Kuris yra pirminis skaičius. Pirminiai skaičiai

Daliklių surašymas. Pagal apibrėžimą skaičius n yra pirminis tik tada, kai jis nėra tolygiai dalijamas iš 2 ir kitų sveikųjų skaičių, išskyrus 1 ir save patį. Aukščiau pateikta formulė pašalina nereikalingus veiksmus ir sutaupo laiko: pavyzdžiui, patikrinus, ar skaičius dalijasi iš 3, nereikia tikrinti, ar jis dalijasi iš 9.

• Funkcija grindys (x) suapvalina x iki artimiausio sveikojo skaičiaus, kuris yra mažesnis arba lygus x.

Sužinokite apie modulinę aritmetiką. Operacija yra „x mod y“ (mod trumpinys Lotyniškas žodis„modulo“ reiškia „x padalyti iš y ir rasti likutį“. Kitaip tariant, modulinėje aritmetikoje, pasiekus tam tikrą reikšmę, kuri vadinama modulis, skaičiai vėl „pasisuka“ į nulį. Pavyzdžiui, laikrodis laiko laiką, kurio modulis yra 12: jis rodo 10, 11 ir 12 valandą, o tada grįžta į 1.

• Daugelis skaičiuotuvų turi mod raktą. Pabaigoje šį skyrių parodyta, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti šią funkciją dideli skaičiai.

Pirminis skaičius yra natūralusis (teigiamas sveikasis skaičius), kuris be liekanos dalijasi tik iš dviejų natūraliųjų skaičių: iš savęs ir iš savęs. Kitaip tariant, pirminis skaičius turi lygiai du natūralus daliklis: ir pats numeris.

Pagal apibrėžimą pirminio skaičiaus visų daliklių aibė yra dviejų elementų, t.y. reprezentuoja rinkinį.

Visų pirminių skaičių aibė žymima simboliu. Taigi dėl pirminių skaičių aibės apibrėžimo galime rašyti: .

Pirminių skaičių seka atrodo taip:

Pagrindinė aritmetikos teorema

Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vieną, gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, ir vienintelis būdas iki veiksnių eilės. Taigi pirminiai skaičiai yra elementarieji natūraliųjų skaičių aibės „statybiniai blokai“.

Skilimas natūralusis skaičius title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanoninis:

kur yra pirminis skaičius ir . Pavyzdžiui, kanoninis skaidymas natūralusis skaičius atrodo taip: .

Taip pat vadinamas natūraliojo skaičiaus vaizdavimas pirminių skaičių sandauga skaičiaus faktorizavimas.

Pirminių skaičių savybės

Eratosteno sietelis

Vienas iš labiausiai žinomi algoritmai pirminių skaičių paieška ir atpažinimas yra Eratosteno sietas. Taigi šis algoritmas buvo pavadintas graikų matematiko Eratosteno Kirėniečio vardu, kuris laikomas algoritmo autoriumi.

Norėdami rasti visus pirminius skaičius, mažesnius už duotas numeris Taikydami Eratosteno metodą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1 veiksmas. Užrašykite visus natūraliuosius skaičius nuo dviejų iki , t.y. .
2 veiksmas. Priskirti kintamoji vertė, tai yra reikšmė, lygi mažiausiam pirminiam skaičiui.
3 veiksmas. Išbraukite sąraše visus skaičius nuo iki, kurie yra kartotiniai, tai yra skaičiai: .
4 veiksmas. Suraskite pirmąjį neperbrauktą skaičių sąraše, didesnį už , ir priskirkite šio skaičiaus reikšmę kintamajam.
5 veiksmas. Kartokite 3 ir 4 veiksmus, kol pasieksite skaičių.

Algoritmo taikymo procesas atrodys taip:

Visi likę neperbraukti skaičiai sąraše algoritmo taikymo proceso pabaigoje bus pirminių skaičių rinkinys nuo iki .

