Teorija dominančia tema. Problemų, susijusių su procentais, sprendimas ruošiantis OGE ir USE matematikoje

Gebėjimas teisingai ir greitai spręsti tekstinius uždavinius, susijusius su procentais, būtinas ne tik mokiniams, kurie norės išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą pagrindinėje matematikoje arba profilio lygis, bet ir visiems suaugusiems, nes su tokiomis užduotimis susiduriama nuolat kasdienybė. Kainų didinimas, šeimos biudžeto planavimas, pelningas lėšų investavimas ir daugelis kitų klausimų neapsieina be šių įgūdžių. Ruošiantis laikyti atestacijos testą būtinai reikia pakartoti, kaip spręsti uždavinius su procentais: vieningame valstybiniame matematikos egzamine jie randami ir pagrindiniame, ir specializuotame lygmenyje.

Reikia prisiminti

Procentas yra \(\frac(1)(100)\) skaičiaus dalis. Žymi kažko dalį visumos atžvilgiu. Rašytas simbolis yra \(\%\) . Ruošdamiesi vieningam valstybiniam egzaminui tema „Procentai“, moksleiviai tiek Maskvoje, tiek kitose Rusijos Federacijos dalyse turi atsiminti šią formulę:

Kaip jį pritaikyti?

Norint išspręsti paprastą užduotį su procentais vieningame valstybiniame matematikos egzamine, jums reikia:

1. Padalinkite gautą skaičių iš \(100\) .
2. Padauginkite gautą reikšmę iš \(\%\), kurią reikia rasti.

Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti \(10\%\) iš skaičiaus \(300\) , reikia rasti \(1\) procentą padalijus \(300:100=3\) . O iš ankstesnio veiksmo gautas skaičius yra \(3\cdot10=30\) . Atsakymas: \(30\).

Tai pačios paprasčiausios užduotys. 11 klasės mokiniai vieningo valstybinio egzamino metu susiduria su būtinybe spręsti sudėtingas problemas, susijusias su procentais. Paprastai jie nurodo banko indėlius arba mokėjimus. Su formulėmis ir jų taikymo taisyklėmis galite susipažinti nuėję į skyrių „Teorinė informacija“. Čia galite ne tik pakartoti pagrindinius apibrėžimus, bet ir susipažinti su sudėtingų problemų, susijusių su banko paskolos palūkanomis, sprendimo galimybėmis, taip pat pratimais iš kitų algebros skyrių, pavyzdžiui,

Taip pat žiūrėkite vaizdo įrašą „Vieningo valstybinio matematikos egzamino tekstiniai uždaviniai“.
Žodinė problema – tai ne tik judėjimo ir darbo užduotis. Taip pat yra užduotys apie procentus, tirpalus, lydinius ir mišinius, judėjimą ratu ir vidutinio greičio nustatymą. Mes jums apie juos papasakosime.

Pradėkime nuo problemų, susijusių su procentais. Su šia tema jau susidūrėme 1 užduotyje. Visų pirma jie suformulavo svarbi taisyklė: mes laikome vertę, su kuria lyginame.

Mes taip pat sukūrėme naudingas formules:

jei padidinsime vertę procentais, gausime .
jei reikšmė sumažinama procentais, gauname .
jei reikšmė padidinama procentais, o po to sumažinama , gauname .

jei padidinsime vertę du kartus procentais, gausime
jei reikšmė sumažinama du kartus procentais, gauname

Naudokime juos problemoms spręsti.

Per metus miesto kvartale gyvendavo žmonių. Per metus dėl naujų namų statybos gyventojų skaičius išaugo, o per metus - palyginti su metais. Kiek žmonių pradėjo gyventi kvartale per metus?

Pagal sąlygą per metus gyventojų skaičius išaugo , tai yra prilygsta žmonėms.

O per metus gyventojų skaičius išaugo , dabar lyginant su metais. Gauname, kad per metus kvartale gyveno daugiau gyventojų.

Ši problema buvo pasiūlyta adresu bandomasis vieningas valstybinis egzaminas gruodį matematikoje. Tai paprasta, bet mažai kas tai įvaldė.

Pirmadienį įmonės akcijos pabrango tam tikru procentu, o antradienį tiek pat atpigo. Dėl to jie atpigo nei pirmadienį atidarius prekybą. Kiek procentų pirmadienį pabrango bendrovės akcijos?

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad yra būklės klaida ir akcijų kaina išvis neturėtų keistis. Juk jie pabrango ir atpigo vienodu procentu! Bet neskubėkime. Tarkime, kad prekybos pradžioje pirmadienį akcijos buvo rublių vertės. Iki pirmadienio vakaro jie pabrango ir pradėjo brangti. Dabar ši vertė laikoma , o antradienio vakarą akcijos atpigo šia verte. Surinkime duomenis į lentelę:

Pagal sąlygą akcijos galiausiai atpigo .

Mes tai gauname

Padalinkime abi lygties puses iš (juk taip nėra lygus nuliui) ir kairėje pusėje pritaikykite sutrumpintą daugybos formulę.

Pagal problemos prasmę vertė yra teigiama.
Mes tai gauname.

Parduotuvėje šaldytuvo kaina kasmet mažėja tiek pat procentų nuo ankstesnės kainos. Nustatykite, kiek procentų kasmet mažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po dvejų metų jis buvo parduotas už rublius.

Ši problema taip pat išspręsta naudojant vieną iš formulių, pateiktų straipsnio pradžioje. Šaldytuvas kainavo rublius. Jo kaina sumažėjo du kartus, o dabar lygi

Keturi marškiniai yra pigesni nei švarkas. Kiek procentų penki marškiniai yra brangesni už švarką?

Tegul marškinių kaina yra lygi striukės kainai. Kaip visada, šimtu procentų laikome vertę, su kuria lyginame, tai yra striukės kainą. Tada keturių marškinių kaina yra lygi striukės kainai, t
.

Vienų marškinių kaina kelis kartus mažesnė:
,
ir penkių marškinių kaina:

Gavome penkis marškinius, kurie buvo brangesni už švarką.

Atsakymas:.

Šeimą sudaro vyras, žmona ir jų studentė dukra. Jei vyro atlyginimas padidėtų dvigubai, bendros šeimos pajamos padidėtų . Jei dukros stipendija būtų sumažinta perpus, visos šeimos pajamos sumažėtų . Kiek procentų nuo visų šeimos pajamų sudaro žmonos atlyginimas?

Nubraižykime lentelę. Problemoje nurodytas situacijas („jeigu vyrui padidėjo atlyginimas, jei dukrai sumažėjo stipendija...“) vadinsime „situacija“ ir „situacija“.

