Variabel acak yang mengambil semua nilai riil. Hukum distribusi variabel acak

Salah satu konsep dasar terpenting dalam teori probabilitas adalah konsep variabel acak.

Variabel acak adalah suatu besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya nilai yang mana.

Contoh variabel acak:

1) jumlah pukulan dengan tiga tembakan;

2) jumlah panggilan yang diterima sentral telepon per hari;

3) tingkat pukulan dengan 10 tembakan.

Dalam ketiga contoh ini, variabel acak dapat mengambil nilai terpisah dan terisolasi yang dapat dihitung terlebih dahulu.

Jadi, pada contoh 1) nilai-nilai ini adalah:

dalam contoh 2):

dalam contoh 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Variabel acak yang hanya mengambil nilai berbeda yang dapat dihitung terlebih dahulu disebut variabel acak diskontinu atau diskrit.

Ada jenis variabel acak lainnya, misalnya:

1) absis titik tumbukan saat ditembakkan;

2) kesalahan dalam menimbang suatu benda pada neraca analitik;

3) kecepatan pesawat pada saat mencapai ketinggian tertentu;

4) berat sebutir gandum yang diambil secara acak.

Nilai yang mungkin dari variabel acak tersebut tidak dipisahkan satu sama lain; mereka terus-menerus mengisi kesenjangan tertentu, yang kadang-kadang memiliki batas-batas yang jelas, dan lebih sering – batas-batas yang tidak jelas dan tidak jelas.

Variabel acak seperti itu nilai yang mungkin yang terus-menerus mengisi interval tertentu disebut variabel acak kontinu.

Konsep variabel acak memegang peranan yang sangat penting peran penting dalam teori probabilitas. Jika teori probabilitas “klasik” terutama beroperasi dengan peristiwa, maka teori probabilitas modern lebih memilih, jika memungkinkan, beroperasi dengan variabel acak.

Mari kita berikan contoh metode transisi dari peristiwa ke variabel acak yang khas untuk teori probabilitas.

Eksperimen dilakukan sebagai akibat dari suatu peristiwa yang mungkin muncul atau tidak. Sebagai ganti suatu kejadian, kita dapat menggunakan variabel acak, yang sama dengan 1 jika kejadian tersebut terjadi dan sama dengan 0 jika kejadian tersebut tidak terjadi. Variabel acak jelas terputus-putus; ini memiliki dua kemungkinan nilai: 0 dan 1. Ini variabel acak disebut variabel acak karakteristik dari kejadian tersebut. Dalam praktiknya, seringkali lebih mudah untuk mengoperasikan variabel acak karakteristiknya daripada kejadian. Misalnya, jika serangkaian percobaan dilakukan, yang masing-masing percobaan memungkinkan terjadinya suatu peristiwa, maka jumlah total kemunculan peristiwa tersebut sama dengan jumlah variabel acak karakteristik peristiwa tersebut dalam semua percobaan. Saat menyelesaikan banyak hal masalah praktis Menggunakan teknik ini ternyata sangat nyaman.

Di sisi lain, seringkali untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa, ternyata lebih mudah untuk mengasosiasikan peristiwa ini dengan beberapa jenis variabel acak kontinu (atau sistem variabel kontinu).

Misalkan kita mengukur koordinat suatu benda O untuk membentuk titik M, yang menggambarkan benda tersebut dalam panorama (scan) area tersebut. Kami tertarik jika kesalahan R pada posisi titik M tidak melebihi nilai yang ditentukan (Gbr. 2.4.1). Mari kita nyatakan kesalahan acak dalam mengukur koordinat suatu benda. Jelasnya, kejadian tersebut ekuivalen dengan titik acak M yang koordinatnya berada dalam radius lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan kata lain, agar kejadian tersebut terjadi, variabel acak dan harus memenuhi pertidaksamaan

Peluang suatu kejadian tidak lebih dari peluang terpenuhinya ketidaksetaraan (2.4.1). Probabilitas ini dapat ditentukan jika sifat-sifat variabel acak diketahui.

Hubungan organik antara peristiwa dan variabel acak merupakan ciri khasnya teori modern probabilitas, yang, jika memungkinkan, berpindah dari “skema kejadian” ke “skema variabel acak”. Skema terakhir, dibandingkan dengan skema pertama, adalah alat yang jauh lebih fleksibel dan universal untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan fenomena acak.

Definisi variabel acak. Banyak kejadian acak yang dapat diukur dengan variabel acak.

Acak adalah besaran yang mengambil nilai tergantung pada kombinasi keadaan acak.

Variabel acaknya adalah: jumlah pasien yang datang ke dokter, jumlah pelajar yang hadir, jumlah kelahiran di kota, angka harapan hidup. orang individu, kecepatan molekul, suhu udara, kesalahan dalam mengukur besaran apa pun, dll. Jika Anda memberi nomor pada bola-bola di dalam guci kira-kira seperti saat bermain undian lotre, maka secara acak mengeluarkan bola dari guci akan menunjukkan nomor yaitu a variabel acak.

Ada variabel acak diskrit dan kontinu.

Variabel acak disebut diskrit jika memerlukan sekumpulan nilai yang dapat dihitung: jumlah huruf pada halaman buku yang berubah-ubah, energi elektron dalam atom, jumlah rambut di kepala seseorang, jumlah butir jagung, jumlah molekul dalam volume gas tertentu, dll.

Variabel acak kontinu mengambil nilai apa pun dalam interval tertentu: suhu tubuh, berat biji-bijian V bulir gandum, koordinat letak peluru mengenai sasaran (peluru kita ambil sebagai poin materi), dll.

