઇ. તેથી, ચાલો કહીએ કે અમે બેંકમાં 1 ડૉલરનું રોકાણ કરીએ છીએ, વર્ષના અંતે અમારી પાસે વાર્ષિક 100% ના દરે 2 ડૉલર હશે.

પરંતુ આ ફક્ત ત્યારે જ છે જ્યારે વ્યાજને વર્ષમાં એકવાર મૂડીકૃત (ઉમેરાયેલ) કરવામાં આવે. જો તેઓ વર્ષમાં બે વાર મૂડીકરણ કરે તો શું? એટલે કે, દર છ મહિને 50% ઉપાર્જિત કરવામાં આવશે, અને બીજા 50% હવે પ્રારંભિક રકમમાંથી ઉપાર્જિત કરવામાં આવશે નહીં, પરંતુ પ્રથમ 50% દ્વારા વધેલી રકમમાંથી. શું આ આપણા માટે વધુ નફાકારક રહેશે?

સંખ્યાનો ભૌમિતિક અર્થ દર્શાવતું વિઝ્યુઅલ ઇન્ફોગ્રાફિક π .

અલબત્ત તે કરશે. વર્ષમાં બે વાર કેપિટલાઇઝેશન સાથે, છ મહિના પછી અમારી પાસે એકાઉન્ટમાં $1.50 હશે. વર્ષના અંત સુધીમાં, $1.50 ના બીજા 50% ઉમેરવામાં આવશે, એટલે કે કુલ રકમ$2.25 હશે. જો કેપિટલાઇઝેશન દર મહિને હાથ ધરવામાં આવે તો શું થશે?

અમને દર મહિને 100/12% (એટલે ​​​​કે આશરે 8.(3)%) જમા કરવામાં આવશે, જે વધુ નફાકારક બનશે - વર્ષના અંત સુધીમાં અમારી પાસે $2.61 હશે. સામાન્ય સૂત્રપ્રતિ વર્ષ કેપિટલાઇઝેશન (n) ની મનસ્વી સંખ્યા માટે કુલ રકમની ગણતરી કરવા માટે આના જેવો દેખાય છે:

કુલ રકમ = 1(1+1/n) n

તે તારણ આપે છે કે n = 365 ની કિંમત સાથે (એટલે ​​​​કે, જો આપણો રસ દરરોજ મૂડીકરણ કરવામાં આવે છે), તો આપણને આ સૂત્ર મળે છે: 1(1+1/365) 365 = $2.71. પાઠ્યપુસ્તકો અને સંદર્ભ પુસ્તકોમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે e લગભગ 2.71828 ની બરાબર છે, એટલે કે, અમારા કલ્પિત યોગદાનના દૈનિક મૂડીકરણને ધ્યાનમાં લેતા, અમે પહેલેથી જ આવી ગયા છીએ. અંદાજિત મૂલ્ય e, જે ઘણી ગણતરીઓ માટે પહેલેથી જ પર્યાપ્ત છે.

n ની વૃદ્ધિ અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રહી શકે છે, અને તેનું મૂલ્ય જેટલું મોટું હશે, તેટલી વધુ ચોક્કસ રીતે આપણે યુલર નંબરની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, કોઈ કારણસર આપણને જરૂરી દશાંશ સ્થાન સુધી.

આ નિયમ, અલબત્ત, ફક્ત આપણા નાણાકીય હિતો પૂરતો મર્યાદિત નથી. ગાણિતિક સ્થિરાંકો "નિષ્ણાતો" થી દૂર છે - તેઓ એપ્લિકેશનના ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રીતે સારી રીતે કાર્ય કરે છે. તેથી, જો તમે ઊંડા ખોદશો, તો તમે તેને જીવનના લગભગ કોઈપણ ક્ષેત્રમાં શોધી શકો છો.

તે તારણ આપે છે કે સંખ્યા e એ બધા ફેરફારો અને "કુદરતી ભાષા" ના માપ જેવું કંઈક છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ" છેવટે, "મતાન" ભિન્નતા અને એકીકરણની વિભાવનાઓ સાથે ચુસ્તપણે જોડાયેલું છે, અને આ બંને કામગીરી અનંત ફેરફારો સાથે વ્યવહાર કરે છે, જે સંખ્યા દ્વારા ખૂબ જ સંપૂર્ણ રીતે લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. ઇ .

યુલરની સંખ્યાના અનન્ય ગુણધર્મો

સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટેના એક ફોર્મ્યુલાના નિર્માણના સમજૂતીના સૌથી બુદ્ધિગમ્ય ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લીધા પછી ઇ, ચાલો સંક્ષિપ્તમાં થોડા વધુ પ્રશ્નો જોઈએ જે સીધા તેનાથી સંબંધિત છે. અને તેમાંથી એક: યુલર નંબર વિશે શું અનન્ય છે?

સિદ્ધાંતમાં, કોઈપણ ગાણિતિક સ્થિરાંક અનન્ય છે અને દરેકનો પોતાનો ઇતિહાસ છે, પરંતુ, તમે જુઓ, ગાણિતિક વિશ્લેષણની પ્રાકૃતિક ભાષાના શીર્ષક માટેનો દાવો એકદમ વજનદાર દાવો છે.

યુલર ફંક્શન માટે ϕ(n) ના પ્રથમ હજાર મૂલ્યો.