Belieka užsirašyti lygčių sistemą.

Bet ką mes matome? Dvi lygtys ir trys nežinomieji! Atskirai jų nerasime. Tiesa, mums to nereikia. Geriau paimti pirmąją lygtį ir atimti sumą iš abiejų jos pusių. Mes gauname:

Tai reiškia, kad vyro atlyginimas yra visų šeimos pajamų dalis.

Antroje lygtyje mes taip pat atimame išraišką iš abiejų pusių, supaprastiname ir gauname

Tai reiškia, kad dukters stipendija priklauso nuo bendrų šeimos pajamų. Tada žmonos atlyginimas sudaro visas pajamas.

Atsakymas:.

Kitas tipas problemos – tirpalų, mišinių ir lydinių problemos. Jų yra ne tik matematikoje, bet ir chemijoje. Mes jums papasakosime apie paprastu būdu jų sprendimus.

Inde, kuriame yra litrai -procentų vandeninis tirpalas kai kurios medžiagos, įpilama litrų vandens. Kiek procentų yra gauto tirpalo koncentracija?

Sprendime panašias užduotis paveikslas padeda. Pavaizduokime indą su tirpalu schematiškai – tarsi jame esanti medžiaga ir vanduo būtų ne susimaišę, o atskirti vienas nuo kito, kaip kokteilyje. Ir užsirašykime, kiek litrų talpos induose ir kiek procentų juose esančios medžiagos. Pažymime gauto tirpalo koncentraciją.

Pirmajame inde buvo litrai medžiagos. Antrame inde buvo tik vanduo. Tai reiškia, kad trečiajame inde yra tiek pat litrų medžiagos kaip ir pirmame:

.

Sumaišome tam tikrą kiekį -procentinio tam tikros medžiagos tirpalo su tokiu pat kiekiu -procentinio šios medžiagos tirpalo. Kiek procentų yra gauto tirpalo koncentracija?

Tegul pirmojo tirpalo masė lygi . Antrojo masė tokia pati. Dėl to mes gavome tirpalą, kurio masė yra . Nupieškime piešinį.

Mes gauname:

Atsakymas:.

Vynuogėse yra drėgmės, o razinose yra drėgmės. Kiek kilogramų vynuogių reikia norint užauginti kilogramą razinų?

Dėmesio! Jei susiduriate su problema „dėl produktų“, tai yra, kai razinos gaminamos iš vynuogių, abrikosai iš abrikosų, krekeriai iš duonos ar varškė iš pieno – žinokite, kad tai iš tikrųjų yra sprendimų problema. Taip pat galime grubiai pavaizduoti vynuoges kaip sprendimą. Jame yra vandens ir „sausųjų medžiagų“. „Sausoji medžiaga“ turi kompleksą cheminė sudėtis, o pagal skonį, spalvą ir kvapą galėtume suprasti, kad tai vynuogės, o ne bulvės. Razinos susidaro, kai vanduo išgaruoja iš vynuogių. Tuo pačiu metu „sausųjų medžiagų“ kiekis išlieka pastovus. Vynuogėse buvo vandens, vadinasi, buvo „sausosios medžiagos“. Razinose yra vandens ir „sausųjų medžiagų“. Tegul iš kg vynuogių išauga kg razinų. Tada

Iš iš

Padarykime lygtį:

ir rasime.

Atsakymas:.

Yra du lydiniai. Pirmajame lydinyje yra nikelio, antrajame - nikelio. Iš šių dviejų lydinių buvo gautas trečiasis kg sveriantis lydinys, kuriame buvo nikelio. Kiek kilogramų pirmojo lydinio masė mažesnė už antrojo masę?

Tegul pirmojo lydinio masė yra x, o antrojo lydinio masė yra y. Rezultatas buvo lydinys, kurio masė .

Užsirašykime paprasta sistema lygtys:

Pirmoji lygtis yra gauto lydinio masė, antroji – nikelio masė.

Išspręsdami, mes tai gauname.

Atsakymas:.

Sumaišoma -procentiniai ir -procentiniai rūgšties tirpalai ir pridedama kg švarus vanduo, gavome -procentinį rūgšties tirpalą. Jei vietoj kg vandens būtų pridėtas kg -procentinis tos pačios rūgšties tirpalas, gautume -procentinį rūgšties tirpalą. Kiek kilogramų -procentinio tirpalo buvo sunaudota mišiniui gauti?

Tegul pirmojo tirpalo masė yra , antrojo masė yra . Gauto tirpalo masė lygi . Parašykime dvi rūgšties kiekio lygtis.

Mes išsprendžiame gautą sistemą. Iš karto padauginkime abi lygčių puses iš , nes su sveikaisiais koeficientais patogiau dirbti nei su trupmeniniais. Atidarykime skliaustus.

Atsakymas:.

Sukamaisiais judesiais problemos taip pat buvo sunkios daugeliui studentų. Jie sprendžiami beveik taip pat kaip įprastos užduotys judėjimui. Jie taip pat naudoja formulę. Tačiau yra vienas triukas, apie kurį mes jums papasakosime.

Iš taško apskrito takelio Išvažiavo dviratininkas, o po kelių minučių jį sekė motociklininkas. Praėjus kelioms minutėms po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o po kelių minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra km. Atsakymą pateikite km/val.

Pirmiausia paverskime minutes į valandas, nes greitį reikia rasti km/h. Dalyvių greičius žymime kaip ir . Pirmą kartą motociklininkas dviratininką aplenkė praėjus kelioms minutėms, tai yra praėjus valandai nuo starto. Iki šio momento dviratininkas kelyje buvo kelias minutes, tai yra valandą.

Surašykime šiuos duomenis į lentelę:

Abu nukeliavo tuos pačius atstumus, tai yra.

Tada motociklininkas antrą kartą aplenkė dviratininką. Tai įvyko praėjus kelioms minutėms, ty praėjus valandai po pirmojo lenkimo.

Nubraižykime antrą lentelę.

Kokius atstumus jie nukeliavo? Motociklininkas aplenkė dviratininką. Tai reiškia, kad jis nuvažiavo dar vieną ratą. Tai yra šios užduoties paslaptis. Vienas ratas – trasos ilgis, lygus km. Gauname antrą lygtį:

Išspręskime gautą sistemą.

Mes tai gauname. Atsakydami užrašome motociklininko greitį.

Atsakymas:.

Laikrodis su rodyklėmis rodo valandas minutes. Per kiek minučių minutinė rodyklė ar ketvirtą kartą sulygiuos su laikrodžiu?

