Laipsnis su natūraliu rodikliu, kuris. Laipsnis su sveikuoju rodikliu

Žemiau pateikta formulė bus apibrėžimas laipsniai su natūraliu rodikliu(a yra laipsnio ir pasikartojančio koeficiento bazė, o n yra rodiklis, rodantis, kiek kartų veiksnys kartojamas):

Ši išraiška reiškia, kad skaičiaus a, kurio natūralusis rodiklis n, laipsnis yra n faktorių sandauga, nepaisant to, kad kiekvienas veiksnys yra lygus a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 – bazinis laipsnis,

5 – eksponentas,

1419857 — laipsnio vertė.

Laipsnis, kurio eksponentas nulis, yra lygus 1, su sąlyga, kad a\neq 0:

a^0=1 .

Pavyzdžiui: 2^0=1

Kada užsirašyti didelis skaičius paprastai naudojami 10 laipsniai.

Pavyzdžiui, vienas seniausių dinozaurų Žemėje gyveno maždaug prieš 280 mln. Jo amžius rašomas taip: 2,8 \cdot 10^8 .

Kiekvienas skaičius, didesnis nei 10, gali būti parašytas kaip \cdot 10^n , jei 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standartinis vaizdas numeriai.

Tokių skaičių pavyzdžiai: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Galite pasakyti ir „a iki n-osios laipsnio“, ir „n-osios skaičiaus a laipsnis“ ir „a iki n-osios laipsnio“.

4^5 – „keturi iki 5 laipsnio“ arba „4 iki penktojo laipsnio“ arba taip pat galite pasakyti „penktasis 4 laipsnis“

IN šiame pavyzdyje 4 yra laipsnio pagrindas, 5 yra eksponentas.

Dabar pateiksime pavyzdį su trupmenomis ir neigiamais skaičiais. Siekiant išvengti painiavos, skliausteliuose įprasta rašyti ne natūraliuosius skaičius, o kitas bazes:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 ir kt.

Taip pat atkreipkite dėmesį į skirtumą:

(-5)^6 – reiškia neigiamo skaičiaus –5 laipsnį, kurio natūralusis rodiklis yra 6.

5^6 – atitinka priešingą skaičių 5^6.

Laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybės

Pagrindinė laipsnio savybė

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Bazė išlieka ta pati, bet eksponentai pridedami.

Pavyzdžiui: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Tais pačiais pagrindais esančių koeficientų laipsnių savybė

a^n: a^k=a^(n-k), jei n > k.

Rodikliai atimami, bet bazė išlieka ta pati.

Šis apribojimas n > k įvedamas siekiant neperžengti natūraliųjų rodiklių. Iš tiesų, kai n > k eksponentas a^(n-k) bus natūralusis skaičius, kitaip jis bus arba neigiamas skaičius (k< n ), либо нулем (k-n ).

Pavyzdžiui: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Galios pakėlimo į galią savybė

(a^n)^k=a^(nk)

Bazė išlieka ta pati, tik padauginami rodikliai.

Pavyzdžiui: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6) = 2^(18)

Produkto eksponencijos savybė

Kiekvienas koeficientas padidinamas iki laipsnio n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Pavyzdžiui: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Trupmenos eksponencijos savybė

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Ir trupmenos skaitiklis, ir vardiklis pakeliami iki laipsnio. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Šiame straipsnyje mes išsiaiškinsime, kas tai yra skaičiaus galia. Čia pateiksime skaičiaus galios apibrėžimus, o išsamiai išnagrinėsime visus galimus rodiklius, pradedant natūraliuoju ir baigiant neracionaliuoju. Medžiagoje rasite daug laipsnių pavyzdžių, apimančių visas iškylančias subtilybes.

Puslapio naršymas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu, skaičiaus kvadratas, skaičiaus kubas

Pradėkime nuo. Žvelgiant į priekį, tarkime, kad skaičiaus a laipsnio apibrėžimas su natūraliuoju rodikliu n pateiktas a, kurį vadinsime laipsnio pagrindu, ir n, kuriuos vadinsime eksponentas. Taip pat pažymime, kad laipsnis su natūraliu rodikliu nustatomas per sandaugą, todėl norėdami suprasti toliau pateiktą medžiagą, turite suprasti skaičių dauginimą.

