Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Pereikime prie programų integralinis skaičiavimas. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau ieškome prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprask neapibrėžtas integralas bent jau vidutinio lygio. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, tiek daug daugiau aktuali problema bus jūsų žinios ir gebėjimai piešti. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių diagramas elementarios funkcijos, ir bent jau sugebėti sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) naudojant metodinė medžiaga ir straipsniai apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtąjį integralą nuo mokyklos laikų, ir mes daug toliau neisime. mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įvaldo aukštosios matematikos kursą.

Medžiagos šio seminaro pateikti paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenkta trapecija.

Kreivinė trapecija paskambino plokščia figūra, apribotas ašimi, tiesėmis ir atkarpoje ištisinės funkcijos grafikas, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne žemesnė x ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

tai yra apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Funkcija integrandas nurodo kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitinis lygus plotui atitinkama lenkta trapecija.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmiausia ir svarbiausias momentas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, su technologijomis taškas po taško statyba galima rasti etaloninė medžiaga Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Išlenktos trapecijos neperėsiu, čia aišku koks plotas mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. IN šiuo atveju„iš akies“ suskaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotas linijomis, , ir ašis

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(arba bent jau ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Šiuo atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokių geometrine prasme, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje, taigi, nuo paprasčiausio mokyklos problemos Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra viršutinė riba integracija
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinis metodas vis tiek kartais tenka naudoti ribas, jei, pavyzdžiui, grafikas yra gana didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus kai kurie nuolatinė funkcija, tada figūros plotas, apribotas tvarkaraščiais nurodytas funkcijas ir tieses , galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente, pasak atitinkama formulė:

Atsakymas:

Tiesą sakant mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) – ypatingas atvejis formules . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Čia tikras atvejis iš gyvenimo:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

...Ech, piešinys išėjo šlykštus, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(įdėmiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kai reikia rasti užtamsintos figūros plotą. žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokykloje“ ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kas yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gali buti? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais jūs turite išleisti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,

Sprendimas: Pavaizduokime ši figūra ant piešinio.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norėdami sukurti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidų (ir paprastai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:

Žinios, kaip matuoti Žemę, atsirado senovėje ir pamažu formavosi geometrijos moksle. SU graikų kalbaŠis žodis išverstas kaip „žemės matavimas“.

Plokščios Žemės atkarpos ilgio ir pločio matas yra plotas. Matematikoje dažniausiai žymima lotyniška raidė S (iš anglų kalbos „square“ - „area“, „quare“) arba Graikiškas laiškasσ (sigma). S reiškia figūros plotą plokštumoje arba kūno paviršiaus plotą, o σ yra plotą skerspjūvis laidai fizikoje. Tai yra pagrindiniai simboliai, nors gali būti ir kitų, pavyzdžiui, medžiagų stiprumo srityje A yra profilio skerspjūvio plotas.

Skaičiavimo formulės

Žinant vietovę paprastos figūros, galite rasti sudėtingesnių parametrų. Senovės matematikai sukūrė formules, kuriomis galima lengvai jas apskaičiuoti. Tokios figūros yra trikampis, keturkampis, daugiakampis, apskritimas.

Norėdami rasti sudėtingos plokštumos figūros plotą, ji suskaidoma į daugybę paprastų figūrų, tokių kaip trikampiai, trapecijos ar stačiakampiai. Tada matematiniai metodai gaukite šio paveikslo ploto formulę. Panašus metodas naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir matematinė analizė kreivių apribotų figūrų plotams apskaičiuoti.

Trikampis

Pradėkime nuo paprasčiausios figūros – trikampio. Jie yra stačiakampiai, lygiašoniai ir lygiakraščiai. Imkime bet kurį trikampis ABC kurių kraštinės AB=a, BC=b ir AC=c (∆ ABC). Norėdami rasti jos sritį, prisiminkite gerai žinomą mokyklos kursas sinusų ir kosinusų matematikos teoremos. Atsisakę visų skaičiavimų, pasiekiame šias formules:

S=√ - visiems žinoma Herono formulė, kur p=(a+b+c)/2 yra trikampio pusperimetras;
S=a h/2, kur h – aukštis, nuleistas į a pusę;
S=a b (sin γ)/2, kur γ yra kampas tarp kraštinių a ir b;
S=a b/2, jei ∆ ABC yra stačiakampis (čia a ir b yra kojos);
S=b² (sin (2 β))/2, jei ∆ ABC yra lygiašonis (čia b yra vienas iš „klunų“, β – kampas tarp trikampio „klunų“);
S=a² √¾, jei ∆ ABC lygiakraštis (čia a yra trikampio kraštinė).