Tai galbūt labiausiai sunki užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Žinoma, yra paprastas sprendimas – paimkite laikrodį su rodyklėmis ir įsitikinkite, kad rodyklės išsilygina ketvirtą kartą per valandą, tiksliai ..
Ką daryti, jei turite elektroninis laikrodis ir jūs negalite išspręsti problemos eksperimentiniu būdu?

Per vieną valandą minutinė rodyklė apkeliauja vieną ratą, o valandų rodyklė – vieną ratą. Tegul jų greitis yra (apskritimai per valandą) ir (ratai per valandą). Pradžia – nuo ​​.. Raskime laiką, per kurį minučių rodyklė pirmą kartą pasivys valandų rodyklę.

Minučių rodyklė apkeliauja dar vieną apskritimą, todėl lygtis bus tokia:

Išsprendę, gauname tą valandą. Taigi, pirmą kartą rankos susilygins per valandą. Tegul antrą kartą po kurio laiko jie tampa lygūs. Minutės rodyklė nueis atstumą, ir valandos rodyklė, ir minučių rodyklė apkeliaus dar vienu ratu. Parašykime lygtį:

Išsprendę, gauname tą valandą. Taigi, po valandos rankos lygiuos antrą kartą, po kitos – trečią, o dar po valandos – ketvirtą.

Tai reiškia, kad jei pradžia buvo ., tada ketvirtą kartą rodyklės bus sulygiuotos
valandų.

Atsakymas visiškai atitinka „eksperimentinį“ sprendimą! :-)

Matematikos egzamine taip pat gali būti paprašyta rasti vidutinį greitį. Atminkite, kad vidutinis greitis nėra lygus greičių aritmetiniam vidurkiui. Jis randamas naudojant specialią formulę:

,
kur vidutinis greitis, - bendras kelias, – bendras laikas.

Jei būtų dvi kelio atkarpos, tada

Keliautojas jūrą kirto jachta vidutiniu km/h greičiu. Atskrido sportiniu lėktuvu km/h greičiu. Raskite vidutinį keliautojo greitį per visą kelionę. Atsakymą pateikite km/val.

Kokį atstumą keliautojas įveikė, nežinome. Žinome tik tiek, kad šis atstumas buvo toks pat keliaujant ten ir atgal. Paprastumo dėlei šį atstumą laikykime (viena jūra). Tada laikas, kurį keliautojas išplaukė jachta, yra lygus , o laikas, praleistas skrydžiui, yra lygus . Visas laikas lygus .
Vidutinis greitis lygus km/val.

Atsakymas:.

Parodykime dar vieną veiksmingą metodą, padedantį greitai išspręsti 13 uždavinio lygčių sistemą.

Andrejus ir Paša tvorą dažo per valandą. Paša ir Volodia tą pačią tvorą dažo per valandą, o Volodia ir Andrejus - per valandą. Kiek valandų užtruks berniukai, kol kartu dirbs tvorą?

Darbo ir produktyvumo problemas jau išsprendėme. Taisyklės tos pačios. Skirtumas tik tas, kad čia dirba trys žmonės, taip pat bus trys kintamieji. Tebūnie Andrejaus produktyvumas, Pašos produktyvumas ir Volodijos produktyvumas. Tvorą paimsime, tai yra darbų kiekį, nes - juk apie jos dydį nieko negalime pasakyti.

Andrejus ir Paša per kelias valandas nudažė tvorą. Mes prisimename, kad kai dirbant kartu pasirodymai sumuojasi. Parašykime lygtį:

Lygiai taip pat

Tada


.

Galite ieškoti ir atskirai, bet geriau tiesiog pridėti visas tris lygtis. Mes tai gauname

Tai reiškia, kad dirbdami kartu Andrejus, Paša ir Volodia per valandą nupiešia aštuntadalį tvoros. Jie nudažys visą tvorą per valandas.

„Paprasta ir sudėtines palūkanas »

Temos aktualumas.

Suprasti procentus ir mokėti skaičiuoti procentus šiuo metu būtina kiekvienam žmogui: taikoma vertėŠi tema yra labai plati ir paveikia finansinius, demografinius, aplinkosaugos, sociologinius ir kitus mūsų gyvenimo aspektus.

Medžiaga aktuali visiems šiemet besimokantiems 11 klasėje.

Spalio mėn. į mūsų seminarą atvykęs į mūsų seminarą Jaščenka, kuris tiesiogiai dalyvauja matematikos CIM rengime, jis pasakė, kad visi 19 užduoties prototipai bus paskelbti atidaryti stiklainį, nes užduotis nauja.

Mano ne itin stipriai klasei sprendžiama užduotis, kurią būtų galima pasitreniruoti.

Šiek tiek teorijos...

„Susidomėjimas“.

1 užduotis

a) Kaip vadinamos palūkanos? (Procentas yra viena šimtoji skaičiaus dalis.)

b) Kas nurodytas 1%? ( 1%? = 0,01 )

c) Kaip vadinamas 1% šimtsvorio? ( kg. ) Metras? (žr.) Hektaras? (ar arba šimtasis)

d) Kas vadinama 1% palūkanomis duotas numeris A? (Duoto skaičiaus a procentinė dalis yra skaičius 0,01 a, t.y. 1 % (a) = 0,01*a)

e) Kaip nustatyti duoto skaičiaus a p%? (rasti skaičių 0,01 p a, t.y.р% = 0,01*р*а)

f) Kaip dešimtainę trupmeną paversti procentine dalimi? ( padauginti iš 100 ). O kaip procentai po kablelio? (padalinti iš šimto, t.y. padauginkite iš 0,01)

g) Kaip rasti skaičiaus procentą? (Norėdami rasti dalį iš skaičiaus x procentais šią dalį reikia padalyti iš skaičiaus ir padauginti iš 100, t.y. a(%)=(w/x)*100)

e) Kaip randamas skaičius pagal jo procentą?(Jei žinoma, kad a% x yra lygus b, tada x galima rasti naudojant formulę x = (v/a)*100)

2 užduotis

Pateikite šias dešimtaines trupmenas procentais:

A)1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

b) Procentus išreikškite dešimtainėmis trupmenomis: 2 %; 12 %; 12,5 %; 0,1 %; 200 proc.

3 užduotis

Raskite skaičiaus %:

c) 0,1% skaičiaus 1200?(1,2)

d) 15% skaičiaus 2? (0,30)

4 užduotis

Raskite skaičių pagal jo procentą:

e) Kiek centnerių sveria maišelis? granuliuoto cukraus, jei 13% yra 6,5 ​​kg.?(50 kg. = 0,5 c.)

c) Kiek procentų iš 10 yra 9?

Atsakymai: a) 9%, b) 0,09%, c) 90%;

d) 900%?.

