Kadangi žemė turi ypatybių visais lygiais – nuo ​​šimtų kilometrų iki mažų milimetro dalių ir žemiau, nėra jokių akivaizdžių dydžio apribojimų. mažiausiai savybių, todėl nėra nustatytas aiškiai apibrėžtas žemės perimetras. Taikant tam tikras minimalaus dydžio prielaidas, yra įvairių aproksimacijų.

Paradokso pavyzdys yra gerai žinomas JK pakrantė. Jei JK pakrantė matuojama naudojant 100 km (62 mylių) ilgio fraktalinį vienetą, tai pakrantės ilgis yra maždaug 2800 km (1700 mylių). Su 50 km (31 mylios) vienetu, bendras ilgis yra apie 3400 km (2100 mylių), apie 600 km (370 mylių) ilgesnis.

Matematiniai aspektai

Pagrindinė ilgio sąvoka kilusi iš Euklido atstumas. Drauge Euklido geometrija, tiesi linija reiškia trumpiausias atstumas tarp dviejų taškų; ši linija turi tik vieną baigtinį ilgį. Geodezinis ilgis rutulio paviršiuje, vadinamas ilgas ilgis apskritimas, matuojamas išilgai kreivės paviršiaus, esančios plokštumoje, kurioje yra kelio galiniai taškai ir sferos centras. Pagrindinės kreivės ilgis yra sudėtingesnis, tačiau jį taip pat galima apskaičiuoti. Matuodamas liniuote, žmogus gali apytiksliai apskaičiuoti kreivės ilgį, pridėdamas taškus jungiančių tiesių sumą:

Naudojant kelias tiesias linijas apytiksliai apskaičiuoti kreivės ilgį, gaunamas mažas įvertinimas. Naudojant trumpesnes ir trumpesnes linijas, bus gauta ilgių suma, artėjanti prie tikrojo kreivės ilgio. Tikslią šio ilgio reikšmę galima nustatyti naudojant skaičiavimą – matematikos šaką, leidžiančią apskaičiuoti be galo mažus atstumus. Toliau pateikta animacija iliustruoja šį pavyzdį:

Tačiau ne visas kreives galima išmatuoti tokiu būdu. Pagal apibrėžimą kreivė su sudėtingais matavimo skalės pokyčiais laikoma fraktaline. Atsižvelgiant į tai, kad, didėjant matavimo tikslumui, sklandi kreivė juda vis arčiau tos pačios vertės, išmatuota fraktalų vertė gali labai pasikeisti.

Ilgis" tikrasis fraktalas" visada linkusi į begalybę. Tačiau šis skaičius pagrįstas idėja, kad erdvę galima padalyti iki neapibrėžtumo, t. y. būti neribota. Tai yra fantazija, kuria grindžiama euklidinė geometrija ir naudojama kaip naudingas modelis atliekant kasdienius matavimus, beveik neabejotinai neatspindi kintančios „erdvės“ ir „atstumo“ realybės atominiu lygmeniu. Pakrančių linijos skiriasi nuo matematinių fraktalų, jos susidaro iš daugybės smulkių detalių, kurios sukuria šablonus tik statistiškai.

Dėl praktinių priežasčių, galite naudoti matavimą pasirinkę atitinkamą minimalų eilės vieneto dydį. Jei pakrantės linija matuojama kilometrais, tai nedideli svyravimai yra daug mažesni nei vienas kilometras ir gali būti lengvai nepaisomi. Norint išmatuoti pakrantės liniją centimetrais, reikia atsižvelgti į nedidelius dydžio pokyčius. Naudojant įvairius matavimo metodus įvairūs vienetai taip pat pažeidžia įprastą įsitikinimą, kad blokus galima konvertuoti naudojant paprastas dauginimas. Kraštiniai dėklai pakrantės apima paradoksalius Norvegijos, Čilės ir Šiaurės Amerikos Ramiojo vandenyno pakrantės fjordus.

Prieš pat 1951 m. Lewisas Fry Richardsonas, tirdamas galimą sienos ilgio įtaką karo tikimybei, pažymėjo, kad portugalai savo išmatuotą sieną su Ispanija pateikė kaip 987 km ilgį, tačiau Ispanija nurodė, kad tai 1214 km. Tai buvo kranto problemos, kurią matematiškai sunku išmatuoti dėl pačios linijos nelygumo, pradžia. Vyraujantis ribos (arba pakrantės) ilgio įvertinimo metodas buvo nustatyti N kiekius vienodi segmentai ilgis ℓ ribojamas žemėlapyje arba aeronuotraukose. Kiekvienas segmento galas turi būti ant ribos. Tyrinėdamas ribų įvertinimo neatitikimus, Richardsonas atrado tai, kas dabar vadinama Richardsono efektu: segmentų suma yra atvirkščiai proporcinga. bendras ilgis segmentai. Iš esmės, kuo trumpesnė liniuotė, tuo didesnė išmatuota riba; Ispanų ir portugalų geografai tiesiog išmatavo sieną naudodami skirtingo ilgio liniuotes. Dėl to Richardsoną sukrėtė tai, kad tam tikromis aplinkybėmis, kai valdovo ℓ ilgis linkęs į nulį, pakrantės ilgis taip pat linkęs į begalybę. Richardsonas mano, kad remiantis Euklido geometrija, pakrantės linija priartės prie fiksuoto ilgio, kaip atlikti panašius taisyklingų geometrinių formų įverčius. Pavyzdžiui, perimetras taisyklingas daugiakampisįbrėžtas į apskritimą, didėjant kraštinių skaičiui (ir mažėjant vienos kraštinės ilgiui), artėja prie apskritimo. IN geometrinė teorija matuoja tokią sklandžią kreivę kaip apskritimas, prie kurio galima aproksimuoti mažus tiesius segmentus tam tikra riba, vadinama ištaisoma kreive.

Praėjus daugiau nei dešimčiai metų po to, kai Richardsonas baigė savo darbą, Benoit Mandelbrotas išvystyta nauja sritis matematika, - fraktalinė geometrija, norint tiksliai apibūdinti tokius nerektifikuojamus kompleksus gamtoje begalinės pakrantės pavidalu. Savas naujos figūros apibrėžimas, naudojamas kaip jo tyrimo pagrindas: aš sugalvojau fraktalą iš lotyniško būdvardžio „ suskaidytas» sukurti netaisyklingus fragmentus. Taigi prasminga... kad be „suskaldytų“... sulaužytų turėtų reikšti ir „netaisyklingas“.

Pagrindinė fraktalo savybė yra savęs panašumas, tai yra, ta pati bendra konfigūracija atsiranda bet kokiu mastu. Pakrantė suvokiama kaip įlankos, besikeičiančios su kyšuliais. Hipotetinėje situacijoje tam tikra pakrantė turi šią savitumo panašumo savybę, nesvarbu, kiek kuri nors nedidelė pakrantės atkarpa atrodo išsiplėtusi, panašus mažesnių įlankų ir pakraščių modelis, išsidėstęs ant didesnių įlankų ir pakraščių iki smėlio grūdelių. Tuo pačiu metu pakrantės mastelis akimirksniu pasikeičia į galimai be galo ilgą giją su atsitiktiniu iš mažų objektų suformuotų įlankų ir kyšulių išdėstymu. Tokiomis sąlygomis (priešingai nei lygioms kreivėms) Mandelbrotas teigia, kad „pakrantės ilgis yra sunkiai suprantama sąvoka, kuri slysta tarp pirštų tiems, kurie nori tai suprasti“. įvairių tipų fraktalai. Pakrantės linija su nurodytais parametrais yra „pirmoje fraktalų kategorijoje, būtent kreivės su fraktalinis matmuo didesnis nei 1." Šis paskutinis teiginys atspindi Mandelbroto Richardsono minties išplėtimą.

