Apskaičiuokite 1-osios rūšies kreivinį integralą išilgai apskritimo. Kreivė pateikiama Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis

Teorinis minimumas

Fizikoje dažnai sutinkami kreiviniai ir paviršiniai integralai. Jie būna dviejų tipų, iš kurių pirmasis aptariamas čia. Tai
integralų tipas konstruojamas pagal bendra schema, kuriuo įvedami apibrėžtieji, dvigubi ir trigubi integralai. Trumpai prisiminkime šią schemą.
Yra tam tikras objektas, per kurį integruojama (vienmatė, dvimatė arba trimatė). Šis objektas yra suskaidytas į mažas dalis,
kiekvienoje dalyje parenkamas taškas. Kiekviename iš šių taškų integrando reikšmė apskaičiuojama ir padauginama iš dalies, kuri
priklauso duotas taškas(segmento ilgis, dalinės srities plotas arba tūris). Tada visi tokie produktai sumuojami ir limitas patenkinamas
perėjimas prie objekto suskaidymo į be galo mažas dalis. Gauta riba vadinama integralu.

1. Pirmosios rūšies kreivinio integralo apibrėžimas

Panagrinėkime kreivėje apibrėžtą funkciją. Manoma, kad kreivė yra ištaisoma. Prisiminkime, ką tai reiškia, grubiai tariant,
kad trūkinė linija su savavališkai mažomis nuorodomis gali būti įrašyta į kreivę, o riboje ji yra begalinė didelis skaičius nuorodų, trūkinės linijos ilgis turėtų išlikti
galutinis. Kreivė yra padalinta į dalinius ilgio lankus ir kiekviename iš lankų pasirenkamas taškas. Rengiamas kūrinys
Sumavimas atliekamas visuose daliniuose lankuose . Tada perėjimas prie ribos atliekamas su didžiausio ilgio tendencija
nuo dalinių lankų iki nulio. Riba yra kreivinis pirmos rūšies integralas
.
Svarbus šio integralo bruožas, tiesiogiai išplaukiantis iš jo apibrėžimo, yra jo nepriklausomumas nuo integracijos krypties, t.y.
.

2. Pirmojo tipo paviršinio integralo apibrėžimas

Apsvarstykite funkciją, apibrėžtą lygiame arba gabalais lygaus paviršiaus. Paviršius yra padalintas į dalines sritis
su sritimis kiekvienoje tokioje srityje parenkamas taškas. Rengiamas kūrinys , atliekamas sumavimas
visose dalinėse srityse . Tada perėjimas prie ribos atliekamas su didžiausio iš visų dalinių skersmens tendencija
plotų iki nulio. Riba yra pirmos rūšies paviršinis integralas
.

3. Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas

Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimo metodas matomas jau iš formalaus jo žymėjimo, bet iš tikrųjų tiesiogiai išplaukia iš
apibrėžimai. Integralas sumažinamas iki apibrėžto, tereikia užrašyti kreivės lanko diferencialą, pagal kurį vykdoma integracija.
Pradėkime nuo paprastas atvejis integracija išilgai plokštumos kreivės, pateiktos aiškiąja lygtimi. Šiuo atveju lanko diferencialas
.
Tada integralas pakeičiamas kintamuoju, o integralas įgauna formą
,
kur segmentas atitinka kintamojo pokytį išilgai tos kreivės dalies, iš kurios vykdoma integracija.

Labai dažnai kreivė nurodoma parametriškai, t.y. formos lygtys Tada lanko diferencialas
.
Ši formulė labai paprastai pateisinama. Iš esmės tai yra Pitagoro teorema. Lanko diferencialas iš tikrųjų yra be galo mažos kreivės dalies ilgis.
Jei kreivė lygi, tai begalinė jos dalis gali būti laikoma tiesine. Tiesiai linijai turime santykį
.
Kad tai būtų atlikta mažam kreivės lankui, reikia pereiti nuo baigtinių prieaugių prie diferencialų:
.
Jei kreivė nurodyta parametriškai, tada skirtumai tiesiog apskaičiuojami:
ir tt
Atitinkamai, pakeitus integrando kintamuosius, linijos integralas apskaičiuojamas taip:
,
kur kreivės dalis, pagal kurią vykdoma integracija, atitinka parametro pokyčio segmentą.

Situacija yra šiek tiek sudėtingesnė tuo atveju, kai kreivė nurodoma kreivinėmis koordinatėmis. Šis klausimas dažniausiai aptariamas diferencialo rėmuose
geometrija. Pateikiame integralo skaičiavimo formulę išilgai pateiktos kreivės poliarines koordinates lygtis:
.
Pateikiame lanko skirtumo poliarinėse koordinatėse pagrindimą. Išsamus tinklo statybos aptarimas poliarinė sistema koordinates
cm. Pažymime nedidelį kreivės lanką, esantį koordinačių linijų atžvilgiu, kaip parodyta Fig. 1. Dėl visų pavaizduotų mažumo
lankas vėl galime pritaikyti Pitagoro teoremą ir parašyti:
.
Iš čia seka norima lanko diferencialo išraiška.

