1. Apsvarstykite savavališkus vektorius. Pirmiausia darykime prielaidą, kad šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju bet kurio iš šių vektorių sudarytas gramo determinantas skirsis nuo nulio. Tada, darant prielaidą, kad pagal (22)
(23)
ir dauginant iš termino šias nelygybes ir nelygybę
, (24)
.
Taigi, Gramo determinantas tiesiškai nepriklausomi vektoriai teigiamas, tiesiškai priklausomam lygus nuliui. Gramo determinantas niekada nėra neigiamas.
Pažymime santrumpa 
. Tada nuo (23) ir (24)
kur yra lygiagretainio, pastatyto ant ir, plotas. Kitas,
,
kur yra gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūris. Tęsdami toliau, randame:
,
ir galiausiai
. (25)
Natūralu tai vadinti -dimensinio gretasienio tūriu, pastatytu ant vektorių kaip ant briaunų.
Pažymėkime , vektoriaus koordinates tam tikru ortonormaliu pagrindu ir tegul
Tada remiantis (14)
ir todėl [žr formulė (25)]
. (26)
Ši lygybė turi tokią geometrinę reikšmę:
Kvadratinis gretasienio tūris lygi sumai kvadratiniai jo projekcijų tūriai į visas koordinačių matmenų poerdves. Visų pirma, kai iš (26) nurodyta:
. (26)
Naudojant formules (20), (21), (22), (26), (26"), išspręsta keletas pagrindinių metrinės vienetinės ir euklidinės analitinės geometrijos uždavinių.
2. Grįžkime prie išplėtimo (15). Tai tiesiogiai išplaukia iš to:
kuri kartu su (22) suteikia nelygybę (savavališkiems vektoriams 
)
šiuo atveju lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai vektorius yra statmenas vektoriams.
Iš čia nesunku gauti vadinamąją Hadamardo nelygybę
kur lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai vektoriai yra poros stačiakampiai. Nelygybė (29) išreiškia tokį geometriškai akivaizdų faktą:
Gretasienio tūris neviršija jo briaunų ilgių sandaugos ir yra lygus šiai sandaugai tik tada, kai gretasienis yra stačiakampis.
Hadamardo nelygybė gali būti suteikta normali išvaizda, įtraukiant (28) ir įvedant determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių tam tikru ortonormaliu pagrindu:
.
Tada iš (26") ir (28) seka
. (28)
3. Dabar nustatykime apibendrintą Hadamardo nelygybę, apimančią ir nelygybę (27), ir nelygybę (28):
ir lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai kiekvienas vektorius yra statmenas bet kuriam vektoriui arba vienam iš determinantų, 
lygus nuliui.
Nelygybė (28") turi tokią geometrinę reikšmę:
Lygiagretainio vamzdžio tūris neviršija dviejų papildomų paviršių tūrių sandaugos ir yra lygus šiai sandaugai tada ir tik tada, kai šie paviršiai yra vienas kitą stačiakampiai arba bent vienas iš jų turi nulinį tūrį.
Nelygybės (29) pagrįstumą nustatysime indukciniu būdu vektorių skaičiaus atžvilgiu. Nelygybė yra teisinga, kai šis skaičius yra 1 [žr formulė (27)].
Leiskite mums pristatyti du poerdes ir, atitinkamai, su bazėmis ir . Akivaizdu,. Panagrinėkime stačiakampius išplėtimus
.
Lygiagretainio tūrio kvadrato pakeitimas pagrindo tūrio ir aukščio kvadrato sandauga [žr. formulė (22)], randame
Šiuo atveju iš vektoriaus skaidymo seka:
, (31)
o čia ženklas vyksta tik tada, kai .
Naudodami dabar santykius (30), (30"), (31) ir indukcijos prielaidą, gauname:
Gavome nelygybę (29). Pereidami prie paaiškinimo, kada ženklas atsiranda šioje nelygybėje, mes manome, kad tai 
Ir 
. Tada taip pat pagal (30"). 
