Logaritmas nuo 9 iki 4 bazės yra lygus. Kas yra logaritmas

\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)

Paaiškinkime tai paprasčiau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) lygus galiai, iki kurio reikia pakelti \(2\), kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).

Argumentas ir logaritmo pagrindas

Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:

Logaritmo argumentas paprastai rašomas jo lygyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skamba taip: „logaritmas nuo dvidešimt penkių iki bazinių penkių“.

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?

Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? Kokia galia daro bet kurį pirmą numerį? Nulis, žinoma!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirma, bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Iš mūsų žinome, kas tai yra trupmeninė galia, ir tai reiškia kvadratinė šaknis yra \(\frac(1)(2)\) laipsnis.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kodėl buvo išrastas logaritmas?

Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygtis veiktų. Žinoma, \(x=2\).

Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\).Kodėl lygus x? Tai esmė.

Protingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai parašyti šį skaičių? Norint atsakyti į šį klausimą, buvo išrastas logaritmas. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).

Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), patinka bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)

Pavyzdys : Išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:

Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).

tai yra \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).

tai yra \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „pagrindiniu logaritminiu tapatumu“ ir atrodo taip:

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip tiksliai atsirado ši formulė.

Prisiminkime trumpa pastaba logaritmo apibrėžimai:

jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Tai reiškia, kad \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\). Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.

Galite rasti kitų logaritmų savybių. Jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?

Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra priešingai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).

Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), o tai reiškia, kad galime parašyti ir \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Taigi, jei reikia, galime parašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kur (net į lygtį, net į išraišką, net į nelygybę) – tiesiog kvadratinę bazę rašome kaip argumentą.

Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \)... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ir su keturiais:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ir su minusu vienu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ir su trečdaliu:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bet koks skaičius \(a\) gali būti pateiktas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Pavyzdys : Raskite posakio prasmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Tai matematinis dėsnis buvo išvestas Archimedo, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra bet kurio logaritmas neneigiamas skaičius(ty bet koks teigiamas) „b“ pagal bazę „a“ yra laikomas „c“ laipsniu, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai būtų gauta reikšmė „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę skaičiavimus, gausime skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.

Logaritmų tipai

Daugeliui studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir prisiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiros rūšys logaritminės išraiškos:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra nuspręstas standartiniu būdu, kuris apima supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti lygiosios šaknies neigiami skaičiai. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• pagrindas „a“ visada turi būti didesnis už nulį, ir tuo pačiu negali būti lygus 1, kitaip posakis praras savo reikšmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.

Dabar įsivaizduokime ši išraiška logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikės laipsnių lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie kompleksą matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet koks matematinis skaitinės išraiškos galima parašyti kaip logaritminę lygtį. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Už neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Duota tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių atsakymų. skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybės apibrėžiamos kaip regionas priimtinos vertės, ir šios funkcijos lūžio taškai. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių paieškos užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmas gali būti pavaizduotas tokią formulę: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie randami beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtrauktos privalomoji dalis matematikos egzaminus. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, bet kiekvienam matematinė nelygybė arba galima taikyti logaritminę lygtį tam tikros taisyklės. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Supaprastinkite ilgus logaritmines išraiškasįmanoma, jei teisingai naudosite jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis, turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Natūralių logaritmų sprendimams reikia taikyti logaritminės tapatybės arba jų savybes. Pažvelkime į sprendimą su pavyzdžiais logaritminės problemos skirtingų tipų.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti puiki vertė skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Vieningo valstybinio egzamino užduotys

Logaritmai dažnai randami stojamieji egzaminai, ypač daug logaritminių problemų vieningo valstybinio egzamino ( valstybinis egzaminas visiems mokyklą baigusiems asmenims). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminas), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir tobulos žinios temos „Natūralūs logaritmai“.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Taigi, mes turime dviejų galių. Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turėsite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

Pagrindas a logaritmas x yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume x.

