Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip trupmenas paverčiant po kablelio, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą įprastomis trupmenomis. Čia apibūdinsime trupmenų konvertavimo taisykles ir pateiksime detalūs sprendimai tipiniai pavyzdžiai.
Puslapio naršymas.
Trupmenų konvertavimas į dešimtaines
Pažymėkime seką, kuria nagrinėsime trupmenas paverčiant po kablelio.
Pirmiausia pažiūrėsime, kaip pateikti trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... kaip po kablelio. Tai paaiškinama tuo, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų rašymo forma su vardikliais 10, 100, ....
Po to eisime toliau ir parodysime, kaip parašyti bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik tas, kurių vardikliai yra 10, 100, ...) kaip dešimtainę trupmeną. Taip traktuojant paprastąsias trupmenas, gaunamos ir baigtinės, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
Dabar pakalbėkime apie viską iš eilės.
Paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai 10, 100, ..., konvertavimas į dešimtaines
Kai kurias tinkamas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“, kad jas būtų galima konvertuoti į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenai 9/10 paruošti nereikia.
„Preliminarus paruošimas“ tinkamų paprastųjų trupmenų konvertavimui į dešimtaines trupmenas susideda iš tiek nulių pridėjimo kairėje skaitiklio pusėje, kad bendras kiekis skaitmenys tapo lygūs nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys taip.
Paruošę tinkamą trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainį skaičių.
Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:
- rašyti 0;
- po jo dedame dešimtainį tašką;
- Užrašome skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).
Apsvarstykime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.
Pavyzdys.
Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.
Sprendimas.
Vardiklyje yra skaičius 100, kuris turi du nulius. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo žymėjimas yra dviejų skaitmenų, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.
Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio užrašome skaičių 37 ir gauname dešimtainę trupmeną 0,37.
Atsakymas:
0,37 .
Norėdami sustiprinti taisyklingų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... konvertavimo į dešimtaines trupmenas įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Parašykite tinkamą trupmeną 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.
Sprendimas.
Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o nulių skaičius vardiklyje yra 7, taigi bendroji trupmena reikia pasiruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname.
Belieka tik sukurti reikiamą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirmiausia rašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, rašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107, todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107.
Atsakymas:
0,0000107 .
Netinkamos trupmenos nereikalauja jokio pasiruošimo konvertuojant į dešimtaines dalis. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... konvertuoti į dešimtaines:
- užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
- atskiras kablelis dešinėje yra tiek skaitmenų, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.
Panagrinėkime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.
Pavyzdys.
Konvertuokite netinkamą trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.
Sprendimas.
Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to turime dešimtainę trupmeną 568880.38009.
Atsakymas:
568 880,38009 .
Norėdami konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, arba 1000, ..., galite konvertuoti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, o tada konvertuoti gautą skaičių. trupmeną į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių trupmeninis vardiklis yra 10, 100 arba 1000 ..., konvertuoti į dešimtaines trupmenas:
- jei reikia, atlikite " preliminarus pasiruošimas» pradinio mišraus skaičiaus trupmeninė dalis, pridedant reikalingas kiekis nuliai skaitiklio kairėje;
- užsirašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
- įdėti dešimtainį tašką;
- Užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais.
Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriame atliekame visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pateiktas kaip dešimtainė trupmena.
Pavyzdys.
Išversti mišrus skaičius iki dešimtainės trupmenos.
Sprendimas.
Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, tačiau skaitiklyje yra skaičius 17, susidedantis iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklyje kairėje turime pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius būtų lygus nuliai vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.
Dabar užrašome visą pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais, tai yra, 0017, ir gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.
Trumpai užrašykite visą sprendimą: 
.
Be jokios abejonės, formoje pirmiausia buvo galima pavaizduoti mišrų skaičių tinkama trupmena, tada konvertuokite į dešimtainę trupmeną. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip: .
Atsakymas:
23,0017 .
Trupmenų konvertavimas į baigtinius ir begalinius periodinius dešimtainius
Į dešimtaines trupmenas gali būti paverčiamos ne tik paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, ..., bet ir paprastosios trupmenos su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.
Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena lengvai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, o tai pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4.
Kitais atvejais, norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, turite naudoti kitą metodą, kurį dabar nagrinėsime.
Norint paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis pirmiausia pakeičiamas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas natūraliųjų skaičių stulpeliu, o dalinyje dedamas kablelis po kablelio, kai baigiasi visos dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.
Pavyzdys.
Konvertuokite trupmeną 621/4 į dešimtainę.
Sprendimas.
Pavaizduokime skaičių skaitiklyje 621 kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio po kablelio ir kelis nulius. Pirmiausia pridėkime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.
Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 stulpeliu. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo ilgo padalijimo natūraliuosius skaičius, po jų pasiekiame tokį paveikslėlį: 
Taip gauname dividendų dešimtainį kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir toliau dalijame stulpelyje, nekreipdami dėmesio į kablelius: 
Tai užbaigia padalijimą ir gauname dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.
Atsakymas:
155,25 .
Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Konvertuokite trupmeną 21/800 į dešimtainę.
Sprendimas.
Norėdami konvertuoti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę, dešimtainės trupmenos stulpeliu padalijame 21 000... iš 800. Atlikę pirmąjį veiksmą, į koeficientą turėsime įdėti kablelį, o tada tęsti padalijimą: 
Galiausiai gavome likusią 0 dalį, tai užbaigia bendrosios trupmenos 21/400 konvertavimą į dešimtainę trupmeną ir gavome dešimtainę trupmeną 0,02625.
Atsakymas:
0,02625 .
Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, liekanos 0 vis tiek negauname. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai pradeda kartotis periodiškai, o koeficiento skaičiai taip pat kartojasi. Tai reiškia, kad pradinė trupmena paverčiama be galo periodine dešimtaine trupmena. Parodykime tai pavyzdžiu.
Pavyzdys.
Parašykite trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.
Sprendimas.
Norėdami konvertuoti bendrąją trupmeną į dešimtainę, padalinkite iš stulpelio: 
Jau aišku, kad dalijimosi likučiai 8 ir 36 pradėjo kartotis, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė bendroji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818...=0,43(18).
Atsakymas:
0,43(18) .
Norėdami užbaigti šį klausimą, išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti paverstos baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.
Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia trupmeną sumažiname), ir turime išsiaiškinti, į kurią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.
Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai paversti galutine dešimtaine trupmena pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. Pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Tik trupmenos, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ..., gali būti redukuojami į tokius vardiklius. O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliai? Skaičiai 10, 100, ... leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iš to išplaukia, kad dalikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. gali būti tik skaičiai, kurių skilimai į pagrindiniai veiksniai yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5.
Dabar galime padaryti bendra išvada apie trupmenų konvertavimą į dešimtaines:
- jei skaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
- jei vardiklio išplėtime, be dvejetų ir penketukų, yra ir kitų pirminiai skaičiai, tada ši trupmena konvertuojama į begalinę dešimtainę periodinę trupmeną.
Pavyzdys.
Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurios iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 gali būti paverstos galutine dešimtaine trupmena, o kurias galima paversti tik periodine trupmena.
Sprendimas.
Trupmenos 47/20 vardiklis suskaidomas į pirminius koeficientus kaip 20=2·2·5. Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl ši trupmena gali būti sumažinta iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl gali būti konvertuojama į galutinį dešimtainį skaičių. trupmena.
Trupmenos 7/12 vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius yra 12=2·2·3. Kadangi joje yra pirminis koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinis dešimtainis skaičius, bet gali būti konvertuojamas į periodinį dešimtainį skaičių.
Frakcija 21/56 – susitraukiantis, po susitraukimo įgauna formą 3/8. Vardiklio faktorinavimas į pirminius koeficientus turi tris koeficientus, lygius 2, todėl bendrąją trupmeną 3/8, taigi ir lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.
Galiausiai trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas yra pats 17, todėl ši trupmena negali būti paversta į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti paversta begaline periodine trupmena.
Atsakymas:
47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinę trupmeną.
Paprastosios trupmenos nekonvertuojamos į begalinius neperiodinius dešimtainius
Ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija kelia klausimą: „Ar trupmenos skaitiklį padalijus iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną?
Atsakymas: ne. Konvertuojant bendrąją trupmeną, rezultatas gali būti baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Paaiškinkime, kodėl taip yra.
Iš dalijimosi su liekana teoremos aišku, kad liekana visada yra mažiau nei daliklis, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, tai liekana gali būti tik vienas iš skaičių 0, 1, 2, ..., q−1. Iš to išplaukia, kad stulpeliui padalijus įprastos trupmenos skaitiklio sveikąją dalį iš vardiklio q, ne daugiau kaip q žingsniuose atsiras viena iš šių dviejų situacijų:
- arba gausime 0 likutį, tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
- arba gausime likutį, kuris jau pasirodė anksčiau, po kurio likučiai pradės kartotis kaip ankstesniame pavyzdyje (nes dalijant lygiais skaičiais q gaunamos lygios liekanos, o tai išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), tai duos begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.
Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.
Iš šioje dalyje pateiktų argumentų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.
Dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas
Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja trupmena. Pradėkime nuo paskutinių dešimtainių trupmenų konvertavimo į paprastąsias trupmenas. Po to mes apsvarstysime begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Pabaigoje sakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.
Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmenas
Gauti trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinis dešimtainis skaičius, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:
- pirmiausia į skaitiklį įrašykite duotą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
- antra, į vardiklį įrašykite vieną ir pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
- trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.
Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.
Pavyzdys.
Paverskite dešimtainį skaičių 3,025 į trupmeną.
Sprendimas.
Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime kablelį, gausime skaičių 3 025. Kairėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, norimos trupmenos skaitiklyje įrašome 3 025.
Į vardiklį įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.
Taigi gavome bendrąją trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname 
.
Atsakymas:
.
Pavyzdys.
Paverskite dešimtainę trupmeną 0,0017 į trupmeną.
Sprendimas.
Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, atmetus nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.
Vardiklyje rašome vieną su keturiais nuliais, nes pradinė dešimtainė trupmena turi 4 skaitmenis po kablelio.
Dėl to mes turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją trupmeną.
Atsakymas:
.
Kada visa dalis pradinė galutinė dešimtainė trupmena skiriasi nuo nulio, tada ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant bendrąją trupmeną. Duokim paskutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių taisyklė:
- skaičius prieš dešimtainį kablelį turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
- trupmeninės dalies skaitiklyje reikia įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, atmetus visus nulius kairėje;
- trupmeninės dalies vardiklyje reikia užrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
- jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.
Pažvelkime į dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.
Pavyzdys.
Išreikškite dešimtainę trupmeną 152.06005 kaip mišrų skaičių
Jau sakėme, kad yra trupmenos įprastas Ir dešimtainis. Įjungta šiuo metu Mes šiek tiek studijavome trupmenas. Sužinojome, kad yra reguliarios ir netinkamos trupmenos. Taip pat sužinojome, kad bendrąsias trupmenas galima sumažinti, sudėti, atimti, dauginti ir dalyti. Taip pat sužinojome, kad yra vadinamųjų mišriųjų skaičių, kuriuos sudaro sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis.
Dar ne iki galo ištyrėme bendrąsias trupmenas. Yra daug subtilybių ir smulkmenų, apie kurias reikėtų kalbėti, tačiau šiandien mes pradėsime studijuoti dešimtainis trupmenomis, nes dažnai tenka derinti paprastąsias ir dešimtaines trupmenas. Tai yra, sprendžiant uždavinius, reikia naudoti abiejų tipų trupmenas.
Ši pamoka gali atrodyti sudėtinga ir paini. Tai gana normalu. Tokios pamokos reikalauja, kad jos būtų studijuojamos, o ne perskaitytos paviršutiniškai.
Pamokos turinysKiekių išreiškimas trupmenine forma
Kartais patogu ką nors parodyti trupmeninė forma. Pavyzdžiui, dešimtoji decimetro dalis parašyta taip:
Ši išraiška reiškia, kad vienas decimetras buvo padalintas į dešimt dalių, o iš šių dešimties dalių buvo paimta viena dalis:
Kaip matote paveikslėlyje, viena dešimtoji decimetro yra vienas centimetras.
Pasvarstykime sekantis pavyzdys. Rodykite 6 cm ir dar 3 mm centimetrais trupmenine forma.
Taigi, jums reikia išreikšti 6 cm ir 3 mm centimetrais, bet trupmenine forma. Jau turime 6 ištisus centimetrus:
bet dar liko 3 milimetrai. Kaip parodyti šiuos 3 milimetrus ir centimetrais? Į pagalbą ateina frakcijos. 3 milimetrai yra trečioji centimetro dalis. O trečioji centimetro dalis parašyta cm
Trupmena reiškia, kad vienas centimetras buvo padalintas į dešimt lygių dalių, o iš šių dešimties dalių buvo paimtos trys dalys (trys iš dešimties).
Dėl to mes turime šešis ištisus centimetrus ir tris dešimtąsias centimetro:
Šiuo atveju 6 rodo sveikų centimetrų skaičių, o trupmena - trupmeninių centimetrų skaičių. Ši trupmena skaitoma kaip "šeši taškai trys centimetrai".
Trupmenas, kurių vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000, galima rašyti be vardiklio. Pirmiausia parašykite visą dalį, o tada trupmeninės dalies skaitiklį. Sveikoji dalis nuo trupmeninės dalies skaitiklio atskiriama kableliu.
Pavyzdžiui, rašykime be vardiklio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia užsirašykite visą dalį. Sveikoji dalis yra skaičius 6. Pirmiausia užrašome šį skaičių:
Visa dalis įrašoma. Iš karto parašę visą dalį dedame kablelį:
O dabar užrašome trupmeninės dalies skaitiklį. Mišriajame skaičiuje trupmeninės dalies skaitiklis yra skaičius 3. Po kablelio rašome trejetą:
Iškviečiamas bet koks skaičius, pavaizduotas šioje formoje dešimtainis.