Distribusi variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit dianggap diberikan jika nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai ditunjukkan. Mari kita nyatakan variabel acak diskrit X, maknanya x 1 x 2,…., dan probabilitasnya P(x 1)= hal 1, P(x 2)= hal 2 dll. Koleksi X Dan P disebut distribusi variabel acak diskrit(Tabel 1).

Tabel 1

Variabel acaknya adalah nomor olahraga pada permainan “Sportlo-10”. Jumlah keseluruhan spesies adalah 49. Tunjukkan distribusi variabel acak ini (Tabel 3).

Tabel 3

sejak kapan aku = 1 dua kejadian kompleks lainnya juga terjadi: (A dan A dan A) dan (A dan A dan A), maka perlu menggunakan teorema penjumlahan probabilitas (2.4), untuk memperoleh probabilitas total untuk aku = 1, menambahkan ekspresi sebelumnya tiga kali:

Arti saya = 2 sesuai dengan kasus di mana peristiwa A terjadi dalam dua dari tiga percobaan. Dengan alasan serupa di atas, kita memperoleh kemungkinan penuh sementara:

Pada 1 = 3 peristiwa A muncul di ketiga percobaan. Dengan menggunakan teorema perkalian probabilitas, kita temukan

Berdasarkan pengamatan jangka panjang, pemanggilan dokter ke rumah tertentu diperkirakan dengan probabilitas 0,5. Temukan probabilitas bahwa empat panggilan dokter akan terjadi dalam enam hari; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Mari kita gunakan rumus (2.10):

Karakteristik numerik variabel acak diskrit. Dalam banyak kasus, bersamaan dengan distribusi variabel acak atau sebagai gantinya, informasi tentang besaran ini dapat diberikan melalui parameter numerik yang disebut karakteristik numerik dari variabel acak. Mari kita lihat yang paling umum.

Ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin
tentang probabilitas nilai-nilai ini:

Biarkan di jumlah besar tes N variabel acak diskrit X mengambil nilai x v x 2,..., xn masing-masing m 1, mg,..., t hal sekali. Nilai rata-ratanya adalah

Jika N bagus sekali kalau begitu frekuensi relatif t 1 / hal, t 2 / hal,... akan berjuang untuk probabilitas, dan nilai rata-rata- dengan ekspektasi matematis. Itu sebabnya ekspektasi matematis sering diidentikkan dengan rata-rata.

Temukan ekspektasi matematis untuk variabel acak diskrit, yang diberikan oleh angka di tepinya saat dilempar dadu(lihat Tabel 2).

Kami menggunakan rumus (2.11):

Temukan ekspektasi matematis untuk variabel acak diskrit, yang ditentukan oleh sirkulasi Sportloto (lihat Tabel 3). Menurut rumus (2.11), kita temukan

Nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit tersebar di sekitar ekspektasi matematisnya, beberapa di antaranya melebihi M(X), bagian - kurang M(X). Bagaimana cara memperkirakan derajat penyebaran suatu variabel acak relatif terhadap nilai rata-ratanya? Tampaknya untuk memecahkan masalah seperti itu kita harus menghitung deviasi semua variabel acak dari ekspektasi matematisnya X - M(X), dan kemudian temukan ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari penyimpangan ini: M[X - M(X)]. Sebagai bukti, kami mencatat bahwa nilai ini sama dengan nol, karena deviasi variabel acak dari ekspektasi matematis keduanya positif dan nilai-nilai negatif. Oleh karena itu, disarankan untuk mempertimbangkan keduanya nilai absolut penyimpangan M[X - M(X)], atau kuadratnya M[X - M(X)] 2 . Pilihan kedua ternyata lebih disukai, dan dari sinilah kita sampai pada konsep dispersi variabel acak.

Varians suatu variabel acak adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Artinya variansnya sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya.

Temukan varians dari variabel acak, yang diberikan oleh angka di tepi saat pelemparan sebuah dadu (lihat Tabel 2).

Ekspektasi matematis dari distribusi ini adalah 3,5. Mari kita tuliskan nilai kuadrat simpangan variabel acak dari ekspektasi matematis: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Dengan menggunakan rumus (2.12), dengan memperhitungkan (2.11), kita mencari variansnya:

Sebagai berikut dari (2.12), varians mempunyai dimensi kuadrat dimensi variabel acak. Untuk memperkirakan jarak suatu variabel acak dalam satuan dimensi yang sama, konsep ini diperkenalkan deviasi standar, yang dipahami sebagai akar kuadrat dari dispersi:

Distribusi dan karakteristik variabel acak kontinu. Variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan oleh hukum distribusi yang sama dengan hukum diskrit. Dalam hal ini, lakukan sebagai berikut.

Misalkan dP adalah probabilitas suatu variabel acak kontinu X mengambil nilai di antaranya X Dan X+ dx. Jelas, Irm adalah interval yang lebih panjang dx, semakin besar kemungkinannya dP: dP~dx. Selain itu, probabilitasnya juga harus bergantung pada Kuantitas acak itu sendiri, yang dekat dengan lokasi interval tersebut

Di mana f(x)- kepadatan probabilitas, atau fungsi distribusi probabilitas. Ini menunjukkan bagaimana probabilitas yang terkait dengan interval berubah dx variabel acak, bergantung pada nilai variabel itu sendiri:

Mengintegrasikan ekspresi (2.15) dalam batas yang sesuai, kami menemukan probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai apa pun dalam interval (ab):

Kondisi normalisasi variabel acak kontinu berbentuk

Seperti dapat dilihat dari (2.19), fungsi ini sama dengan probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai kurang dari X:

Untuk variabel acak kontinu, ekspektasi matematis dan variansnya dituliskan masing-masing dalam bentuk

Variabel acak adalah suatu besaran yang nilainya diperoleh dari hasil penghitungan ulang atau pengukuran dan tidak dapat ditentukan secara jelas oleh kondisi kemunculannya.