જો કે, નંબર ઇ તેના માટે કારણો છે. જ્યારે ફંક્શન y = e xનું પ્લોટિંગ કરો, ત્યારે તે સ્પષ્ટ થાય છે અદ્ભુત હકીકત: માત્ર y e x ની બરાબર નથી, વળાંકનો ઢાળ અને વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર પણ સમાન સૂચક સમાન છે. એટલે કે, y ના ચોક્કસ મૂલ્યથી માઈનસ અનંત સુધીના વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર.

અન્ય કોઈ સંખ્યા આની બડાઈ કરી શકે નહીં. આપણા માટે, માનવતાવાદીઓ (અથવા ફક્ત ગણિતશાસ્ત્રીઓ નથી), આવા નિવેદન થોડું કહે છે, પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પોતે દાવો કરે છે કે આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. શા માટે તે મહત્વનું છે? અમે આ મુદ્દાને બીજી વાર સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

યુલરના નંબર માટે પૂર્વશરત તરીકે લોગરીધમ

કદાચ કોઈને શાળામાંથી યાદ હશે કે યુલરનો નંબર પણ કુદરતી લઘુગણકનો આધાર છે. ઠીક છે, આ તમામ ફેરફારોના માપ તરીકે તેની પ્રકૃતિ સાથે સુસંગત છે. તેમ છતાં, યુલરને તેની સાથે શું લેવાદેવા છે? વાજબીતામાં, એ નોંધવું જોઈએ કે e ને ક્યારેક નેપિયર નંબર પણ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ યુલર વિના વાર્તા અધૂરી હશે, તેમજ લઘુગણકનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના.

સ્કોટિશ ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન નેપિયર દ્વારા 17મી સદીમાં લઘુગણકની શોધ એક બની હતી. મુખ્ય ઘટનાઓગણિતનો ઇતિહાસ. 1914 માં યોજાયેલી આ ઘટનાની વર્ષગાંઠની ઉજવણીમાં, લોર્ડ મોલ્ટને નીચે પ્રમાણે વાત કરી:

"લોગરિધમ્સની શોધ આ માટે હતી વૈજ્ઞાનિક વિશ્વવાદળીમાંથી બોલ્ટની જેમ. અગાઉના કોઈપણ કાર્યને તે તરફ દોરી ગયું, આ શોધની આગાહી અથવા વચન આપ્યું ન હતું. તે એકલો રહે છે, તે અન્ય મનના કામમાંથી કંઈપણ ઉધાર લીધા વિના અને ગાણિતિક વિચારની તે સમયની જાણીતી દિશાઓનું પાલન કર્યા વિના, માનવ વિચારોમાંથી અચાનક તૂટી જાય છે."

પિયર-સિમોન લેપ્લેસ, પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઅને ખગોળશાસ્ત્રીએ આ શોધનું મહત્વ વધુ નાટકીય રીતે વ્યક્ત કર્યું: "લોગરીધમ્સની શોધ, પરિશ્રમના કલાકો ઘટાડીને, ખગોળશાસ્ત્રીનું જીવન બમણું કરે છે." તે શું હતું જેણે લાપ્લેસને ખૂબ પ્રભાવિત કર્યું? અને કારણ ખૂબ જ સરળ છે - લોગરીધમ્સે વૈજ્ઞાનિકોને સામાન્ય રીતે બોજારૂપ ગણતરીઓ પર ખર્ચવામાં આવતા સમયને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવાની મંજૂરી આપી છે.

સામાન્ય રીતે, લઘુગણક ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે-તેઓ તેમને જટિલતાના સ્કેલ પર એક સ્તર નીચે લઈ જાય છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ગુણાકાર અને ભાગાકારને બદલે, આપણે સરવાળા અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ કરવાની હતી. અને આ વધુ અસરકારક છે.

ઇ- કુદરતી લઘુગણકનો આધાર

ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ કે નેપિયર લઘુગણકના ક્ષેત્રમાં અગ્રણી હતા - તેમના શોધક. ઓછામાં ઓછું તેણે પ્રથમ તેના તારણો પ્રકાશિત કર્યા. આ કિસ્સામાં, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: યુલરની યોગ્યતા શું છે?

તે સરળ છે - તેને નેપિયરના વૈચારિક વારસદાર અને સ્કોટિશ વૈજ્ઞાનિકના જીવનના કાર્યને તેના લઘુગણક (તાર્કિક વાંચો) નિષ્કર્ષ પર લાવનાર વ્યક્તિ કહી શકાય. રસપ્રદ, શું આ પણ શક્ય છે?

કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલ કેટલાક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ગ્રાફ.

વધુ વિશિષ્ટ રીતે, યુલરે કુદરતી લઘુગણકનો આધાર મેળવ્યો હતો, જે હવે સંખ્યા તરીકે ઓળખાય છે ઇઅથવા યુલરનો નંબર. આ ઉપરાંત, તેણે વિજ્ઞાનના ઇતિહાસમાં પોતાનું નામ વાસ્યાના સ્વપ્ન કરતાં વધુ વખત લખ્યું હતું, જે એવું લાગે છે કે, દરેક જગ્યાએ "મુલાકાત" લેવામાં વ્યવસ્થાપિત છે.