Paprastos ir sudėtinės palūkanos

Šie terminai dažniausiai sutinkami bankininkystėje, finansinėse užduotyse.

Bankai pritraukia lėšas (indėlius) tam tikromis palūkanomis. Priklausomai nuo palūkanų normos, skaičiuojamos pajamos.

Praktikoje naudojami du palūkanų pajamų vertinimo būdai – paprastosios ir sudėtinės palūkanos.

Taikant paprastas palūkanas, pajamos skaičiuojamos nuo pradinės investuotų lėšų sumos, neatsižvelgiant į investavimo laikotarpį. Finansinėse operacijose paprastos palūkanos pirmiausia naudojamos trumpalaikiams finansiniams sandoriams. Tegul tam tikras kiekis palaipsniui keičiasi. Be to, kiekvieną kartą, kai ji keičiasi tam tikras skaičiusprocentų šios vertės vertės įjungta pradinis etapas. Taip jie skaičiuojami

paprastas palūkanas.Taikant sudėtines palūkanas, sukaupta palūkanų suma pridedama prie indėlio kito kaupimo laikotarpio pabaigoje. Be to, kiekvieną kartą jos pokytis yra tam tikras procentų skaičius šios vertės vertėsankstesniame etape. Šiuo atveju mes susiduriame su „sudėtines palūkanas

“ (t. y. naudojami „palūkanų palūkanų“ skaičiavimai)

Pradinė suma ir gautos palūkanos bendrai vadinamos sukaupta (sukaupta) suma.

1 lentelė. Sukaupta suma naudojant paprastas ir sudėtines palūkanas.

Paprastų ir sudėtinių palūkanų formulės.

I. Tegul tam tikra reikšmė A padidėja n kartų (n metų) ir kiekvieną kartą p%.

Pristatome užrašą: A 0 – pradinė dydžio A vertė;

r – pastovus kiekis procentų;

a palūkanų norma; a=р/100 = 0,01*р

A n – sukaupta suma n kartų (iki n-tųjų metų pabaigos) - pagal paprastą palūkanų formulę;

S n - n kartų sukaupta suma (iki n-tųjų metų pabaigos) - pagal sudėtinių palūkanų formulę.

Tada jo vertė A 1 paprastosios palūkanos po pirmojo padidinimo (iki pirmųjų metų pabaigos) apskaičiuojamos pagal formulę: A 1 = A 0 + A 0 * (0,01 p) = A 0 (1 + (0,01 p) = A 0 (1 + p)

Antrojo etapo pabaigoje A 2 = A 1 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).

Trečiojo etapo pabaigoje A 3 = A 2 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).

Tada paprastų palūkanų suma per metus yra lygi:

A n = A 0 (1 + 0,01р*n) arba A n = A 0 (1 + ?* n) (1)

Sudėtinės palūkanos atrodo kitaip:

Tegul kiek S 0 padidėja n kartų (n metų) ir kaskart po p%.

Tada jo prasmė S 1 sudėtinės palūkanos po pirmojo padidinimo (iki pirmųjų metų pabaigos) apskaičiuojamos pagal formulę:

S1 = S0 + S0 (0,01 r) = S0 * (1 + 0,01 r) = S0 * (1 + ?).

Antrojo etapo pabaigoje S 2 = S 1 + S 1 (0,01 р) = S 1 * (1 + 0,01 р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.

Trečiojo etapo pabaigoje S 3 = S 2 + S 2 (0,01 r) = S 2 * (1 + 0,01 r) = S 0 (1 + 0,01 r) 2 * (1 + 0,01 r) = S 0 (1 +0, 01 r) 3 = S 0 (1 + a ) 3 .

Tada sudėtinių palūkanų suma per metus yra lygi:

S n = S 0 (1 + 0,01р) n arba S n = S 0 (1 + a ) n (2)

1 pavyzdys.

Bankas atidarė 50 tūkstančių rublių terminuotąjį indėlį. 12% 3 metus. Apskaičiuokite sukauptą sumą, jei palūkanos:

a) paprastas; b) kompleksas.

1 sprendimas.

Naudojant paprastą palūkanų formulę

Sn=(1+3*0,12)*50 000 = 68 000 rub. (rez. 68 000 rub.)

Naudojant paprastą palūkanų formulę

Sn=(1+0,12) 3 *50 000 = 70 246 rubliai. (rez. 70246 rub.)

Sudėtinių palūkanų formulė jungia keturis dydžius: pradinį indėlį, sukauptą sumą ( ateities vertė indėlis), metinė palūkanų norma ir laikas metais. Todėl, žinodami tris kiekius, visada galite rasti ketvirtąjį:

S n = S 0 * (1+0,01р) n

Norint nustatyti procentų p skaičių, būtina:

р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2,1)

Pradinio indėlio radimo operacija S 0 , jei žinoma, kad po n metų ji turėtų sudaryti sumą S n , vadinamas nuolaida:

S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)

Kiek metų yra įnašas S 0 turi gulėti banke po p% per metus, kad būtų pasiekta S vertė n.

n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2,3)

Bankų praktikoje palūkanos gali būti kaupiamos dažniau nei kartą per metus. Tokiu atveju banko kursas dažniausiai nustatomas metiniais terminais. Sudėtinių palūkanų formulė atrodys taip:

S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)

čia t – palūkanų reinvesticijų skaičius per metus.

2 pavyzdys.

Bankas atidarė 50 tūkstančių rublių terminuotąjį indėlį. 12% 3 metus. Apskaičiuokite sukauptą sumą, jei palūkanos skaičiuojamos kas ketvirtį.

2 sprendimas.

n=3

t = 4 (per metus – 4 ketvirčiai)

Naudojant sudėtinių palūkanų formulę

S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50 000 = 1,03 12 *50 000 = 71288 rub. Rep. 71 288 RUB

Kaip matyti iš 1 ir 2 pavyzdžių, sukaupta suma didės greičiau, tuo dažniau bus skaičiuojamos palūkanos.

Pateiksime (2) formulės apibendrinimą, kai S reikšmės padidėjimas kiekviename etape yra skirtingas. Tegul S O , pradinė S reikšmė pirmojo etapo pabaigoje pasikeičia p 1 %, antrojo pabaigoje p 2 %, o trečiojo etapo pabaigoje ant p 3 % ir kt. Pasibaigus n-tajam etapui, S reikšmė nustatoma pagal formulę

S n = S 0 (1 + 0,01 р 1 ) (1 + 0,01 р 2 )... (1 + 0,01 р n ) (4)

3 pavyzdys.

