Skaičių sekos. III

Tikslas: Suteikti sąvoką, apibrėžimą sekos, baigtinės, begalinės, įvairius sekų apibrėžimo būdus, jų skirtumus, išmokyti jais naudotis sprendžiant pavyzdžius.

Įranga: Stalai.

Pamokos eiga

aš. Organizacinis momentas.

II. Priekinė patikra namų darbai:

1) mokinys ant lentos uždavinys Nr. 2.636 (iš II dalies „Egzamino raštu 9 klasėje užduočių rinkinys“)

2) studentas. Sukurkite grafiką

3) priekyje su visa klase Nr.2.334 (a).

III. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Mokyklinė paskaita yra ugdymo proceso organizavimo forma, kuri orientuoja studentus, studijuojant tam tikrą temą, į pagrindinį dalyką ir apima platų asmeninio mokytojo ir mokinių požiūrio į mokomąją medžiagą demonstravimą. Nes Pamokoje-paskaitoje numatytas didelio bloko medžiagos pristatymas, kurį atlieka mokytojas, tada žodinis mokytojo ir mokinių bendravimas yra pagrindinis jos technologijos dalykas. Mokytojo žodis turi emocinį, estetinį poveikį ir sukuria tam tikrą požiūrį į dalyką. Paskaitos pagalba vadovaujamasi įvairaus pobūdžio mokinių veiklai klasėje, o per žinias, įgūdžius ir gebėjimus formuojamas pažinimas kaip ugdomosios veiklos pagrindas.

I. Užrašykite dviženklius skaičius, kurie baigiasi 3 didėjimo tvarka.

13; 23; 33;………….93.

Suderinkite kiekvieną serijos numerį nuo 1 iki 9 su konkrečiu dviženkliu skaičiumi:

1->13; 2->23;………9->93.

Tarp pirmųjų devynių natūraliųjų skaičių aibės ir aibės dviženklius skaičius baigiantis skaičiumi 3, nustatytas atitikmuo. Šis susirašinėjimas yra funkcija.

Apibrėžimo sritis yra (1; 2; 3;……..9)

Daug reikšmių (13; 23; 33;…….93).

Jei atitikmuo žymimas f, tai

Šią seką galima nurodyti naudojant par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Lentelė Nr.1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje, vadinama begaline seka.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- sekos nariai.

Pastaba: būtina atskirti aibės sąvoką ir sekos sąvoką.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Tas pats komplektas.

b) tačiau 10 sekos; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Įvairūs:

III. Apsvarstykite seką:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> begalinis, didėjantis

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> galutinis, mažėjantis.

Seka vadinama didėjančia, jei kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

b)

Pateikiamas mažėjančios sekos apibrėžimas.

Didėjančios arba mažėjančios sekos vadinamos monotoninėmis.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - svyruojantis;

5; 5; 5; 5; ..... - pastovus.

IV. Sekos gali būti pavaizduotos geometriškai. Nes seka yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra aibė N, tada grafikas, matyt, yra plokštumos taškų aibė (x; y).

Pavyzdys: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Nubraižykime šią seką

1 pav.

Pavyzdys: Įrodykite, kad seka pateikta šia forma

99; 74; 49; 24; -1;……………

mažėja.

V. Sekų patikslinimo metodai.

Nes Seka yra funkcija, apibrėžta aibėje N, tada yra penki būdai, kaip apibrėžti sekas:

I. Lentelinė

II. Aprašymo metodas

III. Analitinis

IV. Grafika

V. Pasikartojantis

I. Tabulinė – labai nepatogu. Sudarome lentelę ir pagal ją nustatome, kuris narys? kokią vietą jis užima....

II. Aprašymo būdas.

Pavyzdys: seka yra tokia, kad kiekvienas narys rašomas naudojant skaičių 4, o skaitmenų skaičius yra lygus sekos skaičiui.

III. Analitinis metodas(naudojant formulę).

Formulė, išreiškianti kiekvieną sekos narį jo skaičiumi n, vadinama sekos n nario formule.

Pavyzdžiui:

ir mokiniai sudaro šias sekas, ir atvirkščiai: pasirinkite sekų terminų formulę:

a) 1; ;
b) ...
;……………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Grafinis metodas

- taip pat nėra labai patogu, jie dažniausiai to nenaudoja..

