Model matematika

Model matematika - perkiraan opimakna objek pemodelan, diungkapkan dengan menggunakansimbolisme matematika.

Model matematika muncul bersamaan dengan matematika berabad-abad yang lalu. Sebuah dorongan besar bagi pembangunan pemodelan matematika disebabkan oleh munculnya komputer. Aplikasi komputer memungkinkan untuk menganalisis dan menerapkan dalam praktik banyak model matematika yang sebelumnya tidak dapat menerima penelitian analitis. Diimplementasikan pada komputer secara matematismodel langit ditelepon model matematika komputer, A melakukan perhitungan yang ditargetkan menggunakan model komputer ditelepon eksperimen komputasi.

Tahapan ilmu matematika komputerdivisi ditunjukkan pada gambar. Pertamapanggung - mendefinisikan tujuan pemodelan. Tujuan-tujuan ini bisa berbeda:

1. suatu model diperlukan untuk memahami cara kerja suatu objek tertentu, apa strukturnya, sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksinya
   dengan dunia luar (pemahaman);
2. suatu model diperlukan untuk mempelajari bagaimana mengelola suatu objek (atau proses) dan menentukan cara terbaik manajemen dengan tujuan dan kriteria tertentu (manajemen);
3. model tersebut diperlukan untuk memprediksi konsekuensi langsung dan tidak langsung dari implementasi metode yang diberikan dan bentuk pengaruh terhadap objek (peramalan).

Contoh dari wilayah yang sama sekali berbeda: populasi dua spesies individu yang hidup berdampingan secara damai dengan jumlah yang stabil dan memiliki persediaan makanan yang sama, “tiba-tiba” mulai mengubah jumlah mereka secara tajam. Dan di sini pemodelan matematika memungkinkan (dengan tingkat keandalan tertentu) untuk menetapkan penyebabnya (atau setidaknya menyangkal hipotesis tertentu).

Mengembangkan konsep untuk mengelola suatu objek adalah kemungkinan tujuan pemodelan lainnya. Mode penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan tersebut aman dan paling menguntungkan secara ekonomi? Bagaimana cara menjadwalkan ratusan jenis pekerjaan pada pembangunan suatu fasilitas besar agar selesai dalam waktu sesingkat-singkatnya? Banyak masalah seperti ini yang secara sistematis muncul di hadapan para ekonom, perancang, dan ilmuwan.

Terakhir, memprediksi konsekuensi dampak tertentu terhadap suatu objek dapat menjadi masalah yang relatif sederhana dalam sistem fisik sederhana, dan sangat kompleks - di ambang kelayakan - dalam sistem biologis, ekonomi, dan sosial. Jika relatif mudah untuk menjawab pertanyaan tentang perubahan cara distribusi panas pada batang tipis akibat perubahan paduan penyusunnya, maka telusuri (prediksi) pengaruh lingkungan dan konsekuensi iklim konstruksi pembangkit listrik tenaga air besar atau konsekuensi sosial perubahan dalam undang-undang perpajakan jauh lebih sulit. Mungkin di sini juga, metode pemodelan matematika akan memberikan bantuan yang lebih signifikan di masa depan.

Fase kedua: penentuan parameter masukan dan keluaran model; pembagian parameter masukan menurut tingkat pentingnya pengaruh perubahannya terhadap keluaran. Proses ini disebut pemeringkatan, atau pemisahan berdasarkan peringkat (lihat. "Formalisasition dan pemodelan").

Tahap ketiga: konstruksi model matematika. Pada tahap ini terjadi peralihan dari rumusan model yang abstrak ke rumusan yang mempunyai kekhasan representasi matematika. Model matematika adalah persamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, persamaan diferensial atau sistem persamaan tersebut, dan sebagainya.

Tahap keempat: memilih metode untuk mempelajari model matematika. Paling sering, metode numerik digunakan di sini, yang cocok untuk pemrograman. Biasanya, beberapa metode cocok untuk memecahkan masalah yang sama, berbeda dalam akurasi, stabilitas, dll. Dari pilihan yang tepat Metode seringkali bergantung pada keberhasilan seluruh proses pemodelan.

Tahap kelima: mengembangkan suatu algoritma, mengkompilasi dan men-debug program komputer adalah proses yang sulit untuk diformalkan. Di antara bahasa pemrograman, banyak profesional lebih memilih FORTRAN untuk pemodelan matematika: baik karena tradisi maupun karena efisiensi kompiler (untuk pekerjaan perhitungan) yang tak tertandingi dan ketersediaan perpustakaan program standar yang besar, di-debug dengan cermat, dan dioptimalkan untuk metode matematika yang ditulis di dalamnya. . Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, tergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pemrogram.

Tahap keenam: pengujian program. Pengoperasian program diuji pada soal tes dengan jawaban yang telah diketahui sebelumnya. Ini hanyalah permulaan dari prosedur pengujian yang sulit dijelaskan secara formal dan komprehensif. Biasanya, pengujian berakhir ketika pengguna, berdasarkan karakteristik profesionalnya, menganggap program tersebut benar.

Tahap ketujuh: eksperimen komputasi aktual, di mana ditentukan apakah model tersebut sesuai dengan objek (proses) nyata. Suatu model cukup memadai untuk proses nyata jika beberapa karakteristik proses yang diperoleh di komputer sesuai dengan karakteristik yang diperoleh secara eksperimental dengan tingkat akurasi tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenarnya, kita kembali ke salah satu tahapan sebelumnya.

Klasifikasi model matematika

Klasifikasi model matematika dapat didasarkan pada berbagai prinsip. Anda dapat mengklasifikasikan model berdasarkan cabang ilmu pengetahuan (model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll). Dapat diklasifikasikan menurut peralatan matematika yang digunakan (model berdasarkan penggunaan biasa persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial, metode stokastik, diskrit transformasi aljabar dll.). Akhirnya, jika kita melanjutkan dari masalah umum pemodelan dalam berbagai ilmu, apapun peralatan matematikanya, klasifikasi berikut adalah yang paling alami:

• model deskriptif (deskriptif);
• model optimasi;
• model multikriteria;
• model permainan.

Mari kita jelaskan ini dengan contoh.

Model deskriptif (deskriptif).. Misalnya, pemodelan gerak komet yang menginvasi tata surya dilakukan untuk memprediksi jalur penerbangannya, jarak tempuhnya dari Bumi, dll. Dalam hal ini, tujuan pemodelan bersifat deskriptif, karena tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apapun di dalamnya.

Model optimasi digunakan untuk menggambarkan proses yang dapat dipengaruhi dalam upaya mencapai tujuan tertentu. Dalam hal ini model mencakup satu atau lebih parameter yang dapat dipengaruhi. Misalnya, ketika mengubah rezim termal di lumbung, Anda dapat menetapkan tujuan untuk memilih rezim yang akan mencapai keamanan biji-bijian maksimum, yaitu. mengoptimalkan proses penyimpanan.

Model multikriteria. Seringkali diperlukan untuk mengoptimalkan suatu proses berdasarkan beberapa parameter secara bersamaan, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif. Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan pangan seseorang, maka perlu dilakukan penataan gizi untuk kelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas anak-anak, dll) secara fisiologis dengan benar dan, pada saat yang sama, semurah mungkin. mungkin. Jelas bahwa tujuan-tujuan ini tidak bersamaan sama sekali, yaitu. Saat melakukan pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, di antaranya harus dicari keseimbangannya.

Model permainan mungkin berhubungan tidak hanya dengan permainan komputer, tapi juga sangat hal-hal serius. Misalnya, seorang komandan sebelum berperang dengan informasi yang tidak lengkap tentara lawan harus mengembangkan rencana: dalam urutan apa untuk memperkenalkan unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mempertimbangkan dan kemungkinan reaksi musuh. Ada cabang khusus matematika modern - teori permainan - yang mempelajari metode pengambilan keputusan dalam kondisi informasi yang tidak lengkap.

DI DALAM kursus sekolah Dalam ilmu komputer, siswa menerima pemahaman awal tentang pemodelan matematika komputer sebagai bagian dari kursus dasar. Di sekolah menengah, pemodelan matematika dapat dipelajari secara mendalam kursus pendidikan umum untuk kelas fisika dan matematika, serta dalam kerangka mata kuliah pilihan khusus.

