Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.
Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .
Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienam , tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.
Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.
Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir 
.
Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y lygus produktuišių skaičių logaritmai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tai log a x ·a log a y =x · y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.
Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir 
.
Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti sandaugai baigtinis skaičius n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šią lygybę galima įrodyti be problemų.
Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.
Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y lygus skirtumuišių skaičių logaritmus. Dalinio logaritmo savybę atitinka formos formulė, kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi 
, tada pagal logaritmo apibrėžimą.
Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: 
.
Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.
Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.
Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad neigiamo b išraiška log a b p turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (nes laipsnio b p reikšmė turi būti didesnis už nulį, kitaip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, iš kur log a b p =p·log a |b| .
Pavyzdžiui, 
ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai pagal radikalios išraiškos logaritmą, tai yra, 
, kur a>0, a≠1, n – natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, b>0.
Įrodymas pagrįstas lygybe (žr.), kuri galioja bet kokiam teigiamam b, ir galios logaritmo savybe: 
.
Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: 
.
Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus 
. Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b log c a. Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat įrodyta.
Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir 
.
Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pereiti prie natūraliųjų arba dešimtainių logaritmų, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.
Dažnai naudojamas ypatingas atvejis formulės perėjimui į naują logaritmo bazę su formos c=b 
. Tai rodo, kad log a b ir log b a – . Pavyzdžiui, 
.
Formulė taip pat dažnai naudojama 
, kuris patogus ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Turime 
. Norėdami įrodyti formulę 
pakanka naudoti perėjimo prie naujos logaritmo bazės a formulę: 
.
Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.
Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių b 1 ir b 2 atveju b 1 log a b 2, o a>1 – nelygybė log a b 1 Galiausiai belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų logaritmų savybių. Apsiribokime jo pirmosios dalies įrodymu, tai yra, įrodysime, kad jei a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 1 yra tiesa log a 1 b>log a 2 b . Likusieji šios logaritmų savybės teiginiai įrodomi panašiu principu. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad 1 > 1, 2 > 1 ir 1 1 yra tiesa log a 1 b≤log a 2 b . Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip 
Ir 
atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1
Nuorodos.
- Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
- Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).
Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas yra neapibrėžtas. Be to, logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2 gauname skaičių 4, tačiau tai nereiškia, kad 4 bazinis -2 logaritmas yra lygus iki 2.
Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Svarbu, kad šios formulės dešinės ir kairės pusės apibrėžimo apimtis būtų skirtinga. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti OD pasikeitimą.
Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.
Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Norėčiau perspėti moksleivius, kad sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes neapgalvotai nenaudotų šių formulių. Naudojant juos „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o pereinant nuo logaritmų sumos ar skirtumo prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.
Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.
Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x) , esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Priimtinų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.
Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Ir dar kartą norėčiau paraginti būti atsargiems. Apsvarstykite šį pavyzdį:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Išimdami laipsnį iš logaritmo, vėl susiauriname ODZ. Atvirkštinė procedūra leidžia išplėsti priimtinų verčių diapazoną. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lygiai galiai.
Perėjimo prie naujo pagrindo formulė
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Tas retas atvejis, kai transformacijos metu ODZ nesikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.
Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų specialų (8) formulės atvejį:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių
Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: log2 + log50.
Sprendimas. log2 + log50 = log100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.
2 pavyzdys. Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. log125/log5 = log 5 125 = 3. Naudojome perėjimo į naują bazę formulę (8).
Su logaritmais susijusių formulių lentelė
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.
Apibrėžimas matematikoje
Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautume reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.
Logaritmų tipai
Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiri logaritminių išraiškų tipai:
- Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
- Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
- Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.
Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.
Taisyklės ir kai kurie apribojimai
Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:
- Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
- jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.
Kaip išspręsti logaritmus?
Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.
Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.
Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:
Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms jums reikės maitinimo stalo. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!
Lygtys ir nelygybės
Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės yra vienodos: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.
Pateikiama tokia išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė „x“ yra po logaritminiu ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.
Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių atsakyme, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinų intervalų. reikšmės ir taškai nustatomi pažeidžiant šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.
Pagrindinės teoremos apie logaritmus
Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių paieškos užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.
- Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
- Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
- Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.
Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.
Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;
bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.
Problemų ir nelygybių pavyzdžiai
Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Norėdami įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos egzaminus, turite žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.
Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Pirmiausia turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.
Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.
Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.
Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais
Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.
- Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.
Vieningo valstybinio egzamino užduotys
Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių – vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.
Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialių vieningo valstybinio egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.
Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.
- Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
- Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.
Logaritmas su baze a yra y funkcija (x) = log a x, atvirkštinė eksponentinė funkcija su baze a: x (y) = a y.
Dešimtainis logaritmas yra logaritmas iki skaičiaus pagrindo 10 : log x ≡ log 10 x.
Natūralus logaritmas yra logaritmas iki e pagrindo: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Logaritmo grafikas gaunamas iš eksponentinės funkcijos grafiko veidrodinis vaizdas tiesės atžvilgiu y = x. Kairėje yra funkcijos y grafikai(x) = log a x keturioms vertėms logaritmų bazės 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 ir a = 1 . 0 < a < 1 Diagrama rodo, kad kai a >
logaritmas didėja monotoniškai. Kai x didėja, augimas žymiai sulėtėja. At
logaritmas mažėja monotoniškai.
Logaritmo savybės Domenas, vertybių rinkinys, didėjantis, mažėjantis Logaritmas yra
| monotoniška funkcija | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| , todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės logaritmo savybės pateiktos lentelėje. | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Apibrėžimo sritis | Vertybių diapazonas | Monotoniškas |
| monotoniškai didėja 0 | monotoniškai mažėja 1 | monotoniškai mažėja 1 |
| Nuliai, y = 0 | x = | x = |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x =
Nr Privačios vertybės
Vadinamas 10 bazinis logaritmas
dešimtainis logaritmas ir žymimas taip: Logaritmas iki pagrindo e
:
paskambino
natūralusis logaritmas
Pagrindinės logaritmų formulės
Logaritmo savybės, kylančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:
Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės Bazės pakeitimo formulė Logaritmas- Tai
matematinis veiksmas yra logaritmui atvirkštinis matematinis veiksmas. Potencijos metu tam tikra bazė pakeliama iki išraiškos laipsnio, per kurį atliekamas stiprinimas. Šiuo atveju terminų sumos paverčiamos veiksnių sandaugomis.
Pagrindinių logaritmų formulių įrodymas
Su logaritmais susijusios formulės kyla iš eksponentinių funkcijų formulių ir iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo.
Apsvarstykite eksponentinės funkcijos savybę
.
Tada
.
Taikykime eksponentinės funkcijos savybę
:
.
Įrodykime bazės pakeitimo formulę.
;
.
Darant prielaidą, kad c = b, turime:
Atvirkštinė funkcija
Logaritmo atvirkštinė bazė a yra eksponentinė funkcija su eksponentu a.
Jei, tada
Jei, tada
Logaritmo išvestinė
Modulio x logaritmo išvestinė:
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvedimo formulės >>>
Norint rasti logaritmo išvestinę, jis turi būti sumažintas iki pagrindo ir žymimas taip:.
;
.
Integralinis
Logaritmo integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis: .
Taigi,
Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius
Apsvarstykite kompleksinio skaičiaus funkciją z:
.
Išreikškime kompleksinis skaičius z per modulį r ir argumentas φ
:
.
Tada, naudodamiesi logaritmo savybėmis, turime:
.
Arba
Tačiau argumentas φ
nėra vienareikšmiškai apibrėžta. Jei įdėsite
, kur n yra sveikas skaičius,
tada jis bus tas pats skaičius skirtingiems n.
Todėl logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.
Galios serijos išplėtimas
Kai plėtra vyksta:
Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
Santykiu
galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Jei duoti a ir N, jie randami eksponentiniu būdu. Jei N ir tada a yra duoti paėmus x laipsnio šaknį (arba pakėlus jį į laipsnį). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, turime rasti x.
Tegul skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nėra lygus vienetui: .
Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume skaičių N; logaritmas žymimas
Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai
turėti ta pati prasmė. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; tikrovėje išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Autorius šis apibrėžimas Logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė, kitaip išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.
1 pavyzdys. Rasti
Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite pakelti bazę 2 iki galios Todėl.
Spręsdami tokius pavyzdžius galite užsirašyti tokia forma:
2 pavyzdys. Rasti .