Skaičių sekos Natūrali skaičių serija yra graži pati savaime: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... Tai gryniausia forma rodo didėjančią tvarką. Kitos skaičių grandinės sudarymo principas nėra toks akivaizdus: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., nors jie taip pat nėra atsitiktiniai: kiekvienas skaičius, pradedant nuo trečiojo, yra lygi dviejų ankstesnių sumai. Ši natūraliųjų skaičių serija, kuri turi savo istorinis vardas

– Fibonačio serija turi savo logiką ir grožį, kurį suvokti įmanoma tik kryptingai studijuojant. FIBONACCI SKAIČIAI. Leonardo Fibonacci (). Žymus italų matematikas, knygos „Abacus“ autorius. Ši knyga kelis šimtmečius išliko pagrindine aritmetikos ir algebros informacijos saugykla. Būtent per L. Fibonačio darbus įvaldė visa Europa, skaičiavimo sistema, taip pat praktinė geometrija. Jie išliko staliniais vadovėliais beveik iki Dekarto eros (o tai jau XVII a.!).

Sekos taisyklė išreiškiama žodinis aprašymas. Pavyzdžiai. 1) Paprastų dviženklių skaičių, mažesnių už 50, seka yra baigtinė: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Begalinė aproksimacijų seka neracionalus skaičius= =1, ...: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1, 7321, ... Žodinis

Nurodyta taisyklė, leidžianti apskaičiuoti n-ąjį tam tikros sekos narį, jei žinomi visi ankstesni jos nariai. Pavyzdys. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, jei n2. Apskaičiuokime keletą pirmųjų šios sekos narių: 1, 2, 6, 24, 120, …. Galite patikrinti, ar šios sekos n-asis narys lygus produktui pirmųjų n natūraliųjų skaičių: y n = n ! Pasikartojantis

2 uždavinys Raskite pirmuosius penkis kartotinius sekos narius: y 1 = 2, y n = y n Atsakymas: 2, 7, 12, 17, 22. Mokymo diktantas 1 variantas (2) 1. Ar skaičiaus 1200 daliklių seka yra baigtinė ar begalinė? (8 kartotiniai?) 2. Ar skaičių seka, kuri yra 6 kartotiniai, yra baigtinė ar begalinė? (Skaičiaus 2400 dalikliai?) 3. Seka pateikiama formule a n =5n+2 (b n =n 2 -3). Kam lygus trečiasis jo terminas? 4. Užrašykite paskutinį visų triženklių (dviženklių) skaičių sekos narį. 5. Duota pasikartojanti sekos formulė a n+1 =a n -4 ir 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Raskite 2 (b 2).

Galutinis variantas. 2. Infinite Option Infinite. 2. Galutinis

2 puslapis

Baigtinės pagrindinių simbolių sekos vadinamos S teorijos išraiškomis.  

Savavališka baigtinė abėcėlės simbolių seka (įskaitant tuščius) vadinama grandine Savavališka visų galimų grandinių aibės LA poaibis – čekis vadinamas kalba virš A.  

Nagrinėjamas SPD įgyvendina paketų komutavimo režimą, tai yra perdavimo būdas, kai duomenys iš vartotojo pranešimų yra suskirstomi į atskirus paketus, kurių perdavimo maršrutai tinkle nuo šaltinio iki gavėjo nustatomi kiekviename valdymo centre, kuriame paketai perduodami. yra gaunami. Pranešimai suprantami kaip baigtinė simbolių seka, turinti semantinį turinį. Paketas yra duomenų blokas su antrašte, pateiktas nurodytu formatu ir turintis ribotą skaičių maksimalus ilgis. Atkreipkite dėmesį, kad paketiniu duomenų perdavimo sistemos yra labai efektyvios dėl galimybės greitai pertvarkyti duomenų perdavimo kelius (maršrutizaciją) esant perkrovoms ir sugadinus duomenų perdavimo elementus. Įvairių duomenų perdavimo sistemos ir jos fragmentų sukūrimo variantų efektyvumas vertinamas pagal vidutinį duomenų pateikimo vartotojams laiką ir tikimybes, kad nepavyks užmegzti vartotojui reikalingo ryšio. šiuo metu laiko.  