Bentuk utama pengajaran pemodelan matematika komputer di sekolah menengah adalah ceramah, laboratorium dan kelas tes. Biasanya, pekerjaan membuat dan mempersiapkan studi setiap model baru membutuhkan 3-4 pelajaran. Selama penyampaian materi, ditetapkan masalah-masalah yang harus dipecahkan oleh siswa secara mandiri di kemudian hari. garis besar umum cara untuk menyelesaikannya diuraikan. Pertanyaan dirumuskan, jawabannya harus diperoleh ketika menyelesaikan tugas. Literatur tambahan ditunjukkan yang memungkinkan Anda memperoleh informasi tambahan untuk penyelesaian tugas yang lebih berhasil.

Bentuk penyelenggaraan kelas pada saat mempelajari materi baru biasanya berupa ceramah. Setelah selesai pembahasan model selanjutnya siswa memiliki apa yang mereka perlukan informasi teoritis dan serangkaian tugas untuk pekerjaan lebih lanjut. Dalam persiapan menyelesaikan tugas, siswa memilih metode yang cocok solusi, menggunakan beberapa solusi pribadi terkenal untuk menguji program yang dikembangkan. Jika ada kemungkinan kesulitan dalam menyelesaikan tugas, konsultasi diberikan, dan proposal dibuat untuk mempelajari bagian ini secara lebih rinci dalam sumber-sumber literatur.

Yang paling tepat untuk bagian praktis pengajaran pemodelan komputer adalah metode proyek. Tugas dirumuskan untuk siswa dalam bentuk proyek pendidikan dan dilaksanakan dalam beberapa pembelajaran, dan bentuk organisasi utamanya adalah komputer. pekerjaan laboratorium. Pelatihan pemodelan menggunakan metode proyek pendidikan dapat diimplementasikan pada tingkat yang berbeda. Yang pertama adalah presentasi bermasalah tentang proses penyelesaian proyek yang dipimpin oleh guru. Yang kedua adalah pelaksanaan proyek oleh siswa di bawah bimbingan seorang guru. Yang ketiga adalah agar siswa menyelesaikan proyek penelitian pendidikan secara mandiri.

Hasil pekerjaan harus disajikan dalam bentuk numerik, berupa grafik dan diagram. Jika memungkinkan, proses disajikan di layar komputer secara dinamis. Setelah menyelesaikan perhitungan dan menerima hasilnya, mereka dianalisis dan dibandingkan fakta yang diketahui dari teori tersebut, keandalan dikonfirmasi dan interpretasi yang bermakna dilakukan, yang kemudian tercermin dalam laporan tertulis.

Jika hasilnya memuaskan siswa dan guru, maka berhasil penting selesai, dan tahap terakhirnya adalah penyusunan laporan. Laporan tersebut memuat informasi teoritis singkat tentang topik yang diteliti, rumusan masalah matematis, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, hasil program, analisis hasil dan kesimpulan, serta daftar referensi.

Setelah semua laporan telah disusun, siswa mempresentasikan laporannya pesan singkat tentang pekerjaan yang dilakukan, pertahankan proyek mereka. Ini adalah bentuk laporan yang efektif dari kelompok yang melaksanakan proyek di depan kelas, termasuk menetapkan masalah, membangun model formal, memilih metode untuk mengerjakan model, mengimplementasikan model di komputer, mengerjakan model yang sudah jadi, menafsirkan hasilnya, dan membuat prediksi. Hasilnya, siswa dapat menerima dua nilai: yang pertama - untuk elaborasi proyek dan keberhasilan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimalitas algoritme, antarmuka, dll. Siswa juga menerima nilai selama kuis teori.

Pertanyaan penting adalah alat apa yang digunakan dalam kursus ilmu komputer sekolah untuk pemodelan matematika? Implementasi model komputer dapat dilakukan:

• menggunakan prosesor spreadsheet (biasanya MS Excel);
• dengan membuat program dalam bahasa pemrograman tradisional (Pascal, BASIC, dll), serta versi modernnya (Delphi, Visual
  Dasar untuk Aplikasi, dll.);
• menggunakan paket aplikasi khusus untuk memecahkan masalah matematika (MathCAD, dll).

Di tingkat sekolah dasar, cara pertama tampaknya lebih disukai. Namun, di sekolah menengah atas Ketika pemrograman, bersama dengan pemodelan, merupakan topik utama dalam ilmu komputer, maka diinginkan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Selama proses pemrograman, rincian prosedur matematika tersedia bagi siswa; Selain itu, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini berkontribusi terhadapnya pendidikan matematika. Sedangkan untuk penggunaan paket perangkat lunak khusus, hal ini sesuai untuk kursus ilmu komputer khusus sebagai pelengkap alat lainnya.

Latihan :

• Buatlah diagram konsep-konsep kunci.

Daftar Isi Mata kuliah pemodelan matematika. Dasar-dasar pemodelan. Konsep model. Prinsip pemodelan. Pemodelan sebagai sebuah metode pengetahuan ilmiah. Tahapan pemodelan. Ciri-ciri tahap 1 – 2. Tahapan pemodelan. Karakteristik 3 – 4 tahap. Klasifikasi model. Tinjauan umum. Klasifikasi model ekonomi dan matematika. Tahapan pemodelan ekonomi dan matematika. Model matematika. Pemrograman linier. Pernyataan masalah program linier. Interpretasi geometris dan solusi grafis dari masalah pemrograman linier. Metode simpleks. Konstruksi awal rencana referensi. Tabel simpleks. Tanda optimalitas rencana referensi. Konsep dualitas. Konstruksi masalah ganda dan sifat-sifatnya. Masalah transportasi. Konstruksi rencana referensi awal. Masalah transportasi. Metode potensi.

Daftar Isi Konsep dasar dan definisi teori graf. Mengurutkan elemen digraf. Algoritma Fulkerson. Memecahkan masalah pencarian jalur terpendek pada suatu graf. Masalah aliran maksimum dan penerapannya. Masalah transportasi dalam pengaturan jaringan. Elemen perencanaan jaringan. Prinsip pemrograman dinamis, prosedur komputasi metode. Metode Monte Carlo. Inti dari metode ini. Penyelesaian masalah dengan menggunakan metode Monte Carlo. Elemen teori permainan matriks. Permainan matriks zero-sum berpasangan. Metode penyelesaian permainan matriks. Permainan dengan alam. Kriteria pengambilan keputusan. Paket Maple 7. Gambaran umum paket. Kemampuannya. Antarmuka program, bekerja dengan perintah. Menggunakan variabel. Bekerja dengan tabel.

Subyek pemodelan matematika. Dasar-dasar pemodelan Pemodelan matematika adalah studi tentang fenomena, proses, sistem atau objek dengan membangun dan mempelajari modelnya dan menggunakan model tersebut untuk menentukan atau memperjelas karakteristik dan cara-cara yang rasional konstruksi proses, sistem, dan objek teknologi yang baru dirancang. Model matematika adalah abstraksi dari dunia nyata yang menjadi perhatian para peneliti elemen nyata diganti hubungan yang cocok antara kategori matematika. Hubungan-hubungan ini biasanya disajikan dalam bentuk persamaan dan (atau) pertidaksamaan yang menjadi ciri berfungsinya sistem nyata yang disimulasikan. Seni membangun model matematika adalah menggabungkan deskripsi matematisnya yang sesingkat mungkin dengan akurasi reproduksi model yang memadai dari aspek-aspek realitas yang dianalisis yang menarik minat peneliti. Pemodelan Menu adalah proses kreatif yang memerlukan persiapan serius dan pemrosesan informasi dalam jumlah besar, menggabungkan intensitas tenaga kerja dan prinsip heuristik serta bersifat probabilistik.