Goldbacho spėjimas

Knygos „Dėdė Petrosas ir Goldbacho hipotezė“ viršelis

Nepaisant to, kad pirminius skaičius matematikai tyrinėjo gana ilgą laiką, daugelis susijusių problemų šiandien lieka neišspręstos. Viena žinomiausių neišspręstų problemų yra Goldbacho hipotezė, kuris suformuluotas taip:

• Ar tiesa, kad kiekvienas lyginis skaičius, didesnis už du, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma (Goldbacho dvejetainė hipotezė)?
• Ar tiesa, kad kiekvienas nelyginis skaičius, didesnis nei 5, gali būti pavaizduotas kaip suma? trys paprasti skaičiai (trinarė Goldbacho hipotezė)?

Reikėtų pasakyti, kad trinarė Goldbacho hipotezė yra ypatingas dvejetainės Goldbacho hipotezės atvejis, arba, kaip sako matematikai, trinarė Goldbacho hipotezė yra silpnesnė už dvejetainę Goldbacho hipotezę.

Goldbacho spėjimas tapo plačiai žinomas už matematikos bendruomenės ribų 2000 m. dėl reklamos kampanijos. rinkodaros triukas leidybos kompanijos Bloomsbury USA (JAV) ir Faber and Faber (JK). Šie leidėjai, išleidę knygą „Dėdė Petros ir Goldbacho spėjimas“, pažadėjo per 2 metus nuo knygos išleidimo datos sumokėti 1 milijono JAV dolerių premiją kiekvienam, kuris įrodys Goldbacho hipotezę. Kartais minėtas leidėjų prizas painiojamas su prizais už Tūkstantmečio premijos problemų sprendimą. Nesuklyskite, Goldbacho hipotezės Molio institutas nepriskiria „tūkstantmečio iššūkiui“, nors ji yra glaudžiai susijusi su Riemann hipotezė– vienas iš „tūkstantmečio iššūkių“.

Knyga „Pirminiai skaičiai. Ilgas kelias į begalybę"

Knygos „Matematikos pasaulis. Pirminiai skaičiai. Ilgas kelias į begalybę"

Be to, rekomenduoju perskaityti įdomią mokslo populiarinimo knygą, kurios anotacijoje rašoma: „Pirminių skaičių paieška yra viena paradoksaliausių matematikos problemų. Mokslininkai bandė ją išspręsti kelis tūkstantmečius, tačiau, augant naujoms versijoms ir hipotezėms, ši paslaptis vis dar lieka neįminta. Pirminių skaičių išvaizda nepavaldi jokiai sistemai: natūraliųjų skaičių serijoje jie atsiranda spontaniškai, ignoruojant visus matematikų bandymus identifikuoti jų sekos modelius. Ši knyga leis skaitytojui atsekti evoliuciją mokslinės idėjos nuo seniausių laikų iki šių dienų ir supažindins su įdomiausiomis pirminių skaičių paieškos teorijomis“.

Be to, pacituosiu šios knygos antrojo skyriaus pradžią: „Pirminiai skaičiai yra vienas iš svarbiomis temomis, kurie sugrąžina mus į pačias matematikos pradžią, o paskui vis sudėtingesniu keliu veda į priešakį šiuolaikinis mokslas. Taigi būtų labai naudinga sekti žavias ir sudėtinga istorija pirminių skaičių teorija: kaip tiksliai ji vystėsi, kaip tiksliai buvo renkami faktai ir tiesos, kurios šiuo metu laikomos visuotinai pripažintais. Šiame skyriuje pamatysime, kaip matematikų kartos atidžiai tyrinėjo natūraliuosius skaičius, ieškodamos taisyklės, numatančios pirminių skaičių atsiradimą – taisyklę, kuri paieškoje tapo vis sunkiau suvokiama. Taip pat pažvelgsime atidžiau istorinis kontekstas: kokiomis sąlygomis dirbo matematikai ir kiek jų darbe buvo naudojamos mistinės ir pusiau religinės praktikos, kurios visiškai nepanašios į mokslinius metodus, naudojamas šiais laikais. Nepaisant to, lėtai ir sunkiai buvo paruošta dirva naujiems požiūriams, kurie įkvėpė Fermat ir Euler XVII ir XVIII a.