Žinoma, ne kiekviena baigtinė simbolių seka yra teiginys; pavyzdžiui, (S0 L (55)) yra teiginys, bet l l) S3 ir S0 l nėra.  

F yra visų baigtinių simbolių sekų, kurios yra generatoriai arba jų atvirkštinės reikšmės, rinkinys. Visi žodžiai iš F skirstomi į klases taip: jei Wi ir W2 yra lygiaverčiai žodžiai iš F, tai Wi ir W2 priklauso tai pačiai klasei; jei Wi ir W2 nėra lygiaverčiai žodžiai iš F, tada Wi ir W2 nėra toje pačioje klasėje. Kitaip tariant, žodžiai Wi ir W2 yra toje pačioje klasėje ir tik tada, kai jie yra lygiaverčiai. Dažna problema, susidedantis iš sprendimo byloje savavališka grupė ar šie du žodžiai yra lygiaverčiai, labai sunku.  

Metamatematika yra teorija, tirianti formalizuotas matematikos teorijas. Formalizuota teorija, grubiai tariant, yra kai kurių baigtinių simbolių sekų, vadinamų formulėmis ir terminais, rinkinys ir kai kurių paprastos operacijos, pagamintas pagal šias sekas. Formulės ir terminai, gauti naudojant pyragą – kiek paprastos taisyklės, tarnauja kaip intuityvių pasiūlymų ir funkcijų pakaitalas matematinė teorija. Veiksmai su formulėmis atitinka elementarius dedukcijos žingsnius matematiniame samprotavime. Formulės, atitinkančios intuityviosios teorijos žaidimo aksiomas ypatingas vaidmuo- tai formalizuotos teorijos aksiomos. Formulės, kurias galima išvesti iš aksiomų taikant priimtus veiksmus, atitinka teorijos teoremas.  

Metamatematika yra teorija, tirianti formalizuotas matematikos teorijas. Formalizuota teorija, grubiai tariant, yra kai kurių baigtinių simbolių sekų, vadinamų formulėmis ir terminais, rinkinys ir kai kurių paprastų operacijų, atliekamų su šiomis sekomis, rinkinys. Formulės ir terminai, išvesti iš kelių paprastų taisyklių, yra intuityviosios matematinės teorijos teiginių ir funkcijų pakaitalai. Veiksmai su formulėmis atitinka elementarius dedukcijos žingsnius matematiniame samprotavime. Ypatingą vaidmenį atlieka formulės, atitinkančios intuityviosios teorijos aksiomas – tai formalizuotos teorijos aksiomos.  

Antra, galime atsisakyti reikalavimo, kad parašas būtų skaičiuojamas, ir pasakyti taip: kiekvienam poaibiui A C M yra elementarioji pogrupė M C M, kurioje yra A, kurios kardinalumas neviršija NQ maksimumo, aibės A kardinalumo ir parašo kardinalumo. . Tiesą sakant, tiek uždarymo konstravimas parašo operacijų atžvilgiu, tiek egzistencinio uždarumo konstravimas, tiek skaičiuojama didėjančios grandinės sąjunga neviršija nurodyto maksimumo, nes ir formulės, ir terminai yra baigtinės parašo simbolių sekos. ir nesuskaičiuojamas skaičius kitų simbolių (daugiau informacijos žr. ); tą patį galima pasakyti ir apie galimų parametrų reikšmių rinkinių skaičių.  

Nagrinėjamoje IVS yra įdiegtas paketų perjungimo režimas, kuris suteikia perdavimo būdą, kai duomenys iš vartotojo pranešimų yra suskirstomi į atskirus paketus. Paketų perdavimo tinkle maršrutai nuo šaltinio iki gavėjo nustatomi kiekvienoje valdymo įmonėje, į kurią jie atvyksta. Pranešimai suprantami kaip baigtinė simbolių seka, turinti semantinį turinį. Paketas yra duomenų blokas su antrašte, pateiktas nurodytu formatu ir turintis ribotą maksimalų ilgį. Atkreipkite dėmesį, kad IVS su paketų perjungimu yra labai efektyvūs dėl galimybės greitai pertvarkyti duomenų perdavimo kelius (maršrutizaciją) perkrovų ir IVS elementų pažeidimo atveju. Įvairių IVS ir jos fragmentų kūrimo galimybių efektyvumas vertinamas pagal vidutinį duomenų pateikimo vartotojams laiką ir tikimybę, kad konkrečiu metu nepavyks užmegzti vartotojo reikalingo ryšio.  