Artinya, variabel acak mewakili kejadian acak numerik.

Variabel acak dibagi menjadi dua kelas:

Variabel acak diskrit - mewakili nilai-nilai variabel ini bilangan asli, yang frekuensi dan probabilitasnya dikaitkan sebagai peristiwa individual.

Variabel acak kontinu - dapat mengambil nilai apa pun dari interval (interval) tertentu. Mengingat pada interval X1 sampai X2 nilai numerik himpunan tak terbatas, maka peluang munculnya variabel acak ХiЄ(Х1,Х2) akan bernilai tertentu adalah sangat kecil. Mengingat tidak mungkin untuk membuat daftar semua nilai variabel acak kontinu, dalam praktiknya digunakan nilai rata-rata interval (X1,X2).

Untuk variabel acak diskrit, fungsi y=P(x) disebut fungsi distribusi variabel acak dan mempunyai grafik - disebut poligon distribusi.

Kelompok karakteristik numerik berikut dibedakan: karakteristik posisi (ekspektasi matematis, modus, median, kuantil, dll.), dispersi (varians, deviasi standar, dll.), karakteristik bentuk kepadatan distribusi (indikator asimetri, kurtosis, dll).

Ekspektasi matematis (nilai rata-rata distribusi) adalah bilangan real, ditentukan tergantung pada jenis SV X dengan rumus:

Ekspektasi matematis ada jika deret (masing-masing integral) di sisi kanan rumus konvergen secara mutlak. Jika mX = 0, maka CB X disebut terpusat (dilambangkan dengan ).

Sifat-sifat ekspektasi matematis:

dimana C adalah konstanta;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

untuk setiap CB X dan Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

dimana KXY = M - kovarians SV X dan Y.

Momen awal distribusi SV X orde ke-k (k = 0, 1, 2, ...) disebut bilangan real, ditentukan dengan rumus:

nk = M =

Momen sentral distribusi SV X orde ke-k adalah bilangan yang ditentukan dengan rumus:

mk = M[(X-mX)k]=

Dari pengertian momen secara khusus dapat disimpulkan bahwa: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

Modus SVNT adalah bilangan real Mo(X) = x*, yang didefinisikan sebagai titik maksimum PR f(x). Suatu modus dapat mempunyai nilai tunggal (distribusi unimodal) atau mempunyai banyak nilai (distribusi multimodal).

Median SVNT adalah bilangan real Me(X) = x0 yang memenuhi syarat: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Kuantil tingkat p adalah bilangan real tp yang memenuhi persamaan: F(tp) = p. Secara khusus, dari definisi median dapat disimpulkan bahwa x0 = t0.5.

Varians CB X adalah bilangan non-negatif D[X] = DХ, ditentukan dengan rumus:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Dispersi terjadi jika deret (masing-masing integral) di sisi kanan persamaan konvergen. Sifat dispersi:

D[C] = 0, dimana C adalah konstanta;

D = C2×D[X];

dispersinya jelas tidak berubah tergantung perpindahan SV X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

dimana KXY = M - kovarians SV X dan Y;

Angka non-negatif sХ = dipanggil deviasi standar SV X. Ia memiliki dimensi SV X dan mendefinisikan interval dispersi kuadrat rata-rata standar tertentu, simetris terhadap ekspektasi matematis. (Nilai sХ kadang-kadang disebut deviasi standar). SV X disebut terstandar jika mX = 0 dan sX = 1. Jika nilai X = const (yaitu X tidak acak), maka D[X] = 0.

Indikator asimetri PR adalah koefisien asimetri (“skewness”) distribusi: A = m3/s3X. Indikator kurtosis PR adalah koefisien kurtosis (“puncak”) sebaran: E = (m4/s4X)-3. Khususnya untuk distribusi normal E = 0.

Kumpulan teratur dari n variabel acak (SV) X1, X2, ..., Xn, dianggap bersama-sama dalam pengalaman ini, disebut SV berdimensi n atau vektor acak dan dilambangkan dengan = (X1, X2, ..., Xn).

Fungsi distribusi (DF) suatu vektor acak berdimensi n adalah fungsi dari n variabel riil x1, x2, ..., xn, yang didefinisikan sebagai peluang pemenuhan gabungan n pertidaksamaan: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает properti berikut:

1 0 £F(x, y) £1;

2 F(x, y) adalah fungsi argumennya yang tidak menurun;

4.

Properti 4 biasanya disebut kondisi konsistensi. Artinya, PDF masing-masing komponen vektor acak dapat ditemukan dengan meneruskan ke limit fungsi distribusi bersama komponen-komponen ini. Hit Probabilitas titik acak pada bidang (X, Y) menjadi persegi panjang yang sisi-sisinya sejajar sumbu koordinat, dapat dihitung menggunakan DF dengan rumus:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Vektor acak dua dimensi (X,Y) disebut vektor acak tipe diskrit (DRV) jika himpunan nilai yang mungkin G(x, y) paling banyak dapat dihitung. Hukum distribusinya dapat ditentukan dengan tabel dua dimensi dari daftar kemungkinan nilai pasangan komponen ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) dan bersesuaian dengan setiap pasangan tersebut probabilitas pij = P(X = xi, Y = yj ), memenuhi kondisi

Vektor acak dua dimensi (X, Y) disebut vektor acak bertipe kontinu (CVNT) jika terdapat fungsi non-negatif f(x, y) yang disebut kepadatan distribusi probabilitas (PD) dari vektor acak tersebut itu:

f(x, y) = , maka F(x, y) = .