Apibrėžimas.

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu n laipsnis yra a n formos išraiška, kurios reikšmė lygi n faktorių sandaugai, kurių kiekvienas yra lygus a, tai yra .
Visų pirma, skaičiaus a, kurio eksponentas 1, laipsnis yra pats skaičius a, tai yra, a 1 =a.

Iš karto verta paminėti apie laipsnių skaitymo taisykles. Universalus metodas skaitant įrašą a n yra: „a iki n laipsnio“. Kai kuriais atvejais taip pat priimtinos šios parinktys: „a iki n-ojo laipsnio“ ir „n-ojo a laipsnio“. Pavyzdžiui, paimkime laipsnį 8 12, tai yra „aštuoni iki dvylikos laipsnio“ arba „aštuoni iki dvyliktosios laipsnio“ arba „dvyliktoji aštuonių laipsniai“.

Antroji skaičiaus laipsniai, kaip ir trečioji skaičiaus laipsniai, turi savo pavadinimus. Vadinamas antrasis skaičiaus laipsnis skaičių kvadratu, pavyzdžiui, 7 2 skaitomas kaip „septyni kvadratai“ arba „skaičiaus septyni kvadratas“. Vadinamas trečiasis skaičiaus laipsnis kubiniais skaičiais, pavyzdžiui, 5 3 galima perskaityti kaip „penki kubeliai“ arba galite pasakyti „skaičiaus 5 kubas“.

Pats laikas atnešti laipsnių pavyzdžiai su natūraliaisiais rodikliais. Pradėkime nuo laipsnio 5 7, čia 5 yra laipsnio pagrindas, o 7 yra eksponentas. Pateikime kitą pavyzdį: 4.32 yra bazė ir natūralusis skaičius 9 – eksponentas (4,32) 9 .

Atkreipkite dėmesį, kad į paskutinis pavyzdys Laipsnio pagrindas 4,32 rašomas skliausteliuose: kad išvengtume neatitikimų, skliausteliuose dėsime visus laipsnio pagrindus, kurie skiriasi nuo natūraliųjų skaičių. Kaip pavyzdį pateikiame šiuos laipsnius su natūraliaisiais rodikliais , jų pagrindai nėra natūralieji skaičiai, todėl jie rašomi skliausteliuose. Na, siekiant visiško aiškumo, šiuo metu parodysime skirtumą, esantį (-2) 3 ir -2 3 formos įrašuose. Išraiška (−2) 3 yra −2 laipsnis, kurio natūralusis rodiklis yra 3, o išraiška −2 3 (gali būti parašytas kaip −(2 3) ) atitinka skaičių, laipsnio 2 3 reikšmę. .

Atkreipkite dėmesį, kad yra skaičiaus a laipsnio žymėjimas, kurio rodiklis n yra a^n. Be to, jei n yra daugiareikšmis natūralusis skaičius, tada eksponentas imamas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 4^9 yra kitas 4 9 laipsnio žymėjimas. Ir čia yra dar keletas laipsnių rašymo naudojant simbolį „^“ pavyzdžių: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Toliau pirmiausia naudosime a n formos laipsnio žymėjimą.

Viena iš problemų, priešingų pakėlimui į laipsnį su natūraliu rodikliu, yra problema, kaip rasti galios pagrindą žinoma vertė laipsnis ir žinomas rodiklis. Ši užduotis veda į.

Yra žinoma, kad daugelis racionalūs skaičiai susideda iš sveikųjų ir trupmeninių skaičių trupmeninis skaičius gali būti pavaizduotas kaip teigiamas arba neigiamas bendroji trupmena. Ankstesnėje pastraipoje laipsnį apibrėžėme sveikuoju rodikliu, todėl laipsnio apibrėžimą užbaigiame racionalus rodiklis, turime įprasminti skaičiaus a galią su trupmeninis rodiklis m/n , kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Padarykime tai.

