Aritmetinis vidurkis 5 ir 17. Kaip rasti aritmetinį vidurkį ir kur jis gali būti naudingas kasdieniame gyvenime

Matematikoje skaičių aritmetinis vidurkis (arba tiesiog vidurkis) yra visų tam tikroje aibėje esančių skaičių suma, padalyta iš skaičių skaičiaus. Tai pati bendriausia ir plačiausiai paplitusi sąvoka vidutinis dydis. Kaip jau supratote, norėdami rasti, turite susumuoti visus jums duotus skaičius ir padalyti gautą rezultatą iš terminų skaičiaus.

Kas yra aritmetinis vidurkis?

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys. Duoti skaičiai: 6, 7, 11. Reikia rasti jų vidutinę reikšmę.

Sprendimas.

Pirmiausia suraskime visų šių skaičių sumą.

Dabar gautą sumą padalinkite iš terminų skaičiaus. Kadangi turime tris terminus, dalinsime iš trijų.

Todėl skaičių 6, 7 ir 11 vidurkis yra 8. Kodėl 8? Taip, nes 6, 7 ir 11 suma bus tokia pati kaip trys aštuntukai. Tai aiškiai matyti iliustracijoje.

Vidurkis yra šiek tiek panašus į skaičių serijos „išlyginimą“. Kaip matote, pieštukų krūvos tapo vienodo lygio.

Pažvelkime į kitą pavyzdį, kad įtvirtintume įgytas žinias.

2 pavyzdys. Duoti skaičiai: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Reikia rasti jų aritmetinį vidurkį.

Sprendimas.

Raskite sumą.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Padalinkite iš terminų skaičiaus (šiuo atveju - 15).

Todėl vidutinė šios skaičių serijos reikšmė yra 22.

Dabar pasvarstykime neigiamus skaičius. Prisiminkime, kaip juos apibendrinti. Pavyzdžiui, turite du skaičius 1 ir -4. Raskime jų sumą.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Žinodami tai, pažvelkime į kitą pavyzdį.

3 pavyzdys. Raskite vidutinę skaičių serijos reikšmę: 3, -7, 5, 13, -2.

Sprendimas.

Raskite skaičių sumą.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Kadangi yra 5 nariai, gautą sumą padalinkite iš 5.

Todėl skaičių 3, -7, 5, 13, -2 aritmetinis vidurkis yra 2,4.

Mūsų technologijų pažangos laikais daug patogiau naudoti vidutinę vertę kompiuterines programas. Microsoft Office„Excel“ yra vienas iš jų. Vidurkį rasti programoje „Excel“ yra greita ir paprasta. Be to, ši programa yra įtraukta į „Microsoft Office“ programinės įrangos paketą. Pasvarstykime trumpos instrukcijos, vertė naudojant šią programą.

Norėdami apskaičiuoti vidutinę skaičių serijos reikšmę, turite naudoti funkciją AVERAGE. Šios funkcijos sintaksė yra tokia:
= Vidutinis(argumentas1, argumentas2, ... argumentas255)
kur argumentas1, argumentas2, ... argumentas255 yra skaičiai arba langelių nuorodos (ląstelės nurodo diapazonus ir masyvus).

Kad būtų aiškiau, išbandykime įgytas žinias.

1. Įveskite skaičius 11, 12, 13, 14, 15, 16 langeliuose C1 - C6.
2. Pasirinkite langelį C7 spustelėdami jį. Šiame langelyje parodysime vidutinę vertę.
3. Spustelėkite skirtuką Formulės.
4. Norėdami atidaryti, pasirinkite Daugiau funkcijų > Statistiniai duomenys
5. Pasirinkite AVERAGE. Po to turėtų atsidaryti dialogo langas.
6. Pasirinkite ir vilkite langelius C1-C6, kad nustatytumėte diapazoną dialogo lange.
7. Patvirtinkite savo veiksmus paspausdami mygtuką „Gerai“.
8. Jei viską padarėte teisingai, atsakymas turėtų būti langelyje C7 – 13.7. Spustelėjus langelį C7, formulės juostoje atsiras funkcija (=Average(C1:C6)).

Ši funkcija labai praverčia atliekant apskaitą, išrašant sąskaitas arba kai tiesiog reikia rasti labai ilgos skaičių serijos vidurkį. Todėl jis dažnai naudojamas biuruose ir didelėse įmonėse. Tai leidžia palaikyti tvarką savo apskaitoje ir greitai ką nors apskaičiuoti (pavyzdžiui, vidutines mėnesines pajamas). Taip pat su naudojant Excel galite rasti vidutinę funkcijos reikšmę.