Su grynu teorinis taškasŽvelgiant iš vizualinės perspektyvos, pakanka tiesiog suprasti, kad pirmos rūšies kreivinis integralas turi būti sumažintas iki konkretaus atvejo -
iki apibrėžto integralo. Iš tiesų, atlikdami kreivės, pagal kurią apskaičiuojamas integralas, parametrų pakeitimą, nustatome
vienas su vienu susiejimas tarp tam tikros kreivės dalies ir parametrų pokyčio segmento. Ir tai yra integralo redukcija
išilgai tiesės, sutampančios su koordinačių ašis- apibrėžtas integralas.

4. Pirmosios rūšies paviršinio integralo apskaičiavimas

Po ankstesnio punkto turėtų būti aišku, kad viena iš pagrindinių pirmojo tipo paviršiaus integralo skaičiavimo dalių yra paviršiaus elemento užrašymas,
per kurią atliekama integracija. Vėlgi, pradėkime nuo paprasto paviršiaus, apibrėžto aiškia lygtimi, atvejo. Tada
.
Integrande atliekamas pakaitalas, o paviršiaus integralas sumažinamas iki dvigubo:
,
kur yra plokštumos sritis, į kurią projektuojama paviršiaus dalis, per kurią vykdoma integracija.

Tačiau dažnai paviršiaus neįmanoma apibrėžti eksplicitine lygtimi, o tada jis apibrėžiamas parametriškai, t.y. formos lygtys
.
Paviršiaus elementas šiuo atveju parašytas sudėtingiau:
.
Paviršiaus integralas gali būti parašytas atitinkamai:
,
kur yra parametrų pasikeitimo sritis, atitinkanti paviršiaus dalį, per kurią integruojama.

5. Pirmosios rūšies kreivinių ir paviršinių integralų fizinė reikšmė

Aptariami integralai turi labai paprastą ir aiškų fizinę reikšmę. Tebūnie kokia nors kreivė, kurios tiesinis tankis nėra
konstanta ir yra taško funkcija . Raskime šios kreivės masę. Suskaidykime kreivę į daug mažų elementų,
kurių ribose jo tankį galima apytiksliai laikyti pastoviu. Jei mažos kreivės gabalėlio ilgis lygus , tai jo masė
, kur yra bet kuris pasirinktos kreivės dalies taškas (bet kuris, nes tankis yra viduje
apytiksliai manoma, kad šis gabalas yra pastovus). Atitinkamai, visos kreivės masė gaunama susumavus atskirų jos dalių mases:
.
Kad lygybė taptų tiksli, reikia pereiti prie kreivės padalijimo į be galo mažas dalis ribos, tačiau tai yra pirmos rūšies kreivinis integralas.

Suminio kreivės krūvio klausimas sprendžiamas panašiai, jei žinomas tiesinio krūvio tankis .

Šiuos argumentus galima lengvai perkelti į nevienodai įkrauto paviršiaus atvejį paviršiaus tankis mokestis . Tada
paviršinis krūvis yra pirmos rūšies paviršinis integralas
.

Pastaba. Sunkią parametriškai apibrėžto paviršiaus elemento formulę yra nepatogu prisiminti. Kita išraiška gaunama diferencialinėje geometrijoje,
jame naudojamas vadinamasis pirma kvadratine forma paviršiai.

Skaičiavimo pavyzdžiai kreiviniai integralai pirmoji rūšis

1 pavyzdys. Integralas išilgai linijos.
Apskaičiuokite integralą

palei linijos segmentą, einantį per taškus ir .

Pirmiausia parašome tiesės, išilgai kurios vykdoma integracija, lygtį: . Raskime posakį:
.
Apskaičiuojame integralą:

2 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje.
Apskaičiuokite integralą

išilgai parabolės lanko iš taško į tašką.

Nustatytos vertės ir leidžia išreikšti kintamąjį iš parabolės lygties: .

Apskaičiuojame integralą:
.

Tačiau buvo galima atlikti skaičiavimus ir kitu būdu, pasinaudojant tuo, kad kreivė pateikiama lygtimi, išspręsta kintamojo atžvilgiu.
Jei imsime kintamąjį kaip parametrą, tai lems mažas pokytis lanko diferencialo išraiškos:
.
Atitinkamai integralas šiek tiek pasikeis:
.
Šis integralas lengvai apskaičiuojamas pakeičiant kintamąjį po diferencialu. Rezultatas yra toks pat integralas, kaip ir naudojant pirmąjį skaičiavimo metodą.

3 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje (naudojant parametrizavimą).
Apskaičiuokite integralą

išilgai viršutinės apskritimo pusės .