Panagrinėkime laipsnį su formos trupmeniniu rodikliu. Kad galios į valdžią savybė liktų galioti, turi galioti lygybė . Jei atsižvelgsime į gautą lygybę ir tai, kaip nustatėme , logiška ją priimti, su sąlyga, kad duoti m, n ir a, išraiška turi prasmę.

Nesunku patikrinti, ar galioja visos laipsnio savybės su sveikuoju rodikliu (tai buvo padaryta laipsnio su racionaliuoju rodikliu ypatybės).

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums padaryti šiuos dalykus išvada: jei duota m, n ir a išraiška turi prasmę, tada a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n vadinamas n-ąja šaknimis iš a laipsnio m.

Šis teiginys priartina mus prie laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimo. Belieka tik apibūdinti, kur m, n ir a išraiška turi prasmę. Atsižvelgiant į m, n ir a taikomus apribojimus, yra du pagrindiniai būdai.

Lengviausias būdas yra nustatyti a apribojimą, imant a≥0, kai teigiamas m, ir a>0, kai m neigiamas (kadangi m≤0 m laipsnis 0 neapibrėžtas). Tada gauname sekantį apibrėžimą laipsnių su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Teigiamo skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius, vadinamas n-ąja skaičiaus a šaknimi laipsniu m, ty .

Taip pat apibrėžta trupmeninė galia nulis su vieninteliu įspėjimu, kad indikatorius turi būti teigiamas.

Apibrėžimas.

Nulio galia su trupmeniniu teigiamu rodikliu m/n, kur m yra teigiamas sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius, apibrėžiamas kaip .
Kai laipsnis nenustatytas, tai yra skaičiaus nulis su trupmena laipsnis neigiamas rodiklis neturi prasmės.

Reikėtų pažymėti, kad su šiuo laipsnio apibrėžimu su trupmeniniu rodikliu yra vienas įspėjimas: kai kuriems neigiamiems a ir kai kuriems m ir n išraiška yra prasminga, ir mes atmetėme šiuos atvejus, įvesdami sąlygą a≥0. Pavyzdžiui, įrašai turi prasmę arba , o aukščiau pateiktas apibrėžimas verčia teigti, kad laipsniai su formos trupmeniniu rodikliu nėra prasmės, nes bazė neturėtų būti neigiama.

Kitas būdas nustatyti laipsnį su trupmeniniu rodikliu m/n yra atskirai apsvarstyti šaknies lyginius ir nelyginius rodiklius. Šis požiūris reikalauja papildoma sąlyga: skaičiaus, kurio rodiklis yra , laipsnis laikomas laipsniu skaičiaus, kurio rodiklis yra atitinkamas neredukuojama trupmena(Šios sąlygos svarba bus paaiškinta toliau). Tai yra, jei m/n yra neredukuojama trupmena, tai bet kurio natūraliojo skaičiaus k laipsnis pirmiausia pakeičiamas .

Jei n ir teigiamas m, išraiška turi prasmę bet kokiam neneigiamam a (neigiamo skaičiaus lyginė šaknis neturi prasmės, skaičius a vis tiek turi skirtis nuo nulio (kitaip bus dalijimasis). nuliu). O nelyginio n ir teigiamo m skaičius a gali būti bet koks (šaknis nelyginis laipsnis yra apibrėžtas bet kuriam realiajam skaičiui), o neigiamam m skaičius a turi būti ne lygus nuliui (kad nebūtų dalijimosi iš nulio).