Konsep model. Pemodelan sebagai metode pengetahuan ilmiah Model adalah kemiripan yang disederhanakan dari objek, fenomena, atau proses nyata. Model adalah suatu objek material atau yang dapat dibayangkan secara mental yang menggantikan objek aslinya untuk tujuan studinya, dengan tetap mempertahankan beberapa hal penting untuk pelajaran ini ciri khas dan sifat aslinya. Model yang dibangun dengan baik biasanya lebih mudah diakses untuk penelitian dibandingkan objek nyata(misalnya seperti perekonomian suatu negara, tata surya, dll). Tujuan lain yang tidak kalah pentingnya dari model ini adalah untuk menggunakannya untuk mengidentifikasi faktor-faktor paling signifikan yang membentuk sifat-sifat tertentu dari suatu objek. Model ini juga memungkinkan Anda mempelajari cara mengontrol suatu objek, yang penting jika bereksperimen dengan suatu objek tidak nyaman, sulit, atau tidak mungkin (misalnya, ketika eksperimen telah durasi lebih lama atau bila terdapat risiko penurunan objek ke keadaan yang tidak diinginkan atau tidak dapat diubah). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa suatu model diperlukan untuk: memahami bagaimana suatu objek tertentu disusun - apa strukturnya, sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksinya dengan dunia luar; belajar mengelola suatu objek atau proses dan menentukan metode pengelolaan terbaik untuk tujuan dan kriteria tertentu (optimasi); Menu memprediksi konsekuensi langsung dan tidak langsung dari penerapan metode dan bentuk pengaruh tertentu pada suatu objek atau proses.

Tahapan pemodelan Ciri-ciri tahap 1 Tahap I. Pernyataan masalah Berdasarkan tugas itu sendiri dalam arti umum ada masalah yang perlu diselesaikan. Hal utama adalah mendefinisikan objek pemodelan dan memahami seperti apa hasilnya. Berdasarkan sifat rumusannya, semua permasalahan dapat dibagi menjadi dua kelompok utama. Kelompok pertama mencakup tugas-tugas di mana perlu untuk mempelajari bagaimana karakteristik suatu objek berubah di bawah pengaruh tertentu terhadapnya. Rumusan masalah seperti ini biasa disebut “apa yang akan terjadi jika...”. Kelompok masalah kedua memiliki rumusan umum sebagai berikut: dampak apa yang harus diberikan pada objek agar parameternya memenuhi tertentu kondisi tertentu? Rumusan masalah seperti ini sering disebut dengan “bagaimana caranya agar...”. Tujuan simulasi ditentukan oleh parameter desain model. Paling sering, ini adalah pencarian jawaban atas pertanyaan yang diajukan dalam rumusan masalah. Selanjutnya mereka beralih ke deskripsi objek atau proses. Pada tahap ini, faktor-faktor yang menjadi dasar perilaku model diidentifikasi. Saat menjadi model spreadsheet Namun, hanya parameter yang bersifat kuantitatif yang dapat diperhitungkan. Terkadang masalah sudah dapat dirumuskan dalam bentuk yang disederhanakan, dan dengan jelas menetapkan tujuan dan menentukan parameter model yang perlu diperhitungkan. Dalam menganalisis suatu objek perlu dijawab pertanyaan berikut: apakah objek atau proses yang diteliti dapat dianggap sebagai satu kesatuan, atau merupakan suatu sistem yang terdiri dari objek-objek yang lebih sederhana? Jika ini adalah satu kesatuan, maka Anda dapat melanjutkan untuk membangun model informasi. Jika ini adalah sebuah sistem, Anda perlu melanjutkan dengan menganalisis objek-objek yang menyusunnya, dan menentukan hubungan di antara objek-objek tersebut. Menu

Tahapan pemodelan Karakteristik tahap 2 Tahap II. Pengembangan model Berdasarkan hasil analisis objek, a model informasi. Ini menjelaskan secara rinci semua properti suatu objek, parameternya, tindakan dan hubungannya. Selanjutnya, model informasi harus diungkapkan dalam salah satu bentuk simbolik. Mengingat kita akan bekerja di lingkungan spreadsheet, maka model informasi harus diubah menjadi model matematika. Berdasarkan informasi dan model matematika, model komputer disusun dalam bentuk tabel, yang membedakan tiga bidang data: data awal, perhitungan perantara, dan hasil. Data awal dimasukkan secara manual. Perhitungan, baik perantara maupun final, dilakukan dengan menggunakan rumus-rumus yang ditulis menurut kaidah spreadsheet. Menu

Tahapan pemodelan Karakteristik tahap 3 Tahap III. Eksperimen komputer Untuk menghidupkan perkembangan desain baru, untuk memperkenalkan hal-hal baru solusi teknis dalam produksi atau untuk menguji ide-ide baru, diperlukan eksperimen. Di masa lalu, eksperimen semacam itu dapat dilakukan di kondisi laboratorium pada instalasi yang dibuat khusus untuknya, atau di tempat, yaitu pada sampel produk yang sebenarnya, dengan melakukan segala macam pengujian. Ini membutuhkan banyak hal biaya bahan dan waktu. Studi model komputer datang untuk menyelamatkan. Saat melakukan eksperimen komputer, kebenaran model diperiksa. Perilaku model dipelajari dalam berbagai parameter objek. Setiap percobaan disertai dengan pemahaman tentang hasilnya. Jika hasil percobaan komputer bertentangan dengan makna masalah yang dipecahkan, maka kesalahannya harus dicari pada model yang dipilih secara salah atau pada algoritma dan metode penyelesaiannya. Setelah mengidentifikasi dan menghilangkan kesalahan, percobaan komputer diulangi. Menu

Tahapan pemodelan Karakteristik tahap 4 Tahap IV. Analisis hasil simulasi Tahap terakhir pemodelan - analisis model. Berdasarkan data perhitungan yang diperoleh, kami memeriksa seberapa sesuai perhitungan tersebut dengan pemahaman dan tujuan pemodelan kami. Pada tahap ini, rekomendasi untuk memperbaiki model yang diadopsi dan, jika mungkin, objek atau proses ditentukan. Menu

Klasifikasi model Klasifikasi berdasarkan area penggunaan Pendidikan: alat peraga, berbagai simulator, program pelatihan. Berpengalaman: memperkecil atau memperbesar salinan objek yang diteliti untuk dipelajari lebih lanjut (model kapal, mobil, pesawat terbang, pembangkit listrik tenaga air). Model ilmiah dan teknis diciptakan untuk mempelajari proses dan fenomena (stand untuk pengujian televisi; sinkrotron - akselerator elektron, dll.). Permainan: permainan militer, ekonomi, olahraga, bisnis. Imitasi: mencerminkan kenyataan dengan berbagai tingkat akurasi (menguji obat baru dalam sejumlah percobaan pada tikus; percobaan pengenalan ke dalam produksi teknologi baru). Klasifikasi dengan mempertimbangkan faktor waktu Model statis - model suatu benda di saat ini waktu. Model dinamis memungkinkan Anda melihat perubahan pada suatu objek dari waktu ke waktu. Menu

Klasifikasi model Klasifikasi menurut metode representasi Model material adalah kemiripan fisik suatu benda. Mereka mereproduksi sifat geometris dan fisik aslinya (boneka burung, model binatang, organ dalam tubuh manusia, geografis dan peta sejarah, diagram tata surya). Model informasi adalah sekumpulan informasi yang mencirikan sifat dan keadaan suatu objek, proses, fenomena, serta hubungannya dengan dunia luar. Setiap model informasi hanya berisi informasi penting tentang suatu objek, dengan mempertimbangkan tujuan pembuatannya. Model informasi dari objek yang sama, yang dimaksudkan untuk tujuan berbeda, bisa sangat berbeda. Model verbal - model informasi dalam mental atau bentuk sehari-hari. Model tanda adalah model informasi yang diungkapkan dengan tanda-tanda khusus, yaitu melalui bahasa formal apa pun. Model ikonik adalah gambar, teks, grafik, diagram, tabel, dll. Model komputer adalah model yang diimplementasikan menggunakan lingkungan perangkat lunak. Sebelum membangun model suatu objek (fenomena, proses), perlu untuk mengidentifikasi elemen-elemen penyusunnya dan hubungan di antara mereka (melakukan analisis sistem) dan "menerjemahkan" struktur yang dihasilkan ke dalam beberapa bentuk yang telah ditentukan - untuk memformalkan informasi. Formalisasi Menu adalah proses menonjolkan dan menerjemahkan struktur internal suatu objek, fenomena atau proses menjadi spesifik struktur informasi- membentuk.

