Fizinė skaičiaus modulio reikšmė. Skaičiaus modulio nustatymas

Instrukcijos

Jei modulis pateikiamas formoje nuolatinė funkcija, tada jo argumento reikšmė gali būti teigiama arba neigiama: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Nesunku pastebėti, kad kompleksinių skaičių sudėjimas ir atėmimas vadovaujasi ta pačia taisykle, kaip ir sudėjimas ir .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga yra lygi:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Kadangi i^2 = -1, tada galutinis rezultatas lygus:

(x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Kompleksinių skaičių eksponentiškumo ir šaknų ištraukimo operacijos apibrėžiamos taip pat, kaip ir realiųjų skaičių. Tačiau kompleksinėje srityje bet kuriam skaičiui yra lygiai n skaičių b, kurių b^n = a, tai yra, n n-ojo laipsnio šaknų.

Visų pirma tai reiškia, kad bet koks algebrinė lygtis n-asis laipsnis su vienu kintamuoju turi lygiai n sudėtingos šaknys, kai kurie iš jų gali būti ir .

Video tema

Šaltiniai:

• paskaita" Sudėtingi skaičiai“ 2019 m

Šaknis yra piktograma, kuri atstovauja matematinis veiksmas suradus skaičių, kurio padidinimas iki laipsnio, nurodyto prieš šaknies ženklą, turėtų duoti skaičių, nurodytą po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, susijusias su šaknimis, nepakanka vien apskaičiuoti vertę. Būtina atlikti papildomas operacijas, iš kurių viena yra skaičiaus, kintamojo ar išraiškos įvedimas po šaknies ženklu.

Instrukcijos

Nustatykite šaknies eksponentą. Rodiklis yra sveikasis skaičius, nurodantis laipsnį, iki kurio turi būti padidintas šaknies apskaičiavimo rezultatas, kad būtų gauta radikali išraiška (skaičius, iš kurio išgaunama ši šaknis). Šakninis eksponentas kaip viršutinis indeksas prieš šaknies piktogramą. Jei šis nenurodytas, tai yra kvadratinė šaknis, kurio laipsnis yra du. Pavyzdžiui, šaknies √3 rodiklis yra du, ³√3 rodiklis yra trys, šaknies ⁴√3 rodiklis yra keturi ir t.

Padidinkite skaičių, kurį norite įvesti po šaknies ženklu, iki laipsnio, lygus rodikliuišią šaknį, kurią nustatėte ankstesniame žingsnyje. Pavyzdžiui, jei jums reikia įvesti skaičių 5 po šaknies ženklu ⁴√3, tada šaknies laipsnio indeksas yra keturi ir jums reikia 5 padidinimo iki ketvirtosios laipsnio rezultato 5⁴=625. Tai galite padaryti bet kokiu jums patogiu būdu – savo galva, naudodami skaičiuotuvą ar atitinkamas priglobtas paslaugas.

Įveskite reikšmę, gautą ankstesniame žingsnyje, po šaknies ženklu kaip radikalios išraiškos daugiklį. Ankstesniame veiksme naudotame pavyzdyje po šaknies pridėjus ⁴√3 5 (5*⁴√3), šį veiksmą galima atlikti taip: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Jei įmanoma, supaprastinkite gautą radikalią išraišką. Ankstesnių veiksmų pavyzdyje tereikia padauginti skaičius po šaknies ženklu: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Taip užbaigiama numerio įvedimo po šaknimi operacija.

Jei problema yra nežinomų kintamųjų, galima atlikti aukščiau aprašytus veiksmus bendras vaizdas. Pavyzdžiui, jei reikia įvesti nežinomą kintamąjį x po ketvirtąja šaknies šaknimi, o radikali išraiška yra 5/x³, tada visą veiksmų seką galima parašyti taip: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Šaltiniai:

• kaip vadinamas šaknies ženklas?

Realiųjų skaičių nepakanka norint išspręsti bet kokią kvadratinę lygtį. Paprasčiausias iš kvadratines lygtis, neturintis šaknų tarp realių skaičių – tai x^2+1=0. Ją sprendžiant paaiškėja, kad x=±sqrt(-1), ir pagal elementarios algebros dėsnius iš neigiamo ištraukti lyginio laipsnio šaknį numeriai tai draudžiama.

