શ્રેષ્ઠતા એ આવશ્યક સ્થિતિ છે. સફળતા: જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો

ચાલો આપણે ઇચ્છિત નિયંત્રણ ક્રમને સંતોષવી જોઈએ તેવી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિઓ મેળવીએ. આ હેતુ માટે, અમે ઉપરોક્ત સમસ્યાને સમસ્યા તરીકે અર્થઘટન કરીએ છીએ ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ.

ચાલો માપદંડ (4.2) ને ઇચ્છિત નિયંત્રણના ચોક્કસ કાર્ય તરીકે રજૂ કરીએ

અહીં હેઠળ અનેઅને £ ને સિક્વન્સ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જે પરિમાણ સાથે વિસ્તૃત વેક્ટરના સ્વરૂપમાં નિશ્ચિતતા માટે લખાયેલ છે (N+l)mઅને (N+l)rઅનુક્રમે અંતિમ રાજ્ય કાર્ય નિર્ભરતા જેથી અનેઅને ગર્ભિત અને સમીકરણ દ્વારા પોતાને પ્રગટ કરે છે (4.1). ઔપચારિક રીતે, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યામાં શક્ય હોય તેવા વચ્ચે આવા વેક્ટરને શોધવાનો સમાવેશ થાય છે અને,જે માપદંડને ઘટાડે છે. અને આ છે - સામાન્ય કાર્યગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ. આવી સમસ્યામાં શ્રેષ્ઠતા માટેની આવશ્યક શરત ઇચ્છિત બિંદુએ વ્યુત્પન્નની બિન-નકારાત્મકતાની સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. અનેકોઈપણ સ્વીકાર્ય દિશામાં, એટલે કે.

હવે પછી, સંકેતનો ઉપયોગ સ્કેલર ફંક્શનના ઢાળને દર્શાવવા માટે થાય છે J(ઓ)વેક્ટર દલીલ દ્વારા અને,બિંદુ પર ગણતરી u = a.ઢાળ હેઠળ , જેમ જાણીતું છે, અમારો મતલબ ફંક્શનના પ્રથમ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝથી બનેલો વેક્ટર (કૉલમ) છે / વેક્ટરની તમામ દલીલો ઉપર અને. IN આ કિસ્સામાંનીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં બદલામાં ફંક્શનના ઢાળને સૂચવે છે જેઅલગ વેક્ટર અનુસાર .

ચાલો હવે શબ્દ સમજાવીએ માન્ય દિશા.સ્વીકાર્ય દિશા દ્વારા વેક્ટરનો અર્થ થાય છે જે વેક્ટરમાં ઉમેરવામાં આવે છે અને,વેક્ટરના મોડ્યુલસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના મૂલ્ય માટે મૂળ નિયંત્રણ નિયંત્રણોના ઉલ્લંઘન તરફ દોરી જશે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે માન્ય ગણવામાં આવે છે જો શરત પૂરી થાય, જ્યાં હેઠળ યુબધા સ્વીકાર્ય સેટનો સમૂહ સંકુચિત છે , અને એકદમ નાનું છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે અમુક આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ લખતી વખતે, અમે કુદરતી રીતે ધારી લઈશું, ખાસ કરીને નિર્ધારિત કર્યા વિના, તેઓ અસ્તિત્વમાં છે.

અહીં પ્રસ્તુત શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ એ હકીકતને કારણે કામ કરવું મુશ્કેલ છે કે તે વિસ્તૃત નિયંત્રણ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરે છે અને,સામાન્ય રીતે ખૂબ મોટું પરિમાણ ધરાવે છે. ચાલો આ સ્થિતિને વધુ પરિવર્તિત કરીએ સરળ દૃશ્ય. આ હેતુ માટે, સ્વીકાર્ય વેક્ટરના સમૂહમાં, અમે ફક્ત એક જ સિંગલમાં બિન-શૂન્ય ઘટકો ધરાવતા હોય તે જ ગણીએ છીએ. iમી ક્ષણ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે દરેક માટે માંગ કરીશું , અને ખાતે. પછી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ એક સરળ સ્વરૂપ લે છે, એટલે કે,

બધા માન્ય માટે એટલે કે, શરત સંતોષવી

કારણ કે સંબંધ (4.4) કોઈપણ ક્ષણ માટે માન્ય છે , એક શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિને બદલે, અમે ફોર્મની શ્રેષ્ઠતા શરતોનો સંપૂર્ણ સેટ મેળવીએ છીએ (4.4). આ શરતોના ફાયદા એ છે કે તેમાંના દરેકમાં માત્ર એક પરિમાણ નિયંત્રણ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે ટી.

ભૌતિક અર્થદરેક સ્થિતિ (4.4) એ છે કે નિયંત્રણના ભિન્નતાને કારણે ટર્મિનલ માપદંડ (4.2) ની વિવિધતા iમી ક્ષણ, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણની તુલનામાં ગણવામાં આવે છે, તે બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે.

શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.4) હજુ સુધી સ્પષ્ટપણે મૂળ સાથે સંબંધિત નથી ગાણિતિક મોડેલ. ચાલો આ જોડાણ સ્થાપિત કરીએ. આ હેતુ માટે, અમે ડેરિવેટિવ્ઝ જાહેર કરીશું , બાદમાં સમીકરણ સાથે જોડવું (4.1). પ્રથમ આપણે બતાવીએ છીએ કે કોઈપણ નિયંત્રણ માટે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકાય અનેઅને કોઈપણ ગુસ્સો. આ કરવા માટે, અમે કાર્યને અલગ પાડીએ છીએ J = F(x N + l)કનેક્શનને ધ્યાનમાં લેતા વેક્ટર સાથે (4.1). અમે સંબંધોની નીચેની સાંકળ લખી શકીએ છીએ:

અહીં, અમે ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સના મેટ્રિસિસને તેની દલીલોના સંદર્ભમાં અને અનુક્રમે દર્શાવીએ છીએ. તદુપરાંત, આ મેટ્રિસિસ નીચેના નિયમ અનુસાર રચાય છે: મેટ્રિક્સની દરેક કૉલમ વેક્ટર દલીલના સંદર્ભમાં વેક્ટર ફંક્શનના અનુરૂપ ઘટકના ઢાળને રજૂ કરે છે. ઔપચારિક રીતે નોટેશનનો પરિચય

અમે વ્યુત્પન્ન માટે વધુ કોમ્પેક્ટ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ

હવે અમે ઔપચારિક રીતે નીચેની બાબતોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ સ્કેલર કાર્ય:

જે અનિવાર્યપણે છે ડોટ ઉત્પાદનપુનરાવૃત્તિ સંબંધ (4.5) અનુસાર નિર્ધારિત વેક્ટર અને વેક્ટર , હોવા જમણી બાજુમૂળ સમીકરણ (4.1). કાર્ય એન આઇ(4.7) અનુસાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને હેમિલ્ટોનિયન કહેવામાં આવે છે. ચાલો આપણે તેના પર ભાર મૂકીએ સામાન્ય કેસહેમિલ્ટોનિયન છે રેન્ડમ કાર્ય, કારણ કે તે વિક્ષેપ પર આધાર રાખે છે. જેમ આપણે પછી જોઈશું, હેમિલ્ટોનિયન એ બંને શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિની રચના અને વિવિધતાના અમલીકરણ માટે અનુકૂળ બાંધકામ છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓઑપ્ટિમાઇઝેશન ચાલો શ્રેષ્ઠતા શરતો સાથે પ્રારંભ કરીએ. તે સ્થાપિત કરવું મુશ્કેલ નથી કે હેમિલ્ટોનિયનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ તેમની દલીલોમાં નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

આને ધ્યાનમાં લેતા, ગતિના મૂળ સમીકરણો (4.1), તેમજ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરતા સંબંધો (4.5) ને નીચે મુજબ ઘટાડી શકાય છે. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ:

વેક્ટર માટેના સમીકરણને સામાન્ય રીતે સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે મૂળ સમીકરણવેક્ટર માટે . તેથી, વેક્ટર પોતે, સંતોષકારક સિસ્ટમ (4.8), એક સંયુક્ત વેક્ટર કહેવાશે. જાણીતા નિયંત્રણ સાથે તેને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે, સિસ્ટમ (4.8) માંથી નીચે મુજબ, પ્રથમ આપેલ માટે સીધા સમયમાં ગતિનો માર્ગ નક્કી કરવો. પ્રારંભિક સ્થિતિ. અને આ પછી જ, રિવર્સ ટાઈમમાં, વેક્ટર પર લાદવામાં આવેલી સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈને, જમણી બાજુએ રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સની હાજરીને કારણે, સંયોજક વેક્ટરને શોધો સિસ્ટમના સમીકરણોની બાજુઓ (4.8), સામાન્ય કિસ્સામાં સંયુક્ત વેક્ટર પણ રેન્ડમ છે.

જો આપણે હવે અભિવ્યક્તિ (4.6) પર પાછા ફરો, તો હેમિલ્ટોનિયનની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને તે ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

તે ધ્યાનમાં લેતાં, એક નિયમ તરીકે, ભિન્નતા અને ગાણિતિક અપેક્ષાની ક્રિયાઓ વિનિમયક્ષમ છે, અને તેથી, સમાનતા ધરાવે છે

જરૂરી શરતોશ્રેષ્ઠતા (4.4) છેલ્લે સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે આગામી સિસ્ટમઅસમાનતાઓ:

જે તમામ માન્ય માટે સંતુષ્ટ હોવું જોઈએ .

આમ, ન્યૂનતમ માપદંડ (4.2) હાંસલ કરવા માટે પ્રોગ્રામિંગ સિસ્ટમ કંટ્રોલ (4.1) ની સમસ્યામાં આવશ્યક શ્રેષ્ઠતાની શરતો અસમાનતાની સિસ્ટમ (4.10) ને પરિપૂર્ણ કરવામાં સમાવિષ્ટ છે, જે સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમને ધ્યાનમાં રાખીને જાહેર કરવી આવશ્યક છે ( 4.1) અને સમીકરણોની સંયુક્ત સિસ્ટમ (4.5) અથવા, સમાન શું છે, સિસ્ટમ (4.8).

સામાન્ય કિસ્સામાં, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આ શરતોનો સીધો ઉપયોગ મુશ્કેલ છે. આ પરિસ્થિતિની બિન-રચનાત્મક પ્રકૃતિને કારણે છે (4.10), જે પોતાને એ હકીકતમાં પ્રગટ કરે છે કે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ શોધવા માટે અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવો મુશ્કેલ છે. એક તરફ, ગાણિતિક અપેક્ષા (બધા રેન્ડમ પરિબળો પર આંકડાકીય સરેરાશ) ની આ અસમાનતાઓની હાજરી અને બીજી તરફ, સીમા મૂલ્યની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે દરેક ચોક્કસ અમલીકરણની જરૂરિયાતને કારણે મુશ્કેલીઓ વધી રહી છે. સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે (4.1) અને (4.5). આ કિસ્સામાં, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ દરેક અમલીકરણમાં "ડાબી બાજુએ" બંને સીમાની સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા તરફ દોરી જાય છે. પ્રારંભિક ક્ષણસિસ્ટમ માટે (4.1), અને સીમાની સ્થિતિ સિસ્ટમ માટે અંતિમ ક્ષણે "જમણી બાજુએ" (4.5).