• Vertimas

Pirminių skaičių savybes pirmieji tyrė matematikai Senovės Graikija. Pitagoro mokyklos (500 – 300 m. pr. Kr.) matematikai pirmiausia domėjosi mistinėmis ir numerologinėmis pirminių skaičių savybėmis. Jie buvo pirmieji, kurie sugalvojo tobulus ir draugiškus skaičius.

Tobulas skaičius turi savo daliklių sumą, lygią jam pačiam. Pavyzdžiui, tinkami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2 ir 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaičiaus 28 dalikliai yra 1, 2, 4, 7 ir 14. Be to, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Skaičiai vadinami draugiškaisiais, jei vieno skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi kitam, ir atvirkščiai – pavyzdžiui, 220 ir 284. Galima sakyti, kad tobulas skaičius yra draugiškas sau.

Iki Euklido elementų 300 m. pr. Kr. kelios jau įrodytos svarbius faktus dėl pirminių skaičių. IX elementų knygoje Euklidas įrodė, kad pirminiai skaičiai begalinis skaičius. Tai, beje, vienas iš pirmųjų įrodymų panaudojimo prieštaravimu pavyzdžių. Jis taip pat įrodo pagrindinę aritmetikos teoremą – kiekvienas sveikas skaičius gali būti pavaizduotas unikaliai kaip pirminių skaičių sandauga.

Jis taip pat parodė, kad jei skaičius 2n-1 yra pirminis, tada skaičius 2n-1 * (2n-1) bus tobulas. Kitas matematikas Euleris 1747 m. sugebėjo parodyti, kad visi net tobuli skaičiai gali būti užrašyti šia forma. Iki šiol nežinoma, ar egzistuoja nelyginiai tobuli skaičiai.

200 metais prieš Kristų. Graikas Eratostenas sugalvojo pirminių skaičių paieškos algoritmą, vadinamą Eratosteno sietu.

Ir tada įvyko didelis lūžis pirminių skaičių, siejamų su viduramžiais, tyrimo istorijoje.

Šiuos atradimus jau XVII amžiaus pradžioje padarė matematikas Fermatas. Jis įrodė Alberto Girardo spėjimą, kad bet kurį pirminį 4n+1 formos skaičių galima parašyti vienareikšmiškai kaip dviejų kvadratų sumą, taip pat suformulavo teoremą, kad bet kurį skaičių galima užrašyti kaip keturių kvadratų sumą.

Jis išsivystė naujas metodas didelių skaičių faktorizaciją ir pademonstravo tai skaičiumi 2027651281 = 44021 × 46061. Jis taip pat įrodė mažąją Ferma teoremą: jei p yra pirminis skaičius, tai bet kuriam sveikajam skaičiui a bus tiesa, kad a p = modulo p.

Šis teiginys įrodo pusę to, kas buvo žinoma kaip „kinų spėjimas“ ir yra 2000 metų senumo: sveikasis skaičius n yra pirminis tada ir tik tada, kai 2 n -2 dalijasi iš n. Antroji hipotezės dalis pasirodė klaidinga - pavyzdžiui, 2 341 - 2 dalijasi iš 341, nors skaičius 341 yra sudėtinis: 341 = 31 × 11.

Mažoji Ferma teorema buvo daugelio kitų skaičių teorijos rezultatų ir metodų, skirtų patikrinti, ar skaičiai yra pirminiai skaičiai, pagrindas – daugelis jų vis dar naudojami ir šiandien.

