Iš kokių elementų susideda stačiakampis gretasienis? Stačiakampis gretasienis – žinių hipermarketas

Kai buvote mažas ir žaidėte su kubeliais, galbūt darėte figūras, parodytas 154 paveiksle. Šie skaičiai leidžia suprasti stačiakampis gretasienis. Stačiakampio gretasienio forma yra, pavyzdžiui, šokolado dėžutė, plyta, degtukų dėžutė, pakavimo dėžė, sulčių pakuotė.

155 paveiksle pavaizduotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Stačiakampis gretasienis apribota iki šešių briaunos. Kiekvienas veidas yra stačiakampis, t.y. Stačiakampio gretasienio paviršius susideda iš šešių stačiakampių.

Veidų šonai vadinami stačiakampio gretasienio briaunos, veidų viršūnės − stačiakampio gretasienio viršūnės. Pavyzdžiui, atkarpos AB, BC, A 1 B 1 yra briaunos, o taškai B, A 1, C 1 – gretasienio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 viršūnės (155 pav.).

Stačiakampis gretasienis turi 8 viršūnes ir 12 briaunų.

Veidai AA 1 B 1 B ir DD 1 C 1 C neturi bendrų viršūnių. Tokios briaunos vadinamos priešinga. Gretasienyje ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra dar dvi priešingų veidų poros: stačiakampiai ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1, taip pat stačiakampiai AA 1 D 1 D ir BB 1 C 1 C.

Priešingi veidai stačiakampiai gretasieniai yra lygūs.

155 paveiksle veidas ABCD vadinamas pagrindu stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Lygiagretainio paviršiaus plotas yra visų jo paviršių plotų suma.

Norint susidaryti supratimą apie stačiakampio gretasienio matmenis, pakanka atsižvelgti į bet kurias tris briaunas, turinčias bendras viršus. Šių briaunų ilgiai vadinami matavimai stačiakampis gretasienis. Norėdami juos atskirti, jie naudoja pavadinimus: ilgio, plotis, aukščio(156 pav.).

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visi matmenys yra lygūs kubas(157 pav.). Kubo paviršius susideda iš šešių vienodi kvadratai.

Jei stačiakampio gretasienio formos dėžutę atidarome (158 pav.) ir išpjauname išilgai keturių vertikalių kraštų (159 pav.), o po to išskleidžiame, gauname figūrą, susidedančią iš šešių stačiakampių (160 pav.). Ši figūra vadinama stačiakampio gretasienio raida.

161 paveiksle parodyta figūra, sudaryta iš šešių vienodų kvadratų. Tai kubo vystymas.

Naudodami plėtrą galite sukurti stačiakampio gretasienio modelį.

Tai galima padaryti, pavyzdžiui, taip. Ant popieriaus nupieškite jo raidą. Iškirpkite, sulenkite išilgai segmentų, atitinkančių stačiakampio gretasienio (žr. 159 pav.) kraštus, ir suklijuokite.

Stačiakampis gretasienis yra daugiakampio tipas - figūra, kurios paviršius susideda iš daugiakampių. 162 paveiksle pavaizduoti daugiakampiai.

Vienas iš daugiakampių tipų yra piramidė.

Ši figūra jums nėra naujiena. Studijuoja kursą Senovės pasaulis, susipažinote su vienu iš septynių pasaulio stebuklų – Egipto piramidėmis.

163 paveiksle pavaizduotos piramidės MABC, MABCD, MABCDE. Piramidės paviršius susideda iš šoniniai veidai− trikampiai, turintys bendrą viršūnę, ir pagrindu(164 pav.). Bendroji šoninių paviršių viršūnė vadinama piramidės pagrindo briaunos, o šoninių paviršių šonai, nepriklausantys pagrindui, yra šoniniai piramidės kraštai.

Piramidės gali būti skirstomos pagal pagrindo kraštinių skaičių: trikampės, keturkampės, penkiakampės (žr. 163 pav.) ir kt.

Paviršius trikampė piramidė susideda iš keturių trikampių. Bet kuris iš šių trikampių gali būti piramidės pagrindas. Šis pagrindas yra piramidės tipas, kurio pagrindas gali būti bet kuris veidas.

165 paveiksle parodyta figūra, kuri gali būti naudojama šluoti keturkampė piramidė . Jį sudaro kvadratas ir keturi lygiašoniai trikampiai.

166 paveiksle parodyta figūra, sudaryta iš keturių vienodų lygiakraščiai trikampiai. Naudodami šią figūrą galite sukurti trikampės piramidės modelį, kurio visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai.

Daugiakampiai yra pavyzdžiai geometriniai kūnai.

167 paveiksle pavaizduoti pažįstami geometriniai kūnai, kurie nėra daugiakampiai. Daugiau apie šiuos kūnus sužinosite 6 klasėje.

Lygiagretainis yra geometrinė figūra, kurios visi 6 paviršiai yra lygiagretainiai.

Priklausomai nuo šių lygiagretainių tipų, išskiriami šie gretasienių tipai:

• tiesioginis;
• linkęs;
• stačiakampio formos.