Žinoma, galite išreikšti vieną iš kintamųjų iš apskritimo lygties, o tada atlikti kitus skaičiavimus standartiniu būdu. Bet jūs taip pat galite naudoti
parametrinės kreivės specifikacija. Kaip žinote, apskritimą galima apibrėžti lygtimis. Viršutinis puslankis
atitinka parametro pasikeitimą viduje . Apskaičiuokime lanko skirtumą:
.
Taigi,

4 pavyzdys. Integralas išilgai kreivės plokštumoje, nurodytoje polinėmis koordinatėmis.
Apskaičiuokite integralą

išilgai dešiniosios lemniskato skilties .

Aukščiau esančiame piešinyje pavaizduotas lemniskatas. Integracija turi būti vykdoma išilgai jos dešinės skilties. Raskime kreivės lanko skirtumą :
.
Kitas žingsnis yra nustatyti integracijos ribas per polinį kampą. Aišku, kad nelygybė turi būti patenkinta, todėl
.
Apskaičiuojame integralą:

5 pavyzdys. Integralas išilgai erdvės kreivės.
Apskaičiuokite integralą

išilgai spiralės posūkio, atitinkančio parametrų kitimo ribas

Tuo atveju, kai integravimo sritis yra tam tikros kreivės atkarpa, esanti plokštumoje. Bendras linijos integralo žymėjimas yra toks:

Kur f(x, y) yra dviejų kintamųjų funkcija ir L- kreivė, išilgai segmento AB kurios integracija vyksta. Jei integralas yra lygus vienetui, tai eilutės integralas lygus ilgiui lankas AB .

Kaip visada viduje integralinis skaičiavimas, kreivinis integralas suprantamas kaip kai kurių labai mažų kažko labai didelio dalių integralų sumų riba. Kas sumuojama kreivinių integralų atveju?

Tegul plokštumoje yra segmentas AB kažkokia kreivė L, ir dviejų kintamųjų funkcija f(x, y) apibrėžtos kreivės taškuose L. Su šiuo kreivės segmentu atlikime tokį algoritmą.

1. Padalinta kreivė ABį dalis su taškais (nuotraukos žemiau).
2. Kiekvienoje dalyje laisvai pasirinkite tašką M.
3. Raskite funkcijos reikšmę pasirinktuose taškuose.
4. Funkcijų reikšmės dauginamos iš
   • korpuso dalių ilgiai kreivinis pirmos rūšies integralas ;
   • dalių projekcijos į koordinačių ašį atveju antrojo tipo kreivinis integralas .
5. Raskite visų produktų sumą.
6. Raskite rastosios integralinės sumos ribą su sąlyga, kad ilgiausios kreivės dalies ilgis yra lygus nuliui.

Jei minėta riba egzistuoja, tai integralų sumos riba ir vadinamas kreiviniu funkcijos integralu f(x, y) išilgai kreivės AB .

pirmoji rūšis

Kreivinio integralo atvejis
antra rūšis

Įveskime tokį užrašą.

Maš ( ζ i; η i)- taškas su pasirinktomis koordinatėmis kiekvienoje svetainėje.

faš ( ζ i; η i)- funkcijos reikšmė f(x, y) pasirinktame taške.

Δ si- kreivės atkarpos dalies ilgis (jei yra pirmos rūšies kreivinis integralas).

Δ xi- kreivės atkarpos dalies projekcija į ašį Jautis(antros rūšies kreivinio integralo atveju).

d= maxΔ s i- ilgiausios kreivės atkarpos dalies ilgis.

Pirmosios rūšies kreiviniai integralai

Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau apie integralų sumų ribą, pirmosios rūšies eilinis integralas rašomas taip:

.

Pirmojo tipo linijinis integralas turi visas jam būdingas savybes apibrėžtasis integralas. Tačiau yra vienas svarbus skirtumas. Apibrėžtajam integralui, kai integravimo ribos pakeičiamos, ženklas pasikeičia į priešingą:

Pirmosios rūšies kreivinio integralo atveju nesvarbu, kuris kreivės taškas AB (A arba B) yra laikoma atkarpos pradžia, o kuri iš jų yra pabaiga, tai yra

.

Antrosios rūšies kreiviniai integralai

Remiantis tuo, kas buvo pasakyta apie integralų sumų ribą, antrojo tipo kreivinis integralas rašomas taip:

.

Antrojo tipo kreivinio integralo atveju, kai sukeičiama kreivės atkarpos pradžia ir pabaiga, integralo ženklas pasikeičia:

.

Sudarant antrojo tipo kreivinio integralo integralią sumą, funkcijos reikšmės faš ( ζ i; η i) taip pat gali būti padaugintas iš kreivės atkarpos dalių projekcijos į ašį Oy. Tada gauname integralą

.

Praktikoje dažniausiai naudojama antrojo tipo kreiviųjų integralų sąjunga, tai yra dvi funkcijos f = P(x, y) Ir f = K(x, y) ir integralai

,

ir šių integralų suma

paskambino antrojo tipo bendrasis kreivinis integralas .

Pirmosios rūšies kreiviųjų integralų skaičiavimas

Pirmosios rūšies kreivinių integralų skaičiavimas sumažinamas iki apibrėžtųjų integralų skaičiavimo. Panagrinėkime du atvejus.