Fermatas daug susirašinėjo su savo amžininkais, ypač su vienuoliu, vardu Maren Mersenne. Viename iš savo laiškų jis iškėlė hipotezę, kad 2 n +1 formos skaičiai visada bus pirminiai, jei n yra dviejų laipsnis. Jis išbandė tai, kai n = 1, 2, 4, 8 ir 16, ir buvo įsitikinęs, kad tuo atveju, kai n nėra dviejų laipsnis, skaičius nebūtinai yra pirminis. Šie skaičiai vadinami Ferma skaičiais ir tik po 100 metų Euleris parodė, kad kitas skaičius 2 32 + 1 = 4294967297 dalijasi iš 641, todėl nėra pirminis.

2 formos n - 1 skaičiai taip pat buvo tiriami, nes nesunku parodyti, kad jei n yra sudėtinis, tai ir pats skaičius yra sudėtinis. Šie skaičiai vadinami Merseno skaičiais, nes jis juos daug tyrinėjo.

Tačiau ne visi 2 formos n - 1 skaičiai, kur n yra pirminis, yra pirminiai. Pavyzdžiui, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmą kartą tai buvo atrasta 1536 m.

Daugelį metų tokio pobūdžio skaičiai matematikams suteikdavo didžiausius žinomus pirminius skaičius. Kad M 19 įrodė Cataldi 1588 m., ir 200 metų buvo didžiausias žinomas pirminis skaičius, kol Euleris įrodė, kad M 31 taip pat yra pirminis skaičius. Šis rekordas išliko dar šimtą metų, o tada Lucas parodė, kad M 127 yra pirminis (ir tai jau yra 39 skaitmenų skaičius), o po to tyrimai tęsėsi atsiradus kompiuteriams.

1952 metais buvo įrodytas skaičių M 521, M 607, M 1279, M 2203 ir M 2281 pirmumas.

Iki 2005 m. buvo rasti 42 Mersenne pirminiai laipsniai. Didžiausias iš jų, M 25964951, susideda iš 7816230 skaitmenų.

Eulerio darbas turėjo didžiulę įtaką skaičių teorijai, įskaitant pirminius skaičius. Jis išplėtė Ferma mažąją teoremą ir įvedė φ funkciją. Faktorizuotas 5-asis Fermat skaičius 2 32 +1, surasta 60 porų draugiškų skaičių ir suformuluota (bet negalėjo įrodyti) kvadratinis dėsnis abipusiškumas.

Jis pirmasis pristatė metodus matematinė analizė ir išsivystė analitinė teorija numeriai. Jis įrodė, kad ne tik harmonikų serija ∑ (1/n), bet ir formos eilutė

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma gautas rezultatas taip pat skiriasi. n dėmenų suma harmonikų serija auga maždaug kaip log(n), o antroji eilutė skiriasi lėčiau kaip log[ log(n) ]. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, suma abipusiai prie visų iki šiol rastų pirminių skaičių duos tik 4, nors serija vis tiek skiriasi.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad pirminiai skaičiai tarp sveikųjų skaičių pasiskirsto gana atsitiktinai. Pavyzdžiui, tarp 100 skaičių prieš pat 10000000 yra 9 pirminiai skaičiai, o tarp 100 skaičių iškart po šios reikšmės yra tik 2. Tačiau dideliuose segmentuose pirminiai skaičiai pasiskirsto gana tolygiai. Legendre ir Gaussas sprendė jų platinimo klausimus. Gaussas kartą pasakė draugui, kad per bet kurias laisvas 15 minučių jis visada skaičiuoja pirminių skaičių kituose 1000 skaičių. Iki savo gyvenimo pabaigos jis buvo suskaičiavęs visus pirminius skaičius iki 3 mln. Legendre ir Gaussas vienodai apskaičiavo, kad dideliems n pirminis tankis yra 1/log(n). Legendre apskaičiavo pirminių skaičių diapazone nuo 1 iki n as

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

O Gausas yra tarsi logaritminis integralas

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Su integravimo intervalu nuo 2 iki n.