Probabilitas PR mempunyai sifat sebagai berikut:

f(x, y) ³ 0, (x, y) О R2;

- kondisi normalisasi.

Probabilitas PR dari masing-masing komponen vektor acak dinyatakan sebagai integral dari kepadatan sendi:

f(x) = f(y) = .

Peluang suatu titik acak jatuh ke dalam luas kuadrat sembarang S pada suatu bidang ditentukan oleh rumus

P((X, Y) О S)= .

Distribusi kepadatan probabilitas bersyarat dari komponen acak X, asalkan komponen Y telah mengambil nilai tertentu y, adalah fungsi f(x/y) dari variabel riil x О R: f(x/y) = f(x , kamu)/f(kamu) . Didefinisikan dengan cara yang sama kepadatan konvensional distribusi probabilitas komponen acak Y, asalkan komponen X mengambil nilai x tertentu: f(y/x) = f(x, y)/f(x). SV X1, X2, ..., Xn disebut bebas (bersama) jika untuk kejadian (Xi О Bi), i = 1, 2, ..., n, dimana B1, B2, ... Bn adalah himpunan bagian dari garis lurus numerik, persamaan berlaku: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn) .

Teorema: SV X1, X2, .... Xn bebas jika dan hanya jika di sembarang titik x = (x1, x2, ..., xn) persamaan berlaku: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (atau f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f ( xn)).

Untuk vektor acak dua dimensi (X, Y), karakteristik numerik berikut diperkenalkan.

Momen awal orde r + s suatu vektor acak (X, Y) adalah bilangan real nr,s, yang ditentukan dengan rumus:

nr,s = M =

Momen awal nr,s terjadi jika integral (masing-masing seri) di sisi kanan persamaan konvergen mutlak. Khususnya, nr,0 = M - yang sesuai momen awal komponen X. Suatu vektor dengan koordinat tidak acak (mX, mY) = (n1,0, n0,1) disebut ekspektasi matematis dari suatu vektor acak (X, Y) atau pusat dispersi.

Momen pusat orde r + s dari suatu vektor acak (X, Y) adalah bilangan real mr,s yang ditentukan oleh rumus

tuan,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Momen pusat mr,s terjadi jika integral (seri) di sisi kanan persamaan konvergen mutlak. Vektor yang koordinatnya tidak acak (DX, DY) = (m2,0, m0,2) disebut varians dari vektor acak tersebut.

Momen pusat m1,1 disebut momen korelasi(menurut kovarians): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Koefisien korelasi dua komponen acak X dan Y dari vektor acak adalah kovarians yang dinormalisasi

rXY = KXY/(sXsY).

Sifat kovarians (dan koefisien korelasi).

Konsep variabel acak

Acak adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, mengambil satu atau lain (tetapi hanya satu) nilai yang mungkin, tidak diketahui sebelumnya, bervariasi dari pengujian ke pengujian dan bergantung pada keadaan acak. Berbeda dengan peristiwa acak, yang karakteristik kualitatif hasil acak tes, variabel acak mencirikan hasil tes secara kuantitatif. Contoh variabel acak meliputi ukuran benda kerja, kesalahan hasil pengukuran parameter produk atau lingkungan. Di antara variabel acak yang ditemui dalam praktik, dua jenis utama dapat dibedakan: diskrit dan kontinu.

Diskrit adalah variabel acak yang mengambil himpunan nilai yang dapat dihitung berhingga atau tak terhingga. Misalnya: hit rate dengan tiga tembakan; jumlah produk cacat dalam batch n buah; jumlah panggilan yang diterima di bursa telepon pada siang hari; jumlah kegagalan elemen perangkat selama periode waktu tertentu saat menguji keandalannya; jumlah tembakan hingga sasaran pertama mengenai sasaran, dll.

Kontinu adalah variabel acak yang dapat mengambil nilai apa pun dari interval berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Misalnya: kesalahan saat mengukur jangkauan radar; waktu aktif sirkuit mikro; kesalahan pembuatan suku cadang; konsentrasi garam di air laut dll.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf X,Y, dst., dan kemungkinan nilainya dengan x,y, dst. Untuk mendefinisikan variabel acak, tidak cukup hanya dengan mencantumkan semua nilai yang mungkin. Penting juga untuk mengetahui seberapa sering nilai-nilai tertentu muncul sebagai hasil pengujian dalam kondisi yang sama, yaitu perlu untuk menetapkan probabilitas kemunculannya. Himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai merupakan distribusi variabel acak.

Hukum distribusi variabel acak

Hukum distribusi variabel acak adalah korespondensi antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitasnya yang bersesuaian. Variabel acak dikatakan patuh hukum ini distribusi. Dua variabel acak dipanggil mandiri, jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil besaran lainnya. Jika tidak, variabel acak akan dipanggil bergantung. Beberapa variabel acak dipanggil saling mandiri, jika hukum distribusi sejumlah besaran tersebut tidak bergantung pada kemungkinan nilai besaran lainnya.