Mandelbroto Richardsono efekto pareiškimas:

čia L, pakrantės ilgis, yra matavimo vieneto ε funkcija ir apytikslis lygtis. F yra konstanta, o D yra Richardsono parametras. Jis nepateikė teorinio paaiškinimo, tačiau Mandelbrotas apibrėžė D su nesveiko skaičiaus forma Hausdorff matmenys, vėliau – fraktalinė dimensija. Persigrupavęs dešinėje pusėje gauname posakius:

kur Fε-D turi būti ε vienetų, reikalingų L gauti, skaičius. Fraktalų matmuo- fraktalų matmenų, naudojamų apytiksliai fraktalui nustatyti, skaičius: 0 taškui, 1 linijai, 2 plotui. D išraiškoje yra nuo 1 iki 2, pakrantėje jis paprastai yra mažesnis nei 1,5. Nulaužtas pakrantės matmuo nesitęsia viena kryptimi ir neatspindi srities, o yra tarpinis. Tai gali būti aiškinama kaip storos linijos arba juostelės, kurių plotis 2ε. Daugiau skaldytų pakrančių turi didesnį D, taigi ir L, tą patį ε. Mandelbrotas parodė, kad D nepriklauso nuo ε.

Šaltinis: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Vertimas: Dmitrijus Šakovas

Pakrantės ilgis

Ar tai išmatuojama?
Ar turime teisę vadovėliuose nurodyti ilgį?
pakrantės ir ar mums nebus gėda,
paklausti šio skaičiaus iš studentų?

K.S. LAZARevičius

Geografijos pamokose dirbame su daugybe statistinių rodiklių. Dauguma jų atrodo labai paprasti ir aiškūs: tiek milijonas žmonių, tiek milijonų tonų anglies, tiek kilometrų. Bet tai yra, jei apie tai negalvoji. Bet jūs tiesiog turite įsigilinti į bet kurį skaičių ir jis nustoja būti aiškus. Kartais jis subyra į dulkes. Štai pavyzdžiai.
Atidarome neseniai išleistą Pasaulio atlasą, kuris ką tik pasirodė prekyboje (M.: Federalinė valstybinė vieninga įmonė kartografijos gamybos asociacija, 2003). Lentelėje „Pasaulio valstybės ir teritorijos“ randame: „Prancūzijos sostinė yra Paryžius (2 125,2 tūkst. gyv.). Jei studentas per egzaminą pateikia tokį skaičių, ar egzaminuotojas bus patenkintas? Juk Paryžius yra vienas iš didžiausi centrai Europa ir ne mažiau nei Sankt Peterburgas. Tačiau pateiktoje figūroje nėra jokios klaidos: tai yra Paryžius administracinės ribos Paryžiaus miestas. Ir tikrai susiformavusio miestų klasterio ribose tai yra dešimties milijonų dolerių kainuojantis miestas.
Daug kas priklauso nuo to, kaip skaičiuosi.
Bet atrodė, kad kilometrai. Kilometras Afrikoje taip pat yra kilometras. O kas matuojama kilometrais, galima suabejoti? Bet pasirodo, net ir nurodydamas ilgius kilometrais, vadovėlio autorius pirmiausia turi pagalvoti. Mokytojas, naudodamasis vadovėliu, taip pat turi kritiškai išanalizuoti figūrą prieš transliuodamas ją mokiniams ir reikalaudamas įsiminti. Skaitėme vadovėlį 10 klasei: „Kanada turi tris vandenynus, o bendras jos pakrantės ilgis (apie 250 tūkst. km) yra neprilygstamas pasaulyje“. Kaip buvo matuojama pakrantė, kas buvo matuojama, kaip matuojama, su kuo matuota? Kaip išmatuoti pakrantę?

Netaisyklingos kreivės žemėlapyje gali būti išmatuotos naudojant kreivmetrą – šio prietaiso ratas ridenamas išilgai kreivės, atidžiai fiksuojant kiekvieną kreivę. Tačiau pakrantės vingiuotumas dažnai toks didelis, kad jo neįmanoma sekti kreivmetru. Turite eiti išilgai kreivės su matavimo kompasu. Patogiausias žingsnio ilgis yra 2 mm. Skirtingomis mastelėmis šis žingsnis, žinoma, atitinka skirtingus atstumus, toks matavimas niekada neduos tikslaus ilgio, nes kiekvienas žingsnis ištiesina kreivę per mažą segmentą, bet santykinė klaida daugiau ar mažiau išsaugotas.
Dėl pavyzdžio pabandykime išmatuoti Čiukotkos autonominio krašto pakrantės ilgį. Paimkime žemėlapį iš Rusijos geografijos mokyklų atlaso (1: 22 000 000) ir nueikime visą Čiukčių pakrantę dviejų milimetrų kompaso laipteliu (44 km). Rezultatas bus 4300 km (98 kompaso žingsniai). Atlikime tą patį matavimą naudodami mastelio žemėlapį
1: 7 500 000 Čia jau suskaičiuosime 345 dviejų milimetrų (15 km) žingsnius, tai yra
5200 km. Logiška manyti, kad jei matavimuose bus naudojamas dar didesnio mastelio žemėlapis, išmatuota pakrantė taps dar platesnė.
Padarykime dar vieną eksperimentą. Leningrado srities pakrantės ilgis. žemėlapyje
1: 22 000 000 - 300 km, pagal žemėlapį 1: 2 500 000 - 555 km, o pagal topografinis žemėlapis
1: 500 000 - 670 km. Tuo pačiu metu vien Vyborgo įlankos (kur krantai ypač raižyti įlankomis ir įlankomis) pakrantės ilgis, matuojant pagal topografinį žemėlapį, yra 338 km, o pagal 2008 m. mokyklos atlasas- 65 km (skirtumas daugiau nei
5 kartus!).
Taigi, didėjant mastui, išmatuotos pakrantės ilgis natūraliai didėja. Priežastis yra ne tik tai, kad dviejų milimetrų kompaso žingsnis atitinka vis mažesnę vertę ant žemės, bet daugiausia dėl to, kad pati linija, net jei ji yra labai tiksliai išmatuota ir konvertuojama pagal skalę kilometrais, iš tikrųjų tampa ilgiau (1 pav.) . Rusijos žemėlapyje prie Leningrado srities kranto. Matomos tik Vyborgo įlankos, Nevos įlankos ir nedideli pietinės Suomijos įlankos pakrantės vingiai. 1: 2 500 000 mastelio žemėlapyje Vyborgo įlankos kontūrai jau gana sudėtingi, o pietuose aiškiai matomos Koporskos ir Lugos įlankos. Pusės milijono metų senumo žemėlapyje Vyborgo įlankoje yra daug kitų mažų įlankų, kai kurios iš jų tikriniai vardai(Baltiets Bay, Klyuchevskaya Bay), ir tik pietinė pakrantė Suomijos įlanka atrodo mažai pasikeitusi, palyginti su ankstesniu mastu, pakrantė yra daug ne tokia tvirta.

Kaip nustatyti tikslų pakrantės ilgį?
Tokį tikslą sau išsikėlė anglų meteorologas Richardsonas, bandymų poligonu pasirinkęs gimtąją salą Didžiąją Britaniją. Jis padarė išvadą, kad pakrantės ilgis didėja didėjant žemėlapio, kuriuo matuojamas šis ilgis, mastelis (2 pav.). Ar yra šio padidėjimo ribos? Vargu ar. Pakrantės ilgį didina kiekviena maža į jūrą kyšanti smėlio iešma, kiekviena įduba, sukurianti mažytę įlanką, kiekvienas aplink vandenį tekantis akmenukas. Net ir didžiausio mastelio žemėlapyje jų nematyti, tačiau iš tikrųjų visi šie pakrantės nelygumai egzistuoja.