Teiginys apie pirminį tankį 1/log(n) yra žinomas kaip pirminio pasiskirstymo teorema. Jie bandė tai įrodyti visą XIX amžių, o pažangą pasiekė Čebyševas ir Riemannas. Jie susiejo tai su Riemann hipoteze, vis dar neįrodyta hipoteze apie Riemann zeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Pirminių skaičių tankį vienu metu įrodė Hadamardas ir Vallée-Poussin 1896 m.

Pirminių skaičių teorijoje vis dar yra daug neišspręstų klausimų, kai kuriems iš jų yra šimtai metų:

• Dvynių pirminių skaičių hipotezė yra apie begalinį skaičių porų pirminių skaičių, kurios viena nuo kitos skiriasi 2
• Goldbacho spėjimas: bet koks lyginis skaičius, prasidedantis 4, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n 2 + 1?
• Ar visada galima rasti pirminį skaičių tarp n 2 ir (n + 1) 2? (faktą, kad visada yra pirminis skaičius tarp n ir 2n, įrodė Čebyševas)
• Ar Ferma pirminių skaičių skaičius yra begalinis? Ar po 4 yra Fermat pirminių skaičių?
• ar jis egzistuoja aritmetinė progresija iš eilės einančių pirminių skaičių bet kuriam tam tikram ilgiui? pavyzdžiui, 4 ilgiui: 251, 257, 263, 269. Didžiausias rastas ilgis yra 26.
• Ar aritmetinėje progresijoje yra begalinis trijų iš eilės pirminių skaičių aibių skaičius?
• n 2 – n + 41 yra pirminis skaičius, kai 0 ≤ n ≤ 40. Ar yra begalinis tokių pirminių skaičių skaičius? Tas pats klausimas formulei n 2 – 79 n + 1601. Šie skaičiai yra pirminiai, kai 0 ≤ n ≤ 79.
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# + 1? (n# yra visų pirminių skaičių, mažesnių už n, padauginimo rezultatas)
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# -1 ?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? + 1?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? – 1?
• jei p yra pirminis, ar 2 p -1 tarp jo veiksnių visada neturi pirminių kvadratų?
• ar Fibonačio sekoje yra begalinis pirminių skaičių skaičius?

Didžiausi dvyniai pirminiai skaičiai yra 2003663613 × 2 195000 ± 1. Jie susideda iš 58711 skaitmenų ir buvo atrasti 2007 m.

Didžiausias pirminis faktorinis skaičius (n! ± 1 tipo) yra 147855! - 1. Jį sudaro 142891 skaitmuo ir rastas 2002 m.

Didžiausias pirminis skaičius (n# ± 1 formos skaičius) yra 1098133# + 1.

Skaičiai yra skirtingi: natūralūs, racionalūs, racionalūs, sveikieji ir trupmeniniai, teigiami ir neigiami, kompleksiniai ir pirminiai, nelyginiai ir lyginiai, tikrieji ir tt Iš šio straipsnio galite sužinoti, kas yra pirminiai skaičiai.

Kokie skaičiai angliškai vadinami „paprastais“?

Labai dažnai moksleiviai iš pirmo žvilgsnio nežino, kaip atsakyti į vieną paprasčiausių matematikos klausimų, kas yra pirminis skaičius. Jie dažnai painioja pirminius skaičius su natūraliaisiais skaičiais (ty skaičiais, kuriuos žmonės naudoja skaičiuodami objektus, o kai kuriuose šaltiniuose jie prasideda nuliu, o kituose - vienetu). Bet tai visiškai du skirtingos sąvokos. Pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai yra sveikieji ir teigiami skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir turi tik 2 natūraliuosius daliklius. Be to, vienas iš šių daliklių yra duotas numeris, o antrasis yra vienas. Pavyzdžiui, trys yra pirminis skaičius, nes jo negalima padalyti be likučio iš jokio kito skaičiaus, išskyrus jį patį ir vieną.