Jis pasimeta skaičiuojant vidurkį.

Vidutinis prasmė skaičių aibė yra lygi skaičių S sumai, padalytai iš šių skaičių. Tai yra, pasirodo, kad vidutinis prasmė lygu: 19/4 = 4,75.

Atkreipkite dėmesį

Jei jums reikia rasti tik dviejų skaičių geometrinį vidurkį, jums nereikia inžinerinio skaičiuotuvo: paimkite antrą šaknį ( kvadratinė šaknis) iš bet kurio skaičiaus galima atlikti naudojant įprastą skaičiuotuvą.

Naudingi patarimai

Skirtingai nuo aritmetinio vidurkio, geometrinis vidurkis nėra taip stipriai paveiktas didelių nukrypimų ir svyravimų tarp atskiros vertės tirtame rodiklių rinkinyje.

Šaltiniai:

• Internetinis skaičiuotuvas, apskaičiuojantis geometrinį vidurkį
• vidutinis geometrinė formulė

Vidutinis reikšmė yra viena iš skaičių aibės savybių. Reiškia skaičių, kuris negali būti už diapazono, kurį nustato didžiausias ir mažiausios vertėsšiame skaičių rinkinyje. Vidutinis aritmetinė reikšmė yra dažniausiai naudojamas vidurkio tipas.

Instrukcijos

Sudėkite visus aibės skaičius ir padalykite juos iš terminų skaičiaus, kad gautumėte aritmetinį vidurkį. Atsižvelgiant į konkrečias skaičiavimo sąlygas, kartais lengviau kiekvieną skaičių padalyti iš rinkinio verčių skaičiaus ir susumuoti rezultatą.

Naudokite, pavyzdžiui, įtrauktą į „Windows“ OS, jei neįmanoma mintyse apskaičiuoti aritmetinio vidurkio. Jį galite atidaryti naudodami programos paleidimo dialogo langą. Norėdami tai padaryti, paspauskite sparčiuosius klavišus WIN + R arba spustelėkite mygtuką Pradėti ir pagrindiniame meniu pasirinkite komandą Vykdyti. Tada įvesties lauke įveskite calc ir paspauskite Enter arba spustelėkite mygtuką Gerai. Tą patį galima padaryti per pagrindinį meniu - atidarykite jį, eikite į skyrių „Visos programos“, skiltyje „Standartinis“ ir pasirinkite eilutę „Skaičiuoklė“.

Įveskite visus rinkinyje esančius skaičius paeiliui, po kiekvieno iš jų paspausdami pliuso klavišą (išskyrus paskutinį) arba spustelėdami atitinkamą mygtuką skaičiuoklės sąsajoje. Skaičius taip pat galite įvesti naudodami klaviatūrą arba spustelėdami atitinkamus sąsajos mygtukus.

Įvedę paspauskite pasvirojo brūkšnio klavišą arba spustelėkite jį skaičiuotuvo sąsajoje paskutinė vertė rinkinius ir išspausdinkite skaičių skaičių sekoje. Tada paspauskite lygybės ženklą ir skaičiuotuvas apskaičiuos ir parodys aritmetinį vidurkį.

Tam pačiam tikslui galite naudoti lentelės rengyklę. Microsoft Excel. Tokiu atveju paleiskite redaktorių ir gretimuose langeliuose įveskite visas skaičių sekos reikšmes. Jei įvedę kiekvieną skaičių paspausite Enter arba rodyklės žemyn arba dešinėn klavišą, redaktorius pats perkels įvesties židinį į gretimą langelį.

Spustelėkite langelį šalia paskutinio įvesto skaičiaus, jei nenorite matyti tik vidurkio. Išplėskite Graikijos sigmos (Σ) išskleidžiamąjį meniu skirtuke Pagrindinis skirtuko Redaguoti komandas. Pasirinkite eilutę " Vidutinis“ ir redaktorius įterps reikiamą formulę norint apskaičiuoti vidurkį aritmetinė vertėį pasirinktą langelį. Paspauskite Enter klavišą ir vertė bus apskaičiuota.

Aritmetinis vidurkis yra vienas iš centrinės tendencijos matų, plačiai naudojamas matematikoje ir statistiniuose skaičiavimuose. Rasti kelių verčių aritmetinį vidurkį yra labai paprasta, tačiau kiekviena užduotis turi savo niuansų, kuriuos tiesiog būtina žinoti norint atlikti teisingus skaičiavimus.