Todėl galite parodyti 6 cm ir dar 3 mm centimetrais naudodami dešimtainę trupmeną:
6,3 cm
Tai atrodys taip:
Tiesą sakant, dešimtainės dalys yra tokios pačios kaip paprastosios trupmenos ir mišrūs skaičiai. Tokių trupmenų ypatumas yra tas, kad jų trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000 arba 10 000.
Kaip ir mišrus skaičius, dešimtainė trupmena turi sveikąją dalį ir trupmeninę dalis. Pavyzdžiui, mišraus skaičiaus sveikoji dalis yra 6 ir trupmeninė dalisŠis .
Dešimtainėje trupmenoje 6.3 sveikoji dalis yra skaičius 6, o trupmeninė dalis yra trupmenos skaitiklis, tai yra skaičius 3.
Taip pat atsitinka, kad paprastosios trupmenos, kurių vardiklyje skaičiai 10, 100, 1000 pateikiami be sveikosios dalies. Pavyzdžiui, trupmena pateikiama be visos dalies. Norėdami parašyti tokią trupmeną dešimtainiu tikslumu, pirmiausia parašykite 0, tada padėkite kablelį ir parašykite trupmenos skaitiklį. Trupmena be vardiklio bus rašoma taip:
Skaito kaip "nulis taškas penki".
Mišrių skaičių konvertavimas į dešimtaines
Kai rašome mišrius skaičius be vardiklio, taip juos konvertuojame į dešimtaines trupmenas. Konvertuodami trupmenas į dešimtaines, turite žinoti keletą dalykų, apie kuriuos dabar pakalbėsime.
Užrašius visą dalį, reikia suskaičiuoti nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje, nes trupmeninės dalies nulių skaičius ir skaitmenų skaičius po kablelio dešimtainėje trupmenoje turi būti tas pats. Ką tai reiškia? Apsvarstykite šį pavyzdį:
Iš pradžių
Ir jūs galite iš karto užsirašyti trupmeninės dalies skaitiklį ir dešimtainė trupmena yra paruošta, tačiau būtinai reikia suskaičiuoti nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje.
Taigi, skaičiuojame nulių skaičių mišraus skaičiaus trupmeninėje dalyje. Trupmeninės dalies vardiklis turi vieną nulį. Tai reiškia, kad dešimtainėje trupmenoje po kablelio bus vienas skaitmuo ir šis skaitmuo bus mišraus skaičiaus trupmeninės dalies skaitiklis, tai yra skaičius 2
Taigi, pavertus dešimtainę trupmeną, mišrus skaičius tampa 3,2.
Ši dešimtainė trupmena skamba taip:
"Trys taškai du"
„Dešimtosios“, nes skaičius 10 yra mišraus skaičiaus trupmeninėje dalyje.
2 pavyzdys. Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.
Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:
O trupmeninės dalies skaitiklį būtų galima iškart užrašyti ir gauti dešimtainę trupmeną 5.3, bet taisyklė sako, kad po kablelio turi būti tiek skaitmenų, kiek mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra nulių. Ir matome, kad trupmeninės dalies vardiklis turi du nulius. Tai reiškia, kad mūsų dešimtainė trupmena turi turėti du skaitmenis po kablelio, o ne vieną.
Tokiais atvejais trupmeninės dalies skaitiklį reikia šiek tiek pakeisti: prieš skaitiklį pridėkite nulį, tai yra prieš skaičių 3
Dabar galite konvertuoti šį mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną. Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:
Ir užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį:
Dešimtainė trupmena 5.03 skaitoma taip:
"Penki taškai trys"
„Šimtai“, nes mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičius 100.
3 pavyzdys. Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.
Iš ankstesnių pavyzdžių sužinojome, kad norint sėkmingai konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainį skaičių, trupmenos skaitiklio skaitmenų skaičius ir trupmenos vardiklyje esančių nulių skaičius turi būti vienodas.
Prieš konvertuojant mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, jo trupmeninę dalį reikia šiek tiek pakeisti, būtent, įsitikinti, kad trupmeninės dalies skaitiklio skaitmenų skaičius ir trupmeninės dalies vardiklyje esančių nulių skaičius yra tas pats.
Visų pirma, mes žiūrime į nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje. Matome, kad yra trys nuliai:
Mūsų užduotis yra sutvarkyti tris skaitmenis trupmeninės dalies skaitiklyje. Vieną skaitmenį jau turime – tai skaičius 2. Belieka pridėti dar du skaitmenis. Jie bus du nuliai. Pridėkite juos prieš skaičių 2. Dėl to nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje bus toks pat:
Dabar galite pradėti konvertuoti šį mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną. Pirmiausia užrašome visą dalį ir dedame kablelį:
ir tuoj pat užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį
3,002
Matome, kad skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra vienodi.
Dešimtainė trupmena 3,002 skaitoma taip:
„Trys taškai dvi tūkstantosios dalys“
„Tūkstančiosios dalys“, nes mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičius 1000.
Trupmenų konvertavimas į dešimtaines
Paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 arba 10 000, taip pat gali būti konvertuojamos į dešimtaines dalis. Kadangi paprastoji trupmena neturi sveikosios dalies, pirmiausia užrašykite 0, tada dėkite kablelį ir užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį.
Čia taip pat turi būti vienodas nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje. Todėl turėtumėte būti atsargūs.
1 pavyzdys.
Trūksta visos dalies, todėl pirmiausia rašome 0 ir dedame kablelį:
Dabar žiūrime į nulių skaičių vardiklyje. Matome, kad yra vienas nulis. O skaitiklis turi vieną skaitmenį. Tai reiškia, kad galite saugiai tęsti dešimtainę trupmeną, parašydami skaičių 5 po kablelio
Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,5 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.
Dešimtainė trupmena 0,5 skaitoma taip:
„Nulis taškas penki“
2 pavyzdys. Konvertuoti trupmeną į dešimtainę.
Trūksta visos dalies. Pirmiausia rašome 0 ir dedame kablelį:
Dabar žiūrime į nulių skaičių vardiklyje. Matome, kad yra du nuliai. O skaitiklis turi tik vieną skaitmenį. Norėdami, kad skaitmenų ir nulių skaičius būtų vienodas, skaitiklyje prieš skaičių 2 pridėkite vieną nulį. Tada trupmena įgis formą . Dabar nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Taigi galite tęsti dešimtainę trupmeną:
Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,02 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.
Dešimtainė trupmena 0,02 skaitoma taip:
„Nulis taško du“.
3 pavyzdys. Konvertuoti trupmeną į dešimtainę.
Parašykite 0 ir padėkite kablelį:
Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmenos vardiklyje. Matome, kad yra penki nuliai, o skaitiklyje yra tik vienas skaitmuo. Kad nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje būtų vienodas, prieš skaičių 5 skaitiklyje turite pridėti keturis nulius:
Dabar nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Taigi galime tęsti dešimtainę trupmeną. Užrašykite trupmenos skaitiklį po kablelio
Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,00005 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.