કમનસીબે, લઘુગણક સાથે કામ કરવાના વિશિષ્ટ સિદ્ધાંતો એક અલગ મોટા લેખનો વિષય છે. તેથી હમણાં માટે એટલું કહેવું પૂરતું છે કે સંખ્યાબંધ સમર્પિત વૈજ્ઞાનિકોના કાર્ય માટે આભાર કે જેમણે તેમના જીવનના વર્ષો શાબ્દિક રીતે સંકલન માટે સમર્પિત કર્યા. લઘુગણક કોષ્ટકોતે દિવસોમાં જ્યારે કોઈએ ક્યારેય કેલ્ક્યુલેટર વિશે સાંભળ્યું ન હતું, ત્યારે વિજ્ઞાનની પ્રગતિ ખૂબ ઝડપી હતી.

ફોટામાં: જ્હોન નેપિયર - સ્કોટિશ ગણિતશાસ્ત્રી, લઘુગણકના શોધક (1550-1617.)

તે રમુજી છે, પરંતુ આ પ્રગતિ આખરે આ કોષ્ટકોની અપ્રચલિતતા તરફ દોરી ગઈ, અને તેનું કારણ ચોક્કસપણે હેન્ડ કેલ્ક્યુલેટરનું આગમન હતું, જેણે આ પ્રકારની ગણતરી કરવા માટેનું કાર્ય સંપૂર્ણપણે સંભાળ્યું.

વિશે તમે પણ સાંભળ્યું હશે સ્લાઇડ નિયમો? એક સમયે, ઇજનેરો અથવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમના વિના કરી શકતા ન હતા, પરંતુ હવે તે લગભગ એક એસ્ટ્રોલેબ જેવું છે - એક રસપ્રદ સાધન, પરંતુ રોજિંદા અભ્યાસ કરતાં વિજ્ઞાનના ઇતિહાસની દ્રષ્ટિએ વધુ.

લઘુગણકનો આધાર બનવું શા માટે એટલું મહત્વનું છે?

તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકનો આધાર કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 10), પરંતુ ચોક્કસ રીતે યુલર નંબરના અનન્ય ગુણધર્મોને કારણે, બેઝ માટે લઘુગણક ઇકુદરતી કહેવાય છે. તે, જેમ કે તે વાસ્તવિકતાના માળખામાં બનેલું છે - તેમાંથી કોઈ છૂટકારો નથી, અને તેની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે તે વિવિધ ક્ષેત્રોમાં કામ કરતા વૈજ્ઞાનિકોના જીવનને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

ચાલો પાવેલ બર્ડોવની વેબસાઈટ પરથી લઘુગણકની પ્રકૃતિનું એક બુદ્ધિગમ્ય સમજૂતી આપીએ. લોગરીધમ થી આધાર aદલીલ થી xતે શક્તિ છે કે જેના પર સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા a ને વધારવી આવશ્યક છે. ગ્રાફિકલી આ નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલ છે:

log a x = b, જ્યાં a એ આધાર છે, x એ દલીલ છે, b એ લઘુગણક સમાન છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 2 3 = 8 ⇒ લોગ 2 8 = 3 (8 નો આધાર 2 લઘુગણક 3 છે કારણ કે 2 3 = 8).

ઉપર આપણે લઘુગણકના આધારની છબીમાં નંબર 2 જોયો, પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે આ ભૂમિકા માટે સૌથી પ્રતિભાશાળી અભિનેતા યુલરનો નંબર છે. ચાલો તેના માટે તેમનો શબ્દ લઈએ... અને પછી તે જાતે જોવા માટે તપાસો.

તારણો

તે કદાચ ખરાબ છે કે તે અંદર છે ઉચ્ચ શિક્ષણતેથી મજબૂત રીતે અલગ કુદરતી છે અને માનવતા. કેટલીકવાર આ ખૂબ જ "સ્ક્યુ" તરફ દોરી જાય છે અને તે તારણ આપે છે કે ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં સારી રીતે વાકેફ હોય તેવી વ્યક્તિ સાથે અન્ય વિષયો વિશે વાત કરવી તે એકદમ રસહીન છે.

અને તેનાથી વિપરિત, તમે પ્રથમ-વર્ગના સાહિત્યના નિષ્ણાત બની શકો છો, પરંતુ, તે જ સમયે, જ્યારે તે સમાન ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતની વાત આવે ત્યારે સંપૂર્ણપણે લાચાર બનો. પરંતુ તમામ વિજ્ઞાન પોતપોતાની રીતે રસપ્રદ છે.

અમે આશા રાખીએ છીએ કે અમે, ઇમ્પ્રુવાઇઝ્ડ પ્રોગ્રામ "હું માનવતાવાદી છું, પરંતુ મારી સારવાર ચાલી રહી છે" ના માળખામાં અમારી પોતાની મર્યાદાઓને દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીને તમને શીખવામાં અને સૌથી અગત્યનું, તદ્દન અજાણ્યા વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રમાંથી કંઈક નવું સમજવામાં મદદ કરી છે.

ઠીક છે, જેઓ યુલરની સંખ્યા વિશે વધુ જાણવા માંગે છે, અમે ઘણા સ્રોતોની ભલામણ કરી શકીએ છીએ જે ગણિતથી દૂરની વ્યક્તિ પણ જો તેઓ ઇચ્છે તો સમજી શકે છે: એલી માઓર તેમના પુસ્તક "e: સિંગલ નંબરનો ઇતિહાસ" ("e: વાર્તાસંખ્યાની") વિગતવાર અને સ્પષ્ટપણે યુલરની સંખ્યાની પૃષ્ઠભૂમિ અને ઇતિહાસનું વર્ણન કરે છે.