Tegul plokštumoje pateikiama kreivė y = y(x) ir kreivės segmentas AB atitinka kintamojo pokytį x iš aį b. Tada kreivės taškuose integrando funkcija f(x, y) = f(x, y(x)) („Y“ turi būti išreikštas „X“), o lanko skirtumas o linijos integralas gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę

.

Jei integralą lengviau integruoti per y, tada iš kreivės lygties turime išreikšti x = x(y) ("x" iki "y"), kur apskaičiuojame integralą naudodami formulę

.

1 pavyzdys.

Kur AB- tiesios linijos atkarpa tarp taškų A(1; -1) ir B(2; 1) .

Sprendimas. Padarykime tiesios linijos lygtį AB, naudojant formulę (tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis A(x1 ; y 1 ) Ir B(x2 ; y 2 ) ):

Iš tiesios lygties išreiškiame y per x :

Tada ir dabar galime apskaičiuoti integralą, nes mums liko tik „X“:

Tegu erdvėje pateikiama kreivė

Tada kreivės taškuose funkcija turi būti išreikšta per parametrą t() ir lanko diferencialas , todėl kreivinį integralą galima apskaičiuoti naudojant formulę

Panašiai, jei plokštumoje pateikiama kreivė

,

tada kreivinis integralas apskaičiuojamas pagal formulę

.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite tiesės integralą

Kur L- apskritimo linijos dalis

esančios pirmoje oktante.

Sprendimas. Ši kreivė yra ketvirtadalis apskritimo linijos, esančios plokštumoje z= 3. Tai atitinka parametrų reikšmes. Nes

tada lanko diferencialas

Išreikškime integrando funkciją per parametrą t :

Dabar viską išreiškiame parametru t, galime sumažinti šio kreivinio integralo apskaičiavimą iki apibrėžtojo integralo:

Antrosios rūšies kreiviųjų integralų skaičiavimas

Kaip ir pirmosios rūšies kreivinių integralų atveju, antrosios rūšies integralų apskaičiavimas sumažinamas iki apibrėžtųjų integralų skaičiavimo.

Kreivė pateikiama Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis

Tegul kreivė plokštumoje pateikiama funkcijos „Y“ lygtimi, išreikšta „X“: y = y(x) ir kreivės lankas AB atitinka pokytį x iš aį b. Tada integrandu pakeičiame raidę „y“ per „x“ ir nustatome šios „y“ išraiškos skirtumą „x“ atžvilgiu: . Dabar, kai viskas išreiškiama „x“, antrojo tipo tiesinis integralas apskaičiuojamas kaip apibrėžtasis integralas:

Antrosios rūšies kreivinis integralas apskaičiuojamas panašiai, kai kreivė pateikiama „x“ funkcijos lygtimi, išreikšta „y“: x = x(y) , . Šiuo atveju integralo apskaičiavimo formulė yra tokia:

3 pavyzdys. Apskaičiuokite tiesės integralą

, Jei

A) L- tiesus segmentas O.A., Kur APIE(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- parabolės lankas y = x² nuo APIE(0; 0) iki A(1; −1) .

a) Apskaičiuokime tiesios atkarpos kreivinį integralą (paveiksle mėlyna). Parašykime tiesės lygtį ir išreikškime „Y“ per „X“:

.

Mes gauname dy = dx. Išsprendžiame šį kreivinį integralą:

b) jei L- parabolės lankas y = x² , gauname dy = 2xdx. Apskaičiuojame integralą:

Ką tik išspręstame pavyzdyje dviem atvejais gavome tą patį rezultatą. Ir tai nėra atsitiktinumas, o modelio rezultatas, nes šis integralas atitinka šios teoremos sąlygas.

Teorema. Jei funkcijos P(x,y) , K(x,y) o jų daliniai dariniai yra ištisiniai regione D funkcijos ir šios srities taškuose dalinės išvestinės yra lygios, tada kreivinis integralas nepriklauso nuo integracijos išilgai tiesės kelio L esančios teritorijoje D .

Kreivė pateikta parametrine forma

Tegu erdvėje pateikiama kreivė

.

ir į integrandus, kuriuos pakeičiame

išreiškiantis šias funkcijas per parametrą t. Gauname kreivinio integralo apskaičiavimo formulę:

4 pavyzdys. Apskaičiuokite tiesės integralą

,

Jeigu L- elipsės dalis

atitinkanti sąlygą y ≥ 0 .

Sprendimas. Ši kreivė yra elipsės dalis, esanti plokštumoje z= 2. Tai atitinka parametro reikšmę.

kreivinį integralą galime pavaizduoti apibrėžtojo integralo forma ir jį apskaičiuoti:

Jei duotas kreivės integralas ir L yra uždara linija, tada toks integralas vadinamas uždarojo ciklo integralu ir jį lengviau apskaičiuoti naudojant Greeno formulė .

Daugiau linijų integralų skaičiavimo pavyzdžių

5 pavyzdys. Apskaičiuokite tiesės integralą

Kur L- tiesios linijos atkarpa tarp jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškų.