Dešimtainė trupmena 0,00005 skaitoma taip:
„Nulis penkių šimtų tūkstantųjų dalių“.
Netinkamų trupmenų konvertavimas į dešimtaines
Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Yra netinkamų trupmenų, kurių vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000 arba 10 000. Tokias trupmenas galima paversti dešimtainiais. Tačiau prieš konvertuojant į dešimtainę trupmeną, tokias trupmenas reikia atskirti į visą dalį.
1 pavyzdys.
Trupmena yra netinkama trupmena. Norėdami konvertuoti tokią trupmeną į dešimtainę, pirmiausia turite pasirinkti visą jos dalį. Prisiminkime, kaip atskirti visą netinkamųjų trupmenų dalį. Jei pamiršote, patariame sugrįžti ir pastudijuoti.
Taigi, paryškinkime visą dalį netinkamoje trupmenoje. Prisiminkite, kad trupmena reiškia padalijimą į šiuo atveju skaičių 112 padalijus iš 10
Pažiūrėkime į šį paveikslėlį ir surinkime naują mišrų skaičių, pavyzdžiui, vaikišką konstravimo rinkinį. Skaičius 11 bus sveikoji dalis, skaičius 2 – trupmeninės dalies skaitiklis, o skaičius 10 – trupmeninės dalies vardiklis.
Gavome mišrų skaičių. Paverskime jį į dešimtainę trupmeną. Ir mes jau žinome, kaip tokius skaičius paversti dešimtainėmis trupmenomis. Pirmiausia užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:
Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje. Matome, kad yra vienas nulis. O trupmeninės dalies skaitiklis turi vieną skaitmenį. Tai reiškia, kad nulių skaičius trupmeninės dalies vardiklyje ir skaitmenų skaičius trupmeninės dalies skaitiklyje yra vienodas. Tai suteikia mums galimybę iškart po kablelio užrašyti trupmenos dalies skaitiklį:
Gautoje dešimtainėje trupmenoje 11.2 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.
Reiškia netinkama trupmena pavertus dešimtainę trupmeną, jis tampa 11,2
Dešimtainė trupmena 11.2 skaitoma taip:
– Vienuolika taško du.
2 pavyzdys. Konvertuoti netinkamą trupmeną į dešimtainę.
Tai neteisinga trupmena, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Tačiau jį galima konvertuoti į dešimtainę trupmeną, nes vardiklyje yra skaičius 100.
Pirmiausia parinkkime visą šios trupmenos dalį. Norėdami tai padaryti, padalykite 450 iš 100 kampu:
Surinkime naują mišrų skaičių – gauname . Ir mes jau žinome, kaip mišrius skaičius konvertuoti į dešimtaines trupmenas.
Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:
Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje ir skaitmenų skaičių trupmeninės dalies skaitiklyje. Matome, kad nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Tai suteikia mums galimybę iškart po kablelio užrašyti trupmenos dalies skaitiklį:
Gautoje dešimtainėje trupmenoje 4,50 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.
Tai reiškia, kad neteisinga trupmena tampa 4,50, kai konvertuojama į dešimtainį skaičių.
Sprendžiant uždavinius, jei dešimtainės trupmenos gale yra nuliai, juos galima atmesti. Taip pat palikime nulį savo atsakyme. Tada gauname 4,5
Tai vienas iš įdomių savybių dešimtainės trupmenos. Taip yra dėl to, kad trupmenos pabaigoje esantys nuliai nesuteikia šiai trupmenai jokio svorio. Kitaip tariant, dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Padėkime tarp jų lygybės ženklą:
4,50 = 4,5
Kyla klausimas: kodėl taip atsitinka? Juk atrodo 4,50 ir 4,5 skirtingos frakcijos. Visa paslaptis slypi pagrindinėje trupmenų savybėje, kurią tyrėme anksčiau. Bandysime įrodyti, kodėl dešimtainės trupmenos 4,50 ir 4,5 yra lygios, tačiau išnagrinėję kitą temą, kuri vadinasi „dešimtainės trupmenos pavertimas mišriu skaičiumi“.
Dešimtainės dalies konvertavimas į mišrų skaičių
Bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti atgal į mišrų skaičių. Norėdami tai padaryti, pakanka mokėti skaityti dešimtaines trupmenas. Pavyzdžiui, konvertuokime 6.3 į mišrų skaičių. 6,3 yra šeši taškai trys. Pirmiausia užrašome šešis sveikuosius skaičius:
ir šalia trijų dešimtųjų:
2 pavyzdys. Konvertuokite dešimtainį skaičių 3,002 į mišrų skaičių
3,002 yra trys sveikos ir dvi tūkstantosios dalys. Pirmiausia užrašome tris sveikuosius skaičius
ir šalia jo rašome dvi tūkstantąsias dalis:
3 pavyzdys. Paverskite dešimtainį 4,50 į mišrų skaičių
4,50 yra keturi taškai penkiasdešimt. Užrašykite keturis sveikuosius skaičius
ir kitos penkiasdešimt šimtųjų:
Beje, prisiminkime paskutinis pavyzdys iš ankstesnės temos. Sakėme, kad dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Taip pat sakėme, kad nulį galima atmesti. Pabandykime įrodyti, kad dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Norėdami tai padaryti, abi dešimtaines trupmenas paverčiame mišriais skaičiais.
Kai konvertuojamas į mišrų skaičių, dešimtainis skaičius 4,50 tampa , o dešimtainis skaičius 4,5
Turime du mišrius skaičius ir . Paverskime šiuos mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:
Dabar turime dvi trupmenas ir . Atėjo laikas prisiminti pagrindinę trupmenos savybę, kuri sako, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus (arba padalijus) iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė nekinta.
Pirmąją trupmeną padalinkime iš 10
Mes gavome , ir tai yra antra frakcija. Tai reiškia, kad abu yra lygūs vienas kitam ir yra vienodi:
Pabandykite skaičiuotuvu padalyti iš pradžių 450 iš 100, o paskui 45 iš 10. Tai bus juokinga.
Dešimtainės trupmenos pavertimas trupmena
Bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti atgal į trupmeną. Norėdami tai padaryti, vėl pakanka mokėti nuskaityti dešimtaines trupmenas. Pavyzdžiui, paverskime 0,3 į bendrą trupmeną. 0,3 yra nulis taškas trys. Pirmiausia užrašome nulį sveikųjų skaičių:
ir šalia trijų dešimtųjų 0. Nulis tradiciškai nerašomas, todėl galutinis atsakymas bus ne 0, o tiesiog .
2 pavyzdys. Paverskite dešimtainę trupmeną 0,02 į trupmeną.
0,02 yra nulis taškas du. Mes nenurašome nulio, todėl iškart užrašome dvi šimtąsias dalis
3 pavyzdys. Konvertuoti 0,00005 į trupmeną
0,00005 yra nulis taškas penki. Mes nenurašome nulio, todėl iškart užrašome penkis šimtus tūkstantąsias dalis
Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
Formoje:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
kur ± yra trupmenos ženklas: arba +, arba -,
, yra dešimtainis kablelis, kuris yra skirtukas tarp sveikojo skaičiaus ir trupmeninės skaičiaus dalių,
dk- dešimtainiai skaičiai.