Nagrinėjant (baigtinę ar begalinę) skaičiuojamą aibę, skaičiai, atitinkantys jos elementus tam tikroje fiksuotoje konversijoje, gali būti naudojami kaip atskiri šių elementų žymėjimai arba pavadinimai. Bet atvirkščiai, jei vardas arba aiškus posakis tam tikroje iš anksto nustatytoje vienareikšmėje žymėjimo sistemoje gali būti individualiai susietas su kiekvienu tam tikros aibės elementu, tada ši aibė (baigtinė arba begalinė) yra skaičiuojama su sąlyga, kad pavadinimas arba išraiška turi būti baigtinė simbolių seka, parinkta iš tam tikros mums prieinamos baigtinės simbolių abėcėlės. Pavyzdžiui, algebrines lygtis su sveikaisiais koeficientais galima parašyti naudojant dešimtainį koeficientų ir eksponentų žymėjimą. Eksponentų rašymas viršuje yra nesvarbi mūsų žymėjimo ypatybė, kurią galima pašalinti naudojant tinkamą susitarimą.  

Pavyzdžiui, apsvarstykite dviejų daugianario su sveikųjų skaičių dauginimo problemą. Problema yra ta, kaip parašyti šiuos polinomus, kad juos būtų galima įvesti į kompiuterį. Tiuringo mašinos, kurias mes svarstome toliau, iš kai kurių supranta tik baigtines simbolių (žodžių) sekas baigtinis rinkinys A, vadinama išorine abėcėle. Todėl griežta skaičiavimo problemos formuluotė turi apimti abėcėlę ir įvesties duomenų kodavimo metodą.  

Kiekvienas abėcėlės operatorius yra susijęs su intuityvia jo sudėtingumo idėja. Paprasčiausi yra abėcėliniai operatoriai, kurie atlieka simbolių atvaizdavimą. Simbolių atvaizdavimas susideda iš kiekvieno įvesties žodžio A simbolio s pakeitimo kokiu nors išvesties abėcėlės B ženklu. Puiki vertė turi vadinamuosius kodavimo atvaizdus. Kodavimo žemėlapis suprantamas kaip atitikimas, susiejantis kiekvieną įvesties abėcėlės simbolį su tam tikra baigtine išvesties abėcėlės simbolių seka, vadinama kodu.  

Jie sudaro nesuskaičiuojamą daugybę. Apskaičiuojamos funkcijos sudaro labai svarbų poaibį, kurį pradedame tyrinėti. Iš tiesų, naudojant bet kurią algoritminę kalbą, kiekviena programa susideda iš baigtinė seka baigtinės arba skaičiuojamos abėcėlės simboliai. Iš to išplaukia, kad programų rinkinys yra nesuskaičiuojamai begalinis.  

Panagrinėkime šiek tiek kitokią indukcinių išvadų problemų formą. Tarkime, kad mums duota pakankamai ilga simbolių seka ir užduotis yra numatyti tolesnius šios sekos simbolius. Tai normali užduotis tiems atvejams, kai tikimybes reikia įvertinti indukcija. Šią užduotį kiek atgaivina įžanga moderni koncepcija universalus kompiuteris ir jam sukurta programavimo kalba. Sakoma, kad programa galioja, jei ją gavusi mašina išspausdina seką, net ir begalinę, kuri prasideda tam tikra baigtine simbolių seka. Taigi kiekviena tinkama programa numato.  

Jei visi natūralusis skaičius n yra priskirtas kai kuriems realus skaičius x n , tada jie sako, kad duota skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

Skaičius x 1 vadinamas sekos nariu su numeriu 1 arba pirmasis sekos terminas, numeris x 2 – sekos narys su numeriu 2 arba antrasis sekos narys ir kt. Vadinamas skaičius x n sekos narys su skaičiumi n.

Yra du būdai nurodyti skaičių sekas – su ir su pasikartojanti formulė.

Seka naudojant sekos bendrojo termino formules– tai sekos užduotis

x 1 , x 2 , … x n , …

naudojant formulę, išreiškiančią termino x n priklausomybę nuo jo skaičiaus n.