Dešinysis gretasienis yra keturkampė prizmė, kurios briaunos sudaro 90° kampą su pagrindo plokštuma.

Stačiakampis gretasienis yra keturkampė prizmė, kurios visi paviršiai yra stačiakampiai. Kubas yra įvairovė keturkampė prizmė, kuriame visi paviršiai ir briaunos yra lygūs vienas kitam.

Figūros ypatybės nulemia jos savybes. Tai apima šiuos 4 teiginius:

Paprasta įsiminti visas pateiktas savybes, jas lengva suprasti ir logiškai išvestos pagal tipą ir savybes geometrinis kūnas. Tačiau paprasti teiginiai gali būti neįtikėtinai naudingi apsisprendžiant tipinės užduotys Vieningą valstybinį egzaminą ir sutaupysite laiko, reikalingo egzaminui išlaikyti.

Lygiagretaus vamzdžio formulės

Norint rasti atsakymus į problemą, neužtenka žinoti tik figūros savybes. Taip pat gali prireikti kai kurių formulių geometrinio kūno plotui ir tūriui rasti.

Pagrindų plotas randamas taip pat, kaip ir atitinkamas lygiagretainio arba stačiakampio rodiklis. Lygiagretainio pagrindą galite pasirinkti patys. Paprastai sprendžiant uždavinius lengviau dirbti su prizme, kurios pagrindas yra stačiakampis.

Lygiagretainio šoninio paviršiaus radimo formulės gali prireikti ir atliekant bandymo užduotis.

Tipinių vieningo valstybinio egzamino užduočių sprendimo pavyzdžiai

1 užduotis.

Duota: stačiakampis gretasienis, kurio matmenys 3, 4 ir 12 cm.
Būtinas raskite vienos iš pagrindinių figūros įstrižainių ilgį.
Sprendimas: Bet koks sprendimas geometrinė problema turėtų prasidėti nuo teisingo ir aiškaus brėžinio sukūrimo, ant kurio bus nurodyta „duota“ ir norima vertė. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas pavyzdys teisingas dizainas užduoties sąlygos.

Išnagrinėję padarytą brėžinį ir prisiminę visas geometrinio kūno savybes, pasiekiame vienintelį teisingu keliu sprendimus. Taikydami 4-ąją gretasienio savybę, gauname tokią išraišką:

Atlikę paprastus skaičiavimus gauname išraišką b2=169, todėl b=13. Atsakymas į užduotį rastas jo paieškai ir piešimui skirti ne daugiau nei 5 minutes.

Geometrijoje pagrindinės sąvokos yra plokštuma, taškas, tiesė ir kampas. Naudodamiesi šiais terminais galite apibūdinti bet kokią geometrinę figūrą. Daugiakampiai paprastai apibūdinami daugiau paprastos figūros, kurie yra toje pačioje plokštumoje, pavyzdžiui, apskritimas, trikampis, kvadratas, stačiakampis ir kt. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kas yra gretasienis, apibūdinsime gretasienių tipus, jo savybes, iš kokių elementų jis susideda, taip pat pateiksime pagrindinės formulės apskaičiuoti kiekvieno gretasienio tipo plotą ir tūrį.

Apibrėžimas

Lygiagretaus vamzdžio trimatė erdvė yra prizmė, kurios visos kraštinės yra lygiagretainiai. Atitinkamai, jis gali turėti tik tris lygiagretainių poras arba šešis paviršius.

Norėdami įsivaizduoti gretasienį, įsivaizduokite įprastą standartinę plytą. plyta - geras pavyzdys stačiakampis gretasienis, kurį gali įsivaizduoti net vaikas. Kiti pavyzdžiai – daugiaaukščiai skydiniai namai, spintos, sandėliavimo konteineriai maisto produktai tinkama forma ir kt.

Figūros veislės

Yra tik dviejų tipų gretasieniai:

1. Stačiakampiai, visi šoniniai veidai kurios yra 90° kampu su pagrindu ir yra stačiakampiai.
2. Nuožulnus, kurio šoniniai kraštai yra po tam tikras kampasį bazę.

Į kokius elementus galima suskirstyti šią figūrą?

• Kaip ir bet kurioje kitoje geometrinėje figūroje, gretasienyje bet kurie 2 veidai su bendrąja briauna vadinami gretimi, o tie, kurie jo neturi, yra lygiagrečiai (remiantis lygiagretainio, turinčio lygiagrečių priešingų kraštinių poras, savybe).
• Gretasienio viršūnės, esančios ne tame pačiame paviršiuje, vadinamos priešingomis.
• Tokias viršūnes jungianti atkarpa yra įstrižainė.
• Trijų stačiakampio kraštų, susitinkančių vienoje viršūnėje, ilgiai yra jo matmenys (būtent ilgis, plotis ir aukštis).

Formos ypatybės

1. Jis visada statomas simetriškai įstrižainės vidurio atžvilgiu.
2. Visų įstrižainių susikirtimo taškas padalija kiekvieną įstrižainę į dvi lygias atkarpas.
3. Priešingi veidai yra vienodo ilgio ir yra lygiagrečiose linijose.
4. Jei pridėsite visų gretasienio matmenų kvadratus, gauta reikšmė bus lygi įstrižainės ilgio kvadratui.