Aukščiau pateiktas samprotavimas veda prie šio laipsnio apibrėžimo su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Tegu m/n yra neredukuojama trupmena, m – sveikas skaičius, o n – natūralusis skaičius. Bet kuriai redukuojamai trupmenai laipsnis pakeičiamas . Skaičiaus su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m/n laipsnis yra skirtas



Paaiškinkime, kodėl laipsnis su redukuojamu trupmeniniu rodikliu pirmiausia pakeičiamas laipsniu su neredukuojamu laipsniu. Jei laipsnį paprasčiausiai apibrėžtume kaip , ir nepadarytume išlygos dėl trupmenos m/n neredukuojamumo, susidurtume su panašiomis situacijomis: kadangi 6/10 = 3/5, tai lygybė turi galioti , Bet , A.

galima rasti naudojant daugybą. Pavyzdžiui: 5+5+5+5+5+5=5x6. Sakoma, kad tokia išraiška yra ta, kad lygių dalių suma sulenkiama į sandaugą. Ir atvirkščiai, jei skaitome šią lygybę iš dešinės į kairę, pamatysime, kad išplėtėme lygių dėmenų sumą. Panašiai galite sutraukti kelių vienodų koeficientų sandaugą 5x5x5x5x5x5=5 6.

Tai yra, užuot padauginę šešis identiškus koeficientus 5x5x5x5x5x5, jie rašo 5 6 ir sako „nuo penkių iki šeštojo laipsnio“.

Išraiška 5 6 yra skaičiaus laipsnis, kur:

5 - laipsnio bazė;

6 - eksponentas.

Veiksmai, kuriais lygių veiksnių sandauga sumažinama iki laipsnio, vadinami kėlimas į valdžią.

IN bendras vaizdas laipsnis su baze "a" ir laipsniu "n" rašomas taip

Padidinti skaičių a iki laipsnio n reiškia rasti n faktorių sandaugą, kurių kiekvienas yra lygus a

Jei laipsnio „a“ bazė yra lygi 1, tai bet kurio natūraliojo skaičiaus n laipsnio reikšmė bus lygi 1. Pavyzdžiui, 1 5 =1, 1 256 =1

Jei skaičių „a“ padidinsite iki pirmas laipsnis, tada gauname patį skaičių a: a 1 = a

Jei padidinsite bet kurį skaičių iki nulinis laipsnis, tada atlikę skaičiavimus gauname vieną. a 0 = 1

Antroji ir trečioji skaičiaus laipsniai laikomi ypatingais. Jie sugalvojo jiems pavadinimus: vadinamas antrasis laipsnis skaičių kvadratu, trečia - kubasšis skaičius.

Bet kurį skaičių galima padidinti iki laipsnio – teigiamo, neigiamo arba nulio. Šiuo atveju šios taisyklės netaikomos:

Radus teigiamo skaičiaus laipsnį, gaunamas teigiamas skaičius.

Skaičiuojant nulį in natūralus laipsnis gauname nulį.

x m · x n = x m + n

pavyzdžiui: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Į dalinkitės laipsniais su tuo pačiu pagrindu Mes nekeičiame bazės, bet atimame eksponentus:

x m / x n = x m - n , kur, m > n,

pavyzdžiui: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Skaičiuojant galios pakėlimas į galią Mes nekeičiame bazės, o dauginame rodiklius vienas iš kito.

(prie m ) n = y m n

pavyzdžiui: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m. m ,

pavyzdžiui: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Atliekant skaičiavimus pagal trupmenos pakėlimas į laipsnį mes esame šis laipsnis pakelkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį

(x/y)n = x n / y n

pavyzdžiui: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Skaičiavimų seka dirbant su laipsnį turinčiomis išraiškomis.

Atlikdami reiškinių be skliaustų, bet turinčių laipsnius, skaičiavimus, pirmiausia atlieka eksponavimo, tada daugybos ir dalybos, o tik tada sudėties ir atimties operacijas.

Jei reikia apskaičiuoti išraišką su skliaustais, pirmiausia atlikite skaičiavimus skliausteliuose aukščiau nurodyta tvarka, o tada likusius veiksmus ta pačia tvarka iš kairės į dešinę.

Labai plačiai praktiniuose skaičiavimuose, skaičiavimams supaprastinti naudojamos paruoštos galių lentelės.