Sprendimas. Nustatykime tiesės susikirtimo su koordinačių ašimis taškus. Tiesios linijos pakeitimas į lygtį y= 0, gauname ,. Pakeičiant x= 0, gauname ,. Taigi, susikirtimo taškas su ašimi Jautis - A(2; 0) , su ašimi Oy - B(0; −3) .

Iš tiesios lygties išreiškiame y :

.

, .

Dabar linijos integralą galime pavaizduoti kaip apibrėžtąjį integralą ir pradėti jį skaičiuoti:

Integrande pasirenkame koeficientą ir perkeliame jį už integralo ženklo ribų. Gautame integrande naudojame pasirašydamas diferencialinį ženklą ir pagaliau mes tai gauname.

Parametrinėmis lygtimis apibrėžta kreivė AB vadinama lygiąja, jei atkarpoje funkcijos ir turi ištisines išvestines, o jei baigtiniame atkarpos taškų skaičiuje šios išvestinės nėra arba vienu metu išnyksta, tada kreivė vadinama dalimis lygia. Tegul AB yra plokščia kreivė, lygi arba lygiai lygi. Tegul f(M) yra funkcija, apibrėžta kreivėje AB arba kurioje nors srityje D, kurioje yra ši kreivė. Panagrinėkime kreivės A B padalijimą į dalis taškais (1 pav.). Ant kiekvieno lanko pasirenkame A^At+i savavališkas taškas Mk ir sudarykite sumą, kur Alt yra lanko ilgis, ir pavadinkite ją funkcijos f(M) integralia suma per kreivės lanko ilgį. Tegul D / yra didžiausias iš dalinių lankų ilgių, t. y. 1-osios rūšies kreiviųjų integralų savybės erdvinėms kreivėms Kreivės integralai 2-osios rūšies Kreivinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp apibrėžimų. Jei prie integralios sumos (I) turi galutinė riba, kuris nepriklauso nei nuo kreivės AB padalijimo į dalis metodo, nei nuo taškų pasirinkimo kiekviename skaidinio lanke, tada ši riba vadinama funkcijos f() \-osios rūšies kreiviniu integralu M) išilgai kreivės AB (integralas per kreivės lanko ilgį) ir žymimas simboliu Šiuo atveju sakoma, kad funkcija /(M) yra integruojama išilgai kreivės ABU, kreivė A B vadinama kontūru integracija, A yra pradinis taškas, B yra integracijos pabaigos taškas. Taigi pagal apibrėžimą, 1 pavyzdys. Tegul masė su kintamu tiesiniu tankiu J(M) pasiskirsto išilgai lygiosios kreivės L. Raskite kreivės L masę m. (2) Padalinkime kreivę L į n savavališkų dalių) ir apytiksliai apskaičiuokime kiekvienos dalies masę, darydami prielaidą, kad kiekvienos dalies tankis yra pastovus ir lygus tankiui bet kuriame jos taške. , pavyzdžiui, kraštutiniame kairiajame taške /(Af*). Tada suma ksh, kur D/d yra D-osios dalies ilgis, bus apytikslė masės m vertė visos kreivės L masė, t.y. Tačiau riba dešinėje yra kreivinis 1-osios rūšies integralas. Taigi, 1.1. 1-osios rūšies kreivinio integralo egzistavimas Kreivės AB parametru imkime lanko ilgį I, išmatuotą nuo pradinio taško A (2 pav.). Tada AB kreivę galima apibūdinti (3) lygtimis, kur L yra AB kreivės ilgis. Lygtys (3) vadinamos natūraliosiomis AB kreivės lygtimis. Pereinant prie natūralių lygčių, kreivėje AB apibrėžta funkcija f(x) y bus sumažinta iki kintamojo I funkcijos: / (x(1)) y(1)). Pažymėję tašką Mku atitinkančia parametro I reikšme, integralią sumą (I) perrašome į formą Tai integralinė suma, atitinkanti Kadangi integralų sumos (1) ir (4) yra lygios viena kitai, atitinkami integralai taip pat yra lygūs. Taigi, (5) teorema 1. Jei funkcija /(M) yra ištisinė išilgai lygiosios kreivės AB, tai yra kreivinis integralas (kadangi tokiomis sąlygomis lygybės (5) dešinėje yra apibrėžtas integralas). 1.2. 1-osios rūšies kreivinių integralų savybės 1. Iš integralų sumos (1) formos išplaukia, kad t.y. kreivinio 1-osios rūšies integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo krypties. 2. Tiesiškumas. Jei kiekvienai funkcijai /() yra kreivinis integralas išilgai kreivės ABt, tai funkcijai a/, kur a ir /3 yra bet kokios konstantos, taip pat egzistuoja kreivinis integralas išilgai kreivės AB> ir 3. Adityvumas . Jei kreivė AB susideda iš dviejų dalių ir funkcijai /(M) yra kreivinis integralas virš ABU, tada yra integralai su 4. Jei kreivė AB yra 0, tai 5. Jei funkcija yra integruojama kreivėje AB , tada funkcija || taip pat yra integruojamas A B ir tuo pačiu metu b. Vidutinė formulė. Jei funkcija / yra ištisinė išilgai kreivės AB, tai šioje kreivėje yra taškas Mc, kur L yra kreivės AB ilgis. 1.3. 1-osios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas Kreivę AB pateiksime parametrinėmis lygtimis, kurių taškas A atitinka reikšmę t = to, o taškas B – reikšmę. Darysime prielaidą, kad funkcijos) yra tolydžios kartu su jų išvestinėmis ir tenkinama nelygybė. Tada kreivės lanko diferencialas apskaičiuojamas pagal formulę, ypač jei kreivė AB yra pateikta aiškia lygtimi diferencijuojamas ant [a, b] ir taškas A atitinka reikšmę x = a, o taškas B - reikšmę x = 6, tada, paėmę x parametru, gauname 1,4. 