Prekybos bazė pirko iš gamintojo prekių partiją ir pristatė į parduotuvę didmenine kaina, kuri yra 30 proc. daugiau kainos gamintojas. Parduotuvė mažmeninę prekės kainą nustatė 20% didesnę nei didmeninė kaina. Išpardavimo metu parduotuvė šią kainą sumažino 10 proc. Kiek rublių daugiau sumokėjo pirkėjas, palyginti su gamintojo kaina, jei išpardavimo metu pirko prekę už 140 rublių? 40 kapeikų

3 sprendimas.

Tegul pradinė kaina yra S rub., tada pagal (4) formulę turime:

S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4

S 0 = 140,4: 1,404 = 100 (rub.)

Raskite skirtumą tarp paskutinės ir pradinės kainos

140,4 – 100 = 40,4 Atsakymas. 40,4 rub.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

1 variantas

1 užduotis. Degalinės savininkas benziną pabrangino 10 proc. Pastebėjęs, kad klientų skaičius smarkiai sumažėjo, kainą sumažino 10 proc. Kaip po to pasikeitė pradinė benzino kaina? (padidėjo arba sumažėjo ir kiek %?)

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina, S 2 – galutinė kaina, x – norimas procentinio pokyčio skaičius, kur x = (1 – S 2 /S 0 )*100 % (*)

Tada pagal formulę S n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )***(1 + 0.01р n ) (4), gauname

S 2 = S 0 (1 + 0,01 * 10 ) (1 - 0,01 * 10) = S 0 * 1,1 * 0,9 = 0,99 * S 0.

S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, S vertė 2 yra 99% pradinės kainos, o tai reiškia, kad 100% mažesnė – 99% = 1%.

Arba naudojant formulę (*) gauname: x = (1 – 0,99)*100% = 1%.

Atsakymas: sumažėjo 1 proc.

2 užduotis. Per metus įmonė du kartus padidino gamybos apimtį tiek pat procentų. Raskite šį skaičių, jei žinoma, kad metų pradžioje įmonė pagamino 600 gaminių per mėnesį, o metų pabaigoje pradėjo gaminti 726 gaminius per mėnesį.

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina, S 2 – galutinė kaina, p – pastovi palūkanų suma.

Pagal (2.1) formulę gauname: p = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.

Atsakymas: 10 proc.

3 užduotis. Kompiuterinės technikos kaina padidinta 44 proc. Po to dėl dviejų iš eilės vienodų procentų sumažinimo kompiuterių kaina buvo 19% mažesnė nei pradinė kaina. Kiek procentų jie kiekvieną kartą sumažino kainą?

Sprendimas: Naudodami (4) formulę sudarome lygtį

S 3 = S 0 (1 + 0,01 * 44) (1 - 0,01 r) (1 - 0,01 r) = S0 * 1,44 * (1 - 0,01 r) 2 = S0 * (1-0,01*19). Išspręsdami lygtį, gauname 2 šaknis: 175 ir 25, kur 175 neatitinka uždavinio sąlygų. Todėl p = 25%.

Atsakymas: 25 proc.

4 užduotis. Siekdama nustatyti optimalų kainų didinimo režimą, bendrovė nusprendė nuo sausio 1 dienos dviem būdais didinti tos pačios prekės kainą dviejose parduotuvėse. Vienoje parduotuvėje - kiekvieno mėnesio pradžioje (pradedant vasario mėn.) po 2%, kitoje - kas du mėnesius, trečio pradžioje (nuo kovo mėn.) tiek pat procentų ir tokia, kad po šešių mėnesių. (liepos 1 d.) kainos vėl tapo tos pačios. Kiek procentų reikėtų didinti prekės kainą kas du mėnesius antroje parduotuvėje?

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina,p – pastovus procentas.

Tada po 6 mėnesių (po šešių padidinimų 2%) pirmoje parduotuvėje prekės kaina bus lygi S 0 (1 + 0,01*2) 6 , o antroje parduotuvėje (po trijų padidinimų p proc.) prekės kaina bus lygi S 0 (1 + 0,01 r) 3 . Gauname lygtį S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01 r) 3 . Išsprendę, gauname

(1 + 0,01 * 2) 2 = (1 + 0,01 r); 1,02 2 = (1 + 0,01 r); p = 4,04

Atsakymas: 4,04 proc.

2 variantas.

1 užduotis. Automobilis važiavo greitkeliu tam tikru greičiu. Išeina į kaimo kelias, jis sumažino greitį 20 proc., o paskui stačioje įkopimo atkarpoje greitį sumažino 30 proc. Kiek procentų šis naujas greitis yra mažesnis nei originalus?

Sprendimas: tegul V 0 - pradinis greitis,V – naujas greitis, kuris gaunamas po dviejų įvairūs pokyčiai, p – reikalinga palūkanų suma.

Tada, naudodami (4) formulę, sudarome lygtį V 0 (1 - 0,01 * 20) (1 - 0,01 * 30) = V 0 (1 - 0,01 r). Ją išspręsdami gauname V 0 *0,8*0,7 = V 0 (1 - 0,01r); p = 44

Atsakymas: 44 proc.

2 užduotis. Tarkime, kad kambario temperatūroje vanduo išgaruoja 3% per dieną. Kiek litrų vandens liks po 2 dienų iš 100 litrų? Kiek vandens išgaruos?

Sprendimas: n=2; p = 3 %; S 0 = 100lt. Tada pagal (2) formulę gauname

S 2 = S 0 (1 - 0,01 p) 2 = 100 * (1 - 0,01 * 3) 2 = 100 * 0,97 2 = 94,09; S 0 – S 2 = 100 – 94,09 = 5,91

Atsakymas: 94,09l.; 5,91l.

3 užduotis. Prieš 2 metus banke įdėtas indėlis siekė 11 449 rublius. Kokia buvo pradinė 7% metinė įmoka? Kas yra pelnas?

Sprendimas: n=2; p = 7 %; S2 = 11449; S0 = ?

(2.2) formulėje S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n pakeičiame šias reikšmes, gauname:

S 0 = 11449* (1 + 0.01*7) –2 = 11449/ (1.07)2 =11449/ 1.1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Atsakymas: 10 000 rublių; 1449 rubliai.

4 užduotis. Sberkassa kasmet sukaupia 3% indėlio sumos. Po kiek metų suma padvigubės?

Sprendimas: p=3%; S 0 – pradinė suma; n=?

Padarykime lygtį: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) n ; 2 = 1,03 n n = log 1,03 2; n?23.

Savarankiškas darbas

1 lygis. Po rekonstrukcijos gamykla padidino gamybos apimtį 10 proc., o pakeitus įrangą dar 30 proc. Kiek procentų padidėjo pradinė produkcija?