Klasifikasi model ekonomi dan matematika Model ekonomi dan matematika adalah model proses ekonomi yang dikendalikan dan diatur yang digunakan untuk mengubah realitas ekonomi. Kecukupan model untuk memodelkan objek ditentukan oleh kebetulan hasil penelitian dengan fakta yang diamati. Praktek dalam hal ini berarti kenyataan. Menurut tujuannya, model ekonomi-matematis dibagi menjadi: Model teoritis-analitis; ekonomi Nasional dan subsistemnya (industri, kawasan, dll.) Modelnya bersifat fungsional dan struktural. Model dapat bersifat deskriptif atau normatif. Model deskriptif menjawab pertanyaan: bagaimana hal ini bisa terjadi dan bagaimana hal ini dapat berkembang lebih jauh? Model normatif menjawab pertanyaan: bagaimana seharusnya hal ini terjadi? Artinya, mereka melibatkan aktivitas yang bertujuan. Ada model dan model yang sangat deterministik yang memperhitungkan keacakan dan ketidakpastian. Model bisa statis atau dinamis. Berdasarkan durasi periode yang dipertimbangkan, model peramalan dan perencanaan jangka pendek (1-5 tahun) dan jangka panjang (10-15 tahun atau lebih) dibedakan. Waktu sendiri dalam model seperti itu dapat berubah secara terus menerus atau secara terpisah. Model Menu bisa linier atau nonlinier.

Tahapan pemodelan ekonomi dan matematika. Memanggungkan masalah ekonomi dan analisisnya. Hal utama adalah menentukan esensi masalah, asumsi yang dibuat, dan pertanyaan yang memerlukan jawaban. Tahapannya meliputi penyorotan ciri-ciri dan sifat-sifat terpenting suatu objek, mengabstraksi dari sifat-sifat sekunder. Pembentukan hipotesis, jika diperlukan, menjelaskan perilaku dan perkembangan objek. Konstruksi model matematika. Tahap formalisasi suatu masalah ekonomi. Adalah salah untuk percaya bahwa semakin banyak fakta yang diperhitungkan suatu model, semakin baik model tersebut. Mengubah kompleksitas dan kerumitan model mempersulit proses penelitian. Penting untuk mempertimbangkan kemungkinan nyata dari informasi dan dukungan matematis. Penting untuk membandingkan biaya pemodelan dengan efek yang dihasilkan. Salah satu ciri terpenting model matematika adalah potensi penggunaannya untuk memecahkan berbagai masalah. Menu

Tahapan pemodelan ekonomi dan matematika. Analisis matematis model. Tujuan dari tahap ini adalah untuk mengetahui properti Umum model. Poin penting– bukti adanya solusi. Persiapan informasi awal Penting untuk mempertimbangkan jangka waktu pengumpulan informasi yang diperlukan, dan memperhitungkan biaya penyiapan informasi. Dalam proses persiapannya, metode teori probabilitas, statistik teoritis dan matematika banyak digunakan. Solusi numerik. Pengembangan algoritma untuk solusi numerik dari masalah, kompilasi program komputer dan perhitungan langsung. Kesulitan pada tahap ini disebabkan oleh besarnya dimensi tugas ekonomi dan kebutuhan untuk memproses sejumlah besar informasi. Analisis Menu hasil numerik dan penerapannya. Pada tahap ini timbul pertanyaan tentang kebenaran dan kelengkapan hasil pemodelan, serta tingkat penerapan praktisnya.

Pemrograman linier. Ini adalah cabang pemodelan matematika, yang semua ketergantungannya linier. Model matematika dari setiap permasalahan program linier mempunyai bentuk Z= maks(min) Kondisi Menu untuk non-negatif Xj ≥ 0

Contoh: Dalam pembuatan produk u 1 dan u 2 digunakan mesin bubut dan mesin penggilingan, serta baja dan logam non-besi; menurut standar teknologi untuk produksi satu unit produk u 1, 300 dan 200 unit peralatan pembubutan dan penggilingan masing-masing diperlukan (dalam jam), dan 10 dan 20 unit baja dan logam non-besi (dalam kg.). untuk menghasilkan produk u 2, masing-masing diperlukan 400, 100, 70, 50 unit sumber daya yang sama. Bengkel ini memiliki 12400 dan 6800 jam, 640 dan 840 kg. bahan. Keuntungan dari penjualan per unit produk kamu 1=6000 den. unit , kamu 2=16000 ruang kerja. unit Diperlukan: Ringkaslah data sumber ke dalam tabel yang sesuai untuk membuat model. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Menentukan rencana produksi produk, menjamin keuntungan yang maksimal dengan syarat waktu pengoperasian mesin milling harus digunakan sepenuhnya.

Penyelesaian: Misal x1 adalah banyaknya produk u 1, dan x2 adalah jumlah produk u 2, z adalah total keuntungan.

Pemrograman linier. Ini adalah bentuk notasi yang umum atau turunan. Variabel Xj yang memenuhi sistem kendala dan kondisi non-negatif disebut dapat diterima. Variabel valid yang mengubah fungsi tujuan menjadi maks atau min disebut optimal. Metode pemecahan masalah tersebut dibagi menjadi universal dan khusus. Metode universal digunakan untuk menyelesaikan PLP apa pun. Metode khusus mempertimbangkan fitur model. Ciri khusus ZLP adalah fungsi tujuan maks (min) mencapai batas wilayah solusi yang dapat diterima. PLP tersebut meliputi: masalah pemilihan teknologi yang optimal; masalah campuran; masalah pemotongan material; masalah transportasi; Masalah menu adalah tentang penggunaan sumber daya sebaik-baiknya; masalah penempatan pesanan;

Pernyataan masalah program linier Setiap ZLP ditulis menggunakan model matematika. Terdapat 3 Bentuk Pencatatan Menu PAP Umum (Gratis)

Pernyataan masalah program linier Semua bentuk ini ekuivalen. Untuk berpindah dari max ke min (atau sebaliknya), Anda perlu mengubah tanda setiap suku dalam notasi fungsi target. Untuk mengubah pertidaksamaan bentuk menjadi pertidaksamaan bentuk (dan sebaliknya), Anda perlu mengalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan -1. Menu Canonical (utama) Untuk mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan (dan sebaliknya), Anda perlu menambahkan atau mengurangi variabel non-negatif tambahan di sisi kiri, yang disebut variabel keseimbangan. Saat menulis fungsi tujuan, ia memiliki koefisien =0.

Model (dari bahasa Latin modulus - mengukur) dan pemodelan adalah konsep ilmiah umum. Pemodelan dari sudut pandang ilmiah umum bertindak sebagai cara kognisi melalui konstruksi objek khusus, sistem – model objek, fenomena atau proses yang dipelajari. Dalam hal ini, objek tertentu disebut model bila digunakan untuk memperoleh informasi mengenai objek lain - prototipe model.

Metode pemodelan digunakan di hampir semua ilmu pengetahuan tanpa kecuali dan di semua tahap penelitian ilmiah. Kekuatan heuristik dari metode ini ditentukan oleh fakta bahwa dengan bantuan metode pemodelan dimungkinkan untuk mereduksi studi tentang kompleks menjadi yang sederhana, yang tidak terlihat dan tidak berwujud, yang terlihat dan nyata, dll.

Ketika mempelajari suatu objek (proses atau fenomena) dengan menggunakan metode pemodelan, kita dapat memilih properti-properti yang saat ini kita minati sebagai model. Kajian ilmiah terhadap suatu objek selalu bersifat relatif. DI DALAM studi kasus tidak mungkin untuk mempertimbangkan suatu objek dengan segala keanekaragamannya. Akibatnya, suatu benda yang sama dapat mempunyai banyak model yang berbeda dan tidak ada satupun yang dapat dikatakan satu-satunya, model nyata dari objek ini.

