1-osios ir 2-osios rūšies kreivinių lygčių taikymas. Kreivinių integralų skaičiavimas: teorija ir pavyzdžiai

5 paskaita I ir 2 rūšies kreiviniai integralai, jų savybės.

Kreivės masės problema. Kreivinis 1-osios rūšies integralas.

Kreivės masės problema. Tegul kiekviename gabalais lygiosios medžiagos kreivės L taške: (AB) nurodomas jos tankis. Nustatykite kreivės masę.

Tęskime taip pat, kaip darėme nustatydami plokščios srities masę ( dvigubas integralas) ir erdvinis kūnas (trigubas integralas).

1. Lanko srities L skaidymą suskirstome į elementus – elementarius lankus, kad šie elementai neturėtų bendrų vidinius taškus Ir ( sąlyga A )

3. Sukonstruokime integralinę sumą , kur yra lanko ilgis (dažniausiai lankui ir jo ilgiui įvedamas tas pats žymėjimas). tai - apytikslė vertė masės kreivė. Supaprastinimas yra tas, kad mes manėme, kad lanko tankis yra pastovus kiekviename elemente ir priėmėme galutinis skaičius elementai.

Pereinama prie numatytos ribos (B sąlyga ), gauname pirmos rūšies kreivinį integralą kaip integralų sumų ribą:

.

Egzistencijos teorema.

Tegul funkcija yra ištisinė gabalais lygaus lanko L. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas egzistuoja kaip integralų sumų riba.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

Pirmosios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas
a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė .

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralioji suma turi baigtinį skaičių narių, pereiname prie integraliųjų sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas.
Jeigu , Tai = +

3. Čia yra lanko ilgis.

4. Jeigu tenkinama lanko nelygybė, tai

Įrodymas. Užrašykime integralinių sumų nelygybę ir pereikime prie ribos.

Atkreipkite dėmesį, kad tai ypač įmanoma

5. Įvertinimo teorema.

Jei yra konstantų, tai

Įrodymas. Integruojanti nelygybę (4 nuosavybė), gauname . Pagal 1 savybę konstantas galima pašalinti iš integralų. Naudodami 3 savybę gauname norimą rezultatą.

6. Vidutinės vertės teorema(integralo reikšmė).

Yra taškas , Ką

Įrodymas. Kadangi funkcija yra nuolatinė uždaroje ribotas rinkinys, tada jis egzistuoja apatinis kraštas ir viršutinis kraštas . Nelygybė patenkinta. Abi puses padalinę iš L, gauname . Bet skaičius yra tarp apatinės ir viršutinės funkcijos ribų. Kadangi funkcija yra ištisinė uždaroje ribotoje aibėje L, tai tam tikru momentu funkcija turi įgyti šią reikšmę. Vadinasi, .

Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas.

Parametruokime lanką L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Tegul t 0 atitinka tašką A, o t 1 – tašką B. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas redukuojasi į apibrėžtasis integralas (- formulė, žinoma iš 1 semestro lanko ilgio skirtumui apskaičiuoti):

Pavyzdys. Apskaičiuokite vienalytės (tankis lygus k) spiralės vieno posūkio masę: .

Kreivinis 2-osios rūšies integralas.

Jėgos darbo problema.

1. Organizuojame regiono-lanko AB padalijimą į elementus - elementarius lankus, kad šie elementai neturėtų bendrų vidinių taškų ir( sąlyga A )

2. Pažymėkime „pažymėtus taškus“ M i skaidinio elementuose ir apskaičiuokime juose funkcijos reikšmes.

3. Sukonstruokime integralinę sumą , kur yra vektorius, nukreiptas išilgai stygos, apimančios lanką .

4. Perėjimas prie numatytos ribos (B sąlyga ), gauname antrojo tipo kreivinį integralą kaip integralų sumų (ir jėgos darbo) ribą:

. Dažnai žymimas

Egzistencijos teorema.

Tegul vektoriaus funkcija yra ištisinė gabalais lygiame lanke L. Tada kaip integralų sumų riba egzistuoja antrojo tipo kreivinis integralas.

.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

Pertvaros pasirinkimo būdas, jei tenkinama A sąlyga

Pasirinkę „pažymėtus taškus“ skaidinių elementuose,

Skirsnio tobulinimo metodas, jei tenkinama B sąlyga

2-osios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas
a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė .

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralinėje sumoje terminų skaičius yra baigtinis, naudojant savybę taškinis produktas, pereikime prie integrinių sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas.
Jeigu , Tai = + .

Įrodymas. Parinkime L srities skaidinį taip, kad jokiame skaidinio elemente (pradžioje ir tikslinant skaidinį) vienu metu nebūtų ir elementų L 1, ir elementų L 2 . Tai galima padaryti naudojant egzistencijos teoremą (pastaba prie teoremos). Toliau įrodymas atliekamas integraliomis sumomis, kaip nurodyta 1 dalyje.

3. Orientacija.

= -

Įrodymas. Lanko integralas –L, t.y. V neigiama kryptis lanko perėjimas yra integralinių sumų, kurių sąlygose yra (), riba. Iš skaliarinės sandaugos ir baigtinio skaičiaus terminų sumos paėmę „minusą“ ir pereidami prie ribos, gauname reikiamą rezultatą.

Teorinis minimumas

Kreiviniai ir paviršiniai integralai dažnai randama fizikoje. Jie būna dviejų tipų, iš kurių pirmasis aptariamas čia. Tai
integralų tipas konstruojamas pagal bendra schema, kuriuo tam tikri, dvigubi ir trigubi integralai. Trumpai prisiminkime šią schemą.
Yra tam tikras objektas, per kurį integruojama (vienmatė, dvimatė arba trimatė). Šis objektas yra suskaidytas į mažas dalis,
kiekvienoje dalyje parenkamas taškas. Kiekviename iš šių taškų integrando reikšmė apskaičiuojama ir padauginama iš dalies, kuri
priklauso duotas taškas(segmento ilgis, dalinės srities plotas arba tūris). Tada visi tokie produktai sumuojami ir limitas patenkinamas
perėjimas prie objekto suskaidymo į be galo mažas dalis. Gauta riba vadinama integralu.

1. Pirmosios rūšies kreivinio integralo apibrėžimas

Panagrinėkime kreivėje apibrėžtą funkciją. Manoma, kad kreivė yra ištaisoma. Prisiminkime, ką tai reiškia, grubiai tariant,
kad trūkinė linija su savavališkai mažomis nuorodomis gali būti įrašyta į kreivę, o riboje ji yra begalinė didelis skaičius nuorodų, trūkinės linijos ilgis turi išlikti
galutinis. Kreivė yra padalinta į dalinius ilgio lankus ir kiekviename iš lankų pasirenkamas taškas. Rengiamas kūrinys
Sumavimas atliekamas visuose daliniuose lankuose . Tada perėjimas prie ribos atliekamas su didžiausio ilgio tendencija
nuo dalinių lankų iki nulio. Riba yra kreivinis pirmos rūšies integralas
.
Svarbi šio integralo savybė, tiesiogiai išplaukianti iš jo apibrėžimo, yra jo nepriklausomumas nuo integracijos krypties, t.y.
.

2. Pirmojo tipo paviršinio integralo apibrėžimas

Apsvarstykite funkciją, apibrėžtą lygiame arba gabalais lygaus paviršiaus. Paviršius yra padalintas į dalines sritis
su sritimis kiekvienoje tokioje srityje parenkamas taškas. Rengiamas kūrinys , atliekamas sumavimas
visose dalinėse srityse . Tada perėjimas prie ribos atliekamas su didžiausio iš visų dalinių skersmens tendencija
plotų iki nulio. Riba yra pirmos rūšies paviršinis integralas
.

3. Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas

Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimo metodas matomas jau iš formalaus jo žymėjimo, bet iš tikrųjų tiesiogiai išplaukia iš
apibrėžimai. Integralas sumažinamas iki apibrėžto, tereikia užrašyti kreivės lanko diferencialą, pagal kurį vykdoma integracija.
Pradėkime nuo paprastas atvejis integracija išilgai plokštumos kreivės, pateiktos aiškiąja lygtimi. Šiuo atveju lanko diferencialas
.
Tada integralas pakeičiamas kintamuoju, o integralas įgauna formą
,
kur segmentas atitinka kintamojo pokytį išilgai tos kreivės dalies, iš kurios vykdoma integracija.