Skaičių modulis pats šis skaičius vadinamas, jei jis yra neneigiamas, arba tas pats skaičius su priešingas ženklas, jei jis yra neigiamas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 5 modulis yra 5, o skaičiaus –5 modulis taip pat yra 5.

Tai reiškia, kad turime omenyje skaičiaus modulį absoliuti vertė, absoliuti vertėšis skaičius neatsižvelgiant į jo ženklą.

Žymima taip: |5|, | X|, |A| ir tt

Taisyklė:

Paaiškinimas:

|5| = 5
Jis skamba taip: skaičiaus 5 modulis yra 5.

|–5| = –(–5) = 5
Jis skamba taip: skaičiaus –5 modulis yra 5.

|0| = 0
Jis skamba taip: nulio modulis yra lygus nuliui.

Modulio savybės:

Geometrinė modulio reikšmė.

Skaičiaus modulis yra atstumas nuo nulio iki šio skaičiaus.

Pavyzdžiui, dar kartą paimkime skaičių 5. Atstumas nuo 0 iki 5 yra toks pat kaip nuo 0 iki –5 (1 pav.). O kai mums svarbu žinoti tik atkarpos ilgį, tai ženklas turi ne tik prasmę, bet ir prasmę. Tačiau tai nėra visiškai tiesa: atstumą matuojame tik teigiamais skaičiais – arba neneigiami skaičiai. Tegul mūsų skalės padalijimo kaina yra 1 cm. Tada atkarpos ilgis nuo nulio iki 5 yra 5 cm, nuo nulio iki –5 taip pat yra 5 cm.

Praktikoje atstumas dažnai matuojamas ne tik nuo nulio – atskaitos tašku gali būti bet koks skaičius (2 pav.). Tačiau tai nekeičia esmės. Formos |a – b| žymėjimas išreiškia atstumą tarp taškų A Ir b skaičių eilutėje.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį | X – 1| = 3.

Sprendimas.

Lygties reikšmė yra ta, kad atstumas tarp taškų X o 1 lygus 3 (2 pav.). Todėl nuo 1 taško skaičiuojame tris padalijas į kairę ir tris padalijas į dešinę – ir aiškiai matome abi reikšmes X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Galime paskaičiuoti.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Atsakymas : X 1 = –2; X 2 = 4.

2 pavyzdys. Rasti išraiškos modulį:

Sprendimas.

Pirmiausia išsiaiškinkime, ar išraiška yra teigiama, ar neigiama. Norėdami tai padaryti, paverčiame išraišką taip, kad ją sudarytų vienarūšiai skaičiai. Neieškokime 5 šaknies – tai gana sunku. Padarykime tai paprasčiau: pakelkime 3 ir 10 į šaknį. Tada palyginkite skaičių, sudarančių skirtumą, dydį:

3 = √9. Todėl 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Matome, kad pirmasis skaičius yra mažesnis nei antrasis. Tai reiškia, kad išraiška yra neigiama, tai yra, jos atsakymas yra mažesnis už nulį:

3√5 – 10 < 0.

Bet pagal taisyklę neigiamo skaičiaus modulis yra tas pats skaičius su priešingu ženklu. Turime neigiama išraiška. Todėl būtina pakeisti jo ženklą į priešingą. Priešinga 3√5 – 10 išraiška yra – (3√5 – 10). Atidarykime jame esančius skliaustus ir gaukime atsakymą:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Atsakyk .

Racionaliojo skaičiaus modulis jie vadina atstumą nuo pradžios iki taško koordinačių tiesėje, atitinkančioje šį skaičių.

Kadangi atstumas (atkarpos ilgis) gali būti išreikštas tik teigiamu skaičiumi arba nuliu, galime sakyti, kad skaičiaus modulis negali būti neigiamas.

Modulio savybės:

Teigiamo skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui.
|a| = a, jei a > 0;

Neigiamojo skaičiaus modulis lygus priešingam skaičiui.
|-a| = a, jei a< 0;

Nulinis modulis lygus nuliui.
|0| = 0, jei a = 0;

Priešingi skaičiai turėti vienodus modulius.
|-a| = |a|;

Modulių pavyzdžiai racionalūs skaičiai:

4.Pagrindiniai sprendimo būdai neracionalios lygtys ir nelygybės.