Yra daug pavyzdžių, kaip naudoti matematiniai metodai leidžia geografinius tyrimus padaryti įtikinamesnius, patikimesnius. Čia atsitiko priešingai: geografiniai tyrimai – pakrantės ilgio tyrimas – prisidėjo prie naujos matematinė sąvoka. Angliškas šios sąvokos pavadinimas yra fraktalas, tačiau rusų kalba jis dar nėra visiškai nusistovėjęs ir randamas trimis versijomis: fraktalas(genityvas ir instrumentinės bylos valios fraktalas, fraktalas), fraktalas vyriškoje lytyje ( fraktalas, fraktalas) Ir fraktalas moteriškoje lytyje ( fraktalai, fraktalas); už pastaruoju metu atrodo, kad linksta.
Fraktalas yra linija, kurios kiekvienas fragmentas tampa be galo sudėtingesnis, kiekvieno fragmento ir visos linijos ilgis nuolat didėja. Pavyzdys yra figūra, paprastai vadinama Kocho snaigė, nors šis pavadinimas yra neteisingas: ši snaigė buvo pastatyta XX amžiaus pradžioje. Helga von Koch ir jos pavardė neturėtų būti atmesta.
Paimkime lygiakraštis trikampis. Padalinkime kiekvieną kraštinę į tris lygias dalis ir kiekvienos kraštinės vidurinėje atkarpoje sukurkime lygiakraštį trikampį. Gausite įprastą šešiakampę žvaigždę, figūrą su šešiais išgaubti kampai ir šeši gaunami. Padalinkime kiekvieną jos kraštinę (o šių kraštinių yra 12) į tris lygias dalis ir vėl sukonstruokime lygiakraštį trikampį kiekvienos kraštinės vidurinėje atkarpoje. Rezultatas bus 48 kraštinių figūra su 18 išgaubtų ir 30 pasikartojančių kampų. Kartodami šią operaciją be galo daug kartų (tai galima padaryti, žinoma, tik mintyse), gausime figūrą, kurios plotas nuolat didėja, bet vis lėčiau, palaipsniui artėdamas prie tam tikros ribos (3 pav.). Šios figūros perimetras didėja neribotai, nes kiekvieną kartą statant naują lygiakraštį trikampį figūros kraštinėje, kad ir koks jis mažas jis būtų, trys vienodi šios kraštinės segmentai pakeičiami keturiais vienodais, taigi ir kiekvieno ilgis. pusė (taigi ir visas perimetras) padidėja 4/3 kartų, o bet koks skaičius, didesnis už vienetą iki laipsnio, lygaus begalybei (o konstrukciją darome begalybę kartų) linksta į begalybę.

Snaigės kraštas bus panašus į plačią, gauruotą liniją, kuri užpildo visą pasienio zonaši figūra. Klasikinės matematikos požiūriu absurdiškos „plačios linijos“, „storo paviršiaus“ sąvokos (ten linija neturi pločio, o paviršius – storio), pilietybės teises įgijo tobulėjant fraktalų teorijai. . Manoma, kad tiesė yra vienmatė, ji turi tik ilgį, taško padėtį joje lemia viena koordinatė; paviršius yra dvimatis, turi plotą, taško padėtis jame nustatoma pagal dvi koordinates; kūnas yra trimatis, turi tūrį, reikia trijų koordinačių. O fraktalų teorija įveda trupmeninės dimensijos sampratą: linija netapo dvimatė, o nustojo būti vienmatė.
Tai gana sunkiai suprantama nepasiruošusiam žmogui (pusantro karto negalima čiaudėti), bet jei prisiminsime, kaip elgiasi pakrantė - ne tik žemėlapyje, bet ir gamtoje, kaip ji keičiasi pažiūrėjus tai, pritūpę, tada atsistoję visu ūgiu, tada kopdami į kalną, tada pakildami į lėktuvą ar erdvėlaivį, mes ne tiek suprasime, kiek pajusime, kokią sudėtingą sistemą ši linija reprezentuoja; Jai tikrai neužtenka vienos savybės – ilgio. O fraktalų teorija, gimusi iš geografinių tyrimų, pati ateina į pagalbą geografijai. Reljefo, kaip fraktalo, tyrimo metodas dar nebuvo sukurtas, bet tikrai žada. Žiūrint į reljefą viduje bendras vaizdas
, nubraižę jį nedidelio mastelio žemėlapyje, matome kalnų grandines, plynaukštes ir gilius slėnius. Vidutiniu mastu jau atsiranda kalvos, nedideli slėniai, daubos. Dar didesnis – ir ant smėlio matosi kauburėliai ir vėjo raibuliavimas. Bet tai ne riba: yra pavienių akmenukų ir smėlio grūdelių. Praktiškai visa tai svarbu, nes reikia išmokti teisingai atrinkti objektus vaizduoti įvairaus mastelio žemėlapiuose; Viena iš pagrindinių žemėlapių sudarytojų klaidų – žemėlapio turinio ir jo mastelio neatitikimas žemėlapis yra arba per mažas, arba perkrautas.
Bet ką daryti su pakrantės ilgiu? Atsisakyti jį matuoti, nes jis neišmatuojamas? Ne, tai nėra pasirinkimas. Tiesiog, pateikiant pakrantės ilgį, visada reikia nurodyti, kokio mastelio žemėlapiuose ir kokiu būdu ji buvo išmatuota. Pasaulis Faktų knyga“. Čia pateikiami kiekvienos šalies ir vandenyno pakrantės duomenys, tačiau matavimo metodas nenurodytas. Dėl to Kanados pakrantė yra daugiau nei 200 tūkst. km, Arkties vandenynas - 45,4 tūkst. km, Atlanto vandenynas - 111,9 tūkst. km (duomenys pateikiami - negalvokite apie tai neteisingai! artimiausias kilometras). Kanada buvo svarstoma atsižvelgiant į salas, tai neabejotina; Kaip buvo vertinami vandenynai, nežinoma, tačiau dviejų iš trijų Kanadą supančių vandenynų pakrantės sudaro mažiau nei vien Kanados pakrantės. Norvegijoje šis skaičius yra 21 925 km ir pateikiama pastaba: „Žemyninė dalis 3 419 km, didelės salos 2413 km, ilgi fiordai, daugybė mažų salelių ir nedidelių vingių [pažodžiui išvertus įpjovos] kranto linija 16 093 km. Suma tiksliai atitinka nurodytą bendrą pakrantės ilgį. Tačiau kodėl fiordų krantai nėra žemyno pakrantės dalis, kodėl dantytų kraštų ilgis pridedamas prie žemyno pakrantės ilgio, kurios salos laikomos didelėmis - apie visa tai galime tik spėlioti. Absoliučiai neginčytini duomenys šioje lentelėje pateikti tik apie Andorą, Austriją, Botsvaną, Vengriją, Svazilandą ir panašias šalis, neturinčias prieigos prie jūros – rašoma: „0 km“.

Fraktalai yra geometriniai objektai: paviršiaus linijos, erdviniai kūnai, kurie turi labai grubią formą ir turi savitumo panašumo. Žodis fraktalas kilęs iš žodžio fractus ir verčiamas kaip trupmeninis, sulaužytas. Savęs panašumas, kaip pagrindinė savybė, reiškia, kad jis yra išdėstytas daugiau ar mažiau vienodai įvairiose skalėse. Taigi, padidinus, maži fraktalo fragmentai pasirodo labai panašūs į didelius. IN idealiai Toks savęs panašumas lemia tai, kad fraktalinis objektas pagal plėtinius pasirodo esantis nekintamas, t.y. sakoma, kad jis turi dilatacinę simetriją. Ji prisiima pagrindinio nekintamumą geometrines ypatybes fraktalas keičiant skalę.

Žinoma, tikram gamtiniam fraktalui yra tam tikra minimalaus ilgio skalė, tokia, kad per atstumus išnyksta pagrindinė jo savybė – savęs panašumas. Be to, pakankamai didelėse ilgio skalėse, kur yra būdingas geometrinis objektų dydis, ši savipanašumo savybė taip pat pažeidžiama. Todėl natūralių fraktalų savybės vertinamos tik svarstyklėmis l, tenkinantis santykį . Tokie apribojimai yra gana natūralūs, nes kai pateikiame kaip pavyzdį fraktalą – lūžusią, nelygią Brauno dalelės trajektoriją, tada suprantame, kad vaizdas yra akivaizdus idealizavimas. Esmė ta, kad nedideliu mastu smūgio laikas yra baigtinis. Atsižvelgus į šias aplinkybes, Brauno dalelės trajektorija tampa lygi kreive.