Hukum distribusi suatu variabel acak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi distribusi, atau kepadatan distribusi. Tabel yang berisi kemungkinan nilai variabel acak dan probabilitas yang sesuai adalah bentuk paling sederhana menentukan hukum distribusi variabel acak.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(array)

Spesifikasi tabel hukum distribusi hanya dapat digunakan untuk variabel acak diskrit dengan nomor terbatas nilai yang mungkin. Bentuk tabel yang menentukan hukum variabel acak disebut juga deret distribusi.

Untuk lebih jelasnya, rangkaian distribusi disajikan secara grafis. Pada representasi grafis V sistem persegi panjang koordinat, sumbu absis menunjukkan semua kemungkinan nilai variabel acak, dan sumbu ordinat menunjukkan probabilitas yang sesuai. Titik (x_i,p_i) yang dihubungkan oleh ruas garis lurus disebut poligon distribusi(Gbr. 5). Perlu diingat bahwa menghubungkan titik-titik (x_i,p_i) dilakukan hanya untuk tujuan kejelasan, karena pada interval antara x_1 dan x_2, x_2 dan x_3, dst. tidak ada nilai yang dapat diambil oleh variabel acak X , jadi peluang kemunculannya dalam interval ini sama dengan nol.

Poligon distribusi, seperti halnya deret distribusi, adalah salah satu bentuk penetapan hukum distribusi suatu variabel acak diskrit. Mereka mungkin punya bentuk yang berbeda, namun, setiap orang memilikinya milik bersama: jumlah ordinat simpul-simpul poligon distribusi, yang merupakan jumlah probabilitas semua nilai yang mungkin dari variabel acak, selalu sama dengan satu. Properti ini mengikuti fakta bahwa semua nilai yang mungkin dari variabel acak X terbentuk kelompok penuh kejadian yang tidak kompatibel, jumlah probabilitasnya sama dengan satu.

Fungsi distribusi probabilitas dan sifat-sifatnya

Fungsi distribusi adalah yang paling banyak bentuk umum menetapkan hukum distribusi. Ini digunakan untuk menentukan variabel acak diskrit dan kontinu. Biasanya dilambangkan F(x) . Fungsi distribusi menentukan probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari nilai tetap bilangan real x , yaitu F(x)=P\(X fungsi distribusi kumulatif.

Interpretasi geometris dari fungsi distribusi sangat sederhana. Jika suatu variabel acak dianggap sebagai titik acak X pada sumbu Sapi (Gbr. 6), yang sebagai hasil pengujian dapat mengambil satu atau beberapa posisi pada sumbu, maka fungsi distribusi F(x) adalah probabilitas bahwa titik acak X hasil pengujian akan jatuh ke kiri titik x.

Untuk variabel acak diskrit X yang dapat mengambil nilai, fungsi distribusinya berbentuk

F(x)=\jumlah\batas_(x_i
dimana pertidaksamaan x_i

Variabel acak kontinu mempunyai fungsi distribusi kontinu, grafik fungsi tersebut berbentuk kurva halus (Gbr. 8).

Mari kita perhatikan sifat umum fungsi distribusi.

Properti 1. Fungsi distribusi non-negatif, fungsi antara nol dan satu:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Validitas sifat ini mengikuti fakta bahwa fungsi distribusi F(x) didefinisikan sebagai probabilitas suatu kejadian acak yang terdiri dari fakta bahwa X

Sifat 2. Peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval [\alpha;\beta) sama dengan selisih antara nilai fungsi distribusi di ujung interval ini, yaitu.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Oleh karena itu, probabilitas setiap nilai individual dari variabel acak kontinu adalah nol.

Sifat 3. Fungsi distribusi suatu variabel acak merupakan fungsi tak menurun, yaitu. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Properti 4. Pada minus tak terhingga fungsi distribusinya sama dengan nol, dan pada plus tak terhingga sama dengan satu, yaitu. \lim_(x\ke-\infty)F(x)=0 Dan \lim_(x\ke+\infty)F(x)=1.

Contoh 1. Fungsi distribusi variabel acak kontinu diberikan oleh ekspresi

F(x)=\mulai(kasus)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(kasus).

Temukan koefisien a dan plot F(x) . Tentukan peluang bahwa variabel acak X akan mengambil nilai pada interval sebagai hasil percobaan.

Larutan. Karena fungsi distribusi variabel acak kontinu X kontinu, maka untuk x=3 kita memperoleh a(3-1)^2=1. Oleh karena itu a=\frac(1)(4) . Grafik fungsi F(x) ditunjukkan pada Gambar. 9.

Berdasarkan properti kedua dari fungsi distribusi, kita punya

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Kepadatan distribusi probabilitas dan sifat-sifatnya

Fungsi distribusi variabel acak kontinu adalah karakteristik probabilistiknya. Namun kelemahannya adalah sulit untuk menilai sifat sebaran suatu variabel acak di lingkungan kecil suatu titik pada sumbu numerik. Gagasan yang lebih jelas tentang sifat distribusi variabel acak kontinu diberikan oleh fungsi yang disebut kepadatan distribusi probabilitas, atau fungsi distribusi diferensial dari variabel acak.

Kepadatan distribusi f(x) sama dengan turunan dari fungsi distribusi F(x), yaitu

F(x)=F"(x).

Arti dari kerapatan distribusi f(x) adalah menunjukkan seberapa sering suatu variabel acak X muncul di suatu lingkungan titik x ketika mengulangi percobaan. Kurva yang menggambarkan kepadatan distribusi f(x) suatu variabel acak disebut kurva distribusi.

Mari kita pertimbangkan sifat kepadatan distribusi.

Properti 1. Kepadatan distribusi tidak negatif, yaitu.

F(x)\geqslant0.