Skaičiavimo formulės

Kiekvieno konkretaus gretasienio atvejo formulės bus skirtingos.

Savavališkam gretasieniui tiesa, kad jo tūris yra lygus absoliuti vertė trigubas taškinis produktas trijų kraštinių vektoriai, išeinantys iš vienos viršūnės. Tačiau savavališko gretasienio tūriui apskaičiuoti nėra jokios formulės.

Stačiakampiam gretasieniui taikomos šios formulės:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - figūros tūris;
• Sb - šoninio paviršiaus plotas;
• Sp – plotas viso paviršiaus;
• a - ilgis;
• b - plotis;
• c - aukštis.

Kitas ypatingas gretasienio, kurio visos kraštinės yra kvadratai, atvejis yra kubas. Jei kuri nors kvadrato kraštinė pažymėta raide a, tada šio paveikslo paviršiaus plotui ir tūriui gali būti naudojamos šios formulės:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- figūros plotas,
• V yra figūros tūris,
• a yra figūros veido ilgis.

Paskutinis gretasienio tipas, kurį svarstome, yra tiesus gretasienis. Jūs klausiate, kuo skiriasi dešinysis gretasienis nuo stačiakampio. Faktas yra tas, kad stačiakampio gretasienio pagrindas gali būti bet koks gretasienis, o tiesaus gretasienio pagrindas gali būti tik stačiakampis. Jei pagrindo perimetrą, lygų visų kraštinių ilgių sumai, žymėsime kaip Po, o aukštį žymėsime raide h, turime teisę naudoti šias formules pilno ir šoninio paviršių tūriui ir plotams apskaičiuoti.

Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrindai yra lygiagretainiai. Tokiu atveju visi kraštai bus lygiagretainiai.
Kiekvienas gretasienis gali būti laikomas prizme su trimis įvairiais būdais, nes kas du priešingi veidai(5 pav. nukreipti į ABCD ir A"B"C"D" arba "ABA"B" ir "CDC"D, arba į VSV"C" ir "ADA"D).
Aptariamas kūnas turi dvylika briaunų, keturios lygios ir lygiagrečios viena kitai.
3 teorema . Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, sutampančiu su kiekvieno iš jų viduriu.
Lygiagretainis ABCDA"B"C"D" (5 pav.) turi keturias įstrižaines AC, BD, CA, DB". Turime įrodyti, kad bet kurių dviejų iš jų, pavyzdžiui, AC ir BD", vidurio taškai sutampa. Tai išplaukia iš to, kad figūra ABC"D", turinti lygi ir lygiagrečios pusės AB ir C"D" yra lygiagretainis.
7 apibrėžimas . Dešinysis gretasienis yra gretasienis, kuris taip pat yra dešinioji prizmė, t. y. gretasienis šoniniai šonkauliai kurios yra statmenos pagrindo plokštumai.
8 apibrėžimas . Stačiakampis gretasienis yra stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis. Tokiu atveju visi jo veidai bus stačiakampiai.
Stačiakampis gretasienis yra tiesi prizmė, nesvarbu, kurį iš jos paviršių laikysime pagrindu, nes kiekviena jos briauna yra statmena briaunoms, kylančioms iš tos pačios viršūnės, todėl bus statmena apibrėžtų paviršių plokštumoms. šiais kraštais. Priešingai, tiesus, bet ne stačiakampis gretasienis gali būti vertinamas kaip dešinė prizmė tik vienu būdu.
9 apibrėžimas . Trijų ilgiai Stačiakampio gretasienio, iš kurių nėra dviejų lygiagrečių vienas kitam (pavyzdžiui, trys briaunos išeina iš vienos viršūnės), kraštai vadinami jo matmenimis. Du stačiakampiai gretasieniai, turintys atitinkamai vienodus matmenis, akivaizdžiai yra lygūs vienas kitam.
10 apibrėžimas .Kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visi trys matmenys yra lygūs vienas kitam, todėl visi jo paviršiai yra kvadratai. Du kubai, kurių kraštai yra vienodi, yra lygūs.
11 apibrėžimas . Pasviręs gretasienis, kurio visos briaunos yra lygios viena kitai, o visų paviršių kampai yra lygūs arba vienas kitą papildantys, vadinamas romboedru.
Visi romboedro veidai yra lygūs rombai. (Kai kurie kristalai yra romboedro formos, turintys puiki vertė, pavyzdžiui, Islandijos sparno kristalai.) Romboedre galite rasti viršūnę (ir net dvi priešingas viršūnes), kad visi gretimi kampai būtų lygūs vienas kitam.
4 teorema . Stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai. Įstrižainė kvadratas lygi sumai trijų matmenų kvadratai.
Stačiakampio gretasienio ABCDA"B"C"D" (6 pav.) įstrižainės AC" ir BD" yra lygios, nes keturkampis ABC"D" yra stačiakampis (tiesė AB yra statmena plokštumai ECB" C“, kuriame yra BC“).
Be to, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 remiantis teorema apie hipotenuzės kvadratą. Bet remiantis ta pačia teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; taigi mes turi:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.