ઉપરાંત, આ લેખ હેઠળના "ભલામણ કરેલ" વિભાગમાં તમે યુલરના નંબરને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરી રહેલા વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ફિલ્માવવામાં આવેલ YouTube ચેનલોના નામો શોધી શકો છો જેથી તે બિન-નિષ્ણાતો માટે પણ સમજી શકાય.

NUMBER ઇ. લગભગ 2.718 ની સમાન સંખ્યા, જે ઘણીવાર ગણિતમાં જોવા મળે છે અને કુદરતી વિજ્ઞાન. ઉદાહરણ તરીકે, પતન દરમિયાન કિરણોત્સર્ગી પદાર્થસમય વીતી ગયા પછી tપદાર્થની મૂળ રકમનો અપૂર્ણાંક સમાન રહે છે e–kt, ક્યાં k- આપેલ પદાર્થના સડોના દરને દર્શાવતી સંખ્યા. પારસ્પરિક 1/kઆપેલ પદાર્થના અણુનું સરેરાશ જીવનકાળ કહેવાય છે, કારણ કે સરેરાશ એક અણુ ક્ષીણ થતા પહેલા 1/ સમય માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. k. મૂલ્ય 0.693/ kકિરણોત્સર્ગી પદાર્થનું અર્ધ જીવન કહેવાય છે, એટલે કે. તે સમય કે જે દરમિયાન પદાર્થની મૂળ રકમનો અડધો ભાગ વિઘટિત થાય છે; સંખ્યા 0.693 લગભગ લોગની બરાબર છે ઇ 2, એટલે કે. સંખ્યા 2 થી આધારનો લઘુગણક ઇ. તેવી જ રીતે, જો બેક્ટેરિયામાં પોષક માધ્યમમાં તેમની સંખ્યાના પ્રમાણસર દરે પ્રજનન કરો વર્તમાન ક્ષણ, પછી સમય પછી t પ્રારંભિક જથ્થોબેક્ટેરિયા એનમાં ફેરવે છે ને કેટી. એટેન્યુએશન વિદ્યુત પ્રવાહ આઈશ્રેણી જોડાણ, પ્રતિકાર સાથે સરળ સર્કિટમાં આરઅને ઇન્ડક્ટન્સ એલકાયદા મુજબ થાય છે I = I 0 e–kt, ક્યાં k = R/L, આઈ 0 - સમયની ક્ષણે વર્તમાન તાકાત t= 0. સમાન સૂત્રો ચીકણું પ્રવાહી અને ભીનાશમાં તણાવમાં રાહતનું વર્ણન કરે છે ચુંબકીય ક્ષેત્ર. નંબર 1/ kઘણીવાર આરામનો સમય કહેવાય છે. આંકડામાં, મૂલ્ય e–ktસમય જતાં સંભાવના તરીકે થાય છે tસરેરાશ આવર્તન સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે બનતી કોઈ ઘટનાઓ ન હતી kસમયના એકમ દીઠ ઘટનાઓ. જો એસ- હેઠળ રોકાણ કરેલ નાણાંની રકમ આરઅલગ સમયાંતરે ઉપાર્જિતને બદલે સતત ઉપાર્જિત સાથે વ્યાજ, પછી સમય સુધીમાં tપ્રારંભિક રકમ વધી જશે સે ટ્ર/100.

સંખ્યાની "સર્વવ્યાપકતા" માટેનું કારણ ઇએ હકીકતમાં રહેલું છે કે ઘાતાંકીય કાર્યો અથવા લઘુગણક ધરાવતા ગાણિતિક વિશ્લેષણ સૂત્રો વધુ સરળ રીતે લખવામાં આવે છે જો લઘુગણકને આધાર પર લઈ જવામાં આવે ઇ, અને 10 અથવા અન્ય કોઈ આધાર નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 10 નું વ્યુત્પન્ન xબરાબર (1/ xલોગ 10 ઇ, જ્યારે લોગનું વ્યુત્પન્ન e xફક્ત 1/ ની બરાબર છે x. તેવી જ રીતે, 2 નું વ્યુત્પન્ન x 2 બરાબર છે xલોગ ઇ 2, જ્યારે નું વ્યુત્પન્ન e xબરાબર છે e x. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા ઇઆધાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે b, જેના પર કાર્યનો ગ્રાફ y =લોગ b xબિંદુ પર છે x= 1 સ્પર્શક s ઢાળ, 1 ની બરાબર, અથવા જેના પર વળાંક y = b xમાં છે x= 1 ની બરાબર ઢાળ સાથે 0 સ્પર્શક. આધાર માટે લઘુગણક ઇ"કુદરતી" કહેવાય છે અને ln તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે x. કેટલીકવાર તેમને "નેપિયર" પણ કહેવામાં આવે છે, જે ખોટું છે, કારણ કે હકીકતમાં જે. નેપિયર (1550-1617) એ એક અલગ આધાર સાથે લઘુગણકની શોધ કરી હતી: સંખ્યાનો નેપિયર લઘુગણક xબરાબર 10 7 લોગ 1/ ઇ (x/10 7) .