ફરી એકવાર એ વાત પર ભાર મૂકવો જોઈએ કે સંબંધ (4.6) કોઈપણ નિશ્ચિત (જરૂરી નથી કે શ્રેષ્ઠ) નિયંત્રણ માટે માન્ય છે. તેથી, સંખ્યાત્મક ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ મેળવવા માટે તેનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરી શકાય છે, કારણ કે તે નિશ્ચિત નિયંત્રણ સાથે, એક ગણતરીનો ઉપયોગ કરીને, પ્રથમ સમીકરણ (4.1) નો ઉપયોગ કરીને અને પછી સમીકરણ (4.6) નો ઉપયોગ કરીને, તેના તમામ ઘટકોને તાત્કાલિક નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચોક્કસ અમલીકરણમાં ઢાળ વેક્ટર. ઢાળના ઘટકોની ગણતરી કરવા માટે (4.1) અને (4.5) સાથે સંબંધ (4.6) નો ઉપયોગ ગુણાકારની ખાતર સંયોજિત પ્રણાલીઓની પદ્ધતિ કહેવાશે.

ચાલો હવે સૌથી સામાન્ય વિશેષ કેસોની ચર્ચા કરીએ જ્યારે જરૂરી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિને વધુ રચનાત્મક સ્વરૂપમાં લાવી શકાય.

1. નિયંત્રણ પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. આ કિસ્સામાં, કોઈપણ વેક્ટર સ્વીકાર્ય દિશાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાં સમાન નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ વિરોધી ચિહ્નો સાથે. આનો અર્થ એ છે કે શરતો (4.10) માત્ર કડક સમાનતાના સ્વરૂપમાં જ સંતુષ્ટ થઈ શકે છે

એ નોંધવું જોઈએ કે અમે આ કિસ્સામાં પણ આવીએ છીએ જ્યારે નિયંત્રણો પરના નિયંત્રણો, જો કે તે અસ્તિત્વમાં છે, તે આપમેળે હાથ ધરવામાં આવે છે.

આ કિસ્સામાં પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિરાકરણ નિયંત્રણ માળખું અને સિસ્ટમ (4.8) ના અનુગામી સોલ્યુશનને ઓળખવા માટે દરેક કંટ્રોલ સ્ટેપ પર કન્ડીશન (4.11) નો ઉપયોગ કરવા માટે નીચે આવે છે.

2. કોઈ રેન્ડમ વિક્ષેપ નથી, , . આ કેસ નિર્ણાયક પ્રણાલીના નિયંત્રણને અનુરૂપ છે. ઔપચારિક રીતે, ગાણિતિક અપેક્ષાનું સંચાલન દરેક જગ્યાએ અવગણવામાં આવે છે અને જરૂરી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.40) સ્વરૂપ લે છે.

જ્યાં હેમિલ્ટોનિયન અને વેક્ટર્સ નિર્ણાયક છે અને નીચેના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:

શ્રેષ્ઠતાની શરતોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને હલ કરવાની તમામ મુશ્કેલીઓ, જ્યારે અગાઉ વિચારણા કરવામાં આવી હતી સ્ટોકેસ્ટિક સિસ્ટમ, અહીં પણ સાચવવામાં આવે છે. એકમાત્ર સરળીકરણ એ છે કે, પહેલેથી જ સૂચવ્યા મુજબ, રેન્ડમ પરિબળોની ગેરહાજરીને કારણે ગાણિતિક અપેક્ષાનું સંચાલન ગેરહાજર છે.

3. સ્વીકાર્ય નિયંત્રણોનો સમૂહ બહિર્મુખ છે અને હેમિલ્ટોનિયન એ બહિર્મુખ કાર્ય છે. સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે સામાન્ય કિસ્સામાં દરેક સ્થિતિ (4.10) ને નિયંત્રણ વેક્ટરના સંદર્ભમાં હેમિલ્ટોનિયનની ન્યૂનતમ ગાણિતિક અપેક્ષા માટે જરૂરી સ્થિતિ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. . આગળ, આપણે બતાવી શકીએ કે જો હેમિલ્ટોનિયન બહિર્મુખ છે, તો કાર્ય પણ બહિર્મુખ હશે . અને તે જાણીતું છે કે બહિર્મુખ સમૂહ પર લઘુત્તમ કાર્યની બહિર્મુખતાના કિસ્સામાં, લઘુત્તમ અનન્ય છે અને તેથી જરૂરી શ્રેષ્ઠતા શરતો એક સાથે પૂરતી હશે. આને ધ્યાનમાં લેતા, વિચારણા હેઠળના કેસમાં સિસ્ટમની દરેક સ્થિતિ (4.10) શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ હાંસલ કરવા માટેની સ્થિતિની સમકક્ષ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ગાણિતિક અપેક્ષાતેના ન્યૂનતમ નિયંત્રણ મૂલ્યનું હેમિલ્ટોનિયન. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, (4.10) ને બદલે આપણે લખી શકીએ છીએ

જ્યાં, કોઈપણ સ્વીકાર્ય નિયંત્રણ સૂચવે છે , એ દ્વારા - ઇચ્છિત શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ.

સ્વાભાવિક રીતે, ચર્ચા કરેલ વિશેષ કેસોના સંયોજનો અને તે મુજબ, શ્રેષ્ઠતાની પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, નિર્ણાયક કિસ્સામાં, એટલે કે વિક્ષેપની ગેરહાજરીમાં

(), અને જ્યારે હેમિલ્ટોનિયન બહિર્મુખ હોય છે, ત્યારે જરૂરી શ્રેષ્ઠતા સ્થિતિઓ સ્વરૂપ લે છે

નોંધ કરો કે જો, નોટેશન (4.6) રજૂ કરતી વખતે, વેક્ટરને વિપરીત ચિહ્નના સંદર્ભમાં ટર્મિનલ ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સ્વરૂપમાં

પછી, શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.10) હેઠળ વેક્ટરના ચિહ્નમાં ફેરફારને કારણે, અસમાનતાની નિશાની પણ વિરુદ્ધમાં બદલાય છે, અને પરિણામે, શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિમાં (4.12), (4.13) ન્યૂનતમ કામગીરી મહત્તમ કામગીરી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. નિર્ણાયક કિસ્સામાં, (4.13) ને બદલે અમારી પાસે છે

સાહિત્યમાં છેલ્લી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિને સામાન્ય રીતે નિર્ણાયક સ્વતંત્ર નિયંત્રણ પ્રણાલીઓ માટે i મહત્તમ સિદ્ધાંત તરીકે અથવા સંક્ષિપ્તમાં સ્વતંત્ર નિર્ણાયક મહત્તમ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સાદ્રશ્ય દ્વારા, સ્થિતિ (4.13) ને એક અલગ નિર્ધારિત લઘુત્તમ સિદ્ધાંત કહી શકાય, અને શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.12) ને સ્વતંત્ર સ્ટોકેસ્ટિક લઘુત્તમ સિદ્ધાંત કહી શકાય.