Atkreipkite dėmesį, kad savęs panašumo savybė būdinga tik taisyklingiesiems fraktalams. Jei vietoj deterministinių konstravimo metodų į jų kūrimo algoritmą įtraukiamas koks nors atsitiktinumo elementas (kaip atsitinka, pavyzdžiui, daugelyje klasterių difuzijos augimo procesų, elektros gedimas ir kt.), tada atsiranda vadinamieji atsitiktiniai fraktalai. Pagrindinis jų skirtumas nuo įprastų yra tas, kad savipanašumo savybės galioja tik tinkamai suvidurkinus visas statistiškai nepriklausomas objekto realizacijas. Šiuo atveju padidinta fraktalo dalis nėra visiškai identiška pirminiam fragmentui, tačiau jie statistinės charakteristikos rungtynės. Tačiau mūsų tiriamas fraktalas yra vienas iš klasikinių fraktalų, todėl reguliarus.

Pakrantės ilgis

Iš pradžių fraktalo sąvoka atsirado fizikoje dėl pakrantės linijos paieškos. Matuojant jį naudojant esamą vietovės žemėlapį, išaiškėjo įdomi detalė – kuo didesnio mastelio paimamas žemėlapis, tuo ilgesnė ši pakrantė.

1 paveikslas – pakrantės žemėlapis

Tarkime, pavyzdžiui, atstumą tiesia linija tarp taškų, esančių pakrantėje A Ir B lygus R(žr. 1 pav.). Tada, norėdami išmatuoti pakrantės ilgį tarp šių taškų, išilgai kranto statysime vienas su kitu standžiai sujungtus stulpus taip, kad atstumas tarp gretimų polių būtų, pvz. l=10km. Pakrantės ilgis kilometrais tarp taškų A Ir B tada laikysime jį lygų etapų skaičiui atėmus vieną, padaugintą iš dešimties. Kitą šio ilgio matavimą atliksime panašiai, tačiau atstumą tarp gretimų polių padarysime lygų l=1km.

Pasirodo, šių matavimų rezultatai bus skirtingi. Kai nutolinama l gausime vis didesnius ilgius. Priešingai nei sklandžiai kreivė, jūros pakrantės linija dažnai būna tokia įdubusi (iki mažiausio mastelio), kad sumažėjus atkarpai l dydžio L- pakrantės ilgis - nelinkęs baigtinė riba, ir didėja pagal laipsnišką dėsnį

Kur D- tam tikras eksponentas, vadinamas pakrantės fraktaliniu matmeniu. Kuo didesnė vertė D, tuo ši pakrantė šiurkštesnė. Priklausomybės (1) kilmė yra intuityvi: kuo mažesnę skalę naudojame, tuo mažesnės pakrantės detalės bus atsižvelgtos ir prisidės prie išmatuoto ilgio. Priešingai, padidindami mastelį, ištiesiname pakrantę, sumažindami ilgį L.

Taigi akivaizdu, kad nustatyti pakrantės ilgį L naudojant kietą skalę l(pavyzdžiui, naudojant kompasą su fiksuotu sprendimu), turite tai padaryti N=L/lžingsniai ir dydis L pokyčiai c l Taigi N priklauso nuo l teisėje. Dėl to masteliui mažėjant pakrantės ilgis be apribojimų didėja. Ši aplinkybė ryškiai išskiria fraktalinę kreivę nuo įprastos lygiosios kreivės (pvz., apskritimo, elipsės), kuriai apytikslės trūkinės linijos ilgio riba yra L nes jos jungties ilgis linkęs į nulį l baigtinis. Dėl to sklandžiai kreivei jos fraktalinis matmuo yra D=1, t.y. sutampa su topologiniu.

Pateiksime fraktalų matmenų reikšmes D skirtingoms pakrantėms. Pavyzdžiui, Britų saloms D? 1. 3, ir Norvegijai D? 1.5. Fraktalinis Australijos pakrantės matmuo D ? 1. 1. Kitų pakrančių fraktaliniai matmenys taip pat pasirodo artimi vienybei.

Aukščiau buvo pristatyta pakrantės fraktalinio matmens samprata. Duokim dabar bendras apibrėžimasšią vertę. Leiskite d- įprastas euklidinis erdvės, kurioje yra mūsų fraktalinis objektas, matmuo ( d=1- linija, d=2- lėktuvas, d=3- reguliarus trijų matmenų erdvė). Dabar apimkime šį objektą visiškai d-matmenų spindulio "rutuliukai". l. Tarkime, kad tam mums reikėjo ne mažiau kaip N(l) kamuoliukus. Tada, jei pakankamai mažas l dydžio N(l) keičiasi pagal galios dėsnį:

Tai D- vadinamas šio objekto Hausdorff arba fraktaliniu matmeniu.

Prieš susipažindami su pirmojo tipo fraktalais – būtent su kreivėmis, kurių fraktalų matmenys viršija 1 – panagrinėkime tipišką kurio nors kranto atkarpą. Akivaizdu, kad jo ilgis negali būti mažesnis už tiesios linijos atstumą tarp jo pradžios ir pabaigos taškų. Tačiau, kaip taisyklė, pakrantės turi netaisyklingos formos- jie yra vingiuoti ir sulūžę, o jų ilgis, be jokios abejonės, gerokai viršija atstumus tarp jų kraštutinių taškų, matuojant tiesia linija.

Yra daug būdų, kaip tiksliau įvertinti pakrantės ilgį, ir šiame skyriuje panagrinėsime kai kuriuos iš jų. Pabaigoje padarysime labai nuostabią išvadą: pakrantės ilgis yra labai slidi sąvoka, ir jūs negalite jos suvokti plikomis rankomis. Kad ir kokį matavimo metodą naudotume, rezultatas visada yra tas pats: tipinės pakrantės ilgis yra labai ilgas ir taip blogai apibrėžtas, kad patogiausia jį laikyti begaliniu. Vadinasi, jei kas nors nuspręs palyginti skirtingus krantus jų ilgio požiūriu, jis turės rasti kuo pakeisti ilgio sąvoką, kuri ši byla netaikoma.

Šiame skyriuje pradėsime ieškoti tinkamo pakaitalo, o paieškos procese neišvengsime susipažinti su įvairių formų fraktalinės dimensijos, matų ir kreivės sąvokos.

ALTERNATYVŪS MATAVIMO METODAI

A metodas. Nustatykime matavimo kompaso angą iki tam tikro ilgio, kurį vadiname žingsnio ilgiu, ir eikime su šiuo kompasu mus dominančia pakrantės linija, kiekvieną naują žingsnį pradėdami nuo tos vietos, kur baigėsi ankstesnis. Žingsnių skaičius, padaugintas iš ilgio e, gaus apytikslį kranto ilgį. Iš mokyklos žinome, kad jei kartosime šią operaciją, kiekvieną kartą mažindami kompaso atidarymą, galime tikėtis, kad reikšmė greitai pasieks kažkokią labai konkrečią vertę, vadinamą tikruoju ilgiu. Tačiau tai, kas iš tikrųjų vyksta, neatitinka mūsų lūkesčių. Įprastu atveju stebimas ilgis be apribojimų didėja.

Tokio elgesio priežastis yra akivaizdi: jei pažvelgsite į kokį nors pusiasalį ar įlanką 1/100 000 ir 1/10 000 mastelio žemėlapiuose, tada paskutinis žemėlapis aiškiai galime išskirti mažesnius pusiasalius ir įlankas, kurių pirmajame nebuvo matyti. Tos pačios vietovės žemėlapis, padarytas 1/1000 masteliu, mums parodys dar mažesnius pusiasalius ir įlankelius ir t.t. Kiekviena nauja detalė padidina bendrą banko ilgį.