વિવિધ ડિગ્રી સંયોજનો ઇગણિતમાં એટલી વાર થાય છે કે તેમની પાસે છે ખાસ નામો. આ, ઉદાહરણ તરીકે, હાયપરબોલિક કાર્યો છે

કાર્યનો આલેખ y= ચ xકેટેનરી લાઇન કહેવાય છે; આ છેડાથી લટકાવેલા ભારે અક્ષમ થ્રેડ અથવા સાંકળનો આકાર છે. યુલરના સૂત્રો

જ્યાં i 2 = –1, બાઇન્ડ નંબર ઇત્રિકોણમિતિ સાથે. ખાસ કેસ x = pપ્રખ્યાત સંબંધ તરફ દોરી જાય છે e ip+ 1 = 0, ગણિતમાં 5 સૌથી પ્રખ્યાત સંખ્યાઓને જોડે છે.

ઘાતાંકને , અથવા તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

નંબર ઇ

ઘાતાંકની ડિગ્રીનો આધાર છે નંબર ઇ. આ અતાર્કિક સંખ્યા. તે લગભગ સમાન છે
ઇ ≈ 2,718281828459045...

સંખ્યા e ક્રમની મર્યાદા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કહેવાતા છે બીજી અદ્ભુત મર્યાદા:
.

સંખ્યા e ને શ્રેણી તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે:
.

ઘાતાંકીય ગ્રાફ

ઘાતાંકીય ગ્રાફ, y = e x .

ગ્રાફ ઘાતાંકીય બતાવે છે ઇએક ડિગ્રી સુધી એક્સ.
y (x) = e x
આલેખ બતાવે છે કે ઘાતાંક એકવિધ રીતે વધે છે.

સૂત્રો

મૂળભૂત સૂત્રોડિગ્રી e ના આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્ય માટે સમાન.

;
;
;

ઘાતાંકીય દ્વારા ડિગ્રી a ના મનસ્વી આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્યની અભિવ્યક્તિ:
.

ખાનગી મૂલ્યો

ચાલો વાય (x) = e x.
.

પછી

ઘાતાંક ગુણધર્મ ઇ > 1 .

ઘાતાંકમાં પાવર બેઝ સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો છે

ડોમેન, મૂલ્યોનો સમૂહ (x) = e xઘાતાંક y
બધા x માટે વ્યાખ્યાયિત.
- ∞ < x + ∞ .
તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર:
0 < y < + ∞ .

આત્યંતિક, વધતું, ઘટતું

ઘાતાંકીય એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી. તેના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

ઘાતાંકનો વ્યસ્ત એ કુદરતી લઘુગણક છે.
;
.

ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન

વ્યુત્પન્ન ઇએક ડિગ્રી સુધી એક્સની સમાન ઇએક ડિગ્રી સુધી એક્સ :
.
nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:
.
વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

અભિન્ન

જટિલ સંખ્યાઓ

સાથે ક્રિયાઓ જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે યુલરના સૂત્રો:
,
કાલ્પનિક એકમ ક્યાં છે:
.

હાયપરબોલિક કાર્યો દ્વારા અભિવ્યક્તિઓ

; ;
.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ

; ;
;
.

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ

વપરાયેલ સાહિત્ય:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

પરવુશકિન બોરિસ નિકોલાવિચ

ખાનગી શૈક્ષણિક સંસ્થા "સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્કૂલ "ટેટે-એ-ટેટે"

ગણિત શિક્ષક સર્વોચ્ચ શ્રેણી

નંબર ઇ

માં પ્રથમ નંબર દેખાયોગણિતકંઈક નજીવા જેવું. આ 1618 માં થયું હતું. નેપિયરના લઘુગણક પરના કાર્યના પરિશિષ્ટમાં, કુદરતી લઘુગણકનું કોષ્ટક આપવામાં આવ્યું હતું. વિવિધ નંબરો. જો કે, કોઈને સમજાયું નહીં કે આ બેઝના લોગરીધમ છે, કારણ કે તે સમયે લોગરીધમની વિભાવનામાં આધાર જેવી વસ્તુનો સમાવેશ થતો ન હતો. આને હવે આપણે લઘુગણક કહીએ છીએ, તે શક્તિ કે જેના પર જરૂરી સંખ્યા મેળવવા માટે આધારને વધારવામાં આવે છે. અમે પછીથી આ પર પાછા આવીશું. પરિશિષ્ટમાં કોષ્ટક મોટે ભાગે ઑગથ્રેડ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું, જો કે લેખકની ઓળખ થઈ ન હતી. થોડા વર્ષો પછી, 1624 માં, તે ફરીથી ગાણિતિક સાહિત્યમાં દેખાય છે, પરંતુ ફરીથી છૂપી રીતે. આ વર્ષે બ્રિગ્સે સંખ્યાત્મક અંદાજ આપ્યો દશાંશ લઘુગણક, પરંતુ સંખ્યા પોતે જ તેમના કાર્યમાં ઉલ્લેખિત નથી.

નંબરનો આગામી દેખાવ ફરીથી શંકાસ્પદ છે. 1647 માં, સેન્ટ-વિન્સેન્ટે હાઇપરબોલા ક્ષેત્રના ક્ષેત્રની ગણતરી કરી. શું તે લઘુગણક સાથેના જોડાણને સમજી શક્યો છે કે કેમ તે ફક્ત અનુમાન કરી શકાય છે, પરંતુ જો તે સમજી ગયો હોય, તો પણ તે સંખ્યા પર આવી શકે તેવી શક્યતા નથી. તે 1661 સુધી ન હતું કે હ્યુજેન્સ સમભુજ હાઇપરબોલા અને લઘુગણક વચ્ચેના જોડાણને સમજી શક્યા. તેમણે સાબિત કર્યું કે 1 થી અંતરાલમાં સમભુજ અતિપરવલાના ગ્રાફ હેઠળનો વિસ્તાર 1 ની બરાબર છે. આ ગુણધર્મ કુદરતી લઘુગણકનો આધાર બનાવે છે, પરંતુ તે સમયના ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સમજી શક્યા ન હતા, પરંતુ તેઓ હતા. ધીમે ધીમે આ સમજણની નજીક.