Pavadinimas: log a x = b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b yra logaritmas iš tikrųjų lygus.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Su ta pačia sėkme žurnalas 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skaičiaus logaritmo pagal tam tikrą bazę radimo operacija vadinama logaritmavimu. Taigi, į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apskaičiuojami. Pavyzdžiui, pabandykite rasti žurnalą 2 5 . Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika diktuoja, kad logaritmas bus kažkur segmente. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем daugiau laipsnio du, tuo didesnis skaičius.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi iki begalybės ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Norėdami išvengti erzinantys nesusipratimai, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminkite: logaritmas yra galia, į kurią turi būti įdėta bazė, kad būtų gautas argumentas. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Tai nuostabi taisyklė Sakau savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Mes išsiaiškinome apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

1. Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionalus rodiklis, kuriai priklauso logaritmo apibrėžimas.
2. Pagrindas turi skirtis nuo vieno, nes vienas bet kokiu laipsniu vis tiek išlieka. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią turi būti pakeltas, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami priimtinų verčių diapazoną(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmei) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2–1.

Tačiau dabar mes tik svarstome skaitinės išraiškos, kur nebūtina žinoti logaritmo CVD. Į visus apribojimus problemų autoriai jau atsižvelgė. Bet kai jie eina logaritmines lygtis ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Juk pagrinde ir argumente gali būti labai stiprių konstrukcijų, kurios nebūtinai atitinka minėtus apribojimus.

Dabar pasvarstykime bendra schema logaritmų skaičiavimas. Jį sudaro trys žingsniai:

1. Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia galima bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsisakyti kablelio;
2. Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
3. Gautas skaičius b bus atsakymas.

tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matoma jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai svarbus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Tas pats su po kablelio: jei iš karto konvertuosite juos į įprastas, klaidų bus daug mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Gavome atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Sukurkime ir išspręskime lygtį:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Gavome atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Sukurkime ir išspręskime lygtį:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Gavome atsakymą: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 negali būti vaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad logaritmas neskaičiuojamas;
3. Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba paskutinis pavyzdys. Kaip galite būti tikri, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Tai labai paprasta – tiesiog suskaidykite į pagrindiniai veiksniai. Jei išplėtimas turi bent du skirtingus veiksnius, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar skaičiai yra tikslūs laipsniai: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 · 5 - vėlgi nėra tiksli galia;
14 = 7 · 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialus vardas ir paskyrimas.

Dešimtainis x logaritmas yra logaritmas iki 10 bazės, t.y. Galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lg x.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol, kai vadovėlyje pasirodys tokia frazė kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite: tai nėra rašybos klaida. Tai dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate susipažinę su šiuo užrašu, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainiams logaritmams.

Natūralus logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo pavadinimą. Kai kuriais atžvilgiais tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai apie apie natūralųjį logaritmą.

Natūralusis x logaritmas yra logaritmas iki pagrindo e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: ln x .

Daugelis paklaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius, jo tikslią vertę neįmanoma rasti ir įrašyti. Pateiksiu tik pirmuosius skaičius:
e = 2,718281828459...

Mes nesigilinsime į tai, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra natūraliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai natūralus logaritmas bet kurio racionalus skaičius neracionalus. Žinoma, išskyrus vieną: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

log a r b r =log a b arba log a b= log a r b r

Logaritmo reikšmė nepasikeis, jei logaritmo bazė ir skaičius po logaritmo ženklu bus padidintos iki vienodos laipsnio.

Po logaritmo ženklu gali būti tik teigiami skaičiai, o logaritmo pagrindas nėra lygus vienetui.

Pavyzdžiai.

1) Palyginkite log 3 9 ir log 9 81.

log 3 9=2, nes 3 2 =9;

log 9 81=2, nes 9 2 =81.

Taigi log 3 9 = log 9 81.