Keturkampis

Tebūnie keturkampis ABCD, kurio AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Norėdami rasti savavališko 4 kampo plotą S, turite jį įstrižai padalyti į du trikampius, kurių plotai yra S1 ir S2 bendras atvejis nėra lygus.

Tada apskaičiuokite jas naudodami formules ir sudėkite, t.y. S=S1+S2. Tačiau jei 4-kampis priklauso tam tikrai klasei, tada jo plotą galima rasti naudojant anksčiau žinomas formules:

S=(a+c) h/2=e h, jei tetragonas yra trapecija (čia a ir c yra bazės, e yra vidurio linija trapecija, h - aukštis nuleistas iki vieno iš trapecijos pagrindų;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jei ABCD yra lygiagretainis (čia φ – kampas tarp kraštinių a ir b, h – aukštis, nukritęs į kraštinę a, d1 ir d2 – įstrižainės);
S=a b=d²/2, jei ABCD yra stačiakampis (d yra įstrižainė);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jei ABCD yra rombas (a – rombo kraštinė, φ – vienas iš jo kampų, P – perimetras);
S=a²=P²/16=d²/2, jei ABCD yra kvadratas.

Daugiakampis

Norėdami rasti n kampo plotą, matematikai jį suskirsto į paprasčiausią vienodi skaičiai-trikampiai, raskite kiekvieno iš jų plotą ir pridėkite juos. Bet jei daugiakampis priklauso reguliaraus klasei, naudokite formulę:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kur n – daugiakampio viršūnių (arba kraštinių) skaičius, a – n kampo kraštinė, P – perimetras, h – apotemas, t.y. atkarpa, nubrėžta nuo daugiakampio centro iki vienos iš jo kraštinių 90° kampu.

Apskritimas

Apskritimas yra puikus daugiakampis su begalinis skaičius vakarėliams. Turime apskaičiuoti dešinėje esančios išraiškos ribą daugiakampio, kurio kraštinių skaičius n linkęs į begalybę, ploto formulėje. Šiuo atveju daugiakampio perimetras pavirs R spindulio apskritimo, kuris bus mūsų apskritimo riba, ilgiu ir taps lygus P=2 π R. Pakeiskite šią išraišką aukščiau pateikta formule. Mes gausime:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Raskime šios išraiškos ribą kaip n→∞. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į tai, kad lim (cos (180°/n)) n→∞ yra lygus cos 0°=1 (lim yra ribos ženklas), o lim = lim, kai n→∞ yra lygus 1/π (išvertėme laipsnio matasį radianą, naudojant santykį π rad=180°, ir pritaikė pirmąjį žymųjį riba lim(sin x)/x=1 ties x→∞). Pakeisdami gautas reikšmes paskutine S išraiška, gauname gerai žinoma formulė:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Matavimo vienetai

Naudojami sisteminiai ir nesisteminiai matavimo vienetai. Sisteminiai vienetai priklauso SI (System International). Tai kvadratinis metras (kv. metras, m²) ir iš jo gaunami vienetai: mm², cm², km².

Pavyzdžiui, kvadratiniais milimetrais (mm²) matuojamas elektros inžinerijos laidų skerspjūvio plotas, kvadratiniais centimetrais (cm²) - sijos skerspjūvis konstrukcinė mechanika, kvadratiniais metrais (m²) - butai arba namai, kvadratiniais kilometrais (km²) - teritorijos geografiškai.