Properti 2. Fungsi distribusi variabel acak sama dengan integral kepadatan dalam interval dari -\infty hingga x, yaitu.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Properti 3. Peluang suatu variabel acak kontinu X jatuh ke suatu bagian (\alpha;\beta) sama dengan integral kepadatan distribusi yang diambil pada bagian ini, yaitu.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Sifat 4. Integral pada batas kerapatan distribusi yang tak terhingga sama dengan satu:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Contoh 2. Variabel acak X tunduk pada hukum distribusi dengan kepadatan

F(x)=\mulai(kasus)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(kasus)

Tentukan koefisien a; membuat grafik kepadatan distribusi; tentukan peluang suatu variabel acak masuk ke dalam area dari 0 sampai \frac(\pi)(2), tentukan fungsi distribusinya dan buat grafiknya.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Besar|_(0)^(\pi)=2a.

Dengan mempertimbangkan properti 4 dari kepadatan distribusi, kita menemukan a=\frac(1)(2) . Oleh karena itu, kepadatan distribusi dapat dinyatakan sebagai berikut:

F(x)=\mulai(kasus)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(kasus).

Grafik kepadatan distribusi pada Gambar. 10. Berdasarkan properti 3, kita punya

P\!\kiri\(0

Untuk menentukan fungsi distribusi, kita menggunakan properti 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Besar|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Jadi kita punya

F(x)=\mulai(kasus)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(kasus).

Grafik fungsi distribusi ditunjukkan pada Gambar. 11

Karakteristik numerik dari variabel acak

Hukum distribusi sepenuhnya mencirikan variabel acak dari sudut pandang probabilistik. Tetapi ketika memecahkan sejumlah masalah praktis, tidak perlu mengetahui semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai, tetapi akan lebih mudah untuk menggunakan beberapa indikator kuantitatif. Indikator seperti ini disebut numerik karakteristik variabel acak. Yang utama adalah ekspektasi matematis, dispersi, momen berbagai orde, modus dan median.

Ekspektasi matematis kadang-kadang disebut nilai rata-rata suatu variabel acak. Pertimbangkan variabel acak diskrit X yang mengambil nilainya x_1,x_2,\ltitik,x_n dengan probabilitas yang sesuai p_1,p_2,\ltitik,p_n Mari kita tentukan mean aritmatika dari nilai-nilai variabel acak, yang dibobotkan berdasarkan probabilitas kemunculannya. Jadi, kami menghitung nilai rata-rata variabel acak, atau ekspektasi matematisnya M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( saya=1)^(n)p_i).

Mengingat bahwa \jumlah\batas_(i=1)^(n)p_i=1 kita dapatkan

M(X)=\jumlah\batas_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Jadi, ekspektasi matematis Variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai.

Untuk variabel acak kontinu, ekspektasi matematisnya

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Ekspektasi variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin termasuk dalam segmen tersebut,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Dengan menggunakan fungsi distribusi probabilitas F(x), ekspektasi matematis dari suatu variabel acak dapat dinyatakan sebagai berikut:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Sifat ekspektasi matematis

Sifat 1. Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Properti 2. Ekspektasi matematis dari produk dua variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematisnya:

M(XY)=M(X)M(Y).

Sifat 3. Ekspektasi matematis dari suatu nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri:

M(c)=c.

Sifat 4. Pengganda konstan suatu variabel acak dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis:

M(cX)=cM(X).

Sifat 5. Ekspektasi matematis dari deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya sama dengan nol:

M(X-M(X))=0.

Contoh 3. Tentukan ekspektasi matematis jumlah produk cacat dalam sampel lima produk, jika variabel acak X (jumlah produk cacat) diberikan oleh deret distribusi.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Larutan. Menggunakan rumus (4.1) kita temukan

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Mode M_0 dari variabel acak diskrit nilai yang paling mungkin disebut.

Mode M_0 dari variabel acak kontinu nilainya disebut, yang sesuai dengan nilai kepadatan distribusi terbesar. Secara geometris, modus diartikan sebagai absis titik maksimum global kurva distribusi (Gbr. 12).

Median M_e dari variabel acak nilainya disebut yang persamaannya benar

P\(X Aku\).

Dari sudut pandang geometri, median adalah absis titik di mana luas bangun yang dibatasi oleh kurva distribusi probabilitas dan sumbu absis dibagi dua (Gbr. 12). Karena seluruh luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x sama dengan satu, maka fungsi distribusi pada titik yang bersesuaian dengan median adalah 0,5, yaitu.

F(M_e)=P\(X

Dengan menggunakan dispersi dan deviasi standar, seseorang dapat menilai dispersi variabel acak di sekitar ekspektasi matematis. Sebagai ukuran sebaran suatu variabel acak, digunakan ekspektasi matematis dari simpangan kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya, yang disebut varians dari variabel acak X dan menunjukkan D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Untuk variabel acak diskrit, variansnya sama dengan jumlah produk simpangan kuadrat nilai variabel acak dari ekspektasi matematisnya dan probabilitas yang sesuai:

D[X]=\jumlah\batas_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Untuk variabel acak kontinu yang hukum distribusinya ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas f(x) , variansnya

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Dimensi varians sama dengan kuadrat dimensi variabel acak dan oleh karena itu tidak dapat diinterpretasikan secara geometris. Simpangan baku suatu variabel acak, yang dihitung dengan rumus, tidak memiliki kelemahan ini

\sigma=\sqrt(D[X]).

Sifat dispersi variabel acak

Sifat 1. Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians variabel-variabel berikut:

D=D[X]+D[Y].

Sifat 2. Varians suatu variabel acak sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~~(4.3).