Atkreipkite dėmesį, kad antrojo logaritmo pagrindas yra lygus pirmojo logaritmo pagrindo kvadratui: 9=3 2, o skaičius po antrojo logaritmo ženklu yra lygus skaičiaus po pirmojo logaritmo ženklu kvadratui logaritmas: 81 = 9 2. Pasirodo, kad ir pirmojo logaritmo log 3 9 skaičius, ir bazė buvo pakelti į antrą laipsnį, o logaritmo reikšmė nuo to nepasikeitė:

Kitas, nuo šaknies ištraukimo n laipsnis iš tarpo A yra skaičiaus didinimas A iki laipsnio ( 1/n), tada iš log 9 81 galite gauti log 3 9, paėmę skaičiaus kvadratinę šaknį ir iš logaritmo pagrindo:

2) Patikrinti lygybę: log 4 25=log 0,5 0,2.

Pažvelkime į pirmąjį logaritmą. Paimkite kvadratinę pagrindo šaknį 4 ir iš tarpo 25 ; gauname: log 4 25=log 2 5.

Pažvelkime į antrąjį logaritmą. Logaritmo bazė: 0,5 = 1/2. Skaičius po šio logaritmo ženklu: 0,2= 1/5. Padidinkime kiekvieną iš šių skaičių iki minuso pirmojo laipsnio:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Taigi log 0,5 0,2 = log 2 5. Išvada: ši lygybė yra tiesa.

Išspręskite lygtį:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Sumažinkime logaritmus iš kairės į pagrindą 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Paimkite kvadratinę šaknį iš skaičiaus ir pirmojo logaritmo pagrindo. Ištraukite ketvirtąją skaičiaus šaknį ir antrojo logaritmo pagrindą.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Konvertuokite logaritmų sumą į sandaugos logaritmą.

3x2 =5x+2. Gauta po stiprinimo.

3x 2 -5x-2 = 0. Nuspręskime kvadratinė lygtis Autorius bendroji formulė Norėdami gauti visą kvadratinę lygtį:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 –4ac=(-5) 2 –4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 tikros šaknys.

Apžiūra.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Skaičiaus logaritmas b remiantis a n lygus produktui trupmenomis 1/ n iki skaičiaus logaritmo b remiantis a.

Rasti:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 , jei tai žinoma log 2 3=b,log 5 2=c.

Sprendimas.

Išspręskite lygtis:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Sprendimas.

Sumažinkime šiuos logaritmus iki 2 bazės. Taikykite formulę: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Čia yra panašūs terminai:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

žurnalas 2 x=3. Pagal logaritmo apibrėžimą:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Sprendimas. Paverskime logaritmą iš 16 į bazę 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Paverskime logaritmų sumą sandaugos logaritmu.

log 4 ((x-2) (x-3)) = 0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Pagal logaritmo apibrėžimą:

x 2 -5x+4=0. Pagal Vietos teoremą:

x 1 = 1; x 2 =4. Pirmoji x reikšmė neveiks, nes esant x = 1 šios lygybės logaritmai neegzistuoja, nes Po logaritmo ženklu gali būti tik teigiami skaičiai.

Patikrinkim duota lygtis ties x=4.

Apžiūra.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Skaičiaus logaritmas b remiantis A lygus logaritmui skaičių b nauju pagrindu Su, padalintas iš senojo pagrindo logaritmo A nauju pagrindu Su.

Pavyzdžiai:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Apskaičiuokite:

1) žurnalas 5 7, jei tai žinoma lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / žurnalas c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Atsakymas: žurnalas 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) žurnalas 5 7 , jei tai žinoma ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Sprendimas. Taikykite formulę: log a b =log c b / žurnalas c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Atsakymas: žurnalas 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Rasti x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Mes naudojame formulę: log c b / žurnalas c a = log a b . Mes gauname:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Mes naudojame formulę: log c b / žurnalas c a = log a b . Mes gauname:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

1 puslapis iš 1 1