Sudėtiniai skaičiai

Pirminių skaičių priešingybė yra sudėtiniai skaičiai. Jie taip pat yra natūralūs, taip pat didesni už vieną, bet turi ne du, o daugiau skirstytuvai. Taigi, pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9 ir kt. yra natūralūs, sudėtiniai, bet ne pirminiai skaičiai. Kaip matote, tai dažniausiai lyginiai skaičiai, bet ne visi. Tačiau „du“ yra lyginis skaičius ir „pirmasis skaičius“ pirminių skaičių serijoje.

Pasekmė

Norint sudaryti pirminių skaičių seką, reikia pasirinkti iš visų natūraliųjų skaičių, atsižvelgiant į jų apibrėžimą, tai yra, reikia veikti prieštaringai. Būtina atsižvelgti į kiekvieną iš natūralių teigiami skaičiai kad pamatytumėte, ar jis turi daugiau nei du daliklius. Pabandykime sukurti seriją (seką), kurią sudaro pirminiai skaičiai. Sąrašas prasideda dviem, o paskui trimis, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieno. Apsvarstykite skaičių keturi. Ar jis turi kitus daliklius nei keturi ir vienas? Taip, tas skaičius yra 2. Taigi keturi nėra pirminis skaičius. Penki taip pat yra pirminiai (jis nesidalija iš jokio kito skaičiaus, išskyrus 1 ir 5), bet šeši dalijasi. Ir apskritai, jei vadovausitės visais lyginiais skaičiais, pastebėsite, kad, išskyrus „du“, nė vienas iš jų nėra pirminis. Iš to darome išvadą, kad lyginiai skaičiai, išskyrus du, nėra pirminiai. Kitas atradimas: visi skaičiai, dalijami iš trijų, išskyrus pačius tris, nesvarbu, ar jie lyginiai, ar nelyginiai, taip pat nėra pirminiai (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ir kt.). Tas pats pasakytina apie skaičius, kurie dalijasi iš penkių ir septynių. Visa jų gausybė taip pat nėra paprasta. Apibendrinkime. Taigi, prie paprastų vienženkliai skaičiaiĮtraukti visi nelyginiai skaičiai, išskyrus vieną ir devynis, o net „du“ yra lyginiai skaičiai. Patys dešimtukai (10, 20,... 40 ir kt.) nėra paprasti. Pirminius dviženklius, triženklius ir kt.

Teorijos apie pirminių skaičių savybes

Yra mokslas, tiriantis sveikųjų skaičių, įskaitant pirminius skaičius, savybes. Tai matematikos šaka, vadinama aukštąja. Be sveikųjų skaičių savybių, ji taip pat nagrinėja algebrinę, transcendentiniai skaičiai, taip pat funkcijos įvairios kilmės susiję su šių skaičių aritmetika. Šiuose tyrimuose, be elementarių ir algebriniai metodai, taip pat naudojami analitinė ir geometrinė. Konkrečiai, „Skaičių teorija“ yra susijusi su pirminių skaičių tyrimu.

Pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių „statybiniai blokai“.

Aritmetikoje yra teorema, vadinama pagrindine teorema. Pagal ją bet koks natūralusis skaičius, išskyrus vieną, gali būti pavaizduotas kaip sandauga, kurios veiksniai yra pirminiai skaičiai, o veiksnių eilė yra unikali, vadinasi, vaizdavimo būdas yra unikalus. Tai vadinama natūraliojo skaičiaus išskaidymu į pagrindiniai veiksniai. Yra ir kitas šio proceso pavadinimas – skaičių faktorizacija. Remiantis tuo, pirminiai skaičiai gali būti vadinami „statybine medžiaga“, „blokais“ natūraliųjų skaičių konstravimui.