હ્યુજેન્સે 1661માં આગળનું પગલું ભર્યું. તેમણે એક વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કર્યો જેને તેઓ લઘુગણક કહે છે (આપણી પરિભાષામાં આપણે તેને ઘાતાંકીય કહીશું). આ એક પ્રકારનો વળાંક છે. અને ફરીથી દશાંશ લઘુગણક દેખાય છે, જે હ્યુજેન્સને 17 દશાંશ અંકો સુધી સચોટ લાગે છે. જો કે, તે હ્યુજેન્સમાંથી એક પ્રકારના અચલ તરીકે ઉદ્દભવ્યું હતું અને તે સંખ્યાના લઘુગણક સાથે સંકળાયેલું નહોતું (તેથી, તેઓ ફરીથી ની નજીક આવ્યા હતા, પરંતુ સંખ્યા પોતે જ અજાણી રહે છે).

IN વધુ કામલઘુગણક માટે, ફરીથી, સંખ્યા સ્પષ્ટપણે દેખાતી નથી. જો કે, લઘુગણકનો અભ્યાસ ચાલુ રહે છે. 1668 માં, નિકોલસ મર્કેટરે એક કૃતિ પ્રકાશિત કરીલોગરીથમોટેકનિયા, જેમાં શ્રેણી વિસ્તરણ છે. આ કાર્યમાં, મર્કેટર પ્રથમ નામનો ઉપયોગ કરે છે “ કુદરતી લઘુગણક"બેઝ લોગરીધમ માટે. સંખ્યા સ્પષ્ટપણે ફરીથી દેખાતી નથી, પરંતુ બાજુમાં ક્યાંક પ્રપંચી રહે છે.

તે આશ્ચર્યજનક છે કે સંખ્યા પ્રથમ સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં લોગરીધમ સાથે જોડાણમાં નહીં, પરંતુ અનંત ઉત્પાદનો સાથે જોડાણમાં દેખાય છે. 1683 માં, જેકબ બર્નૌલી શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે

તે સાબિત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે કે આ મર્યાદા 2 અને 3 ની વચ્ચે છે, જેને આપણે પ્રથમ અંદાજ તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. જો કે આપણે આને ની વ્યાખ્યા તરીકે લઈએ છીએ, આ પ્રથમ વખત છે જ્યારે કોઈ સંખ્યાને મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. બર્નૌલી, અલબત્ત, તેમના કાર્ય અને લઘુગણક પરના કાર્ય વચ્ચેના જોડાણને સમજી શક્યા નહીં.

અગાઉ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો કે તેમના અભ્યાસની શરૂઆતમાં લઘુગણક ઘાતાંક સાથે કોઈપણ રીતે જોડાયેલા ન હતા. અલબત્ત, સમીકરણમાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ, પરંતુ આ સમજવાની ઘણી પછીની રીત છે. અહીં આપણે વાસ્તવમાં લઘુગણક દ્વારા ફંક્શનનો અર્થ કરીએ છીએ, જ્યારે પહેલા લઘુગણકને માત્ર ગણતરીમાં મદદ કરતી સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવતી હતી. કદાચ જેકબ બર્નૌલી એ પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમને તે સમજાયું લઘુગણક કાર્યવ્યસ્ત ઘાતાંકીય છે. બીજી બાજુ, લઘુગણક અને શક્તિઓને જોડનાર પ્રથમ વ્યક્તિ જેમ્સ ગ્રેગરી હોઈ શકે છે. 1684 માં તેણે ચોક્કસ રીતે લઘુગણક અને શક્તિઓ વચ્ચેના જોડાણને ઓળખ્યું, પરંતુ તે કદાચ પ્રથમ ન હતા.

આપણે જાણીએ છીએ કે આ સંખ્યા તેના વર્તમાન સ્વરૂપમાં 1690 માં દેખાઈ હતી. લીબનીઝે, હ્યુજેન્સને લખેલા પત્રમાં, તેના માટે હોદ્દાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અંતે, એક હોદ્દો દેખાયો (જોકે તે આધુનિક સાથે સુસંગત ન હતો), અને આ હોદ્દો માન્ય કરવામાં આવ્યો.