Nustačius skaičiaus galią, logiška apie tai kalbėti laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus galios savybes, kartu paliesdami visus galimus rodiklius. Čia pateiksime visų laipsnių savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės naudojamos sprendžiant pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės

Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju rodikliu, laipsnis a n yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Remiantis šiuo apibrėžimu, taip pat naudojant daugybos savybės realūs skaičiai , galime gauti ir pagrįsti šiuos dalykus laipsnio savybės su natūraliuoju rodikliu:

1. pagrindinė laipsnio savybė a m ·a n =a m+n, jos apibendrinimas;
2. koeficiento laipsnių su identiškomis bazėmis savybė a m:a n =a m−n ;
3. gaminio galios savybė (a·b) n =a n ·b n , jos išplėtimas;
4. dalinio savybė natūraliajam laipsniui (a:b) n =a n:b n ;
5. laipsnio didinimas iki laipsnio (a m) n =a m·n, jo apibendrinimas (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
6. laipsnio palyginimas su nuliu:
   • jei a>0, tai a n>0 bet kuriam natūraliajam skaičiui n;
   • jei a=0, tai a n=0;
   • jei a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jei a<0 и показатель степени есть nelyginis skaičius 2 m−1, tada 2 m−1<0 ;
7. jei a ir b yra teigiami skaičiai ir a
8. jei m ir n yra tokie natūralūs skaičiai, kad m>n , tada esant 0 0 nelygybė a m >a n yra teisinga.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad visos rašytinės lygybės yra identiški esant nurodytoms sąlygoms, galima sukeisti tiek dešinę, tiek kairę jų dalis. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė a m ·a n =a m+n su supaprastinant posakius dažnai vartojama forma a m+n =a m ·a n .

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiai.

Pradėkime nuo dviejų laipsnių su vienodomis bazėmis sandaugos savybės, kuri vadinama pagrindinė laipsnio savybė: bet kurio realaus skaičiaus a ir bet kokių natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n yra teisinga.

Įrodykime pagrindinę laipsnio savybę. Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju laipsniu, laipsnių sandauga su vienodais formos pagrindais a m ·a n gali būti užrašoma sandauga. Dėl daugybos savybių gautą išraišką galima parašyti kaip , o ši sandauga yra skaičiaus a laipsnis su natūraliuoju rodikliu m+n, tai yra a m+n. Tai užbaigia įrodymą.

Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Paimkime laipsnius su tomis pačiomis bazėmis 2 ir natūraliosiomis laipsnėmis 2 ir 3, naudodamiesi bazine laipsnių savybe galime parašyti lygybę 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Patikrinkime jo pagrįstumą apskaičiuodami reiškinių 2 2 · 2 3 ir 2 5 reikšmes. Atliekant eksponentiškumą, mes turime 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 ir 2 5 =2·2·2·2·2=32, kadangi gaunamos vienodos reikšmės, tai lygybė 2 2 ·2 3 =2 5 yra teisinga ir patvirtina pagrindinę laipsnio savybę.

Pagrindinė laipsnio savybė, pagrįsta daugybos savybėmis, gali būti apibendrinta iki trijų ar daugiau laipsnių sandauga su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais. Taigi bet kuriam natūraliųjų skaičių n 1, n 2, …, n k skaičiui k lygybė yra teisinga a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Pavyzdžiui, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Galime pereiti prie kitos galių savybės su natūraliu eksponentu – koeficiento laipsnių su tais pačiais pagrindais savybė: bet kuriam nuliui nepriklausančiam realiajam skaičiui a ir savavališkiems natūraliems skaičiams m ir n, tenkinantiems sąlygą m>n, lygybė a m:a n =a m−n yra teisinga.

Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų formuluotėje reikšmę. Sąlyga a≠0 reikalinga tam, kad būtų išvengta dalybos iš nulio, nes 0 n =0, o susipažinę su dalinimu sutarėme, kad iš nulio dalyti negalime. Įvedama sąlyga m>n, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Iš tiesų, kai m>n eksponentas a m-n yra natūralusis skaičius, kitaip jis bus arba nulis (tai atsitinka m-n ), arba neigiamas skaičius (kas atsitinka m

Įrodymas. Pagrindinė trupmenos savybė leidžia parašyti lygybę a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iš gautos lygybės a m−n ·a n =a m ir išplaukia, kad a m−n yra laipsnių a m ir a n koeficientas. Tai įrodo koeficiento laipsnių su identiškais pagrindais savybę.