Merupakan kebiasaan untuk membedakan empat yang utama properti model:

· penyederhanaan dibandingkan dengan objek yang diteliti;

· kemampuan merefleksikan atau mereproduksi objek kajian;

· kemampuan mengganti objek penelitian pada tahap kognisi tertentu;

· kemampuan memperoleh informasi baru tentang objek yang dipelajari.

Kajian berbagai fenomena atau proses dengan metode matematika dilakukan dengan menggunakan model matematika. Model matematika adalah deskripsi formal dalam bahasa matematika dari objek yang diteliti. Deskripsi formal tersebut dapat berupa sistem persamaan linier, nonlinier atau diferensial, sistem pertidaksamaan, integral tertentu, polinomial yang koefisiennya tidak diketahui, dan lain-lain. Model matematika harus mencakup karakteristik terpenting dari objek yang diteliti dan mencerminkan sifat-sifatnya. koneksi di antara mereka.

Sebelum membuat model matematika suatu objek (proses atau fenomena), dipelajari dalam waktu yang lama berbagai metode: observasi, eksperimen yang diselenggarakan secara khusus, analisis teoretis, dll., yaitu, mereka mempelajari sisi kualitatif dari fenomena tersebut dengan cukup baik, mengidentifikasi hubungan di mana unsur-unsur objek berada. Kemudian objek tersebut disederhanakan, dan yang paling signifikan dipilih dari berbagai properti yang melekat padanya. Jika perlu, dibuat asumsi tentang hubungan yang ada dengan dunia luar.

Sebagaimana dinyatakan sebelumnya, model apa pun tidak identik dengan fenomena itu sendiri; ia hanya memberikan perkiraan terhadap kenyataan. Namun model tersebut mencantumkan semua asumsi yang mendasarinya. Asumsi-asumsi ini mungkin kasar namun memberikan perkiraan yang memuaskan terhadap kenyataan. Beberapa model, termasuk model matematika, dapat dibangun untuk fenomena yang sama. Misalnya, Anda dapat mendeskripsikan pergerakan planet-planet di tata surya menggunakan:

8 Model Kepler yang terdiri dari tiga hukum antara lain rumus matematika(persamaan elips);

8 model Newton, yang terdiri dari satu rumus, namun lebih umum dan akurat.

Dalam optik, beberapa model cahaya dipertimbangkan: sel, gelombang, dan elektromagnetik. Banyak pola kuantitatif diturunkan untuk mereka. Masing-masing model memerlukan pendekatan matematisnya sendiri dan alat matematika yang sesuai. Optik sel menggunakan geometri Euclidean dan sampai pada kesimpulan tentang hukum pemantulan dan pembiasan cahaya. Model gelombang dari teori cahaya membutuhkan yang baru ide-ide matematika dan dengan cara komputasi murni ditemukan fakta-fakta baru yang berkaitan dengan fenomena difraksi dan interferensi cahaya, yang belum pernah diamati sebelumnya. Optik geometris, terkait dengan model sel hidup, ternyata tidak berdaya di sini.

Model yang dibangun harus sedemikian rupa sehingga dapat menggantikan suatu objek (proses atau fenomena) dalam penelitian dan harus mempunyai ciri-ciri yang serupa dengannya. Kesamaan dicapai melalui kesamaan struktur (isomorfisme) atau analogi dalam perilaku atau fungsi (isofungsionalitas). Berdasarkan kemiripan struktur atau fungsi antara model dengan aslinya teknologi modern memeriksa, menghitung dan mendesain sistem yang sangat kompleks, mesin dan struktur.

Seperti disebutkan di atas, banyak model berbeda dapat dibangun untuk objek, proses, atau fenomena yang sama. Beberapa di antaranya (belum tentu semuanya) mungkin bersifat isomorfik. Misalnya, di geometri analitik kurva pada bidang tersebut digunakan sebagai model persamaan dua variabel yang bersesuaian. Dalam hal ini, model (kurva) dan prototipe (persamaan) bersifat isomorfik terhadap sistem (titik-titik yang terletak pada kurva dan pasangan bilangan bersesuaian yang memenuhi persamaan),

Dalam buku “Mathematics Conducts an Experiment,” akademisi N.N. Moiseev menulis bahwa model matematika apa pun dapat muncul dalam tiga cara:

· Sebagai hasil kajian dan pemahaman langsung terhadap suatu objek (proses atau fenomena) (fenomenologis) (contoh – persamaan yang menggambarkan dinamika atmosfer, lautan),

· Sebagai hasil dari beberapa proses deduksi, ketika diperoleh model baru sebagai kasus spesial model yang lebih umum (tanpa gejala) (contoh - persamaan hidro-termodinamika atmosfer),

· Sebagai hasil dari beberapa proses induksi, ketika model baru merupakan generalisasi alami dari model “dasar” (model ansambel atau model umum).

Proses pengembangan model matematika terdiri dari berikut ini tahapan:

· rumusan masalah;

· penentuan tujuan pemodelan;

· pengorganisasian dan pelaksanaan penelitian bidang studi (penelitian tentang sifat-sifat objek pemodelan);

· pengembangan model;

· memeriksa keakuratan dan kesesuaiannya dengan kenyataan;

· penggunaan praktis, yaitu transfer pengetahuan yang diperoleh dengan menggunakan model ke objek atau proses yang diteliti.

Arti khusus pemodelan sebagai cara untuk memahami hukum dan fenomena alam diperoleh ketika mempelajari objek-objek yang tidak sepenuhnya dapat diakses melalui observasi atau eksperimen langsung. Ini termasuk sistem sosial, satu-satunya cara belajar yang mungkin adalah dengan menggunakan pemodelan.

Metode umum tidak ada konstruksi model matematika. Dalam setiap kasus tertentu, perlu didasarkan pada data yang tersedia, orientasi sasaran, memperhatikan tujuan penelitian, serta menyeimbangkan keakuratan dan detail model. Ini harus mencerminkan fitur-fitur paling penting dari fenomena tersebut, faktor-faktor penting yang menjadi penentu keberhasilan pemodelan.

Saat mengembangkan model, Anda harus mematuhi prinsip-prinsip dasar berikut: prinsip-prinsip metodologis pemodelan fenomena sosial:

· prinsip problematis, yang menyiratkan perpindahan bukan dari model matematika “universal” yang sudah jadi ke masalah, tetapi dari masalah nyata dan aktual - ke pencarian dan pengembangan model khusus;

· prinsip sistematika, yang mempertimbangkan semua hubungan fenomena yang dimodelkan dalam kaitannya dengan unsur-unsur sistem dan lingkungannya;

· asas variabilitas dalam formalisasi proses pengelolaan yang terkait dengan perbedaan spesifik pola perkembangan alam dan masyarakat. Untuk menjelaskannya, perlu diungkap perbedaan mendasar antara model proses sosial dan model yang menggambarkan fenomena alam.

Kuliah No.1

Perkenalan. Konsep model dan metode matematika

Bagian 1. Pendahuluan

2. Metode membangun model matematika. Konsep dari pendekatan sistematis. 1

3. Konsep dasar pemodelan matematika sistem ekonomi.. 4

4. Metode analitis, simulasi dan pemodelan skala penuh. 5

Soal tes.. 6

1. Isi, maksud dan tujuan disiplin “Metode Pemodelan”

Disiplin ini dikhususkan untuk mempelajari metode pemodelan dan aplikasi praktis pengetahuan yang diperoleh. Tujuan dari disiplin adalah untuk mendidik siswa masalah umum teori pemodelan, metode membangun model matematika dan deskripsi formal proses dan objek, penggunaan model matematika untuk melakukan eksperimen komputasi dan penyelesaian masalah optimasi, menggunakan alat komputasi modern.

Tujuan dari disiplin ini meliputi:

Untuk mengenalkan siswa pada konsep dasar teori pemodelan matematika, teori sistem, teori kesamaan, teori perencanaan eksperimen dan pengolahan data eksperimen yang digunakan untuk membangun model matematika,

Membekali peserta didik dengan keterampilan dalam bidang pengaturan masalah pemodelan, deskripsi matematis suatu benda/proses/, metode numerik untuk mengimplementasikan model matematika pada komputer dan menyelesaikan masalah optimasi.