1697 માં, જોહાન બર્નૌલીએ ઘાતાંકીય કાર્યનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું અને પ્રકાશિત કર્યુંપ્રિન્સિપિયા કેલ્ક્યુલી એક્સપોનેન્શિયલમ seu percurrentium. આ કાર્યમાં, વિવિધ ઘાતાંકીય શ્રેણીના સરવાળાઓની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને કેટલાક પરિણામો તેમના ટર્મ-બાય-ટર્મ એકીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

યુલરે ઘણા બધાનો પરિચય કરાવ્યો ગાણિતિક સંકેત, શું
આશ્ચર્યની વાત નથી કે હોદ્દો પણ તેમનો છે. એ કહેવું હાસ્યાસ્પદ લાગે છે કે તેણે આ પત્રનો ઉપયોગ કર્યો છે કારણ કે તે તેના નામનો પહેલો અક્ષર છે. આ કદાચ એટલા માટે પણ નથી કારણ કે તે શબ્દ "ઘાતાંકીય" પરથી લેવામાં આવ્યો છે, પરંતુ ફક્ત એટલા માટે કે તે "a" પછીનો સ્વર છે, અને યુલરે તેના કામમાં "a" નો ઉપયોગ પહેલેથી જ કર્યો હતો. કારણ ગમે તે હોય, નોટેશન સૌપ્રથમ 1731માં યુલરના ગોલ્ડબેકને લખેલા પત્રમાં દેખાય છે. તેમણે આગળ અભ્યાસ કરતાં ઘણી શોધો કરી, પરંતુ 1748 સુધી નહીં.એનાલિસિન ઇન્ફિનિટોરમમાં પરિચયતેમણે સંબંધિત તમામ વિચારોને સંપૂર્ણ સમર્થન આપ્યું. તે તેણે બતાવ્યું

યુલરને સંખ્યાના પ્રથમ 18 દશાંશ સ્થાનો પણ મળ્યા:

જો કે, તેણે તેમને કેવી રીતે મેળવ્યા તે સમજાવ્યા વિના. એવું લાગે છે કે તેણે પોતે આ મૂલ્યની ગણતરી કરી છે. વાસ્તવમાં, જો આપણે શ્રેણીની લગભગ 20 શરતો (1) લઈએ, તો આપણને યુલરને મળેલી ચોકસાઈ મળે છે. અન્યો વચ્ચે રસપ્રદ પરિણામોતેમનું કાર્ય સાઈન અને કોસાઈન અને કોમ્પ્લેક્સ વચ્ચેનું જોડાણ દર્શાવે છે ઘાતાંકીય કાર્ય, જે યુલરે મોઇવરના સૂત્રમાંથી મેળવ્યું હતું.

તે રસપ્રદ છે કે યુલરને સંખ્યાના સતત અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન પણ મળ્યું અને આવા વિઘટનના ઉદાહરણો આપ્યા. ખાસ કરીને, તેણે પ્રાપ્ત કર્યું

યુલરે પુરાવો આપ્યો ન હતો કે આ અપૂર્ણાંકો એ જ રીતે ચાલુ રહે છે, પરંતુ તે જાણતા હતા કે જો આવી કોઈ સાબિતી હશે, તો તે અતાર્કિકતા સાબિત કરશે. ખરેખર, જો 6,10,14,18,22,26, (આપણે દરેક વખતે 4 ઉમેરીએ છીએ) આપેલ ઉદાહરણની જેમ જ , માટે સતત અપૂર્ણાંક ચાલુ રહે, તો તે ક્યારેય વિક્ષેપિત થશે નહીં, અને (અને તેથી ) તર્કસંગત ન હોઈ શકે. દેખીતી રીતે અતાર્કિકતા સાબિત કરવાનો આ પહેલો પ્રયાસ છે.

તદ્દન ગણતરી કરવા માટે પ્રથમ મોટી સંખ્યામાંસંખ્યાના દશાંશ સ્થાનો, 1854માં શૅંક્સ હતા. ગ્લેશરે બતાવ્યું કે શૅંક્સ દ્વારા ગણતરી કરાયેલ પ્રથમ 137 સ્થાનો સાચા હતા, પરંતુ પછી ભૂલ મળી. શેન્ક્સે તેને સુધાર્યું, અને 205 દશાંશ સ્થાનો પ્રાપ્ત થયા. વાસ્તવમાં, તમારે વિશેની જરૂર છે
સંખ્યાના 200 સાચા અંકો મેળવવા માટે વિસ્તરણની 120 શરતો (1)

1864 માં, બેન્જામિન પીયર્સ એક બોર્ડ પાસે ઉભા હતા જેના પર લખ્યું હતું

તેમના પ્રવચનોમાં તેઓ તેમના વિદ્યાર્થીઓને કહી શકે છે: "સજ્જનો, આનો અર્થ શું થાય છે તે વિશે અમને સહેજ પણ ખ્યાલ નથી, પરંતુ અમે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે તેનો અર્થ કંઈક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે."

મોટાભાગના લોકો માને છે કે યુલરે સંખ્યાની અતાર્કિકતા સાબિત કરી છે. જો કે, આ 1873 માં હર્માઇટે કર્યું હતું. સંખ્યા બીજગણિત છે કે કેમ તે પ્રશ્ન હજુ પણ ખુલ્લો છે. નવીનતમ પરિણામઆ દિશામાં એ છે કે ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા ગુણાતીત છે.

આગળ, અમે નીચેની ગણતરી કરી દશાંશસંખ્યાઓ 1884 માં, બૂરમેને 346 અંકોની ગણતરી કરી, જેમાંથી પ્રથમ 187 શૅન્કના અંકો સાથે એકરુપ હતા, પરંતુ પછીના અંકો અલગ હતા. 1887માં, એડમ્સે દશાંશ લઘુગણકના 272 અંકોની ગણતરી કરી.