Labai dažnai kreivė nurodoma parametriškai, t.y. formos lygtys Tada lanko diferencialas
.
Ši formulė labai paprastai pateisinama. Iš esmės tai yra Pitagoro teorema. Lanko diferencialas iš tikrųjų yra be galo mažos kreivės dalies ilgis.
Jei kreivė yra lygi, tada jos begalinė dalis gali būti laikoma tiesine. Tiesiai linijai turime santykį
.
Kad tai būtų atlikta mažam kreivės lankui, reikia pereiti nuo baigtinių prieaugių prie diferencialų:
.
Jei kreivė nurodyta parametriškai, tada skirtumai tiesiog apskaičiuojami:
ir tt
Atitinkamai, pakeitus integrando kintamuosius, linijos integralas apskaičiuojamas taip:
,
kur kreivės dalis, pagal kurią vykdoma integracija, atitinka parametro pokyčio segmentą.

Situacija yra šiek tiek sudėtingesnė tuo atveju, kai kreivė nurodyta kreivinės koordinatės. Šis klausimas dažniausiai aptariamas diferencialo rėmuose
geometrija. Pateikiame integralo skaičiavimo formulę išilgai pateiktos kreivės poliarines koordinates lygtis:
.
Pateikiame lanko skirtumo poliarinėse koordinatėse pagrindimą. Išsamus tinklo statybos aptarimas poliarinė sistema koordinates
cm. . Pažymime nedidelį kreivės lanką, esantį koordinačių linijų atžvilgiu, kaip parodyta Fig. 1. Dėl visų pavaizduotų mažumo
lankas vėl galime pritaikyti Pitagoro teoremą ir parašyti:
.
Iš čia seka norima lanko diferencialo išraiška.

Su grynu teorinis taškasŽiūrint iš vaizdinės perspektyvos, pakanka tiesiog suprasti, kad pirmos rūšies kreivinis integralas turi būti sumažintas iki konkretaus atvejo -
iki apibrėžto integralo. Iš tiesų, atlikdami kreivės, pagal kurią apskaičiuojamas integralas, parametrų pakeitimą, nustatome
vienas su vienu susiejimas tarp tam tikros kreivės dalies ir parametrų pokyčio segmento. Ir tai yra integralo redukcija
išilgai tiesės, sutampančios su koordinačių ašis- apibrėžtas integralas.

4. Pirmosios rūšies paviršinio integralo apskaičiavimas

Po ankstesnio punkto turėtų būti aišku, kad viena iš pagrindinių pirmojo tipo paviršiaus integralo skaičiavimo dalių yra paviršiaus elemento užrašymas,
per kurią atliekama integracija. Vėlgi, pradėkime nuo paprasto paviršiaus, apibrėžto aiškia lygtimi, atvejo. Tada
.
Integrande atliekamas pakaitalas, o paviršiaus integralas sumažinamas iki dvigubo:
,
kur yra plokštumos sritis, į kurią projektuojama paviršiaus dalis, per kurią vykdoma integracija.

Tačiau dažnai paviršiaus neįmanoma apibrėžti eksplicitine lygtimi, o tada jis apibrėžiamas parametriškai, t.y. formos lygtys
.
Paviršiaus elementas šiuo atveju parašytas sudėtingiau:
.
Paviršiaus integralas gali būti parašytas atitinkamai:
,
kur yra parametrų pasikeitimo sritis, atitinkanti paviršiaus dalį, kurioje integruojama.

5. Pirmosios rūšies kreivinių ir paviršinių integralų fizinė reikšmė

Aptariami integralai yra labai paprasti ir intuityvūs fizinę reikšmę. Tebūnie kokia nors kreivė, kurios tiesinis tankis nėra
konstanta ir yra taško funkcija . Raskime šios kreivės masę. Suskaidykime kreivę į daug mažų elementų,
kurių ribose jo tankį galima apytiksliai laikyti pastoviu. Jei mažos kreivės gabalėlio ilgis lygus , tai jo masė
, kur yra bet kuris pasirinktos kreivės dalies taškas (bet kuris, nes tankis yra viduje
apytiksliai manoma, kad šis gabalas yra pastovus). Atitinkamai, visos kreivės masė gaunama susumavus atskirų jos dalių mases:
.
Kad lygybė taptų tiksli, reikia pereiti prie kreivės padalijimo į be galo mažas dalis ribos, tačiau tai yra pirmos rūšies kreivinis integralas.

