Norėdami išspręsti sudėtingų skaičių problemas, turite suprasti pagrindinius apibrėžimus. Pagrindinė užduotisŠiame apžvalginiame straipsnyje paaiškinama, kas yra kompleksiniai skaičiai, ir pateikiami pagrindinių kompleksinių skaičių problemų sprendimo būdai. Taigi, kompleksinis skaičius bus vadinamas formos skaičiumi z = a + bi, Kur a, b- realieji skaičiai, kurie atitinkamai vadinami tikrosiomis ir įsivaizduojamomis kompleksinio skaičiaus dalimis ir žymi a = Re(z), b = Im(z).
i vadinamas įsivaizduojamu vienetu. i 2 = -1. Visų pirma, bet koks realusis skaičius gali būti laikomas sudėtingu: a = a + 0i, kur a yra tikras. Jeigu a = 0 Ir b ≠ 0, tada skaičius paprastai vadinamas tik įsivaizduojamu.
Dabar pristatykime operacijas su kompleksiniais skaičiais.
Apsvarstykite du kompleksinius skaičius z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i.
Pasvarstykime z = a + bi.
Kompleksinių skaičių aibė išplečia realiųjų skaičių aibę, kuri savo ruožtu išplečia aibę racionalūs skaičiai ir tt Šią investicijų grandinę galima pamatyti paveikslėlyje: N – natūraliuosius skaičius, Z – sveikieji skaičiai, Q – racionalūs, R – realūs, C – kompleksiniai. 
Kompleksinių skaičių vaizdavimas
Algebrinis žymėjimas.
Apsvarstykite kompleksinį skaičių z = a + bi, ši kompleksinio skaičiaus rašymo forma vadinama algebrinė. Šią įrašymo formą jau išsamiai aptarėme ankstesniame skyriuje. Šis vaizdinis piešinys naudojamas gana dažnai 
Trigonometrinė forma.
Iš paveikslo matyti, kad skaičius z = a + bi galima rašyti skirtingai. Tai akivaizdu a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, vadinasi z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu. Šis kompleksinio skaičiaus vaizdavimas vadinamas trigonometrinė forma. Trigonometrinė žymėjimo forma kartais yra labai patogi. Pavyzdžiui, patogu jį naudoti norint pakelti kompleksinį skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio, būtent, jei z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Tai z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ši formulė vadinama Moivre'o formulė.
Demonstracinė forma.
Pasvarstykime z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksinis skaičius trigonometrine forma, parašykite jį kita forma z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, paskutinė lygybė išplaukia iš Eilerio formulės, todėl gauname nauja uniforma kompleksinių skaičių žymėjimas: z = re iφ, kuris vadinamas orientacinis. Ši žymėjimo forma taip pat labai patogi kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį: z n = r n e inφ, Čia n nebūtinai sveikasis skaičius, bet gali būti savavališkas realusis skaičius. Ši žymėjimo forma gana dažnai naudojama problemoms spręsti.
Pagrindinė aukštosios algebros teorema
Įsivaizduokime, kad turime kvadratinę lygtį x 2 + x + 1 = 0. Akivaizdu, kad šios lygties diskriminantas yra neigiamas ir ji neturi realių šaknų, tačiau paaiškėja, kad ši lygtis turi dvi skirtingas sudėtingas šaknis. Taigi, pagrindinė aukštesnės algebros teorema teigia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną sudėtinga šaknis. Iš to išplaukia, kad bet kuris n laipsnio daugianomas turi tiksliai n sudėtingų šaknų, atsižvelgiant į jų daugumą. Ši teorema yra labai svarbus rezultatas matematikoje ir yra plačiai naudojamas. Paprasta šios teoremos pasekmė yra ta, kad yra lygiai n skirtingų vienybės n laipsnio šaknų.
Pagrindinės užduočių rūšys
Šiame skyriuje bus aptariami pagrindiniai tipai paprastos užduotysį kompleksinius skaičius. Paprastai problemas, susijusias su kompleksiniais skaičiais, galima suskirstyti į šias kategorijas.
- Paprastų aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais atlikimas.
- Kompleksinių skaičių daugianario šaknų radimas.
- Kompleksinių skaičių pakėlimas į laipsnius.
- Šaknų ištraukimas iš kompleksinių skaičių.
- Kompleksinių skaičių naudojimas kitoms problemoms spręsti.
Dabar pasvarstykime bendrosios technikosšių problemų sprendimus.
Paprasčiausios aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais atliekamos pagal pirmoje dalyje aprašytas taisykles, tačiau jei kompleksiniai skaičiai pateikiami trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis, tokiu atveju galite konvertuoti juos į algebrinę formą ir atlikti operacijas pagal žinomas taisykles.
Daugianario šaknų radimas paprastai reiškia kvadratinės lygties šaknis. Tarkime, kad turime kvadratinę lygtį, jei jos diskriminantas yra neneigiamas, tada jos šaknys bus tikrosios ir jas galima rasti pagal gerai žinomą formulę. Jei diskriminantas yra neigiamas, tai yra, D = -1∙a 2, Kur a yra tam tikras skaičius, tada diskriminantas gali būti pavaizduotas kaip D = (ia) 2, vadinasi √D = i|a|, tada galėsite naudoti gerai žinoma formulė kvadratinės lygties šaknims.