Pateikime pavyzdį. Paimkime du laipsnius su tomis pačiomis bazėmis π ir natūraliaisiais rodikliais 5 ir 2, lygybė π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 atitinka nagrinėjamą laipsnio savybę.

Dabar pasvarstykime produkto galios savybė: bet kurių dviejų realiųjų skaičių a ir b sandaugos natūralioji galia n yra lygi laipsnių a n ir b n sandaugai, tai yra, (a·b) n =a n ·b n .

Iš tiesų, pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu mes turime . Remiantis daugybos savybėmis, paskutinį sandaugą galima perrašyti kaip , kuri lygi a n · b n .

Štai pavyzdys: .

Ši savybė apima trijų ar daugiau veiksnių sandaugos galią. Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio n savybė užrašoma kaip (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Aiškumo dėlei šią savybę parodysime pavyzdžiu. Trijų koeficientų sandaugai iki 7 laipsnio turime .

Ši savybė yra natūra dalinio nuosavybė: realiųjų skaičių a ir b, b≠0 santykis su natūraliąja galia n yra lygus laipsnių a n ir b n daliniui, tai yra, (a:b) n =a n:b n.

Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Taigi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, o iš lygybės (a:b) n ·b n =a n išplaukia, kad (a:b) n yra a n dalinys, padalytas iš b n .

Parašykime šią savybę naudodami konkrečius skaičius kaip pavyzdį: .

Dabar ištarkime savybė pakelti valdžią į valdžią: bet kuriam realiajam skaičiui a ir bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n laipsnio a m laipsnio n laipsnis yra lygus skaičiaus a laipsniui, kurio eksponentas m·n, tai yra, (a m) n =a m·n.

Pavyzdžiui, (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6.

Galios iki laipsnio savybės įrodymas yra tokia lygybių grandinė: .

Nagrinėjamas turtas gali būti išplėstas iki laipsnio iki laipsnio ir pan. Pavyzdžiui, bet kurių natūraliųjų skaičių p, q, r ir s lygybė . Siekiant didesnio aiškumo, pateikiamas pavyzdys su konkrečiais skaičiais: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Belieka pasilikti ties laipsnių palyginimo su natūraliu eksponentu savybėmis.

Pradėkime įrodydami nulio ir laipsnio palyginimo su natūraliuoju rodikliu savybę.

Pirmiausia įrodykime, kad a n >0 bet kuriam a>0.

Dviejų teigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius, kaip matyti iš daugybos apibrėžimo. Šis faktas ir daugybos savybės leidžia manyti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. O skaičiaus a, kurio natūralusis rodiklis n, laipsnis pagal apibrėžimą yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Šie argumentai leidžia teigti, kad bet kurios teigiamos bazės a laipsnis a n yra teigiamas skaičius. Dėl įrodytos savybės 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ir .

Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo skaičiaus n, kurio a=0, a n laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0 n =0·0·…·0=0 . Pavyzdžiui, 0 3 = 0 ir 0 762 = 0.

Pereikime prie neigiamų priežasčių laipsnių.

Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkime jį kaip 2·m, kur m yra natūralusis skaičius. Tada . Kiekvienam iš a·a formos sandaugų yra lygus skaičių a ir a modulių sandaugai, o tai reiškia, kad tai yra teigiamas skaičius. Todėl produktas taip pat bus teigiamas ir laipsnis a 2·m. Pateiksime pavyzdžius: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ir .

Galiausiai, kai bazė a yra neigiamas skaičius, o eksponentas yra nelyginis skaičius 2 m−1, tada . Visi sandaugai a·a yra teigiami skaičiai, šių teigiamų skaičių sandauga taip pat yra teigiama, o jos dauginimas iš likusio neigiamas skaičius a rezultatas yra neigiamas skaičius. Dėl šios savybės (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Pereikime prie laipsnių palyginimo su tais pačiais natūraliaisiais rodikliais savybės, kurios formuluotė yra tokia: iš dviejų laipsnių su tais pačiais natūraliaisiais rodikliais n yra mažesnis už tą, kurio bazė mažesnė, o didesnė yra ta, kurios bazė didesnė. . Įrodykime tai.