Ir . Kadangi santykiuose (32) visur yra lygybės ženklas, tai, be to, remiantis indukcijos prielaida, kiekvienas vektorius yra stačiakampis kiekvienam vektoriui. Akivaizdu, kad vektorius taip pat turi šią savybę
Taigi apibendrinta Hadamardo nelygybė yra visiškai nustatyta.
4. Apibendrintai Hadamardo nelygybei (29) taip pat gali būti suteikta analitinė forma.
Leisti būti savavališka teigiama apibrėžta Hermito forma. Atsižvelgiant į vektoriaus koordinates matmenų erdvėje su pagrindu, formą laikome pagrindine metrine forma (žr. 224 psl.). Tada ji taps vientisa erdve. Baziniams vektoriams taikykime apibendrintą Hadamardo nelygybę: - teigiamos apibrėžtosios kvadratinės formos koeficientų realiąją matricą tarp vektorių ir apibrėžiant ją iš santykio.
.
Iš Bunyakovskio nelygybės išplaukia, kad ji turi tikrą vertę.
taškinis produktas koordinatėmis nurodyti vektoriai.
Įleisti į pagrindą e
pateikiami vektoriai A
= x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + x n e n
, V
= 1 val e 1
+ 2 val e 2
+ … + y n e n
. Tada ( a, c) =
(x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + x n e n
)×( 1 val e 1
+ 2 val e 2
+ … + y n e n
) = 
= x T ×G× adresu, Kur x T– vektoriaus koordinačių eilutė A
, y – vektoriaus koordinačių stulpelis V
. Taigi, ( a, c)
= x T ×G× adresu(42).
Gramo matricos savybės.
1 0 . Gramo matrica yra simetriška pagrindinei įstrižai.
Tai išplaukia iš to, kad ( e k, e s ) = (e s, e k ).
2 0 . Įstrižainės Gramo matricos elementai yra griežtai teigiami.
Tai išplaukia iš to, kad e k ¹ 0 ir todėl ( e k, e k ) > 0.
3 0 . Gramo matricai ir bet kuriai n- matmenų kolona X sąlyga įvykdyta x T ×G× X> 0.
Tai išplaukia iš 4-osios skaliarinio sandaugos apibrėžimo aksiomos.
Simetrinė matrica A, tenkinantis sąlygą x T ×A× X> 0 už bet kurį
nenulinis stulpelis X, paskambino teigiamas apibrėžtas. Todėl matrica
Grama teigiamas apibrėžtas.
4 0 . Leiskite e = (e 1 , e 2, ... , e n ) Ir e 1 = (e 11 , e 2 1, ... , e n 1 ) – du pagrindai in E n , G Ir G 1– duotosios skaliarinės sandaugos graminės matricos bazėse e Ir e 1 atitinkamai. Leiskite T– perėjimo matrica iš pagrindo e į bazę e 1 . Tada ( a, c) = x T ×G× y, x = T × x 1, y = T × y 1, x T = (T × x 1)T =(x 1)T × T T. Vadinasi, ( a, c) = ((x 1)T × T T)× G×(Т×у 1) = (x 1)T ×(T T× G×T)× y 1. Bet ( a, c) = (x 1)T × G 1 × y 1. Iš čia
G 1 = T T × G × T(43)
Formulė (42) suteikia ryšį tarp gramų matricų skirtingose bazėse.
5 0 . Gramo matricų determinantai visose bazėse turi tą patį ženklą.
Iš (42) formulės išplaukia ú G 1ú =ú T Tú ×ú Gú ×ú Tú = ú Gú ×ú Tú 2. Nes Tú 2 > 0, tada ú G 1ú ir ú Gú turi tuos pačius ženklus.
Pavyzdžiai.
1.
Gausybėje M 2
kvadratinės matricos su realiais elementais, skaliarinė sandauga pateikiama pagal formulę 
. Raskite šio produkto Gramo matricą bazėje e 1
= , e 2
= , e 3
= , e 4
= .