1 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikiami naudojant bendro termino formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekos nurodymas naudojant formulę, išreiškiančią sekos narį x n per sekos narius su ankstesniais skaičiais, vadinamas sekos nurodymu naudojant pasikartojanti formulė.

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino didėjančia seka, daugiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n

x n + 1 >x n

3 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių seka

1, 2, 3, … n, …

yra didėjančia seka.

Apibrėžimas 2. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino mažėjančia seka jei kiekvienas šios sekos narys mažiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

x n + 1 < x n

4 pavyzdys. Pasekmė

pateikta pagal formulę

yra mažėjančia seka.

5 pavyzdys. Skaičių seka

1, - 1, 1, - 1, …

pateikta pagal formulę

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nėra nei didėja, nei mažėja seka.

Apibrėžimas 3. Vadinamos didėjančios ir mažėjančios skaičių sekos monotoniškos sekos.

Apribotos ir neribotos sekos

Apibrėžimas 4. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino apribotas iš viršaus, jei yra toks skaičius M, kad kiekvienas šios sekos narys mažiau skaičiai M.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Apibrėžimas 5. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino apribota žemiau, jei yra toks skaičius m, kad kiekvienas šios sekos narys daugiau skaičiai m.

Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Apibrėžimas 6. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

vadinamas ribotu, jei jis ribotas tiek viršuje, tiek apačioje.

Kitaip tariant, yra skaičiai M ir m tokie, kad visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

m< x n < M

Apibrėžimas 7. Skaitinės sekos, kurios nėra ribojami, paskambino neribotos sekos.

6 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikta pagal formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

apribota žemiau, pavyzdžiui, skaičius 0. Tačiau ši seka neribotas iš viršaus.

7 pavyzdys. Pasekmė

pateikta pagal formulę

yra ribota seka, nes visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama

Mūsų svetainėje taip pat galite susipažinti su mokymo centro „Resolventa“ mokytojų parengta mokomoji medžiaga, skirta pasiruošti vieningam valstybiniam matematikos egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui.

Moksleiviams, norintiems gerai pasiruošti ir išlaikyti Vieningas valstybinis matematikos arba rusų kalbos egzaminasįjungta aukštas rezultatas, mokymo centras Diriguoja „Resolventa“.

Seka yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka gali būti sudaryta iš skaičių, taškų, funkcijų, vektorių ir kt. Seka laikoma duota, jei nurodytas dėsnis, pagal kurį kiekvienas natūralusis skaičius yra susietas su tam tikros aibės elementu. Seka parašyta forma arba trumpai. Elementai vadinami sekos nariais, - pirmuoju, - antruoju, - bendruoju (-uoju) sekos nariu.

Dažniausiai laikomos skaičių sekos, t.y. sekos, kurių nariai yra skaičiai. Analitinis metodas yra paprasčiausias būdas nurodyti skaitinę seką. Tai atliekama naudojant formulę, išreiškiančią th-ąjį sekos narį jo skaičiumi. Pavyzdžiui, jei

Kitas metodas yra pasikartojantis (nuo Lotyniškas žodis pasikartoja - „grįžta“), kai nurodomi keli pirmieji sekos nariai ir taisyklė, leidžianti kiekvieną paskesnį narį apskaičiuoti naudojant ankstesnius. Pavyzdžiui:

Skaičių sekų pavyzdžiai - aritmetinė progresija ir geometrinė progresija.

Įdomu atsekti sekos narių elgesį, kai skaičius didėja neribotai (kas didėja neribotai, rašoma formoje ir skaitoma: „linkęs į begalybę“).

Apsvarstykite seką su bendras narys: , , , …, , …. Visos šios sekos sąlygos skiriasi nuo nulio, bet kuo daugiau, tuo mažiau skiriasi nuo nulio. Šios sekos terminai linkę į nulį, nes jie didėja neribotą laiką. Jie sako, kad skaičius nulis yra šios sekos riba.

Kitas pavyzdys: - apibrėžia seką

Šios sekos sąlygos taip pat linkusios į nulį, bet jos yra didesnis už nulį, tada mažiau nei nulis – jo riba.