Nelygybė a n nelygybių savybės teisinga ir įrodoma formos a n nelygybė .

Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių natūraliaisiais rodikliais. Suformuluokime. Iš dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir identiškos teigiamos bazės yra mažesnės už vieną, ta, kurios rodiklis mažesnis, yra didesnis; o dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir identiškos bazės yra didesnės už vieną, tas, kurio eksponentas didesnis, yra didesnis. Pereikime prie šios nuosavybės įrodymo.

Įrodykime, kad m>n ir 0 0 dėl pradinės sąlygos m>n, o tai reiškia, kad esant 0

Belieka įrodyti antrąją turto dalį. Įrodykime, kad m>n ir a>1 a m >a n yra tiesa. Skirtumas a m −a n po n išėmimo iš skliaustų įgauna formą a n ·(a m−n −1) . Šis sandauga yra teigiama, nes esant a>1 laipsnis a n yra teigiamas skaičius, o skirtumas a m-n -1 yra teigiamas skaičius, nes m-n>0 dėl pradinės sąlygos, o kai a>1 laipsnis a m−n yra didesnis už vieną . Vadinasi, a m −a n >0 ir a m >a n , ką ir reikėjo įrodyti. Šią savybę iliustruoja nelygybė 3 7 >3 2.

Laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės

Kadangi teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai visos laipsnių su teigiamais sveikaisiais rodikliais savybės tiksliai sutampa su laipsnių savybėmis su natūraliaisiais rodikliais, išvardytomis ir įrodytomis ankstesnėje pastraipoje.

Mes apibrėžėme laipsnį su sveikuoju neigiamu rodikliu, taip pat laipsnį su nuliniu rodikliu taip, kad visos laipsnių savybės su natūraliaisiais rodikliais, išreikštos lygybėmis, išliktų galioti. Todėl visos šios savybės galioja ir nuliniams, ir neigiamiems rodikliams, tuo tarpu, žinoma, laipsnių bazės skiriasi nuo nulio.

Taigi bet kokiems realiems ir nuliniams skaičiams a ir b, taip pat bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n yra teisinga: laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a · b) n =a n · b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. jei n yra teigiamas sveikasis skaičius, a ir b yra teigiami skaičiai, o a b-n ;
7. jei m ir n yra sveikieji skaičiai, o m>n , tada 0 1 galioja nelygybė a m >a n.

Kai a=0, laipsniai a m ir a n turi prasmę tik tada, kai ir m, ir n yra teigiami sveikieji skaičiai, tai yra natūralūs skaičiai. Taigi ką tik užrašytos savybės galioja ir tais atvejais, kai a=0, o skaičiai m ir n yra teigiami sveikieji skaičiai.

Įrodyti kiekvieną iš šių savybių nėra sunku, pakanka naudoti laipsnių apibrėžimus su natūraliaisiais ir sveikaisiais rodikliais, taip pat operacijų su realiaisiais skaičiais savybes. Kaip pavyzdį įrodykime, kad galios galios savybė galioja ir teigiamiems, ir neteigiamiems sveikiesiems skaičiams. Norėdami tai padaryti, turite parodyti, kad jei p yra nulis arba natūralusis skaičius, o q yra nulis arba natūralusis skaičius, tada lygybės (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ir (a −p) −q =a (−p)·(−q). Padarykime tai.

Teigiamų p ir q lygybė (a p) q =a p·q buvo įrodyta ankstesnėje pastraipoje. Jei p=0, tai turime (a 0) q =1 q =1 ir a 0·q =a 0 =1, iš kur (a 0) q =a 0·q. Panašiai, jei q=0, tai (a p) 0 =1 ir a p·0 =a 0 =1, iš kur (a p) 0 =a p·0. Jei ir p=0, ir q=0, tai (a 0) 0 =1 0 =1 ir a 0·0 =a 0 =1, iš kur (a 0) 0 =a 0,0.