Pavyzdys. Grįžkime prie to, kas buvo paminėta aukščiau. kvadratinė lygtis x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminuojantis - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Dabar galime lengvai rasti šaknis: 
Kompleksinius skaičius pakelti į laipsnius galima keliais būdais. Jei jums reikia pakelti kompleksinį skaičių algebrine forma iki mažos laipsnio (2 arba 3), tai galite padaryti tiesioginiu dauginimu, tačiau jei galia yra didesnė (uždaviniuose ji dažnai yra daug didesnė), tada jums reikia parašykite šį skaičių trigonometrinėmis arba eksponentinėmis formomis ir naudokite jau žinomus metodus.
Pavyzdys. Apsvarstykite z = 1 + i ir padidinkite jį iki dešimtosios laipsnio.
Parašykime z eksponentinę formą: z = √2 e iπ/4.
Tada z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Grįžkime prie algebrinės formos: z 10 = -32i.
Kompleksinių skaičių šaknų išskyrimas yra atvirkštinis veikimas eksponentiškumo operacijos atžvilgiu, todėl atliekama panašiai. Šaknims išgauti dažnai naudojama eksponentinė skaičiaus rašymo forma.
Pavyzdys. Raskime visas 3 vienybės laipsnio šaknis. Tam rasime visas lygties z 3 = 1 šaknis, ieškosime šaknų eksponentinės formos.
Pakeiskime į lygtį: r 3 e 3iφ = 1 arba r 3 e 3iφ = e 0 .
Vadinasi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, todėl φ = 2πk/3.
Skirtingos šaknys gaunamos, kai φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Todėl 1, e i2π/3, e i4π/3 yra šaknys.
Arba algebrine forma: 
Paskutinis problemų tipas apima didžiulę problemų įvairovę ir nėra bendrų jų sprendimo būdų. Pateiksime paprastą tokios užduoties pavyzdį:
Raskite sumą nuodėmė (x) + nuodėmė (2x) + nuodėmė (2x) + … + nuodėmė (nx).
Nors šios problemos formulavimas ne mes kalbame apie apie kompleksinius skaičius, bet su jų pagalba tai galima nesunkiai išspręsti. Norėdami tai išspręsti, naudojami šie vaizdai: 
Jei dabar šį vaizdą pakeisime suma, tada problema sumažinama iki įprastos geometrinės progresijos sumavimo.
Išvada
Sudėtingi skaičiai yra plačiai naudojami matematikoje, šiame apžvalginiame straipsnyje buvo nagrinėjamos pagrindinės operacijos su kompleksiniais skaičiais ir aprašyti keli jų tipai standartines užduotis ir trumpai aprašyta bendrieji metodai jų sprendimus, norėdami sužinoti daugiau išsamus tyrimas Norint sužinoti daugiau apie kompleksinių skaičių galimybes, rekomenduojama pasinaudoti specializuota literatūra.
Literatūra
Sudėtingi skaičiai. Kompleksinis skaičius yra z=a+biabRi2=−1 formos skaičius
komentuoti.
Tikrasis skaičius a yra tikroji skaičiaus z dalis ir žymimas a=Rez
Tikrasis skaičius b yra įsivaizduojama skaičiaus z dalis ir žymimas b=Imz
Tikrieji skaičiai – tai visas skaičių ir su jais atliekamų operacijų rinkinys, kurio, atrodo, turėtų pakakti bet kokiems matematikos kurso uždaviniams išspręsti. Bet kaip išspręsti tokią lygtį realiais skaičiais x2+1=0? Yra dar vienas skaičių plėtinys – kompleksiniai skaičiai. Kompleksiniuose skaičiuose galite paimti šaknis iš neigiamų skaičių.
Algebrinė forma kompleksinis skaičius. Kompleksinio skaičiaus algebrinė forma yra z=a+bi(aRbRi2=−1)
komentuoti. Jei a=ReZ=0b=Imz=0, tai skaičius z vadinamas įsivaizduojamuoju. Jei a=ReZ=0b=Imz=0, tai skaičius z vadinamas grynai įsivaizduojamu
Geometrinė realiųjų skaičių interpretacija yra tikroji linija. Be to, tikroje eilutėje „nėra vietos naujiems taškams“, tai yra, bet kuris tikrosios ašies taškas atitinka realų skaičių. Todėl šioje eilutėje nebeįmanoma sudėti kompleksinių skaičių, bet galite pabandyti juos apsvarstyti kartu su tikroji ašis, ant kurios nubraižysime realiąją kompleksinio skaičiaus dalį, kitą statmeną jam ašį; vadinsime įsivaizduojama ašimi. Tada bet kurį kompleksinį skaičių z = a + ib galima susieti su tašku koordinačių plokštumoje. Tikrąją kompleksinio skaičiaus dalį nubraižysime ant abscisių ašies, o įsivaizduojamą dalį – ant ordinačių ašies. Tokiu būdu nustatomas vienas su vienu atitikimas tarp visų kompleksinių skaičių ir visų plokštumos taškų. Jeigu tokia korespondencija sukonstruota, tai koordinačių plokštuma paskambino sudėtinga plokštuma. Kompleksinio skaičiaus z = a + b i interpretacija yra vektorius OA su koordinatėmis (a,b), kurio pradžia yra taške O(0,0), o pabaiga taške A(a,b) 
Konjuguoti skaičiai. Skaičiai z=a+bi ir z=a-bi vadinami konjuguotais kompleksiniais skaičiais
Turtas. Dviejų konjuguotų kompleksinių skaičių suma ir sandauga yra tikrieji skaičiai: z+z=2azz=a2+b2
Priešingi skaičiai. Skaičiai z=a+bi ir −z=-a-bi vadinami priešingais kompleksiniais skaičiais.