Lygtį arba nelygybę vadiname neracionalia, jei joje yra kintamasis po radikalais, tai yra po kvadrato, kubo ir pan. šaknies ženklais. Iracionalios lygtys ir nelygybės turi tam tikrą specifiškumą.

Prisiminkime, kad lygties ar nelygybės leistinų verčių diapazonas (sutrumpintai VA) yra kintamojo, kurio abi pusės yra verčių rinkinys. duota lygtis arba nelygybės turi prasmę. Bet kurią užduotį galite atlikti neieškodami (ir neminėdami) ODZ, todėl šiai koncepcijai nereikia ypatingo poreikio. Bet ir tame nėra jokios žalos; Be to, tam tikrose situacijose ODZ paieška yra labai naudinga. Taigi, kai kuriose neracionaliose lygtyse ir nelygybėse tai neapsiriboja jokiais konkrečiais metodais - tereikia atidžiai apžiūrėti ir atsižvelgti į ODZ.

Lygiavertės transformacijos

Mes pereiname prie svarstymo standartiniai tipai neracionalios lygtys ir nelygybės. Čia preliminari DZ paieška pasirodo, kaip taisyklė, nereikalingas žingsnis; Šios problemos efektyviausiai išsprendžiamos atitinkamų lygiaverčių perėjimų pagalba. Formos √ A = √ B lygtys

Pradėkime nuo pavyzdžio.

Tarkime, reikia išspręsti lygtį √ x = √ 2x + 1. Dėl funkcijos √ x monotoniškumo radikalinės išraiškos turi būti lygios: x = 2x+1, iš kur x = −1. Tačiau pakeitus šią x reikšmę į lygtį, gaunama neigiamus skaičius pagal radikalus; todėl x = −1 nėra šios lygties šaknis, todėl ji neturi sprendinių. Dabar pasvarstykime bendra situacija. Tegu yra lygtis √ A = √ B, kur A ir B yra kai kurios išraiškos, turinčios kintamąjį. Tada, pirma, radikalios išraiškos turi būti lygios: A = B. Antra, abi radikalios išraiškos turi būti neneigiamos; bet dėl ​​jų lygybės pakanka reikalauti, kad vienas iš jų būtų neneigiamas. Taigi, turime: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 arba √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. Šiuo atveju natūralu reikalauti, kad išraiška būtų paprastesnė nėra neigiamas.

5. Funkcijos grafikas, analitinės išraiškos kurį sudaro modulis:

Skaičiaus modulis yra atstumas nuo atskaitos taško iki taško, atitinkančio šį tašką.

y=|f(x)| braižymo algoritmas.

1. Sukurkite grafiką y=f(x)

2. Virš abscisių ašies esančias grafiko dalis palikite nepakeistas.

3. Sritys, esančios žemiau x ašies, yra atspindėtos šios ašies atžvilgiu.

y=f(|x|) braižymo algoritmas.

1. Sukurkime grafiką y=f(x).

2. ištrinkite visus taškus, esančius kairėje nuo OY ašies.

3. Visi taškai, esantys operacijos stiprintuvo ašyje ir į dešinę nuo jos, atsispindės simetriškai operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu.

Algoritmas braižymui |y|=|f(x)|

1.Sudarykite grafiką y=f(x).

2.sudaryti grafiką y=|f(x)|.

3. Padarykite tai veidrodiniu vaizdu, palyginti su Jaučio ašimi.

6.Savybės ir grafikas kvadrato funkcija y=ax+bx+c

Funkcija, kurią galima nurodyti formule y=ax2+bx+c, kur a,b,c∈R ir a≠0,

vadinama kvadratine funkcija.

Funkcijos y=ax2+bx+c ( priimtinos vertės argumentai x) yra visi realūs skaičiai(R).

Tvarkaraštis kvadratinė funkcija yra parabolė.

Parabolės (xo;yo) viršūnės abscisę galima apskaičiuoti naudojant formulę:

Norėdami nubrėžti kvadratinę funkciją, turite:

1) apskaičiuokite parabolės viršūnės koordinates: x0=−b/2a ir y0, kuri randama reikšmę x0 pakeitus į funkcijos formulė,

2) pažymėkite parabolės viršūnę ant koordinačių plokštuma, nubrėžkite parabolės simetrijos ašį,

3) nustatyti parabolės šakų kryptį,

4) pažymėkite parabolės susikirtimo tašką su Oy ašis,

5) pasirinkdami sukurkite verčių lentelę reikalingos vertės argumentas x.