Ieškokite pirminių skaičių. Paprastumo testai

Daugelis skirtingų laikų mokslininkų bandė rasti tam tikrus principus (sistemas), kaip rasti pirminių skaičių sąrašą. Mokslas žino sistemas, vadinamas Atkin sietu, Sundartham sietu ir Eratosthenes sietu. Tačiau jie neduoda jokių reikšmingų rezultatų, o pirminiams skaičiams rasti naudojame paprastas patikrinimas. Matematikai taip pat sukūrė algoritmus. Paprastai jie vadinami pirmumo testais. Pavyzdžiui, yra Rabino ir Millerio sukurtas testas. Jį naudoja kriptografai. Taip pat yra Kayal-Agrawal-Sasquena testas. Tačiau, nepaisant pakankamo tikslumo, jį labai sunku apskaičiuoti, o tai sumažina jo praktinę reikšmę.

Ar pirminių skaičių aibė turi ribą?

Senovės graikas savo knygoje „Principai“ rašė, kad pirminių skaičių aibė yra begalybė. mokslininkas Euklidas. Jis pasakė taip: „Akimirkai įsivaizduokime, kad pirminiai skaičiai turi ribą. Tada padauginkime juos tarpusavyje ir pridėkime vieną prie produkto. Iš jų gautas skaičius paprasti veiksmai, negalima padalyti iš pirminių skaičių, nes likusioji dalis visada bus viena. Tai reiškia, kad yra dar koks nors skaičius, kuris dar neįtrauktas į pirminių skaičių sąrašą. Todėl mūsų prielaida nėra teisinga, ir ši aibė negali turėti ribos. Be Euklido įrodymų, yra ir daugiau moderni formulė, pateikė XVIII amžiaus šveicarų matematikas Leonhardas Euleris. Pagal ją pirmųjų n skaičių sumos atvirkštinė suma didėja neribotai didėjant skaičiui n. O štai teoremos formulė dėl pirminių skaičių skirstinio: (n) auga kaip n/ln (n).

Koks yra didžiausias pirminis skaičius?

Tas pats Leonardas Euleris sugebėjo rasti didžiausią savo laiko pirminį skaičių. Tai yra 2 31 – 1 = 2147483647. Tačiau iki 2013 metų pirminių skaičių sąraše buvo paskaičiuotas dar vienas tiksliausias didžiausias – 2 57885161 – 1. Jis vadinamas Merseno skaičiumi. Jame yra apie 17 milijonų dešimtainių skaitmenų. Kaip matote, aštuonioliktojo amžiaus mokslininko rastas skaičius yra kelis kartus mažesnis už šį. Taip turėjo būti, nes Euleris šį skaičiavimą atliko rankiniu būdu, bet mūsų amžininkui tikriausiai padėjo kompiuteris. Be to, šis skaičius buvo gautas Matematikos fakultete viename iš Amerikos fakultetų. Šio mokslininko vardu pavadinti skaičiai išlaiko Luc-Lemaire pirmumo testą. Tačiau mokslas tuo sustoti nenori. „Electronic Frontier Foundation“, kuris buvo įkurtas 1990 m. Jungtinėse Amerikos Valstijose (EFF), pasiūlė piniginį atlygį už didelių pirminių skaičių suradimą. Ir jei iki 2013 metų premija būtų skirta tiems mokslininkams, kurie juos suras iš 1 ir 10 mln. dešimtainiai skaičiai, tada šiandien šis skaičius pasiekė nuo 100 mln. iki 1 mlrd. Prizai siekia nuo 150 iki 250 tūkstančių JAV dolerių.

Specialiųjų pirminių skaičių pavadinimai

Tie skaičiai, kurie buvo rasti tam tikrų mokslininkų sukurtų algoritmų dėka ir išlaikė paprastumo testą, vadinami ypatingais. Štai keletas iš jų:

1. Merssenas.

4. Kalenas.

6. Mills ir kt.

Šių skaičių, pavadintų aukščiau minėtų mokslininkų vardu, paprastumas nustatomas naudojant šiuos testus:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Ryzelis.

4. Billhart – Lemaire – Selfridge ir kt.

Šiuolaikinis mokslas tuo nesibaigia ir tikriausiai netolimoje ateityje pasaulis sužinos vardus tų, kurie sugebėjo gauti 250 000 USD prizą, radę didžiausią pirminį skaičių.