(Atsakymas: 43%)

2-as lygis. Skaičius 50 tuo pačiu procentų skaičiumi buvo padidintas tris kartus, o vėliau tiek pat procentų sumažintas. Rezultatas – 69,12. Kiek procentų padidinote, o po to sumažinote šį skaičių?

(Atsakymas: 20%)

3 lygis. Bankas kasmet taiko 7% indėlio sumos. Rasti mažiausias skaičius metų, per kuriuos įmoka išauga daugiau nei 20 proc.

(Atsakymas: 3 metai)

Nr. 1. Taupomasis bankas kasmet už indėlius sukaupia 5,5% per metus. Indėlininkas į banką įnešė 150 tūkst. Kokia bus indėlio suma po 2 metų?

(Atsakymas: 166 953,75 RUB)

Nr. 3. Bankas siūlo du indėlio variantus

1) 120 % su palūkanomis, sukauptomis metų pabaigoje;

2) 100 % su palūkanomis, sukauptomis kiekvieno ketvirčio pabaigoje.

Nustatykite pelningesnį indėlių įdėjimo vieneriems metams variantą.

Sprendimas.

Pelningesnis yra tas variantas, kai per metus padidinta suma bus didesnė. Norėdami įvertinti galimybes, imsime pradinę sumą, lygią 100 rublių.

Pagal pirmąjį variantą sukaupta suma bus lygi (1+1,2)*100 rublių. = 220 rub.

Pagal antrąjį variantą palūkanos kaupiamos kas ketvirtį. Pirmojo ketvirčio pabaigoje sukaupta suma yra (1+1,0/4)*100 rublių. = 125 rub.

2-ojo ketvirčio pabaigoje (1+1,0/4) 2 * 100 rub. = 156 rub.

Sukaupta suma per metus yra (1+1,0/4) 4 * 100 rub. = 244 rub.

Kaip matyti iš skaičiavimų, antrasis variantas yra daug pelningesnis (244 > 220). Tiesa, tik tuo atveju, jei naudojamos sudėtinės palūkanos.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino 2015 m. profilio lygmeniu užduoties Nr.19 prototipų pasirinkimas.

19. 2012 m. gruodžio 31 d. Jekaterina iš banko paėmė 850 000 rublių kreditą su 15% per metus. Paskolos grąžinimo grafikas yra toks: kiekvienos gruodžio 31 d kitais metais bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 15%), tada Jekaterina perveda ją bankui tam tikra suma metinė išmoka. Kokia turėtų būti metinės įmokos suma, kad Catherine sumokėtų skolą trimis lygiomis metinėmis išmokomis?

19. Jaunai šeimai bankas išduoda 20% metinę paskolą butui įsigyti.

Paskolos grąžinimo schema yra tokia: lygiai vieneri metai po paskolos išdavimo banko

ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 20 proc.),

tada ši šeima per kitus metus tam tikrą sumą perveda į banką

(fiksuota) metinė mokėjimo suma. Ivanovų šeima planuoja atsilyginti

paskola su vienodomis įmokomis per 4 metus. Kiek pinigų jis gali jiems duoti?

bankas, jei Ivanovai sugebės kasmet grąžinti paskolą 810 tūkst

rublių?

19. 8 litrų kolboje yra azoto ir deguonies mišinys, kuriame yra 32 % deguonies. Iš kolbos buvo išleistas tam tikras kiekis mišinio ir pridėta tiek pat azoto; tada jie vėl išleido tokį pat kiekį naujo mišinio kaip ir pirmą kartą ir įpylė tiek pat azoto. Dėl to deguonies procentas mišinyje buvo 12,5%. Kiek litrų mišinio išsiskyrė kiekvieną kartą?

19. Į banką buvo pervestas indėlis su 10% banko palūkanomis. Po metų indėlio savininkas iš sąskaitos nuėmė 2000 rublių, o po metų vėl įnešė 2000 rublių. Tačiau dėl šių veiksmų, praėjus trejiems metams po pradinio indėlio investavimo, jis gavo mažesnę sumą nei planuota (jei nebuvo tarpinių sandorių su indėliu). Kiek rublių mažiau nei planuota investuotojas galiausiai gavo?

19. Pirmąją mėnesio darbo dieną nuo gamyklos surinkimo linijos nuriedėjo nemažai traktorių. Kiekvieną sekančią darbo dieną jų gamyba didėjo 3 traktoriais kasdien, o mėnesinis planas – 55 traktoriai buvo įvykdytas anksčiau nei numatyta ir per visą dienų skaičių. Po to kasdien buvo pagaminama 11 traktorių. Nustatykite, kiek traktorių buvo pagaminta pirmąją darbo dieną ir kiek procentų viršytas mėnesio planas, jei žinoma, kad mėnesį buvo 26 darbo dienos, o suplanuoti darbai truko ne mažiau 3 ir ne daugiau 10 dienų.

19. Kovo 8 d. Lenya Golubkovas iš banko paėmė 53 680 rublių kreditą 4 metams už 20% metinį mokestį, kad nupirktų savo žmonai Ritai naują kailinį. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kitų metų kovo 8 d. ryte bankas skaičiuoja palūkanas nuo likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 20 proc.), o tos pačios dienos vakare. diena Lenya perveda bankui tam tikrą metinės įmokos sumą (ši suma yra vienoda visus ketverius metus). Kokią sumą, viršijančią pasiskolintus 53 680 rublių, Lenija Golubkovas turės sumokėti bankui per šiuos ketverius metus?

19. Semjonas Kuznecovas planavo visas santaupas 500% investuoti į taupomąją sąskaitą Navrodos banke, tikėdamasis per metus atsiimti A rublį. Tačiau „Navrode“ banko žlugimas pakeitė jo planus ir užkirto kelią neapgalvotam poelgiui. Dėl to ponas Kuznecovas dalį pinigų įdėjo į Pirmąjį savivaldybės banką, o likusius – į makaronų indelį. Po metų „First Municipal“ mokėjimo procentą padidino du su puse karto, o M. Kuznecovas nusprendė užstatą palikti dar metams. Dėl to First Municipal gauta suma buvoIr rubliai. Nustatykite, kokias palūkanas pirmasis savivaldybės bankas sukaupė pirmaisiais metais, jei Semjonas „investavo“ į makaronų skardinę Ir rubliai.