Pažvelkime į kitą pavyzdį: . Jei formoje atstovaujama

tada paaiškės, kad ši seka linkusi į vienybę.

Apibrėžkime sekos ribą. Skaičius vadinamas sekos riba, jei bet kuriam teigiamam skaičiui galima nurodyti tokį skaičių, kad nelygybė galiotų visiems.

Jei seka yra ribojama, jie rašo arba (pirmosios trys lotyniško žodžio limes raidės - „riba“).

Šis apibrėžimas taps aiškesnis, jei jį pateiksime geometrine prasme. Įtraukime skaičių į intervalą (1 pav.). Skaičius yra sekos riba, jei, nepaisant intervalo mažumo, šiame intervale bus visi sekos nariai, kurių skaičiai yra didesni už kai kuriuos. Kitaip tariant, tik baigtinis sekos terminų skaičius gali būti už bet kurio intervalo ribų.

Nagrinėjamos sekos taško nulio kaimynystė apima visus sekos narius, išskyrus pirmąjį dešimtuką, ir at – visus sekos narius, išskyrus pirmąjį šimtą.

Seka, kuri turi ribą, vadinama konvergentine, o seka, kuri neturi ribos, vadinama divergentine. Čia yra skirtingos sekos pavyzdys: . Jos nariai pakaitomis yra lygūs ir nelinkę į jokias ribas.

Jeigu seka suartėja, vadinasi, ji yra ribojama, t.y. yra skaičiai ir tokie, kad visi sekos nariai tenkina sąlygą. Iš to išplaukia, kad visos neapribotos sekos yra skirtingos. Tai yra sekos:

„Atidus ir gilus gamtos tyrimas yra vaisingiausių matematikos atradimų šaltinis. J. Furjė

Seka, linkusi į nulį, vadinama be galo maža. Begalinio mažumo sąvoka gali būti naudojama kaip pagrindas bendras apibrėžimas sekos riba, nes sekos riba yra lygi tada ir tik tada, kai ji atvaizduojama kaip suma , kur yra be galo maža.

Nagrinėjamos sekos yra be galo mažos. Seka , kaip matyti iš (2), skiriasi nuo 1 be galo maža, todėl šios sekos riba yra 1.

Didelė vertė matematinė analizė taip pat turi be galo didelės sekos sąvoką. Seka vadinama be galo didele, jei seka yra be galo maža. Be galo didelė seka parašyta forma arba , ir sakoma, kad ji „linkusi į begalybę“. Štai be galo didelių sekų pavyzdžiai:

Pabrėžiame, kad be galo didelė seka neturi ribų.

Panagrinėkime sekas ir . Galima apibrėžti sekas su bendrais terminais , ir (jei). Ši teorema yra teisinga, kuri dažnai vadinama teorema apie aritmetinės operacijos su ribomis: jei sekos konvergencinės, tai sekos , , ir taip pat yra konvergencinės, ir galioja šios lygybės:

Pastaruoju atveju būtina reikalauti, kad būtų įvykdyta sąlyga, be to, kad visi sekos nariai skirtųsi nuo nulio.

Taikant šią teoremą galima rasti daug ribų. Raskime, pavyzdžiui, sekos ribą su bendru ir nedidėjančiu terminu. Visiškai akivaizdu, kad ši seka linkusi į tam tikrą skaičių, kuris yra mažesnis arba lygus . Matematinės analizės metu įrodoma teorema, kad nemažėjanti ir ribojama aukščiau seka turi ribą (panašus teiginys galioja ir nedidėjančiai ir apribotai žemiau sekai). Ši nuostabi teorema suteikia pakankamai sąlygų ribos buvimas. Pavyzdžiui, iš to išplaukia, kad taisyklingų trikampių plotų seka, įrašyta į vienetinio spindulio apskritimą, turi ribą, nes ji monotoniškai didėja ir ribojama iš viršaus. Šios sekos riba pažymėta .

Naudojant monotoninę ribą ribota seka nustatomas skaičius, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematinėje analizėje - natūraliųjų logaritmų bazė:

.

Seka (1), kaip jau minėta, yra monotoniška ir, be to, apribota iš viršaus. Ji turi ribą. Mes galime lengvai rasti šią ribą. Jei jis lygus, tai skaičius turi tenkinti lygybę. Išspręsdami šią lygtį, gauname .