Sprendimas. Raskime visus porinius produktus pagrindiniai elementai: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2, e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3, e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. Todėl
2.
Kosmose R
[X] daugianarių, kurių laipsnis ne didesnis kaip 3, skaliarinė sandauga pateikiama pagal formulę 
, Kur a Ir b- fiksuoti tikrieji skaičiai, a< b.
Sudarykite Gramo matricą pagrindu (1, x, x 2, x 3).
Sprendimas. Raskime visas pagrindinių elementų porines sandaugas: (1, 1) = = b-a,
(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x 2) = (x 2, 1) = = ), (1, x 3) = (x 3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x 2) = (x 2, x) = = ), (x, x 3) = (x 3, x) = = ), (x 2, x 2) = = ), (x 2, x 3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = = ). Gramo matrica atrodys taip:
G = 
.
3. Pagrindas ( e 1, e 2, e 3 ) erdvė E 3 skaliarinė sandauga pateikiama Gramo matrica G= . Raskite vektorių taškinę sandaugą A = (1, –5, 4) ir V = (–3, 2, 7).
Sprendimas. Naudodami (41) formulę gauname ( A , V ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Metrikos įvedimas Euklido erdvėje
Leiskite E n – n- matmenų Euklido erdvė. Pavadinkime vektoriaus ir savęs skaliarinę sandaugą šio vektoriaus skaliarinis kvadratas , t.y. ( a, a ) = a 2 . Pagal 4-ąją skaliarinės sandaugos aksiomą a 2 ³ 0.
Apibrėžimas 47. Vektoriaus ilgis paskambino aritmetinė vertė kvadratinė šaknis nuo šio vektoriaus skaliarinio kvadrato. tie. ú A ú = (44)
Vektoriaus ilgio savybės:
1. Bet koks vektorius A turi ilgį ir tik vieną, ú A ú ³ 0.
2. ú a× A ú = úaú×ú A ú bet kokiam A Î E n .
3. Bet kokiems vektoriams A Ir V iš E n nelygybė ú yra tiesa a × b ú £ú A ú ×ú V ú.
Įrodymas.(A –a V ) 2 = A 2–2a ( a, c ) + a 2 × V 2 ³ 0 bet kuriam a О R. Nes kvadratinis trinaris yra neneigiamas bet kuriai a reikšmei, tai jo diskriminantas yra neteigiamas, t.y. ( a, c ) 2 – A 2× V 2 £ 0 arba ( a, c ) 2 £ A 2× V 2. Taigi ú a × b ú £ú A ú ×ú V ú (45). Lygybės ženklas šioje formulėje bus tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi.
48 apibrėžimas. Vadinamas vienetinio ilgio vektorius vieneto vektorius arba ortom .
4 0 . Kam ne nulinis vektorius yra jai proporcingas vieneto vienetas.
Jeigu a ¹ 0 , tada ú A ú ¹ 0. Todėl yra vektorius a 0 = A . Akivaizdu, a 0 ú =1.
Apibrėžimas 49. Kampas tarp nulinių vektorių a ir toks tikrasis skaičius vadinamas j, tai yra (46).
Kampas tarp vektorių A ir taip pat gali būti žymimas .
Kampų savybės.
1 0 . Bet kurių dviejų nulinių vektorių kampas tarp jų yra apibrėžtas.
Iš (44) formulės išplaukia, kad j egzistuoja.
2 0 . Jei a ¹ 0, b ¹ 0, tada .
48 apibrėžimas. Vadinami du nuliniai vektoriai stačiakampis , jei jų skaliarinė sandauga lygi nuliui.
Žymi stačiakampiai vektoriai A ^V.
3 0 . Jeigu A ^V , a ¹ 0, b ¹ 0, tai ( a A )^ (b V ).
4 0 . Jeigu A ^V Ir A ^Su , Tai A ^(V + Su ).