સ્વતંત્ર અનુસાર સ્ટોકેસ્ટિક સિદ્ધાંતન્યૂનતમ (4.12) શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ કાર્યક્રમ સ્વતંત્ર સિસ્ટમ(4.1) બહિર્મુખ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ દરેક નિયંત્રણ પગલા પર હેમિલ્ટોનીયનની લઘુત્તમ ગાણિતિક અપેક્ષા સુનિશ્ચિત કરે છે. પછીથી આપણે જોઈશું કે સમસ્યાઓ માટે લઘુત્તમ (મહત્તમ) સિદ્ધાંત સતત સમયહેમિલ્ટોનિયનની બહિર્મુખતા વિશેની ધારણાઓને ધ્યાનમાં લીધા વિના માન્ય છે. જો કે, અલગ સમસ્યાઓ માટે આ ધારણાઓ આવશ્યક છે.

ચાલો હવે બતાવીએ કે ઇન્ટિગ્રોટર્મિનલ માપદંડ (4.3) ને ઘટાડવા માટે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ નિયંત્રણ સમસ્યા (4.1) માં

પરિણામી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.10) અથવા, અનુક્રમે, (4.11), (4.12) સાચવેલ છે. જો કે, સંબંધો (4.7) અને (4.5) ને બદલે હેમિલ્ટોનિયન અને સંયોજક વેક્ટરને સંતોષે છે. નીચેના સમીકરણો:

કારણ કે દરેક માટે , પછી હેમિલ્ટોનિયન ઘટક સુધી (4.14) માં હેમિલ્ટોનિયન સાથે એકરુપ છે. તેથી, વ્યુત્પન્ન માટે અભિવ્યક્તિ , શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિમાં ભાગ લેવો એ જ સ્વરૂપ આપી શકાય છે (4.9):

એ હકીકત હોવા છતાં કે હેમિલ્ટોનિયન હવે (4.7) ને બદલે (4.14) અનુસાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. અને આનો અર્થ એ છે કે ફોર્મમાં શ્રેષ્ઠતા માટેની શરતો યથાવત રહેશે.

ચાલો આપણે ઇચ્છિત નિયંત્રણ ક્રમને સંતોષવી જોઈએ તેવી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિઓ મેળવીએ. આ માટે, અમે ઉપર ઘડવામાં આવેલી સમસ્યાને ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા તરીકે અર્થઘટન કરીએ છીએ.

ચાલો માપદંડ (4.2) ને ઇચ્છિત નિયંત્રણના ચોક્કસ કાર્ય તરીકે રજૂ કરીએ

અહીં હેઠળ અનેઅને £ ને સિક્વન્સ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જે પરિમાણ સાથે વિસ્તૃત વેક્ટરના સ્વરૂપમાં નિશ્ચિતતા માટે લખાયેલ છે (N+l)mઅને (N+l)rઅનુક્રમે અંતિમ રાજ્ય કાર્ય નિર્ભરતા જેથી અનેઅને ગર્ભિત અને સમીકરણ દ્વારા પોતાને પ્રગટ કરે છે (4.1). ઔપચારિક રીતે, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યામાં શક્ય હોય તેવા વચ્ચે આવા વેક્ટરને શોધવાનો સમાવેશ થાય છે અને,જે માપદંડને ઘટાડે છે. અને આ એક સામાન્ય ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા છે. આવી સમસ્યામાં શ્રેષ્ઠતા માટેની આવશ્યક શરત ઇચ્છિત બિંદુએ વ્યુત્પન્નની બિન-નકારાત્મકતાની સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. અનેકોઈપણ સ્વીકાર્ય દિશામાં, એટલે કે.

હવે પછી, સંકેતનો ઉપયોગ સ્કેલર ફંક્શનના ઢાળને દર્શાવવા માટે થાય છે J(ઓ)વેક્ટર દલીલ દ્વારા અને,બિંદુ પર ગણતરી u = a.ઢાળ હેઠળ , જેમ જાણીતું છે, અમારો મતલબ ફંક્શનના પ્રથમ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝથી બનેલો વેક્ટર (કૉલમ) છે / વેક્ટરની તમામ દલીલો ઉપર અને.આ કિસ્સામાં તે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં બદલામાં ફંક્શનના ઢાળને સૂચવે છે જેઅલગ વેક્ટર અનુસાર .

ચાલો હવે શબ્દ સમજાવીએ માન્ય દિશા.સ્વીકાર્ય દિશા દ્વારા વેક્ટરનો અર્થ થાય છે જે વેક્ટરમાં ઉમેરવામાં આવે છે અને,વેક્ટરના મોડ્યુલસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના મૂલ્ય માટે મૂળ નિયંત્રણ નિયંત્રણોના ઉલ્લંઘન તરફ દોરી જશે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે માન્ય ગણવામાં આવે છે જો શરત પૂરી થાય, જ્યાં હેઠળ યુબધા સ્વીકાર્ય સેટનો સમૂહ સંકુચિત છે , a એ પૂરતી નાની બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે અમુક આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ લખતી વખતે, અમે કુદરતી રીતે ધારી લઈશું, ખાસ કરીને નિર્ધારિત કર્યા વિના, તેઓ અસ્તિત્વમાં છે.