Aukščiau pateiktoje procedūroje daroma prielaida, kad kranto linija yra per netaisyklingos formos, kad jos ilgis būtų tiesiogiai pavaizduotas kaip paprastų geometrinių kreivių, kurių ilgius galima rasti žinynuose, ilgių suma. tai yra A metodas pakeičia pakrantę trūkinių linijų seka, sudaryta iš tiesių atkarpų, kurių ilgį galime nustatyti.

B metodas. Tą patį „išlyginimą“ galima pasiekti ir kitais būdais. Įsivaizduokite žmogų, einantį pakrante trumpiausias maršrutas, kurio trajektorija niekada nenukrypsta nuo vandens toliau nei ties nurodytas atstumas. Pasiekęs galinį tašką, jis grįžta atgal, šiek tiek sumažindamas vertę. Tada vėl ir vėl, kol galiausiai vertė pasiekia, tarkime, 50 cm. Toliau jos sumažinti neįmanoma, nes žmogus per didelis ir nerangus, kad galėtų atsekti detalesnę trajektoriją. Man gali būti prieštaraujama, kad šios nepasiekiamos smulkmenos, pirma, iš karto nedomina žmonių, ir, antra, jos gali taip reikšmingai keistis priklausomai nuo metų laiko ir potvynio aukščio, kad jų išsamus įrašymas paprastai prarandamas. visa prasmė. Pirmąjį iš šių prieštaravimų apsvarstysime vėliau šiame skyriuje. Kalbant apie antrąjį prieštaravimą, jį galima neutralizuoti apsiribojus uolėtu krantu atoslūgio metu ir ramiu vandeniu. Iš esmės žmogus gali atsekti detalesnes apytiksles kreives, į pagalbą pasikviesdamas pelę, paskui skruzdėlę ir pan. Ir vėl, kai mūsų vaikščiotojas eina vis arčiau vandens keliu, atstumas, kurį jis turi įveikti, didėja neribotai.

C metodas. B metodas reiškia tam tikrą asimetriją tarp vandens ir kranto. Kad būtų išvengta šios asimetrijos, Kantoras pasiūlė žiūrėti į pakrantę tarsi per nesufokusuotą objektyvą, dėl kurio kiekvienas taškas virsta apvalia spindulio dėmė. Kitaip tariant, Kantoras laiko visus taškus – tiek sausumoje, tiek vandenyje – atstumą, nuo kurio iki pačios pakrantės neviršija . Šie taškai sudaro savotišką dešrą arba pločio juostelę (tokios „dešros“ pavyzdys – nors ir kitokiame kontekste – parodytas 56 pav.). Išmatuokime gautos juostos plotą ir padalinkime iš. Jei pakrantės linija būtų tiesi, juosta būtų stačiakampio formos, o aukščiau aprašytu būdu rasta vertė būtų tikrasis pakrantės ilgis. Kai kalbame apie tikras pakrantes, gauname apytikslį ilgio įvertinimą, kuris be apribojimų didėja kaip .

MetodasD. Įsivaizduokite žemėlapį, sudarytą puantilistų menininkų būdu, ty žemėlapį, kuriame žemynai ir vandenynai pavaizduoti spalvotomis apvaliomis spindulio dėmėmis. Užuot laikę dėmių centrus taškais, priklausančiais pakrantės linijai, kaip taikant C metodą, reikalausime, kad dėmių, kurios visiškai paslepia liniją, skaičius būtų mažiausias. Dėl to dėmės prie kyšulių dažniausiai bus sausumoje, o prie įlankų – jūroje. Apskaičiuotas pakrantės ilgis čia bus dėmių padengtą plotą padalijus iš . Šio vertinimo „elgesys“ taip pat palieka daug norimų rezultatų.

MATAVIMO REZULTATŲ ATSITIKTINIMAS

Apibendrinant ankstesnį skyrių, pastebime, kad bet kurio iš keturių metodų naudojimo rezultatas visada yra toks pat. Kai e mažėja, apytikslis kreivės ilgis linkęs į begalybę.

Norėdami tinkamai suprasti šio fakto reikšmę, atlikime panašų bet kurios įprastos Euklido kreivės ilgio matavimą. Pavyzdžiui, tiesiosios linijos atkarpoje apytiksliai apskaičiuoti matavimo duomenys iš esmės sutampa ir nustato reikiamą ilgį. Apskritimo atveju apytikslė vertė ilgis didėja, bet gana greitai veržiasi iki tam tikros ribos. Kreivės, kurių ilgį galima nustatyti tokiu būdu, vadinamos ištaisytomis.

Dar labiau pamokoma pabandyti išmatuoti kai kurių žmogaus prijaukintų pakrančių ilgį – tarkime, pakrantę netoli Čelsio, kokia ji atrodo šiandien. Kadangi žmonės vis tiek palieka nepakitusias labai dideles reljefo klostes, mes savo kompase įdiegsime labai didelį sprendimą ir palaipsniui jį sumažinsime. Kaip ir galima tikėtis, pakrantės ilgis padidės.

Tačiau yra vienas įdomi savybė: toliau mažindami, neišvengiamai atsiduriame tam tikroje tarpinėje zonoje, kur ilgis beveik nesikeičia. Ši zona tęsiasi nuo maždaug 20 m iki 20 cm (labai apytiksliai). Kai jis tampa mažesnis nei 20 cm, ilgis vėl pradeda didėti – dabar matavimo rezultatui įtakos turi atskiri akmenys. Taigi, jei nubraižysite vertės pokyčio grafiką kaip funkciją, tada, be jokios abejonės, panašiuose grafikuose rasite plokščią plotą, kurio e reikšmės yra nuo 20 m iki 20 cm. natūralioms „laukinėms“ pakrantėms tokių plokščių plotų nepastebima.

Akivaizdu, kad šioje plokščioje zonoje atlikti matavimai turi didžiulę praktinę vertę. Kadangi ribos tarp skirtingų mokslo disciplinas daugiausia yra mokslininkų susitarimo dėl darbo pasidalijimo rezultatas, mes galime, pavyzdžiui, visus reiškinius, kurių mastelis viršija 20 m, tai yra tuos, kurių žmogus dar nepasiekė, perkelti į geografijos katedrą. Toks apribojimas suteiks mums labai specifinį geografinį ilgį. Pakrančių apsaugos tarnyba gali sėkmingai panaudoti tą pačią vertę tvarkydama „laukinius“ krantus, o enciklopedijos ir almanachai visiems nurodys atitinkamą ilgį.

Kita vertus, man sunku įsivaizduoti, kad visos suinteresuotos valstybinės institucijos, net ir kurios nors vienos šalies, susitars tarpusavyje vartoti vieną reikšmę, o jos perėmimas visose pasaulio šalyse yra visiškai neįsivaizduojamas. Richardsonas pateikia tokį pavyzdį: ispanų ir portugalų enciklopedijose pateikiami skirtingi ilgiai sausumos siena tarp šių šalių, o skirtumas yra 20 % (tas pats yra su Belgijos ir Nyderlandų siena). Šis neatitikimas iš dalies turi būti paaiškintas skirtingais pasirinkimais. Empiriniai įrodymai, kuriuos trumpai aptarsime, rodo, kad tokiam skirtumui atsirasti pakanka, kad viena reikšmė nuo kitos skirtųsi tik du kartus; Be to, nenuostabu, kad maža šalis (Portugalija) atidžiau matuoja savo sienų ilgį nei didžioji kaimynė.

Antrasis ir svarbesnis argumentas prieš savavališką pasirinkimą yra filosofinio ir bendro mokslinio pobūdžio. Gamta egzistuoja nepriklausomai nuo žmogaus, ir kiekvienas, kuris suteikia per daug reikšmės kokiai nors konkrečiai reikšmei arba daro prielaidą, kad gamtos suvokimo proceso lemiama grandis yra žmogus su savo visuotinai priimtais standartais arba labai kintančiomis techninėmis priemonėmis. Jei pakrantės kada nors taps objektais moksliniai tyrimai, vargu ar galėsime įstatymais uždrausti pastebėtą neapibrėžtumą, susijusį su jų ilgiu. Kad ir kaip ten būtų, geografinio ilgio sąvoka nėra tokia nekenksminga, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Tai nėra visiškai „objektyvu“, nes tokiu būdu nustatant ilgį, stebėtojo įtaka yra neišvengiama.