Suminio kreivės krūvio klausimas sprendžiamas panašiai, jei žinomas tiesinio krūvio tankis .

Šiuos argumentus galima lengvai perkelti į nevienodai įkrauto paviršiaus atvejį paviršiaus tankis mokestis . Tada
paviršinis krūvis yra pirmos rūšies paviršinis integralas
.

Pastaba. Sunkią parametriškai apibrėžto paviršiaus elemento formulę yra nepatogu prisiminti. Kita išraiška gaunama diferencialinėje geometrijoje,
jame naudojamas vadinamasis Pirmas kvadratine forma paviršiai.

Pirmosios rūšies kreivinių integralų skaičiavimo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Integralas išilgai linijos.
Apskaičiuokite integralą

palei linijos segmentą, einantį per taškus ir .

Pirmiausia parašome tiesės, išilgai kurios vykdoma integracija, lygtį: . Raskime posakį:
.
Apskaičiuojame integralą:

2 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje.
Apskaičiuokite integralą

išilgai parabolės lanko iš taško į tašką.

Nustatytos vertės ir leidžia išreikšti kintamąjį iš parabolės lygties: .

Apskaičiuojame integralą:
.

Tačiau buvo galima atlikti skaičiavimus ir kitu būdu, pasinaudojant tuo, kad kreivė pateikiama lygtimi, išspręsta kintamojo atžvilgiu.
Jei kintamąjį imsime kaip parametrą, tai sukels smulkūs pinigai lanko diferencialo išraiškos:
.
Atitinkamai integralas šiek tiek pasikeis:
.
Šis integralas lengvai apskaičiuojamas pakeičiant kintamąjį po diferencialu. Rezultatas yra toks pat integralas, kaip ir naudojant pirmąjį skaičiavimo metodą.

3 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje (naudojant parametrizavimą).
Apskaičiuokite integralą

išilgai viršutinės apskritimo pusės .

Žinoma, galite išreikšti vieną iš kintamųjų iš apskritimo lygties, o tada atlikti kitus skaičiavimus standartiniu būdu. Bet jūs taip pat galite naudoti
parametrinės kreivės specifikacija. Kaip žinote, apskritimą galima apibrėžti lygtimis. Viršutinis puslankis
atitinka parametro pasikeitimą viduje . Apskaičiuokime lanko skirtumą:
.
Taigi,

4 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje, nurodytoje polinėmis koordinatėmis.
Apskaičiuokite integralą

išilgai dešiniosios lemniskato skilties .

Aukščiau esančiame piešinyje pavaizduotas lemniskatas. Integracija turi būti vykdoma išilgai jos dešinės skilties. Raskime kreivės lanko skirtumą :
.
Kitas žingsnis yra nustatyti integracijos ribas per polinį kampą. Aišku, kad nelygybė turi būti patenkinta, todėl
.
Apskaičiuojame integralą:

5 pavyzdys. Integralas išilgai erdvės kreivės.
Apskaičiuokite integralą

išilgai spiralės posūkio, atitinkančio parametrų kitimo ribas

Parametrinėmis lygtimis apibrėžta kreivė AB vadinama lygiąja, jei atkarpoje funkcijos ir turi ištisines išvestines, o jei baigtiniame atkarpos taškų skaičiuje šios išvestinės nėra arba vienu metu išnyksta, tada kreivė vadinama dalimis lygia. Tegul AB yra plokščia kreivė, lygi arba lygiai lygi. Tegul f(M) yra funkcija, apibrėžta kreivėje AB arba kurioje nors srityje D, kurioje yra ši kreivė. Panagrinėkime kreivės A B padalijimą į dalis taškais (1 pav.). Ant kiekvieno lanko pasirenkame A^At+i savavališkas taškas Mk ir sudarykite sumą, kur Alt yra lanko ilgis, ir pavadinkite ją funkcijos f(M) integralia suma per kreivės lanko ilgį. Tegul D / yra didžiausias iš dalinių lankų ilgių, t. y. 1-osios rūšies kreivinių integralų savybės erdvinėms kreivėms Kreivės integralai 2-osios rūšies Kreivinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp apibrėžimų. Jei prie integralios sumos (I) turi galutinė riba , kuris nepriklauso nei nuo kreivės AB padalijimo į dalis metodo, nei nuo taškų pasirinkimo kiekviename skaidinio lanke, tada ši riba vadinama funkcijos f() \-osios rūšies kreiviniu integralu M) išilgai kreivės AB (integralas per kreivės lanko ilgį) ir žymimas simboliu Šiuo atveju sakoma, kad funkcija /(M) yra integruojama išilgai kreivės ABU, kreivė A B vadinama kontūru integracija, A yra pradinis taškas, B yra integracijos pabaigos taškas. Taigi, pagal apibrėžimą, 1 pavyzdys. Tegul masė su kintamu tiesiniu tankiu J(M) pasiskirsto išilgai lygiosios kreivės L. Raskite kreivės L masę m. (2) Padalinkime kreivę L į n savavališkų dalių) ir apytiksliai apskaičiuokime kiekvienos dalies masę, darydami prielaidą, kad kiekvienos dalies tankis yra pastovus ir lygus tankiui bet kuriame jos taške. , pavyzdžiui, kraštutiniame kairiajame taške /(Af*). Tada suma ksh, kur D/d yra D-osios dalies ilgis, bus apytikslė masės m vertė visos kreivės L masė, t.y. Tačiau riba dešinėje yra kreivinis 1-osios rūšies integralas. Taigi, 1.1. 1-osios rūšies kreivinio integralo egzistavimas Kreivės AB parametru imkime lanko ilgį I, išmatuotą nuo pradinio taško A (2 pav.). Tada AB kreivę galima apibūdinti (3) lygtimis, kur L yra AB kreivės ilgis. Lygtys (3) vadinamos natūraliosiomis AB kreivės lygtimis. Pereinant prie natūraliųjų lygčių, kreivėje AB apibrėžta funkcija f(x) y bus sumažinta iki kintamojo I funkcijos: / (x(1)) y(1)). Pažymėję tašką Mky atitinkančia parametro I reikšme, integralų sumą (I) perrašome į formą Tai integralų suma, atitinkanti tam tikrą integralą Kadangi integralų sumos (1) ir (4) yra lygios vienas su kitu, tada juos atitinkantys integralai yra lygūs. Taigi, (5) teorema 1. Jei funkcija /(M) yra ištisinė išilgai lygiosios kreivės AB, tai yra kreivinis integralas (kadangi tokiomis sąlygomis lygybės (5) dešinėje yra apibrėžtas integralas). 1.2. 1-osios rūšies kreivinių integralų savybės 1. Iš integralų sumos (1) formos išplaukia, kad t.y. kreivinio 1-osios rūšies integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo krypties. 2. Tiesiškumas. Jei kiekvienai funkcijai /() yra kreivinis integralas išilgai kreivės ABt, tai funkcijai a/, kur a ir /3 yra bet kokios konstantos, taip pat egzistuoja kreivinis integralas išilgai kreivės AB> ir 3. Adityvumas . Jei kreivė AB susideda iš dviejų dalių ir funkcijai /(M) yra kreivinis integralas virš ABU, tada yra integralai, kur 4. Jei AB kreivėje yra 0, tai 5. Jei funkcija integruota į AB kreivę, tada funkcija || taip pat yra integruojamas A B ir tuo pačiu metu b. Vidutinė formulė. Jei funkcija / yra ištisinė išilgai kreivės AB, tai šioje kreivėje yra taškas Mc, kur L yra kreivės AB ilgis. 1.3. 1-osios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas Kreivę AB duosime parametrinėmis lygtimis, kurių taškas A atitinka reikšmę t = to, o taškas B – reikšmę. Darysime prielaidą, kad funkcijos) yra tolydžios kartu su jų išvestinėmis ir tenkinama nelygybė. Tada kreivės lanko diferencialas apskaičiuojamas pagal formulę, ypač jei kreivė AB yra pateikta aiškia lygtimi diferencijuojamas ant [a, b] ir taškas A atitinka reikšmę x = a, o taškas B - reikšmę x = 6, tada, paėmę x parametru, gauname 1,4. 