Sebagai hasil dari mempelajari disiplin ilmu tersebut, siswa harus menguasai metode pemodelan matematika proses dan objek mulai dari perumusan masalah hingga implementasi model matematika pada komputer dan penyajian hasil penelitian model.

Mata kuliah disiplin terdiri dari 12 kuliah dan 12 kerja praktek. Sebagai hasil dari mempelajari disiplin ilmu tersebut, siswa harus menguasai metode pemodelan matematika mulai dari perumusan masalah hingga implementasi model matematika pada komputer

2. Metode membangun model matematika. Konsep pendekatan sistem

5. Memecahkan masalah.

Penggunaan metode riset operasi secara konsisten dan penerapannya pada teknologi informasi dan komputasi modern memungkinkan untuk mengatasi subjektivitas dan menghilangkan apa yang disebut keputusan berkemauan keras yang tidak didasarkan pada pertimbangan keadaan obyektif yang ketat dan akurat, tetapi pada emosi acak dan kepentingan pribadi. manajer tingkat yang berbeda yang, terlebih lagi, tidak dapat mengoordinasikan keputusan-keputusan yang disengaja ini.

Analisis sistem memungkinkan untuk memperhitungkan dan menggunakan dalam manajemen semua informasi yang tersedia tentang objek yang dikelola, untuk mengoordinasikan keputusan yang dibuat dari sudut pandang kriteria efisiensi yang obyektif, bukan subyektif. Menghemat perhitungan saat mengendalikan sama dengan menghemat membidik saat menembak. Namun, komputer tidak hanya memungkinkan untuk memperhitungkan semua informasi, tetapi juga membebaskan manajer dari informasi yang tidak perlu, dan melewati semua informasi yang diperlukan melewati orang tersebut, hanya menyajikan kepadanya informasi yang paling umum, intisari. Pendekatan sistem dalam perekonomian itu sendiri efektif, tanpa menggunakan komputer, sebagai metode penelitian, dan tidak mengubah hukum ekonomi yang ditemukan sebelumnya, tetapi hanya mengajarkan cara terbaik untuk menggunakannya.

4. Metode analitis, simulasi dan pemodelan skala penuh

Simulasi adalah metode yang ampuh pengetahuan ilmiah, dimana objek yang diteliti digantikan oleh objek yang lebih sederhana yang disebut model. Jenis utama dari proses pemodelan dapat dianggap dua jenis - pemodelan matematika dan fisik. Selama pemodelan fisik (skala penuh), sistem yang diteliti digantikan oleh sistem lain yang sesuai sistem materi, yang mereproduksi properti sistem yang diteliti sambil melestarikannya sifat fisik. Contoh dari jenis pemodelan ini adalah jaringan percontohan, dengan bantuan yang mempelajari kemungkinan mendasar membangun jaringan berdasarkan komputer, perangkat komunikasi, sistem operasi, dan aplikasi tertentu.

Kemampuan pemodelan fisik sangat terbatas. Ini memungkinkan Anda untuk memecahkan masalah individual dengan menentukan sejumlah kecil kombinasi parameter sistem yang sedang dipelajari. Memang kapan pemodelan skala penuh jaringan komputer hampir tidak mungkin untuk memeriksa pengoperasiannya untuk opsi menggunakan berbagai jenis perangkat komunikasi - router, switch, dll. Pengujian praktis sekitar selusin jenis yang berbeda perutean dikaitkan tidak hanya dengan banyak usaha dan biaya waktu, tetapi juga dengan biaya material yang besar.

Tetapi bahkan dalam kasus di mana, selama optimasi jaringan, bukan jenis perangkat dan sistem operasi yang diubah, tetapi hanya parameternya, melakukan eksperimen secara real time untuk sejumlah besar kombinasi parameter ini secara praktis tidak mungkin dilakukan di masa mendatang. waktu. Bahkan sekadar mengubah ukuran paket maksimum dalam protokol apa pun memerlukan konfigurasi ulang sistem operasi pada ratusan komputer di jaringan, yang memerlukan banyak pekerjaan dari administrator jaringan.

Oleh karena itu, ketika mengoptimalkan jaringan, dalam banyak kasus lebih baik menggunakan pemodelan matematika. Model matematika adalah sekumpulan hubungan (rumus, persamaan, pertidaksamaan, kondisi logis) yang menentukan proses perubahan keadaan sistem tergantung pada parameternya, sinyal masukan, kondisi awal dan waktu.

Kelas khusus model matematika adalah model simulasi. Model seperti itu adalah program komputer, yang mereproduksi langkah demi langkah peristiwa yang terjadi sistem nyata. Sehubungan dengan jaringan komputer, model simulasinya mereproduksi proses pembuatan pesan oleh aplikasi, memecah pesan menjadi paket dan frame protokol tertentu, penundaan yang terkait dengan pemrosesan pesan, paket dan frame dalam sistem operasi, proses komputer mendapatkan akses ke lingkungan jaringan bersama, proses pemrosesan paket masuk oleh router, dll. Saat mensimulasikan jaringan, tidak perlu membeli peralatan mahal - operasinya disimulasikan oleh program yang secara akurat mereproduksi semua fitur dan parameter utama peralatan tersebut.

Keunggulan model simulasi adalah kemampuannya untuk menggantikan proses perubahan kejadian dalam sistem yang diteliti secara real time dengan proses perubahan kejadian yang dipercepat sesuai dengan kecepatan program. Hasilnya, dalam beberapa menit dimungkinkan untuk mereproduksi pengoperasian jaringan selama beberapa hari, yang memungkinkan untuk mengevaluasi pengoperasian jaringan dalam berbagai parameter yang bervariasi.

Hasil dari model simulasi adalah data statistik yang dikumpulkan pada saat observasi kejadian yang sedang berlangsung karakteristik penting jaringan: waktu respons, tingkat pemanfaatan saluran dan node, kemungkinan kehilangan paket, dll.

Ada bahasa khusus pemodelan simulasi, yang memudahkan proses pembuatan model program dibandingkan dengan menggunakan bahasa pemrograman universal. Contoh bahasa simulasi antara lain bahasa seperti SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Ada juga sistem pemodelan simulasi yang berfokus pada kelas sempit sistem yang sedang dipelajari dan memungkinkan Anda membangun model tanpa pemrograman.

Pertanyaan kontrol

KULIAH 4

Pengertian dan tujuan pemodelan matematika

Di bawah model(dari bahasa Latin modulus - ukuran, sampel, norma) kita akan memahami objek yang diwakili secara material atau mental, yang dalam proses kognisi (studi) menggantikan objek aslinya, mempertahankan beberapa ciri khasnya yang penting untuk penelitian ini. Proses membangun dan menggunakan model disebut pemodelan.

Intinya pemodelan matematika (MM) terdiri dari penggantian objek (proses) yang diteliti dengan model matematika yang memadai dan studi selanjutnya tentang sifat-sifat model ini menggunakan metode analisis atau eksperimen komputasi.

Kadang-kadang lebih berguna, daripada memberikan definisi yang ketat, untuk menggambarkan konsep tertentu dalam istilah contoh spesifik. Oleh karena itu, definisi MM di atas akan kita ilustrasikan dengan menggunakan contoh soal penghitungan impuls spesifik. Pada awal tahun 60an, para ilmuwan dihadapkan pada tugas mengembangkan bahan bakar roket dengan impuls spesifik tertinggi. Prinsip penggerak roket adalah sebagai berikut: bahan bakar cair dan oksidator dari tangki roket disuplai ke mesin, kemudian dibakar, dan hasil pembakaran dilepaskan ke atmosfer. Berdasarkan hukum kekekalan momentum, dalam hal ini roket akan bergerak dengan kecepatan.

Impuls spesifik suatu bahan bakar adalah impuls yang diterima dibagi dengan massa bahan bakar. Melakukan eksperimen sangat mahal dan menyebabkan kerusakan sistematis pada peralatan. Ternyata menghitung fungsi termodinamika lebih mudah dan murah gas ideal, menggunakannya untuk menghitung komposisi gas yang keluar dan suhu plasma, dan kemudian impuls spesifiknya. Artinya, untuk melakukan MM dari proses pembakaran bahan bakar.