Tačiau kartais naudojami nesisteminiai matavimo vienetai, tokie kaip: pynimas, ar (a), hektaras (ha) ir akras (as). Pateiksime tokius ryšius:

1 šimtas kvadratinių metrų = 1 a = 100 m² = 0,01 hektaro;
1 ha=100 a=100 akrų=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 arai = 0,405 ha.

Pamoka tema: "Trikampio, stačiakampio, kvadrato ploto nustatymo formulės"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 5 klasei
I. I. Zubarevos ir A. G. Mordkovičiaus vadovėlio simuliatorius
G.V.Dorofejevo ir L.G.Petersono vadovėlio simuliatorius

Figūros ploto apibrėžimas ir samprata

Norėdami geriau suprasti, koks yra figūros plotas, apsvarstykite figūrą.
Ši savavališka figūra yra padalinta į 12 mažų kvadratų. Kiekvieno kvadrato kraštinė yra 1 cm, o kiekvieno kvadrato plotas yra 1 kvadratinis centimetras, kuris parašyta taip: 1 cm2.

Tada figūros plotas yra 12 kvadratinių centimetrų. Matematikoje plotas žymimas lotyniška S raide.
Tai reiškia, kad mūsų figūros plotas yra: S forma = 12 cm 2.

Figūros plotas lygus visų ją sudarančių mažų kvadratėlių plotui!

Vaikinai, prisiminkite!
Plotas matuojamas kvadratiniais ilgio vienetais. Ploto vienetai:
1. Kvadratinis kilometras- km 2 (kai plotai labai dideli, pavyzdžiui, šalis ar jūra).
2. Kvadratinis metras- m2 (labai tinka sklypo ar buto plotui išmatuoti).
3. Kvadratinis centimetras- cm 2 (dažniausiai naudojamas matematikos pamokose piešiant figūras sąsiuvinyje).
4. Kvadratinis milimetras - mm 2.

Trikampio plotas

Panagrinėkime dviejų tipų trikampius: stačiakampį ir savavališką.

Norėdami rasti stačiojo trikampio plotą, turite žinoti pagrindo ilgį ir aukštį. Stačiakampiame trikampyje aukštis pakeičiamas viena iš kraštinių. Todėl trikampio ploto formulėje vietoj aukščio pakeičiame vieną iš kraštinių.
Mūsų pavyzdyje kraštinės yra 7 cm ir 4 cm. Trikampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
S stačiakampis trikampis ABC= BC * SA: 2

Stačiojo trikampio ABC S = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Dabar apsvarstykite savavališką trikampį.

Tokiam trikampiui reikia nubrėžti aukštį iki pagrindo.
Mūsų pavyzdyje aukštis yra 6 cm, o pagrindas yra 8 cm, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, apskaičiuojame plotą pagal formulę:
S savavališkas trikampis ABC = BC * h: 2.

Pakeiskime duomenis į formulę ir gaukime:
Savavališko trikampio ABC S = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Stačiakampio ir kvadrato plotas

Paimkite stačiakampį ABCD, kurio kraštinės yra 5 cm ir 8 cm.

Stačiakampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
S stačiakampis ABCD = AB * BC.

S stačiakampis ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Dabar apskaičiuokime kvadrato plotą. Skirtingai nuo stačiakampio ir trikampio, norint rasti kvadrato plotą, reikia žinoti tik vieną kraštinę. Mūsų pavyzdyje kvadrato ABCD kraštinė yra 9 cm. S kvadratas ABCD = AB * BC = AB 2.

Pakeiskime duomenis į formulę ir gaukime:
S kvadratas ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Kvadratas geometrinė figūra - skaitinė charakteristika geometrinė figūra, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formules

Formulė trikampio plotui pagal kraštą ir aukštį
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinės ploto formulės

Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas
Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas lygus jos kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.

Trapecijos plotų formulės

Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,

Kasdieniame gyvenime turime susidurti su tokia sąvoka kaip sritis. Taigi, pavyzdžiui, statydami namą turite tai žinoti, kad galėtumėte apskaičiuoti sumą reikalingos medžiagos. Dydis sodo sklypas taip pat bus būdingas plotas. Netgi buto remontas negali būti atliktas be šio apibrėžimo. Todėl klausimas, kaip rasti stačiakampio plotą, iškyla labai dažnai ir yra svarbus ne tik moksleiviams.