1-ojo tipo kreiviniai integralai erdvinėms kreivėms Pirmo tipo kreivinio integralo apibrėžimas, suformuluotas aukščiau plokštumos kreivei, pažodžiui perkeliamas į atvejį, kai funkcija f(M) pateikiama pagal kokią nors erdvinę kreivę AB. Tegul kreivė AB pateikiama parametrinėmis lygtimis. Erdvinių kreivių 1-osios rūšies kreiviųjų integralų savybės 2-osios rūšies kreiviniai integralai Kreivės linijinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp Tada kreivinį integralą, paimtą išilgai šios kreivės, galima sumažinti iki apibrėžtojo integralo naudojant tokią formulę: Pavyzdys 2. Apskaičiuokite kreivinį integralą, kur L yra trikampio su viršūnėmis taške* kontūras (3 pav.). Pagal adityvumo savybę turime Apskaičiuokime kiekvieną integralą atskirai. Kadangi segmente OA turime: , tada segmente AN turime, kur ir tada pav. Galiausiai, todėl atkreipkite dėmesį. Skaičiuodami integralus naudojome 1 savybę, pagal kurią. 2-osios rūšies kreiviniai integralai Tegul A B yra lygi arba sklandžiai orientuota kreivė xOy plokštumoje ir vektorinė funkcija, apibrėžta kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB. Kreivę AB padalinkime į dalis su taškais, kurių koordinates pažymime atitinkamai (4 pav.). Ant kiekvieno elementariojo lanko AkAk+\ paimame savavališką tašką ir sudarome sumą D/ yra didžiausio lanko ilgis. Jei suma (1) turi baigtinę ribą, kuri nepriklauso nei nuo kreivės AB padalijimo metodo, nei nuo taškų pasirinkimo rjk) ant elementariųjų lankų, tai ši riba vadinama kreiviniu vektoriaus 2 miesto integralu. funkcija išilgai kreivės AB ir žymima simboliu Taigi pagal apibrėžimą 2 teorema. Jei kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB, funkcijos yra tolydžios, tai egzistuoja 2-miesto kreivinis integralas. Leisti yra taško M(x, y) spindulio vektorius. Tada (2) formulės integrandas gali būti pavaizduotas formoje apibrėžtasis integralas vektoriai F(M) ir dr. Taigi 2-osios rūšies vektorinės funkcijos integralas išilgai kreivės AB gali būti trumpai parašytas taip: 2.1. 2-osios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas Kreivė AB yra apibrėžta parametrinėmis lygtimis, kur funkcijos yra tolydžios kartu su išvestinėmis atkarpoje, o parametro t pokytis nuo t0 iki t\ atitinka a judėjimą. taškas išilgai taško A kreivės AB iki taško B. Jei kurioje nors srityje D, kurioje yra kreivė AB, funkcijos yra tolydžios, tada 2-osios rūšies kreivinis integralas sumažinamas iki tokio apibrėžtojo integralo: Taigi, apskaičiuojant 2-osios rūšies kreivinis integralas taip pat gali būti sumažintas iki apibrėžtojo integralo skaičiavimo. O) Pavyzdys 1. Apskaičiuokite integralą išilgai tiesės atkarpos, jungiančios taškus 2) išilgai parabolės, jungiančios tuos pačius taškus) Linijos parametro lygtis, iš kur So 2) Tiesės AB lygtis: Iš čia todėl Nagrinėjamas pavyzdys tepa, kad 2-osios rūšies kreivio integralo vertė, paprastai kalbant, priklauso nuo integravimo kelio formos. 2.2. 2-osios rūšies kreivinio integralo savybės 1. Tiesiškumas. Jei yra erdvinių kreivių 1-osios rūšies kreivinių integralų ypatybės. 2-osios rūšies kreiviniai integralai Kreivinio integralo apskaičiavimas Savybės Ryšys tarp tada bet kuriam realiajam a ir /5 yra integralas, kur 2. Additenost. Jeigu kreivė AB yra padalinta į dalis AC ir SB ir egzistuoja kreivinis integralas, tai taip pat egzistuoja ir paskutinė kreivinio integralo 2-osios rūšies fizinės interpretacijos savybė jėgos laukas F tam tikru keliu: pasikeitus judėjimo kreive krypčiai, jėgos lauko darbas išilgai šios kreivės keičia ženklą į priešingą. 2.3. Ryšys tarp 1-osios ir 2-osios rūšies kreivinių integralų. Apsvarstykite kreivinį 2-osios rūšies integralą, kur orientuota kreivė AB (A -. pradžios taškas, IN - pabaigos taškas) pateikiama vektorine lygtimi (čia I – kreivės ilgis, matuojamas ta kryptimi, kuria orientuota AB kreivė) (6 pav.). Tada dr arba kur r = m(1) - vieneto vektorius kreivės AB liestinė taške M(1). Tada Atkreipkite dėmesį, kad paskutinis šios formulės integralas yra kreivinis 1-osios rūšies integralas. Pasikeitus kreivės AB orientacijai, liestinės r vienetinis vektorius pakeičiamas priešingu vektoriumi (-r), o tai reiškia, kad pasikeičia jo ženklas integrandas taigi ir paties integralo ženklas.