Tuo pačiu metu skaičių tvarka prieš dešimtainį tašką (kairėje nuo jo) turi pabaigą (kaip min 1 vienam skaitmeniui), o po kablelio (dešinėje) ji gali būti ir baigtinė (arba po kablelio gali nebūti skaitmenų) ir begalinis.
Dešimtainė reikšmė ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … yra tikrasis skaičius:
kuri lygi baigtinio arba sumai begalinis skaičius terminai.
Spektaklis realūs skaičiai dešimtainių trupmenų naudojimas yra sveikųjų skaičių rašymo apibendrinimas dešimtainė sistema Skaičiavimas Dešimtainėje sveikojo skaičiaus reprezentacijoje nėra skaitmenų po kablelio, todėl vaizdas atrodo taip:
± d m … d 1 d 0 ,
Ir tai sutampa su mūsų skaičiaus įrašymu dešimtainėje skaičių sistemoje.
Dešimtainė- tai yra rezultatas, padalijus 1 į 10, 100, 1000 ir pan. Šios trupmenos yra gana patogios skaičiavimams, nes jie pagrįsti ta pačia padėties sistema, kuria grindžiamas sveikųjų skaičių skaičiavimas ir įrašymas. Dėl to įrašymas ir veiksmų taisyklės su po kablelio beveik toks pat kaip ir sveikieji skaičiai.
Rašant dešimtaines trupmenas, vardiklio žymėti nereikia, jis nustatomas pagal vietą, kurią užima atitinkamas skaitmuo. Pirmiausia parašome visą skaičiaus dalį, tada dešinėje dedame kablelį. Pirmas skaitmuo po kablelio nurodo dešimtųjų skaičių, antrasis šimtųjų, trečias – tūkstantųjų skaičių ir t.t. Skaičiai, esantys po kablelio, yra po kablelio.
Pavyzdžiui: 
Vienas iš dešimtainių trupmenų privalumų yra tai, kad jas galima labai lengvai redukuoti į paprastas trupmenas: skaičius po kablelio (mums tai yra 5047) skaitiklis; vardiklis lygus n-10 laipsnio, kur n- skaitmenų po kablelio skaičius (mums tai yra n=4):
Kai dešimtainėje trupmenoje nėra sveikojo skaičiaus dalies, prieš dešimtainį tašką dedame nulį:
Dešimtainių trupmenų savybės.
1. Dešimtainė dalis nesikeičia, kai dešinėje pridedami nuliai:
13.6 =13.6000.
2. Dešimtainė dalis nesikeičia, kai kablelio gale esantys nuliai pašalinami:
0.00123000 = 0.00123.
Dėmesio! Negalite pašalinti nulių, kurie NĖRA dešimtainės trupmenos pabaigoje!
3. Dešimtainė trupmena padidėja 10, 100, 1000 ir tt kartų, kai perkeliame dešimtainį tašką į 1, 2, 2 ir tt pozicijas atitinkamai į dešinę:
3,675 → 367,5 (frakcija padidėjo šimtą kartų).
4. Dešimtainė trupmena tampa dešimt, šimtas, tūkstančiai ir tt kartų mažesnė, kai dešimtainį tašką perkeliame į 1, 2, 3 ir tt pozicijas atitinkamai į kairę:
1536,78 → 1,53678 (trupmena sumažėjo tūkstantį kartų).
Dešimtainių trupmenų rūšys.
Dešimtainės trupmenos skirstomos į galutinis, begalinis Ir periodiniai dešimtainiai.
Paskutinė dešimtainė trupmena yra tai trupmena, turinti baigtinį skaičių skaitmenų po kablelio (arba jų visai nėra), t.y. atrodo taip:
Tikrasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė dešimtainė trupmena tik tuo atveju, jei šis skaičius yra racionalus ir jį rašant neredukuojama trupmena p/k vardiklis q neturi pagrindiniai veiksniai, kurie skiriasi nuo 2 ir 5.
Begalinis dešimtainis.
Sudėtyje yra be galo pasikartojančių skaičių grupė, vadinama laikotarpį. Taškas rašomas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Periodinis dešimtainis- tai begalinė dešimtainė trupmena, kurioje skaitmenų seka po kablelio, pradedant nuo tam tikros vietos, yra periodiškai pasikartojanti skaitmenų grupė. Kitaip tariant, periodinė trupmena- dešimtainė trupmena, kuri atrodo taip:
Tokia trupmena paprastai trumpai rašoma taip:
Skaičių grupė b 1 … b l, kuris kartojasi, yra trupmenos laikotarpis, šios grupės skaitmenų skaičius yra laikotarpio trukmė.
Kai periodinėje trupmenoje taškas ateina iškart po kablelio, tai reiškia, kad trupmena yra grynas periodinis. Kai tarp kablelio ir 1-ojo taško yra skaičiai, tada trupmena yra mišrus periodinis, o skaitmenų grupė po kablelio iki 1 taško skaitmens yra frakcijos išankstinis laikotarpis.
Pavyzdžiui, trupmena 1,(23) = 1,2323... yra grynoji periodinė, o trupmena 0,1(23) = 0,12323... yra mišri periodinė.
Pagrindinė nuosavybė periodinės trupmenos , dėl ko jie skiriasi nuo visos dešimtainių trupmenų rinkinio, slypi tame, kad periodinės trupmenos ir tik jos reprezentuoja racionalius skaičius. Tiksliau, atsitinka taip:
Bet kuri be galo periodiška dešimtainė trupmena reiškia racionalus skaičius. Ir atvirkščiai, kai racionalusis skaičius išplečiamas iki begalinės dešimtainės trupmenos, tai reiškia, kad ši trupmena bus periodinė.
Trupmenos parašytos 0,8 forma; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 vadinamas dešimtainiu. Tiesą sakant, dešimtainės trupmenos yra supaprastintas žymėjimas paprastosios trupmenos. Šį žymėjimą patogu naudoti visoms trupmenoms, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 ir pan.
Pažiūrėkime į pavyzdžius (0,5 skaitomas kaip nulis taškas penki);
(0,15 skaityti kaip, nulis taško penkiolika);
(5.3 skaityti kaip penkių taškų trys).
Atkreipkite dėmesį, kad dešimtainės trupmenos žymėjime kablelis atskiria sveikąją skaičiaus dalį nuo trupmeninės dalies, sveikoji tinkamos trupmenos dalis yra 0. Dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies žymėjime yra tiek skaitmenų, kiek atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio žymėjime yra nuliai.
Pažiūrėkime į pavyzdį, 
, 
, 
.
Kai kuriais atvejais gali prireikti natūralųjį skaičių traktuoti kaip dešimtainį skaičių, kurio trupmeninė dalis yra lygi nuliui. Įprasta rašyti, kad 5 = 5,0; 245 = 245,0 ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad natūralaus skaičiaus dešimtainėje žymėjime mažiausio skaitmens vienetas yra 10 kartų mažesnis už gretimo reikšmingiausio skaitmens vienetą. Dešimtainių trupmenų rašymas turi tą pačią savybę. Todėl iškart po kablelio yra dešimtųjų, po to šimtųjų, po to tūkstantųjų ir t.t. vieta. Žemiau pateikiami skaičiaus 31.85431 skaitmenų pavadinimai, pirmieji du stulpeliai yra sveikoji dalis, likę stulpeliai yra trupmeninė dalis.