Properti 3. Varians dari nilai konstan adalah nol:

D[c]=0.

Sifat 4. Pengganda konstan suatu variabel acak dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan terlebih dahulu mengkuadratkannya:

D=c^2D[X].

Sifat 5. Varians hasil kali dua variabel acak bebas X dan Y ditentukan oleh rumus

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Contoh 4. Hitung varians jumlah produk cacat untuk distribusi Contoh 3.

Larutan. Menurut definisi varians

Generalisasi karakteristik numerik dasar dari variabel acak adalah konsep momen dari variabel acak.

Momen awal orde ke-q variabel acak adalah ekspektasi matematis dari nilai X^q:

Momen awal orde pertama mewakili ekspektasi matematis, dan momen sentral orde kedua mewakili varians dari variabel acak.

Momen sentral yang dinormalisasi orde ketiga mencirikan kecondongan atau asimetri distribusi ( koefisien asimetri):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Momen sentral orde keempat yang dinormalisasi berfungsi sebagai ciri puncak atau kerataan distribusi ( kelebihan):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Contoh 5. Variabel acak X ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas

F(x)=\mulai(kasus)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(kasus).

Temukan koefisien a, ekspektasi matematis, dispersi, skewness dan kurtosis.

Larutan. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva distribusi secara numerik sama dengan

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\kanan|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Mengingat luas ini harus sama dengan satu, kita menemukan a=\frac(3)(8) . Dengan menggunakan rumus (4.2) kita menemukan ekspektasi matematisnya:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \kiri.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\kanan|_(0)^(2)=1,\!5.

Mari kita tentukan dispersi menggunakan rumus (4.3). Untuk melakukan ini, pertama-tama kita cari ekspektasi matematis dari kuadrat variabel acak:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\kiri.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\kanan|_(0)^(2)=2,\!4.

Dengan demikian,

\mulai(sejajar)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\kira-kira0,\!3873.\end(sejajar)

Dengan menggunakan momen awal, kita menghitung momen sentral orde ketiga dan keempat:

\begin(sejajar)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\kiri.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\kiri.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\kanan|_0^2\kira-kira6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(sejajar)

Karakteristik numerik dari mean aritmatika dari n variabel acak independen

Membiarkan x_1,x_2,\ltitik,x_n- nilai variabel acak X yang diperoleh dalam n tes independen. Ekspektasi matematis dari variabel acak adalah M(X) , dan variansnya adalah D[X] . Nilai-nilai ini dapat dianggap sebagai variabel acak independen X_1,X_2,\ltitik,X_n dengan ekspektasi dan varian matematis yang sama:

M(X_i)=M(X); \kuad D=D[X],~~i=1,2,\ltitik,n.

Rata-rata aritmatika dari variabel acak ini

\overline(X)=\jumlah\batas_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Dengan menggunakan sifat ekspektasi matematis dan varians variabel acak, kita dapat menulis:

\begin(sejajar)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\jumlah\batas_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\kiri[\frac(1)(n)\jumlah\batas_(i=1)^(n)X_i\kanan]=\frac(1)(n^2)\jumlah\batas_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(sejajar)

Jika klasik teori probabilitas mempelajari terutama peristiwa-peristiwa dan kemungkinan terjadinya (kejadian), lalu modern teori probabilitas mempelajari fenomena acak dan polanya menggunakan variabel acak. Konsep variabel acak merupakan hal mendasar dalam teori probabilitas. Bahkan sebelumnya, diadakan acara-acara yang berupa kemunculan suatu nomor tertentu. Misalnya pada saat melempar dadu, angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 bisa saja muncul. Tidak mungkin menentukan terlebih dahulu jumlah poin yang muncul, karena bergantung pada banyak alasan acak yang tidak dapat diambil seluruhnya memperhitungkan. Dalam pengertian ini, jumlah poin adalah nilai acak, dan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah nilai yang mungkin nilai ini.

Variabel acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, mempunyai satu atau lain (dan satu-satunya) kemungkinan nilai numerik, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada alasan acak yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, dan nilai yang memungkinkannya dengan huruf kecil yang sesuai. Misalnya, jika suatu variabel acak memiliki tiga nilai yang mungkin, maka nilai tersebut dilambangkan sebagai berikut :. Untuk kenyamanan, kami akan menulis: .

CONTOH 1. Banyaknya anak laki-laki yang lahir di antara seratus bayi baru lahir merupakan nilai acak yang mempunyai kemungkinan nilai sebagai berikut: 0, 1, 2, ..., 100.

CONTOH 2. Jarak yang ditempuh proyektil ketika ditembakkan dari senjata juga merupakan nilai acak. Memang, jarak tidak hanya bergantung pada pemasangan penglihatan, tetapi juga pada banyak alasan lain (kekuatan dan arah angin, suhu, dll.) yang tidak dapat sepenuhnya diperhitungkan. Nilai-nilai yang mungkin dari besaran ini jelas termasuk dalam interval (interval) tertentu.

Perhatikan bahwa setiap kejadian acak dapat dikaitkan dengan beberapa variabel acak yang mengambil nilai dari R. Misalnya, pengalaman - menembak sasaran; peristiwa - mencapai sasaran; variabel acak - jumlah pukulan tepat sasaran.

Mari kita kembali ke contoh yang diberikan di atas. Yang pertama, variabel acak dapat mengambil salah satu dari kemungkinan nilai berikut: 0, 1, 2,..., 100. Nilai-nilai ini dipisahkan satu sama lain dengan interval di mana tidak ada nilai yang mungkin. Jadi, dalam contoh ini, variabel acak mengambil nilai individual, terisolasi, dan mungkin.