50 apibrėžimas. Visų erdvėje esančių vektorių aibė E n , statmena vektoriui A , prie kurio pridedamas nulinis vektorius, vadinamas vektoriaus a stačiakampis komplementas .
5 0 . Stačiakampio vektoriaus komplementas A yra ( n – 1)-dimensinė Euklido suberdvė E n .
Įrodymas.
Iš 3 0 ir 4 0 savybių išplaukia, kad nagrinėjama aibė L yra tiesinė poerdvė V E n . Nuo m E n Jei skaliarinė sandauga yra apibrėžta, tada ji taip pat apibrėžta stačiakampiame papildyme, todėl L yra Euklido poerdvė. Be to, Su Î L Û ( A , Su ) = 0 (*). Pataisykime E n pagrindu. Leiskite A = (a 1, a 2, …, a n), Su = (x 1, x 2, …, x n). Tada Su Î L Û a T ×G × x = 0 (**). (**) lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis Su n nežinomas. Fundamentali sistema jo sprendimus sudaro ( n– 1) sprendiniai. Todėl (**) lygties sprendinių erdvė yra ( n– 1)-matmenų.
Leiskite E k – erdvės poerdvė E n . Pažymėkime E aibė, susidedanti iš nulinio vektoriaus ir visų vektorių, statmenų bet kuriam nuliui nepriklausančiam vektoriui nuo E k .Kitaip tariant Su Î E Û ( Su , A ) = 0 visiems A Î E k . Erdvė E stačiakampis papildinys į erdvę E k .
Def: Gramo determinantas, vektorių sistema ( e 1 , e 2 , …, e k} vadinamas determinantu
G( e 1 , e 2 , …, e k) = 
.
T° . Tam, kad vektorių sistema ( e 1 , e 2 , …, e k) Euklido erdvė E n buvo
tiesiškai priklausomas, būtina ir pakanka, kad Г( e 1 , e 2 , …, e k) buvo lygus
◀ Būtinybė. Leiskite e 1 , e 2 , …, e k tiesiškai priklausomas. Tada e k= 1 e 1 + 2 e 2 +…+ e k– 1 a k–1 ir Г( e 1 , e 2 , …, e k) paskutinės eilutės elementai atrodo kaip 1 ( e 1 ,e i) + a 2 ( e 2 ,e i) + …+ a k –1 (e k –1 ,e i), t.y. paskutinė eilutė yra tiesinis likusių Þ Г( e 1 , e 2 , …, e k) = 0.
Tinkamumas. Leisk G( e 1 , e 2 , …, e k) = 0 Þ jo tiesės yra tiesiškai priklausomos Þ $b 1 , b 2 , …, b k b 1 ( e 1 ,e i) + … + b k(e k, e i) = 0 Þ (b 1 e 1 + … + b k e k= 0 ir ne visi b i= 0 Þ e 1 , e 2 , …, e k tiesiškai priklausomas. Prieštaravimas
Pasekmė. Jeigu e 1 , e 2 , …, e k yra tiesiškai nepriklausomi, tada Г( e 1 , e 2 , …, e k) ¹ 0. Be to, Г( e 1 , e 2 , …, e k) > 0
◀ Atsižvelgiant į ℒ( e 1 , e 2 , …, e k). Tada ( e k, e i) – kokios nors simetrinės matricos elementai bilinijinė forma, atitinkantis kurią kvadratine forma apibrėžia skaliarinį sandaugą, t.y. yra teigiamas neabejotinas. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k> 0. Bet D k= Г( e 1 , e 2 , …, e k)
§2. Abipusės bazės.
Kovariacinės ir kontravariantinės vektorių koordinatės
Leiskite E n– Euklido erdvė, tegul ( e 1 , e 2 , …, e n)pagrindas E n Ir ( e 1 , e 2 , …, e n) kitas pagrindas E n. Bazės ( e i) Ir ( e i) vadinami abipusiais, jei ( e i, e j) = = .