અહીં પ્રસ્તુત શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ એ હકીકતને કારણે કામ કરવું મુશ્કેલ છે કે તે વિસ્તૃત નિયંત્રણ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરે છે અને,સામાન્ય રીતે ખૂબ મોટું પરિમાણ ધરાવે છે. ચાલો આ સ્થિતિને સરળ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરીએ. આ હેતુ માટે, સ્વીકાર્ય વેક્ટરના સમૂહમાં, અમે ફક્ત એક જ સિંગલમાં બિન-શૂન્ય ઘટકો ધરાવતા હોય તે જ ગણીએ છીએ. iમી ક્ષણ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે દરેક માટે માંગ કરીશું , અને ખાતે. પછી શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ એક સરળ સ્વરૂપ લે છે, એટલે કે,

બધા માન્ય માટે એટલે કે, શરત સંતોષવી

દરેક સ્થિતિ (4.4) નો ભૌતિક અર્થ એ છે કે નિયંત્રણના ભિન્નતાને કારણે ટર્મિનલ માપદંડ (4.2) ની વિવિધતા iમી ક્ષણ, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણની તુલનામાં ગણવામાં આવે છે, તે બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે.

શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ (4.4) હજુ સુધી મૂળ ગાણિતિક મોડેલ સાથે સ્પષ્ટ રીતે સંબંધિત નથી. ચાલો આ જોડાણ સ્થાપિત કરીએ. આ હેતુ માટે, અમે ડેરિવેટિવ્ઝ જાહેર કરીશું , બાદમાં સમીકરણ સાથે જોડવું (4.1). પ્રથમ આપણે બતાવીએ છીએ કે કોઈપણ નિયંત્રણ માટે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકાય અનેઅને કોઈપણ ગુસ્સો. આ કરવા માટે, અમે કાર્યને અલગ પાડીએ છીએ J = F(x N + l)કનેક્શનને ધ્યાનમાં લેતા વેક્ટર સાથે (4.1). અમે સંબંધોની નીચેની સાંકળ લખી શકીએ છીએ:

અમે વ્યુત્પન્ન માટે વધુ કોમ્પેક્ટ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ

હવે અમે ઔપચારિક રીતે નીચેના સ્કેલર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

જે અનિવાર્યપણે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે, જે પુનરાવૃત્તિ સંબંધ (4.5) અને વેક્ટર અનુસાર નક્કી થાય છે , જે મૂળ સમીકરણની જમણી બાજુ છે (4.1). કાર્ય એન આઇ(4.7) અનુસાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જેને હેમિલ્ટોનિયન કહેવામાં આવે છે. અમે ભારપૂર્વક જણાવીએ છીએ કે સામાન્ય કિસ્સામાં હેમિલ્ટોનિયન એ રેન્ડમ ફંક્શન છે, કારણ કે તે ખલેલ પર આધારિત છે. જેમ આપણે પછી જોઈશું, હેમિલ્ટોનિયન એ શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિની રચના અને વિવિધ સંખ્યાત્મક ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓના અમલીકરણ માટે અનુકૂળ બાંધકામ છે. ચાલો શ્રેષ્ઠતા શરતો સાથે પ્રારંભ કરીએ. તે સ્થાપિત કરવું મુશ્કેલ નથી કે હેમિલ્ટોનિયનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ તેમની દલીલોમાં નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

આને ધ્યાનમાં લેતા, ગતિના મૂળ સમીકરણો (4.1), તેમજ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરતા સંબંધો (4.5)ને નીચેના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે:

વેક્ટર માટેના સમીકરણને સામાન્ય રીતે વેક્ટર માટેના મૂળ સમીકરણના સંદર્ભમાં સંયોજક કહેવામાં આવે છે . તેથી, વેક્ટર પોતે, સંતોષકારક સિસ્ટમ (4.8), એક સંયુક્ત વેક્ટર કહેવાશે. જાણીતા નિયંત્રણ સાથે તેને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે, સિસ્ટમ (4.8) માંથી નીચે મુજબ, આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે પ્રથમ પ્રત્યક્ષ સમયમાં ગતિના માર્ગને નિર્ધારિત કરવા માટે. અને આ પછી જ, રિવર્સ ટાઈમમાં, વેક્ટર પર લાદવામાં આવેલી સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈને, જમણી બાજુએ રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સની હાજરીને કારણે, સંયોજક વેક્ટરને શોધો સિસ્ટમના સમીકરણોની બાજુઓ (4.8), સામાન્ય કિસ્સામાં સંયુક્ત વેક્ટર પણ રેન્ડમ છે.

આવશ્યક શ્રેષ્ઠતા શરતો (4.4) આખરે નીચેની અસમાનતાઓની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે:

જે તમામ માન્ય માટે સંતુષ્ટ હોવું જોઈએ .

સામાન્ય કિસ્સામાં, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આ શરતોનો સીધો ઉપયોગ મુશ્કેલ છે. આ પરિસ્થિતિની બિન-રચનાત્મક પ્રકૃતિને કારણે છે (4.10), જે પોતાને એ હકીકતમાં પ્રગટ કરે છે કે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ શોધવા માટે અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવો મુશ્કેલ છે. એક તરફ, ગાણિતિક અપેક્ષા (બધા રેન્ડમ પરિબળો પર આંકડાકીય સરેરાશ) ની આ અસમાનતાઓની હાજરી અને બીજી તરફ, સીમા મૂલ્યની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે દરેક ચોક્કસ અમલીકરણની જરૂરિયાતને કારણે મુશ્કેલીઓ વધી રહી છે. સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે (4.1) અને (4.5). આ કિસ્સામાં, દરેક અમલીકરણમાં શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સિસ્ટમ (4.1) માટે પ્રારંભિક ક્ષણે "ડાબી બાજુએ" અને સિસ્ટમ માટે અંતિમ ક્ષણે "જમણી બાજુએ" સીમાની સ્થિતિ (4.5) બંનેની પરિપૂર્ણતા તરફ દોરી જાય છે. ).

શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને હલ કરવાની તમામ મુશ્કેલીઓ, સ્ટોકેસ્ટિક સિસ્ટમની વિચારણા કરતી વખતે અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, તે અહીં રહે છે. એકમાત્ર સરળીકરણ એ છે કે, પહેલેથી જ સૂચવ્યા મુજબ, રેન્ડમ પરિબળોની ગેરહાજરીને કારણે ગાણિતિક અપેક્ષાનું સંચાલન ગેરહાજર છે.

3. સ્વીકાર્ય નિયંત્રણોનો સમૂહ બહિર્મુખ છે અને હેમિલ્ટોનિયન એ બહિર્મુખ કાર્ય છે. સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે સામાન્ય કિસ્સામાં દરેક સ્થિતિ (4.10) ને નિયંત્રણ વેક્ટરના સંદર્ભમાં હેમિલ્ટોનિયનની ન્યૂનતમ ગાણિતિક અપેક્ષા માટે જરૂરી સ્થિતિ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. . આગળ, આપણે બતાવી શકીએ કે જો હેમિલ્ટોનિયન બહિર્મુખ છે, તો કાર્ય પણ બહિર્મુખ હશે . અને તે જાણીતું છે કે બહિર્મુખ સમૂહ પર લઘુત્તમ કાર્યની બહિર્મુખતાના કિસ્સામાં, લઘુત્તમ અનન્ય છે અને તેથી જરૂરી શ્રેષ્ઠતા શરતો એક સાથે પૂરતી હશે. આને ધ્યાનમાં લેતા, વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં સિસ્ટમની દરેક સ્થિતિ (4.10) શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ હેઠળ તેનું ન્યૂનતમ નિયંત્રણ મૂલ્ય હાંસલ કરવા માટે હેમિલ્ટોનિયનની ગાણિતિક અપેક્ષા માટેની સ્થિતિની સમકક્ષ હોવાનું બહાર આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, (4.10) ને બદલે આપણે લખી શકીએ છીએ

શ્રેષ્ઠતા શરતો

કોઈપણ પ્રકારની ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનો અભ્યાસ કરતી વખતે મહત્વપૂર્ણ સ્થાનના પ્રશ્નની ચિંતા કરે છે શ્રેષ્ઠતાની શરતોઅથવા, જેમ તેઓ કહે છે, આત્યંતિક પરિસ્થિતિઓ. શ્રેષ્ઠતા માટે એક અત્યંત મહત્વપૂર્ણ સ્થિતિ છે, ᴛ.ᴇ. શરતો કે જે સમસ્યાનું સમાધાન હોય તેવા મુદ્દાથી સંતુષ્ટ થવી જોઈએ, અને પૂરતી શરતોશ્રેષ્ઠતા, ᴛ.ᴇ. શરતો કે જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે આપેલ બિંદુસમસ્યાનો ઉકેલ છે.

નોંધો:

1. જો ફંક્શનમાં એકરૂપતાની મિલકત હોય, તો સ્થાનિક લઘુત્તમ આપોઆપ વૈશ્વિક લઘુત્તમ બની જાય છે.

2. જો ફંક્શન યુનિમોડલ નથી, તો ત્યાં ઘણા સ્થાનિક ઓપ્ટિમા હોઈ શકે છે, અને વૈશ્વિક લઘુત્તમ તમામ સ્થાનિક ઓપ્ટિમા શોધીને અને તેમાંથી સૌથી નાનું પસંદ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

પ્રમેય 4.1.(ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ન્યૂનતમ માટે અત્યંત મહત્વની શરત): ફંક્શનને પોઈન્ટ પર ડિફરન્ટિએબલ થવા દો. જો સમસ્યાનો સ્થાનિક ઉકેલ છે (4.1), તો

(4.5)

કાર્યનો ઢાળ ક્યાં છે.

ડોટ એક્સ* સંતોષકારક સ્થિતિ (4.5) સામાન્ય રીતે કહેવાય છે સ્થિર બિંદુકાર્યો અથવા સમસ્યાઓ (4.1). તે સ્પષ્ટ છે કે સ્થિર બિંદુઉકેલ હોવો જરૂરી નથી, ᴛ.ᴇ. (4.5) શ્રેષ્ઠતા માટે પૂરતી સ્થિતિ નથી. આવા બિંદુઓ શ્રેષ્ઠ હોવા માટે શંકાસ્પદ છે.

ઉદાહરણ 4.1. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યને ધ્યાનમાં લો f(x) = x 3 (ફિગ. 4.4). આ કાર્ય અત્યંત મહત્વપૂર્ણ શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિને સંતોષે છે, જો કે, તેમાં ન તો મહત્તમ કે ન્યૂનતમ એક્સ* = 0, ᴛ.ᴇ. અને સમયગાળો એક્સ* - સ્થિર બિંદુ.

જો સ્થિર બિંદુ સ્થાનિક શ્રેષ્ઠ (ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ) ને અનુરૂપ ન હોય, તો તે છે વળાંક બિંદુઅથવા કાઠી બિંદુ.એવા કિસ્સાઓ વચ્ચે તફાવત કરવા માટે કે જ્યાં સ્થિર બિંદુ સ્થાનિક લઘુત્તમ, સ્થાનિક મહત્તમ અથવા વિક્ષેપ બિંદુ છે, તે પર્યાપ્ત શ્રેષ્ઠતા સ્થિતિઓનું નિર્માણ કરવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે.

x*x

ચોખા. 4.6. ફંક્શનનો આલેખ કે જેમાં ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ હોય

પ્રમેય 4.2.(મિનિમમ સેકન્ડ-ઓર્ડર માટે અત્યંત મહત્વની શરત): ફંક્શનને બિંદુ પર બે વાર ભિન્ન થવા દો. કિસ્સામાં એક્સ* સમસ્યાનો સ્થાનિક ઉકેલ છે (4.1), પછી મેટ્રિક્સ બિન-નકારાત્મક ચોક્કસ છે, ᴛ.ᴇ.

h ઇ એન, (4.6)

જ્યાં બિંદુ પર ફંક્શનનું હેસિયન છે .