Kas yra aritmetinis vidurkis

Kaip rasti aritmetinį vidurkį

Darbo su neigiamais skaičiais ypatybės

1. Bendrojo aritmetinio vidurkio radimas standartiniu metodu;
2. Neigiamų skaičių aritmetinio vidurkio radimas.
3. Teigiamų skaičių aritmetinio vidurkio apskaičiavimas.

Kiekvieno veiksmo atsakymai rašomi atskirti kableliais.

Natūraliosios ir dešimtainės trupmenos

Dirbant su natūralios frakcijos jie turėtų būti atvežti bendras vardiklis, kuris padauginamas iš skaičių masyve. Atsakymo skaitiklis bus duotųjų pradinių trupmeninių elementų skaitiklių suma.

Inžinerinis skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Atkreipkite dėmesį, kad į bendras atvejis Geometrinis skaičių vidurkis randamas šiuos skaičius padauginus ir iš jų paėmus skaičių skaičių atitinkančios laipsnio šaknį. Pavyzdžiui, jei jums reikia rasti penkių skaičių geometrinį vidurkį, tada iš sandaugos turėsite išgauti galios šaknį.

Norėdami rasti dviejų skaičių geometrinį vidurkį, naudokite pagrindinę taisyklę. Raskite jų sandaugą, tada paimkite iš jo kvadratinę šaknį, nes skaičius yra du, o tai atitinka šaknies galią. Pavyzdžiui, norėdami rasti skaičių 16 ir 4 geometrinį vidurkį, raskite jų sandaugą 16 4=64. Iš gauto skaičiaus išimkite kvadratinę šaknį √64=8. Tai bus norima vertė. Atkreipkite dėmesį, kad šių dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra didesnis ir lygus 10. Jei neišskiriama visa šaknis, suapvalinkite rezultatą iki norimos eilės.

Norėdami rasti daugiau nei dviejų skaičių geometrinį vidurkį, taip pat naudokite pagrindinę taisyklę. Norėdami tai padaryti, raskite visų skaičių sandaugą, kurių geometrinį vidurkį turite rasti. Iš gautos sandaugos ištraukite laipsnio šaknį, lygią skaičių skaičiui. Pavyzdžiui, norėdami rasti skaičių 2, 4 ir 64 geometrinį vidurkį, raskite jų sandaugą. 2 4 64=512. Kadangi reikia rasti trijų skaičių geometrinio vidurkio rezultatą, paimkite trečiąją šaknį iš sandaugos. Sunku tai padaryti žodžiu, todėl naudokite inžinerinį skaičiuotuvą. Šiuo tikslu jame yra mygtukas "x^y". Surinkite numerį 512, paspauskite mygtuką "x^y", tada surinkite numerį 3 ir paspauskite mygtuką "1/x", norėdami rasti 1/3 reikšmę, paspauskite mygtuką "=". Gauname rezultatą padidinę 512 iki 1/3 galios, kuri atitinka trečiąją šaknį. Gaukite 512^1/3=8. Tai yra geometrinis skaičių 2,4 ir 64 vidurkis.

Naudojant inžinerinis skaičiuotuvas Geometrinį vidurkį galite rasti kitu būdu. Klaviatūroje raskite žurnalo mygtuką. Po to paimkite kiekvieno skaičiaus logaritmą, suraskite jų sumą ir padalykite ją iš skaičių. Iš gauto skaičiaus paimkite antilogaritmą. Tai bus geometrinis skaičių vidurkis. Pavyzdžiui, norėdami rasti tų pačių skaičių 2, 4 ir 64 geometrinį vidurkį, atlikite operacijų rinkinį skaičiuotuvu. Surinkite numerį 2, tada paspauskite žurnalo mygtuką, paspauskite mygtuką "+", surinkite numerį 4 ir dar kartą paspauskite log ir "+", surinkite 64, paspauskite žurnalą ir "=". Rezultatas bus skaičius lygi sumai dešimtainiai logaritmai skaičiai 2, 4 ir 64. Gautą skaičių padalinkite iš 3, nes tai yra skaičių, kurių geometrinio vidurkio ieškoma, skaičius. Iš rezultato paimkite antilogaritmą perjungdami didžiosios ir mažosios raidės mygtuką ir naudokite tą patį žurnalo klavišą. Rezultatas bus skaičius 8, tai yra norimas geometrinis vidurkis.

Aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipą gana lengva suprasti, ji greitai baigiama ir baigiama mokslo metus moksleiviai jį pamiršta. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat už tarptautinius egzaminus SAT. Taip ir už kasdienybė išvystyta analitinis mąstymas niekada neskauda.

Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį

Tarkime, kad yra skaičių eilutė: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gauti 6?

Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.

Dabar turime išsiaiškinti geometrinį vidurkį. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.