Kronecker-Capelli.
T° . Bet koks pagrindas ( e i) iš E n turi unikalų abipusį pagrindą.
◀ Leisk e j= e 1 + e 2 + … + e n. Padauginkite lygybę skaliariai iš e i.
(e i, e j) = (e i, e 1) + (e i, e 2) + … + (e i, e n) = , i, j = 1, 2, …, n.
Turime nevienalytė sistema n-tiesinės lygtys su n nežinoma, šios sistemos determinantas yra Г( e 1 , e 2 , …, e n) ¹ 0, t.y. sistema turi unikalų nulinį sprendimą.
Todėl vektoriai e j nustatomi vienareikšmiškai. Įsitikinkite, kad jie sudaro pagrindą (tai yra, jie yra tiesiškai nepriklausomi).
Tegul 1 e 1 + 1 e 2 + …+ a n e n= 0. Skaliariai padauginkite iš e i.
a 1 ( e i, e 1) + a 2 ( e i, e 2) + … + a n(e i, e n) = 0 Þ a i= 0, i, j = 1, 2, …, n
komentuoti : jei pagrindas ( e i) yra ortonormalus, tada jo abipusis pagrindas sutampa su duotu pagrindu.
Leisk ( e i) Ir ( e j) tarpusavio bazes in E n.
Tada „xО E n 
(1)
(x 1 , x 2 , …, x n) vadinamos kovariacinėmis vektoriaus koordinatėmis x.
(x 1 , x 2 , …, x n) vadinamos kontravariantinėmis vektoriaus koordinatėmis x.
susitarimas: Tegul yra išraiška, sudaryta iš veiksnių, kurie yra įrengti baigtinis skaičius indeksai (viršutinis ir apatinis). Šiuo atveju susitariama, kad visi indeksai būtų pažymėti skirtingi simboliai(panašūs į viršutinius). Jei tokioje išraiškoje yra du vienodi indeksai, iš kurių vienas yra viršutinis, o kitas yra žemesnis, tada laikoma, kad sumavimas atliekamas per tokius indeksus nuo 1 iki n.) gauname e j= g ji e i; e j= g ji e i.
Jie sako, kad tikroje linijinėje erdvėje X apibrėžta operacija skaliarinio vektoriaus daugyba, jei kuri nors vektorių pora x ir adresu iš X priskiriamas tikrasis skaičius, kuris vadinamas skaliarinis produktas vektoriai X Ir adresu ir yra pažymėtas simboliu (x, y), o jei dėl kokių nors X. y, z € X ir bet koks realus skaičius A atliekami šie veiksmai taškinio produkto aksiomos:
- 1. (x,y) =(y,; X).
- 2. (.t + y, z)= (x,z) + (y, z).
- 3. (o, y) = a(x,y).
- 4. (x, x)> 0 val x F 0 ir (x, X)= 0 at X = 0.
8.1 pavyzdys. Tegul X yra erdvė geometriniai vektoriai, studijavo m vektorinė algebra. Taškinė sandauga, apibrėžiama kaip dviejų vektorių ilgių ir tarp jų esančio kampo kosinuso sandauga, tenkina taškinės sandaugos aksiomas. ?
8.2 pavyzdys. IN aritmetinė erdvė K p kolonos aukštis n vektorių taškinė sandauga
galima nustatyti pagal formulę
Patikrinti skaliarinės sandaugos aksiomų pagrįstumą nėra sunku. Pavyzdžiui, patikrinkime 4 aksiomos įgyvendinamumą. Atkreipkite dėmesį, kad
Bet kvadratų suma yra teigiama, jei bent vienas iš skaičių Xi ne nulis (arba x f 0), ir yra lygus nuliui, jei visi x* yra lygūs nuliui (t. y. x = 0). ?