19. Bankas 30% klientų lėšų planuoja investuoti į aukso kasybos gamyklos akcijas 1 metams, o likusius 70% – į prekybos komplekso statybas. Priklausomai nuo aplinkybių, pirmasis projektas bankui gali atnešti nuo 32% iki 37% pelno per metus, o antrasis projektas – nuo ​​22% iki 27% per metus. Metų pabaigoje bankas privalo grąžinti pinigus klientams ir mokėti jiems iš anksto nustatyto dydžio palūkanas, kurių dydis turėtų svyruoti nuo 10% iki 20% per metus. Nustatykite, koks yra mažiausias ir didžiausias grynasis pelnas procentais per metus nuo visų investicijų į akcijų pirkimą ir prekybos komplekso statybą, kurią bankas gali gauti.

Procentas yra šimtoji skaičiaus dalis.

Procentas nurodomas simboliu $%$.

Formoje pateikti procentus dešimtainis, turite padalyti vertę iš 100 USD.

$35%={35}/{100}=0.35$.

Norėdami sužinoti skaičiaus procentą, jums reikia duotas numeris padalinkite iš 100 USD ir padauginkite iš procentų.

$n%$ iš $а=(а⋅n)/(100)$

Kiek laipsnių turi kampas, jei jis yra $5%$ tiesaus kampo?

Tiesus kampas yra 180 ° $.

Raskime $5%$ iš $180°$, tai $(180°⋅5)/(100)=9°$.

Atsakymas: $ 9 ° $.

Norėdami rasti skaičių pagal jį nurodytą procentą, nurodytą skaičių reikia padalyti iš nurodytą vertę procentų, o rezultatą padauginkite iš 100 USD.

Raskite skaičių, kurio 20% $ yra 80 $.

Mes randame skaičių, kurio 20% $ yra 80 $:

${80⋅100}/{20}=400$.

Atsakymas: 400 USD.

Nuolaidų užduotys

Nuolaida – tai prekės ar paslaugos kainos sumažinimas. Dažniausiai nuolaida nurodoma procentais.

Norėdami sužinoti prekės kainą atsižvelgdami į nuolaidą, turite:

1. Atimkite nuolaidos procentą iš $100%$.
2. Raskite gautą procentą nuo bendros produkto kainos.

Žieminė striukė kainuoja 4500 USD. Sezoninė nuolaida yra $20%$. Kiek turėčiau mokėti už striukę atsižvelgiant į nuolaidą?

Pažiūrėkime, kiek procentų nuo pradinės kainos sudarys striukės kaina su nuolaida:

Paskaičiuokime, kiek yra $80%$ iš $4500$ rublių. Norėdami sužinoti skaičiaus procentinę dalį, nurodytą skaičių turite padalyti iš 100 USD ir padauginti iš procentinės vertės.

$(4500·80)/(100)=3600$ – striukės kaina, atsižvelgiant į nuolaidą.

Indėlių, paskolų, antkainių užduotys

Norėdami sužinoti pinigų sumą, atsižvelgdami į metinę normą, turite:

1. Pridėkite metinį indėlio procentą prie $100%$.
2. Raskite gautą procentą nuo pradinės pinigų sumos.

Klientas įnešė į banką 150 000 rublių po 12% per metus. Kiek jis gali atsiimti po metų?

$100%+12%=112%$ – tai kliento pinigų procentas po metų, palyginti su pradine suma.

Raskime $112%$ iš 150 000 $ rublių:

$(112⋅150000)/(100) = $168000 rublių.

Atsakymas: 168 000 USD.

Kai kuriose procentinėse problemose patogu naudoti proporciją, pavyzdžiui:

Bulvių maišas kainavo 200 USD. Padidinus kainą, ji pradėjo kainuoti 250 USD rublių. Kiek procentų pabrango bulvių maišas?

Paimkime pradinę produkto kainą 100% $ (kadangi su ja lyginsime kainą padidinus kainą):

Tegul $x%$ yra naujos kainos procentinė dalis, palyginti su senąja.

Su šiais duomenimis sudarysime ir išspręsime proporciją:

$(100%)/(x%)=(200)/(250)$.

Proporcijos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių proporcijos narių sandaugai:

200⋅х=100⋅250$.

$х=(100⋅250)/(200)=125%$.

Nauja bulvių maišo kaina yra 125% $, palyginti su pradine kaina.

Kaina padidėjo $125% -100%=25%$.

Atsakymas: 25 USD.

Matematikos darbaknygė kainuoja 65 USD rublių. Kiek sąsiuvinių studentas gali nusipirkti už 450 USD, jei taikoma 8% USD nuolaida?

Atsižvelgdami į nuolaidą, suraskime bloknoto kainos procentą:

Suraskime $92%$ iš $65$ rublių ir gaukime 1$ sąsiuvinio kainą su nuolaida:

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Negalime nusipirkti nedidelio skaičiaus sąsiuvinių, neužtenka pinigų aštuoniems sąsiuviniams, todėl studentas galės nusipirkti tik 7 USD sąsiuvinių.

Atsakymas: 7 USD.

Norėdami išspręsti kai kurias problemas, turite susipažinti su terminu "sudėtinės palūkanos", kurios dažnai prireikia sprendžiant problemas dėl indėlių, paskolų ir kt. Paprastais žodžiais, „sudėtinės palūkanos“ atsiranda, kai sudedame palūkanas už palūkanas. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Tarkime, mes įnešėme į banką $X$ rublių po $N%$ per metus. O pinigus banke paliko ne vieneriems, o dvejiems metams. Tai reiškia, kad pirmųjų metų pabaigoje galėtume atimti $X + X*(N/100) = X(1+(N/100))$ rublių, bet mes jų neimame, o paliekame antrus metus. O dabar mūsų „naujojo“ įnašo suma antrus metus $N%$ yra nebe $X$, o $X(1+(N/100))$ rubliai. Tai yra, antraisiais metais bus kaupiamos palūkanos, įskaitant ir už pirmuosius metus sukauptas palūkanas. Iš viso antrųjų metų pabaigoje galėsime paimti $X(1+(N/100)) + X(1+(N/100))*(N/100) = X(1+(N/) 100))(1+ (N/100)) = X(1+(N/100))^2$.
Jeigu įneštume įnašą ne dvejiems, o $Y$ metams, tai pabaigoje gautume $X(1+(N/100))^Y$ rub.

„Geras mokytojas turi suprasti, kad jokia užduotis negali būti išnaudota iki galo. Šį požiūrį jis turi įskiepyti savo mokiniams.
D. Polė.

Įvadas.

Atkreipiu ypatingą dėmesį žodinės problemos procentais, kurie dažnai sutinkami praktikoje stojamieji egzaminai V ekonomikos universitetai, tačiau jie nėra iki galo sprendžiami mokykloje. Gebėjimas atlikti procentinius skaičiavimus tikrai yra viena būtiniausių matematinių kompetencijų. Tačiau ne tik seniai mokyklą baigusieji nedrąsūs, pamatę susidomėjimą. Net ir laikant vieningą valstybinį egzaminą, problemų, susijusių su procentais, išsprendžiamumas neviršija 20%. Tai rodo, kad tokio tipo problemas reikėtų spręsti ne tik jaunesniųjų klasių kur ši tema nagrinėjama, bet ir per visus mokymosi metus.