SAVAVALINIŲ MATAVIMŲ REZULTATŲ PRIPAŽINIMAS IR SVARBĖ

Be jokios abejonės, daugelis žmonių mano, kad pakrantės yra nesumažinamos kreivės, ir šiuo klausimu nepamenu, kad kas nors galvotų kitaip. Tačiau mano paieška rašytinių įrodymų, patvirtinančių šią nuomonę, buvo beveik visiškai nesėkminga. Be antrajame skyriuje pateiktų Perrino citatų, Steinhauso straipsnyje yra ir toks pastebėjimas: „Didėjančio tikslumo matuojant kairiojo Vyslos kranto ilgį, galima gauti dešimtis, šimtus ir net tūkstančius. kartų didesnis, nei pateikia mokyklos žemėlapis.. Toks teiginys atrodo labai artimas tikrovei: dauguma gamtoje rastų lankų nėra ištaisomi. Šis teiginys prieštarauja populiariam įsitikinimui, kuris susiveda į tai, kad neištaisomi lankai yra matematinė fikcija, o gamtoje visi lankai yra ištaisomi. Iš šių dviejų prieštaringų teiginių, matyt, pirmasis turėtų būti laikomas teisingu. Tačiau nei Perrinas, nei Steinhausas nesivargino išsamiau išplėtoti savo spėjimų ir padaryti jų logišką išvadą.

K. Fadimanas pasakoja įdomią istoriją. Jo draugas Edwardas Kasneris kelis kartus atliko šį eksperimentą: jis „paklausė mažų vaikų, koks, jų nuomone, yra bendras JAV pakrantės ilgis. Vienam iš vaikų išsakius gana „pagrįstą“ spėjimą,... Kasneris... pakvietė pagalvoti, kiek šis skaičius galėtų padidėti, jei labai kruopščiai išmatuotų visų kyšulių ir įlankų perimetrą, tada lygiai taip pat kruopščiai atsektų. mažesni kyšuliai ir įlankėlės kiekviename iš šių kyšulių ir kiekvienoje iš šių įlankų, tada išmatuokite kiekvieną akmenuką ir kiekvieną smėlio grūdelį, sudarantį pakrantę, kiekvieną molekulę, kiekvieną atomą ir tt Paaiškėjo, kad krantas gali būti toks ilgas. tau patinka. Vaikai tai suprato iš karto, bet Kasneris turėjo problemų su suaugusiaisiais. Istorija, žinoma, labai graži, bet vargu ar ji turi ką nors bendro su mano paieškomis. Kasneris aiškiai nesiekė pabrėžti kažkokio tikrovės aspekto, kurį verta toliau tirti.

Taigi galima teigti, kad straipsnis ir knyga, kurią laikote rankose, iš esmės yra pirmieji šiai temai skirti darbai.

Savo knygoje „Valia tikėti“1 Williamas Jamesas rašo: „Tai, kas netelpa į klasifikavimo rėmus... visada yra turtinga didelių atradimų sritis. Bet kuriame moksle, aplink visuotinai priimtus ir užsakytus faktus, visada sukasi dulkėtas taisyklių išimčių debesis – reiškiniai, kurie yra subtilūs, nenuoseklūs, retai sutinkami, reiškiniai, kuriuos lengviau ignoruoti nei apsvarstyti. Kiekvienas mokslas siekia idealios būklės uždara ir griežta tiesų sistema... Reiškiniai, kurių negalima klasifikuoti sistemos viduje, laikomi paradoksaliais absurdais ir akivaizdžiai nėra tiesa. Jie yra apleisti ir atmesti remiantis geriausiais mokslinės sąžinės ketinimais... Kas rimtai tyrinėja netaisyklingus reiškinius, galės kurti naujas mokslas ant senojo pamato. Pasibaigus šiam procesui, atnaujinto mokslo taisyklės dažniausiai taps vakarykštėmis išimtimis.

Šiame esė, kurio kuklus tikslas – visiškas Gamtos geometrijos atnaujinimas, aprašomi reiškiniai taip neklasifikuojami, kad apie juos galima kalbėti tik gavus cenzoriaus leidimą. Su pirmuoju iš šių reiškinių susidursite kitame skyriuje.

RICHARDSONO EFEKTAS

Empirinis apytikslio ilgio pokyčio tyrimas, gautas naudojant A metodą, aprašytas Richardsono straipsnyje, kurio nuoroda per laimingą (arba lemtingą) atsitiktinumą man pasirodė. Į tai atkreipiau dėmesį tik todėl, kad daug girdėjau apie Lewisą Fry Richardsoną kaip apie išskirtinį mokslininką, kurio mąstymo originalumas buvo panašus į ekscentriškumą (žr. 40 skyrių). Kaip matysime 10 skyriuje, žmonija turi kai kurias giliausias ir ilgalaikes idėjas apie turbulencijos prigimtį. ypatingas dėmesys Tarp jų vertas tas, pagal kurį turbulencija suponuoja į save panašios kaskados atsiradimą. Jis taip pat dirbo su kitais sudėtingos problemos- pavyzdžiui, ginkluoto konflikto tarp valstybių pobūdis. Jo eksperimentai buvo klasikinio paprastumo pavyzdžiai, tačiau iškilus poreikiui jis nedvejodamas naudojo sudėtingesnes sąvokas.

Parodyta pav. 57 grafikai, rasti po Richardsono mirties tarp jo straipsnių, buvo paskelbti beveik slaptame (ir visiškai netinkamame tokiems leidiniams) „Metų knygoje apie bendrų sistemų“ Išnagrinėję šiuos grafikus, darome išvadą, kad yra dvi konstantos (vadinkime jas ir ) – tokios, kad norint nustatyti pakrantės ilgį, nubrėžiant jį aproksimuojančią trūkinę liniją, reikia paimti apytikslius ilgio intervalus ir parašyti tokią formulę:

Rodiklio reikšmė, matyt, priklauso nuo matuojamos pakrantės pobūdžio, o skirtingos šios linijos atkarpos, įvertinus atskirai, gali duoti skirtingas vertes. Richardsonui dydis buvo tiesiog patogus rodiklis be jokios ypatingos reikšmės. Tačiau šio rodiklio reikšmė, atrodo, nepriklauso nuo pasirinkto kranto ilgio įvertinimo metodo. Tai reiškia, kad jis nusipelno didžiausio dėmesio.

FRAKTALĖS PAKRANTĖS MATMENYS

Išstudijavus Richardsono darbą, pasiūliau, kad nors eksponentas nėra sveikasis skaičius, jį galima ir reikia suprasti kaip dimensiją – tiksliau, kaip fraktalinį matmenį. Žinoma, aš puikiai žinojau, kad visi aukščiau pateikti matavimo metodai yra pagrįsti nestandartiniais apibendrintais matmenų apibrėžimais, jau naudojamais grynojoje matematikoje. Ilgio nustatymas pagal kranto linijos aprėptį mažiausias skaičius spindulio dėmės, naudojamos dangos matmenims nustatyti. Ilgio nustatymas, pagrįstas pakrantės uždengimu pločio juosta, įkūnija Kantoro ir Minkovskio idėją (žr. 56 pav.), o atitinkamą matmenį skolingi Buliganui. Tačiau šie du pavyzdžiai tik užsimena apie daugybės dimensijų egzistavimą (daugumą jų žino tik keli specialistai), kurie ryškėja įvairiose labai specializuotose matematikos srityse. Kai kuriuos iš šių matmenų išsamiau aptarsime 39 skyriuje.