8.3 pavyzdys. Tiesinėje erdvėje polinomų, kurių realieji laipsnio koeficientai ne didesni kaip n- Pagal formulę galima įvesti 1 skaliarinį sandaugą
Skaliarinės sandaugos aksiomų patikrinimas pagrįstas savybėmis apibrėžtasis integralas ir nėra sunku. ?
8.4 pavyzdys. Linijinėje erdvėje Sa, b] realaus kintamojo funkcijos, tolydžios intervale [a, 6], skaliarinė sandauga gali būti įvedama taip pat, kaip ir tiesinėje daugianario erdvėje – naudojant apibrėžtąjį integralą: 
Skaliarinės sandaugos aksiomų patikrinimas atliekamas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. ?
Iš 2 ir 3 aksiomų išplaukia, kad bet koks baigtinis tiesinis vektorių derinys gali būti skaliariškai padaugintas į kitą tiesinę vektorių kombinaciją pagal polinomo dauginimo iš daugianario taisyklę, t.y. pagal formulę
Galioja linijinė erdvė, kuriame apibrėžiamas vektorių skaliarinis dauginimas, vadinamas Euklido erdvė. Ribinių matmenų tiesinė erdvė gali būti paversta Euklido erdve įvairiais būdais. Jei n-matėje euklido erdvėje X fiksuotu pagrindu e, e^,..., e n, tada bet kokie vektoriai x ir y turi jame skilimų
ir (8.1) formulę vektoriams chna duoda
arba viduje matricos forma kur turėtų būti
Taigi, skaliarinė sandauga Euklido erdvėje X yra visiškai nulemta matricos D. Ne kiekviena kvadratinė matrica gali būti (8.3) formulėje. Bet jei viena skaliarinė sandauga tam tikrame pagrinde yra nulemta tam tikros matricos Г, tai nesunku suprasti, kad ta pati matrica, tik skirtingame pagrinde, lemia ir skaliarinę sandaugą. Išlaikę matricą Г ir pakeitę bazes, gauname begalinis rinkinys skaliariniai sandaugai duotoje π matmenų tiesinėje erdvėje.
Matrica Г, dalyvaujanti formulėje (8.3), vadinama Gramo matrica pagrindas e = (e x, b2,..., e n). Gramo matricą (skaliarinių sandaugų matricą) galima apibrėžti ne tik bazėms, bet ir savavališkai sutvarkytoms baigtinėms vektorių sistemoms.
Atkreipkime dėmesį į kai kurias pagrindo Gramo matricos n-matėje euklido erdvėje savybes.
1. Gramo matrica G simetriškai ir bet kuriam n matmenų stulpeliuiXf 0 tenkina sąlygąx TGX > 0, ypač įstrižainės(ei,ej) = ef G e* Gramų matricos yra pusiau ekvivalentiškos.
Gramo matricos simetrija išplaukia iš skaliarinės sandaugos 1 aksiomos, pagal kurią (e*, ej)= (e^, e*) bet kuriems dviem baziniams vektoriams ir sąlyga x T G x > 0, x f 0, yra lygiavertis skaliarinės sandaugos 4 aksiomai.
Simetrinė matrica A, tenkinantis sąlygą x t Ah >> 0, x F 0, skambino teigiamas apibrėžtas. Atsižvelgiant į šį terminą, įrodyta savybė skamba taip: Gramo matrica yra teigiama.
2. Gramų matricos G ir G" dvi Euklido erdvės bazės e ir e" yra susijusios ryšiu
kur T yra perėjimo matrica iš pagrindo e į pagrindą e".
Iš tiesų, pereinant nuo pagrindo e prie pagrindo e! koordinates X Ir adresu du vektoriai X Ir adresu konvertuoti į koordinates X" Ir y" pagal formules (žr. 4.6 skyrių)
Todėl matrica T T G T pagrindui yra Gramo matrica e!.