Konsep pemodelan matematika (MM) adalah salah satu yang paling umum dalam literatur ilmiah saat ini. Sebagian besar diploma modern dan disertasi terkait dengan pengembangan dan penggunaan model matematika yang sesuai. Komputer MM hari ini adalah bagian yang tidak terpisahkan banyak daerah aktifitas manusia(sains, teknologi, ekonomi, sosiologi, dll). Hal inilah yang menjadi salah satu penyebab kurangnya tenaga ahli di bidang teknologi informasi saat ini.

Pesatnya pertumbuhan pemodelan matematika disebabkan oleh pesatnya kemajuan teknologi komputer. Jika 20 tahun yang lalu hanya sejumlah kecil programmer yang terlibat dalam perhitungan numerik, kini kapasitas memori dan kecepatan komputer modern memungkinkan penyelesaian masalah pemodelan matematika dapat diakses oleh semua spesialis, termasuk mahasiswa.

Dalam disiplin ilmu apa pun, deskripsi kualitatif atas fenomena pertama kali diberikan. Dan kemudian – kuantitatif, dirumuskan dalam bentuk undang-undang yang membangun hubungan antar jumlah yang berbeda(kekuatan medan, intensitas hamburan, muatan elektron, ...) dalam bentuk persamaan matematika. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa dalam setiap disiplin ilmu terdapat ilmu pengetahuan sebanyak jumlah matematika di dalamnya, dan fakta ini memungkinkan banyak masalah berhasil diselesaikan dengan menggunakan metode pemodelan matematika.

Kursus ini dirancang untuk mahasiswa jurusan matematika terapan yang menyelesaikan pekerjaan pascasarjana mereka di bawah pengawasan ilmuwan terkemuka yang bekerja di berbagai bidang. Oleh karena itu, kursus ini diperlukan tidak hanya sebagai materi pendidikan, tetapi juga sebagai persiapan pekerjaan diploma. Untuk mempelajari kursus ini kita memerlukan bagian matematika berikut:

1. Persamaan fisika matematika(mekanika, gas dan hidrodinamika)

2. Aljabar linier (teori elastisitas)

3. Bidang skalar dan vektor (teori medan)

4. Teori probabilitas (mekanika kuantum, fisika statistik, kinetika fisika)

5. Fungsi khusus.

6. Analisis tensor (teori elastisitas)

7. Analisis matematis

MM dalam ilmu pengetahuan alam, teknologi, dan ekonomi

Pertama-tama mari kita pertimbangkan berbagai bagian ilmu pengetahuan alam, teknologi, dan ekonomi yang menggunakan model matematika.

Ilmu pengetahuan Alam

Fisika, yang menetapkan hukum-hukum dasar ilmu pengetahuan alam, telah lama terbagi menjadi teoritis dan eksperimental. Fisika teoretis berkaitan dengan penurunan persamaan yang menggambarkan fenomena fisik. Dengan demikian, fisika teoretis juga dapat dianggap sebagai salah satu bidang pemodelan matematika. (Ingatlah bahwa judul buku pertama tentang fisika - “Prinsip Matematika Filsafat Alam” oleh I. Newton dapat diterjemahkan ke dalam bahasa modern sebagai “Model Matematika Ilmu Pengetahuan Alam.”) Berdasarkan hukum yang diperoleh, dilakukan perhitungan teknik yang dilakukan di berbagai lembaga, perusahaan, biro desain. Organisasi-organisasi ini mengembangkan teknologi untuk pembuatan produk modern yang padat pengetahuan. Dengan demikian, konsep teknologi padat ilmu pengetahuan mencakup perhitungan menggunakan model matematika yang sesuai.

Salah satu cabang fisika yang paling luas adalah mekanika klasik(terkadang bagian ini disebut teoritis atau mekanika analitik). Bagian ini fisika teoretis mempelajari pergerakan dan interaksi benda. Perhitungan menggunakan rumus mekanika teoretis diperlukan ketika mempelajari rotasi benda (perhitungan momen inersia, gyrostat - perangkat yang menjaga sumbu rotasi tetap diam), analisis pergerakan suatu benda di ruang tanpa udara, dll. Salah satu bagian mekanika teoretis disebut teori stabilitas dan mendasari banyak model matematika yang menggambarkan pergerakan pesawat, kapal, rudal. Bagian mekanika praktis– mata kuliah “Teori Mesin dan Mekanisme”, “Suku Cadang Mesin”, dipelajari oleh hampir semua mahasiswa universitas teknik(termasuk MGIU).

Teori elastisitas– bagian dari suatu bagian mekanika kontinum , dengan asumsi bahwa materi tubuh elastis homogen dan tersebar terus menerus ke seluruh volume benda, sehingga unsur terkecil yang dipotong dari benda mempunyai jumlah yang sama properti fisik, sebagai seluruh tubuh. Penerapan teori elastisitas – mata kuliah “kekuatan bahan”, dipelajari oleh mahasiswa semua universitas teknik (termasuk Universitas Negeri Moskow). Bagian ini diperlukan untuk semua perhitungan kekuatan. Termasuk perhitungan kekuatan lambung kapal, pesawat terbang, roket, perhitungan kekuatan struktur baja dan beton bertulang bangunan dan masih banyak lagi.

Gas dan hidrodinamika, seperti teori elastisitas, adalah bagian dari bagian tersebut mekanika kontinum, mengkaji hukum gerak zat cair dan gas. Persamaan gas dan hidrodinamika diperlukan ketika menganalisis gerak benda dalam media cair dan gas (satelit, kapal selam, roket, peluru, mobil), saat menghitung aliran gas keluar dari nozel mesin roket dan pesawat. Penerapan praktis hidrodinamika - hidrolika (rem, roda kemudi,...)

Bagian mekanika sebelumnya membahas pergerakan benda di makrokosmos, dan hukum fisika makrokosmos tidak berlaku di mikrokosmos, di mana partikel materi bergerak - proton, neutron, elektron. Prinsip yang sama sekali berbeda berlaku di sini, dan hal ini diperlukan untuk mendeskripsikan dunia mikro mekanika kuantum. Persamaan dasar yang menggambarkan perilaku mikropartikel adalah persamaan Schrödinger: . Berikut adalah operator Hamiltonian (Hamiltonian). Untuk persamaan gerak partikel satu dimensi https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-energi potensial. Solusi untuk ini persamaan adalah himpunan nilai eigen energi dan fungsi eigen..gif" width="55" height="24 src=">– kepadatan probabilitas. Perhitungan mekanika kuantum diperlukan untuk pengembangan material baru (sirkuit mikro), pembuatan laser, pengembangan metode analisis spektral, dan sebagainya.

Memecahkan sejumlah besar masalah kinetika, menggambarkan pergerakan dan interaksi partikel. Di sini kita memiliki difusi, perpindahan panas, dan teori plasma - wujud materi keempat.

Fisika statistik mempertimbangkan ansambel partikel, memungkinkan kita untuk mengatakan tentang parameter ansambel berdasarkan sifat-sifat partikel individu. Jika ansambel terdiri dari molekul gas, maka metode turunannya fisika statistik sifat-sifat ansambel adalah persamaan keadaan gas, yang terkenal dari sekolah menengah: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" width ="16" height="17">-berat molekul gas. K – Konstanta Rydberg. Metode statistik Sifat-sifat larutan, kristal, dan elektron dalam logam juga dihitung. MM fisika statistik – landasan teori termodinamika, yang mendasari perhitungan mesin, jaringan pemanas dan stasiun.

Teori lapangan menjelaskan penggunaan metode MM salah satu bentuk utama materi – lapangan. Dalam hal ini yang menjadi perhatian utama adalah medan elektromagnetik. Persamaan medan elektromagnetik(elektrodinamika) diturunkan oleh Maxwell: , , . Di sini dan https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - kerapatan muatan, - kerapatan arus. Persamaan elektrodinamika mendasari perhitungan rambat gelombang elektromagnetik yang diperlukan untuk menggambarkan perambatan gelombang radio (radio, televisi, komunikasi seluler), dan menjelaskan pengoperasian stasiun radar.