Ši trupmena skaitoma kaip trisdešimt vienas taškas aštuoniasdešimt penki tūkstančiai keturi šimtai trisdešimt vienas šimtas tūkstantosios dalys.
Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas
Pirmasis būdas yra paversti dešimtaines trupmenas į paprastas trupmenas ir atlikti sudėjimą. 
Kaip matyti iš pavyzdžio, šis metodas yra labai nepatogus ir geriau naudoti antrąjį metodą, kuris yra teisingesnis, nekeičiant dešimtainių trupmenų į įprastas. Norėdami pridėti dvi dešimtaines trupmenas, turite:
- išlyginti skaitmenų skaičių po kablelio terminuose;
- parašykite terminus vieną po kito taip, kad kiekvienas antrojo termino skaitmuo būtų po atitinkamu pirmojo termino skaitmeniu;
- gautus skaičius pridėkite taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius;
- Į gautą sumą po terminų kableliais padėkite kablelį.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- suvienodinti skaitmenų skaičių po kablelio minuend ir subtrahend;
- parašykite požymį taip, kad kiekvienas poskyrio skaitmuo būtų po atitinkamu mažmeninės dalies skaitmeniu;
- atlikti atimtį taip pat, kaip atimami natūralieji skaičiai;
- dėti kablelį į gautą skirtumą po kableliais minuend ir subtrahend.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
Aukščiau aptartuose pavyzdžiuose matyti, kad dešimtainių trupmenų sudėjimas ir atėmimas buvo atliekami po bitą, tai yra taip, kaip atlikome panašias operacijas su natūraliaisiais skaičiais. Tai yra pagrindinis trupmenos rašymo dešimtainės formos pranašumas.
Dešimtainių skaičių dauginimas
Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., šios trupmenos dešimtainę trupmeną reikia atitinkamai perkelti į dešinę 1, 2, 3 ir pan. Todėl, jei kablelis perkeliamas į dešinę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis, trupmena atitinkamai padidės 10, 100, 1000 ir tt kartų. Norėdami padauginti dvi dešimtaines trupmenas, turite:
- padauginkite juos kaip natūraliuosius skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelius;
- gautame sandaugoje kableliu dešinėje atskirkite tiek skaitmenų, kiek yra po kablelių abiejuose veiksniuose kartu.
Pasitaiko atvejų, kai kūrinyje yra mažiau skaičių, nei norite atskirti kableliu, pridėkite reikiamą skaičių nulių kairėje prieš šį gaminį ir perkelkite kablelį į kairę reikiamu skaitmenų skaičiumi.
Pažiūrėkime į pavyzdžius: 2 * 4 = 8, tada 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, tada 0,023 * 0,35 = 0,00805.
Pasitaiko atvejų, kai vienas iš daugiklių lygus 0,1; 0,01; 0,001 ir pan., patogiau naudoti sekančią taisyklę.
- Dešimtainį skaičių padauginti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir pan., šioje trupmenoje dešimtainę trupmeną reikia perkelti atitinkamai 1, 2, 3 ir tt į kairę.
Pažiūrėkime į pavyzdžius: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.
Natūraliųjų skaičių daugybos savybės taikomos ir dešimtainėms trupmenoms.
- ab = ba- daugybos komutacinė savybė;
- (ab) c = a (bc) — asociatyvinė savybė daugyba;
- a (b + c) = ab + ac — paskirstymo nuosavybė daugyba, palyginti su pridėjimu.
Dešimtainis padalijimas
Yra žinoma, kad padalijus natūralųjį skaičių a iki natūraliojo skaičiaus b reiškia rasti tokį natūralųjį skaičių c, kurį padauginus iš b suteikia skaičių a. Ši taisyklė galioja, jei bent vienas iš skaičių a, b, c yra dešimtainė trupmena.
Pažiūrėkime į pavyzdį: 43,52 reikia padalyti iš 17 su kampu, ignoruojant kablelį. Tokiu atveju kablelis dalinyje turi būti dedamas prieš pat pirmąjį skaitmenį po kablelio, kai naudojamas dividendas.
Pasitaiko atvejų, kai dividendas mažesnis už daliklį, tada sveikoji dalinio dalis lygi nuliui. Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pažvelkime į kitą įdomų pavyzdį.
Dalijimosi procesas sustojo, nes baigėsi dividendo skaitmenys, o likusi dalis neturi nulio. Yra žinoma, kad dešimtainė trupmena nepasikeis, jei prie jos dešinėje bus pridėtas bet koks nulių skaičius. Tada tampa aišku, kad dividendo skaičiai negali baigtis.
Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., šios trupmenos kablelį reikia perkelti į kairę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.
Jei dividendas ir daliklis vienu metu padidinami 10, 100, 1000 ir tt kartų, koeficientas nepasikeis.
Apsvarstykite pavyzdį: 39,44: 1,6 = 24,65, padidinkite dividendą ir daliklį 10 kartų 394,4: 16 = 24,65 Reikia pažymėti, kad antrajame pavyzdyje dešimtainę trupmeną padalyti iš natūraliojo skaičiaus yra lengviau.
Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš dešimtainės dalies, turite:
- perkelkite kablelius dividende ir daliklyje į dešinę tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje;
- padalinti iš natūraliojo skaičiaus.
Panagrinėkime pavyzdį: 23,6: 0,02, atkreipkite dėmesį, kad daliklis turi dvi skaitmenis po kablelio, todėl abu skaičius padauginame iš 100, gauname 2360: 2 = 1180, rezultatą padaliname iš 100 ir gauname atsakymą 11,80 arba 23,6: 0, 02 = 11,8.
Dešimtainių skaičių palyginimas
Yra du dešimtainių skaičių palyginimo būdai. Pirmas būdas, reikia palyginti dvi trupmenas po kablelio 4,321 ir 4,32, išlyginti kablelio skaičių ir pradėti lyginti vietas pagal vietą, dešimtąsias su dešimtosiomis, šimtąsias su šimtinėmis ir t. t., galų gale gauname 4,321 > 4,320.
Antrasis būdas lyginti dešimtaines trupmenas – padauginkite aukščiau pateiktą pavyzdį iš 1000 ir palyginkite 4321 > 4320. Kuris būdas patogesnis, kiekvienas pasirenka pats.
Šis straipsnis yra apie po kablelio. Čia mes susidorosime su dešimtainis žymėjimas trupmeniniai skaičiai, pristatome dešimtainės trupmenos sąvoką ir pateikiame dešimtainių trupmenų pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie dešimtainių trupmenų skaitmenis ir pateiksime skaitmenų pavadinimus. Po to mes sutelksime dėmesį į begalines dešimtaines trupmenas, pakalbėkime apie periodines ir neperiodines trupmenas. Toliau išvardijame pagrindines operacijas su dešimtainėmis trupmenomis. Pabaigoje nustatykime dešimtainių trupmenų vietą koordinačių pluošte.