Kodėl matematikams reikėjo pristatyti šią įvairių matmenų gausą? Tada tam tikrais atvejais jie imasi skirtingos reikšmės. Laimei, šiame rašinyje su tokiais atvejais nesusidursite, todėl galimų alternatyvių dimensijų sąrašą ramia sąžine galima sumažinti iki dviejų, kurių aš, tačiau, dar nepaminėjau. Seniausia ir nuodugniausiai ištirta mūsų sąrašo dimensija siekia Hausdorffą ir yra skirta fraktalų matmeniui apibrėžti – mes su ja susidursime labai greitai. Antrasis, paprastesnis, matmuo vadinamas panašumo matmeniu: jis nėra tas pats bendras charakteris, tačiau daugeliu atvejų pirmasis matmuo yra daugiau nei tinkamas – mes jį apsvarstysime kitame skyriuje.

Žinoma, aš čia neduosiu matematinis įrodymas kad Richardsono eksponentas yra matmuo. Tiesą sakant, neįsivaizduoju, kaip toks įrodymas gali būti atliktas bet kokioje sistemoje gamtos mokslas. Tik noriu atkreipti skaitytojo dėmesį į tai, kad ilgio sąvoka kelia konceptualią problemą, o indikatorius pateikia patogų ir elegantišką sprendimą. Dabar, kai fraktalinė dimensija užėmė savo vietą pakrančių tyrime, mažai tikėtina, kad dėl kokių nors ypatingų priežasčių norėsime grįžti į tuos laikus, kai neapgalvotai ir naiviai tikėjome. Kiekvienas, kuris vis dar tiki, dabar turės pabandyti, jei nori įrodyti, kad jis teisus.

Kitą žingsnį – aiškinantis pakrančių formą ir išvedant prasmę iš kitų, fundamentalesnių svarstymų – siūlau atidėti iki 28 skyriaus. Šiame etape pakanka pasakyti, kad, kaip pirmą apytikslį, . Ši reikšmė yra per didelė, kad būtų galima tiksliai apibūdinti faktus, tačiau to daugiau nei pakanka, kad galėtume teigti, kad galima, reikia ir natūralu manyti, kad pakrantės matmuo viršija įprastą euklidinę kreivės reikšmę.

FRAKTALINĖ HAUSDORFO DIMENSIJA

Jei pripažįstame, kad skirtingos natūralios pakrantės yra begalinio ilgio, o ilgio reikšmė, pagrįsta antropometrine verte, suteikia tik dalinį tikrosios situacijos supratimą, kaip galima palyginti skirtingas pakrantes? Kadangi begalybė niekuo nesiskiria nuo begalybės, padaugintos iš keturių, ką mums duos sakymas, kad bet kurio kranto ilgis yra keturis kartus didesnis už bet kurio jo ketvirčio ilgį? Reikalingas geriausias būdas išreikšti gana pagrįstą idėją, kad kreivė turi turėti tam tikrą "matą", o šis visos kreivės matas turėtų būti keturis kartus didesnis už tą patį matą bet kuriam jos ketvirčiui.

Itin genialų metodą šiam tikslui pasiekti pasiūlė Feliksas Hausdorffas. Jo metodas pagrįstas tuo, kad daugiakampio tiesinis matas apskaičiuojamas sudedant jo kraštinių ilgius be jokių transformacijų. Galima daryti prielaidą, kad šie kraštinių ilgiai pakelti iki galios, lygios euklidiniam linijos matmeniui (šios prielaidos priežastis netrukus paaiškės). Panašiai apskaičiuojamas ir uždarojo daugiakampio vidinės srities paviršiaus matas - padengiant jį kvadratais, surandant šių kvadratų kraštinių ilgių sumą ir pakeliant ją iki laipsnio (euklidinis plokštumos matmuo ). Jei skaičiavimuose naudosime „neteisingą“ laipsnį, tada šių skaičiavimų rezultatas neduos mums jokios naudingos informacijos: bet kurio uždaro daugiakampio plotas bus lygus nuliui, o jo vidinės srities ilgis bus begalinis.

Iš tokių pozicijų panagrinėkime daugiakampį (pakopinį tiesinį) pakrantės linijos, sudarytos iš mažų ilgio intervalų, aproksimaciją. Padidinus intervalo ilgį iki laipsnio ir padauginus jį iš intervalų skaičiaus, gauname tam tikrą reikšmę, kurią preliminariai galima pavadinti „apytiksliu ilgiu matmenyje“. Kadangi, pasak Richardsono, kraštinių skaičius yra lygus, mūsų apytikslis dydis įgauna reikšmę .. Tai yra, apytikslis pakrantės plotis rodo apdairų elgesį tada ir tik tada, kai .

KREIVĖS FRAKTALĖS MATMENYS GALI BŪTI DIDESNĖ NEI VIENETAS; FRAKTALŲ KREIVĖS

Kaip numatė jos kūrėjas, Hausdorffo dimensija išlaiko įprastos dimensijos pareigas ir tarnauja kaip rodiklis nustatant matą.

Tačiau, kita vertus, matmuo yra labai neįprastas – jis išreiškiamas trupmena! Be to, jis yra didesnis už vienybę, kuri yra „natūralus“ kreivių matmuo (gali būti griežtai įrodyta, kad jų topologinis matmuo taip pat yra lygus vienybei).

Kreives, kurių fraktalinis matmuo viršija jų topologinį matmenį, siūlau vadinti fraktalinėmis kreivėmis. Kaip trumpą šio skyriaus santrauką galiu pasiūlyti kitas pareiškimas: geografiniu mastu pakrantės gali būti modeliuojamos naudojant fraktalines kreives. Pakrančių linijos yra fraktalinės struktūros.

Ryžiai. 55. BEŽDŽIO MEDIS

Šiame etape šis mažas piešinys turėtų būti laikomas tiesiog dekoratyviniu elementu, jis tiesiog užpildo tuščią vietą.

Tačiau, perskaitęs 14 skyrių, skaitytojas galės rasti užuominą, kaip įminti „architektūrinę“ mįslę pav. 210. Rimtesnį užuominą pateikia toliau pateiktas generatorius:

Jei matematikui reikia „prisijaukinti“ kurią nors ypač netaisyklingą kreivę, jis gali naudoti tokią standartinę procedūrą: pasirenkama tam tikra reikšmė ir aplink kiekvieną kreivės tašką nubrėžiamas spindulio apskritimas. Ši procedūra, pradėta bent jau Hermanno Minkowskio ir net paties Georgo Cantoro, yra šiek tiek grubi, bet labai efektyvi. (Kalbant apie terminą dešra, jo kilmė, remiantis nepatikrintais gandais, yra kažkaip susijusi su Norberto Wienerio taikymu šią procedūrą Brauno kreivėms.)

Čia patalpintose iliustracijose aukščiau aprašytas išlyginimas taikomas ne tikriems krantams, o vienai teorinei kreivei, kurią sukonstruosime kiek vėliau (žr. 79 pav.), nuolat papildydami vis daugiau smulkių detalių. Palyginus dešinėje pavaizduotą dešros gabalėlį su dešiniuoju dešros galu, esančiu viršuje, matome, kad kritinis kreivės konstravimo etapas įvyksta tada, kai kreivė pradeda apimti dalis, mažesnes nei . Norėdami daugiau vėlesniuose etapuose dešra labai nesikeičia.

Ryžiai. 57. RICHARDSONO EMPIRINIAI DUOMENYS APIE PAKRANČIO ILGIŲ AUGIMO GRĄŠTĄ

Šiame paveikslėlyje pavaizduoti eksperimentiniai kreivės ilgio matavimai, atlikti įvairiose kreivėse, naudojant lygiakraščius daugiakampius, kurių kraštinės ilgis mažėja. Kaip ir tikėtasi, apskritimo atveju vis didesnio tikslumo matavimai suteikia vertę, kuri labai greitai stabilizuojasi ties labai specifine verte.