1-ojo tipo kreiviniai integralai erdvinėms kreivėms Pirmo tipo kreivinio integralo apibrėžimas, suformuluotas aukščiau plokštumos kreivei, pažodžiui perkeliamas į atvejį, kai funkcija f(M) pateikiama pagal kokią nors erdvinę kreivę AB. Tegul kreivė AB pateikiama parametrinėmis lygtimis. Erdvinių kreivių 1-osios rūšies kreiviųjų integralų savybės 2-osios rūšies kreiviniai integralai Kreivės linijinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp Tada kreivinį integralą, paimtą išilgai šios kreivės, galima sumažinti iki apibrėžtojo integralo naudojant tokią formulę: 2 pavyzdys. Apskaičiuokite kreivinį integralą, kur L yra trikampio su viršūnėmis taške* kontūras (3 pav.). Pagal adityvumo savybę turime Apskaičiuokime kiekvieną integralą atskirai. Kadangi segmente OA turime: , tada segmente AN turime, kur ir tada pav. Galiausiai, todėl atkreipkite dėmesį. Skaičiuodami integralus naudojome 1 savybę, pagal kurią. 2-osios rūšies kreiviniai integralai Tegul A B yra lygi arba sklandžiai orientuota kreivė xOy plokštumoje ir vektorinė funkcija, apibrėžta kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB. Kreivę AB padalinkime į dalis su taškais, kurių koordinates atitinkamai žymime (4 pav.). Ant kiekvieno elementariojo lanko AkAk+\ paimame savavališką tašką ir sudarome sumą D/ yra didžiausio lanko ilgis. Jei suma (1) turi baigtinę ribą, kuri nepriklauso nei nuo kreivės AB padalijimo metodo, nei nuo taškų pasirinkimo rjk) ant elementariųjų lankų, tai ši riba vadinama kreiviniu vektoriaus 2 miesto integralu. funkcija išilgai kreivės AB ir žymima simboliu Taigi pagal apibrėžimą 2 teorema. Jei kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB, funkcijos yra tolydžios, tai egzistuoja 2-miesto kreivinis integralas. Leisti yra taško M(x, y) spindulio vektorius. Tada (2) formulės integrandas gali būti pavaizduotas kaip vektorių F(M) ir dr skaliarinė sandauga. Taigi 2-osios rūšies vektorinės funkcijos integralas išilgai kreivės AB gali būti trumpai parašytas taip: 2.1. 2-osios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas Kreivė AB yra apibrėžta parametrinėmis lygtimis, kur funkcijos yra tolydžios kartu su išvestinėmis atkarpoje, o parametro t pokytis nuo t0 iki t\ atitinka a judėjimą. taškas išilgai taško A kreivės AB iki taško B. Jei kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB, funkcijos yra tolydžios, tada 2-osios rūšies kreivinis integralas sumažinamas iki tokio apibrėžtojo integralo: Taigi, apskaičiuojant 2-osios rūšies kreivinis integralas taip pat gali būti sumažintas iki apibrėžtojo integralo skaičiavimo. O) Pavyzdys 1. Apskaičiuokite integralą išilgai tiesės atkarpos, jungiančios taškus 2) išilgai parabolės, jungiančios tuos pačius taškus) Linijos parametro lygtis, iš kur Taigi 2) Tiesės AB lygtis: Taigi nagrinėjamas pavyzdys tepa, kad reikšmė 2-osios rūšies kreivojo integralo , paprastai kalbant, priklauso nuo integravimo kelio formos. 2.2. 2-osios rūšies kreivinio integralo savybės 1. Tiesiškumas. Jei yra erdvinių kreivių 1-osios rūšies kreiviųjų integralų ypatybės. 2-osios rūšies kreiviniai integralai Kreivinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp tada bet kuriam realiajam a ir /5 yra integralas, kur 2. Additenost. Jeigu kreivė AB yra padalinta į dalis AC ir SB ir egzistuoja kreivinis integralas, tai yra ir paskutinė kreivinio integralo 2-osios rūšies fizinės interpretacijos savybė jėgos laukas F tam tikru keliu: pasikeitus judėjimo kreive krypčiai, jėgos lauko darbas išilgai šios kreivės keičia ženklą į priešingą. 2.3. Ryšys tarp 1-osios ir 2-osios rūšies kreivinių integralų. Apsvarstykite kreivinį 2-osios rūšies integralą, kur orientuota kreivė AB (A -. atspirties taškas, IN - pabaigos taškas) pateikiama vektorine lygtimi (čia I – kreivės ilgis, matuojamas ta kryptimi, kuria orientuota AB kreivė) (6 pav.). Tada dr arba kur r = m(1) - vieneto vektorius kreivės AB liestinė taške M(1). Tada Atkreipkite dėmesį, kad paskutinis šios formulės integralas yra kreivinis 1-osios rūšies integralas. Pasikeitus kreivės AB orientacijai, liestinės r vienetinis vektorius pakeičiamas priešingu vektoriumi (-r), o tai reiškia, kad pasikeičia jo ženklas integrandas taigi ir paties integralo ženklas.