Kreivės masės problema. Tegul kiekviename gabalais lygiosios medžiagos kreivės L taške: (AB) nurodomas jos tankis. Nustatykite kreivės masę.

Tęskime taip pat, kaip darėme nustatydami plokščios srities masę ( dvigubas integralas) ir erdvinis kūnas (trigubas integralas).

1. Sutvarkome ploto-lanko L skaidymą į elementus - elementarius lankus kad šie elementai neturėtų bendrų vidinius taškus Ir
(sąlyga A )

2. Pažymėkime „pažymėtus taškus“ M i skaidinio elementuose ir apskaičiuokime juose funkcijos reikšmes.

3. Sukonstruokime integralinę sumą
, Kur - lanko ilgis (dažniausiai lankui ir jo ilgiui įvedami tie patys žymėjimai). Tai apytikslė kreivės masės vertė. Supaprastinimas yra tas, kad mes manėme, kad lanko tankis yra pastovus kiekviename elemente ir paėmėme baigtinį elementų skaičių.

Pereinama prie numatytos ribos
(B sąlyga ), gauname pirmos rūšies kreivinį integralą kaip integralų sumų ribą:

.

Egzistencijos teorema 10 .

Tegul funkcija
yra ištisinis gabalais lygaus lanko L 11. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas egzistuoja kaip integralų sumų riba.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

pertvaros pasirinkimo metodas, jei tenkinama sąlyga A

pasirenkant „pažymėtus taškus“ skaidinių elementuose,

skaidinio tobulinimo metodas, jei tenkinama B sąlyga

Pirmosios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė
.

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralioji suma turi baigtinį skaičių narių, pereiname prie integraliųjų sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas. Jeigu
, Tai
=
+

Įrodymas. Parinkime L srities skaidinį taip, kad nė viename skaidinio elemente (pradžioje ir tikslinant skaidinį) nebūtų vienu metu ir elementų L 1, ir elementų L 2. Tai galima padaryti naudojant egzistencijos teoremą (pastaba prie teoremos). Toliau įrodymas atliekamas integraliomis sumomis, kaip nurodyta 1 dalyje.

3.
.Čia – lanko ilgis .

4. Jei ant lanko nelygybė tenkinama, tada

Įrodymas. Užrašykime integralinių sumų nelygybę ir pereikime prie ribos.

Atkreipkite dėmesį, kad tai ypač įmanoma

5. Įvertinimo teorema.

Jei konstantos egzistuoja
, kažkas

Įrodymas. Integruojanti nelygybę
(4 nuosavybė), gauname
. Pagal konstantos 1 savybę
galima išimti iš po integralų. Naudodami 3 savybę gauname norimą rezultatą.

6. Vidutinės vertės teorema(integralo reikšmė).

Yra taškas
, Ką

Įrodymas. Nuo funkcijos
ištisinis ant uždaro ribotas rinkinys, tada jis egzistuoja apatinis kraštas
ir viršutinis kraštas
. Nelygybė patenkinta. Abi puses padalinę iš L, gauname
. Bet skaičius
yra tarp apatinės ir viršutinės funkcijos ribų. Nuo funkcijos
yra tęstinis uždaroje ribotoje aibėje L, tada tam tikru tašku
funkcija turi priimti šią reikšmę. Vadinasi,
.

5 paskaita I ir 2 rūšies kreiviniai integralai, jų savybės.

Kreivės masės problema. Kreivinis 1-osios rūšies integralas.

Kreivės masės problema. Tegul kiekviename gabalais lygiosios medžiagos kreivės L taške: (AB) nurodomas jos tankis. Nustatykite kreivės masę.

Tęskime taip pat, kaip darėme nustatydami plokščios srities (dvigubo integralo) ir erdvinio kūno masę ( trigubas integralas).