Pada contoh kedua, variabel acak dapat mengambil nilai interval mana pun. Di sini tidak mungkin untuk memisahkan satu nilai yang mungkin dari yang lain dengan interval yang tidak mengandung nilai yang mungkin dari variabel acak.

Dari apa yang telah dikatakan, kita dapat menyimpulkan bahwa disarankan untuk membedakan antara variabel acak yang hanya mengambil nilai individual dan terisolasi, dan variabel acak yang nilai kemungkinannya memenuhi interval tertentu.

Diskrit ( berselang ) Variabel acak adalah variabel acak yang mengambil himpunan 1 nilai berbeda yang berhingga atau dapat dihitung. Dengan kata lain, ini adalah variabel acak yang mengambil kemungkinan nilai yang terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu.

Banyaknya nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit bisa berhingga atau tak terhingga.

Kontinu disebut variabel acak yang dapat mengambil semua nilai dari suatu interval berhingga atau tak terhingga pada sumbu bilangan real.

Jelasnya, pertama, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Kedua, variabel acak diskrit adalah kasus khusus dari variabel acak kontinu.

Hukum distribusi probabilitas

SAYA.

Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit

Pada pandangan pertama, tampaknya untuk mendefinisikan variabel acak diskrit, cukup dengan mencantumkan semua kemungkinan nilainya. Pada kenyataannya, hal ini tidak terjadi: variabel acak yang berbeda terkadang memiliki daftar nilai yang mungkin sama, tetapi probabilitas yang sesuai dari nilai-nilai ini mungkin berbeda. Oleh karena itu, untuk karakterisasi yang lengkap, mengetahui nilai suatu variabel acak saja tidak cukup; Anda juga perlu mengetahui seberapa sering nilai-nilai tersebut muncul dalam suatu eksperimen ketika diulang, yaitu. Anda juga perlu menunjukkan kemungkinan terjadinya. Pertimbangkan variabel acak

, . . . , ,

. Munculnya masing-masing nilai yang mungkin menunjukkan bahwa salah satu peristiwa yang membentuk kelompok lengkap 2 telah terjadi. Mari kita asumsikan bahwa probabilitas kejadian-kejadian ini diketahui: Kemudian:korespondensi yang menetapkan hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitasnya disebut hukum distribusi probabilitas variabel acak

, atau sederhananya – hukum distribusi variabel acak.

Hukum distribusi probabilitas suatu variabel acak tertentu dapat ditentukan secara tabel (deret distribusi), secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Saat menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit dalam sebuah tabel, baris pertama tabel berisi nilai yang mungkin, dan baris kedua berisi probabilitasnya, yaitu.

Untuk lebih jelasnya, hukum distribusi variabel acak diskrit juga dapat digambarkan secara grafis, yang titik-titiknya dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang dan kemudian dihubungkan dengan segmen garis. Gambar yang dihasilkan disebut poligon distribusi. Dalam hal ini, jumlah ordinat poligon yang dibangun sama dengan satu.

,

apa yang menentukan hukum distribusi variabel acak tertentu.

II. Hukum distribusi probabilitas variabel acak kontinu

Ingatlah bahwa variabel acak diskrit ditentukan oleh daftar semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Metode pengaturan ini tidak umum: tidak berlaku, misalnya, untuk variabel acak kontinu.

Memang, pertimbangkan variabel acak yang kemungkinan nilainya memenuhi interval. Apakah mungkin untuk membuat daftar semua nilai yang mungkin? Jelas hal ini tidak dapat dilakukan. Contoh ini menunjukkan kelayakan memberikan cara umum untuk menentukan jenis variabel acak apa pun (seperti yang telah disebutkan, variabel acak diskrit adalah kasus khusus dari variabel acak kontinu). Untuk tujuan ini, mereka memperkenalkan fungsi integral distribusi.

Misalkan adalah variabel yang mengambil nilai real sembarang (pada sumbu :). Pertimbangkan kejadian dimana variabel acak akan mempunyai nilai yang lebih kecil. Lalu, kemungkinannya acara tergantung pada, mis. adalah fungsi dari.

Fungsi ini biasanya dilambangkan dengan dan disebut fungsi distribusi variabel acak atau juga fungsi distribusi integral. Dengan kata lain: fungsi distribusi kumulatif

.

disebut fungsi yang menentukan untuk setiap nilai R probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai lebih kecil, yaitu.

Secara geometris persamaan ini dapat diartikan sebagai berikut: ada kemungkinan suatu variabel acak mempunyai nilai yang diwakili pada sumbu bilangan dengan sebuah titik yang terletak di sebelah kiri titik tersebut.

Sifat-sifat fungsi integral:

Pembuktian sifat ini mengikuti definisi fungsi integral sebagai probabilitas: probabilitas selalu berupa bilangan non-negatif yang tidak melebihi satu.
Memang benar, biarlah variabel acak mempunyai nilai yang lebih kecil; demikian pula,

atau, yang sama:

Itu yang perlu ditunjukkan. Properti ini cukup jelas. Jadi, jika - acara yang dapat diandalkan, dan

Perhatikan peristiwa berikut: . Kami melihatnya—yaitu. peristiwa tidak kompatibel. Kemudian ,Tetapi

Hasilnya, kita dapat menulis :, yang perlu kita tunjukkan.

.

Untuk peubah acak kontinu yang lebih jelas bukan integralnya, melainkan fungsi distribusi diferensial atau yang disebut densitas distribusi peubah acak tersebut.