Turtas. Dviejų priešingų kompleksinių skaičių suma lygi nuliui:
z+(-z)=0
Vienodus skaičius. Sakoma, kad du kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios.
Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, pateiktais algebrine forma:
Sudėjimo savybė: dviejų kompleksinių skaičių z1=a+bi ir z2=c+di suma bus z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) )i
Pavyzdys: 5+3i+3−i=8+2i
Atimties savybė: dviejų kompleksinių skaičių z1=a+bi ir z2=c+di skirtumas bus z=z1-z2=a+bi-c+di=a-c+(b-d) formos kompleksinis skaičius. i
Pavyzdys:. 5+3i−3−i=2+4i
Daugybos savybė: dviejų kompleksinių skaičių z1=a+bi ir z2=c+di sandauga bus z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i formos kompleksinis skaičius.
Pavyzdys: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i
Dalybos savybė: dviejų kompleksinių skaičių z1=a+bi ir z2=c+di koeficientas bus z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi formos kompleksinis skaičius.
Pavyzdys:. 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i
Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, pateiktais trigonometrine forma
Kompleksinio skaičiaus z = a + bi užrašymas forma z=rcos+isin vadinamas kompleksinio skaičiaus trigonometrine forma.
Kompleksinio skaičiaus modulis: r=a2+b2
Kompleksinio skaičiaus argumentas: cos=rasin=rb 
Įsivaizduojami ir kompleksiniai skaičiai
Apsvarstykite nepilną kvadratinę lygtį:
x 2 = a,
kur a yra žinomas dydis. Šios lygties sprendimas gali būti parašytas taip:
Čia yra trys galimi atvejai:
1). Jei a = 0, tai x = 0.
2). Jei a – teigiamas skaičius, tada tai kvadratinė šaknis turi dvi reikšmes: viena teigiama, kita neigiama; pavyzdžiui, lygtis x 2 = 25 turi dvi šaknis: 5 ir – 5. Tai dažnai rašoma kaip dviguba šaknis:
3).Jei a yra neigiamas skaičius, tai ši lygtis neturi sprendinių tarp mums žinomų teigiamų ir neigiamų skaičių, nes bet kurio skaičiaus antrasis laipsnis yra neneigiamas skaičius (pagalvokite!). Bet jei norime gauti lygties x 2 = a sprendinius, taip pat ir už neigiamos reikšmės Na, o mes esame priversti įvesti naujo tipo skaičius – įsivaizduojamus skaičius. Taigi skaičius, kurio antroji laipsnis yra neigiamas skaičius, vadinamas įsivaizduojamu. Pagal šį įsivaizduojamų skaičių apibrėžimą taip pat galime apibrėžti įsivaizduojamą vienetą: 
Tada lygčiai x 2 = – 25 gauname dvi įsivaizduojamas šaknis:
Pakeitę abi šias šaknis į mūsų lygtį, gauname tapatybę. (Patikrinkite!). Skirtingai nuo įsivaizduojamų skaičių, visi kiti skaičiai (teigiami ir neigiami, sveikieji ir trupmenos, racionalieji ir neracionalieji) vadinami tikraisiais arba realūs skaičiai. Tikrojo ir įsivaizduojamo skaičiaus suma vadinama kompleksiniu skaičiumi ir žymima taip:
kur a, b - realūs skaičiai, aš - įsivaizduojamas vienetas.
Kompleksinių skaičių pavyzdžiai: 3 + 4 i, 7 – 13,6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.
Leiskite jums priminti reikalinga informacija apie kompleksinius skaičius.
Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra i 2 = –1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i jie tiesiog rašo a. Matyti, kad tikrieji skaičiai yra ypatingas atvejis kompleksiniai skaičiai.
Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (skelbimas + bc)i(čia jis naudojamas i 2 = –1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:
(Pavyzdžiui, 
.)
Sudėtingi skaičiai turi patogų ir vaizdų geometrinis vaizdas: numeris z = a + bi gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( a; b) įjungta Dekarto plokštuma(arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Šis kiekis vadinamas modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π
radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad sukimasis tokiu kampu aplink pradžią vektoriaus nepakeis. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ
su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ
; r nuodėmė φ
). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iš čia sekti Moivre'o formulės: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. n-oji šaknis galios iš skaičiaus z– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku 
, ir , kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra taisyklingojo skaičiaus viršūnėse n-gon).