1. Lanko srities L skaidymą suskirstome į elementus – elementarius lankus, kad šie elementai neturėtų bendrų vidinių taškų ir( sąlyga A )

3. Sukurkite integralinę sumą , kur yra lanko ilgis (dažniausiai lankui ir jo ilgiui įvedamas tas pats žymėjimas). tai - apytikslė vertė masės kreivė. Supaprastinimas yra tas, kad mes manėme, kad lanko tankis yra pastovus kiekviename elemente ir paėmėme baigtinį elementų skaičių.

Pereinama prie numatytos ribos (B sąlyga ), gauname pirmos rūšies kreivinį integralą kaip integralų sumų ribą:

.

Egzistencijos teorema.

Tegul funkcija yra ištisinė ant gabalų lygaus lanko L. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas egzistuoja kaip integralų sumų riba.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

Pirmosios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas
a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė .

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralioji suma turi baigtinį skaičių narių, pereiname prie integraliųjų sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas.
Jeigu , Tai = +

3. Čia yra lanko ilgis.

4. Jeigu tenkinama lanko nelygybė, tai

Įrodymas. Užrašykime integralinių sumų nelygybę ir pereikime prie ribos.

Atkreipkite dėmesį, kad tai ypač įmanoma

5. Įvertinimo teorema.

Jei yra konstantų, tai

Įrodymas. Integruojanti nelygybę (4 nuosavybė), gauname . Pagal 1 savybę konstantas galima išimti iš po integralų. Naudodami 3 savybę gauname norimą rezultatą.

6. Vidutinės vertės teorema(integralo reikšmė).

Yra taškas , Ką

Įrodymas. Kadangi funkcija yra ištisinė uždaroje ribotoje aibėje, tada jos infimumas egzistuoja ir viršutinis kraštas . Nelygybė patenkinta. Abi puses padalinę iš L, gauname . Bet skaičius yra tarp apatinės ir viršutinės funkcijos ribų. Kadangi funkcija yra ištisinė uždaroje ribotoje aibėje L, tai tam tikru momentu funkcija turi įgyti šią reikšmę. Vadinasi, .

Pirmosios rūšies kreivinio integralo apskaičiavimas.

Parametruokime lanką L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Tegul t 0 atitinka tašką A, o t 1 – tašką B. Tada pirmosios rūšies tiesinis integralas sumažinamas iki apibrėžtojo integralo ( - formulė, žinoma iš 1 semestro lanko ilgio skirtumui apskaičiuoti):

Pavyzdys. Apskaičiuokite vienalytės (tankis lygus k) spiralės vieno posūkio masę: .

Kreivinis 2-osios rūšies integralas.

Jėgos darbo problema.

1. Organizuojame regiono-lanko AB padalijimą į elementus - elementarius lankus, kad šie elementai neturėtų bendrų vidinių taškų ir( sąlyga A )

2. Pažymėkime „pažymėtus taškus“ M i skaidinio elementuose ir apskaičiuokime juose funkcijos reikšmes.

3. Sukonstruokime integralinę sumą , kur yra vektorius, nukreiptas išilgai stygos, apimančios lanką .

4. Perėjimas prie numatytos ribos (B sąlyga ), gauname antrojo tipo kreivinį integralą kaip integralų sumų (ir jėgos darbo) ribą:

. Dažnai žymimas

Egzistencijos teorema.

Tegul vektoriaus funkcija yra ištisinė gabalais lygiame lanke L. Tada kaip integralų sumų riba egzistuoja antrojo tipo kreivinis integralas.

.

komentuoti.Ši riba nepriklauso nuo

Pertvaros pasirinkimo būdas, jei tenkinama A sąlyga

Pasirinkę „pažymėtus taškus“ skaidinių elementuose,

Skirsnio tobulinimo metodas, jei tenkinama sąlyga B

2-osios rūšies kreivinio integralo savybės.

1. Tiesiškumas
a) superpozicinė savybė

b) vienarūšiškumo savybė .

Įrodymas. Kairiosiose lygybių pusėse užrašykime integralų sumas. Kadangi integralios sumos narių skaičius yra baigtinis, naudojant skaliarinės sandaugos savybę, pereinama prie integraliųjų sumų dešiniosioms lygybių pusėms. Tada pereiname prie ribos, naudodamiesi perėjimo prie lygybės ribos teorema, gauname norimą rezultatą.

2. Adityvumas.
Jeigu , Tai = + .

Įrodymas. Parinkime L srities skaidinį taip, kad jokiame skaidinio elemente (pradžioje ir tikslinant skaidinį) vienu metu nebūtų ir elementų L 1, ir elementų L 2 . Tai galima padaryti naudojant egzistencijos teoremą (pastaba prie teoremos). Toliau įrodymas atliekamas integraliomis sumomis, kaip nurodyta 1 dalyje.

3. Orientacija.

= -

Įrodymas. Lanko integralas –L, t.y. V neigiama kryptis lanko perėjimas yra integralinių sumų, kurių sąlygose yra (), riba. „Minuso“ atėmimas iš skaliarinės sandaugos ir sumos baigtinis skaičius terminus, pereidami iki ribos, gauname reikiamą rezultatą.