Kimia dapat disajikan dalam dua aspek, menyoroti kimia deskriptif - penemuan faktor kimia dan deskripsinya - dan kimia teoretis - pengembangan teori yang memungkinkan seseorang untuk menggeneralisasi faktor-faktor yang sudah ada dan menyajikannya dalam bentuk sistem tertentu (L. Pauling ). Kimia teoretis juga disebut kimia fisik dan pada dasarnya merupakan cabang fisika yang mempelajari zat dan interaksinya. Oleh karena itu, segala sesuatu yang telah dikatakan mengenai fisika sepenuhnya berlaku untuk kimia. Bagian kimia fisik Akan ada termokimia, yang mempelajari efek termal dari reaksi, kinetika kimia (laju reaksi), kimia kuantum (struktur molekul). Pada saat yang sama, permasalahan kimia bisa menjadi sangat kompleks. Misalnya, untuk memecahkan masalah kimia kuantum – ilmu tentang struktur atom dan molekul – digunakan program yang cakupannya sebanding dengan program pertahanan udara negara tersebut. Misalnya, untuk mendeskripsikan molekul UCl4, yang terdiri dari 5 inti atom dan +17 * 4) elektron, Anda perlu menuliskan persamaan gerak - persamaan diferensial parsial.

Biologi

Matematika baru masuk ke dalam biologi pada paruh kedua abad ke-20. Upaya pertama untuk menggambarkan secara matematis proses biologis mengacu pada model dinamika populasi. Populasi adalah komunitas individu-individu dari spesies yang sama yang menempati suatu wilayah ruang tertentu di Bumi. Area ini biologi matematika, yang mempelajari perubahan ukuran populasi di kondisi yang berbeda(keberadaan spesies yang bersaing, predator, penyakit, dll.) dan selanjutnya berfungsi sebagai tempat pengujian matematika di mana model matematika “diuji” dalam daerah yang berbeda biologi. Termasuk model evolusi, mikrobiologi, imunologi dan bidang lain yang berkaitan dengan populasi sel.
Model pertama yang diketahui yang dirumuskan dalam formulasi biologis adalah deret Fibonacci yang terkenal (setiap angka berikutnya adalah jumlah dari dua angka sebelumnya), yang dikutip Leonardo dari Pisa dalam karyanya pada abad ke-13. Merupakan rangkaian angka yang menggambarkan banyaknya pasangan kelinci yang dilahirkan setiap bulannya jika kelinci mulai berkembang biak pada bulan kedua dan menghasilkan sepasang kelinci setiap bulannya. Baris tersebut melambangkan barisan angka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Contoh lainnya adalah studi tentang proses transpor ion transmembran pada membran bilayer buatan. Di sini, untuk mempelajari hukum pembentukan pori yang dilalui ion melalui membran ke dalam sel, perlu dibuat sistem model yang dapat dipelajari secara eksperimental, dan untuk itu deskripsi fisik yang dikembangkan dengan baik oleh sains dapat dilakukan. digunakan.

Contoh klasik MM juga adalah populasi Drosophila. Model yang lebih tepat lagi adalah virus, yang dapat diperbanyak secara in vitro. Metode pemodelan dalam biologi adalah metode teori sistem dinamik, sarananya adalah persamaan diferensial dan beda, metode teori persamaan diferensial kualitatif, dan pemodelan simulasi.
Tujuan pemodelan dalam biologi:
3. Klarifikasi mekanisme interaksi antar elemen sistem
4. Identifikasi dan verifikasi parameter model menggunakan data eksperimen.
5. Menilai stabilitas sistem (model).

6. Prediksi perilaku sistem di bawah berbagai pengaruh eksternal, dalam berbagai cara manajemen, dll.
7. Pengendalian sistem yang optimal sesuai dengan kriteria optimalitas yang dipilih.

Teknik

Meningkatkan teknologi sejumlah besar spesialis yang mendasarkan pekerjaan mereka pada hasil penelitian ilmiah. Oleh karena itu, MM di bidang teknologi sama dengan MM di bidang ilmu pengetahuan alam yang telah dibahas di atas.

Proses ekonomi dan sosial

Secara umum diterima bahwa pemodelan matematika sebagai metode analisis proses makroekonomi pertama kali digunakan oleh dokter Raja Louis XV, Dr. François Quesnay, yang pada tahun 1758 menerbitkan karya “Tabel Ekonomi”. Karya ini adalah upaya pertama untuk mendeskripsikan secara kuantitatif ekonomi Nasional. Dan pada tahun 1838 di dalam buku O. Pengadilan Metode kuantitatif "Studi Prinsip Matematika Teori Kekayaan" pertama kali digunakan untuk menganalisis persaingan di pasar produk dalam berbagai situasi pasar.

Teori kependudukan Malthus juga dikenal luas, di mana ia mengajukan gagasan: pertumbuhan penduduk tidak selalu diinginkan, dan pertumbuhan ini berjalan lebih cepat, yang meningkatkan kemungkinan menyediakan makanan bagi penduduk. Model matematis dari proses tersebut cukup sederhana: Misalkan pertumbuhan penduduk selama ini https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> menjadi sama dengan .dan - koefisien dengan mempertimbangkan kesuburan dan kematian (orang/tahun).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Metode instrumental dan matematika " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="penanda"> metode matematika analisis (misalnya, dalam beberapa dekade terakhir, teori matematika tentang perkembangan budaya telah muncul di bidang humaniora, model matematika mobilisasi telah dibangun dan dipelajari, perkembangan siklus proses sosial budaya, model interaksi antara masyarakat dan pemerintah, model perlombaan senjata, dll).

Secara umum, proses MM proses sosial ekonomi dapat dibagi menjadi empat tahap:

perumusan sistem hipotesis dan pengembangan model konseptual; pengembangan model matematika; analisis hasil perhitungan model, termasuk membandingkannya dengan praktik; perumusan hipotesis baru dan penyempurnaan model jika terjadi perbedaan antara hasil perhitungan dan data praktis.

Perhatikan bahwa, sebagai suatu peraturan, proses pemodelan matematika bersifat siklus, bahkan ketika dipelajari secara relatif proses sederhana Jarang sekali kita dapat membangun model matematika yang memadai dan memilih parameter yang tepat dari langkah pertama.

Saat ini, perekonomian dianggap sebagai sistem berkembang yang kompleks, misalnya deskripsi kuantitatif yang menggunakan model matematika dinamis dengan berbagai tingkat kompleksitas. Salah satu bidang penelitian dinamika makroekonomi dikaitkan dengan konstruksi dan analisis model simulasi nonlinier yang relatif sederhana yang mencerminkan interaksi berbagai subsistem - pasar tenaga kerja, pasar barang, sistem keuangan, lingkungan alami dan sebagainya.

Teori bencana berkembang dengan sukses. Teori ini menjawab pertanyaan tentang kondisi di mana terjadi perubahan parameter sistem nonlinier menyebabkan titik berpindah ke ruang fase, mencirikan keadaan sistem, dari daerah tarik-menarik ke posisi setimbang awal hingga daerah tarik-menarik ke posisi setimbang lainnya. Yang terakhir ini sangat penting tidak hanya untuk analisis sistem teknis, tetapi juga untuk memahami keberlanjutan proses sosial-ekonomi. Dalam hal ini, temuan ini menarik tentang pentingnya mempelajari model nonlinier untuk manajemen. Dalam buku “The Theory of Catastrophes,” yang diterbitkan pada tahun 1990, ia menulis, khususnya: “... restrukturisasi saat ini sebagian besar dijelaskan oleh fakta bahwa setidaknya beberapa mekanisme telah mulai beroperasi. masukan(takut akan kehancuran pribadi).”

(parameter model)

Saat membuat model objek dan fenomena nyata, sering kali kita harus menghadapi kekurangan informasi. Untuk objek yang diteliti, sebaran properti, parameter dampak dan keadaan awal diketahui dengan berbagai tingkat ketidakpastian. Saat membuat model, opsi berikut untuk mendeskripsikan parameter yang tidak pasti dimungkinkan:

Klasifikasi model matematika

(metode implementasi)

Metode penerapan MM dapat diklasifikasikan menurut tabel di bawah ini.