Vidutinis geometriniai skaičiai vadinamas visų pateiktų skaičių sandauga, esančia po šaknimi, kurios laipsnis lygus nurodytų skaičių skaičiui. Tai yra, skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas bus 4. Taip išėjo. :

Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abiejuose variantuose gavome išsamius atsakymus, nes ėmėme kaip pavyzdį specialūs numeriai. Taip nutinka ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O skaičių 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.

Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?

Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.

Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).

Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).

√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).

Kito varianto nėra ir negali būti.

Trys vaikai išėjo į mišką uogauti. Vyresnioji dukra rado 18 uogų, vidurinė – 15, ir jaunesnis brolis- 3 uogos (žr. 1 pav.). Uogas atnešė mamai, kuri nusprendė uogas padalyti po lygiai. Kiek uogų gavo kiekvienas vaikas?

Ryžiai. 1. Problemos iliustracija

Sprendimas

(Yag.) – vaikai viską rinko

2) Padalinti bendras kiekis uogos vienam vaikų skaičiui:

(Yag.) ėjo pas kiekvieną vaiką

Atsakymas: Kiekvienas vaikas gaus 12 uogų.

1 uždavinyje atsakyme gautas skaičius yra aritmetinis vidurkis.

Aritmetinis vidurkis keli skaičiai yra šių skaičių sumos dalijimas iš jų skaičiaus.

1 pavyzdys

Turime du skaičius: 10 ir 12. Raskite jų aritmetinį vidurkį.

Sprendimas

1) Nustatykime šių skaičių sumą: .

2) Šių skaičių skaičius yra 2, todėl šių skaičių aritmetinis vidurkis yra lygus: .

Atsakymas: vidutinis aritmetiniai skaičiai 10 ir 12 yra skaičius 11.

2 pavyzdys

Turime penkis skaičius: 1, 2, 3, 4 ir 5. Raskite jų aritmetinį vidurkį.

Sprendimas

1) Šių skaičių suma lygi: .

2) Pagal apibrėžimą aritmetinis vidurkis yra skaičių sumos dalijimo iš jų skaičiaus koeficientas. Turime penkis skaičius, todėl aritmetinis vidurkis yra:

Atsakymas: skaičių sąlygos duomenų aritmetinis vidurkis yra 3.

Be to, kad jį nuolat prašoma rasti pamokose, kasdieniame gyvenime labai praverčia aritmetinio vidurkio radimas. Pavyzdžiui, tarkime, kad norime atostogauti į Graikiją. Norėdami pasirinkti tinkamą aprangą, atsižvelgiame į temperatūrą šioje šalyje šiuo metu. Tačiau bendro oro vaizdo nesužinosime. Todėl būtina išsiaiškinti oro temperatūrą Graikijoje, pavyzdžiui, savaitei, ir rasti šių temperatūrų aritmetinį vidurkį.

3 pavyzdys

Temperatūra Graikijoje savaitę: pirmadienis - ; antradienis - ; Trečiadienis - ; Ketvirtadienis - ; penktadienis - ; Šeštadienis - ; Sekmadienis -. Apskaičiuokite vidutinę savaitės temperatūrą.

Sprendimas

1) Apskaičiuokime temperatūrų sumą: .

2) Gautą sumą padalinkite iš dienų skaičiaus: .

Atsakymas: vidutinė temperatūra apie savaitę.

Gebėjimo rasti aritmetinį vidurkį taip pat gali prireikti norint nustatyti vidutinį futbolo komandos žaidėjų amžių, tai yra, norint nustatyti, ar komanda yra patyrusi, ar ne. Būtina susumuoti visų žaidėjų amžių ir padalyti iš jų skaičiaus.

2 problema

Prekybininkas pardavinėjo obuolius. Iš pradžių jis pardavė juos už 85 rublius už 1 kg. Taigi jis pardavė 12 kg. Tada sumažino kainą iki 65 rublių ir pardavė likusius 4 kg obuolių. Kokia buvo vidutinė obuolių kaina?

Sprendimas

1) Paskaičiuokime, kiek prekybininkas iš viso uždirbo pinigų. Jis pardavė 12 kilogramų už 85 rublius už 1 kg: (trinti.).

Jis pardavė 4 kilogramus po 65 rublius už 1 kg: (rubliai).

Todėl bendra uždirbtų pinigų suma lygi: (rub.).

2) Bendras parduotų obuolių svoris lygus: .

3) Gautą pinigų sumą padalinkite iš bendro parduotų obuolių svorio ir gaukite vidutinę 1 kg obuolių kainą: (rubliai).