સ્થાનિક શ્રેષ્ઠતા માટેની પૂરતી શરતમાં મેટ્રિક્સ પરની આવશ્યકતાઓની લાક્ષણિક મજબૂતીકરણ શામેલ છે.

પ્રમેય 4.3.(મિનિમમ સેકન્ડ-ઓર્ડર માટે પૂરતી શરત): ફંક્શનને બિંદુ પર બે વાર અલગ કરવા દો. ચાલો ધારીએ કે , અને મેટ્રિક્સ હકારાત્મક ચોક્કસ છે, ᴛ.ᴇ.

, h ઇ એન, h≠ 0. (4.7)

પછી એક્સ* - સમસ્યાનો કડક સ્થાનિક ઉકેલ (4.1). કાર્ય માટે સંખ્યાત્મક દલીલ (n= 1) શરતો (4.6) અને (4.7) નો અર્થ છે કે બીજું વ્યુત્પન્ન તરીકે સ્કેલર જથ્થોઅનુક્રમે નકારાત્મક અને હકારાત્મક નથી.

તેથી, ફંક્શન માટે ¦ આંકડાકીય દલીલ એ શ્રેષ્ઠતાની હાજરીની ગેરંટી નથી જો શરતો પૂરી થાય - ન્યૂનતમ; - મહત્તમ.

સ્થિર બિંદુને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ બનવા માટે, તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પૂરતી શરતો પૂરી થાય. સ્થાનિક અંતિમ. પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ નીચેનો પ્રમેય છે.

પ્રમેય 4.4. બિંદુ પર દો એક્સ* પ્રથમ ( n−1) ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને ડેરિવેટિવ્ઝ nઓર્ડર શૂન્યથી અલગ છે:

1) કિસ્સામાં n- વિચિત્ર, પછી એક્સ* - વળાંક બિંદુ;

2) કિસ્સામાં n- પછી પણ એક્સ* - સ્થાનિક શ્રેષ્ઠ બિંદુ.

ઉપરાંત:

એ)જો આ વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તો પછી એક્સ* - બિંદુ સ્થાનિક લઘુત્તમ;

b)જો આ વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, તો પછી એક્સ* - સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ.

કાર્યમાં આ પ્રમેય 4.4 લાગુ કરવા માટે f(x) = x 3 (ઉદાહરણ 4.1), ચાલો ગણતરી કરીએ:

પ્રથમ બિન-શૂન્ય વ્યુત્પન્નનો ક્રમ 3 હોવાથી ( વિષમ સંખ્યા), બિંદુ એક્સ= 0 એ ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ છે.

ઉદાહરણ 4.2.સમગ્ર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને ધ્યાનમાં લો વાસ્તવિક ધરીઅને નક્કી કરો એકવચન બિંદુઓ:

શ્રેષ્ઠતા શરતો - ખ્યાલ અને પ્રકારો. વર્ગીકરણ અને "ઓપ્ટિમાલિટી કંડિશન્સ" 2017, 2018 શ્રેણીના લક્ષણો.

બે પ્રકારની શ્રેષ્ઠ ઉકેલ શરતો છે: જરૂરી અને પર્યાપ્ત.

શ્રેષ્ઠતા માટે જરૂરી શરતો.

જરૂરી શરતોની સામાન્ય રચના: જો વિધાન A હંમેશા વિધાન B સૂચવે છે, તો A માટે B જરૂરી છે.

ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાના સંબંધમાં: સ્ટેટમેન્ટ A માંથી (સેટનું શ્રેષ્ઠ તત્વ છે ડી) વિધાન B ને અનુસરે છે ( - સમૂહનું શ્રેષ્ઠ તત્વ એલ, માલિકીની ડીઅને આસપાસનો વિસ્તાર બનાવે છે
) (ફિગ. 1.7).

આમ સ્થાનિક અયોગ્યતા (
- તેના પડોશના સ્વીકાર્ય તત્વોમાં શ્રેષ્ઠ તત્વ) છે જરૂરીમાટે શરત
શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હતો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાંએક્સ  ડી , તે જરૂરી છેએક્સ  સેટ પર શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હતોએલ, માલિકીનીડી અને બિંદુની પડોશની રચનાએક્સ  . એક નિયમ તરીકે, ઘણા એલપસંદ કરવામાં આવે છે જેથી મૂળ સમસ્યાના માપદંડ અને પ્રતિબંધો સહાયક સરળ સમસ્યાના માપદંડ અને પ્રતિબંધો સાથે બરાબર એકરૂપ હોય, જેના માટે ચોક્કસ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલને ઓળખી શકાય. આ કિસ્સામાં, સમીકરણો કે જે સ્થાનિક રીતે અયોગ્ય ઉકેલને ઓળખે છે તે મૂળ સમસ્યાની શ્રેષ્ઠતા માટે જરૂરી શરતો તરીકે બહાર આવે છે. સામાન્ય રીતે, એક સરળ સમસ્યા ઇચ્છિત શ્રેષ્ઠ ઉકેલની નજીકમાં મૂળ સમસ્યાને લીનિયરાઇઝ કરીને બનાવવામાં આવે છે.

શ્રેષ્ઠતા માટે પૂરતી શરતો.

પર્યાપ્ત પરિસ્થિતિઓની સામાન્ય રચના: જો વિધાન A હંમેશા વિધાન B માંથી અનુસરે છે, તો B એ A માટે પૂરતું છે. વિધાન B માંથી ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાના સંબંધમાં (ઉકેલ
સેટ પર શ્રેષ્ઠ છે વી, ઘણા સહિત ડી, અને
સંબંધ ધરાવે છે ડી) હંમેશા વિધાન A ને અનુસરે છે (
- સમૂહનું શ્રેષ્ઠ તત્વ ડી) (ફિગ. 1.8 ટકા).