Tiems, kurie nežino, stačiakampis yra plokščia figūra, kuri turi priešingos pusės yra lygūs, o kampai yra 90°. Sritys matematikoje žymėti naudojame Anglų laiškas S. Jis matuojamas kvadratinių vienetų: metrai, centimetrai ir pan.

Dabar pabandysime pateikti išsamų atsakymą į klausimą, kaip rasti stačiakampio plotą. Yra keletas būdų, kaip nustatyti šią vertę. Dažniausiai susiduriame su ploto nustatymo metodu, naudojant plotį ir ilgį.

Paimkime stačiakampį, kurio plotis b ir ilgis k. Norėdami apskaičiuoti nurodyto stačiakampio plotą, turite padauginti plotį iš ilgio. Visa tai gali būti pavaizduota formulės forma, kuri atrodys taip: S = b * k.

Dabar pažvelkime į šį metodą konkretus pavyzdys. Būtina nustatyti 2 metrų pločio ir 7 metrų ilgio sodo sklypo plotą.

S = 2 * 7 = 14 m2

Matematikoje, ypač matematikoje, plotą turime nustatyti kitais būdais, nes daugeliu atvejų nežinome nei stačiakampio ilgio, nei pločio. Tuo pačiu metu yra ir kitų žinomų dydžių. Kaip šiuo atveju rasti stačiakampio plotą?

Jei žinome įstrižainės ilgį ir vieną iš kampų, sudarančių įstrižainę su bet kuria stačiakampio kraštine, tada šiuo atveju turėsime prisiminti sritį, jei pažvelgsite į tai, stačiakampis susideda iš du lygūs stačiųjų trikampių. Taigi, grįžkime prie nustatytos vertės. Pirmiausia turite nustatyti kampo kosinusą. Gautą vertę padauginkite iš įstrižainės ilgio. Dėl to gauname vienos iš stačiakampio kraštinių ilgį. Panašiai, bet naudodamiesi sinuso apibrėžimu, galite nustatyti antrosios pusės ilgį. Kaip dabar rasti stačiakampio plotą? Taip, tai labai paprasta, gautas vertes padauginkite.

Formulės pavidalu tai atrodys taip:

S = cos(a) * sin(a) * d2, kur d yra įstrižainės ilgis

Kitas būdas nustatyti stačiakampio plotą yra per jame įrašytą apskritimą. Jis naudojamas, jei stačiakampis yra kvadratas. Norėdami naudoti šis metodas reikia žinoti, kaip tokiu būdu apskaičiuoti stačiakampio plotą? Žinoma, pagal formulę. Mes to neįrodysime. Ir tai atrodo taip: S = 4 * r2, kur r yra spindulys.

Taip atsitinka, kad vietoj spindulio mes žinome įbrėžto apskritimo skersmenį. Tada formulė atrodys taip:

S=d2, kur d yra skersmuo.

Jei žinoma viena iš kraštinių ir perimetras, kaip šiuo atveju sužinoti stačiakampio plotą? Norėdami tai padaryti, turite padaryti seriją paprasti skaičiavimai. Kaip žinome, priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios, todėl iš perimetro vertės reikia atimti žinomą ilgį, padaugintą iš dviejų. Padalinkite rezultatą iš dviejų ir gaukite antrosios pusės ilgį. Na, tada standartinė technika yra padauginti abi puses ir gauti stačiakampio plotą. Formulės pavidalu tai atrodys taip:

S=b* (P - 2*b), kur b – kraštinės ilgis, P – perimetras.

Kaip matote, galima nustatyti stačiakampio plotą įvairiais būdais. Viskas priklauso nuo to, kokius kiekius žinome prieš svarstydami šį klausimą. Žinoma, su naujausiais skaičiavimo metodais praktiškai niekada gyvenime nesusitinkama, tačiau jie gali būti naudingi sprendžiant daugelį problemų mokykloje. Galbūt šis straipsnis bus naudingas sprendžiant jūsų problemas.