1. Sprendžiant uždavinius, susijusius su procentais, naudojamos šios pagrindinės formulės:

1% a yra lygus a.

p% skaičiaus a yra lygus a.

Jei žinoma, kad tam tikras skaičius a yra p% x, tai x galima rasti iš proporcijos

A− р %

X − 100%,

iš kur x=a.

Tegul yra skaičiai a, b ir a

Skaičius b yra 100 % didesnis už skaičių a.

Skaičius a yra 100 % mažesnis už skaičių b.

2. Sudėtinių palūkanų formulė.

Jei indėlyje yra piniginių vienetų suma, bankas ima p% per metus, tada po n metų indėlio suma bus lygi

a piniginių vienetų

3. Problemos, susijusios su procentais.

1 užduotis.

Protingų žmonių yra 45% mažiau nei gražių žmonių, 36% protingų žmonių turi gražią išvaizdą. Koks procentas protingų žmonių tarp gražių žmonių?

Sprendimas: tegul x yra gražių žmonių skaičius, tada protingų žmonių skaičius:

x − 0,45x = 0,55x.

Tarp protingų žmonių 36% yra gražūs žmonės, todėl protingų ir tuo pačiu gražių žmonių skaičius:

0,36 · 0,55x = 0,198x.

Padarykime proporciją:

Iš čia gauname:

Atsakymas: 19,8%

Mokiniams įdomu spręsti tekstinius uždavinius, susijusius su procentais, kurie yra artimesni realiame gyvenime. Ypatingas „linksmas“ – problemų pateikimas ne iš probleminės knygos, o tiesiai iš laikraščio puslapio. Čia nekyla minčių apie matematikos nenaudingumą. O „interesų žurnalistika“ tiesiogine prasme klesti laikraščių puslapiuose, susijusiais su ekonominės krizės protrūkiu.

2 užduotis.

Ekskursijų kainos jau išaugo: pavyzdžiui, kelionės į Prancūziją – 20 proc. Ar galima pasakyti, kiek procentų anksčiau kelionė į Prancūziją buvo pigesnė?

Sprendimas: tegul x yra senoji kaina, o n – nauja kaina.

1) Padarykime pirmąją proporciją:

Gauname n=1,2x.

2) Padarykime antrąją proporciją:

x − (100-a%)

(100-a) 1,2x = 100x

Išsprendę lygtį, gauname: a ≈17%.

Atsakymas: 17%.

4. Naudojant sudėtinių palūkanų formulę.

3 užduotis.

Į banko sąskaitą buvo įnešta 10 tūkst. Pinigams išgulėjus vienerius metus, iš sąskaitos buvo nuimta 1 tūkst. Po metų sąskaitoje buvo 11 tūkst. Nustatykite, kiek procentų per metus ima bankas.

Sprendimas: Tegul bankas apmokestina p% per metus.

1) 10 000 rublių suma, įnešama į banko sąskaitą p% per metus, per metus padidės iki sumos

2) Kai iš sąskaitos bus nuimta 1000 rublių, jie ten ir liks 9000+100 rub patrinti.

3) Kitais metais pastaroji vertė dėl susikaupusių palūkanų išaugs iki vertės

Pagal sąlygą ši vertė yra lygi 11 000:

Išspręsdami šią lygtį gauname: =10, =−200 - neigiama šaknis netinka.

Atsakymas: 10%

4 užduotis (Vieningas valstybinis egzaminas-2015)

Bankas priėmė tam tikrą sumą už tam tikrą procentą. Po metų iš sąskaitos buvo nuimtas ketvirtadalis sukauptos sumos. Tačiau bankas padidino palūkanų normą per metus 40 proc.. Iki kitų metų pabaigos suma sukaupta 1,44 karto viršijo pradines investicijas. Koks yra naujasis APR procentas?

Sprendimas: Situacija nesikeis priklausomai nuo indėlio sumos. Įdėkime į banką 4 rublis (skirstytas į 4 ). Per metus suma sąskaitoje tiksliai padidės p kartų ir taps lygūs (4p) rublių

Padalinkime iš 4 dalių, parvešime namo (p) rublių, paliksime banke (3p) rublių

Yra žinoma, kad iki kitų metų pabaigos bankas sulaikė 4 1,44 = 5,76 rublių Taigi skaičius (3p) virto skaičiumi (5,76) . Kiek kartų jis padidėjo?

Taigi rastas antras didėjimo koeficientas k stiklainis.

Įdomu tai, kad abiejų koeficientų sandauga yra lygi 1,92 :

Iš tos sąlygos išplaukia, kad antrasis koeficientas ant 0,4 daugiau nei pirmasis.

Atsikratę kablelių, pakeiskime t = 10r:

Iš tokios lygties gana lengva gauti 12.

Taigi p = 1,2, k = 1,6.

Indėlio suma pirmą kartą padidėjo 1,2 karto, antrą kartą – 1,6 karto.

Buvo 100%, tapo 160%. Naujas procentas per metus yra 160%-100% = 60%.

Atsakymas: 60%.

5 užduotis. (Vieningas valstybinis egzaminas 2015 m.)

Suma, įnešta į banką 3900 tūkstančius rublių žemiau 50% per metus. Kiekvienų pirmųjų ketverių saugojimo metų pabaigoje, apskaičiavęs palūkanas, indėlininkas į sąskaitą papildomai įnešė tokios pat fiksuotos sumos. Penktų metų pabaigoje, paskaičiavus palūkanas, paaiškėjo, kad

indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725% .

Kokią sumą investuotojas kasmet pridėdavo prie indėlio?

Sprendimas: Tegul investuotojas prie indėlio kasmet prideda x rublių.

50% per metus reiškia, kad kiekvienais metais suma indėlininko sąskaitoje padidėja 1,5 karto. Jeigu investuotojas prie pradinės sumos nieko nepridėtų, tai po metų būtų 3900·1,5, po dvejų metų - 3900 · 1,52 ir taip toliau.

Paskaičiuokime, kiek pajamų atnešė visi keturi priedai.

x∙1,5 4 + x∙1,5 3 + x∙1,5 2 +x∙1,5

Norėdami tai padaryti, išimkime X skliausteliuose ir apskaičiuokite geometrinės progresijos, kurioje b = 1,5 Ir q = 1,5.

Yra žinoma, kad indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725% .