આમ, સેટ કવરિંગ પર અયોગ્યતા ડી, સાથે જોડાયેલા છે ડી, માટે પૂરતી સ્થિતિ છે
ઇચ્છિત શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હતો.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાંએક્સ  સેટ પર શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હતોડી , પૂરતીએક્સ  સેટ પર શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હતોવી , ઘણા સહિતડી , અને ઘણાના હતાડી .

સ્વીકાર્ય ઉકેલોના જટિલ સેટ માટે પૂરતી શરતોનો ઉપયોગ સલાહભર્યું છે ડી, જે સમસ્યાને હલ કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે, વિસ્તૃત સમૂહ વીવધુ સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સેટ ડી, ફિગમાં બતાવેલ છે. 1.8 ને વિસ્તાર V સાથે બદલવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જે એક લંબચોરસ છે જેમાં વિસ્તાર Dનો સમાવેશ થાય છે અને ફોર્મની સ્વાયત્ત મર્યાદાઓ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

(જુઓ ફિગ. 1.8)

2. એક ચલના કાર્યની મહત્તમતાનું નિર્ધારણ.

2.1. સમસ્યાનું નિવેદન. ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

આ કિસ્સામાં, શ્રેષ્ઠતાના માપદંડમાં માત્ર એક ચલ ચલ છે. તેના પર ફક્ત સ્વાયત્ત પ્રતિબંધો લાદવામાં આવી શકે છે અને સમસ્યાનું નિવેદન આ સ્વરૂપ લે છે:

(2.1)

(2.2)

વીયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય અનુસાર, દરેક કાર્ય
, બંધ અને બાઉન્ડેડ સેટ પર સતત (
), તેના પર તેના ઉચ્ચતમ અને નીચા મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. કાર્ય
બહિર્મુખચાલુ
, જો તે આ સેટ પર હોય એક મહત્તમ. બહિર્મુખ કાર્યમાં ગુણધર્મ છે કે જો તેની સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા આપણે સીધી રેખા દોરીએ છીએ (કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે) અને
), તો પછી આ રેખાનો કોઈપણ મધ્યવર્તી બિંદુ તે જ સમયે ફંક્શનની કિંમત કરતાં વધી જશે નહીં એક્સ(ફિગ.2.1 ) . બહિર્મુખ કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ માન્ય છે:

જ્યાં

જો ફંક્શન બહિર્મુખ (બિન-યુનિમોડલ) ન હોય, તો તેમાં ઘણા બધા મહત્તમ બિંદુઓ હશે, અને આ બિંદુઓ પર કાર્યનું મૂલ્ય અલગ હશે (ફિગ. 2.2)

આ કિસ્સામાં, કાર્યના સૌથી મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ બિંદુ (બિંદુ
આકૃતિમાં) કહેવાય છે વૈશ્વિક મહત્તમ બિંદુ, અને બાકીના મુદ્દાઓ (
,,
,) – કાર્યની સ્થાનિક મહત્તમતા.

તમામ ઉકેલ પદ્ધતિઓ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ, એક ચલના મહત્તમ કાર્યને નિર્ધારિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ સહિત, વિભાજિત કરવામાં આવી છે:

વિશ્લેષણાત્મક, જરૂરી અથવા પર્યાપ્ત શ્રેષ્ઠતા શરતો પર આધારિત છે, અને પૂરતી શરતો ફક્ત સ્વીકાર્ય મૂલ્યોના જટિલ વિસ્તારોના કિસ્સામાં લાગુ કરવામાં આવે છે.ડી.

સંખ્યાત્મક, જે એક ગણતરીની પ્રક્રિયા છે જે આપેલ અનુમતિપાત્ર ભૂલ સાથે ચોક્કસ પ્રારંભિક અંદાજથી મહત્તમ સુધીના સોલ્યુશનની ક્રમિક શુદ્ધિકરણ પ્રદાન કરે છે.

2.2. સમસ્યા હલ કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ. એક ચલના મહત્તમ કાર્ય માટેની શરતો.

દો
- પર સતત અને બે વાર વિભેદક કાર્ય
uX 0 એ કાર્યની અપેક્ષિત મહત્તમનો બિંદુ છે. કાર્ય X 0 માટે મહત્તમ સુધી પહોંચવા માટે, તે જરૂરી છે કે અન્ય કોઈપણ માટે એક્સ, મનસ્વી રીતે X 0 ની નજીક, એટલે કે.
, સંબંધ (2.3) સંતુષ્ટ હતો

ચાલો વિઘટન કરીએ
બિંદુ X 0 ની નજીકમાં ટેલર શ્રેણીમાં

નાના માટે  એક્સ, એક કરતા વધુ સત્તાઓની વૃદ્ધિ ધરાવતી શરતોની અવગણના કરી શકાય છે, અને પછી (2.4) થી તે નીચે મુજબ છે:

(2.5) ને (2.3) માં બદલીને આપણે આખરે મેળવીએ છીએ જરૂરી સ્થિતિએક ચલના મહત્તમ કાર્ય:

(2.6)

આ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, બે વિકલ્પો આવી શકે છે:

1.
- આંતરિક બિંદુઅનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી (ફિગ. 2.3). આ કિસ્સામાં સાઇન  એક્સવ્યાખ્યાયિત નથી અને સ્થિતિને સંતોષવા માટે (2.6) તે જરૂરી છે

(2.7)

આ કિસ્સામાં, તફાવતનું ચિહ્ન (2.3) ટેલર શ્રેણીના પ્રથમ કાઢી નાખવામાં આવેલા શબ્દના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ચિહ્ન
. તેથી, આવશ્યક સ્થિતિ મહત્તમ (2.7) શરત દ્વારા પૂરક છે