Dabar įrodome, kad (a −p) q =a (−p)·q . Taigi pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu . Pagal mūsų turimų galių koeficientų savybę . Kadangi 1 p =1·1·…·1=1 ir , tada . Paskutinė išraiška pagal apibrėžimą yra a −(p·q) formos laipsnis, kuris dėl daugybos taisyklių gali būti parašytas kaip (−p)·q.

Taip pat .

IR .

Taikant tą patį principą, visas kitas laipsnio savybes galite įrodyti sveikuoju rodikliu, parašytu lygybių forma.

Priešpaskutinėje iš įrašytų savybių verta pasilikti ties nelygybės a −n >b −n įrodymu, kuris galioja bet kuriam neigiamam sveikajam skaičiui −n ir bet kuriam teigiamam a ir b, kuriems tenkinama sąlyga a. . Kadangi pagal sąlygą a 0 . Produktas a n · b n taip pat yra teigiamas kaip teigiamų skaičių a n ir b n sandauga. Tada gauta trupmena yra teigiama kaip teigiamų skaičių b n −a n ir a n ·b n koeficientas. Todėl iš kur a −n >b −n , ką reikėjo įrodyti.

Paskutinė laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybė įrodoma taip pat, kaip ir panaši laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybė.

Galių su racionaliais rodikliais savybės

Mes apibrėžėme laipsnį su trupmeniniu rodikliu, išplėsdami laipsnio savybes sveikuoju rodikliu. Kitaip tariant, laipsniai su trupmeniniais rodikliais turi tokias pačias savybes kaip ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtent:

Laipsnių savybių su trupmeniniais rodikliais įrodymas grindžiamas laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimu ir laipsnio su sveikuoju rodikliu savybėmis. Pateikime įrodymus.

Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir , tada . Aritmetinės šaknies savybės leidžia parašyti tokias lygybes. Be to, naudojant laipsnio savybę su sveikuoju rodikliu, gauname , iš kurios pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu gauname , o gauto laipsnio rodiklis gali būti transformuojamas taip: . Tai užbaigia įrodymą.

Antroji laipsnių su trupmeniniais rodikliais savybė įrodoma visiškai panašiai:

Likusios lygybės įrodomos panašiais principais:

Pereikime prie kitos savybės įrodinėjimo. Įrodykime, kad bet kurio teigiamo a ir b atveju a b p . Parašykime racionalųjį skaičių p kaip m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Sąlygos p<0 и p>0 šiuo atveju sąlygos m<0 и m>0 atitinkamai. Jei m>0 ir a

Panašiai ir m<0 имеем a m >b m , iš kur, tai yra, ir a p >b p .

Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų savybių. Įrodykime, kad racionaliesiems skaičiams p ir q p>q esant 0 0 – nelygybė a p >a q . Racionalius skaičius p ir q visada galime sumažinti iki bendro vardiklio, net jei gausime paprastąsias trupmenas ir , kur m 1 ir m 2 yra sveikieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m 1 >m 2, kuri išplaukia iš. Tada, lyginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais eksponentais esant 0 1 – nelygybė a m 1 >a m 2. Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip Ir . O laipsnio apibrėžimas su racionaliu rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai. Iš čia darome galutinę išvadą: kai p>q ir 0 0 – nelygybė a p >a q .

Galių su iracionaliais rodikliais savybės

Iš to, kaip apibrėžiamas laipsnis su neracionaliuoju rodikliu, galime daryti išvadą, kad jis turi visas laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes. Taigi bet kokiems a>0, b>0 ir neracionaliesiems skaičiams p ir q yra teisingi šie dalykai galių savybės su iracionaliais rodikliais:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q;
6. bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b, a 0 nelygybė a p b p ;
7. iracionaliesiems skaičiams p ir q p>q esant 0 0 – nelygybė a p >a q .

Iš to galime daryti išvadą, kad laipsniai su bet kuriais realiaisiais eksponentais p ir q, kai a>0 turi tas pačias savybes.

Nuorodos.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 klasei. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 klasei. švietimo įstaigos.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).