Atsakymas: vidutinė 1 kg parduodamų obuolių kaina yra 80 rublių.

Aritmetinis vidurkis padeda įvertinti duomenis kaip visumą, neatsižvelgiant į kiekvieną reikšmę atskirai.

Tačiau ne visada galima vartoti aritmetinio vidurkio sąvoką.

4 pavyzdys

Šaulys į taikinį paleido du šūvius (žr. 2 pav.): pirmą kartą pataikė metrą aukščiau, o antrą kartą – metrą žemiau. Aritmetinis vidurkis parodys, kad jis tiksliai pataikė į centrą, nors abu kartus nepataikė.

Ryžiai. 2. Pavyzdžiui, iliustracija

Šioje pamokoje sužinojome apie aritmetinio vidurkio sąvoką. Sužinojome šios sąvokos apibrėžimą, išmokome apskaičiuoti kelių skaičių aritmetinį vidurkį. Mes taip pat išmokome praktinis pritaikymasši koncepcija.

1. N.Ya. Vilenkinas. Matematika: vadovėlis. 5 klasei. bendrojo išsilavinimo uchr. - Red. 17 d. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igoris su savimi turėjo 45 rublius, Andrejus – 28, Denisas – 17.
3. Už visus pinigus jie nusipirko 3 bilietus į kiną. Kiek kainavo vienas bilietas?

Dažniausias vidurkio tipas yra aritmetinis vidurkis.

Paprastas aritmetinis vidurkis

Paprastas aritmetinis vidurkis yra vidutinis terminas, kurį nustatant bendras tūris šios savybės duomenyse paskirstomas tolygiai tarp visų vienetų, įtrauktų į pateiktą aibę. Taigi vidutinė metinė produkcija vienam darbuotojui yra produkcijos kiekis, kuris tektų kiekvienam darbuotojui, jei visa produkcijos apimtis būtų tokiu pat laipsniu paskirstytas visiems organizacijos darbuotojams. Paprastoji aritmetinio vidurkio vertė apskaičiuojama pagal formulę:

Paprastas aritmetinis vidurkis— lygus charakteristikos individualių verčių sumos ir charakteristikų skaičiaus visumoje santykiui

6 darbuotojų komanda per mėnesį gauna 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tūkst.
Raskite vidutinį atlyginimą

Sprendimas: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tūkst.

Svertinis aritmetinis vidurkis

Jei duomenų rinkinio apimtis yra didelė ir atspindi pasiskirstymo eilutę, tada apskaičiuojamas svertinis aritmetinis vidurkis. Taip nustatoma vidutinė svertinė produkcijos vieneto kaina: bendroji produkcijos savikaina (jos kiekio produktų suma iš produkcijos vieneto kainos) dalijama iš bendro produkcijos kiekio.

Įsivaizduokime tai tokios formulės forma: Svertinis aritmetinis vidurkis

. bendra suma darbo užmokesčioįjungta bendras skaičius darbuotojai:

Atsakymas: 3,35 tūkst.

Aritmetinis intervalų eilučių vidurkis

Skaičiuojant intervalo aritmetinį vidurkį variacijų serija Pirma, kiekvieno intervalo vidurkis nustatomas kaip pusė viršutinės ir apatinės ribų sumos, o tada visos serijos vidurkis. Atvirų intervalų atveju apatinio arba viršutinio intervalo reikšmė nustatoma pagal šalia jų esančių intervalų dydį.

Vidurkiai skaičiuojami nuo intervalų serija yra apytiksliai.

3 pavyzdys. Apibrėžkite vidutinio amžiaus vakaro studentai.

Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai. Jų aproksimacijos laipsnis priklauso nuo to, kiek faktinis populiacijos vienetų pasiskirstymas intervale artėja prie vienodo pasiskirstymo.

Skaičiuojant vidurkius, ne tik absoliutus, bet ir santykinės vertės(dažnis):

Aritmetinis vidurkis turi daug savybių, kurios geriau atskleidžia jo esmę ir supaprastina skaičiavimus:

1. Vidurkio sandauga iš dažnių sumos visada lygi varianto sandaugų pagal dažnius sumai, t.y.

2. Kintamų dydžių sumos aritmetinis vidurkis yra lygus šių dydžių aritmetinių vidurkių sumai:

3. Individualių charakteristikų verčių nuokrypių nuo vidurkio algebrinė suma yra lygi nuliui:

4. Pasirinkimo sandorių kvadratinių nuokrypių suma nuo vidurkio yra mažesnė už kvadratinių nukrypimų nuo bet kurios kitos savavališkos reikšmės sumą, t.y.