Puslapio naršymas.
Trupmeninio skaičiaus dešimtainis žymėjimas
Skaitymas dešimtainiais
Pakalbėkime keletą žodžių apie dešimtainių trupmenų skaitymo taisykles.
Dešimtainės trupmenos, atitinkančios tinkamas paprastąsias trupmenas, skaitomos taip pat, kaip ir šios paprastosios trupmenos, tik iš pradžių pridedamas „nulis sveikasis skaičius“. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,12 atitinka bendrąją trupmeną 12/100 (skaitykite „dvylika šimtųjų dalių“), todėl 0,12 skaitoma kaip „nulis taško dvylika šimtųjų dalių“.
Dešimtainės trupmenos, atitinkančios mišrius skaičius, skaitomos lygiai taip pat, kaip ir šie mišrūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 56.002 atitinka mišrų skaičių, todėl dešimtainė trupmena 56.002 skaitoma kaip „penkiasdešimt šeši taškai dvi tūkstantosios dalys“.
Vietos po kablelio
Rašant dešimtaines trupmenas, taip pat rašant natūraliuosius skaičius, kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Iš tiesų, skaičius 3 dešimtainėje trupmenoje 0,3 reiškia tris dešimtąsias dalis, dešimtainėje trupmenoje 0,0003 - tris dešimtines dalis, o dešimtainėje trupmenoje 30 000,152 - tris dešimtąsias dalis. Taigi galime kalbėti apie po kablelio, taip pat apie natūraliųjų skaičių skaitmenis.
Skaičių pavadinimai dešimtainėje trupmenoje iki kablelio visiškai sutampa su natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimais. O dešimtainių ženklų pavadinimus po kablelio galima pamatyti iš šios lentelės.
Pavyzdžiui, dešimtainėje trupmenoje 37,051 skaitmuo 3 yra dešimčių vietoje, 7 yra vienetų vietoje, 0 yra dešimtosiose, 5 yra šimtosiose, o 1 yra tūkstantosiose.
Vietos po kablelio trupmenomis taip pat skiriasi pirmenybe. Jei rašydami dešimtainę trupmeną pereiname nuo skaitmens prie skaitmens iš kairės į dešinę, tada judėsime nuo senjoraiĮ jaunesniųjų rangų. Pavyzdžiui, šimtų vieta yra senesnė nei dešimtoji, o milijoninė žemesnė už šimtąją. Tam tikroje paskutinėje dešimtainėje trupmenoje galime kalbėti apie didžiuosius ir mažuosius skaitmenis. Pavyzdžiui, dešimtaine trupmena 604,9387 vyresnysis (aukščiausias) vieta yra šimtai vieta ir jaunesnysis (žemiausias)- dešimties tūkstančių dalių skaitmuo.
Dešimtainės trupmenos išplečiamos į skaitmenis. Tai panašu į išplėtimą natūraliųjų skaičių skaitmenimis. Pavyzdžiui, 45,6072 išplėtimas į kablelius yra toks: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. O sudėjimo savybės iš dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis leidžia pereiti prie kitų šios dešimtainės trupmenos atvaizdų, pavyzdžiui, 45.6072=45+0.6072 arba 45.6072=40.6+5.007+0.0002 arba 45.6072=74+5.072 0.6.
Pabaigos po kablelio
Iki šiol kalbėjome tik apie dešimtaines trupmenas, kurių žymėjime yra baigtinis skaičius skaitmenų po kablelio. Tokios trupmenos vadinamos baigtinėmis dešimtainėmis dalimis.
Apibrėžimas.
Pabaigos po kablelio- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įrašuose yra baigtinis simbolių (skaitmenų) skaičius.
Štai keletas galutinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Tačiau ne kiekviena trupmena gali būti pateikiama kaip paskutinis dešimtainis skaičius. Pavyzdžiui, trupmena 5/13 negali būti pakeista lygia trupmena, kurios vardiklis yra 10, 100, ..., todėl negali būti konvertuojamas į galutinę dešimtainę trupmeną. Plačiau apie tai kalbėsime teorijos skyriuje, paprastąsias trupmenas konvertuodami į dešimtaines.
Begalinis dešimtainis skaičius: periodinės ir neperiodinės trupmenos
Rašant dešimtainę trupmeną po kablelio, galima leisti begalinį skaitmenų skaičių. Šiuo atveju mes apsvarstysime vadinamąsias begalines dešimtaines trupmenas.
Apibrėžimas.
Begalinis dešimtainis skaičius- tai dešimtainės trupmenos, kurių įraše yra begalinis rinkinys numeriai
Aišku, kad begalinių dešimtainių trupmenų pilna forma užrašyti negalime, todėl jas įrašydami apsiribojame tik keliomis baigtinis skaičius skaičius po kablelio ir įdėkite elipsę, nurodančią be galo besitęsiančią skaičių seką. Štai keletas begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Jei atidžiai pažvelgsite į paskutines dvi begalines dešimtaines trupmenas, tai trupmenoje 2.111111111... aiškiai matomas be galo besikartojantis skaičius 1, o trupmenoje 69.74152152152..., pradedant nuo trečio po kablelio, pasikartojanti skaičių grupė 1, 5 ir 2 yra aiškiai matomi. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.
Apibrėžimas.
Periodiniai dešimtainiai(arba tiesiog periodinės trupmenos) yra nesibaigiančios dešimtainės trupmenos, kurias įrašant, pradedant nuo tam tikro kablelio, be galo kartojamas koks nors skaičius ar skaičių grupė, kuri vadinama trupmenos laikotarpis.
Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 2,111111111... laikotarpis yra skaitmuo 1, o trupmenos 69,74152152152... laikotarpis yra 152 formos skaitmenų grupė.
Priimama begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms ypatinga formaįrašų. Trumpumo dėlei susitarėme vieną kartą užrašyti laikotarpį ir jį užbaigti skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena 2.111111111... rašoma kaip 2,(1) , o periodinė trupmena 69.74152152152... rašoma kaip 69.74(152) .
Verta paminėti, kad tai pačiai periodinei dešimtainei trupmenai gali būti nurodyti skirtingi laikotarpiai. Pavyzdžiui, periodinė dešimtainė trupmena 0,73333... gali būti laikoma trupmena 0,7(3), kurios taškas yra 3, taip pat trupmena 0,7(33), kai taškas yra 33, ir tt 0,7(333), 0,7 (3333), ... Taip pat galite pažvelgti į periodinę trupmeną 0,73333 ... taip: 0,733 (3), arba taip 0,73 (333) ir pan. Siekdami išvengti dviprasmybių ir neatitikimų, sutinkame dešimtainės trupmenos periodu laikyti trumpiausią iš visų galimų pasikartojančių skaitmenų sekų, pradedant nuo didžiausios. uždara padėtis iki kablelio. Tai yra, dešimtainės trupmenos 0,73333... periodas bus laikomas vieno skaitmens 3 seka, o periodiškumas prasideda nuo antros padėties po kablelio, tai yra 0,73333...=0,7(3). Kitas pavyzdys: periodinės trupmenos 4.7412121212... periodas yra 12, periodiškumas prasideda nuo trečiojo skaitmens po kablelio, tai yra 4.7412121212...=4.74(12).
Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos gaunamos paverčiant dešimtaines trupmenas paprastąsias trupmenas, kurių vardikliuose yra pirminiai koeficientai, išskyrus 2 ir 5.
Čia verta paminėti periodines trupmenas, kurių taškas yra 9. Pateiksime tokių trupmenų pavyzdžių: 6.43(9) , 27,(9) . Šios trupmenos yra dar vienas žymėjimas periodinėms trupmenoms, kurių periodas 0, ir paprastai pakeičiamos periodinėmis trupmenomis su 0 periodu. Norėdami tai padaryti, 9 laikotarpis pakeičiamas 0 periodu, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama vienu. Pavyzdžiui, 7.24(9) formos trupmena su 9 tašku pakeičiama periodine trupmena su 7.25(0) formos periodine trupmena arba lygia galutine dešimtaine trupmena 7.25. Kitas pavyzdys: 4,(9)=5,(0)=5. Trupmenos su periodu 9 ir ją atitinkančios trupmenos lygybė su periodu 0 lengvai nustatoma pakeitus šias dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis.
Galiausiai, atidžiau pažvelkime į begalines dešimtaines trupmenas, kuriose nėra be galo pasikartojančios skaitmenų sekos. Jie vadinami neperiodiniais.
Apibrėžimas.
Nesikartojantis dešimtainis skaičius(arba tiesiog neperiodinės trupmenos ) yra begalinės dešimtainės trupmenos, neturinčios taško.
Kartais neperiodinių trupmenų forma yra panaši į periodinių trupmenų formą, pavyzdžiui, 8.02002000200002... yra neperiodinė trupmena. Tokiais atvejais turėtumėte būti ypač atsargūs, kad pastebėtumėte skirtumą.
Atkreipkite dėmesį, kad neperiodinės trupmenos nekonvertuojamos į įprastas trupmenas, neperiodines dešimtaines trupmenas reiškia neracionalius skaičius.
Veiksmai su dešimtainėmis dalimis
Viena iš operacijų su dešimtainėmis trupmenomis yra palyginimas, taip pat apibrėžiamos keturios pagrindinės aritmetinės funkcijos operacijos su dešimtainėmis dalimis: sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Panagrinėkime atskirai kiekvieną veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis.
Dešimtainių skaičių palyginimas iš esmės pagrįstas paprastųjų trupmenų, atitinkančių lyginamąsias dešimtaines trupmenas, palyginimu. Tačiau dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis yra gana daug darbo reikalaujantis procesas, o begalinės neperiodinės trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastoji trupmena, todėl patogu naudoti dešimtainių trupmenų palyginimą vieta po skaitmens. Dešimtainių trupmenų palyginimas pagal vietą yra panašus į natūraliųjų skaičių palyginimą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduojame perskaityti straipsnį: dešimtainių trupmenų palyginimas, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.
Pereikime prie kito žingsnio - dauginant po kablelio. Baigtinių dešimtainių trupmenų daugyba atliekama panašiai kaip dešimtainių trupmenų atėmimas, taisyklės, pavyzdžiai, daugybos iš natūraliųjų skaičių stulpelio sprendiniai. Periodinių trupmenų atveju daugyba gali būti sumažinta iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Savo ruožtu begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų dauginimas jas suapvalinus sumažinamas iki baigtinių dešimtainių trupmenų daugybos. Rekomenduojame toliau studijuoti straipsnyje pateiktą medžiagą: dešimtainių trupmenų daugyba, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.
Koordinačių spindulio dešimtainės dalys
Tarp taškų ir kablelio yra vienas su vienu atitikimas.
Išsiaiškinkime, kaip sudaromi koordinačių spindulio taškai, atitinkantys tam tikrą dešimtainę trupmeną.
Galime pakeisti baigtines dešimtaines trupmenas ir begalines periodines dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis ir tada sudaryti atitinkamas įprastas trupmenas koordinačių spindulyje. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 1,4 atitinka bendrąją trupmeną 14/10, todėl taškas, kurio koordinatė 1,4, teigiama kryptimi pašalinamas iš pradžios 14 atkarpų, lygių vienetinės atkarpos dešimtajai daliai.
Dešimtainės trupmenos gali būti pažymėtos koordinačių spindulyje, pradedant nuo tam tikros dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis. Pavyzdžiui, reikia sukurti tašką, kurio koordinatė yra 16.3007, nes 16.3007=16+0.3+0.0007, tada šį tašką galima pasiekti nuosekliai delsiant nuo 16 koordinačių pradžios pavieniai segmentai, 3 atkarpas, kurių ilgis lygus vienetinio atkarpos dešimtajai daliai, ir 7 atkarpas, kurių ilgis lygus vienetinio atkarpos dešimčiai tūkstantajai daliai.
Šis statybos būdas dešimtainiai skaičiai koordinačių spindulys leidžia kiek norite priartėti prie taško, atitinkančio begalinę dešimtainę trupmeną.
Kartais galima tiksliai nubraižyti tašką, atitinkantį begalinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, 
, tada ši begalinė dešimtainė trupmena 1,41421... atitinka koordinačių spindulio tašką, nutolusį nuo koordinačių pradžios kvadrato, kurio kraštinė yra 1 vieneto atkarpa, įstrižainės ilgiu.
Atvirkštinis dešimtainės trupmenos, atitinkančios duotą koordinačių spindulio tašką, gavimo procesas yra vadinamasis. segmento dešimtainis matavimas. Išsiaiškinkime, kaip tai daroma.
Tegul mūsų užduotis yra patekti iš pradžios į nurodytą tašką koordinačių tiesėje (arba be galo priartėti prie jo, jei negalime jo pasiekti). Naudodami dešimtainį segmento matavimą, galime nuosekliai atskirti nuo pradžios bet kokį vienetų segmentų skaičių, tada segmentus, kurių ilgis lygus vieneto dešimtajai daliai, tada segmentus, kurių ilgis lygus šimtajai vieneto daliai ir pan. Užregistravę kiekvieno ilgio atkarpų skaičių, gauname dešimtainę trupmeną, atitinkančią tam tikrą koordinačių spindulio tašką.
Pavyzdžiui, norėdami patekti į tašką M aukščiau esančiame paveikslėlyje, turite atidėti 1 vieneto segmentą ir 4 segmentus, kurių ilgis yra lygus dešimtajai vieneto daliai. Taigi taškas M atitinka dešimtainę trupmeną 1.4.
Akivaizdu, kad koordinačių spindulio taškai, kurių negalima pasiekti atliekant dešimtainį matavimą, atitinka begalines dešimtaines trupmenas.
Nuorodos.
- Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrinta. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya. Vilenkin ir kiti]. - 22 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