Kalbant apie pakrantes, apytikslės ilgio reikšmės, priešingai, visai nesikeičia. Kadangi žingsnio ilgis linkęs į nulį, ilgio aproksimacijos, pavaizduotos dvigubos logaritminės koordinačių sistemoje, sudaro tiesią liniją su neigiamu nuolydžiu. Tas pats pasakytina apie sausumos sienas tarp šalių. Richardsono apklausos įvairiose enciklopedijose atskleidė reikšmingus skirtumus, kaip atitinkamų šalių kartografai nustatė bendros sienos ilgį: pavyzdžiui, Ispanijos ir Portugalijos sienos ilgis ispanų požiūriu yra 987 km, o 1214 m. km portugalų požiūriu; panašiai nukentėjo Nyderlandų ir Belgijos siena (380 ir 449 km). Kadangi atitinkamų linijų nuolydis yra -0,25, dvidešimties procentų skirtumas tarp matavimų reiškia dvigubą skirtumą tarp šiems matavimams priimtinų verčių – tai nėra tokia neįtikėtina prielaida.

Richardsonas nieko nedavė teorinis aiškinimas skirtingi jų tiesių linijų šlaitai. Ketiname pakrantes interpretuoti kaip fraktalų kreivių aproksimaciją ir apsvarstyti šlaitai atitinkamos tiesios linijos kaip apytikslės skirtumo reikšmės , kur yra fraktalinis matmuo.

Paradokso pavyzdys: jei JK pakrantė matuojama 100 km atkarpomis, tai jos ilgis yra maždaug 2800 km. Jei naudojami 50 km ruožai, ilgis yra maždaug 3400 km, tai yra 600 km ilgesnis.

Pakrantės ilgis priklauso nuo to, kaip ji matuojama. Kadangi sausumos masyvą galima apibūdinti bet kokio dydžio posūkiais, nuo šimtų kilometrų iki milimetro ar mažesnių dalių, nėra aiškaus būdo pasirinkti mažiausio elemento, kurį reikėtų matuoti, dydį. Vadinasi, vienareikšmiškai nustatyti šios srities perimetro neįmanoma. Šiai problemai išspręsti yra įvairių matematinių aproksimacijų.

Pagrindinis ribos arba pakrantės ilgio įvertinimo metodas buvo uždėjimas N vienodo ilgio segmentai lžemėlapyje arba aeronuotraukoje naudojant kompasą. Kiekvienas atkarpos galas turi priklausyti matuojamai ribai. Išnagrinėjęs ribų vertinimo neatitikimus, Richardsonas atrado tai, kas dabar vadinama Richardsono efektas: matavimo skalė yra atvirkščiai proporcinga bendram visų segmentų ilgiui. Tai yra, kuo trumpesnė naudojama liniuotė, tuo ilgesnė išmatuota riba. Taigi ispanų ir portugalų geografai tiesiog vadovavosi skirtingų mastelių matavimais.

Ričardsonui ryškiausia buvo tai, kad kai vertė l linkęs į nulį, pakrantės ilgis linkęs į begalybę. Iš pradžių Richardsonas, remdamasis euklido geometrija, manė, kad šis ilgis pasieks fiksuotą vertę, kaip ir įprastų. geometrines figūras. Pavyzdžiui, į apskritimą įbrėžto taisyklingo daugiakampio perimetras artėja prie paties apskritimo ilgio, kai kraštinių skaičius didėja (ir kiekvienos kraštinės ilgis mažėja). Geometrinių matavimų teorijoje lygi kreivė, tokia kaip apskritimas, kurią galima apytiksliai pavaizduoti mažų segmentų pavidalu su tam tikra riba, vadinama ištaisoma kreive.

Praėjus daugiau nei dešimčiai metų po to, kai Richardsonas baigė savo darbą, Mandelbrotas sukūrė naują matematikos šaką – fraktalinę geometriją, kad apibūdintų tokius gamtoje egzistuojančius neištaisomus kompleksus, kaip begalinė pakrantė. Jo savo apibrėžimą Fraktalas, kaip jo tyrimo pagrindas, yra toks:

Aš sugalvojau žodį fraktalas, remiantis lotynišku būdvardžiu fractus. Atitinkamas lotyniškas veiksmažodis frangere reiškia pertrauka: sukurkite netaisyklingus fragmentus. Todėl pagrįsta, kad, be „fragmentinio“, fractus taip pat turi reikšti „nereguliarus“.

Pagrindinė fraktalų savybė yra savęs panašumas, kurį sudaro to paties pasireiškimas bendra figūra bet kokiu mastu. Pakrantė suvokiama kaip įlankų ir kyšulių kaita. Hipotetiškai, jei tam tikra pakrantė turi panašumo savybę, nesvarbu, kiek viena ar kita dalis būtų išskleista, vis tiek bus panašus mažesnių įlankų ir pakraščių modelis, išsidėstęs ant didesnių įlankų ir pakraščių, iki pat pakrančių grūdelių. smėlio. Tokiais masteliais pakrantė atrodo kaip akimirksniu besikeičianti, galimai begalinė gija su stochastiniu įlankų ir pakraščių išsidėstymu. Esant tokioms sąlygoms (o ne lygioms kreivėms), Mandelbrotas teigia: „Krantės ilgis yra sunkiai suprantama sąvoka, slystanti tarp pirštų tiems, kurie bando tai suprasti.

kur pakrantės ilgis L yra vieneto ε funkcija ir yra aproksimuotas pagal išraišką dešinėje. F yra konstanta, D yra Richardsono parametras, priklausomai nuo pačios pakrantės (Richardsonas nepateikė teorinis paaiškinimasšis dydis, tačiau Mandelbrotas apibrėžė D kaip Hausdorff dimensijos, vėliau fraktalinės dimensijos, nesveikąjį skaičių. Kitaip tariant, D yra praktiškai išmatuota „šiurkštumo“ reikšmė). Persigrupavęs dešinėje pusėje posakius, gauname:

čia Fε -D turi būti ε vienetų, reikalingų L gauti, skaičius. Fraktalo dimensija yra objekto matmenų skaičius, naudojamas aproksimuoti fraktalą: 0 – taškas, 1 – linija, 2 – ploto figūros. Nes nutrūkusi linija, kuris matuoja pakrantės ilgį, nesitęsia viena kryptimi ir tuo pačiu neatspindi ploto, D reikšmė išraiškoje tarpinė padėtis tarp 1 ir 2 (pakrantėje paprastai mažiau nei 1,5). Jis gali būti interpretuojamas kaip stora linija arba 2ε pločio juostelė. Turi daugiau „sulaužytų“ pakrančių didesnę vertę D ir tokiu būdu L yra ilgesnis tam pačiam ε. Mandelbrotas parodė, kad D nepriklauso nuo ε.

Apskritai pakrantės skiriasi nuo matematinių fraktalų, nes jos formuojamos naudojant daugybę smulkių detalių, kurios sukuria šablonus tik statistiškai.

Iš tikrųjų pakrantėse nėra smulkesnių nei 1 cm detalių [ ] . Taip yra dėl erozijos ir kitų jūrinių reiškinių. Daugumoje vietų minimalus dydis yra daug didesnis. Todėl begalinis fraktalinis modelis netinka pakrantėms.

Praktiniais sumetimais pasirinkite minimalų dalių dydį, atitinkantį matavimo vienetų eilę. Taigi, jei pakrantė matuojama kilometrais, į nedidelius linijų pokyčius, daug mažesnius nei vienas kilometras, tiesiog neatsižvelgiama. Norint išmatuoti pakrantės liniją centimetrais, reikia atsižvelgti į visus nedidelius maždaug vieno centimetro skirtumus. Tačiau centimetrų skalėje turi būti daromos įvairios savavališkos ne fraktalinės prielaidos, pavyzdžiui, kur estuarija susijungia su jūra arba tose vietose, kur matavimai turi būti atliekami plačiais vatais. Be to, naudojimas įvairių metodų skirtingų matavimo vienetų matavimai neleidžia konvertuoti šių vienetų naudojant paprastą daugybą.

Valstybiniams teritoriniams vandenims nustatyti yra pastatyti vadinamieji Kanados provincijos Britų Kolumbijos pakrantės vingiai, kurie sudaro daugiau nei 10% Kanados pakrantės ilgio (atsižvelgiant į visas Kanados Arkties salyno salas); - 25 725 km iš 243 042 km tiesiniu atstumu tik 965 km