Sprendimas. Turime
1 ir 2 pavyzdžiuose mes lengvai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritmo skaičių kaip bazės laipsnį su racionalus rodiklis. IN bendras atvejis, pavyzdžiui, už ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 pastraipoje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kokį realų duotybės laipsnį teigiamas skaičius. Tai buvo būtina logaritmų įvedimui, kurie paprastai gali būti neracionalūs skaičiai.
Pažvelkime į kai kurias logaritmų savybes.
Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.
Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą turime ir iš kur
Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą
Savybė 2. Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui lygus nuliui.
Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurios teigiamos bazės nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia
Q.E.D.
Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .
Prieš suformuluodami kitas turtas logaritmus, sutinkame sakyti, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis nei c, o kitas mažesnis už c, tada sakysime, kad jie yra kartu skirtingos pusės iš kaimo
Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra vienoje pusėje, tai logaritmas yra teigiamas; Jei skaičius ir bazė yra priešingose vieneto pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.
3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a galia yra didesnė už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.
Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:
Apsiribosime pirmojo iš jų analize;
Tegul tada lygybėje rodiklis negali būti nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t.y. kaip reikalaujama įrodyti.
3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš toliau pateiktų logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:
Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir bazė 12 yra toje pačioje pusėje;
b) kadangi 1000 ir 2 yra vienoje įrenginio pusėje; šiuo atveju nėra svarbu, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;
c) kadangi 3,1 ir 0,8 yra priešingose vienybės pusėse;
G); Kodėl?
d) ; Kodėl?
Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmavimo taisyklėmis: leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento, laipsnio logaritmus.
4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikram pagrindui lygi sumaišių skaičių logaritmai į tą pačią bazę.
Įrodymas. Tegul pateikti skaičiai yra teigiami.
Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), kuri apibrėžia logaritmą:
Iš čia rasime
Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; dviejų neigiamų skaičių sandaugos logaritmas turi prasmę, bet šiuo atveju gauname
Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tada jo logaritmas yra lygus šių veiksnių absoliučių verčių logaritmų sumai.
5 savybė (datinių logaritmų ėmimo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų į tą pačią bazę. Įrodymas. Mes nuolat randame
Q.E.D.
Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Kai kurių teigiamų skaičių galios logaritmas lygus logaritmuišis skaičius padaugintas iš laipsnio.
Įrodymas. Dar kartą parašykime pagrindinę numerio tapatybę (26.1):
Q.E.D.
Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas lygus logaritmui radikalus skaičius, padalintas iš šaknies eksponento:
Šios išvados pagrįstumą galima įrodyti įsivaizduojant, kaip ir naudojant 6 savybę.
4 pavyzdys. Paimkite logaritmą į a bazę:
a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);
b) (manoma, kad ).
Sprendimas, a) Patogu eiti į ši išraiškaį trupmeninius laipsnius:
Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7), dabar galime rašyti:
Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekami paprastesni veiksmai nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalinant – atimami ir t.t.
Štai kodėl skaičiavimo praktikoje naudojami logaritmai (žr. 29 pastraipą).
Atvirkštinis logaritmo veiksmas vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo iš tam tikro skaičiaus logaritmo randamas pats skaičius. Iš esmės, stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu į galią ( lygus logaritmui skaičiai). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.
Potencuojant reikia naudoti logaritmavimo taisyklėms atvirkštines taisykles: logaritmų sumą pakeisti sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą – koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei priešais yra koeficientas logaritmo ženklo, tada potencijavimo metu jis turi būti perkeltas į eksponento laipsnius po logaritmo ženklu.
5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad
Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientus 2/3 ir 1/3, stovinčius prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, perkelsime į eksponentus po šių logaritmų ženklais; gauname
Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:
norėdami gauti paskutinę šios lygybių grandinės trupmeną, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo vardiklio neracionalumo (25 skyrius).
Savybė 7. Jei bazė yra didesnė už vieną, tada didesnis skaičius turi didesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi mažesnį), jei bazė yra mažesnė už vieną, tai didesnio skaičiaus logaritmas yra mažesnis (o mažesnis skaičius turi didesnį).
Ši savybė taip pat suformuluota kaip taisyklė imant nelygybių logaritmus, kurių abi pusės yra teigiamos:
Paimant nelygybių logaritmus į bazę, didesnę už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas, o logarituojant iki bazės, mažesnės už vienetą, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą (taip pat žr. 80 pastraipą).
Įrodymas pagrįstas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmus, gauname
(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia
Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.