Kreivės masės problema. Tegul kiekviename gabalais lygiosios medžiagos kreivės L taške: (AB) nurodomas jos tankis. Nustatykite kreivės masę.

Padarykime tą patį, ką darėme nustatydami plokščios srities (dvigubas integralas) ir erdvinio kūno (trigubas integralas) masę.

1. Sutvarkome ploto-lanko L skaidymą į elementus - elementarius lankus kad šie elementai neturėtų bendrų vidinių taškų ir
(sąlyga A )

2. Pažymėkime „pažymėtus taškus“ M i skaidinio elementuose ir apskaičiuokime juose funkcijos reikšmes.

3. Sukonstruokime integralinę sumą
, Kur - arkos ilgis (dažniausiai lankui ir jo ilgiui įvedami tie patys žymėjimai). Tai apytikslė kreivės masės vertė. Supaprastinimas yra tas, kad mes manėme, kad lanko tankis yra pastovus kiekviename elemente ir paėmėme baigtinį elementų skaičių.

Pereinama prie numatytos ribos
(B sąlyga ), gauname pirmos rūšies kreivinį integralą kaip integralų sumų ribą:

.

Egzistencijos teorema 10 .

Tegul funkcija
yra ištisinis gabalais lygaus lanko L 11. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas egzistuoja kaip integralų sumų riba.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

pertvaros pasirinkimo metodas, jei tenkinama sąlyga A

pasirenkant „pažymėtus taškus“ skaidinių elementuose,

skaidinio tobulinimo metodas, jei tenkinama B sąlyga

Pirmosios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė
.

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralioji suma turi baigtinį skaičių narių, pereiname prie integraliųjų sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas. Jeigu
, Tai
=
+

Įrodymas. Parinkime L srities skaidinį taip, kad nė viename skaidinio elemente (pradžioje ir tikslinant skaidinį) nebūtų vienu metu ir elementų L 1, ir elementų L 2. Tai galima padaryti naudojant egzistencijos teoremą (pastaba prie teoremos). Toliau įrodymas atliekamas integraliomis sumomis, kaip nurodyta 1 dalyje.

3.
.Čia - arkos ilgis .

4. Jei ant lanko nelygybė tenkinama, tada

Įrodymas. Užrašykime integralinių sumų nelygybę ir pereikime prie ribos.

Atkreipkite dėmesį, kad tai ypač įmanoma

5. Įvertinimo teorema.

Jei konstantos egzistuoja
, kažkas

Įrodymas. Integruojanti nelygybę
(4 nuosavybė), gauname
. Pagal konstantos 1 savybę
galima išimti iš po integralų. Naudodami 3 savybę gauname norimą rezultatą.

6. Vidutinės vertės teorema(integralo reikšmė).

Yra taškas
, Ką

Įrodymas. Nuo funkcijos
ištisinė uždaroje ribotoje aibėje , tada jo infimumas egzistuoja
ir viršutinis kraštas
. Nelygybė patenkinta. Abi puses padalinę iš L, gauname
. Bet skaičius
yra tarp apatinės ir viršutinės funkcijos ribų. Nuo funkcijos
yra tęstinis uždaroje ribotoje aibėje L, tada tam tikru tašku
funkcija turi priimti šią reikšmę. Vadinasi,
.