Išsprendę kvadratinę lygtį ax2+bx+c=0, gauname parabolės susikirtimo taškus su Ox ašimi arba funkcijos šaknis (jei diskriminantas D>0)

jei D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Skaičių modulis yra nauja matematikos sąvoka. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra skaičių modulis ir kaip su juo dirbti?

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Išėjome iš namų eiti į parduotuvę. Nuėjome 300 m, matematiškai šį posakį galima parašyti +300, skaičiaus 300 reikšmė nuo „+“ ženklo nepasikeis. Skaičiaus atstumas arba modulis matematikoje yra tas pats ir gali būti parašytas taip: |300|=300. Skaičiaus modulio ženklas žymimas dviem vertikaliomis linijomis.

Ir tada nuėjome 200 m priešinga kryptimi. Matematiškai grįžimo kelią galime parašyti kaip -200. Bet nesakome „nuėjome minus du šimtus metrų“, nors grįžome, nes atstumas kaip kiekis išlieka teigiamas. Tam tikslui matematikoje buvo pristatyta modulio sąvoka. Skaičiaus -200 atstumą arba modulį galite parašyti taip: |-200|=200.

Modulio savybės.

Apibrėžimas:
Skaičiaus modulis arba absoliuti skaičiaus reikšmė yra atstumas nuo pradžios taško iki paskirties taško.

Nuliui nelygaus sveikojo skaičiaus modulis visada yra teigiamas skaičius.

Modulis parašytas taip:

1. Teigiamo skaičiaus modulis lygus pačiam skaičiui.
| a|=a

2. Neigiamojo skaičiaus modulis lygus priešingam skaičiui.
|- a|=a

3. Nulio modulis lygus nuliui.
|0|=0

4. Priešingų skaičių moduliai yra lygūs.
| a|=|-a|=a

Susiję klausimai:
Koks yra skaičiaus modulis?
Atsakymas: Modulis yra atstumas nuo pradžios taško iki paskirties taško.

Jei prieš sveikąjį skaičių įdėsite ženklą „+“, kas atsitiks?
Atsakymas: skaičius nepakeis savo reikšmės, pavyzdžiui, 4=+4.

Jei prieš sveikąjį skaičių įdėsite ženklą „-“, kas atsitiks?
Atsakymas: skaičius pasikeis į, pavyzdžiui, 4 ir -4.

Kurie skaičiai turi tą patį modulį?
Atsakymas: teigiami skaičiai ir nulis turės tą patį modulį. Pavyzdžiui, 15=|15|.

Kurių skaičių modulis yra priešingas?
Atsakymas: neigiamiems skaičiams modulis bus lygus priešingam skaičiui. Pavyzdžiui, |-6|=6.

1 pavyzdys:
Raskite skaičių modulį: a) 0 b) 5 c) -7?

Sprendimas:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

2 pavyzdys:
Ar yra du skirtingi skaičiai, kurių moduliai yra lygūs?

Sprendimas:
|10|=10
|-10|=10

Priešingų skaičių moduliai yra lygūs.

3 pavyzdys:
Kurių dviejų priešingų skaičių modulis yra 9?

Sprendimas:
|9|=9
|-9|=9

Atsakymas: 9 ir -9.

4 pavyzdys:
Atlikite šiuos veiksmus: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Sprendimas:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

5 pavyzdys:
Raskite: a) skaičiaus 2 modulį b) skaičiaus 6 modulį c) skaičiaus 8 modulį d) skaičiaus 1 modulį e) skaičiaus 0 modulį.
Sprendimas:

a) skaičiaus 2 modulis žymimas |2| arba |+2| tai tas pats dalykas.
|2|=2

b) skaičiaus 6 modulis žymimas |6| arba |+6| tai tas pats dalykas.
|6|=6

c) skaičiaus 8 modulis žymimas |8| arba |+8| tai tas pats dalykas.
|8|=8

d) skaičiaus 1 modulis žymimas |1| arba |+1| tai tas pats dalykas.
|1|=1

e) skaičiaus 0 modulis žymimas |0|, |+0| arba |-0| tai tas pats dalykas.
|0|=0