દરેક વ્યક્તિ નંબરનો ભૌમિતિક અર્થ જાણે છે π એકમ વ્યાસવાળા વર્તુળની લંબાઈ છે:

પરંતુ અહીં અન્ય મહત્વપૂર્ણ સ્થિરતાનો અર્થ છે, ઇ, ઝડપથી ભૂલી જવાનું વલણ ધરાવે છે. એટલે કે, હું તમારા વિશે જાણતો નથી, પરંતુ દર વખતે મને યાદ રાખવાના પ્રયાસમાં ખર્ચ થાય છે કે 2.7182818284590 ની બરાબર આ સંખ્યા શા માટે એટલી નોંધપાત્ર છે... (જો કે, મેં મેમરીમાંથી મૂલ્ય લખી દીધું). તેથી મેં એક નોંધ લખવાનું નક્કી કર્યું જેથી કરીને મારી સ્મૃતિમાંથી બીજું કશું સરકી ન જાય.

નંબર ઇવ્યાખ્યા દ્વારા - કાર્યની મર્યાદા y = (1 + 1 / x) xખાતે x → ∞:

આ વ્યાખ્યા, કમનસીબે, સ્પષ્ટ નથી. તે સ્પષ્ટ નથી કે આ મર્યાદા શા માટે નોંધપાત્ર છે (તે હકીકત હોવા છતાં કે તેને "બીજો નોંધપાત્ર" કહેવામાં આવે છે). જરા વિચારો, તેઓએ અમુક અણઘડ કાર્ય લીધું અને મર્યાદાની ગણતરી કરી. એક અલગ ફંક્શન એક અલગ હશે.

પરંતુ નંબર ઇકેટલાક કારણોસર તે સૌથી વધુ સંપૂર્ણ સમૂહમાં પૉપ અપ થાય છે વિવિધ પરિસ્થિતિઓગણિતમાં.

મારા માટે મુખ્ય અર્થસંખ્યાઓ ઇબીજાના વર્તનમાં પ્રગટ થાય છે, ઘણું બધું રસપ્રદ કાર્ય, y = k x. જ્યારે આ ફંક્શનમાં અનન્ય ગુણધર્મ છે k = ઇ, જે આ રીતે ગ્રાફિકલી બતાવી શકાય છે:

બિંદુ 0 પર કાર્ય મૂલ્ય લે છે ઇ 0 = 1. જો તમે બિંદુ પર સ્પર્શક દોરો છો x= 0, પછી તે સ્પર્શક 1 (in પીળો ત્રિકોણવલણ વિરુદ્ધ બાજુ 1 ને અડીને 1 બરાબર 1). બિંદુ 1 પર કાર્ય મૂલ્ય લે છે ઇ 1 = ઇ. જો તમે એક બિંદુ પર સ્પર્શક દોરો છો x= 1, પછી તે સ્પર્શક સાથેના ખૂણા પર પસાર થશે ઇ(વી લીલો ત્રિકોણવિરુદ્ધ બાજુ ગુણોત્તર ઇઅડીને 1 બરાબર છે ઇ). બિંદુ 2 પર મૂલ્ય ઇફંક્શનનો 2 ફરીથી સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સાથે એકરુપ થાય છે. આને કારણે, તે જ સમયે, સ્પર્શકો પોતે x-અક્ષને બરાબર −1, 0, 1, 2, વગેરે બિંદુઓ પર છેદે છે.

બધા કાર્યો વચ્ચે y = k x(ઉદાહરણ તરીકે 2 x , 10 x , π xવગેરે), કાર્ય ઇ x- માત્ર એક જ એવી સુંદરતા ધરાવે છે કે તેના દરેક બિંદુઓ પર તેના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક કાર્યના મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે. આનો અર્થ છે, વ્યાખ્યા દ્વારા, દરેક બિંદુ પર આ કાર્યનું મૂલ્ય આ બિંદુએ તેના વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય સાથે એકરુપ છે: ( ઇ x)´ = ઇ x. કેટલાક કારણોસર નંબર ઇ= 2.7182818284590... સુધી વધારવામાં આવશે વિવિધ ડિગ્રીઓઆના જેવું ચિત્ર મેળવવા માટે.

આ, મારા મતે, તેનો અર્થ છે.

સંખ્યાઓ π અને ઇમારા મનપસંદ સૂત્ર - યુલરના સૂત્રમાં શામેલ છે, જે 5 સૌથી મહત્વપૂર્ણ સ્થિરાંકોને જોડે છે - શૂન્ય, એક, કાલ્પનિક એકમ iઅને, હકીકતમાં, સંખ્યાઓ π અને ઇ:

e iπ + 1 = 0

શા માટે નંબર 2.7182818284590... માં છે જટિલ ડિગ્રી 3,1415926535...iઅચાનક માઈનસ વન બરાબર? આ પ્રશ્નનો જવાબ આ નોંધના અવકાશની બહાર છે અને તે એક નાનકડી પુસ્તકની સામગ્રીની રચના કરી શકે છે, જેમાં ત્રિકોણમિતિ, મર્યાદાઓ અને શ્રેણીની કેટલીક મૂળભૂત સમજની જરૂર પડશે.

હું હંમેશા આ ફોર્મ્યુલાની સુંદરતાથી આશ્ચર્યચકિત રહ્યો છું. કદાચ ગણિતમાં વધુ છે અદ્ભુત તથ્યો, પરંતુ મારા સ્તર માટે (ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત લાયસિયમમાં સી અને એક એ ઇન વ્યાપક વિશ્લેષણયુનિવર્સિટીમાં) આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ચમત્કાર છે.