3. Bet kurio pagrindo Gramo matricos determinantas yra teigiamas.
Iš tiesų, iš (8.4) formulės išplaukia, kad pakeitus pagrindą, Gramo matricos determinantas išlaiko savo ženklą (arba išlieka lygus nuliui), nes perėjimo matricos determinantas yra ne nulis:
Belieka atsižvelgti į tai, kad kaip Gramo matricą Г galime paimti tapatybės matricą (žr. pastabą žemiau), kurios determinantas lygus vienetui.
4. Visi kampiniai įstrižai nepilnamečiai
Pagrindo e lf e graminės matricos2 , ... e n yra teigiami.
Tikrai, bet kam Į poerdvę Lfc = (ei,...,efc) galime laikyti nepriklausoma euklido erdve.
Tada pagrindo ei, 62, ..., Gramo matricos determinantas sutaps su D^. Remiantis ankstesne savybe, šis determinantas yra teigiamas.
komentuoti. Sekcijoje. 9.C nustatyta, kad 4 turtas būtinas ir pakankama būklė teigiamo tikrumo kvadratinė matrica. Todėl 4 savybė išplaukia iš 1 savybės. Bet kuri teigiama apibrėžtoji matrica yra tam tikro pagrindo Gramo matrica tam tikroje Euklido erdvėje. Iš tiesų, skaliarinį sandaugą galima apibrėžti pagal (8.3) formulę, kurioje bet kuri teigiama apibrėžtoji matrica gali būti laikoma Γ. Tada skaliarinės sandaugos 1 aksioma išplauks iš matricos Г simetrijos, 2 ir 3 aksiomos - iš pasiskirstymo savybės matricos produktas, o aksioma 4 - iš G teigiamo apibrėžtumo sąlygos. Vadinasi, bet kuri matrica, turinti 4 savybę, gali būti laikoma Gramo matrica. Visų pirma galima pasirinkti tapatybės matricą kaip Gramo matricą, t.y. tam tikru pagrindu e, ..., e p apibrėžti taškinį produktą
formulę
Kaip jau minėta, Gramo matricos sąvoką galima įvesti savavališkai sutvarkytai baigtinei vektorių sistemai. Tuo pačiu metu ir į bendras atvejis Gramo matrica išlieka simetriška, bet prarandamos kitos savybės (teigiamas apibrėžtumas, determinanto pozityvumas). Toliau pateiktas teiginys galioja.
8.1 teorema.Vektorių sistemos Gramo matrica nėra vienaskaita tada ir tik tada, kai ši sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Gramo matrica nėra tiesinė priklausoma sistema vektoriai yra teigiamas apibrėžtas ir ypač turi teigiamą determinantą. Tiesiškai priklausomos vektorių sistemos Gramo matricos determinantas lygus nuliui.
> Bet kuri tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema gali būti laikoma pagrindu tam tikroje Euklido erdvėje, būtent jos linijinis apvalkalas. Pagal pagrindo Gramo matricos savybes nagrinėjamos vektorių sistemos Gramo matrica yra teigiama apibrėžtoji. Todėl visos jos kampiniai nepilnamečiai, ypač jo lemiamas veiksnys, yra teigiami. Tai taip pat reiškia, kad Gramo matrica yra tiesinė nepriklausoma sistema vektoriai yra neišsigimę.
Padauginus šią vektoriaus lygybę skaliariai iš vektorių a, a2 , ir į,
gauname vienalytę tiesinių lygčių sistemą
palyginti su koeficientais ac, ak laikomas linijiniu
deriniai. Šios sistemos matrica yra vektorinės sistemos Gramo matrica Г a, a,2 , ..., CLk Jei matrica Г yra ne vienaskaita, tai vienalytė sistema turi tik nulinį sprendimą. Tai reiškia, kad nagrinėjama vektorių sistema a, a2 , , a iki tiesiškai nepriklausomas.
Jei vektorių sistema A, ^k tiesiškai priklausomas, tada laikoma linijinė sistema turi nulinius sprendimus. Todėl jo determinantas, t.y. nagrinėjamos vektorių sistemos Gramo matricos Г determinantas lygus nuliui.
